浙江省宁波市余姚中学2016-2017学年高二(上)期中数学试卷(解析版)

2015-2016学年浙江省宁波市余姚中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．下列说法正确的是（）A．若命题p，¬q都是真命题，则命题“p∧q”为真命题B．命题“若xy=0,则x=0或y=0”的否命题为“若xy≠0则x≠0或y≠0”C．命题“∀x∈R,2x＞0"的否定是“∃x0∈R,2≤0”D．“x=﹣1"是“x2﹣5x﹣6=0"的必要不充分条件2．已知函数f（x)=Asin（ωx+φ)( A≠0，ω＞0，）在时取得最大值,且它的最小正周期为π，则（）A．f（x）的图象过点（0，）B．f（x）在上是减函数C．f(x）的一个对称中心是D．f（x)的图象的一条对称轴是x=3．已知数列{a n}满足：a n=,且S n=，则n的值为（)A．8 B．9 C．10 D．114．若α、β是两个相交平面，则在下列命题中,真命题的序号为(）①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线．②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线．④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．A．①③B．②③C．②④D．①④5．已知函数f（x）=﹣kx2（k∈R)有四个不同的零点，则实数k的取值范围是（）A．k＜0 B．k＜1 C．0＜k＜1 D．k＞16．若直线+=1通过点M(cosα，sinα),则（）A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1 C．D．7．已知双曲线与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线的离心率为（）A．2 B．2C．D．8．设a＜0，（3x2+a)（2x+b）≥0在（a，b）上恒成立,则b﹣a的最大值为(）A．B．C．D．二、填空题（每题5分,满分35分，将答案填在答题纸上）9．设全集为R，集合M={x∈R|x2﹣4x+3＞0｝，集合N=｛x∈R|log2x＜1}，则M∪N=；M∩N=；∁R（M∩N)=．10．已知曲线+=1，当曲线表示圆时k的取值是，当曲线表示焦点在y轴上的椭圆时k的取值范围是，当曲线表示双曲线时k的取值范围是．11．已知某几何体的三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．则该几何体的表面积是；体积是．12．已知实数x，y，实数a＞1，b＞1，且a x=b y=2，（1)若ab=4，则+=;(2）a2+b=8，则+的最大值是．13．已知向量，的夹角60°，｜|=2，|｜=2，=λ+μ，若λ+μ=2,则|｜的最小值是，此时，夹角大小为．14．已知f（x）=x2﹣3x+4，若f（x）的定义域和值域都是［a，b］，则a+b=．15．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，底面ABCD的对角线BD在平面α内,则正方体在平面α内的影射构成的图形面积的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2015-2016学年浙江省宁波市余姚中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A={x|x≥0}，且A∪B=B，则集合B可能是（）A．{1，2}B．{x|x≤1}C．{﹣1，0，1}D．R2．（5分）若sinα+cosα=tanα，（0＜α＜），则α∈（）A．（0，）B．（，） C．（，）D．（，）3．（5分）函数f1（x）=，f2（x）=，…，f n+1（x）=，…，则函数f2015（x）是（）A．奇函数但不是偶函数B．偶函数但不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数4．（5分）已知a，b是空间中两不同直线，α，β是空间中两不同平面，下列命题中正确的是（）A．若直线a∥b，b⊂α，则a∥αB．若平面α⊥β，a⊥α，则a∥βC．若平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b D．若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β5．（5分）给出下列结论：①命题“∀x∈R，sinx≠1”的否定是“∃x∈R，sinx=1”；②命题p：x≠2或y≠3，命题q：x+y≠5则p是q的必要不充分条件；③数列=3a n”是“数列{a n}为等比数列”的充分必要条件；④“在三角形ABC {a n}满足“a n+1中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题是真命题；⑤“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”．其中正确的是（）A．③④B．①②④⑤C．①③④⑤D．①②③④⑤6．（5分）在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②7．（5分）已知f（x）=|lnx|，设0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．D．8．（5分）已知向量与的夹角为θ，||=2，||=1，=t，=（1﹣t），||在t0时取得最小值．当0＜t0＜时，夹角θ的取值范围为（）A．（0，）B．（，） C．（，）D．（0，）二、填空题：本大题共7小题，共35分．9．（5分）已知直线l：mx﹣y=4，若直线l与直线x﹣（m+1）y=1垂直，则m 的值为；若直线l被圆C：x2+y2﹣2y﹣8=0截得的弦长为4，则m的值为．10．（5分）在等差数列{a n}中，若a4+a8=8，a7+a11=14，a k=18，则k=；数列{a n}的前n项和S n=．11．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是线段AA1的中点，M是平面BB1D1D内的点，则|AM|+|ME|的最小值是；若|ME|≤1，则点M在平面BB1D1D内形成的轨迹的面积等于．12．（5分）设不等式组所表示的平面区域为D，则区域D的面积为；若直线y=ax﹣1与区域D有公共点，则a的取值范围是．13．（5分）设点P（x，y）是曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0）上任意一点，其坐标（x，y）均满足+≤2，则a+b取值范围为．14．（5分）点P是双曲线上一点，F是右焦点，且△OPF为等腰直角三角形（O为坐标原点），则双曲线离心率的值是．15．（5分）已知实数x满足|x|≥2且x2+ax+b﹣2=0，则a2+b2的最小值为．三、解答题：本大题有5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（15分）已知向量，函数f（x）=图象的对称中心与对称轴之间的最小距离为．（1）求ω的值，并求函数f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间；（2）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f（A）=1，cosC=，a=5，求b．17．（15分）已知数列{a n}的首项为a（a≠0），前n项和为S n，且有S n+1=tS n+a （t≠0），b n=S n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）当t=1，a=2时，若对任意n∈N*，都有k（++…+）≤b n，求k的取值范围；（Ⅲ）当t ≠1时，若c n=2+b1+b2+…+b n，求能够使数列{c n}为等比数列的所有数对（a，t）．18．（15分）如图所示，PA⊥平面ABCD，△ABC为等边三角形，AP=AB，AC⊥CD，M为AC的中点．（Ⅰ）求证：BM∥平面PCD；（Ⅱ）若直线PD与平面PAC所成角的正切值为，求二面角A﹣PD﹣M的正切值．19．（15分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点Q是抛物线C上一点且Q的纵坐标为4，点Q到焦点F的距离为5．（Ⅰ）求抛物线方程；（Ⅱ）已知p＜8，过点M（5，﹣2）任作一条直线与抛物线C相交于点A，B，试问在抛物线C上是否存在点E，使得EA⊥EB总成立？若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．20．（15分）设函数f（x）=x2+px+q（p，q∈R）．（Ⅰ）若p=2，当x∈[﹣4，﹣2]时，f（x）≥0恒成立，求q的取值范围；（Ⅱ）若不等式|f（x）|＞2在区间[1，5]上无解，试求所有的实数对（p，q）．2015-2016学年浙江省宁波市余姚中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A={x|x≥0}，且A∪B=B，则集合B可能是（）A．{1，2}B．{x|x≤1}C．{﹣1，0，1}D．R【解答】解：根据题意，若A∪B=B，则A是B的子集，分析选项可得：对于A、集合A不是集合B的子集，对于B、集合A不是集合B的子集，对于C、集合A不是集合B的子集，对于D、若B=R，有A⊆B，则A∪B=B成立，故选：D．2．（5分）若sinα+cosα=tanα，（0＜α＜），则α∈（）A．（0，）B．（，） C．（，）D．（，）【解答】解：∵0＜α＜，∴＜α+＜，∴＜sin（α+）≤1，由题意知tanα=sinα+cosα=sin（α+）∈（1，]，又tan=＞，∴α∈（，）故选：C．3．（5分）函数f1（x）=，f2（x）=，…，f n+1（x）=，…，则函数f2015（x）是（）A．奇函数但不是偶函数B．偶函数但不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数【解答】解：f1（x）=，则f（x）是奇函数不是偶函数，f2（﹣x）==﹣=﹣f2（x），则f2（x）为奇函数不是偶函数，f3（﹣x）==﹣=﹣f3（x），则f3（x）为奇函数不是偶函数，…则由归纳推理可得函数f2015（x）为奇函数不是偶函数，故选：A．4．（5分）已知a，b是空间中两不同直线，α，β是空间中两不同平面，下列命题中正确的是（）A．若直线a∥b，b⊂α，则a∥αB．若平面α⊥β，a⊥α，则a∥βC．若平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b D．若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β【解答】解：若直线a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A不对；若平面α⊥β，a⊥α，则a∥β或a⊂β，故B不对；若平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b或a、b是异面直线，故C不对；根据垂直于同一条直线的两个平面平行，可得D正确，故选：D．5．（5分）给出下列结论：①命题“∀x∈R，sinx≠1”的否定是“∃x∈R，sinx=1”；②命题p：x≠2或y≠3，命题q：x+y≠5则p是q的必要不充分条件；③数列=3a n”是“数列{a n}为等比数列”的充分必要条件；④“在三角形ABC {a n}满足“a n+1中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题是真命题；⑤“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”．其中正确的是（）A．③④B．①②④⑤C．①③④⑤D．①②③④⑤【解答】解：①对任意命题的否定，应把任意改为存在一个，再把结论否定，故正确；②∵命题q：x+y≠5，命题p：x≠2或y≠3，∴命题￢q：x+y=5，命题￢p：x=2且y=3，∴￢p是￢q的充分不必要条件，∴q⇒p，即p是q的必要不充分条件，故正确；=3a n”可推出“数列{a n}为等比数列”，③数列{a n}满足“a n+1但“数列{a n}为等比数列”，不一定公比为3，故应是充分不必要条件，故错误；④“在三角形ABC中，根据大角对大边，A＞B，∴a＞b，由正弦定理知sinA＞sinB，故正确；⑤由否命题的定义可知正确．故选：B．6．（5分）在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②【解答】解：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②，故选：D．7．（5分）已知f（x）=|lnx|，设0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．D．【解答】解：∵f（x）=|lnx|=，画出图象：∵0＜a＜b且f（a）=f（b），∴0＜a＜1＜b，﹣lna=lnb，∴ln（ab）=0，∴ab=1．∴a+2b=a+的导数为1﹣，可得在0＜a＜1时递减，即有a+2b＞3，∴a+2b的取值范围是（3，+∞）．故选：B．8．（5分）已知向量与的夹角为θ，||=2，||=1，=t，=（1﹣t），||在t0时取得最小值．当0＜t0＜时，夹角θ的取值范围为（）A．（0，）B．（，） C．（，）D．（0，）【解答】解：由题意可得•=2×1×cosθ=2cosθ，=﹣═（1﹣t）﹣t，∴=（1﹣t）2+t2﹣2t（1﹣t）=（1﹣t）2+4t2﹣4t（1﹣t）cosθ=（5+4cosθ）t2+（﹣2﹣4cosθ）t+1，由二次函数知，当上式取最小值时，t0=，由题意可得0＜＜，求得﹣＜cosθ＜0，∴＜θ＜，故选：C．二、填空题：本大题共7小题，共35分．9．（5分）已知直线l：mx﹣y=4，若直线l与直线x﹣（m+1）y=1垂直，则m 的值为﹣；若直线l被圆C：x2+y2﹣2y﹣8=0截得的弦长为4，则m的值为±2．【解答】解：由直线垂直可得m+m+1=0，解得m=﹣；化圆C为标准方程可得x2+（y﹣1）2=9，∴圆心为（0，1），半径r=3，∵直线l被圆C：x2+y2﹣2y﹣8=0截得的弦长为4，∴圆心到直线l的距离d==，∴由点到直线的距离公式可得=，解得m=±2故答案为：﹣；±210．（5分）在等差数列{a n}中，若a4+a8=8，a7+a11=14，a k=18，则k=20；数列{a n}的前n项和S n=．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a4+a8=8，得2a6=8，∴a6=4，由a7+a11=14，得2a9=14，∴a9=7．则公差d=，由a k=a6+（k﹣6）d=4+k﹣6=18，得k=20；a1=a6﹣5d=4﹣5=﹣1，∴．故答案为：20；．11．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是线段AA1的中点，M是平面BB1D1D内的点，则|AM|+|ME|的最小值是；若|ME|≤1，则点M在平面BB1D1D内形成的轨迹的面积等于．【解答】解：连接AC交BD于N，连接MN，MC，则AC⊥BD，∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC，∴AC⊥平面BB1D1D，∴AC⊥MN，∴△AMN≌△CMN，∴MA=MC，连接EC，∴线段EC的长就是|AM|+|ME|的最小值．在Rt△EAC中，AC=，EA=，∴EC==．过E作平面BB1D1D的垂线，垂足为O，则EO=AN=AC=，令EM=1，则M的轨迹是以O为圆心，以OM为半径的圆，∴OM==，∴S=π•（）2=．故答案为，12．（5分）设不等式组所表示的平面区域为D，则区域D的面积为；若直线y=ax﹣1与区域D有公共点，则a的取值范围是[，+∞）．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则对应的区域为三角形ABC，其中A（0，2），B（0，4），由，解得，即C（，），则△ABC的面积S==，直线y=ax﹣1过定点E（0，﹣1），要使线y=ax﹣1与区域D有公共点，则满足C在直线的下方或通过点C，此时=a﹣1，解得a=．则满足a≥．，故答案为：13．（5分）设点P（x，y）是曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0）上任意一点，其坐标（x，y）均满足+≤2，则a+b取值范围为[2，+∞）．【解答】解：曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0），当x，y≥0时，化为ax+by=1；当x≥0，y≤0时，化为ax﹣by=1；当x≤0，y≥0时，化为﹣ax+by=1；当x≤0，y≤0时，化为﹣ax﹣by=1．画出图象：表示菱形ABCD．由+≤2，即+．设M（﹣1，0），N（1，0），则2|PM|≤2，|BD|≤2，∴，，解得b≥1，a≥1，∴a+b≥1+1=2．∴a+b取值范围为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．14．（5分）点P是双曲线上一点，F是右焦点，且△OPF为等腰直角三角形（O为坐标原点），则双曲线离心率的值是或．【解答】解：若|OF|=|PF|，则c=，∴ac=c2﹣a2，∴e2﹣e﹣1=0，∵e＞1，∴e=；若|OP|=|PF|=，则P（，）代入双曲线方程可得e4﹣3e2+1=0，∵e＞1，∴e=．故答案为：或．15．（5分）已知实数x满足|x|≥2且x2+ax+b﹣2=0，则a2+b2的最小值为．【解答】解：由于x2+ax+b﹣2=0，则xa+b+x2﹣2=0，∴点（a，b）在直线xa+b+x2﹣2=0上，则a2+b2的表示点（a，b）与（0，0）的距离的平方；∴（0，0）到直线xa+b+x2﹣2=0距离的平方为为，∴，令t=1+x2≥5，∴，令，t≥5，则y=t+﹣6（t≥5）为增函数，∴当t=5时有最小值；当且仅当x=±2取等号．故a2+b2的最小值为．故答案为：．三、解答题：本大题有5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（15分）已知向量，函数f（x）=图象的对称中心与对称轴之间的最小距离为．（1）求ω的值，并求函数f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间；（2）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f（A）=1，cosC=，a=5，求b．【解答】解：（1）；由于图象的对称中心与对称轴的最小距离为，所以；令，解得，k∈Z；又x∈[0，π]，所以所求单调增区间为；（2）或；∴A=kπ或，（k∈Z），又A∈（0，π）；故；∵；∴；由正弦定理得；∴．17．（15分）已知数列{a n}的首项为a（a≠0），前n项和为S n，且有S n+1=tS n+a（t≠0），b n=S n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）当t=1，a=2时，若对任意n∈N*，都有k（++…+）≤b n，求k的取值范围；（Ⅲ）当t ≠1时，若c n=2+b1+b2+…+b n，求能够使数列{c n}为等比数列的所有数对（a，t）．【解答】解：（Ⅰ）解：（Ⅰ）由题意知，首项为a，且S n+1=tS n+a（t≠0），当n=1时，则S2=tS1+a，解得a2=at，（2分）当n≥2时，S n=tS n﹣1+a，∴（S n+1﹣S n）=t（S n﹣S n﹣1），则a n+1=ta n，（4分）又a1=a≠0，综上有，即{a n}是首项为a，公比为t的等比数列，∴；（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得，=2，则S n=2n，∴b n=S n+1=2n+1，则==，∴=[（）+（）+]=（）=，代入不等式k（++…+）≤b n，化简得，k≤=3（4n+），∵函数y=在（，+∞）上单调递增，且n取正整数，∴当n=1时，函数y=取到最小值是15，∴k≤45；（10分）（Ⅲ）∵t≠1，∴S n=，则b n=S n+1=1+=1+﹣，∴c n=2+b1+b2+…+b n=2+（1+）n﹣（t+t2+…+t n）=2+（1+）n﹣×=++，由题设知{c n}为等比数列，所以有，解得，即满足条件的数对是（1，2）．（12分）18．（15分）如图所示，PA⊥平面ABCD，△ABC为等边三角形，AP=AB，AC⊥CD，M为AC的中点．（Ⅰ）求证：BM∥平面PCD；（Ⅱ）若直线PD与平面PAC所成角的正切值为，求二面角A﹣PD﹣M的正切值．【解答】（本题满分14分）（Ⅰ）证明：∵△ABC为等边三角形，M为AC的中点，∴BM⊥AC．又∵AC⊥CD，∴在平面ABCD中，有BM∥CD．…（3分）又∵CD⊂平面PCD，BM⊄平面PCD，∴BM∥平面PCD．…（5分）（Ⅱ）解：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC．∴直线PD与平面PAC所成角为∠DPC．…（7分）在．设AP=AB=a，则，∴，在Rt△ACD中，AD2=AC2+CD2=4a2，∴AD=2a．…（9分）∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．在Rt△ACD中，过M作MN⊥AD．又∵平面ABCD∩平面PAD=AD，MN⊂平面ABCD，∴MN⊥平面PAD．在平面PAD中，过N作NH⊥PD，连结MH，则PD⊥平面MNH．∴∠MHN为二面角A﹣PD﹣M的平面角．…（12分），∴，∴，∴，∴二面角A﹣PD﹣M的正切值为．…（14分）19．（15分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点Q是抛物线C上一点且Q的纵坐标为4，点Q到焦点F的距离为5．（Ⅰ）求抛物线方程；（Ⅱ）已知p＜8，过点M（5，﹣2）任作一条直线与抛物线C相交于点A，B，试问在抛物线C上是否存在点E，使得EA⊥EB总成立？若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意有Q（，4），则有|QF|==5，解得p=2或p=8，所以，抛物线方程为y2=4x或y2=16x．…（5分）（Ⅱ）∵p＜8，∴y2=4x．假设在抛物线C上存在点E，使得EA⊥EB总成立．设A（x1，y1），B（x2，y2），E（x0，y0），则有（x1﹣x0）（x2﹣x0）+（y1﹣y0）（y2﹣y0）=0，即+（y1﹣y0）（y2﹣y0）=0，又（y1﹣y0）（y2﹣y0）≠0，得（y1+y0）（y2+y0）+16=0，即，…①…（9分）设直线方程为x=m（y+2）+5，代入y2=4x中，有y2﹣4my﹣8m﹣20=0，从而y1+y2=4m，且y1y2=﹣8m﹣20，代入①中得：（4y0﹣8）m+﹣4=0对于m∈R恒成立，故4y0﹣8=0，且，解得y0=2，得E（1，2）．…（14分）若直线过点（1，2），结论显然成立所以，在抛物线C上存在点E（1，2），使得总成立．…（15分）20．（15分）设函数f（x）=x2+px+q（p，q∈R）．（Ⅰ）若p=2，当x∈[﹣4，﹣2]时，f（x）≥0恒成立，求q的取值范围；（Ⅱ）若不等式|f（x）|＞2在区间[1，5]上无解，试求所有的实数对（p，q）．【解答】解：（Ⅰ）p=2时，f（x）=x2+2x+q；∴x∈[﹣4，﹣2]时，x2+2x+q≥0恒成立，即q≥﹣x2﹣2x恒成立；函数﹣x2﹣2x的对称轴是x=﹣1，∴该函数在[﹣4，﹣2]上单调递增；∴x=﹣2时，﹣x2﹣2x取最大值0；∴q≥0；∴q的取值范围为[0，+∞）；（Ⅱ）若不等式|f（x）|＞2在区间[1，5]上无解，则必须满足：，即（1）；∴；①+②得：﹣7≤p≤﹣5，；∴函数f（x）的对称轴在区间[1，5]上；∴p，q还需满足f（）≥﹣2，即，即；∴该不等式结合（1）可得到p，q需满足的不等式组为：；解该不等式组可得p=﹣6，带入不等式组得q=7；∴满足条件的实数对（p，q）只有一对（﹣6，7）．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．yxo②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

浙江省宁波市余姚中学2017学年度第一学期高二期中考试英语试卷第一部分听力（共两节，满分30分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）1. What is the man going to do first?A. Buy a map.B. Go swimming.C. Go water-skiing.2. Why was the woman so late?A. Something went wrong with the bus.B. She took somebody to the hospital.C. She didn’t catch the bus.3. What can we learn about the man?A. He is a top student.B. He failed the math exam.C. He did better than expected.4. Where are the speakers?A. In a restaurant.B. In a bank.C. In a shop.5. How does the man feel about the environment?A. Surprised.B. Sad.C. Optimistic.第二节（共15小题；每小题1分，满分15分）听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有2至4个小题，从题中做给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听每段对话或独白前，你将有5秒钟的时间阅读各个小题；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

每段对话读两遍。

听第6段材料，回答第6、7题。

6. When does the next train to Manchester leave?A. At 12:30pm.B. At 12:00.C. At 2pm.7. How much is the single ticket for the train to Manchester?A. £30.50.B. £27.00.C. £13.50.听第7段材料，回答第8至9题。

浙江省余姚中学高二上学期期中试题（数学）实验班一、选择题（本题10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 ”可用于 （ ）A 、输出、赋值a=10 C 、判断a=10 D 、输入a=102、下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x 的是 （ ）A ．()f x =1xB. ()f x =2(1)x - C .()f x =xe D ()ln(1)f x x =+ 3、设,,a b c r r r为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a r 与b r 不共线，a r ⊥c r ，∣a r ∣=∣c r ∣,则∣b r •c r∣的值一定等于 （ ） A ． 以a r ，b r 为两边的三角形面积 B 以b r ，c r为两边的三角形面积C ．以a r ，b r 为邻边的平行四边形的面积D 以b r ，c r为邻边的平行四边形的面积4、如图，已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，,2PA ABC PA AB ⊥=平面，则下列结论正确的是 （ ） Ａ.PB AD ⊥ Ｂ.平面PAB PBC ⊥平面 C. 直线BC ∥平面PAE Ｄ.PD ABC ︒直线与平面所成的角为455、.已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有(1)(1)()xf x x f x +=+，则5(())2f f 的值是 （ ）A.0B.12C.1D.526、已知一组数据为0、40、50、60、60、70，则这组数据的众数、中位数、平均数的大小关系为（ ）A 、中位数 >平均数 >众数B 、众数 >中位数 >平均数C 、众数 >平均数 >中位数D 、平均数 >众数 >中位数7、某班有60名学生，学号为1~60号，现从中抽出5位学生参加一项活动，用系统抽样的方法确定的抽样号码可能为 ( )A ．5，10，15，5B ．5，12，31，39，57C ．5，15，25，35，45D ．5，17，29，41，53 8、如图，一只蚂蚁在边长分别为3，4，5的三角形区域内随机爬行， 则其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为（ ）A 、12π B 、1－3π C 、1－6π D 、1－12π 9.nn n n nnCC C C 1321393-++++Λ等于 （ ）开始 1i =n 整除a ?是 输入m n ，结束 a m i =⨯输出a i ，1i i =+14题否A ．n4 B 。

浙江省宁波市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分） (2018高三上·安徽月考) 命题“ ”的否定是________．2. （1分） (2018高三上·定州期末) 已知等差数列的前项和为，且，数列的前项和为，且对于任意的，则实数的取值范围为________．3. （1分） (2018高二上·鄂尔多斯月考) 抛物线的准线方程为 ________.4. （1分） (2016高二上·莆田期中) 命题“若a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆命题是________．5. （1分）已知点F1（﹣， 0），F2（， 0），动点P满足|PF2|﹣|PF1|=2，当点P的纵坐标为时，点P到坐标原点的距离为________6. （1分）(2017高一下·长春期末) 若等比数列{an}的各项均为正数，且a7a11+a8a10=2e4 ，lna1+lna2+lna3+…+lna17=________．7. （1分）(2017·黑龙江模拟) 已知条件p：log2（1﹣x）＜0，条件q：x＞a，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．8. （1分） (2017高二上·广东月考) 已知、分别是椭圆的左、右焦点，为直线上的点，是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为________．9. （1分）等比数列{an}的公比q=﹣， a6=1，则S6=________10. （1分） (2015高二上·安阳期末) 已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y），若点M到抛物线焦点的距离为3，则|OM|=________．11. （1分）已知点P是双曲线C：（a>1）上的动点，点M为圆O：x2+x2=1上的动点，且，若|PM|的最小值为，则双曲线C的离心率为________.12. （1分） (2017高一下·河北期末) 已知数列{an}满足a1=1，an+1= （n∈N*），若bn+1=（n﹣2λ）•（ +1）（n∈N*），b1=﹣λ，且数列{bn}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是________13. （1分）(2017·天津) 在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 =2 ，=λ ﹣（λ∈R），且 =﹣4，则λ的值为________．14. （1分）(2017·西宁模拟) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，且满足：a1=1，a2=2，Sn+1=an+2﹣an+1（n∈N*），则Sn=________．二、解答题 (共6题；共45分)15. （5分） (2017高三上·襄阳期中) 已知命题P：函数的定义域为R；命题q：∃x∈R，使不等式a＞e2x﹣ex成立；命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．16. （10分） (2018高一下·六安期末) 数列满足，，为其前项和.数列为等差数列，且满足， .（1）求数列，的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明： .17. （10分）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴的距离的差都是1．（1）求曲线C的方程；（2）若以F为圆心的圆与直线4x+3y+1=0相切，过点F任作直线l交曲线C于A，B两点，由点A，B分别向圆F引一条切线，切点分别为P，Q，记α=∠PAF，β=∠QBF，求证：sinα+sinβ是定值．18. （5分）数列{an}满足， n=1，2，3，…，{an}的前n项和记为Sn ．（Ⅰ）当a1=2时，a2等于多少（Ⅱ）数列{an}是否可能为等比数列？证明你的推断；19. （5分） (2016高二上·诸暨期中) 如图，已知圆G：x2﹣x+y2=0，经过抛物线y2=2px的焦点，过点（m，0）（m＜0）倾斜角为的直线l交抛物线于C，D两点．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若焦点F在以线段CD为直径的圆E的外部，求m的取值范围．20. （10分）函数的最大值为an ，最小值为bn ，且．（1）求函数{cn}的通项公式；（2）若数列{dn}的前n项和为Sn，且满足Sn+dn=1．设数列{cn•dn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜5．参考答案一、填空题 (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共45分)15-1、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、。

2015-2016学年浙江省宁波市余姚中学高二（上）开学数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知向量＝（2，1），＝（x，﹣2），若∥，则+等于（）A．（﹣3，1）B．（3，1）C．（2，1）D．（﹣2，﹣1）2．（5分）已知直线ax+y﹣1＝0与直线x+ay﹣1＝0互相垂直，则a＝（）A．1或﹣1B．1C．﹣1D．03．（5分）两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为（）A．akm B．akm C．2akm D．akm4．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若b sin A﹣a cos B＝0，且b2＝ac，则的值为（）A．B．C．2D．45．（5分）已知直线l：x cosα+y sinα＝2（α∈R），圆C：x2+y2+2x cosθ+2y sinθ＝0（θ∈R），则直线l与圆C的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．与α，θ有关6．（5分）正项等比数列{a n}中，存在两项a m、a n使得＝4a1，且a6＝a5+2a4，则的最小值是（）A．B．2C．D．7．（5分）若函数f（x）＝的值域为R，则m的取值范围是（）A．[0，4]B．（﹣∞，0）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，0]∪[4，+∞）8．（5分）已知三个正数a，b，c满足a≤b+c≤3a，3b2≤a（a+c）≤5b2，则的最小值是（）A．﹣B．﹣3C．0D．不存在二、填空题：本大题共7小题，前4题每空3分，后3题每空4分，36分．9．（6分）设集合P＝{x∈R|x2＜16}，M＝{x∈R|2x＜8}，S＝{x∈R|log5x＜1}，则P∪M＝；P∩S＝；∁R M＝．10．（6分）在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝1，BC＝，＝，则AC＝；AD＝．11．（6分）若实数x，y满足不等式组．若a＝4，则z＝2x+y的最大值为；若不等式组所表示的平面区域面积为4，则a＝．12．（6分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a4+a9＝24，则S9＝，•的最大值为．13．（4分）若实数x，y满足4x2+2x+y2+y＝0，则2x+y的范围是．14．（4分）已知点O是△ABC的外接圆圆心，且AB＝3，AC＝4．若存在非零实数x、y，使得＝x+y，且x+2y＝1，则cos∠BAC＝．15．（4分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．设平面向量＝（cos x，sin x），＝（cos x+2，sin x），＝（sinα，cosα），x∈R．（1）若，求cos（2x+2α）的值；（2）若α＝0，求函数f（x）＝的最大值，并求出相应的x值．17．已知等差数列{a n}的公差d≠0，它的前n项和为S n，若S5＝70，且a2，a7，a22成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，求证：≤T n＜．18．已知圆O1的方程为x2+（y+1）2＝6，圆O2的圆心坐标为（2，1）．若两圆相交于A，B两点，且|AB|＝4，求圆O2的方程．19．已知函数为奇函数，其中a为不等于1的常数；（1）求a的值；（2）若对任意的x∈[﹣1，1]，f（x）＞m恒成立，求m的范围．20．已知数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝（I）求证：数列{a2n﹣}是等比数列；（II）若S n是数列{a n}的前n项和，求满足S n＞0的所有正整数n．2015-2016学年浙江省宁波市余姚中学高二（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：向量＝（2，1），＝（x，﹣2），∥，可得﹣4＝x，+＝（﹣2，﹣1）．故选：D．2．【解答】解：∵直线ax+y﹣1＝0与直线x+ay﹣1＝0互相垂直，∴1×a+1×a＝0，即2a＝0，解得：a＝0．故选：D．3．【解答】解：根据题意，△ABC中，∠ACB＝180°﹣20°﹣40°＝120°，∵AC＝BC＝akm，∴由余弦定理，得cos120°＝，解之得AB＝akm，即灯塔A与灯塔B的距离为akm，故选：D．4．【解答】解：△ABC中，由b sin A﹣a•cos B＝0，利用正弦定理得sin B sin A﹣sin A cos B＝0，∴tan B＝，故B＝．由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2ac•cos B＝a2+c2﹣ac，即b2＝（a+c）2﹣3ac，又b2＝ac，所以4b2＝（a+c）2，求得＝2，故选：C．5．【解答】解：圆C：x2+y2+2x cosθ+2y sinθ＝0（θ∈R），即（x+cosθ）2+（y+sinθ）2＝1，圆心C（﹣cosθ，﹣sinθ），半径为r＝1．圆心C到直线l：x cosα+y cosα＝2的距离为d＝＝2+cos （θ﹣α），当cos（θ﹣α）＝﹣1时，d＝r，直线和圆相切；当cos（θ﹣α）＞﹣1时，d＞r，直线和圆相离，故选：D．6．【解答】解：在等比数列中，∵a6＝a5+2a4，∴，即q2﹣q﹣2＝0，解得q＝2或q＝﹣1（舍去），∵＝4a 1，∴，即2m+n﹣2＝16＝24，∴m+n﹣2＝4，即m+n＝6，∴，∴＝（）＝，当且仅当，即n＝2m时取等号．故选：A．7．【解答】解：①当m＝0时，成立；②当m≠0时，原式可化为myx2+（my﹣1）x+y＝0，由△＝（my﹣1）2﹣4my×y≥0对任意y都成立，得（m2﹣4m）y2﹣2my+1≥0对任意y都成立，则或．解得：m≤0．故选：C．8．【解答】解：不等式a≤b+c≤3a，3b2≤a（a+c）≤5b2，等价为1≤+≤3，3（）2≤1+≤5（）2，设＝x，＝y，则不等式等价为，即，则＝﹣2•＝x﹣2y，设z＝x﹣2y，作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝x﹣2y得y＝x﹣z，平移直线y＝x﹣z，由图象可知当直线y＝x﹣z，过点A时，直线y＝x﹣z的截距最大，此时z最小，由，解得x＝，y＝，代入目标函数z＝x﹣2y，得z＝﹣∴目标函数z＝x﹣2y的最小值是﹣，故选：A．二、填空题：本大题共7小题，前4题每空3分，后3题每空4分，36分．9．【解答】解：∵P＝{x∈R|x2＜16}＝{x|﹣4＜x＜4}，M＝{x∈R|2x＜8}＝{x|x＜3}，S＝{x∈R|log5x＜1}＝{x|0＜x＜5}，则P∪M＝{x|x＜4}，P∩S＝{x|0＜x＜4}，∁R M＝{x|x≥3}，故答案为：{x|x＜4}，{x|0＜x＜4}，{x|x≥3}10．【解答】解：由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴，化为b2+b﹣12＝0，解得b＝3．cos B＝＝＝．∵＝，∴＝．在△AB中，由余弦定理可得：AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD cos B＝1+﹣＝，解得AD＝．故答案分别为：3；．11．【解答】解：当a＝4时，作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点C时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即C（3，1），代入目标函数z＝2x+y得z＝2×3+1＝7．即目标函数z＝2x+y的最大值为7．作出不等式组对应的平面区域，由，解得，即A（1，1），若不等式组构成平面区域，则必有点A在直线x+y＝a的下方，即满足不等式x+y＜a，即a＞1+1＝2，由，解得，即C（a﹣1，1），由，解得，即B（，），则三角形的面积S＝（a﹣1﹣1）×（﹣1）＝（a﹣2）2＝4，即（a﹣2）2＝16，即a﹣2＝4或a﹣2＝﹣4，解得a＝6或a＝﹣2（舍），故答案为：7，612．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a2+a4+a9＝24，得3a1+12d＝24，即a1+4d＝8，a5＝8．∴S9＝9a5＝9×8＝72；•＝＝＝＝．故答案为：72；64．13．【解答】解：把已知式子配方可得（2x+）2+（y+）2＝，∴，∴，∴2x+y＝cosθ﹣+sinθ﹣＝sin（θ+）﹣1，∵﹣1≤sin（θ+）≤1，∴﹣2≤sin（θ+）﹣1≤0，∴2x+y的范围为：[﹣2，0]，故答案为：[﹣2，0]．14．【解答】解：如图所示，∵＝x+y，且x+2y＝1，∴﹣＝y（﹣2），∴＝y（+），取AC的中点D，则+＝2，∴＝2y，又点O是△ABC的外心，∴BD⊥AC．在Rt△BAD中，cos∠BAC＝．故答案为：，15．【解答】解：当x≥0时，f（x）＝（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2）．∴当0≤x≤a2时，f（x）＝[﹣x+a2 ﹣（x﹣2a2）﹣3a2]＝﹣x；当a2＜x≤2a2时，f（x）＝﹣a2；当x＞2a2时，f（x）＝x﹣3a2．由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，即可画出f（x）在R上的图象，如图所示：当x＞0时，f（x）的最小值为﹣a2，当x＜0时，f（x）的最大值为a2，由于∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），故函数f（x﹣1）的图象不能在函数f（x）的图象的上方，结合（图二）可得1﹣3a2 ≥3a2，即6a2≤1，求得﹣≤a≤，故答案为：[﹣，]．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．【解答】解：（1）若，则•＝0，∴cos x sinα+sin x cosα＝0，∴sin（x+α）＝0，∴cos（2x+2α）＝1﹣2sin2（x+α）＝1．（2）若α＝0，＝（0，1），则f（x）＝＝（cos x，sin x）•（cos x+2，sin x﹣2）＝cos x（cos x+2）+sin x （sin x﹣2）＝1﹣2sin x+2cos x＝1+4sin（x+），所以，f（x）max＝5，x＝2kπ﹣（k∈Z）．17．【解答】解：（1）由题意得，解得a1＝6，d＝4，∴a n＝6+（n﹣1）×4＝4n+2．（2）∵a1＝6，d＝4，∴S n＝6n+＝2n2+4n，＝＝，∴T n＝＝＝﹣＜，（T n）min＝T1＝﹣＝．故≤T n＜．18．【解答】解：设圆O2的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝r2（r＞0），∵圆O1的方程为x2+（y+1）2＝6，即圆O1的圆心坐标为（0，﹣1），∴直线AB的方程为4x+4y+r2﹣10＝0，∴圆心O1到直线AB的距离d＝＝，∵|AB|＝4，即|AB|＝2，由垂径定理及勾股定理得：d2+22＝6，解得：d2＝2，∴r2﹣14＝±8，解得：r2＝6或22，则圆O2的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝6或（x﹣2）2+（y﹣1）2＝22．19．【解答】解：（1）∵为奇函数∴f（﹣x）＝﹣f（x），即即对x∈[﹣1，1]恒成立；所以（5+ax）（5﹣ax）＝（5+x）（5﹣x）∴a＝±1，因为a为不等于1的常数，所以a＝﹣1（2）∵设，则f（t）＝log2t，因为在[﹣1，1]上递减所以，又因为f（t）＝log2t，在上是增函数，所以因为对任意的x∈[﹣1，1]，f（x）＞m恒成立，所以f（x）min＞m所以20．【解答】（Ⅰ）证明：设b n＝a2n﹣，则＝（）﹣＝﹣，＝＝＝＝，∴数列{}是以﹣为首项，为公比的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得b n＝a2n﹣＝﹣•（）n﹣1＝﹣•（）n，∴+，由a2n＝+（2n﹣1），得a2n﹣1＝3a2n﹣（2n﹣1）＝﹣•（）n﹣1﹣6n+，∴a2n﹣1+a2n＝﹣[（）n﹣1+（）n]﹣6n+9＝﹣2•（）n﹣6n+9，S2n＝（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1+a2n）＝﹣2[]﹣6（1+2+3+…+n）+9n＝＝（）n﹣3（n﹣1）2+2．由题意得n∈N*时，{S2n}单调递减，又当n＝1时，S2＝＞0，当n＝2时，S4＝﹣＜0，∴当n≥2时，S2n＜0，S2n﹣1＝S2n﹣a2n＝﹣，故当且仅当n＝1时，S2n+1＞0，综上所述，满足S n＞0的所有正整数n为1和2．。

浙江省宁波市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设满足约束条件 ,则的最大值为（）A . 7B . 6C . 5D . 32. （2分） (2018高二上·黑龙江期末) 已知空间向量，，若与垂直，则等于（）A .B .C .D .3. （2分）有下列四个命题：①函数的值域是；②平面内的动点P到点和到直线的距离相等，则P的轨迹是抛物线；③直线与平面相交于点B，且与内相交于点C的三条互不重合的直线所成的角相等，则；④若，则其中正确的命题的编号是（）A . ①③B . ②④C . ②③D . ③④4. （2分） (2016高二上·陕西期中) 在y=2x2上有一点P，它到A（1，3）的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是（）A . （﹣2，1）B . （1，2）C . （2，1）D . （﹣1，2）5. （2分） (2016高二上·陕西期中) 下列命题正确的是（）A . 已知实数a，b，则“a＞b”是“a2＞b2”的必要不充分条件B . “存在x0∈R，使得”的否定是“对任意x∈R，均有x2﹣1＞0”C . 函数的零点在区间内D . 设m，n是两条直线，α，β是空间中两个平面，若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β6. （2分） (2016高一下·抚顺期末) 点M（3，﹣2，1）关于面yoz对称的点的坐标是（）A . （﹣3，﹣2，1）B . （﹣3，2，﹣1）C . （﹣3，2，1）D . （﹣3，﹣2，﹣1）7. （2分） (2016高二上·南城期中) 若 =（2x，1，3）， =（1，﹣2y，9），如果与为共线向量，则（）A . x=1，y=1B . x= ，y=﹣C . x= ，y=﹣D . x=﹣，y=8. （2分）在空间坐标中，点B是A（1，2，3）在yOz坐标平面内的射影，O为坐标原点，则|OB|等于（）A .B .C . 2D .9. （2分） (2016高二上·陕西期中) 已知向量，，且与互相垂直，则k=（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高二上·陕西期中) 两个正数a，b的等差中项是，一个等比中项是，且a＞b，则抛物线y2= 的焦点坐标是（）A . （）B .C .D .11. （2分） (2016高二上·陕西期中) 已知条件p：k= ；条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则￢p是￢q的（）A . 充分必要条件B . 必要不充分条件C . 充分不必要条件D . 既不充分也不必要条件12. （2分） (2016高二上·陕西期中) 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1 ，若，则x+y+z的值为（）A . 3B . 1C . ﹣1D . ﹣3二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） f（x）=4x2﹣mx+5在区间[﹣2，+∞）上是增函数，求m的范围________．14. （1分） (2019高二上·集宁期中) 体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数.如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，则队伍里一共有________人.15. （1分） (2016高二上·青岛期中) 若直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）经过圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心，则的最小值是________．16. （2分） (2020高二下·宁波期中) 设曲线在点处的切线与曲线上点p 处的切线垂直，则直线的方程为________，的坐标为________.三、解答题． (共8题；共57分)17. （10分） (2015高一下·衡水开学考) 已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M．（1）若点P运动到（1，3）处，求此时切线l的方程；（2）求满足条件|PM|=|PO|的点P的轨迹方程．18. （10分）已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为，右焦点为F（c，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与直线x=2交于点A，与直线x=﹣2交于点B，且• =0，判断并证明直线l与椭圆有多少个交点．19. （10分） (2019高二上·辽宁月考) 设 , 分别是椭圆E： + =1（0﹤b﹤1）的左、右焦点，过的直线与E相交于A、B两点，且，，成等差数列。

2016-2017学年浙江省宁波市余姚中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离是10，则P点的坐标是（）A．（9，6） B．（6，9） C．（±6，9）D．（9，±6）2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中为真命题的是（）①；②；③；④．A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④3．如图，直线PA垂直于圆O所在的平面，△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，点M为线段PB的中点．现有以下命题：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中真命题的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．04．与椭圆+y2=1共焦点且过点P（2，1）的双曲线方程是（））A．B．C．D．5．若二面角α﹣L﹣β的大小为，此二面角的张口内有一点P到α、β的距离分别为1和2，则P点到棱l的距离是（）A．B．2 C．2 D．26．设圆（x+1）2+y2=25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为（）A．B．C．D．7．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2渐近线分别为l1，l2，位于第一象限的点P在l1上，若l2⊥PF1，l2∥PF2，则双曲线的离心率是（）A．B．C．2 D．8．一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为（）A．2 B．3 C．1 D．二、填空题（本题共7小题，共36分，将答案填在答题纸上）9．双曲线的焦距是10，则实数m的值为，其双曲线渐进线方程为．10．已知一个正三棱锥的正视图为等腰直角三角形，其尺寸如图所示，则此正三棱锥的体积，其侧视图的周长为．11．抛物线y=ax2的焦点为F（0，1），P为该抛物线上的动点，则a=；线段FP中点M的轨迹方程为．12．过点M（1，1）作斜率为的直线与椭圆C：相交于A，B，则直线AB的方程；若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为．13．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过F1的直线l交C于A、B两点，且△ABF2的周长是16，求椭圆C 的方程．14．在三棱锥P﹣ABC中，PA垂直于底面ABC，∠ACB=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，若PA=AB=2，∠BPC=θ，则当△AEF的面积最大时，tanθ的值为．15．如图，F1，F2是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点B、A两点，若△ABF2为等边三角形，则该双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面四边形ABCD为菱形，AB=2，BD=2，M，N分别是线段PA，PC的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD；（Ⅱ）求异面直线MN与BC所成角的大小．17．已知抛物线x2=2py（p＞0）与直线2x﹣y+1=0交于A，B两点，，点M在抛物线上，MA⊥MB．（1）求p的值；（2）求点M的横坐标．18．如图，已知离心率为的椭圆过点M（2，1），O 为坐标原点，平行于OM的直线i交椭圆C于不同的两点A、B．（1）求椭圆C的方程；（2）记直线MB、MA与x轴的交点分别为P、Q，若MP斜率为k1，MQ斜率为k2，求k1+k2．19．如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC；（Ⅱ）求点A到平面PBD的距离；（Ⅲ）求二面角A﹣PB﹣D的余弦值．20．设椭圆C：的离心率e=，左顶点M到直线=1的距离d=，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求△AOB的面积S的最小值．2016-2017学年浙江省宁波市余姚中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离是10，则P点的坐标是（）A．（9，6） B．（6，9） C．（±6，9）D．（9，±6）【考点】抛物线的定义．【分析】先求出抛物线的准线，再由P到焦点的距离等于其到准线的距离，从而可确定P的横坐标，代入抛物线方程可确定纵坐标，从而可确定答案．【解答】解：∵抛物线y2=4x的准线为：x=﹣1抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离是10，∴P到x=﹣1的距离等于10设P（x，y）∴x=9代入到抛物线中得到y=±6故选D．2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中为真命题的是（）①；②；③；④．A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④【考点】四种命题的真假关系；平面与平面垂直的性质．【分析】准确把握立体几何中定理公理的条件．【解答】解：①为假命题，因为由线面垂直的判定定理，要得m⊥α，需要m垂直α内的两条相交直线，只有m⊥n，不成立．排除A、D，②为面面垂直的判定定理，正确．故选B．④中，m∥n或m与n异面．故选B．3．如图，直线PA垂直于圆O所在的平面，△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，点M为线段PB的中点．现有以下命题：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中真命题的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．【分析】对于①，先根据线面垂直的判定定理证明BC⊥面PAC，然后根据线面垂直的判定定理得到结论；对于②，根据线面平行的判定定理进行判定即可；对于③，根据点到面的距离的定义进行判定即可．【解答】解：∵PA⊥圆O所在的平面，BC⊂圆O所在的平面∴PA⊥BC而BC⊥AC，PA∩AC=A∴BC⊥面PAC，而PC⊂面PAC∴BC⊥PC，故①正确；∵点M为线段PB的中点，点O为AB的中点∴OM∥PA，而OM⊄面PAC，PA⊄面PAC∴OM∥平面APC，故②正确；∵BC⊥面PAC∴点B到平面PAC的距离等于线段BC的长，故③正确故选A4．与椭圆+y2=1共焦点且过点P（2，1）的双曲线方程是（））A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的标准方程．【分析】先根据椭圆的标准方程，求得焦点坐标，进而求得双曲线离心率，根据点P 在双曲线上，根据定义求出a ，从而求出b ，则双曲线方程可得． 【解答】解：由题设知：焦点为a=，c=，b=1∴与椭圆共焦点且过点P （2，1）的双曲线方程是故选B ．5．若二面角α﹣L ﹣β的大小为，此二面角的张口内有一点P 到α、β的距离分别为1和2，则P 点到棱l 的距离是（ ）A ．B ．2C ．2D ．2【考点】二面角的平面角及求法．【分析】设过P ，C ，D 的平面与l 交于Q 点，可以证出l ⊥面PCQD 于Q ，∠DQC 是二面角α﹣l ﹣β的平面角，PQ 是P 到l 的距离．且PQ 是△PDC 的外接圆的直径，在△PCD 中利用余弦定理求出CD ，最后根据正弦定理可求出PQ ，从而求出点P 到直线l 的距离．【解答】解：设过P ，C ，D 的平面与l 交于Q 点． 由于PC ⊥平面α，l ⊂平面M ，则PC ⊥l ， 同理，有PD ⊥l ，∵PC ∩PD=P ， ∴l ⊥面PCQD 于Q ．又 DQ ，CQ ，PQ ⊂平面PCQD ∴DQ ⊥l ，CQ ⊥l ．∴∠DQC 是二面角α﹣l ﹣β的平面角． ∴∠DQC=60°且PQ ⊥l ，所以PQ 是P 到l 的距离．在平面图形PCQD中，有∠PDQ=∠PCQ=90°∴P、C、Q、D四点共圆，也为△PDC的外接圆，且PQ是此圆的直径．在△PCD中，∵PC=1，PD=2，∠CPD=180°﹣60°=120°，由余弦定理得CD2=1+4﹣2×1×2×（﹣）=7，CD=在△PDC 中，根据正弦定理=2R=PQ，代入数据得出PQ=．∴点P到直线l的距离为故选：A．6．设圆（x+1）2+y2=25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为（）A．B．C．D．【考点】圆锥曲线的轨迹问题．【分析】根据线段中垂线的性质可得，|MA|=|MQ|，又|MQ|+|MC|=半径5，故有|MC|+|MA|=5＞|AC|，根据椭圆的定义判断轨迹椭圆，求出a、b值，即得椭圆的标准方程．【解答】解：由圆的方程可知，圆心C（﹣1，0），半径等于5，设点M的坐标为（x，y ），∵AQ的垂直平分线交CQ于M，∴|MA|=|MQ|．又|MQ|+|MC|=半径5，∴|MC|+|MA|=5＞|AC|．依据椭圆的定义可得，点M的轨迹是以A、C 为焦点的椭圆，且2a=5，c=1，∴b=，故椭圆方程为=1，即．故选D．7．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2渐近线分别为l1，l2，位于第一象限的点P在l1上，若l2⊥PF1，l2∥PF2，则双曲线的离心率是（）A．B．C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1，l2，点P在第一象限内且在l1上，知F1（﹣c，0）F2（c，0）P（x，y），由渐近线l1的直线方程为y=x，渐近线l2的直线方程为y=﹣x，l2∥PF2，知ay=bc﹣bx，由ay=bx，知P（，），由此能求出离心率．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1，l2，点P在第一象限内且在l1上，∴F1（﹣c，0）F2（c，0）P（x，y），渐近线l1的直线方程为y=x，渐近线l2的直线方程为y=﹣x，∵l2∥PF2，∴，即ay=bc﹣bx，∵点P在l1上即ay=bx，∴bx=bc ﹣bx 即x=，∴P （，），∵l 2⊥PF 1，∴，即3a 2=b 2，∵a 2+b 2=c 2， ∴4a 2=c 2，即c=2a ，∴离心率e==2． 故选C ．8．一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．1D ．【考点】棱柱的结构特征．【分析】在一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒内任意转动，说明正方体在正四面体的内切球内，求出内切球的直径，就是正方体的对角线的长，然后求出正方体的棱长．【解答】解：设球的半径为：r ，由正四面体的体积得：4××r ××62=××62×，所以r=，设正方体的最大棱长为a ，∴3a 2=（）2，∴a=．故选D ．二、填空题（本题共7小题，共36分，将答案填在答题纸上）9．双曲线的焦距是10，则实数m 的值为 16 ，其双曲线渐进线方程为y=±x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】通过双曲线的基本性质，直接求出a，b，c，然后求出m即可，再求出渐近线方程．【解答】解：双曲线的焦距是10，则a=3，c=5，则m=c2﹣a2=25﹣9=16则渐近线方程为y=±x故答案为：16，y=±x10．已知一个正三棱锥的正视图为等腰直角三角形，其尺寸如图所示，则此正三棱锥的体积9，其侧视图的周长为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三棱锥的正视图的数据，推出正三棱锥的底面边长，三棱锥的高，然后求出三棱锥的斜高，侧棱长，底面上的高，即可求出此正三棱锥的体积、侧视图的周长．【解答】解：三棱锥的正视图的数据，可知正三棱锥的底面边长为6，三棱锥的高为3，所以三棱锥的底面上的高为=3，斜高为=2，侧棱长为=，所以正三棱锥的体积为=9侧视图的周长为3+2+=．故答案为9；．11．抛物线y=ax 2的焦点为F （0，1），P 为该抛物线上的动点，则a= ；线段FP 中点M 的轨迹方程为 x 2﹣2y +1=0 ． 【考点】圆锥曲线的轨迹问题．【分析】由题意可得可得2p==4，由此求得a 的值；设M （x ，y ），P （m ，n ），则m=2x ，n=2y ﹣1，利用P 为抛物线上的动点，代入抛物线方程，即可得出结论．【解答】解：抛物线y=ax 2即x 2=y ，根据它的焦点为F （0，1）可得2p==4，∴a=，设M （x ，y ），P （m ，n ），则m=2x ，n=2y ﹣1， ∵P 为抛物线上的动点， ∴2y ﹣1=×4x 2，即x 2﹣2y +1=0故答案为：；x 2﹣2y +1=0．12．过点M （1，1）作斜率为的直线与椭圆C ：相交于A ，B ，则直线AB 的方程 x +2y ﹣3=0 ；若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由直线的点斜式方程：y ﹣1=﹣（x ﹣1），整理得：x +2y ﹣3=0，由①，②，利用中点坐标公式及作差法，即可求得a 与b 的关系，则c==b ，e===．【解答】解：由题意可知：直线的点斜式方程：y ﹣1=﹣（x ﹣1）， 整理得：x +2y ﹣3=0，解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则①，②，∵M 是线段AB 的中点，∴=1，=1，由=﹣∵①②两式相减可得+=0，即+（﹣）=0，整理得：a=b ，c==b∴e===．椭圆C 的离心率．故答案为：x +2y ﹣3=0，．13．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为，过F 1的直线l 交C 于A 、B 两点，且△ABF 2的周长是16，求椭圆C的方程．【考点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【分析】画出图形，结合图形以及椭圆的定义与性质，求出a 、b 的值，即可写出椭圆的方程．【解答】解：如图所示，设椭圆的长轴是2a，短轴是2b，焦距是2c；则离心率e==，∴4a=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=16；∴a=4，∴c=×4=2，∴b2=a2﹣c2=42﹣=8；∴椭圆的方程是．14．在三棱锥P﹣ABC中，PA垂直于底面ABC，∠ACB=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，若PA=AB=2，∠BPC=θ，则当△AEF的面积最大时，tanθ的值为．【考点】解三角形的实际应用．【分析】等腰Rt△PAB中，算出AE=PE=BE═PB=．由线面垂直的判定与性质，证出PB⊥面AEF，得PB⊥EF．在Rt△PEF中算出EF=tanθ，在Rt△AEF中，算出AF=，可得S，利用二次函数的图象与性质，即可得出当且仅△AEF有最大值，可得答案．当tanθ=时S△AEF【解答】解：在Rt△PAB中，PA=AB=2，∴PB=2，∵AE⊥PB，∴AE=PB=，∴PE=BE=．∵PA⊥底面ABC，得PA⊥BC，AC⊥BC，PA∩AC=A∴BC⊥平面PAC，可得AF⊥BC∵AF⊥PC，BC∩PC=C，∴AF⊥平面PBC∵PB⊂平面PBC，∴AF⊥PB∵AE⊥PB且AE∩AF=A，∴PB⊥面AEF，结合EF⊂平面AEF，可得PB⊥EF．Rt△PEF中，∠EPF=θ，可得EF=PE•tanθ=tanθ，∵AF⊥平面PBC，EF⊂平面PBC．∴AF⊥EF．∴Rt△AEF中，AF==，=AF•EF=×tanθ×=∴S△AEF∴当tan2θ=，即tanθ=时，S△AEF有最大值为．故答案为：．15．如图，F1，F2是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点B、A两点，若△ABF2为等边三角形，则该双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的定义，可得F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，再在△F1BF2中应用余弦定理得，a，c的关系，由离心率公式，计算即可得到所求．【解答】解：因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB=BF2=AF2=m，A为双曲线上一点，F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，B为双曲线上一点，则BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，由，则，在△F1BF2中应用余弦定理得：4c2=4a2+16a2﹣2•2a•4a•cos120°，得c2=7a2，则．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面四边形ABCD为菱形，AB=2，BD=2，M，N分别是线段PA，PC的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD；（Ⅱ）求异面直线MN与BC所成角的大小．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连结AC，交BD于点O，由已知得MN∥AC，由此能证明MN∥平面ABCD．（Ⅱ）由已知得∠ACB是异面直线MN与BC所成的角或其补角，由此能求出异面直线MN与BC所成的角．【解答】（Ⅰ）证明：连结AC，交BD于点O，∵M，N分别是PA，PC的中点，∴MN∥AC，∵MN⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴MN∥平面ABCD．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知∠ACB是异面直线MN与BC所成的角或其补角，∵四边形ABCD是菱形，AB=2，BO=，∴∠OCB=60°，∴异面直线MN与BC所成的角为60°．17．已知抛物线x2=2py（p＞0）与直线2x﹣y+1=0交于A，B两点，，点M在抛物线上，MA⊥MB．（1）求p的值；（2）求点M的横坐标．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系得到A，B两点横坐标的和与积，由弦长公式求得p的值；（2）由（1）求出A，B的坐标，设出M的坐标，利用MA⊥MB得，代入根与系数的关系求得答案．【解答】解：（1）将y=2x+1代入x2=2py，得x2﹣4px﹣2p=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4p，x1x2=﹣2p，由及p＞0，得p=1．（2）由（1）得设点，，，由MA⊥MB得，即，，，∴（x1+x0）（x2+x0）+4=0，∴．18．如图，已知离心率为的椭圆过点M（2，1），O 为坐标原点，平行于OM的直线i交椭圆C于不同的两点A、B．（1）求椭圆C的方程；（2）记直线MB、MA与x轴的交点分别为P、Q，若MP斜率为k1，MQ斜率为k2，求k1+k2．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由给出的椭圆的离心率、椭圆过定点M（2，1）及隐含条件a2=b2+c2列方程组可求a2，b2，则椭圆方程可求；（2）设出直线l的方程，设出A，B两点的坐标，把直线和椭圆联立后可求A，B两点的横坐标的和与积，把直线MA，MB的斜率k1、k2分别用A，B两点的坐标表示，把纵坐标转化为横坐标后，则k1+k2仅含A，B两点的横坐标的和与积，化简整理即可得到结论．【解答】解：（1）设椭圆C的方程为：．由题意得：，把①代入②得：a2=4b2④．联立③④得：a2=8，b2=2．∴椭圆方程为．（2）∵M（2，1），∴k OM=又∵直线l∥OM，可设l：y=x+m，将式子代入椭圆C得：x2+4（x+m）2﹣8=0，整理得：x2+2mx+2m2﹣4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣4．设直线MA、MB的斜率分别为k1、k2，则k1=，k2=．事实上，k1+k2=+==1+m（+）=1+m•=1+m•=1﹣=0．k1+k2的值为0．19．如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC；（Ⅱ）求点A到平面PBD的距离；（Ⅲ）求二面角A﹣PB﹣D的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．【分析】（Ⅰ）先证明AC⊥BD，再利用向量的方法证明DB⊥AP，从而可得DB ⊥平面PAC，利用面面垂直的判定可得面PBD⊥平面PAC；（Ⅱ）求出平面PDB的法向量为，，从而可求点A到平面PBD的距离；（Ⅲ）求出平面ABP的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角A﹣PB﹣D的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：设AC与BD交于O点∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD以OA、OB所在直线分别x轴，y轴．以过O且垂直平面ABCD的直线为z轴，建立如图的空间直角坐标系，则∵…∴∴DB⊥AP∵AC⊥BD，AC∩AP=A∴DB⊥平面PAC，又DB⊂平面PDB∴平面PBD⊥平面PAC…（Ⅱ）解：设平面PDB的法向量为，由，∴令z1=1得…∵∴点A到平面PBD的距离=…（Ⅲ）解：设平面ABP的法向量，∵，∴∴…∴…∴二面角A﹣PB﹣D的余弦值为…20．设椭圆C：的离心率e=，左顶点M到直线=1的距离d=，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求△AOB的面积S的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由已知得，又a2=b2+c2，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB的斜率不存在时，x1x2+y1y2=0，点O到直线AB的距离为．当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y=kx+m，联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由此利用韦达定理结合已知条件推导出点O到直线AB的距离为，由此能证明点O到直线AB的距离为定值．（3）设直线OA的斜率为k0，OA的方程为y=k0x，OB的方程为y=﹣，联立，得，同理，得，由此能求出△AOB的面积S的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，又a2=b2+c2，解得a=2，b=1，c=，∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），①当直线AB的斜率不存在时，则由椭圆的对称性知x1=x2，y1=﹣y2，∵以AB为直线的圆经过坐标原点，∴=0，∴x1x2+y1y2=0，∴，又点A在椭圆C上，∴=1，解得|x1|=|y1|=．此时点O到直线AB的距离．（2）当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y=kx+m，联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，∴，，∵以AB为直径的圆过坐标原点O，∴OA⊥OB，∴=x1x2+y1y2=0，∴（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，∴（1+k2）•，整理，得5m2=4（k2+1），∴点O到直线AB的距离=，综上所述，点O到直线AB的距离为定值．（3）设直线OA的斜率为k0，当k0≠0时，OA的方程为y=k0x，OB的方程为y=﹣，联立，得，同理，得，∴△AOB的面积S==2，令1+=t，t＞1，则S=2=2，令g（t）=﹣++4=﹣9（）2+，（t＞1）∴4＜g（t），∴，当k0=0时，解得S=1，∴，∴S的最小值为．2017年1月18日。

2016浙江宁波中学高二上学期期中考试试卷(数学)2016浙江宁波中学高二上学期期中考试试卷（数学）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是( )A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm22．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为( )A．B．C．D．3．设a，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是直线，给出下列命题①若a⊥β，β⊥γ，则a⊥γ；②若a∥β，m⊂β，m∥a，则m∥β；③若m，n在γ内的射影互相垂直，则m⊥n；④若m∥a，n∥β，a⊥β则m⊥n．其中正确命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．34．如图在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，CD=2cm，则这个二面角的度数为( )A．30°B．60°C．90°D．120°5．三棱锥O﹣ABC中，OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，若OA=OB=a，OC=b，D是该三棱锥外部（不含表面）的一点，则下列命题正确的是( )①存在无数个点D，使OD⊥面ABC；②存在唯一点D，使四面体ABCD为正三棱锥；③存在无数个点D，使OD=AD=BD=CD；④存在唯一点D，使四面体ABCD有三个面为直角三角形．A．①③B．①④C．①③④D．①②④12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，P为BC中点，Q为线段CC1上动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S．当CQ=时，S的面积为__________；若S为五边形，则此时CQ取值范围__________．13．已知某几何体的三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体的体积为__________．14．两条异面直线a，b所成角为60°，则过一定点P，与直线a，b都成60°角的直线有__________条．15．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是__________．三.解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（14分）如图，在七面体ABCDMN中，四边形ABCD是边长为2的正方形，MD ⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=2，NB=1，MB与ND交于P点，点Q在AB 上，且BQ=．（I）求证：QP∥平面AMD；（Ⅱ）求七面体ABCDMN的体积．17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，BD=，PD ⊥底面ABCD．（1）证明：平面PBC⊥平面PBD；（2）若二面角P﹣BC﹣D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在线段AD上，AG=GD，BG⊥GC，BG=GC=2，E是BC的中点，四面体P﹣BCG的体积为．（1）求异面直线GE与PC所成角的余弦值；（2）棱PC上是否存在一点F，使DF⊥GC，若存在，求的值，若不存在，请说明理由．19．如图，边长为2的正方形ABCD绕AB边所在直线旋转一定的角度（小于180°）到ABEF的位置．（1）若∠CBE=120°，求三棱锥B﹣ADF的外接球的表面积；（2）若K为线段BE上异于B，E的点，CE=2．设直线AK与平面BDF所成角为φ，当30°≤φ≤45°时，求BK的取值范围．20．已知矩形ABCD中，AB=2，AD=5．E，F分别在AD，BC上．且AE=1，BF=3，沿EF将四边形AEFB折成四边形A′EFB′，使点B′在平面CDEF 上的射影H在直线DE上．（Ⅰ）求证：A′D∥平面B′FC（Ⅱ）求二面角A′﹣DE﹣F的大小．参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是( )A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm2【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，根据三视图判断直三棱柱的侧棱长与底面的形状及相关几何量的数据，判断四棱柱的高与底面矩形的边长，把数据代入表面积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，其中直三棱柱的侧棱长为3，底面是直角边长分别为3、4的直角三角形，四棱柱的高为6，底面为矩形，矩形的两相邻边长为3和4，∴几何体的表面积S=2×4×6+3×6+3×3+2×3×4+2××3×4+（4+5）×3=48+18+9+24+12+27=138（cm2）．故选：D．【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．2．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为( )A．B．C．D．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5，用球的体积公式即可算出该球的体积．【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R﹣2）2+42，解出R=5，∴根据球的体积公式，该球的体积V===．故选A．【点评】本题给出球与正方体相切的问题，求球的体积，着重考查了正方体的性质、球的截面圆性质和球的体积公式等知识，属于中档题．3．设a，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是直线，给出下列命题①若a⊥β，β⊥γ，则a⊥γ；②若a∥β，m⊂β，m∥a，则m∥β；③若m，n在γ内的射影互相垂直，则m⊥n；④若m∥a，n∥β，a⊥β则m⊥n．其中正确命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3【考点】平面的基本性质及推论．【专题】证明题．【分析】在正方体中举出反例，可以得到命题①和命题③是错误的；根据平面与平面平行和直线与平面平行的定义，得到②是正确的；根据直线与平面平行的判定和空间直线平行的传递性，通过举出反例可得④是错误的．由此可得正确答案．【解答】解：对于命题①，若a⊥β，β⊥γ，则a与γ的位置不一定是垂直，也可能是平行，比如：正方体的上、下底面分别是a与γ，右侧面是β则满足a⊥β，β⊥γ，但a∥γ，∴“a⊥γ”不成立，故①不正确；对于命题②，∵a∥β，m⊂β∴平面a与直线m没有公共点因此有“m∥a”成立，故②正确；对于命题③，可以举出如下反例：在正方体中，设正对我们的面为γ，在左侧面中取一条直线m，上底面中取一条直线n，则m、n都与平面γ斜交时，m、n在γ内的射影必定互相垂直，显然“m⊥n”不一定成立，故③不正确；对于命题④，因为a⊥β，所以它们是相交平面，设a∩β=l当m∥a，n∥β时，可得直线l与m、n都平行，所以m∥n，“m⊥n”不成立，故④不正确．因此正确命题只有1个．故选B【点评】本题借助于命题真假的判断为载体，着重考查了平面与平面垂直的定义与性质、直线与平面平行的判定定理和直线在平面中的射影等知识点，属于基础题．4．如图在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，CD=2cm，则这个二面角的度数为( )A．30°B．60°C．90°D．120°【考点】二面角的平面角及求法．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】首先利用平行线做出二面角的平面角，进一步利用勾股定理和余弦定理解出二面角平面角的大小，最后确定结果．【解答】解：在平面α内做BE∥AC，BE=AC，连接DE，CE，所以四边形ACEB是平行四边形．由于线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，所以AB⊥平面BDE．CE∥ABCE⊥平面BDE．所以△CDE是直角三角形．又AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，CD=2cm，则：DE=2cm进一步利用余弦定理：DE2=BE2+BD2﹣2BE•BDcos∠DBE解得cos∠DBE=所以∠DBE=60°即二面角的度数为：60°故选：B【点评】本题考查的知识要点：余弦定理的应用，勾股定理的应用，线面垂直的性质，二面角的应用．属于基础题型．5．三棱锥O﹣ABC中，OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，若OA=OB=a，OC=b，D是该三棱锥外部（不含表面）的一点，则下列命题正确的是( )①存在无数个点D，使OD⊥面ABC；②存在唯一点D，使四面体ABCD为正三棱锥；③存在无数个点D，使OD=AD=BD=CD；④存在唯一点D，使四面体ABCD有三个面为直角三角形．A．①③B．①④C．①③④D．①②④【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；运动思想；空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】①取AB的中点M，连接OM，CM，过点O作OQ⊥CM，可得OQ⊥平面ABC，则直线OQ上除去线段OQ上的点取为D，则OD⊥面ABC，因此存在无数个点D，使OD⊥面ABC，即可判断出才正误；②以线段AB为边作一个正△DAB，使得点C在△ABD内的射影为△ABD的中心，这样的点D至少有两个，分别位于平面ABC的两侧，即可判断出正误；③由已知：可以将此四面体补成一个以OA，OB，OC为邻边的长方体，其对角线的中点为此长方体外接球的球心D且唯一，即可判断出正误；④取点O关于平面ABC的对称点为D，则四面体ABCD有三个面为直角三角形，此D点唯一，即可判断出正误．【解答】解：①取AB的中点M，连接OM，CM，过点O作OQ⊥CM，可得OQ⊥平面ABC，则直线OQ上除去线段OQ上的点取为D，则OD⊥面ABC，因此存在无数个点D，使OD⊥面ABC；②以线段AB为边作一个正△DAB，使得点C在△ABD内的射影为△ABD的中心，则四面体ABCD为正三棱锥，这样的点D至少有两个，分别位于平面ABC的两侧，因此不正确；③∵OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，∴可以将此四面体补成一个以OA，OB，OC为邻边的长方体，其对角线的中点为此长方体外接球的球心D，满足OD=AD=BD=CD，因此有唯一的一个点D，使OD=AD=BD=CD，故不正确；④取点O关于平面ABC的对称点为D，则四面体ABCD有三个面为直角三角形，此D点唯一，因此正确．综上可知：①④正确．故选：B．【点评】本题考查线面垂直的判定与性质定理、直三棱锥、长方体与外接球的性质、特殊的四面体性质，考查了空间想象能力、推理能力，属于中档题．6．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有( )A．V1＜V2＜V4＜V3B．V1＜V3＜V2＜V4C．V2＜V1＜V3＜V4D．V2＜V3＜V1＜V4【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】利用三视图与已知条件判断组合体的形状，分别求出几何体的体积，即可判断出正确选项．【解答】解：由题意以及三视图可知，该几何体从上到下由：圆台、圆柱、正四棱柱、正四棱台组成，体积分别记为V1==．V2=12×π×2=2π，V3=2×2×2=8V4==；∵，∴V2＜V1＜V3＜V4故选C．【点评】本题考查简单组合体的三视图与几何体的体积的求法，正确判断几何体的形状与准确利用公式求解体积是解题的关键．7．如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是( )A．|BM|是定值B．点M在某个球面上运动C．存在某个位置，使DE⊥A1CD．存在某个位置，使MB∥平面A1DE【考点】平面与平面之间的位置关系．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】取CD中点F，连接MF，BF，则平面MBF∥平面A1DE，可得D正确；由余弦定理可得MB2=MF2+FB2﹣2MF•FB•cos∠MFB，所以MB是定值，M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，可得A，B正确．A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC 与DE不垂直，可得C不正确．【解答】解：取CD中点F，连接MF，BF，则MF∥DA1，BF∥DE，∴平面MBF∥平面A1DE，∴MB∥平面A1DE，故D正确由∠A1DE=∠MFB，MF=A1D=定值，FB=DE=定值，由余弦定理可得MB2=MF2+FB2﹣2MF•FB•cos∠MFB，所以MB是定值，故A正确．∵B是定点，∴M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，故B正确，∵A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，∴存在某个位置，使DE⊥A1C不正确．故选：C．【点评】掌握线面、面面平行与垂直的判定和性质定理及线面角、二面角的定义及求法是解题的关键．8．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论错误的是( )A．DC1⊥D1P B．平面D1A1P⊥平面A1APC．∠APD1的最大值为90°D．AP+PD1的最小值为【考点】棱柱的结构特征．【专题】应用题；空间位置关系与距离．【分析】利用DC1⊥面A1BCD1，可得DC1⊥D1P，A正确利用平面D1A1BC，⊥平面A1ABB1，得出平面D1A1P⊥平面A1AP，B正确；当A1P=时，∠APD1为直角角，当0＜A1P＜时，∠APD1为钝角，C错；将面AA1B与面ABCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值．【解答】解：∵A1D1⊥DC1，A1B⊥DC1，∴DC1⊥面A1BCD1，D1P⊂面A1BCD1，∴DC1⊥D1P，A正确∵平面D1A1P即为平面D1A1BC，平面A1AP 即为平面A1ABB1，切D1A1⊥平面A1ABB1，∴平面D1A1BC，⊥平面A1ABB1，∴平面D1A1P⊥平面A1AP，∴B正确；当0＜A1P＜时，∠APD1为钝角，∴C错；将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值，在△D1A1A中，∠D1A1A=135°利用余弦定理解三角形得AD1=，即AP+PD1≥，∴D正确．故选：C．【点评】本题考查正方体的结构特征，空间位置关系的判定，转化的思想．二、填空题（本大题共7小题，第9，10，11，12题每空3分，第13，14，15题每空4分，共36分．）9．已知O（0，0，0），A（﹣2，2，﹣2），B（1，4，﹣6），C（x，﹣8，8），若OC⊥AB，则x=16；若O、A、B、C四点共面，则x=8．【考点】平面的基本性质及推论．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）先求出，的坐标，根据•=0，得到3x﹣16﹣32=0，解出即可．（2）由于四点A，B，C，O共面，可得存在实数λ，μ使得，解出即可．【解答】解：（1）∵=（x，﹣8，8），=（3，2，﹣4），若OC⊥AB，则•=0，∴3x﹣16﹣32=0，解得：x=16，；（2）∵O（0，0，0），A（﹣2，2，﹣2），B（1，4，﹣6），C（x，﹣8，8），∴=（﹣2，2，﹣2），=（1，4，﹣6），=（x，﹣8，8），∵四点A，B，C，O共面，∴存在实数λ，μ使得，=λ+μ，∴（x，﹣8，8）=λ（﹣2，2，﹣2）+μ（1，4，﹣6），∴，解得x=8，故答案为：16； 8【点评】本题考查了向量垂直的性质，考查向量共面问题，是一道基础题．10．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1D与BC1夹角的大小是90°；若E、F分别为AB、CC1的中点，则异面直线EF与A1C1夹角的大小是30°．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；转化思想；向量法；空间角．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出B1D与BC1夹角的大小和异面直线EF与A1C1夹角的大小．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则B1（2，2，2），D（0，0，0），B（2，2，0），C1（0，2，2），=（﹣2，﹣2，﹣2），=（﹣2，0，2），∴•=0，∴B1D⊥BC1，∴B1D与BC1夹角的大小是90°；∵E（2，1，0），F（0，2，1），A1（2，0，2），∴=（﹣2，1，1），=（﹣2，2，0），设异面直线EF与A1C1夹角的大小为θ，则cosθ=||=||=，∴θ=30°．∴异面直线EF与A1C1夹角的大小为30°．故答案为：90°；30°．【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．11．在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ABD的面积分别为、、，则△BCD的面积为；三棱锥A﹣BCD的内切球半径为．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】设长方体的三度为a，b，c由题意得：ab=，ac=，bc=，求出a，b，c，即可求△BCD的面积，利用等体积求出三棱锥A﹣BCD的内切球半径．【解答】解：设长方体的三度为a，b，c由题意得：ab=，ac=，bc=，解得：a=，b=，c=1，△ABC中，BC上的高为，∴△DBC中，BC上的高为=，∴△BCD的面积为=．设三棱锥A﹣BCD的内切球半径为r，则=×（++）r∴r=故答案为：；．【点评】本题是中档题，考查三棱锥A﹣BCD的内切球半径，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，P为BC中点，Q为线段CC1上动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S．当CQ=时，S的面积为；若S 为五边形，则此时CQ取值范围（，1）．【考点】平面的基本性质及推论．【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离．【分析】由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面即可求出答案．【解答】解：如图：当CQ=时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP=QD1=，故可得截面APQD1为等腰梯形，∴S=（+）•=；当CQ=时，如下图，，延长DD1至N，使D1N=，连结AN交A1D1于S，连结QN交C1D1于R，连结SR，则AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2．∴C1R=，RD1=，∴当＜CQ＜1时，此时的截面形状是上图所示的APQRS，为五边形．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了学生的空间想象和思维能力，借助于特殊点分析问题是解决该题的关键，是中档题．13．已知某几何体的三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体的体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，分别求出体积后，相减可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，棱柱和棱锥的底面均为侧视图，故底面面积S=×4×4=8，棱柱的高为8，故体积为64，棱锥的高为4，故体积为：，故组合体的体积V=64﹣=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．14．两条异面直线a，b所成角为60°，则过一定点P，与直线a，b都成60°角的直线有3条．【考点】异面直线的判定．【专题】数形结合；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】先将异面直线a，b平移到点P，结合图形可知，当使直线在面BPE的射影为∠BPE的角平分线时存在2条满足条件，当直线为∠EPD的角平分线时存在1条满足条件，则一共有3条满足条件．【解答】解：先将异面直线a，b平移到点P，则∠BPE=60°，∠EPD=120°而∠BPE的角平分线与a和b的所成角为30°，而∠EPD的角平分线与a和b的所成角为60°∵60°＞30°，∴直线与a，b所成的角相等且等于60°有且只有3条，使直线在面BPE的射影为∠BPE的角平分线，和直线为∠EPD的角平分线，故答案为：3．【点评】本小题主要考查异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，以及射影等知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．15．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是[]．．【考点】直线与平面平行的性质．【专题】空间位置关系与距离．【分析】分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，易证平面A1MN∥平面AEF，由题意知点P必在线段MN上，由此可判断P在M或N处时A1P最长，位于线段MN中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．【解答】解：如下图所示：分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥BC1，EF∥BC1，∴MN∥EF，又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，∴MN∥平面AEF；∵AA1∥NE，AA1=NE，∴四边形AENA1为平行四边形，∴A1N∥AE，又A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，∴A1N∥平面AEF，又A1N∩MN=N，∴平面A1MN∥平面AEF，∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P∥平面AEF，则P必在线段MN上，在Rt△A1B1M中，A1M===，同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N=，∴△A1MN为等腰三角形，当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M、N处时A1P最长，A1O===，A1M=A1N=，所以线段A1P长度的取值范围是[]．故答案为：[]．【点评】本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P点位置．三.解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（14分）如图，在七面体ABCDMN中，四边形ABCD是边长为2的正方形，MD ⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=2，NB=1，MB与ND交于P点，点Q在AB 上，且BQ=．（I）求证：QP∥平面AMD；（Ⅱ）求七面体ABCDMN的体积．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（I）由MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质可得MD ∥NB．进而得到，又已知=，可得，于是在△MAB中，QP ∥AM．再利用线面平行的性质即可得出QP∥平面AMD．（II）连接BD，AC交于点O，则AC⊥BD．又MD⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质可得MD⊥AC，再利用线面垂直的判定即可得出AC⊥平面MNBD．于是AO为四棱锥A﹣MNBD的高，进而得到V A﹣MNBD的体积．即可得出V几何体ABCDMN=2V A﹣MNBD．【解答】（I）证明：∵MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，∴MD∥NB．∴，又=，∴，∴在△MAB中，QP∥AM．又QP⊄平面AMD，AM⊂平面AMD．∴QP∥平面AMD．（II）连接BD，AC交于点O，则AC⊥BD．又MD⊥平面ABCD，∴MD⊥AC，又BD∩MD=D，∴AC⊥平面MNBD．∴AO为四棱锥A﹣MNBD的高，又=．∴=2．∴V几何体ABCDMN=2V A﹣MNBD=4．【点评】熟练掌握线面平行于垂直的判定与性质、线线平行的判定与性质、四棱锥的体积等是解题的关键．17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，BD=，PD ⊥底面ABCD．（1）证明：平面PBC⊥平面PBD；（2）若二面角P﹣BC﹣D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】（1）证明BC⊥平面PBD，利用面面垂直的判定定理，即可证明平面PBC ⊥平面PBD；（2）确定∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，分别以DA、DB、DP为x轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系，用坐标表示向量及平面PBC的法向量，利用向量的数量积公式，即可求得AP与平面PBC所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵CD2=BC2+BD2，∵BC⊥BD∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC又∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD而BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD…（2）解：由（1）所证，BC⊥平面PBD，所以∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，即∠PBD=而BD=，所以PD=1…分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，，0），P（0，0，1）所以，，1）设平面PBC的法向量为，∴…即可解得）∴AP与平面PBC所成角的正弦值为sinθ=…【点评】本题考查面面垂直，考查线面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定定理，正确运用向量法求线面角．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在线段AD上，AG=GD，BG⊥GC，BG=GC=2，E是BC的中点，四面体P﹣BCG的体积为．（1）求异面直线GE与PC所成角的余弦值；（2）棱PC上是否存在一点F，使DF⊥GC，若存在，求的值，若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面垂直的性质；异面直线及其所成的角．【专题】证明题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）由已知考查PG，在平面ABCD内，过C点作CH∥EG交AD于H，连结PH，则∠PCH（或其补角）就是异面直线GE与PC所成的角．在△PCH中，由余弦定理即可求得cos∠PCH的值．（2）在平面ABCD内，过D作DM⊥GC，M为垂足，连结MF，可证FM∥PG，由GM ⊥MD得：GM=GD•cos45°=，由DF⊥GC，即可求得的值．【解答】解：（1）由已知==，∴PG=4，在平面ABCD内，过C点作CH∥EG交AD于H，连结PH，则∠PCH（或其补角）就是异面直线GE与PC所成的角．在△PCH中，CH=，PC=，PH=，由余弦定理得，cos∠PCH=．（2）在平面ABCD内，过D作DM⊥GC，M为垂足，连结MF，又因为DF⊥GC，∴GC⊥平面MFD，∴GC⊥FM，由平面PGC⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD，∴FM∥PG，由GM⊥MD得：GM=GD•cos45°=，∵，∴由DF⊥GC，可得．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的性质，异面直线及其所成的角，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．19．如图，边长为2的正方形ABCD绕AB边所在直线旋转一定的角度（小于180°）到ABEF的位置．（1）若∠CBE=120°，求三棱锥B﹣ADF的外接球的表面积；（2）若K为线段BE上异于B，E的点，CE=2．设直线AK与平面BDF所成角为φ，当30°≤φ≤45°时，求BK的取值范围．【考点】直线与平面所成的角；球的体积和表面积．【专题】计算题；数形结合；转化思想；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）求出外接球的半径，利用取得面积公式求解即可．（2）证明BE⊥平面ABCD．=以B为原点，BC、BA、BE的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，求出相关点的坐标，求出平面BDF的一个法向量为=（x，y，z）．推出sinφ==，结合sinφ，即求出BK的取值范围．【解答】解：（1）三棱锥B﹣ADF的外接球就是三棱柱DFA﹣CEB的外接球，球的半径为R，R==，外接球的表面积为：4πR2=20π．（2）解：∵BE=BC=2，CE=2，∴CE2=BC2+BE2，∴△BCE为直角三角形，BE⊥BC，…又BE⊥BA，BC∩BA=B，BC、BA⊂平面ABCD，∴BE⊥平面ABCD．…以B为原点，BC、BA、BE的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），F（0，2，2），A（0，2，0），=（2，2，0），．设K（0，0，m），平面BDF的一个法向量为=（x，y，z）．由，，得，可取，…又=（0，﹣2，m），于是sinφ==，∵30°≤φ≤45°，∴sinφ，即…结合0＜m＜2，解得，即BK的取值范围为（0，]．…【点评】本题考查几何体的外接球的表面积的求法，直线与平面所成角的求法与应用，考查空间想象能力以及计算能力，20．已知矩形ABCD中，AB=2，AD=5．E，F分别在AD，BC上．且AE=1，BF=3，沿EF将四边形AEFB折成四边形A′EFB′，使点B′在平面CDEF 上的射影H在直线DE上．（Ⅰ）求证：A′D∥平面B′FC（Ⅱ）求二面角A′﹣DE﹣F的大小．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（I）利用线面平行的判定定理可得A′E∥平面B′FC，DE∥平面B′FC，又A′E∩DE=E．由面面平行的判定定理可得平面A′ED∥平面B′FC，再利用面面平行的性质定理可得线面平行；（II）建立如图所示的空间直角坐标系，利用B′在平面CDEF上的射影H在直线DE上，设B′（0，y，z）（y，z∈R+）及F（2，2，0），，B′F=3，可得到点B′的坐标，分别求出平面A′DE的法向量、平面CDEF的法向量，利用法向量的夹角即可得到二面角．【解答】（I）证明：∵A′E∥B′F，A′E⊄平面B′FC，B′F⊂平面B′FC．∴A′E∥平面B′FC，由DE∥FC，同理可得DE∥平面B′FC，又∵A′E∩DE=E．∴平面A′ED∥平面B′FC，∴A′D∥平面B′FC．（II）解：如图，过E作ER∥DC，过E作ES⊥平面EFCD，分别以ER，ED，ES为x，y，z轴建立空间直角坐标系．∵B′在平面CDEF上的射影H在直线DE上，设B′（0，y，z）（y，z∈R+）．∵F（2，2，0），，B′F=3．∴解得．∴B′（0，1，2）．∴．∴=．设平面A′DE的法向量为，又有．∴得，令x=1，则z=1，y═0，得到．又∵平面CDEF的法向量为．设二面角A′﹣DE﹣F的大小为θ，显然θ为钝角∴=．∴θ=135°．【点评】熟练掌握线面平行的判定定理、面面平行的判定和性质定理、通过建立空间直角坐标系利用两个平面的法向量的夹角求二面角是解题的关键．。

余姚中学高二实验班数学期中试卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案写在答题卷中的相应位置上) 1.设n m l ,,为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中正确的个数是 （ ）①若α⊥l ，则l 与α相交 ②若，，，，n l m l n m ⊥⊥⊂⊂αα则α⊥l ③若l ||m ，m ||n ，α⊥l ，则α⊥n ④若l ||m ，α⊥m ，α⊥n ，则l ||nA ．1B ．2C ．3D ．42. 若过定点)0,1(-M 且斜率为k 的直线与圆05422=-++y x x 在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是( ))(A 50<<k )(B 05<<-k )(C 130<<k )(D 50<<k3．方程2212sin 6sin 2x y θθ+=+-所表示的曲线为( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在x 轴上的双曲线 D ．焦点在y 轴上的双曲线4.如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是 （ ）正视图侧视图俯视图A ．B ．C ．D ． 5.已知圆222410x y x y ++-+=关于直线220ax by -+=41(0,0),a b a b>>+对称则的最小值是（ ）A ．4B ．6C ． 8D ．96．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中 ⑴BM 与ED 平行 ⑵CN 与BE 是异面直线 ⑶CN 与BM 成60︒ ⑷DN 与FN 垂直以上四个命题中，正确命题的序号是（ ） A.⑴⑵⑶ B.⑵⑷ C.⑶⑷ D.⑵⑶⑷7．双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的渐近线上任意一点P 到两个焦点的距离之差的绝对值与2a 的大小关系为（ ）A ．恒等于2aB ．恒大于2aC ．恒小于2aD ．不确定8.一个半径为2的球放在桌面上，桌面上的一点1A 的正上方有一个光源A ，1AA 与球相切，16,AA =球在桌面上的投影是一个椭圆，则这个椭圆的离心率等于（ ）A ．12 B．2 C．3 D．29.椭圆2212516x y +=的左右焦点分别为12,F F ，弦AB 过1F ，若2ABF ∆的内切圆周长为π，,A B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则12y y -值为 （ ） A ．103B ．53C ．203 D．310．已知双曲线200822=-y x 的左、右顶点分别为1A 、2A ，P 为其右支上一点，且 21214A PA PA A ∠=∠，则21A PA ∠等于（ ）A ．12πB ．36πC ．18π D 无法确定二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分,把答案填在答题卷中的相应位置上) 11.在抛物线y 2=16x 内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________. 12将直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位长度，则所得到的直线方程为 。