2019-2020学年浙江省宁波市余姚中学高一下学期期中数学试卷 (解析版)

浙江省宁波市余姚中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题1.若集合{}|0A x x =≥，且，则集合B 可能是（ ）A. {}1,2B. {}|1x x ≤C. {}1,0,1-D. R【答案】A 【解析】试题分析：由A B B ⋂=知B A ⊆，故选A 考点：集合的交集．2.函数()ln 2f x x x +-=的零点所在的一个区间是（ ） A. ()0,1 B. ()1,2 C. ()2,3 D. ()3,4【答案】B 【解析】 【分析】因为()ln 2f x x x +-=为增函数,故代入区间端点逐个计算,左负右正即可. 【详解】因为()ln 2f x x x +-=为增函数,且()1ln11210f +-=-<=,()2ln 222ln 20f +-=>=根据零点存在性定理知()ln 2f x x x +-=的零点在区间()1,2内. 故选：B【点睛】本题主要考查零点存在性定理.属于基础题型.3.已知定义在R 上的奇函数()f x 的图象与x 轴交点的横坐标分别为1x 、2x 、3x 、、2019x ，且1232019x x x x m ++++=，则不等式()2321x m x m -+-≤的解集为（ ）A. 1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. []0,3C. (),0-∞D. ∅【答案】A 【解析】【分析】 设1232019x x x x <<<<，利用奇函数关于原点对称，得出函数()y f x =与x 轴的交点也关于原点对称，得出0m =，再将0m =代入不等式解出即可. 【详解】由于函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，则()00f =， 设1232019x x x x <<<<，则函数()y f x =与x 轴的交点关于原点对称，则()202001,2,3,,2019i i x x i -+==，所以12320190m x x x x =++++=，不等式()2321x m x m -+-≤，即为23210x x --≤，解得113x -≤≤， 因此，不等式()2321x m x m -+-≤的解集为1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选：A.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，同时也考查了一元二次不等式的解法，解题的关键就是利用奇偶性求出零点之和，考查计算能力，属于中等题. 4.函数2()log (1)f x x =-的图象为（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】由题中函数知，当x ＝0时，y ＝0，图象过原点，又依据对数函数的性质知，此函数是减函数，根据此两点可得答案．【详解】观察四个图的不同发现，A 、C 、D 图中的图象过原点， 而当x ＝0时，y ＝0，故排除B ；又由定义域可知x<1,排除D ． 又由函数的单调性知，原函数是减函数，排除A ． 故选：C ．【点睛】本题考查对数函数的图象的识别，经常利用函数的性质及特殊函数值进行排除，属于基础题.5.已知幂函数()()()25mf x m m xm Z =--∈在()0,∞+上单调递减，若62ma -⎛=⎝⎭，1mb -=⎝⎭，12mc -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列不等关系正确的是（ ） A. b a c << B. c b a << C. c a b << D. b c a <<【答案】B 【解析】 【分析】根据函数()y f x =为幂函数，并结合已知条件求出实数m 的值，再利用指数函数2xy =的单调性得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】由于函数()()()25mf x m m xm Z =--∈幂函数，且在()0,∞+上单调递减，则2510m m m m Z ⎧--=⎪<⎨⎪∈⎩，解得2m =-， 11163622222ma---⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1111224222mb ---⎛⎫== ⎪⎛⎫= ⎪ ⎝⎪⎝⎭⎭，()2121222mc ---⎛⎫=== ⎪⎝⎭，由于指数函数2xy =在R 上为增函数，因此，c b a <<，故选：B.【点睛】本题考查幂函数的概念与性质，同时也考查了利用指数函数的单调性比较同底数指数幂的大小关系，在比较指数幂的大小关系时，常用以下几种方法： （1）底数相同时，利用同底数的指数函数单调性比较； （2）指数相同时，利用同指数的幂函数的单调性比较； （3）底数不同，指数也不同时，可利用中间值法来比较.6.下列函数中，是偶函数且在区间()0,∞+上单调递增的是（ ）A. ||y x x =B. y =C. ||e x y =D.1ln||y x = 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数性质判断偶函数与单调性即可.【详解】对A,因为||||x x x x --=-,故||y x x =为奇函数,不满足对B, y =[)0,+∞,不满足偶函数对C, ||e x y =为偶函数,且在区间()0,∞+上单调递增,满足题意 对D, 1ln ln ||||y x x ==-为偶函数,但在区间()0,∞+上单调递减,不满足题意. 故选：C【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的判断等,属于基础题型.7.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） A. 1033 B. 1053 C. 1073 D. 1093【答案】D 【解析】 试题分析：设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即M N 最接近9310，故选D.【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令36180310x =，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log n a a M n M =.8.已知()|ln |f x x =，设0a b <<，且()()f a f b =，则2+a b 的取值范围是（ ） A. [)3,+∞B. ()3,+∞C. )22,⎡+∞⎣D.()22,+∞【答案】B 【解析】 【分析】根据函数()|ln |f x x =的图像分析可得,a b 的关系,再代入关系求解2+a b 的取值范围即可. 【详解】由题意得()()f a f b =,根据图像可知01a b <<<.故ln ln a b -=,即11lnln ,,(0,1)b b a a a ==∈. 故22a b a a +=+,又2a a +在(0,1)a ∈内单调递减,故22131a a +>+=故2+a b 的取值范围是()3,+∞故选：B【点睛】本题主要考查对数函数的图像与零点问题.同时也考查了利用单调性求解函数取值范围的问题,属于基础题型.9.已知函数()x x f x e e -=-，()x xg x e e -=+，则以下结论正确的是（ ）A. 任意的1x ，2x R ∈且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-B. 任意的1x ，2x R ∈且12x x ≠，都有()()12120g x g x x x -<-C. ()f x 有最小值，无最大值D. ()g x 有最小值，无最大值 【答案】D 【解析】 【分析】A ：根据函数解析式直接判断()f x 的单调性，可判断对错；B ：利用奇偶性判断()g x 的单调性，即可判断对错；C ：利用奇偶性和单调性判断最值情况；D ：利用奇偶性和单调性判断最值情况. 【详解】A ：()()21,xxf f x ex e -==-在R 上均是增函数，所以()f x 是R 上增函数，故错误；B ：因为()()()xx g x ee g x x R --=+=∈，所以()g x 是偶函数，所以()g x 在R 上不可能是减函数，故错误； C ：因为()()()()xxf x e ef x x R --=--=-∈，所以()f x 是奇函数，又()f x 在R 上是增函数，所以()f x 无最值，故错误； D ：任意的1x ，[)20,x ∈+∞且12x x <，所以()()()()()()()12121122121212121x x x x x x x x x x x x x x e e e e g x g x e e e e e e e e e e-------=+-+=-+-=，因为1210x x e e ->，120x x e e -<，所以()()120g x g x -<，所以()()12g x g x <，所以()g x 在[)0,+∞上单调递增，因为()g x 是偶函数，所以()g x 在(),0-∞上单调递减，所以()()min 0f x f =，无最大值，故正确. 故选：D.【点睛】本题考查函数的单调性、最值、奇偶性的综合应用，难度一般.奇函数在对称区间上的单调性是相同的，并且在对称区间上如果有最值，则最值互为相反数；偶函数在对称区间上的单调性相反，并且在对称区间上如果有最值，则最值相等. 10.已知()f x ，()g x 都是偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，设函数()()(1)()(1)F x f x g x f x g x =+----，若0a >，则（ ）A. ()()F a F a -≥且()()11F a F a +≥-B. ()()F a F a -≥且()()11F a F a +≤-C. ()()F a F a -≤且()()11F a F a +≥-D. ()()F a F a -≤且()()11F a F a +≤- 【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，2(1),()(1)(){2(),? ()(1)g x f x g x F x f x f x g x -≥-=<-，∴2(1),()()(1)(){2(),? ()?()(1)g a f a f a g a F a f a f a f a g a +=-≥+-=-=-<+，2(1),()(1)(){2(),? ()(1)g a f a g a F a f a f a g a -≥-=<-，∵0a >，∴22(1)(1)40a a a +--=>，∴11(1)(1)a a g a g a +>-⇒+>-，∴若()(1)f a g a >+：()2(1)F a g a -=+，()2(1)F a g a =-，∴()()F a F a ->， 若(1)()(1)g a f a g a -≤≤+：()2()2()F a f a f a -=-=，()2(1)F a g a =-，∴()()F a F a -≥，若()(1)f a g a <-：()2()2()F a f a f a -=-=，()2()F a f a =，∴()()F a F a -=， 综上可知()()F a F a -≥，同理可知(1)(1)F a F a +≥-，故选A. 考点：1.函数的性质；2.分类讨论的数学思想.【思路点睛】本题在在解题过程中抓住偶函数的性质，避免了由于单调性不同导致1a -与1a +大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化，另外，不要忘记定义域，如果要研究奇函数或者偶函数的值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上. 二、填空题11.计算：1038π+=________；392log 6log 16-=________．【答案】 (2). 2 【解析】 【分析】根据指数对数与根式的运算化简即可.【详解】1103338(2)11211π+=+-=-=2223933333322log 6log 162log 6log 4log 6log 4lo 36924g log 2-=-=-===故答案为： , (2) 2【点睛】本题主要考查指数对数的基本运算,包括换底公式等,属于基础题型. 12.函数()122x f x -=的定义域为________，值域为________． 【答案】 (1). ()(),22,-∞+∞ (2). ()()0,11,+∞【解析】 【分析】(1)利用分母不为0进行计算. (2)先求出指数12x -的范围,再根据指数函数的反正求解值域即可. 【详解】(1)由分母不为0有20x -≠,即()(),22,x ∈-∞+∞(2)因为12x -为1x往右平移2个单位所得,故1(,0)(0,)2x ∈-∞⋃+∞- 故()()()120,,211x f x -∈∞=+【点睛】本题主要考查了指数型复合函数的定义域与值域问题等,属于基础题型.13.若0a >，1a ≠，则函数()()23log 1a f x x =++的图象恒过定点________；当1a >时，函数()f x 的单调递减区间是________． 【答案】 (1). ()0,3 (2). (),0-∞ 【解析】 【分析】(1)令()()23log 1a f x x =++中真数211x +=求解即可.(2)利用同增异减的关系, ()f x 的单调递减区间与21x +的单调递减区间相同即可. 【详解】(1)令211x +=又0x =,又()()203log 013a f =++=,故图象恒过定点()0,3(2) 当1a >时log a x 为增函数,故()()23log 1a f x x =++的单调递减区间与21x +的单调递减区间相同,为(),0-∞故答案为：(1) ()0,3 (2). (),0-∞【点睛】本题主要考查了对数函数的定点问题,复合函数的单调性问题,属于基础题型. 14.已知函数()|1|f x x x a =--，x ∈R 有三个零点1x 、2x 、3x ，则实数a 的取值范围是________；123x x x ++的取值范围是________． 【答案】 (1). 104a << (2). 322,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】(1)令()|1|0f x x x a =--=,则|1|x x a -=,设函数()|1|g x x x =-画出图像再分析与y a = 的交点个数即可.(2)根据图像分析得121x x =+,再分析3x 的范围即可. 【详解】(1)令()|1|0f x x x a =--=,则|1|x x a -=,设函数(1),1()1(1),1x x x g x x x x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩,画出函数()g x 的图像.易得当12x =为抛物线上顶点为11(,)24又()f x 有三个零点1x 、2x 、3x ,即()g x 与y a =有三个交点,故104a <<(2)有图像得12122x x +=,即121x x =+,当14a =时, 2111(1),442x x x x -=-+=即211()22x -=,此时312x =,故31(1,)2x ∈故123x x x ++∈故答案为：(1). 104a <<(2). 32,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了数形结合的思想以及绝对值函数的分段方法等,同时也考查了根据图像求零点的范围问题,属于中等题型.15.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时()2f x x =，对任意的[]1,1x a a ∈-+，恒有()()23f x a f x +≥，则实数a 的最大值为_____．【答案】3- 【解析】 【分析】写出函数()y f x =的解析式，判断出函数()y f x =在R 上单调递减，由)()3f f x =，结合())2f x a f+≥，可得出2x a +≤在区间[]1,1a a -+上恒成立，于是得出))()min2111a x a ⎡⎤≤=-⎣⎦，从而解出实数a 的取值范围，得出a 的最大值.【详解】由于函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()()22f x f x x x =--=--=-，()22,0,0x x f x x x ⎧≤∴=⎨->⎩，易知函数()y f x =在R 上单调递减，又)()3ff x =，由()())23f x a f x f +≥=，得2x a +≤，即)21a x ≤在[]1,1x a a ∈-+上恒成立，则))()min2111a x a ⎡⎤≤=-⎣⎦，化简得()31a ≤-，解得3a ≤-，因此，实数a 的最大值为3-故答案为：【点睛】本题考查函数不等式恒成立问题，解题时要充分分析函数单调性与奇偶性，并将不等式转化为()()12f x f x ≤，利用函数()y f x =的单调性求解，考查化归与转化思想的应用，属于难题.16.对于定义在R 上的函数()f x ，如果存在实数a ，使得()()1f a x f a x +⋅-=对任意实数x ∈R 恒成立，则称()f x 为关于a 的“τ函数”．已知定义在R 上的函数()f x 是关于0和1的“τ函数”，且当[]0,1x ∈时，()f x 的取值范围为[]1,2，则当[]2,2x ∈-时，()f x 的取值范围为________． 【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】根据题意列出()()1f x f x ⋅-=和()()111f x f x +⋅-=再代换求出函数的周期,再将自变量转换到[]0,1x ∈内分析即可.【详解】当1a =时, ()()111f x f x +⋅-=,所以()()21f x f x +⋅-=.当0a =时, ()()1f x f x ⋅-=,故()()2f x f x +=,故函数()f x 是以2为周期的周期函数. 又当[]1,2x ∈时, []20,1x -∈,所以()[]221,f x -∈. 又()()21f x f x +⋅-=,所以()[]1,11(,(21,2)2)f x f x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦=∈-.所以当[]0,2x ∈时, 1,22()f x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦,结合周期性知, 当[]2,2x ∈-时1,22()f x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查抽象函数的周期性运用,需要代换自变量到合适的区间进行周期性的判定以及函数范围的判定.属于中等题型.17.已知,x y R ∈满足()()()()3322019212201921x x y y ⎧-+-=⎪⎨-+-=-⎪⎩，若对任意的0t >，k t x y t +≥+恒成立，则实数k 的最小值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】观察()()()()3322019212201921x x y y ⎧-+-=⎪⎨-+-=-⎪⎩可构造函数3()(2)2019(2)f x x x =-+-,分析其性质得出,x y 的关系再进行不等式恒成立的运用即可.【详解】设3()(2)2019(2)f x x x =-+-,则()f x 为3()2019g x x x =+往右平移两个单位得来.又3()2019g x x x =+为单调递增的奇函数,且关于(0,0)对称. 故3()(2)2019(2)f x x x =-+-为单调递增的函数且关于(2,0)对称.又()()()()3322019212201921x x y y ⎧-+-=⎪⎨-+-=-⎪⎩可知(,1),(,1)x y -关于(2,0)对称.故22x y += , 即4x y +=.又对任意的0t >,4kt x y t+≥+=恒成立.即240t t k -+≥恒成立.故判别式2440k ∆=-≤,得4k ≥.故k 的最小值为4. 故答案：4【点睛】本题主要考查函数的对称性与恒成立问题.其中构造函数3()(2)2019(2)f x x x =-+-进行分析是关键,属于难题.三、解答题18.设全集U =R ,集合{}|14A x x =<≤，{}22|560B x x ax a =++≤,（1）若1a =-，求B A ⋂，U B C A ⋂；（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围．【答案】（1）[]2,3B A ⋂=,U B C A ⋂=∅，(2）4132a -<≤- 【解析】试题分析：（1）代入1a =-，得到集合B ，即可求解集合B A ⋂和U B C A ⋂；（2）由A B A ⋃=，则B A ⊆，分类0a =，0a >和0a <讨论，即可求解实数a 的取值范围. 试题解析：（1）当1a =-时，此时{}2|560{|23}B x x x x x =-+≤=≤≤， 所以{|23}B A x x ⋂=≤≤，又{|1U C A x x =<或4}x ≥，所以U B C A φ⋂=. （2）由A B A ⋃=，则B A ⊆，当0a =时，{}{}2|00B x x =≤=，此时不满足题意，舍去；当0a >时，{|32}B x a x a =-≤≤-，此时不满足题意，舍去；当0a <时，{|23}B x a x a =-≤≤-，则满足2134a a -≥⎧⎨-<⎩，解得1243a a⎧≤-⎪⎪⎨⎪>-⎪⎩，即1423a -≤<-，综上所述，实数a 的取值范围是1423a -≤<-. 19.某民营企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润y 与投资x 成正比，其关系如图甲，B 产品的利润y 与投资x 的算术平方根成正比，其关系如图乙(注：利润与投资单位为万元).()1分别将A ，B 两种产品的利润y 表示为投资x 的函数关系式；()2该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A ，B 两种产品的生产.问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少万元？【答案】（1）()()1,04f x x x =≥，()()0g x x =≥， （2）当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约为6516万元。

浙江省宁波市2019-2020学年高一下学期期中数学试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2016高一下·和平期末) 若事件A与B是互为对立事件，且P(A)=0.4，则P(B)=（）A . 0B . 0.4C . 0.6D . 12. （2分） (2019高二下·宁德期末) 某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，那么在五次测试中恰有三次测到正品的概率是（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高一下·乌兰察布期末) 若cosθ＜0，且tanθ= ，那么θ 是（）A . 第一象限角B . 第二象限角C . 第三象限角D . 第四象限角4. （2分）要从已编号（1～50）的50枚最新研制的某型号导弹中随机抽取5枚来进行发射的试验，用选取的豪迈间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5枚导弹的编号可能是（）A . 5，10，15，20，25B . 3，13，23，33，43C . 1，2，3，4，5D . 2，4，8，16，325. （2分） (2017高二下·淄川期中) 张家的3个鸡仔钻进了李家装有3个鸡仔的鸡笼里，现打开笼门，让鸡仔一个一个地走出来，若第一个走出来的是张家的鸡仔，那么第二个走出的也是张家的鸡仔的概率是（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高一上·南开期末) 与α= +2kπ（k∈Z）终边相同的角是（）A . 345°B . 375°C . ﹣πD . π7. （2分）以下茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则的值分别为（）A . 5，2B . 5，5C . 8，5D . 8，88. （2分） (2017高二上·荆门期末) 已知等边△ABC的边长为2 ，动点P、M满足| |=1，，则| |2的最小值是（）A .B .C .D .9. （2分）直线：3x-4y-9=0与圆：，(θ为参数)的位置关系是（）．A . 相切B . 相离C . 直线过圆心D . 相交但直线不过圆心10. （2分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共6分)11. （1分） (2016高一下·姜堰期中) 圆（x﹣1）2+y2=9的半径为________．12. （1分）(2017·湖南模拟) 若a和b是计算机在区间（0，3）上产生的随机数，那么函数f（x）=lg（ax2+4x+4b）的值域为R的概率为________．13. （3分） (2017高一下·宿州期末) 为响应国家治理环境污染的号召，增强学生的环保意识，宿州市某中学举行了一次环保知识竞赛，共有900名学生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了l00学生的成绩进行统计，成绩频率分布直方图如图所示．估计这次测试中成绩的众数为________；平均数为________；中位数为________．（各组平均数取中值计算，保留整数）14. （1分）(2017·扬州模拟) 在区间（0，5）内任取一个实数m，则满足3＜m＜4的概率为________．三、解答题 (共4题；共30分)15. （15分）(2017·吕梁模拟) 某校某次N名学生的学科能力测评成绩（满分120分）的频率分布直方图如下，已知分数在100﹣110的学生数有21人（1）求总人数N和分数在110﹣115分的人数n．；（2）现准备从分数在110﹣115的n名学生（女生占）中选3位分配给A老师进行指导，设随机变量ξ表示选出的3位学生中女生的人数，求ξ的分布列与数学期望Eξ；（3）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导建议，对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析，该生7次考试成绩如表数学（x）888311792108100112物理（y）949110896104101106已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，求出y关于x的线性回归方程 = x+ ．若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少？附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归方程 = x+ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 = ，．16. （5分）某校为了解高一期末数学考试的情况，从高一的所有学生数学试卷中随机抽取n份试卷进行成绩分析，得到数学成绩频率分布直方图（如图所示），其中成绩在[50，60）的学生人数为6．（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）试估计所抽取的数学成绩的平均数；（Ⅲ）试根据样本估计“该校高一学生期末数学考试成绩≥70”的概率．17. （5分）一队士兵来到一条有鳄鱼的深河的左岸．只有一条小船和两个小孩，这条船只能承载两个小孩或一个士兵．试设计一个算法，将这队士兵渡到对岸，并将这个算法用程序框图表示．18. （5分） (2016高二上·唐山期中) 已知圆心在y轴上的圆C经过点A（1，2）和点B（0，3）．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线l在两坐标轴上的截距相等，且被圆C截得的弦长为，求l的方程．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共4题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共4题；共30分) 15-1、15-2、15-3、16-1、17-1、18-1、。

2019-2020学年浙江省宁波市余姚中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．若集合{}|0A x x =≥，且，则集合B 可能是（ ）A ．{}1,2B ．{}|1x x ≤C ．{}1,0,1-D ．R【答案】A【解析】试题分析：由A B B ⋂=知B A ⊆，故选A 【考点】集合的交集．2．函数()ln 2f x x x +-=的零点所在的一个区间是（ ） A ．()0,1 B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】B【解析】因为()ln 2f x x x +-=为增函数,故代入区间端点逐个计算,左负右正即可. 【详解】因为()ln 2f x x x +-=为增函数,且()1ln11210f +-=-<=,()2ln 222ln 20f +-=>= 根据零点存在性定理知()ln 2f x x x +-=的零点在区间()1,2内. 故选：B 【点睛】本题主要考查零点存在性定理.属于基础题型.3．已知定义在R 上的奇函数()f x 的图象与x 轴交点的横坐标分别为1x 、2x 、3x 、、2019x ，且1232019x x x x m ++++=L ，则不等式()2321x m x m -+-≤的解集为（ ） A ．1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]0,3C ．(),0-∞D ．∅【答案】A【解析】设1232019x x x x <<<<，利用奇函数关于原点对称，得出函数()y f x =与x 轴的交点也关于原点对称，得出0m =，再将0m =代入不等式解出即可.【详解】由于函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，则()00f =， 设1232019x x x x <<<<，则函数()y f x =与x 轴的交点关于原点对称，则()202001,2,3,,2019i i x x i -+==L ，所以12320190m x x x x =++++=L ， 不等式()2321x m x m -+-≤，即为23210x x --≤，解得113x -≤≤， 因此，不等式()2321x m x m -+-≤的解集为1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选：A.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，同时也考查了一元二次不等式的解法，解题的关键就是利用奇偶性求出零点之和，考查计算能力，属于中等题. 4．函数2()log (1)f x x =-的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题中函数知，当x ＝0时，y ＝0，图象过原点，又依据对数函数的性质知，此函数是减函数，根据此两点可得答案． 【详解】观察四个图的不同发现，A 、C 、D 图中的图象过原点， 而当x ＝0时，y ＝0，故排除B ；又由定义域可知x<1,排除D ． 又由函数的单调性知，原函数是减函数，排除A ． 故选：C ． 【点睛】本题考查对数函数的图象的识别，经常利用函数的性质及特殊函数值进行排除，属于基础题.5．已知幂函数()()()25mf x m m xm Z =--∈在()0,∞+上单调递减，若62ma -⎛= ⎝⎭，12mb -⎛= ⎝⎭，12mc -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列不等关系正确的是（ ） A ．b a c << B ．c b a << C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】B【解析】根据函数()y f x =为幂函数，并结合已知条件求出实数m 的值，再利用指数函数2xy =的单调性得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】由于函数()()()25mf x m m xm Z =--∈为幂函数，且在()0,∞+上单调递减，则2510m m m m Z ⎧--=⎪<⎨⎪∈⎩，解得2m =-，1116362222ma ---⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q，111122422mb ---⎛⎫== ⎪=⎝⎝⎭⎭，()2121222mc ---⎛⎫=== ⎪⎝⎭，由于指数函数2xy =在R 上为增函数，因此，c b a <<，故选：B. 【点睛】本题考查幂函数的概念与性质，同时也考查了利用指数函数的单调性比较同底数指数幂的大小关系，在比较指数幂的大小关系时，常用以下几种方法： （1）底数相同时，利用同底数的指数函数单调性比较； （2）指数相同时，利用同指数的幂函数的单调性比较； （3）底数不同，指数也不同时，可利用中间值法来比较.6．下列函数中，是偶函数且在区间()0,∞+上单调递增的是（ ） A ．||y x x = B．y =C ．||e x y = D ．1ln||y x = 【答案】C【解析】根据函数性质判断偶函数与单调性即可. 【详解】对A,因为||||x x x x --=-,故||y x x =为奇函数,不满足 对B, y =[)0,+∞,不满足偶函数对C, ||e x y =为偶函数,且在区间()0,∞+上单调递增,满足题意对D, 1ln ln ||||y x x ==-为偶函数,但在区间()0,∞+上单调递减,不满足题意. 故选：C 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的判断等,属于基础题型.7．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） A ．1033 B ．1053 C ．1073 D ．1093【答案】D【解析】试题分析：设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即M N 最接近9310，故选D.【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令36180310x =，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log na a M n M =. 8．已知()|ln |f x x =，设0ab <<，且()()f a f b =，则2+a b 的取值范围是（ ）A ．[)3,+∞B ．()3,+∞C ．)⎡+∞⎣D ．()+∞【答案】B【解析】根据函数()|ln |f x x =的图像分析可得,a b 的关系,再代入关系求解2+a b 的取值范围即可. 【详解】由题意得()()f a f b =,根据图像可知01a b <<<.故ln ln a b -=,即11lnln ,,(0,1)b b a a a ==∈. 故22a b a a +=+,又2a a +在(0,1)a ∈内单调递减,故22131a a +>+=故2+a b 的取值范围是()3,+∞故选：B 【点睛】本题主要考查对数函数的图像与零点问题.同时也考查了利用单调性求解函数取值范围的问题,属于基础题型.9．已知函数()x x f x e e -=-，()x xg x e e -=+，则以下结论正确的是（ ）A ．任意的1x ，2x R ∈且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-B ．任意的1x ，2x R ∈且12x x ≠，都有()()12120g x g x x x -<-C ．()f x 有最小值，无最大值D ．()g x 有最小值，无最大值 【答案】D【解析】A ：根据函数解析式直接判断()f x 的单调性，可判断对错； B ：利用奇偶性判断()g x 的单调性，即可判断对错； C ：利用奇偶性和单调性判断最值情况； D ：利用奇偶性和单调性判断最值情况. 【详解】A ：()()21,xxf f x ex e -==-在R 上均是增函数，所以()f x 是R 上增函数，故错误；B ：因为()()()xx g x ee g x x R --=+=∈，所以()g x 是偶函数，所以()g x 在R 上不可能是减函数，故错误； C ：因为()()()()xxf x e ef x x R --=--=-∈，所以()f x 是奇函数，又()f x 在R上是增函数，所以()f x 无最值，故错误； D ：任意的1x ，[)20,x ∈+∞且12x x <，所以()()()()()()()12121122121212121x x x x x x x x x x x x x x e e e e g x g x e e e e e e e e e e -------=+-+=-+-=，因为1210x x e e ->，120x x e e -<，所以()()120g x g x -<，所以()()12g x g x <，所以()g x 在[)0,+∞上单调递增，因为()g x 是偶函数，所以()g x 在(),0-∞上单调递减，所以()()min 0f x f =，无最大值，故正确. 故选：D. 【点睛】本题考查函数的单调性、最值、奇偶性的综合应用，难度一般.奇函数在对称区间上的单调性是相同的，并且在对称区间上如果有最值，则最值互为相反数；偶函数在对称区间上的单调性相反，并且在对称区间上如果有最值，则最值相等. 10．已知，都是偶函数，且在上单调递增，设函数，若，则（ ）A ．且B ．且C ．且D ．且【答案】A【解析】试题分析：由题意得，，∴，， ∵，∴，∴， ∴若：，，∴，若：，，∴，若：，，∴，综上可知，同理可知，故选A.【考点】1.函数的性质；2.分类讨论的数学思想.【思路点睛】本题在在解题过程中抓住偶函数的性质，避免了由于单调性不同导致与大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化，另外，不要忘记定义域，如果要研究奇函数或者偶函数的值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上.二、填空题11．计算：1038π=________；392log 6log 16-=________．2【解析】根据指数对数与根式的运算化简即可. 【详解】113338(2)11211π+=+--=-=2223933333322log 6log 162log 6log 4log 6log 4lo 36924g log 2-=-=-===故答案为：(1) , (2) 2【点睛】本题主要考查指数对数的基本运算,包括换底公式等,属于基础题型. 12．函数()122x f x -=的定义域为________，值域为________．【答案】()(),22,-∞+∞ ()()0,11,+∞【解析】(1)利用分母不为0进行计算. (2)先求出指数12x -的范围,再根据指数函数的反正求解值域即可. 【详解】(1)由分母不为0有20x -≠,即()(),22,x ∈-∞+∞U (2)因为12x -为1x往右平移2个单位所得,故1(,0)(0,)2x ∈-∞⋃+∞- 故()()()120,,211x f x -∈∞=+【点睛】本题主要考查了指数型复合函数的定义域与值域问题等,属于基础题型.13．若0a >，1a ≠，则函数()()23log 1a f x x =++的图象恒过定点________；当1a >时，函数()f x 的单调递减区间是________．【答案】()0,3 (),0-∞【解析】(1)令()()23log 1a f x x =++中真数211x +=求解即可.(2)利用同增异减的关系, ()f x 的单调递减区间与21x +的单调递减区间相同即可. 【详解】(1)令211x +=又0x =,又()()203log 013a f =++=,故图象恒过定点()0,3(2) 当1a >时log a x 为增函数,故()()23log 1a f x x =++的单调递减区间与21x +的单调递减区间相同,为(),0-∞ 故答案为：(1) ()0,3 (2). (),0-∞ 【点睛】本题主要考查了对数函数的定点问题,复合函数的单调性问题,属于基础题型.14．已知函数()|1|f x x x a =--，x ∈R 有三个零点1x 、2x 、3x ，则实数a 的取值范围是________；123x x x ++的取值范围是________．【答案】104a <<⎛ ⎝⎭【解析】(1)令()|1|0f x x x a =--=,则|1|x x a -=,设函数()|1|g x x x =-画出图像再分析与y a = 的交点个数即可.(2)根据图像分析得121x x =+,再分析3x 的范围即可. 【详解】(1)令()|1|0f x x x a =--=,则|1|x x a -=,设函数(1),1()1(1),1x x x g x x x x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩, 画出函数()g x 的图像.易得当12x =为抛物线上顶点为11(,)24又()f x 有三个零点1x 、2x 、3x ,即()g x 与y a =有三个交点,故104a <<(2)有图像得12122x x +=,即121x x =+,当14a =时, 2111(1),442x x x x -=-+=即211()22x -=,此时3x =,故3x ∈ 故1233(2,)2x x x +++∈故答案为：(1). 104a << (2). 32,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了数形结合的思想以及绝对值函数的分段方法等,同时也考查了根据图像求零点的范围问题,属于中等题型.15．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时()2f x x =，对任意的[]1,1x a a ∈-+，恒有()()23f x a f x +≥，则实数a 的最大值为_____．【答案】【解析】写出函数()y f x =的解析式，判断出函数()y f x =在R 上单调递减，由)()3ff x =，结合())2f x a f +≥，可得出2x a +≤在区间[]1,1a a -+上恒成立，于是得出))()min2111a x a ⎡⎤≤=-⎣⎦，从而解出实数a 的取值范围，得出a 的最大值. 【详解】由于函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()()22f x f x x x =--=--=-，()22,0,0x x f x x x ⎧≤∴=⎨->⎩，易知函数()y f x =在R 上单调递减，又)()3ff x =，由()())23f x a f x f +≥=，得2x a +≤，即)21a x ≤在[]1,1x a a ∈-+上恒成立，则))()min2111a x a ⎡⎤≤=-⎣⎦，化简得()31a ≤-，解得a ≤，因此，实数a 的最大值为故答案为：3-. 【点睛】本题考查函数不等式恒成立问题，解题时要充分分析函数单调性与奇偶性，并将不等式转化为()()12f x f x ≤，利用函数()y f x =的单调性求解，考查化归与转化思想的应用，属于难题.16．对于定义在R 上的函数()f x ，如果存在实数a ，使得()()1f a x f a x +⋅-=对任意实数x ∈R 恒成立，则称()f x 为关于a 的“τ函数”．已知定义在R 上的函数()f x 是关于0和1的“τ函数”，且当[]0,1x ∈时，()f x 的取值范围为[]1,2，则当[]2,2x ∈-时，()f x 的取值范围为________． 【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】根据题意列出()()1f x f x ⋅-=和()()111f x f x +⋅-=再代换求出函数的周期,再将自变量转换到[]0,1x ∈内分析即可. 【详解】当1a =时, ()()111f x f x +⋅-=,所以()()21f x f x +⋅-=.当0a =时, ()()1f x f x ⋅-=,故()()2f x f x +=,故函数()f x 是以2为周期的周期函数.又当[]1,2x ∈时, []20,1x -∈,所以()[]221,f x -∈. 又()()21f x f x +⋅-=,所以()[]1,11(,(21,2)2)f x f x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦=∈-.所以当[]0,2x ∈时, 1,22()f x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦,结合周期性知, 当[]2,2x ∈-时1,22()f x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查抽象函数的周期性运用,需要代换自变量到合适的区间进行周期性的判定以及函数范围的判定.属于中等题型.17．已知,x y R ∈满足()()()()3322019212201921x x y y ⎧-+-=⎪⎨-+-=-⎪⎩，若对任意的0t >，k t x y t +≥+恒成立，则实数k 的最小值为________． 【答案】4【解析】观察()()()()3322019212201921x x y y ⎧-+-=⎪⎨-+-=-⎪⎩可构造函数3()(2)2019(2)f x x x =-+-,分析其性质得出,x y 的关系再进行不等式恒成立的运用即可.【详解】设3()(2)2019(2)f x x x =-+-,则()f x 为3()2019g x x x =+往右平移两个单位得来.又3()2019g x x x =+为单调递增的奇函数,且关于(0,0)对称. 故3()(2)2019(2)f x x x =-+-为单调递增的函数且关于(2,0)对称.又()()()()3322019212201921x x y y ⎧-+-=⎪⎨-+-=-⎪⎩可知(,1),(,1)x y -关于(2,0)对称.故22x y += , 即4x y +=.又对任意的0t >,4kt x y t+≥+=恒成立.即240t t k -+≥恒成立.故判别式2440k ∆=-≤,得4k ≥.故k 的最小值为4. 故答案为：4 【点睛】本题主要考查函数的对称性与恒成立问题.其中构造函数3()(2)2019(2)f x x x =-+-进行分析是关键,属于难题.三、解答题18．设全集U =R ,集合{}|14A x x =<≤，{}22|560B x x ax a =++≤,（1）若1a =-，求B A ⋂，U B C A ⋂； （2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）[]2,3B A ⋂=,U B C A ⋂=∅，(2）4132a -<≤- 【解析】试题分析：（1）代入1a =-，得到集合B ，即可求解集合B A ⋂和U B C A ⋂； （2）由A B A ⋃=，则B A ⊆，分类0a =，0a >和0a <讨论，即可求解实数a 的取值范围.试题解析：（1）当1a =-时，此时{}2|560{|23}B x x x x x =-+≤=≤≤， 所以{|23}B A x x ⋂=≤≤，又{|1U C A x x =<或4}x ≥，所以U B C A φ⋂=. （2）由A B A ⋃=，则B A ⊆，当0a =时，{}{}2|00B x x =≤=，此时不满足题意，舍去；当0a >时，{|32}B x a x a =-≤≤-，此时不满足题意，舍去；当0a <时，{|23}B x a x a =-≤≤-，则满足2134a a -≥⎧⎨-<⎩，解得1243a a ⎧≤-⎪⎪⎨⎪>-⎪⎩，即1423a -≤<-，综上所述，实数a 的取值范围是1423a -≤<-. 19．某民营企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润y 与投资x 成正比，其关系如图甲，B 产品的利润y 与投资x 的算术平方根成正比，其关系如图乙(注：利润与投资单位为万元).()1分别将A ，B 两种产品的利润y 表示为投资x 的函数关系式；()2该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A ，B 两种产品的生产.问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少万元？ 【答案】（1）()()1,04f x x x =≥，()()0g x x =≥， （2）当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约为6516万元。

2019-2020学年浙江省宁波市余姚中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={x∈Z|−2⩽x<3},B={0,2,4}，则A∩B=()A. {0,2,4}B. {0,2}C. {0,1,2}D. ϕ2.已知函数f(x)=lg(x−1)+x−3，则函数f(x)的零点所在的区间是()A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)3.已知f(x)是奇函数，且当x≥0时，f(x)=−x2+x，则不等式xf(x)<0的解集为()A. (−∞,−1)∪(0,1)B. (−1,0)∪(1,+∞)C. (−1,0)∪(0,1)D. (−∞,−1)∪(1,+∞)4.关于函数f(x)=log3x，下列说法正确的是()A. 在上单调递增B. 在上单调递减C. 图象关于x轴对称D. 图象关于点对称5.已知幂函数f(x)=(m2−2m−2) x2−m在上单调递增，则m的值为()A. −1B. −1或3C. 1或−3D. −36.下列函数是奇函数且在区间(1,+∞)上单调递增的是()A. f(x)=−x3B. f(x)=√xC. f(x)=x+1x D. f(x)=ln1−x1+x7.常见的三阶魔方约有4.3×1019种不同的状态，将这个数记为A，二阶魔方有560×38种不同的状态，将这个数记为B，则下列各数与AB 最接近的是()(参考数据：log310≈2.1，4.3560≈0.6×3−4)A. 0.6×3−28B. 0.6×1028C. 0.6×328D. 0.6×3328.已知函数f(x)=lnx+(a−2)x−a+3，(a>0)，若f(x)>0有且只有一个整数解，则a的取值范围是()A. (0,1−ln2)B. (0,1−ln2]C. [1−ln2,2)D. (1−ln2,2)9.已知x>0，函数f(x)=(e x−a)2+(e−x+a)2e x−e−x的最小值为6，则a=()A. −2B. −1或7C. 1或−7D. 210.若f(x)是偶函数，则f(x)=f(−x)=f(|x|).()A. 正确B. 错误二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.计算：_______ ；e0+√(1−√2)2−816=_______．12.函数f(x)=x−43−x的值域为______ ．13.函数f(x)=log a(6−ax)在[1,3]上单调递减，则实数a的取值范围是______。

2022-2023学年浙江省宁波市余姚中学高一（下）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i 为虚数单位，复数z ＝（3﹣i ）（2+i ），则z 的虚部为（ ） A ．iB ．1C ．7iD ．72．设平面向量a →=(1，2)，b →=(x ，−3)．若a →∥b →，则x ＝（ ） A ．﹣6 B ．−32C ．−23D ．63．已知sin(α+π)+cos(π−α)sin(π2−α)+sin(2π−α)=5，则tan α＝（ ）A ．34B ．43C ．−32D ．324．直线y ＝3与函数f （x ）＝tan ωx （ω＞0）的图象的交点中，相邻两点的距离为π4，则f （π12）＝（ ）A ．−√3B ．−√33C ．√33D ．√35．已知a ，b 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则 ①若a ⊥α，b ⊥β，且α∥β，则a ∥b ； ②若a ⊥α，b ∥β，且α∥β，则a ⊥b ； ③若α∥β，a ⊂α，b ⊂β，则a ∥b ； ④若a ⊥α，b ⊥β，且α⊥β，则a ⊥b ； 其中真命题的个数是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．16．如图，△A 'B 'C '为水平放置的△ABC 的直观图，其中A 'B '＝2，A 'C '＝B 'C '=√10，则在原平面图形△ABC 中有（ ）A ．AC ＝BCB ．AB ＝2C ．BC =√82D ．S △ABC ＝3√27．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B =2π3，b ＝2√3，b 2+c 2﹣a 2=√3bc ．若∠BAC 的平分线与BC 交于点E ，则AE ＝（ ）A ．√6B ．√7C ．2√2D ．38．已知e 1→，e 2→为单位向量，且|e 1→+2e 2→|≤2，若非零向量a →满足a →•e 1→≤a →•e 2→，则a →⋅(2e 1→+e 2→)|a →|的最大值是（ ）A ．3√34B ．3√32C ．3√62D ．3√64二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列两个向量，不能作为基底向量的是（ ） A ．e 1→=(0，0)，e 2→=(1，2)B ．e 1→=(2，−1)，e 2→=(1，2) C ．e 1→=(−1，−2)，e 2→=(1，2)D ．e 1→=(1，1)，e 2→=(1，2)10．如图所示，点M ，N 是函数f(x)=2cos(ωx +φ)(ω＞0，−π2＜φ＜π2)的图象与x 轴的交点，点P 在M ，N 之间的图象上运动，若M （﹣1，0），且当三角形MPN 的面积最大时，PM ⊥PN ，则（ ）A ．f(0)=√2B ．ω+φ＝0C ．f （x ）的单调增区间为[﹣1+8k ，1+8k ]（k ∈Z ）D ．f （x ）的图象关于直线x ＝5对称11．在三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 的对边，下列说法正确的有（ ） A ．若A ＝30°，b ＝4，a ＝5，则三角形ABC 有两解B ．若0＜tan A •tan B ＜1，则三角形ABC 一定是钝角三角形C ．若cos （A ﹣B ）cos （B ﹣C ）cos （C ﹣A ）＝1，则三角形ABC 一定是等边三角形D ．若a ﹣b ＝c •cos B ﹣c •cos A ，则三角形ABC 一定是等腰三角形12．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是AA 1，CC '1，C 1D 1的中点，Q 是线段D 1A 1上的动点，则（ ）A ．存在点Q ，使B ，N ，P ，Q 四点共面 B ．存在点Q ，使PQ ∥面MBNC ．过Q ，M ，N 三点的平面截正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1所得截面面积的取值范围为[2√6，3√3] D ．经过C ，M ，B ，N 四点的球的表面积为9π2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．复数1+i 1−2i（i 为虚数单位）的共轭复数是 ．14．已知a →=(1，√3)，b →=(cosθ，sinθ)，则|a →+2b →|的取值范围是 ．15．如图，E ，F 分别是正方形ABCD 的边AB ，AD 的中点，把△AEF ，△CBE ，△CFD 折起构成一个三棱锥P ﹣CEF （A ，B ，D 重合于P 点），则三棱锥P ﹣CEF 的外接球与内切球的半径之比是 ．16．在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，三角形ABC 的面积S =√312(a 2+b 2−c 2)，若24（bc ﹣a ）＝b tan B ，则c 的最小值是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）当实数m 取什么值时，复平面内表示复数z ＝（m 2﹣5m +6）+（m 2﹣3m +2）i 的点分别满足下列条件：（1）与原点重合； （2）位于直线y ＝2x 上；（3）位于第一象限或者第三象限．18．（12分）已知向量a →，b →，c →在同一平面上，且a →=（﹣2，1）． （1）若a →∥c →，且|c →|＝25，求向量c →的坐标；（2）若b →=（3，2），且k a →−b →与a →+2b →垂直，求k 的值．19．（12分）已知向量a →=(sinx ，−2cosx)，b →=(2√3cosx ，cosx)，函数f(x)=a →⋅b →+1． （1）求f （x ）的单调递减区间；（2）把f （x ）图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向左平移π12个单位长度，得到函数g （x ）的图象，求g （x ）在[−π12，π8]上的值域． 20．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E 、F 分别为A 1C 1、BC 的中点．（1）求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1； （2）求证：C 1F ∥平面ABE ； （3）求三棱锥E ﹣ABC 的体积．21．（12分）已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且a cos B +√3a sin B ﹣b ﹣c ＝0． （1）求A ；（2）若锐角△ABC 的面积为√3，求b 的取值范围．22．（12分）如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB =2BC =8√3，∠DAB =π3，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折为△A ′DE ，若F 为线段A ′C 的中点．在△ADE 翻折过程中， （Ⅰ）求证：BF ∥平面A ′DE ；（Ⅱ）若二面角A ′﹣DE ﹣C ＝60°，求A ′C 与面A ′ED 所成角的正弦值．2022-2023学年浙江省宁波市余姚中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i 为虚数单位，复数z ＝（3﹣i ）（2+i ），则z 的虚部为（ ） A ．iB ．1C ．7iD ．7解：∵z ＝（3﹣i ）（2+i ）＝7+i ，∴z 的虚部为1． 故选：B ．2．设平面向量a →=(1，2)，b →=(x ，−3)．若a →∥b →，则x ＝（ ） A ．﹣6 B ．−32C ．−23D ．6解：∵a →∥b →，∴﹣3﹣2x ＝0，解得x =−32． 故选：B ． 3．已知sin(α+π)+cos(π−α)sin(π2−α)+sin(2π−α)=5，则tan α＝（ ）A ．34B ．43C ．−32D ．32解：∵sin(α+π)+cos(π−α)sin(π2−α)+sin(2π−α)=5， ∴−sinα−cosαcosα−sinα=sinα+cosαsinα−cosα=tanα+1tanα−1=5，解得tan α=32． 故选：D ．4．直线y ＝3与函数f （x ）＝tan ωx （ω＞0）的图象的交点中，相邻两点的距离为π4，则f （π12）＝（ ）A ．−√3B ．−√33C ．√33D ．√3解：y ＝tan ωx 的图象的相邻两支截直线y ＝3所得的线段长度为函数的周期，所以该函数的周期是π4， ∴πω=π4（ω＞0），解得ω＝4；∴f （x ）＝tan4x ， 当x =π12时，f （π12）＝tan （4×π12）＝tanπ3=√3．故选：D ．5．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则①若a⊥α，b⊥β，且α∥β，则a∥b；②若a⊥α，b∥β，且α∥β，则a⊥b；③若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；④若a⊥α，b⊥β，且α⊥β，则a⊥b；其中真命题的个数是（）A．4B．3C．2D．1解：对①，∵α∥β，又a⊥α，b⊥β，∴a∥b，∴①正确；对②，∵α∥β，又a⊥α，b∥β，∴a⊥b，∴②正确；对③，∵α∥β，a⊂α，b⊂β，∴a与b异面或a∥b，∴③错误；对④，∵α⊥β，又a⊥α，b⊥β，∴a⊥b，∴④正确，∴真命题的个数是3．故选：B．6．如图，△A'B'C'为水平放置的△ABC的直观图，其中A'B'＝2，A'C'＝B'C'=√10，则在原平面图形△ABC 中有（）A．AC＝BC B．AB＝2C．BC=√82D．S△ABC＝3√2解：把直观图转化为原平面图形，如图所示：取A′B′的中点D，连接C′D，△A'B'C'中，A'B'＝2，A'C'＝B'C'=√10，所以C′D⊥A′B′，所以C′D=√(√10)2−12=3，所以O′D＝C′D＝3，所以O′A′＝3﹣1＝2，O′C′=√2O′D＝3√2；在原平面图形△ABC中，AB＝2A′B′＝4，AC=√OA2+OC2=√42+(3√2)2=√34，BC =√OB 2+OC 2=√82+(3√2)2=√82，△ABC 的面积为S △ABC ＝S △OBC ﹣S △OAC =12×3√2×8−12×3√2×4＝6√2． 故选：C ．7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B =2π3，b ＝2√3，b 2+c 2﹣a 2=√3bc ．若∠BAC 的平分线与BC 交于点E ，则AE ＝（ ） A ．√6B ．√7C ．2√2D ．3解：因为b 2+c 2﹣a 2=√3bc ，所以cos A =b 2+c 2−a 22bc=√3bc 2bc =√32， 因为A ∈（0，π3），所以A =π6，因为B =2π3，b ＝2√3， 所以C ＝π﹣A ﹣B =π6， 由正弦定理，可得asinπ6=c sinπ6=2√3sin2π3，解得a ＝c ＝2，因为∠BAC 的平分线与BC 交于点E ， 所以BE CE=AB AC=2√3CE =√3BE ，所以由BE +CE ＝BE +√3BE ＝2，可得BE =3+1=√3−1， 在△ABE 中，由余弦定理可得AE =√AB 2+BE 2−2AB ⋅BE ⋅cosB =√22+(√3−1)2−2×2×(√3−1)×cos 2π3=√6． 故选：A ．8．已知e 1→，e 2→为单位向量，且|e 1→+2e 2→|≤2，若非零向量a →满足a →•e 1→≤a →•e 2→，则a →⋅(2e 1→+e 2→)|a →|的最大值是（ ）A ．3√34B ．3√32C ．3√62D ．3√64解：由题意，可设e 1→=（1，0），e 2→=（cos α，sin α），则e 1→+2e 2→=（1+2cos α，2sin α）， 由|e 1→+2e 2→|≤2，可得（1+2cos α）2+4sin 2α≤4，整理得cos α≤−14， 设a →=（r cos β，r sin β），r ＞0，由a →•e 1→≤a →•e 2→，可得（r cos β，r sin β）•（1，0）≤（r cos β，r sin β）•（cos α，sin α）， 即r cos β≤r cos βcos α+r sin βsin α，故cos β≤cos （α﹣β），当cos β＝cos （α﹣β）时，β＝α﹣β+2k π（k ∈Z ）或β＝﹣α+β+2k π（k ∈Z ）， 即2β＝α+2k π（k ∈Z ）或α＝2k π（k ∈Z ）， ∵cos α≤−14，∴α＝2k π（k ∈Z ）不合题意， 故cos β＝cos （α﹣β）时，2β＝α+2k π（k ∈Z ），而a →⋅(2e 1→+e 2→)|a →|=2rcosβ+rcosβcosα+rsinβsinαr=2cos β+cos （α﹣β），∵cos β≤cos （α﹣β），∴a →⋅(2e 1→+e 2→)|a →|≤3cos （α﹣β），当2β＝α+2k π（k ∈Z ）时，“＝”成立， 此时3cos （α﹣β）＝3cos （β﹣2k π）＝3cos β， ∵cos α＝cos （2β﹣2k π）＝cos2β＝2cos 2β﹣1≤−14， 故cos 2β≤38，即−√64≤cos β≤√64，故a →⋅(2e 1→+e 2→)|a →|≤3cos （α﹣β）＝3cos β≤3√64，故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列两个向量，不能作为基底向量的是（ ）A ．e 1→=(0，0)，e 2→=(1，2)B ．e 1→=(2，−1)，e 2→=(1，2) C ．e 1→=(−1，−2)，e 2→=(1，2)D ．e 1→=(1，1)，e 2→=(1，2)解：A ．∵零向量与任意向量共线，∴不可以作为基底， B ．∵2×2≠﹣1×1，∴e 1→，e 2→不共线，∴可以作为基底， C ．∵e 1→=−e 2→，∴e 1→，e 2→共线，∴不可以作为基底， D ．∵1×2≠1×1，∴e 1→，e 2→不共线，∴可以作为基底， 故选：AC ．10．如图所示，点M ，N 是函数f(x)=2cos(ωx +φ)(ω＞0，−π2＜φ＜π2)的图象与x 轴的交点，点P 在M ，N 之间的图象上运动，若M （﹣1，0），且当三角形MPN 的面积最大时，PM ⊥PN ，则（ ）A ．f(0)=√2B ．ω+φ＝0C ．f （x ）的单调增区间为[﹣1+8k ，1+8k ]（k ∈Z ）D ．f （x ）的图象关于直线x ＝5对称解：由图知，当点P （x 0，y 0）位于曲线最高点（此时y 0＝2）时，△MPN 面积最大，且PM ⊥PN ， ∴△MPN 为等腰直角三角形，设MN 的中点为Q ，则PQ ⊥MN 且|PQ |=12|MN |，即y 0=12|MN |＝2， ∴|MN |＝4，又ω＞0，|MN |=12×2πω=4， ∴ω=π4．∴f （x ）＝2cos （π4x +φ）；∵M （﹣1，0）⇒2cos[（﹣1）×π4+φ]＝0⇒（﹣1）×π4+φ＝k π+π2⇒φ＝k π+3π4，k ∈Z ； ∵−π2＜φ＜π2； ∴φ=−π4；∴f （x ）＝2cos （π4x −π4）；∴f （0）＝2cos （−π4）=√2；A 对， ω+φ＝0；B 错，令π4x −π4∈[2k π﹣π，2k π]⇒x ∈[8k ﹣3，8k +1]，k ∈Z ；C 错，令π4x −π4=k π⇒；x ＝4k +1，k ∈Z ，D 对． 故选：AD ．11．在三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 的对边，下列说法正确的有（ ） A ．若A ＝30°，b ＝4，a ＝5，则三角形ABC 有两解B ．若0＜tan A •tan B ＜1，则三角形ABC 一定是钝角三角形C ．若cos （A ﹣B ）cos （B ﹣C ）cos （C ﹣A ）＝1，则三角形ABC 一定是等边三角形D ．若a ﹣b ＝c •cos B ﹣c •cos A ，则三角形ABC 一定是等腰三角形 解：对A 选项，∵A ＝30°，b ＝4，a ＝5， ∴由正弦定理可得asinA=b sinB，∴512=4sinB，∴sin B =25，又b ＜a ，∴B ＜A ＝30°，∴B 为锐角， ∴△ABC 仅有一解，∴A 选项错误；对B 选项，∵三角形ABC 中，0＜tan A •tan B ＜1， ∴tan A ＞0，tan B ＞0，∴tan C ＝tan[π﹣（A +B ）]＝﹣tan （A +B ）=−(tanA+tanB1−tanAtanB)＜0，∴C 为钝角，∴△ABC 一定是钝角三角形，∴B 选项正确；对C 选项，∵三角形ABC 中，cos （A ﹣B ）cos （B ﹣C ）cos （C ﹣A ）＝1， ∴cos （A ﹣B ）＝cos （B ﹣C ）＝cos （C ﹣A ）＝1， ∴A ＝B ＝C ，∴△ABC 一定是等边三角形，∴C 选项正确； 对D 选项，∵a ﹣b ＝c •cos B ﹣c •cos A ，∴由正弦定理可得sin A ﹣sin B ＝sin C cos B ﹣sin C cos A ， ∴sin （B +C ）﹣sin （A +C ）＝sin C cos B ﹣sin C cos A ，∴sin B cos C +cos B sin C ﹣sin A cos C ﹣cos A sin C ＝sin C cos B ﹣sin C cos A ， ∴sin B cos C ﹣sin A cos C ＝0，∴cos C （sin B ﹣sin A ）＝0， ∴cos C ＝0或sin B ＝sin A ，∴C ＝90°或A ＝B ，∴△ABC 是直角三角形或等腰三角形，∴D 选项错误． 故选：BC ．12．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是AA 1，CC '1，C 1D 1的中点，Q 是线段D 1A 1上的动点，则（ ）A ．存在点Q ，使B ，N ，P ，Q 四点共面 B ．存在点Q ，使PQ ∥面MBNC ．过Q ，M ，N 三点的平面截正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1所得截面面积的取值范围为[2√6，3√3] D ．经过C ，M ，B ，N 四点的球的表面积为9π2解：选项A ，连接A 1B ，A 1P ，CD 1，正方体中易知CD 1∥A 1B ，P ，N 分别是C 1D 1，C 1C 中点， 则PN ∥CD 1，所以PN ∥A 1B ，即A 1，P ，N ，B 四点共面，当Q 与A 1重合时满足B ，N ，P ，Q 四点共面，A 正确；选项B ，如图，取A 1D 1中点为Q ，连接PQ ，QM ，A 1C 1，因为M ，N 分别是AA 1，CC 1中点，则A 1M 与C 1N 平行且相等，A 1C 1NM 是平行四边形，所以MN ∥A 1C 1，又P 是C 1D 1中点，所以PQ ∥A 1C 1，所以PQ ∥MN ，MN ⊂平面BMN ，PQ ⊄平面BMN ，所以PQ ∥平面BMN ，B 正确；选项C，正方体中，M，N分别是AA1，CC1中点，则MN∥A1C1∥AC，Q在A1D1上，如图，作QE∥A1C1交C1D1于E，连接EN，延长交DC延长线于点K，连接QM延长交DA延长线于点T，连接TK交AB于点G，交BC于点F，QENFGM为所过M，N，Q三点的截面，由正方体的对称性可知梯形QENM与梯形FGMN全等，由面面平行的性质定理，TK∥QE，从而有TK∥AC，由正方体性质，设D1Q＝x，0≤x≤2，则D1E＝D1Q＝x，C1E＝2﹣x，N是CC1中点，C1N∥CK，则CK＝C1E＝2﹣x，所以CF＝CK＝2﹣x，同理AG＝2﹣x，BG＝BF＝x，QE=√2x，MN=2√2，EN=√12+(2−x)2=√x2−4x+5，梯形QENM是等腰梯形，高为ℎ=√EN2−(MN−QE2)2=√12x2−2x+3，截面面积S=2×12(QE+MN)ℎ=√x4−6x2+8x+24，设f(x)=√x4−6x2+8x+24，x∈[0，2]，f'（x）＝4x3﹣12x+8＝4（x﹣1）2（x+2）≥0，f（x）在[0，2]上单调递增，f（x）max＝f（2）＝32，f（x）min＝f（0）＝24，所以S∈[2√6，4√2]，故C错误；选项D，取BB1中点U，DD1中点V，连接MV，MU，NV，NU，则MUNV﹣ABCD是正四棱柱（也是长方体），它的外接球就是过B ，C ，M ，N 四点的球，所以球直径为√22+22+12=3，半径为R =32，表面积为S ＝4πR 2＝9π，故D 错误．故选：AB ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．复数1+i 1−2i （i 为虚数单位）的共轭复数是 −15−35i ． 解：∵1+i1−2i=(1+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−15+35i ，∴复数1+i1−2i（i 为虚数单位）的共轭复数是−15−35i ．故答案为：−15−35i ．14．已知a →=(1，√3)，b →=(cosθ，sinθ)，则|a →+2b →|的取值范围是 [0，4] ． 解：由于a →=(1，√3)，b →=(cosθ，sinθ)； 所以a →+2b →=(1+2cosθ，√3+2sinθ)；所以|a →+2b →|=√(1+2cosθ)2+(√3+2sinθ)2=√8+8sin(θ+π6)，当sin(θ+π6)=1时，|a →+2b →|max =4， 当sin(θ+π6)=−1时，|a →+2b →|min =0；故|a →+2b →|的取值范围是[0，4]． 故答案为：[0，4]．15．如图，E ，F 分别是正方形ABCD 的边AB ，AD 的中点，把△AEF ，△CBE ，△CFD 折起构成一个三棱锥P ﹣CEF （A ，B ，D 重合于P 点），则三棱锥P ﹣CEF 的外接球与内切球的半径之比是 2√6 ．解：设正方形的边长为2，则折起后PE ，PF ，PC 两两垂直，且PE ＝PF ＝1，PC ＝2，则三棱锥P ﹣EFC 的外接球半径R 等于以PE ，PF ，PC 为长宽高的长方体的外接球半径， 所以R =√12+12+222=√62，设三棱锥的内切球的半径为r ，则三棱锥的体积为V =13⋅r ⋅S 表=13⋅r ⋅22=4r3， 又三棱锥的体积为V =13⋅PE ⋅S △PFC =13⋅1⋅12⋅1⋅2=13， 所以4r 3=13，则r =14，所以三棱锥的外接球半径与内切球的半径的比是√6214=2√6，故答案为：2√6．16．在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，三角形ABC 的面积S =√312(a 2+b 2−c 2)，若24（bc ﹣a ）＝b tan B ，则c 的最小值是 2√33．解：∵△ABC 的面积S =12ab sin C =√312（a 2+b 2﹣c 2），∴根据余弦定理可得12ab sin C =√312×2ab cos C ，∴tan C =√33，又C ∈（0，π）， ∴C =π6，∴A +B =5π6， 又△ABC 为锐角三角形，∴{0＜B ＜π20＜A =5π6−B ＜π2，∴B ∈（π3，π2）， ∴tan B ∈（√3，+∞）， ∵24（bc ﹣a ）＝b tan B ， ∴c =a b +tanB24，根据正弦定理可得： c =sinA sinB +tanB 24=sin(5π6−B)sinB +tanB 24=12cosB+√32sinB sinB+tanB 24 =12tanB +tanB 24+√32≥2√12tanB ×tanB 24+√32=2√33， 当且仅当12tanB=tanB 24，即tan B =2√3∈（√3，+∞），等号成立，∴c 的最小值是2√33．故答案为：2√33． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）当实数m 取什么值时，复平面内表示复数z ＝（m 2﹣5m +6）+（m 2﹣3m +2）i 的点分别满足下列条件：（1）与原点重合； （2）位于直线y ＝2x 上；（3）位于第一象限或者第三象限．解：复数z ＝（m 2﹣5m +6）+（m 2﹣3m +2）i 对应的点的坐标为（m 2﹣5m +6，m 2﹣3m +2），（1）若与原点重合，则{m 2−5m +6=0m 2−3m +2=0，解得m ＝2；（2）若位于直线y ＝2x 上，则m 2﹣3m +2＝2（m 2﹣5m +6），解得m ＝2或5；（3）若位于第一象限或者第三象限，则（m 2﹣5m +6）（m 2﹣3m +2）＞0，解得m ＜1或m ＞3， 即m 的取值范围为（﹣∞，1）∪（3，+∞）．18．（12分）已知向量a →，b →，c →在同一平面上，且a →=（﹣2，1）． （1）若a →∥c →，且|c →|＝25，求向量c →的坐标；（2）若b →=（3，2），且k a →−b →与a →+2b →垂直，求k 的值． 解：（1）∵a →∥c →，设c →=λa →=(−2λ，λ)，∵|c →|=25，即√(−2λ)2+λ2=25，∴λ=±5√5，∴c →=(−10√5，5√5)或c →=(10√5，−5√5)； （2）∵a →=(−2，1)，b →=(3，2)，∴ka →−b →=(−2k −3，k −2)，a →+2b →=(4，5)， ∵(ka →−b)→⊥(a →+2b →)， ∴(ka →−b →)⋅(a →+2b →)=0， 即4（﹣2k ﹣3）+5（k ﹣2）＝0， 即﹣3k ＝22，则k =−223．19．（12分）已知向量a →=(sinx ，−2cosx)，b →=(2√3cosx ，cosx)，函数f(x)=a →⋅b →+1． （1）求f （x ）的单调递减区间；（2）把f （x ）图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向左平移π12个单位长度，得到函数g （x ）的图象，求g （x ）在[−π12，π8]上的值域． 解：（1）f(x)=a →⋅b →+1=2√3sin x cos x ﹣2cos 2x +1=√3sin2x ﹣cos2x ＝2sin （2x −π6）， 令2x −π6∈[2k π+π2，2k π+3π2]，k ∈Z ，则x ∈[k π+π3，k π+5π6]，k ∈Z ， 故f （x ）的单调递减区间为[k π+π3，k π+5π6]，k ∈Z ． （2）g （x ）＝2sin[4（x +π12）−π6]＝2sin （4x +π6）， 因为x ∈[−π12，π8]，所以4x +π6∈[−π6，2π3]，当4x +π6=π2，即x =π12时，g （x ）取得最大值，为2； 当4x +π6=−π6，即x =−π12时，g （x ）取得最小值，为﹣1， 故g （x ）在[−π12，π8]上的值域为[﹣1，2]．20．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E 、F 分别为A 1C 1、BC 的中点．（1）求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1； （2）求证：C 1F ∥平面ABE ； （3）求三棱锥E ﹣ABC 的体积．解：（1）证明：∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面， ∴BB 1⊥AB ，∵AB ⊥BC ，BB 1∩BC ＝B ，BB 1，BC ⊂平面B 1BCC 1， ∴AB ⊥平面B 1BCC 1， ∵AB ⊂平面ABE ，∴平面ABE ⊥平面B 1BCC 1；（Ⅱ）证明：取AB 中点G ，连接EG ，FG ，则 ∵F 是BC 的中点，∴FG ∥AC ，FG =12AC ， ∵E 是A 1C 1的中点， ∴FG ∥EC 1，FG ＝EC 1， ∴四边形FGEC 1为平行四边形， ∴C 1F ∥EG ，∵C 1F ⊄平面ABE ，EG ⊂平面ABE ， ∴C 1F ∥平面ABE ；（3）解：∵AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ， ∴AB =√3，∴V E ﹣ABC =13S △ABC •AA 1=13×（12×√3×1）×2=√33．21．（12分）已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且a cos B +√3a sin B ﹣b ﹣c ＝0． （1）求A ；（2）若锐角△ABC 的面积为√3，求b 的取值范围．解：（1）∵a cos B +√3a sin B ﹣b ﹣c ＝0，∴根据正弦定理可得： sinAcosB +√3sinAsinB −sinB −sinC =0，∴sinAcosB +√3sinAsinB −sinB −(sinAsinB +cosAsinB)=0， ∴sinB(√3sinA −cosA −1)=0，又sin B ＞0， ∴√3sinA −cosA −1=0，∴2sin(A −π6)=1，∴sin(A −π6)=12， ∴A −π6=π6，∴A =π3；（2）由（1）及题意可得△ABC 的面积为：12bcsinA =√34bc =√3，∴bc ＝4，∴根据正弦定理可得4R 2sin B sin C ＝4，R 为△ABC 外接圆的半径，∴b 2＝4R 2sin 2B =4sinB sinC =4sin(2π3−C)sinC =2√3cosC+2sinC sinC =2√3tanC+2，又△ABC 为锐角三角形，∴{0＜C ＜π20＜B =2π3−C ＜π2，∴C ∈（π6，π2）， ∴tan C ∈（√33，+∞），∴1tanC ∈(0，√3)，∴2√3tanC∈(0，6)， ∴2√3tanC+2∈（2，8），即b 2∈（2，8），∴b ∈（√2，2√2）． 22．（12分）如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB =2BC =8√3，∠DAB =π3，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折为△A ′DE ，若F 为线段A ′C 的中点．在△ADE 翻折过程中， （Ⅰ）求证：BF ∥平面A ′DE ；（Ⅱ）若二面角A ′﹣DE ﹣C ＝60°，求A ′C 与面A ′ED 所成角的正弦值．解：（Ⅰ）证明：取CD 的中点G ，连接FG ，BG ， ∵F 为线段A ′C 的中点，∴GF ∥A ′D ，∵FG ⊄平面A ′DE ，A ′D ⊂平面A ′DE ，∴GF ∥平面A ′DE ， 又DG ∥BE ，DG ＝BE ，∴四边形BEDG 为平行四边形，则BG ∥DE ． 可得BG ∥平面A ′DE ，又BG ∩GF ＝G ，可得平面A ′DE ∥平面BFG ， 则BF ∥面A ′DE ；（Ⅱ）取DC 中点G ，DE 中点O ，连接OG ，A ′O ，A ′G ，由AB =2BC =8√3，∠DAB =π3，E 为边AB 的中点边AB 的中点得AE ＝AD ＝4√3，所以△ADE 为等边三角形，从而DE ＝4√3，∠EDC ＝60°， 又DG ＝4√3，O 为DE 的中点所以OG ⊥DE ，又△A ′DE 是等边三角形，所以A ′O ⊥DE ，所以∠A ′OG 为二面角A ′﹣DE ﹣C 的平面角，所以∠A ′OG ＝60°， 过点E 作EM ∥OA ′，过A ′作A ′M ∥OE 交于M ，连接CM ，∵△A ′DE 是等边三角形，所以可求得A ′O ＝6，OE ＝2√3，所以EM ＝6，A ′M ＝2√3， ∵DE ⊥A ′O ，DE ⊥OG ，OG ∥CE ，EM ∥A ′O ， 所以DE ⊥EM ，DE ⊥EC ，又EC ∩EM ＝E ，所以DE ⊥面EMC ，又A ′M ∥DE ，所以A ′M ⊥面EMC ，∵A ′M ⊂A ′DE ，所以面A ′DE ⊥面EMC ，由ME ＝6，在△CBE 中易求得CE ＝12，又∠MEC ＝∠A ′OG ＝60°，所以MC ⊥EM ，ME ＝6√3，所以MC ⊥面A ′DE ，所以∠MA ′C 为A ′C 与平面A ′DE 所成的角， 在Rt △A ′MC 中可求得A ′C ＝2√30，所以sin ∠MA ′C =6√32√30=3√1010， ∴A ′C 与面A ′ED 所成角的正弦值为3√1010．。

2019-2020学年宁波市余姚中学高一(下)第一次质检数学试卷一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.在等比数列{a n}中，a1=3，公比q=√2，则a7等于()A. 12B. 15C. 18D. 242.若sin(π6−α)=13，则2cos2(π6+α2)−1=()A. 13B. −13C. 79D. −793.在等差数列{a n}中，a1=−5，a3是4与49的等比中项，且a3<0，则a5=()A. −18B. −23C. −24D. −324.已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=18，a2+a4+a6=24，则a20=()A. 42B. 40C. 38D. 365.已知△ABC中角A，B，C的对边分别是边a，b，c.若c=5，sinA+sinB=75sinC，b是a与c 的等差中项，则C=()A. π6B. π4C. π3D. π26.已知数列{a n}的通项公式a n=6n−713n−35，则下列说法正确的是()A. a n的最小值、最大值都不存在B. a n的最小值、最大值都存在C. a n的最小值存在、最大值不存在D. a n的最小值不存在、最大值存在7.在△ABC中，a=6，b=5，sinA=0.6，则角B为()A. 30°B. 150°C. 30°或150°D. 以上答案都不对8.已知数列{a n}的通项公式为a n=32n−11，前n项和为S n，下列关于a n及S n的叙述中正确的是()A. a n与S n都有最大值B. a n与S n都没有最大值C. a n与S n都有最小值D. a n与S n都没有最小值9.在△ABC中，若a2=b2+c2−2√3bcsinA，则A=()A. 150°B. 120°C. 60°D. 30°10.已知等比数列{a n}的公比为q，记b n=a m(n−1)+1+a m(n−1)+2+⋯+a m(n−1)+m，c n=a m(n−1)+1·a m(n−1)+2·…·a m(n−1)+m(m,n∈N∗)，则以下结论一定正确的是()．A. 数列{b n}为等差数列，公差为q m B. 数列{b n}为等比数列，公比为q2mC. 数列{c n}为等比数列，公比为qm2 D. 数列{c n}为等比数列，公比为qm m二、填空题（本大题共7小题，共42.0分）11.已知f(x)=3sinx+4cosx,x∈[0,π2]，则函数y=f(x)的最大值是_________，最小值是_________，12.在△ABC中，b=2，c=√3，△ABC的面积为32，则角A=______ ．13.等差数列{a n}中，若a2=−2，a6=−6，则a4=_________．14.等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，a1，S2，5成等差数列，则数列{a n}的公比q=______ ．15.已知等比数列{a n}的前n项和为S n.若a2=1，8a3+a6=0，则S5的值为________．16.已知三角形ABC的面积S=9,a=2√6，则sinBsinCsinA=_________.17.已知数列{a n}满足a1=0，a n+1=n√3√3a+1∈N∗)，则a20=________．三、解答题（本大题共5小题，共68.0分）18.已知数列{a n}为等差数列，a1=3，前n项和为S n，且S3=15，若1S1+1S2+⋯+1S n<cos2x+asinx+1对任意正整数n和任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．19.在△ABC中，ab=60√3，sinB=sinC，面积为15√3，求b．20.已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2a n−1．(1)求{a n}的通项公式；(2)若对任意的n∈N∗，不等式(λ+n)a n+1+a n≥16恒成立，求实数λ的最小值．21.如图，在平面直角坐标系xoy中，点A(x1,y1)在单位圆O上，∠xOA=α，且α∈(π6,π2 )(1)若cos(α+π4)=−35，求x1的值；(2)若B(x2,y2)是单元圆O上在第二象限的一点，且∠AOB=π3.过点B作x轴的垂线，垂足为C，记△BOC的面积为f(α)，求函数f(α)的取值范围．22.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若1≤a5≤4，2≤a6≤3，求S6的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：解：在等比数列{a n}中，∵a1=3，公比q=√2，∴a7=a1q6=3×(√2)6=24．故选：D．利用等比数列的通项公式求解．本题考查等比数列中第7项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的通项公式的合理运用．2.答案：A解析：解：若sin(π6−α)=13，则2cos2(π6+α2)−1=cos(π3+α)=sin[π2−(π3+α)]=sin(π6−α)=13，故选：A．由条件利用二倍角的余弦公式、诱导公式，求得要求式子的值．本题主要考查二倍角的余弦公式、诱导公式的应用，属于基础题．3.答案：B解析：本题考查了等差数列、等比数列的性质，难度一般．利用a3是4和49等比中项可求得a3=−14，利用等差中项的结论可求得a5=2a3−a1=−28+5=−23．解：因为a3是4和49等比中项，所以a32=4×49，又因为a3<0，所以a3=−14，因为{a n}是等差数列，所以a1，a3，a5成等差数列，所以a5=2a3−a1=−28+5=−23．4.答案：B解析：本题考查等差数列的概念和通项公式，属基础题，根据已知条件，利用等差数列的概念求得d，进而求得首项，然后利用通项公式求解．解：设等差数列{a n}的公差为d．∵a1+a3+a5=18，a2+a4+a6=24，且a2−a1=a4−a3=a5−a4=d∴3d=a2+a4+a6−(a1+a3+a5)=24−18=6，∴d=2，∵a1+a3+a5=18，且a3=a1+2d,a5=a1+4d，∴a1+a1+2d+a1+4d=18，∴3a1+6d=18，∴3a1+12=18，∴a1=2，∴a n=a1+(n−1)d=2n，∴a20=2×20=40，故选B．5.答案：D解析：本题考查正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题．首先由正弦定理得到a+b=75c=7，由b是a与c的等差中项得到2b=a+c=a+5，从而求出a、b，然后由余弦定理求解即可．解：因为c=5，sinA+sinB=75sinC，所以由正弦定理得：a+b=75c=7，因为b是a与c的等差中项，所以2b=a+c=a+5，两式联立解得：a=3，b=4，所以cosC=a2+b2−c22ab =9+16−252×3×4=0，所以C=π2．6.答案：B解析：本题考查数列的函数特征−单调性，属于基本题；利用函数单调性定义证明即可．a n=6n−713n−35=2(3n−35)−13n−35=2−13n−35=2−13n−353，由反比例函数图像易知：当n≤11时，2<a1<a2<⋯<a11，当n≥12时，a12<a13<⋯<a n<2，故当n=11时取得a n的最大值、当n=12时取得a n的最小值．故选B．7.答案：A解析：解：∵a=6，b=5，sinA=0.6，∴由正弦定理可得：sinB=bsinAa =5×0.66=12，∵b<a，可得：B为锐角，∴B=30°．故选：A．由已知利用正弦定理可求sinB=12，利用大边对大角可求B为锐角，根据特殊角的三角函数值即可得解B的值．本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．8.答案：C解析：本题考查数列的单调性和前n项和的最值，属基础题．由a n=32n−11可以分析数列的单调性，由此可以确定a n与S n都有最小值．解：因为a n=32n−11，所以a1=−13,a2=−37,a3=−35,a4=−1,a5=−3,a6=3,a7=1,⋯⋯，显然，当0<n≤5时，a n<0，且a n=32n−11单调递减；当n≥6时，a n>0，且a n=32n−11单调递减；则a n与S n都有最小值，a n的最小值为a5=−3，S n的最小值为S5．故选C．9.答案：D解析：本题考查余弦定理，是基础题．利用余弦定理，可得到√3sinA=cosA，再对A分析即可求解．解：由题可得△ABC中，若a2=b2+c2−2√3bcsinA，又余弦定理可得a2=b2+c2−2bccosA，所以√3sinA=cosA，又A∈(0°,180°)，(sinA)2+(cosA)2=1，可得cosA=√32，所以A=30°．故答案为D．10.答案：C解析：解：①b n =a m(n−1)(q +q 2+⋯+q m )，当q =1时，b n =ma m(n−1)，b n+1=ma m(n−1)+m =ma m(n−1)=b n ，此时是常数列，选项A 不正确，选项B 正确； 当q ≠1时，b n =a m(n−1)×q(q m −1)q−1，b n+1=a m(n−1)+m ⋅q(q m −1)q−1=a m(n−1)q m⋅q(q m −1)q−1，此时b n+1b n=q m ，选项B 不正确， 又b n+1−b n =a m(n−1)×q(q m −1)q−1(q m −1)，不是常数，故选项A 不正确，②∵等比数列{a n }的公比为q ，∴a m(n+1−1)=a m(n−1)+m =a m(n−1)⋅q m ，∴c n =a m(n−1)m q 1+2+⋯+m =a m(n−1)m⋅qm(m+1)2，∴c n+1c n=a m(n+1−1)mqm(m+1)2a m(n−1)m⋅qm(m+1)2=(a m(n−1)q m )ma m(n−1)m=q m 2，故C 正确D 不正确．综上可知：只有C 正确． 故选：C ．①b n =a m(n−1)(q +q 2+⋯+q m )，当q =1时，b n =ma m(n−1)，b n+1=ma m(n−1)+m =ma m(n−1)=b n ，此时是常数列，可判断A ，B 两个选项②由于等比数列{a n }的公比为q ，利用等比数列的通项公式可得a m(n+1−1)=a m(n−1)+m =a m(n−1)⋅q m ，c n =a m(n−1)m q 1+2+⋯+m =a m(n−1)m ⋅qm(m+1)2，得出c n+1c n即可判断出C ，D 两个选项．熟练掌握等差数列与等比数列的定义、通项公式及其前n 项和公式是解题的关键．11.答案：5；3解析：本题考查了三角函数的最值和辅助角公式，先由辅助角公式化简，再由三角函数性质可得f(x)的最值．解：f(x)=3sinx +4cosx =5(35sinx +45cosx)=5sin(x +θ)， 此时cosθ=35,sinθ=45， 由，得，所以sin(x +θ)∈[35,1]， 所以f(x)=5sin(x +θ)∈[3,5]，即函数y =f(x)的最大值是5，最小值是3， 故答案为5；3．12.答案：π3或2π3解析：解：△ABC中，∵b=2，c=√3，△ABC的面积为32，∴12bc⋅sinA=√3sinA=32，∴sinA=√32，∴A=π3，或A=2π3，故答案为：π3或2π3．由题意可得，12bc⋅sinA=√3sinA=32，求得sin A的值，可得A的值．本题主要考查正弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题．13.答案：−4解析：本题考查等差数列的性质，熟练掌握等差数列的性质是解题的关键.属于基础题．由数列{a n}为等差数列，a2，a4，a6成等差数列，从而根据等差中项的定义计算，即可得到答案．解：∵数列{a n}为等差数列，∴a2，a4，a6成等差数列，∴2a4=a2+a6=−2−6=−8，∴a4=−4．故答案为−4．14.答案：2解析：由a1，S2，5成等差数列，可得2S2=a1+5，即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解：∵a1=1，a1，S2，5成等差数列，∴2S2=a1+5，∴2(1+q)=1+5，解得q=2．故答案为2．15.答案：−112解析：本题考查等比数列的通项公式与求和，属于基础题，由a 2=1，8a 3+a 6=0，解得a 1和q ，再利用求和公式可得．解：设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 2=1，8a 3+a 6=0，∴{a 1q =18a 1q 2+a 1q 5=0，解得{a 1=−12q =−2, ∴S 5=a 1(1−q 5)1−q =−12×[1−(−2)5]1−(−2)=−112．故答案为−112．16.答案：34解析：首先根据三角形面积公式求出b sin C ，再利用正弦定理将分式变形，代入数据求解即可． 考查了正弦定理以及三角形面积的应用，考查了计算能力．解：因为S =12absinC =9，所以bsinC =18a=3√62．因为a sinA =b sinB ，所以sinB sinA =ba ， 所以sinBsinCsinA=bsinC a=3√622√6=34． 故答案为34．17.答案：−√3解析：本题考查了数列的递推关系和数列的函数特征．先根据首项和通项公式得到a 2，a 3，a 4的值，从而可得到数列{a n }是以3为周期的数列，根据20=3×6+2得到a 20=a 2=−√3，进而得到答案．解：∵a1=0,a n+1=n√3√3a+1(n∈N∗)，∴a2=1√33a+1=−√3，a3=2√3√3a+1=√3，a4=3√3√3a+1=0，∴数列{a n}是以3为周期的数列，又20=3×6+2，∴a20=a2=−√3．故答案为−√3．18.答案：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=3，S3=15，∴3×3+3×22d=15，解得d=2．∴S n=3n+n(n−1)2×2=n2+2n．∴1S n =1n(n+2)=12(1n−1n+2)．∴11+12+⋯+1n=1[(1−1)+(1−1)+(1−1)+⋯+(1−1)+(1−1)]=12(1+12−1n+1−1n+2)=34−2n+32(n2+3n+2)．∵1S1+1S2+⋯+1S n<cos2x+asinx+1对任意正整数n和任意x∈R恒成立，∴(1S1+1S2+⋯+1S n)max<cos2x+asinx+1，∴34≤cos2x+asinx+1，∵cos2x+asinx+1−3 4=1−sin2x+asinx+1 4=−(sinx−a2)2+5+a24=f(x)，当a2≤−1时，sinx=1，由f(x)取得最小值a+14≥0，解得a≥−14，舍去．当a2≥1时，sinx=−1，由f(x)取得最小值−a+14≥0，解得a≤14，舍去．当−1<a2<1时，当sinx=−1时，由f(x)=−a+14≥0，解得a≤14.当sinx=1，由f(x)=a+14≥0，解得a≥−14．∴−14≤a≤14．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1=3，S 3=15，利用等差数列的前n 项和公式解得d =2.可得：S n =n 2+2n.于是1S n=1n(n+2)=12(1n −1n+2).利用“裂项求和”可得：1S 1+1S 2+⋯+1S n=34−2n+32(n 2+3n+2).由于1S 1+1S 2+⋯+1S n<cos 2x +asinx +1对任意正整数n 和任意x ∈R 恒成立，(1S 1+1S2+⋯+1S n)max <cos 2x +asinx +1，可得34≤cos 2x +asinx +1，令cos 2x +asinx +1−34=−(sinx −a 2)2+5+a 24=f(x)，通过对a 分类讨论，利用二次函数的单调性即可得出．本题考查了等差数列的通项公式及其前n 项和公式、“裂项求和”、恒成立问题的等价转化方法、二次函数的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．19.答案：解：由S =12absinC =15√3，∴sinC =√312×60√3=12． 又∵sinB =sinC =12， B ，C 为三角形的内角， ∴B =C =30°． ∴A =120°．由正弦定理得asinA =bsinB ，即a =√3b ， 代入ab =√3b 2=60√3，得b =2√15．解析：本题考查正弦定理和面积公式的应用，属于基础题．根据三角形的面积公式S =12absinC =15√3可求出C ，从而求出A ，B ，由正弦定理可得a =√3b 代入ab =60√3即可求解．20.答案：解：(1)当n ≥2时，a n =S n −S n −1=(2a n −1)−(2a n −1−1)⇒a n =2a n−1，又当n =1时，a 1=1，所以数列{a n }为1为首项，2为公比的等比数列， ∴a n =2n−1．(2)∵a n+1>0，由不等式(λ+n)a n+1+a n≥16恒成立，得λ+n⩾16−a na n+1对n∈N∗恒成立，所以λ⩾16−a na n+1−n=16−2n−12n−n=12n−4−n−12，又易知函数f(x)=12x−4−x−12在R上单调递减，则λ⩾f(1)=132，∴λmin=132．解析：本题考查了数列的函数特征、数列的递推关系和等比数列的通项公式，考查不等式的恒成立问题，属于中档题．(1)当n≥2时，a n=S n−S n−1，可得a n=2a n−1，由等比数列可得{a n}的通项公式；(2)由题意得λ+n⩾16−a na n+1对n∈N∗恒成立，进而可得λ⩾16−a na n+1−n=12n−4−n−12，由f(x)=12x−4−x−12的单调性可得结果．21.答案：解(1)由三角函数定义有x1=cosα，y1=sinα，且α∈(π6,π2)，∴α+π4∈(5π12,3π4).∵cos(α+π4)=−35，∴sin(α+π4)=√1−cos2(α+π4)=45，∴x1=cosα=cos[(α+π4)−π4]=cos(α+π4)cosπ4+sin(α+π4)sinπ4=−35⋅√22+45⋅√22=√210．(2)由题意知点B(cos(α+π3),sin(α+π3))，f(α)=−12cos(α+π3)sin(α+π3)=−14sin(2α+2π3).∵α∈(π6,π2)，2α+2π3∈(π,5π3)，∴sin(2α+2π3)∈[−1,0)，∴f(α)=−14sin(2α+2π3)∈(014].解析：(1)由题意利用任意角的三角函数的定义，两角和的差正弦公式求得x1=cosα=cos[(α+π4)−π4]的值．(2)由题意知点B点的坐标，再根据f(α)=−12cos(α+π3)sin(α+π3)=−14sin(2α+2π3)，利用正弦函数的定义域和值域求得f(α)的范围．本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和的差正弦公式，二倍角公式的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．22.答案：解：∵a5=a1+4d，a6=a1+5d，∴1≤a1+4d≤4，2≤a1+5d≤3，S6=3(a1+a6)=6a1+15d．可得，6a1+15d=15(a1+4d)−9(a1+5d)，故−12≤S6≤42．故答案为[−12,42]．解析：本题考查了等差数列的通项公式和等差数列的求和．利用等差数列的通项公式将已知条件中的不等式化成首项公式与公差满足的不等关系，利用不等式的性质及前n项和公式求出前6项的和的范围．。

余姚中学2 0 1 9学年第一学期期中考试高一数学试卷审题：命题：（注：本试卷满分150分，时间120分钟，不准使用计算器）第I卷选择题部分（共40分）一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合}0|{≥=xxA，且A B B=，则集合B可能是（▲）A．}2,1{B．}1|{≤xx C．}1,0,1{−D．R2．函数()ln2f x x x=+−的零点所在的一个区间是（▲）A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)3．若定义在R上的奇函数()f x的图象与x轴交点的横坐标分别为1x，2x，3x，，2019x，且1232019x x x x m++++=，则不等式23(2)1x m x m−+−≤的解集为（▲）A．1,13⎡⎤−⎢⎥⎣⎦B．[]0,3C．(),0−∞D．∅4．函数)1(log)(2xxf−=的图象为（▲）A．B．C．D．5．已知幂函数2()(5)()mf x m m x m=−−∈Z在(0,)+∞上单调递减，若622ma−⎛=⎝⎭，12mb−=⎝⎭，12mc−⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列不等关系正确的是（▲）A．b a c<<B．c b a<<C．c a b<<D．b c a<<6．下列函数中，是偶函数且在区间(0+)∞，上单调递增的是（▲）A．y x x=B．y x=C．||e xy=D．xy1ln=7．根据有关资料，围棋状态空间复杂度上限M约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010．则下列各数中与MN最接近的是（ ▲ ）（参考数据：lg30.48≈） A ．3310B ．5310C ．7310D ．93108．已知|ln |)(x x f =，设b a <<0，且)()(b f a f =，则b a 2+的取值范围是 （ ▲ ） A ．),3[+∞ B ．),3(+∞ C ．),22[+∞ D ．),22(+∞ 9.已知函数()x x f x e e −=−,()x x g x e e −=+，则以下结论正确的是 （ ▲ ） A ．任意的12,x x ∈R 且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x −<−B ．任意的12,x x ∈R 且12x x ≠，都有1212()()0g x g x x x −<− C ．()f x 有最小值，无最大值 D ．()g x 有最小值，无最大值 10.已知(),()f x g x 都是偶函数，且在[)0,+∞上单调递增.设()()(1)|()(1)|F x f x g x f x g x =+−−−−，若0a >，则 （ ▲ ）A ．()()(1)(1)F a F a F a F a −≤+≥−且B ．()()(1)(1)F a F a F a F a −≤+≤−且C ．()()(1)(1)F a F a F a F a −≥+≥−且D ．()()(1)(1)F a F a F a F a −≥+≤−且第II 卷 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

余姚2023学年第二学期期中检测高一数学试卷（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知1i22i z -=+，则z z -=（）A .i- B.iC.0D.1【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法运算求出z ，再由共轭复数的概念得到z ，从而解出．【详解】因为()()()()1i 1i 1i 2i 1i 22i 21i 1i 42z ----====-++-，所以1i 2z =，即i z z -=-．故选：A ．2.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O A B C ''''，且//O A B C ''''，242O A B C A B '''''='==，，则该平面图形的高为（）A. B.2C.D.【答案】C 【解析】【分析】由题意计算可得O C ''，还原图形后可得原图形中各边长，即可得其高.【详解】在直角梯形O A B C ''''中，//O A B C ''''，24,2O A B C A B ''''='=='，则O C ==''直角梯形O A B C ''''对应的原平面图形为如图中直角梯形OABC ，则有//,,24,242BC OA OC OA OA BC OC O C ''⊥====，所以该平面图形的高为42.故选：C.3.在平行四边形ABCD 中，,AC BD 相交于点O ，点E 在线段BD 上，且3BE ED = ，则AE =（）A.1142AD AC + B.1124AD AC +C.3144AD AC +D.1344AD AC +【答案】B 【解析】【分析】利用平面向量基本定理即可得到答案.【详解】因为O 是AC 的中点，12AO AC ∴= ，又由3BE ED =可得E 是DO 的中点，11112224AE AD AO AD AC ∴=+=+ .故选：B.4.某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名学生去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是（）A.恰有1名女生和恰有2名女生B.至少有1名男生和至少有1名女生C.至少有1名女生和全是女生D.至少有1名女生和至多有1名男生【答案】A 【解析】【分析】根据互斥事件的定义判断即可.【详解】依题意可能出现2名男生、1名男生1名女生、2名女生；对于A ：恰有1名女生即选出的两名学生中有一名男生一名女生和恰有2名女生，他们不可能同时发生，故是互斥事件，故A 正确；对于B ：当选出的两名学生中有一名男生一名女生，则至少有1名男生和至少有1名女生都发生了，故不是互斥事件，故B 错误；对于C ：至少有1名女生包含有一名男生一名女生与全是女生，所以当全是女生时，至少有1名女生和全是女生都发生了，故不是互斥事件，故C 错误；对于D ：至少有1名女生包含有一名男生一名女生与全是女生，至多有1名男生包含有一名男生一名女生与全是女生，故至少有1名女生和至多有1名男生是相等事件，故D 错误.故选：A5.已知点()1,1A ，()0,2B ，()1,1C --．则AB 在BC上的投影向量为（）A.10310,55⎛ ⎝⎭B.10310,55⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭C.13,55⎛⎫⎪⎝⎭ D.13,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据向量的坐标公式，结合投影向量的定义进行求解即可.【详解】因为()1,1A ，()0,2B ，()1,1C --．所以()1,1AB =-uu u r，()1,3BC =--，5cos ,5AB BC AB BC AB BC⋅〈〉==-⋅，所以向量AB 与BC的夹角为钝角，因此量AB 在BC上的投影向量与BC 方向相反，而cos ,55AB AB BC ⋅〈〉==，155BC == ，所以AB 在BC 上的投影向量为()11131,3,5555BC ⎛⎫-⋅=-⋅--= ⎪⎝⎭，故选：C6.秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，他在著作《数书九章》中提出，已知三角形三边长计算三角形面积的一种方法“三斜求积术”，即在ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对应的边，其公式为：ABCS ==若22sin sin C c A =，3cos 5B =，a b c >>，则利用“三斜求积术”求ABC 的面积为（）A.54B.34 C.35D.45【答案】D 【解析】【分析】由正弦定理可得2ac =，由余弦定理可得222625a cb +-=，在结合已知“三斜求积术”即可求ABC 的面积.【详解】解：因为22sin sin C c A =，由正弦定理sin sin a c A C=得：22c c a =，则2ac =又由余弦定理2223cos 25a cb B ac +-==得：22236255a c b ac +-==则由“三斜求积术”得45ABC S == .故选：D.7.已知某样本的容量为50，平均数为36，方差为48，现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将24记录为34，另一个错将48记录为38.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则（）A.236,48s x =<B.236,48s x =>C.236,48s x ><D.236,48s x <>【答案】B 【解析】【分析】根据数据总和不变，则平均数不变，根据方差的定义得()()()2221248148363636850x x x ⎡⎤=-+-++-+⎣⎦ ，而()()()4221222813628843668035s x x x +⎡-⎤=-+>⎣⎦-+ .【详解】设收集的48个准确数据为1248,,x x x ，所以124834383650x x x +++++= ，所以12481728x x x +++= ，所以124824483650x x x x +++++== ，又()()()222221248148363636(3436)(3836)50x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦ ()()()22212481363636850x x x ⎡⎤=-+-++-+⎣⎦ ，()()()42222222183636(2436)(48136536)0s x x x ⎡⎤=-+⎣⎦-++-+-+- ()()()222281413628848365360x x x ⎡⎤=+-+-+->⎣⎦ ，故选：B.8.在ABC 中，π6A =，π2B =，1BC =，D 为AC 中点，若将BCD △沿着直线BD 翻折至BC D '△，使得四面体C ABD '-的外接球半径为1，则直线BC '与平面ABD 所成角的正弦值是（）A.3B.23C.3D.3【答案】D 【解析】【分析】由直角三角形性质和翻折关系可确定BC D '△为等边三角形，利用正弦定理可确定ABD △外接圆半径，由此可知ABD △外接圆圆心O 即为四面体C ABD '-外接球球心，由球的性质可知OG ⊥平面BC D '，利用C OBD O C BD V V ''--=可求得点C '到平面ABD 的距离，由此可求得线面角的正弦值.【详解】π6A =，π2B =，1BC =，2AC ∴=，又D 为AC 中点，1AD CD BD ∴===，则1BC C D BD ''===，即BC D '△为等边三角形，设BC D '△的外接圆圆心为G ，ABD △的外接圆圆心为O ，取BD 中点H ，连接,,,,,C H OH OG OB OC OD ''，π6A =，1BD =，112sin BDOB A∴=⋅=，即ABD △外接圆半径为1，又四面体C ABD '-的外接球半径为1，O ∴为四面体C ABD '-外接球的球心，由球的性质可知：OG ⊥平面BC D '，又C H '⊂平面BC D '，OG C H '∴⊥，22333C G CH '===，1OC '=，3OG ∴=；设点C '到平面ABD 的距离为d ，由C OBD O C BD V V ''--=得：1133OBD C BD S d S OG '⋅=⋅ ，又OBD 与C BD ' 均为边长为1的等边三角形，3d OG ∴==，直线BC '与平面ABD 所成角的正弦值为3d BC ='.故选：D.【点睛】关键点点睛；本题考查几何体的外接球、线面角问题的求解；本题求解线面角的关键是能够确定外接球球心的位置，结合球的性质，利用体积桥的方式构造方程求得点到面的距离，进而得到线面角的正弦值.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.数据1，2，3，3，4，5的平均数和中位数相同B.数据6，5，4，3，3，3，2，2，1的众数为3C.有甲、乙、丙三种个体按3:1:2的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30D.甲组数据的方差为4，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙组【答案】AB 【解析】【分析】根据已知条件，结合平均数、方差公式，众数、中位数的定义，以及分层抽样的定义，即可求解.【详解】对于A ，平均数为12334536+++++=，将数据从小到大排列为1,2,3,3,4,5，所以中位数为3332+=，A 正确；对于B ，数据6，5，4，3，3，3，2，2，1的众数为3，B 正确；对于C ，根据样本的抽样比等于各层的抽样比知，样本容量为3918312÷=++，C 错误；对于D ，乙数据的平均数为56910575++++=，乙数据的方差为()()()()()22222157679710757 4.445⎡⎤-+-+-+-+-=>⎣⎦，所以这两组数据中较稳定的是甲组，D 错误.故选：AB.10.在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别a 、b 、c ，22sin a bc A =，下列说法正确的是（）A.若1a =，则14ABC S =△B.ABC 外接圆的半径为bc aC.c b b c+取得最小值时，π3A =D.π4A =时，c b b c+值为【答案】ABD 【解析】【分析】对A ，由正弦定理化简2sin a b C =可得1sin 2C b=，再根据三角形面积公式判断即可；对B ，根据2sin a b C =结合正弦定理判断即可；对C ，根据正弦定理与余弦定理化简sin 2sin sin A B C =可得π4b c A c b ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再根据基本不等式与三角函数性质判断即可；对D ，根据三角函数值域求解即可.【详解】对A ，因为22sin a bc A =，由正弦定理可得sin 2sin sin a A b A C =，因为()0,πA ∈，则sin 0A >，则2sin a b C =，又因为1a =，故1sin 2C b =，故三角形面积为1111sin 12224ABC S ab C b b ==⨯⨯⨯=△，故A 正确；对B ，2sin a b C =，则sin 2aC b=，设ABC 外接圆的半径为R ，则2sin cR C=，故22c bc R a a b==⨯，故B 正确；对C ，因为22sin a bc A =，由余弦定理222sin 2cos b c c A b bc A =+-，即()222sin cos bc A A b c +=+，化简可得π4b c A c b⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，由基本不等式得2b c c b +≥=，当且仅当b c =时取等号，此时πsin 42A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故当π2A =，π4B C ==时，b c c b +取得最小值2，故C 错误；对D ，由C，π4b c A c b ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，当π4A =时，b c c b+的值为，故D 正确；故选：ABD.11.如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱,,AD AB BC 的中点，点P 为线段1D F 上的动点（包含端点），则（）A.存在点P ，使得1//C G 平面BEPB.对任意点P ，平面1FCC ⊥平面BEPC.两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为45︒D.点1B 到直线1D F 的距离为4【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项当P 与1D 重合时，用线面平行可得出11//C G D E ，进而可得；B 选项证明BE ⊥平面1FCC 即可得出；选项C 由正方体的性质和画图直接得出；选项D 由余弦定理确定1145B D F ∠=︒，之后求距离即可.【详解】A ：当P 与1D 重合时，由题可知，11111111//,,//,,//,EG DC EG DC D C DC D C DC EG D C EG D C ==∴=，四边形11EGC D 为平行四边形，故11//C G D E ，又1C G ⊄平面BEP ，1D E ⊂平面BEP ，则1//C G 平面BEP ，故A 正确；B ：连接CF ，1CC ⊥ 平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，1CC BE ∴⊥，又,,,AE BF AB BC A CBF BAF CBF ==∠=∠∴ ≌，故90,AEB BFC EBA BFC CF BE ∠=∠⇒∠+∠=︒∴⊥，又11,,CF CC C CF CC =⊂ 平面1FCC ，BE ∴⊥平面1FCC ，又BE ⊂平面BEP ，故对任意点P ，平面1FCC ⊥平面BEP ，故B 正确；C：由正方体的结构特征可知11//BC AD ，异面直线1D C 和1BC 所成的角即为1AD 和1D C 所成的角，由图可知为60︒，故C 错误；D ：由正方体的特征可得1111B D FD B F =====，222222111111111116cos ,4522B D FD B FB D F B D F B D FD +-+-∴∠===∴∠=︒⋅，所以点1B 到直线1D F 的距离1111sin 42d B D B D F =∠==，故D 正确；故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.为培养学生“爱读书、读好书、普读书”的良好习惯，某校创建了人文社科类、文学类、自然科学类三个读书社团.甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则三人恰好参加同一个社团的概率为______.【答案】19【解析】【分析】根据题意，得到基本事件的总数为27n =，以及所求事件中包含的基本事件个数为3m =，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.【详解】由人文社科类、文学类、自然科学类三个读书社团，甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，基本事件的总数为3327n ==，三人恰好参加同一个社团包含的基本事件个数为3m =，则三人恰好参加同一个社团的概率为31279m P n ===.故答案为：19.13.如图，在ABC 中，π3BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足()12AP mAC AB m =+∈R ，若2AC =，4AB =，则AP CD ⋅的值为______.【答案】3【解析】【分析】利用//CP CD ，结合已知条件可把m 求出，由平面向量基本定理把AP 、CD 用已知向量AB 、AC表示，再利用数量积的运算法则可求数量积．【详解】 2AD DB =，∴23AD AB = ，//CP CD，∴存在实数k ，使得CP kCD = ，即()AP AC k AD AC -=- ，又 12AP mAC AB =+ ，则()12123m AC AB k AB AC ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，∴11223m kk -=-⎧⎪⎨=⎪⎩，34k ∴=，14m =，则()112423AP CD AP AD AC AC AB AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-=+⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2221111611π242cos 33433433AB AC AB AC =--⋅=--⨯⨯ ，故答案为：3．14.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，动点P 在1AB C V 内，满足1D P =，则点P 的轨迹长度为______.【解析】【分析】确定正方体1111ABCD A B C D -对角线1BD 与1AB C V 的交点E ，求出EP 确定轨迹形状，再求出轨迹长度作答.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，如图，1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则1DD AC ⊥，而BD AC ⊥，1DD BD D =I ，1DD ，BD ⊂平面1BDD ，于是AC ⊥平面1BDD ，又1BD ⊂平面1BDD ，则1AC BD ⊥，同理11⊥AB BD ，而1AC AB A ⋂=，AC ，1AB ⊂平面1AB C ，因此1BD ⊥平面1AB C ，令1BD 交平面1AB C 于点E ，由11B AB C B ABC V V --=，得111133AB C ABC S BE S BB ⋅=⋅ ，即)23142BE AB ⋅⋅=，解得BE AB ==而1BD ==1D E =，因为点P 在1AB C V 内，满足1D P =，则EP ==因此点P 的轨迹是以点E 为半径的圆在1AB C V 内的圆弧，而1AB C V 为正三角形，则三棱锥1B AB C -必为正三棱锥，E 为正1AB C V 的中心，于是正1AB C V 的内切圆半径111323232EH AB =⨯⨯=⨯=，则cos 2HEF ∠=，即π6HEF ∠=，π3FEG ∠=，所以圆在1AB C V 内的圆弧为圆周长的12，即点P 的轨迹长度为12π2⋅=【点睛】方法点睛：涉及立体图形中的轨迹问题，若动点在某个平面内，利用给定条件，借助线面、面面平行、垂直等性质，确定动点与所在平面内的定点或定直线关系，结合有关平面轨迹定义判断求解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知z 为复数，2i z +为实数，且(12i)z -为纯虚数，其中i 是虚数单位.（1）求||z ；（2）若复数2(i)z m +在复平面上对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围.【答案】（1）（2）()2,2-【解析】【分析】（1）设=+i ,R z a b a b ∈，，根据复数代数形式的乘法法则化简2i z +与(12i)z -，根据复数为实数和纯虚数的条件，即可求出a b ，，利用复数模长公式，即可求得到复数的模长；（2）由（1）知，求出复数的共轭复数，再根据复数代数形式的除法与乘方运算化简复数，再根据复数的几何意义得到不等式组，解得即可.【小问1详解】设=+i ,R z a b a b ∈，，()2i=2i z a b +++，因为2i z +为实数，所以20b +=，即2b =-所以(12i)(2i)(12i)42(1)i z a a a -=--=--+，又因为(12i)z -为纯虚数，所以40a -=即4a =，所以42z i =-，所以z ==.【小问2详解】由（1）知，42iz =+所以222(i)(42i i)16(2)8(2)i m m z m m +=++=-+++，又因为2(i)z m +在复平面上所对应的点在第一象限，所以216(2)08(2)0m m ⎧-+>⎨+>⎩，解得：22m -<<所以，实数m 的取值范围为()2,2-.16.某校为了提高学生对数学学习的兴趣，举办了一场数学趣味知识答题比赛活动，共有1000名学生参加了此次答题活动．为了解本次比赛的成绩，从中抽取100名学生的得分（得分均为整数，满分为100分）进行统计．所有学生的得分都不低于60分，将这100名学生的得分进行分组，第一组[)60,70，第二组[)70,80，第三组[)80,90，第四组[]90,100（单位：分），得到如下的频率分布直方图．（1）求图中m 的值，并估计此次答题活动学生得分的中位数；（2）根据频率分布直方图，估计此次答题活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计参赛的学生中有多少名学生获奖．（以每组中点作为该组数据的代表）【答案】（1）0.01m =，中位数为82.5．（2）82x =，有520名学生获奖．【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中所有频率之和等于1和中位数左边和右边的直方图的面积应该相等即可求解；（2）利用频率分布直方图中平均数等于每个小矩形底边的中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和及不低于平均值的学生人数为总数500乘以不低于平均值的频率即可.【小问1详解】由频率分布直方图知：()0.030.040.02101m ++++⨯=，解得0.01m =，设此次竞赛活动学生得分的中位数为0x ，因数据落在[)60,80内的频率为0.4，落在[)60,90内的频率为0.8，从而可得08090x <<，由()0800.040.1x -⨯=，得082.5x =，所以估计此次竞赛活动学生得分的中位数为82.5．【小问2详解】由频率分布直方图及（1）知：数据落在[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的频率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，650.1750.3850.4950.282x =⨯+⨯+⨯+⨯=，此次竞赛活动学生得分不低于82的频率为90820.20.40.5210-+⨯=，则10000.52520⨯=，所以估计此次竞赛活动得分的平均值为82，在参赛的1000名学生中估计有520名学生获奖17.在①()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-；②2cos 0cos b a A c C--=；③向量()m c = 与(cos ,sin )n C B = 平行,这三个条件中任选一个,补充在下面题干中,然后解答问题.已知ABC 内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且满足______.（1）求角C ；（2）若ABC 为锐角三角形,且2c =,求ABC 周长的取值范围；（3）在（2）条件下,若AB 边中点为D ,求中线CD 的取值范围.（注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分）【答案】（1）条件选择见解析,3π（2）2,6]+（3）3CD <≤【解析】【分析】（1）选①根据正弦定理化简，然后转化成余弦值即可；选②根据正弦定理化简即可求到余弦值，然后求出角度；选③先根据向量条件得到等式，然后根据正弦定理即可求到正切值，最后求出角度.（2）根据（1）中结果和2c =，把ABC 周长转化成π4sin 26A ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，然后再求解范围.（3）根据中线公式和正弦定理，把CD 转化成三角函数求解即可.【小问1详解】选①：因为()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-，()()()a c a c b a b ∴+-=-,即222c a b ab =+-，1cos 2C ∴=，()0,πC ∈ ,π3C ∴=.选②：2cos 0cos b a A c C--=，2sin sin cos sin cos B A A C C-∴=,2sin cos sin cos sin cos B C A C C A ∴-=，1cos 2C ∴=,()0,πC ∈ ,π3C ∴=.选③：向量()m c = 与(cos ,sin )n C B =平行，sin cos c B C ∴=,sin sin cos C B B C ∴=,tan C ∴=()0,πC ∈ ,π3C ∴=.【小问2详解】π,23C c == ,sin sin sin a b c A B C==,23sin )2sin())2sin )232a b c A B A A A A π∴++=++=+-+=+4sin(26A π=++. ABC 为锐角三角形,π022ππ032A B A ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<=-<⎪⎩，ππ62A ∴<<，πsin ,162A ⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦.ABC ∴周长的取值范围为2,6]+.【小问3详解】224a b ab =+- ，又由中线公式可得222(2)42()2(4)CD a b ab +=+=+，21624442·sin sin 33CD B A A π⎛⎫∴=+=+- ⎪⎝⎭2161161142·sin cos sin 42·sin 23223426A A A A π⎛⎫⎡⎤⎛⎫=++=++- ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭.即254πsin 2336CD A ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， ABC 为锐角三角形，π022ππ032A B A ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<=-<⎪⎩，ππ62A ∴<<,ππ5π2666A ∴<-<.3CD <≤.18.三棱台111ABC A B C -中，若1A A ⊥面ABC ，ABAC ⊥，12AB AC AA ===，111A C =，M ，N 分别是BC ，BA 中点.（1）求1A N 与1CC 所成角的余弦值；（2）求平面1C MA 与平面11ACC A 所成成角的余弦值；（3）求1CC 与平面1C MA 所成角的正弦值.【答案】（1）45（2）23（3）15【解析】【分析】（1）根据题意，证得11//MN A C 和11//A N MC ，得到1CC M ∠为1A N 与1CC 所成角，在1CC M △中，利用余弦定理，即可求解；（2）过M 作ME AC ⊥，过E 作1EF AC ⊥，连接1,MF C E ，证得ME ⊥平面11ACC A ，进而证得1AC ⊥平面MEF ，得到平面1C MA 与11ACC A 所成角即MFE ∠，在直角MEF 中，即可求解；（3）过1C 作1C P AC ⊥，作1C Q AM ⊥，连接,PQ PM ，由1C P ⊥平面AMC ，得到1C P AM ⊥和1C Q AM ⊥，得到AM ⊥平面1C PQ 和PR ⊥平面1C MA ，在直角1C PQ 中，求得23PR =，求得C 到平面1C MA 的距离是43，进而求得1CC 与平面1C MA 所成角.【小问1详解】解：连接1,MN C A .由,M N 分别是,BC BA 的中点，根据中位线性质，得//MN AC ，且12AC MN ==，在三棱台111ABC A B C -中，可得11//A C AC ，所以11//MN A C ，由111MN A C ==，可得四边形11MNAC 是平行四边形，则11//A N MC ，所以1CC M ∠为1A N 与1CC 所成角，在1CC M △中，由111CC A N C M CM ====，可得14cos5CC M ∠=.【小问2详解】解：过M 作ME AC ⊥，垂足为E ，过E 作1EF AC ⊥，垂足为F ，连接1,MF C E .由ME ⊂面ABC ，1A A ⊥面ABC ，故1AA ME ⊥，又因为ME AC ⊥，1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面11ACC A ，则ME ⊥平面11ACC A .由1AC ⊂平面11ACC A ，故1ME AC ⊥，因为1EF AC ⊥，ME EF E ⋂=，且,ME EF ⊂平面MEF ，于是1AC ⊥平面MEF ，由MF ⊂平面MEF ，可得1AC MF ⊥，所以平面1C MA 与平面11ACC A 所成角即MFE ∠，又因为12AB ME ==，1cos CAC ∠=，则1sin CAC ∠=所以11sin EF CAC =⨯∠=，在直角MEF 中，90MEF ∠=，则MF ==2cos 3EF MFE MF ∠==.【小问3详解】解：过1C 作1C P AC ⊥，垂足为P ，作1C Q AM ⊥，垂足为Q ，连接,PQ PM ，过P 作1PR C Q ⊥，垂足为R ，由11C A C C ==，1C M ==12C Q ==，由1C P ⊥平面AMC ，AM ⊂平面AMC ，则1C P AM ⊥，因为1C Q AM ⊥，111C Q C P C = ，11,C Q C P ⊂平面1C PQ ，于是AM ⊥平面1C PQ ，又因为PR ⊂平面1C PQ ，则PR AM ⊥，因为1PR C Q ⊥，1C Q AM Q = ，1,C Q AM ⊂平面1C MA ，所以PR ⊥平面1C MA ，在直角1C PQ 中，1122223322PC PQ PR QC ⋅⋅==，因为2CA PA =，故点C 到平面1C MA 的距离是P 到平面1C MA 的距离的两倍，即点C 到平面1C MA 的距离是43，设所求角为θ，则43sin 15θ==.19.如图①，在矩形ABCD 中，2AB AD ==E 为CD 的中点，如图②，将AED △沿AE 折起，点M 在线段CD 上．（1）若2DM MC =，求证AD ∥平面MEB ；（2）若平面AED ⊥平面BCEA ，是否存在点M ，使得平面DEB 与平面MEB 垂直？若存在，求此时三棱锥B DEM -的体积，若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，169【解析】【分析】（1）根据已知条件及平行线分线段成比例定理，结合线面平行的判定定理即可求解；（2）根据（1）的结论及矩形的性质，利用面面垂直的性质定理及线面垂直的性质定理，结合线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，再利用等体积法及棱锥的体积公式即可求解.【小问1详解】如图，连AC ，交EB 于G ，在矩形ABCD 中，E 为DC 中点，AB EC ∴∥，且2AB EC =，2AG GC ∴=，又2DM MC =，AD MG ∴∥，又MG ⊂平面MEB ，AD ⊄平面MEB ，AD ∴∥平面MEB ．【小问2详解】存在点M ，使得平面DEB 与平面MEB 垂直.在矩形ABCD 中，12DE DA AB ==，45DEA BEC ∴∠=∠=︒，90AEB ∴∠=︒，即AE EB ⊥，已知平面AED ⊥平面BCEA ，又平面AED 平面BCEA AE =，BE ∴⊥平面AED ，DE ⊂平面AED ，BE DE ∴⊥．①取AE 中点O ，则DO AE ⊥，平面AED ⊥平面BCEA ，平面AED 平面BCEA AE =，DO ∴⊥平面BCEA ，由（1）知当2DM MC =时，AD MG ∥，AD DE ⊥ ，MG DE ∴⊥．②而BE MG G ⋂=，,⊂BE MG 平面MEB ，DE ∴⊥平面MEB ，又DE ⊂平面DEB ，∴平面DEB ⊥平面MEB ．即当2DM MC =时，平面DEB 与平面MEB 垂直．依题意有DE AD ==4AE =，2DO =，(2222121116233333329B DEM B DEC D BEC BEC V V V DO S ---∴===⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△．。