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4-3 角动量 角动量守恒定律

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4-3角动量 角动量守恒定律

4-3角动量 角动量守恒定律
A
B
1 v∝ r
r r
近 日
v v 彗星
点
A
rA
r F
r v B远
rB
B点
日
vA > vB
r vA
彗星
13
4-3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体转动
比较
t2
r r ∫ Fdt =ΔP
t1
r r dP F= dt
动量
r r dL M= dt t
2
角动量
r r ∫ M
7
4-3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体转动
讨论 子细 弹绳 击质 入量 沙不 袋计
系统的动量、角动量和机械能是否守恒？ 系统的动量、角动量和机械能是否守恒？
o
v v
子 弹 击 入 杆
o
圆 锥 摆
o
v θ T
'
m
v v
v p
o
v v
R
以子弹和沙袋为系统 以子弹和杆为系统 圆锥摆系统 守恒； 不守恒； 动量: 不守恒； 守恒； 不守恒； 动量 不守恒； 角动量: 守恒； 守恒； 守恒； 角动量 守恒； 守恒； 守恒； 不守恒 . 机械能: 守恒 . 8 机械能 不守恒 .
考虑到
θ =ωt
7lg 12v0 dr g = cosωt = cos( t) dt 2ω 24v0 7l
21
4-3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体转动
r L
本节小结： 本节小结：
角动量： 一.角动量：
L = Jω
质点的角动量： ⑴质点的角动量：
第四章 刚体转动
vM = 2gh
6mvM ω= (m′ + 6m)l

4-3 角动量 角动量守恒定律

4-3 角动量 角动量守恒定律
2 2 2
在光滑的水平桌面上，放有质量为M的木块 木块与一弹簧相连， 的木块， 例 在光滑的水平桌面上，放有质量为 的木块，木块与一弹簧相连， 弹簧的另一端固定在O点 弹簧的劲度系数为k，设有一质量为m的子弹以 弹簧的另一端固定在 点，弹簧的劲度系数为 ，设有一质量为 的子弹以 垂直于OA射向 并嵌在木块内， 射向M并嵌在木块内 所示.弹簧原长 初速 垂直于 射向 并嵌在木块内，如图 所示 弹簧原长 ，子弹击 v0 l0 中木块后，木块M运动到 点时刻，弹簧长度变为l，此时OB垂直于 运动到B点时刻 垂直于OA， 中木块后，木块 运动到 点时刻，弹簧长度变为 ，此时 垂直于 ， 求在B点时 点时， 求在 点时，木块的运动速度 . v2 解 击中瞬间，在水平面内，子弹与木块组成 的系统沿 v0 方向动量守恒，即有
M h N B l C
l/2
A
设跷板是匀质的，长度为 ， 设跷板是匀质的，长度为l，质量为m'， 跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动， 跷板可绕中部支撑点 在竖直平面内转动， 演员的质量均为m．． 演员的质量均为 ．． 碰撞前M落在 A点的速度 解 碰撞前M落在 A点的速度
vM = (2 gh)
l0 (m + M)v1 = l (m + M)v 2 sin θ
由①、②式联立求得 v2 的大小为
k(l − l0 ) 2 m2 2 v2 = v0 − (m + M) 2 m+M
由③式求得 v2 与OB的夹角为
θ = arcsin
l0 mv 0
2 l m 2 v 0 − k(l − l0 ) 2 (m + M)
l u= ω 2
12
碰撞后的瞬间， 、 具有相同的线速度 碰撞后的瞬间，M、N具有相同的线速度

4-3 角动量 角动量守恒定律【普通物理学】

4-3 角动量 角动量守恒定律【普通物理学】

v0
v
u
A
h
14
质量 m'在 A 点和 B 点只受有心力作用 ,
角动量守恒
mv0 (R h) mvBR
vB (R h)v0 R 1 727 m s1
飞船在 A点喷出气体后，在到达月球的 过程中，机械能守恒
1 2
mvA2
G
mMm Rh
1 2
mvB2
G
mM m R
15
1 2
mv
2 A
mi
ri
2，合 )外M力di i矩(n J0)
dt
dt dt
18
对定轴转的刚体，受合外力矩M，从
t1到 t2内，角速度从ω1变为 ω2，积分可得：
t2
t1
Mdt
J2
J1
非刚体定轴转动的角动量定理
t2
t1
Mdt
J 22
J11
当转轴给定时，作用在物体上的冲量
矩等于角动量的增量 ——定轴转动的角动
量定理.
0
0
得 L mR 3 2 (2g sin )1 2
L mR2
( 2g sin )1 2
R
10
*例2 一质量为 m 的登月飞船，在离 月球表面高度 h 处绕月球作圆周运动．飞船 采用如下登月方式：当飞船位于点 A 时，它 向外侧短时间喷射出粒子流，使飞船与月球 相切地到达点 B , 且OA 与 OB 垂直．飞船 所喷气体相对飞船的速度为 u 1.00 104 m s1 试问：登月飞船在登月过程中所需消耗燃料
力的时间累积效应： 冲量、动量、动量定理．
力矩的时间累积效应： 冲量矩、角动量、角动量定理．
1
一 质点的角动量定理和角动量守恒定律

3_4角动量 角动量守恒定律.

3_4角动量 角动量守恒定律.
t1
Mdt

J2

J1
4 – 4 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体的转动
刚体定轴转动的角动量定理
t2 t1
Mdt

J2

J1
刚体转动的角动量定理：刚体所受的冲量矩等于 刚体转动角动量的增量.
3 刚体定轴转动的角动量守恒定律
若 M 0 ，则 L J 常量
刚体所受的合力矩为零时，刚体转动角动量为一 恒矢量.
1 (1 ml 2 ma2 ) 2
23
W 1 J 2
2
mga(1 cos30) mg l (1 cos30)
2
v g(2 3)(ml 2ma)(ml2 3ma2 ) 6 ma
4 – 4 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体的转动
例3 质量很小长度为l 的均匀细杆,可绕过其中心 O
o
m'
30
L mr2 J
a
mva ( 1 ml 2 m a2 )
3
v m


3mva m'l 2 3ma2
4 – 4 角动量 角动量守恒定律


m'l
3mva 2 3ma2
射入竿后，以子弹、细杆和 地球为系统 ，机械能守恒 .
第四章 刚体的转动
o 30
a v m'
4 – 4 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体的转动
力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理.
力矩的时间累积效应
冲量矩、角动量、
角动量定理.
一 质点的角动量定理和角动量守恒定律
质点运动状态的描述
p mv Ek mv2 2

角动量守恒定律

角动量守恒定律

7ml2 答案： 48
小结和课后作业
质点的角动量定理及其守恒定律 刚体定轴转动的角动量定理 刚体定轴转动的角动量守恒定律 阅读教材相关内容 问题P142：6，7，10 习题P144：18，19，23，24 预习4-4，4-5
4-3-3 刚体定轴转动时的角动量
任意质点对转轴的角动量 Li = ∆mi ri2ω 刚体对固定转轴的角动量L
2 L = ∑Li = ∑∆mi ri ω = Jω i i
L = Jω
ห้องสมุดไป่ตู้
正负表方向
等于它对该轴的转动惯量 J 和角速度 ω 的乘积
4-3-4 刚体对定轴的角动量定理和守恒定律
例题：碰撞过程中的角动量守恒
解： （1）小虫与细杆完全非弹性碰撞，角动量守恒
m v0
A
l
l 1 2 l mv0 = ml + m v 4 12 4
2
ω
l /4
m
12 v0 ω= 7 l
例题：碰撞过程中的角动量守恒
解： （2）小虫在细杆上的爬行过程
12 v0 ω= 7 l
质点对参考点的角动量举例
• 质点作直线运动的角动量 L = dmv 匀速运动时角动量是常量 • 质点作圆周运动的角动量 L = r mv 匀速率运动时角动量是常量
4-3-2 质点的角动量定理和守恒定律
1、质点的角动量定理
d dr dp 考虑角动量的变化率 (r × p) = × p + r × dt dt dt d dr dp 由于 × p =v ×mv = 0 所以 (r × p) =r × =r × F dt dt dt
1、刚体定轴转动的角动量定理
dω d(Jω) d L M = Jα = J = = ， M dt = d L dt dt dt

4-3角动量 角动量守恒定律

4-3角动量 角动量守恒定律

第四章 刚体的转动
v v v M = r ×F
Z
v L
M =0 v v v L=r×p L = rmυ sin 90 = mr ω = Jω
0 2
v p
o
守恒
r
m v
行星绕太阳、卫星绕地球的椭圆轨道运动 行星绕太阳、卫星绕地球的椭圆轨道运动——行星 行星 对太阳、 对太阳、卫星对地球的角动量守恒
第四章 刚体的转动 二 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 1 刚体定轴转动的角动量
内力矩可以改变系统各组成部分 的角动量， 的角动量，但不能改变系统的总 角动量
在冲击等问题中 冲击等问题中
Q M >> M
in
ex
∴L ≈C
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律. 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律
4 – 3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体的转动
一物体正在绕固定光滑轴自由转动， （A）它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度不变。 （B）它受热时角速度变大，遇冷时角速度变小。 （C）它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度均变大。 （D）它受热时角速度变小，遇冷时角速度变大。
m v
如果力的作用线通过固定点: 如果力的作用线通过固定点 M=0 O
F
4 – 3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体的转动
v v dL M= dt
∫
t2
t1
v v v M d t = L2 − L1
冲量矩
∫t1
t2
v M dt
质点的角动量定理： 质点的角动量定理：对同一参考点 O ，质点所受 的冲量矩等于质点角动量的增量. 的冲量矩等于质点角动量的增量 3 质点的角动量守恒定律

43角动量角动量守恒定律


r
F
dL
M
dt dt
dt
14
物理学
第五版
质点的合外力矩
4-3 角动量
M
dL
dt
角动量守恒定律
作用于质点的合外力对参考点 O 的力矩，等于质点对 该点 O 的角动量随时间的变化率.
2 质点的角动量定理
t2 t1
Mdt
L2
L1
冲量矩
t2
M
dt
t1
3 质点的角动量守恒定律
M 0 , L 恒矢量
做匀变速转动．
与二维平面圆周 运动情况相同
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v v0 at
0 t
x
x0
v0t
1 2
at 2
0
0t
1 2
t
2
v2
v02 2a(x x0 )
2
2 0
2 (
0
)
3
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
三 角量与线量的关系
ω d
dt
dω dt
4-3 角动量 角动量守恒定律
对定轴转的刚体，受合外力矩M，从t1到t2内，角速度
M从 1变d(为J)2， 积dL分可得： dt dt
t2 t1
Mdt
L2
L1
冲量矩 J2 J1
刚体的角动量定理： 刚体绕定轴转动时，刚体的冲量矩等 于角动量的增量
非刚体定轴转动的角动量定理
了解
t2
t1
Mdt
J 22
i
i
L J
2 M刚 i体定dd轴Lti 转动ddt的(m角ir动i2量)定理
O ri

4-3 角动量 角动量守恒定律


第四章 刚体的转动
9
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
讨论
守恒条件 M 0
若 J 不变，不变； 若 J 变， 也变，但 L J 不变.
内力矩不改变系统的角动量.
在冲击等问题中M in M exL 常量
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
第四章 刚体的转动
7
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
2 刚体定轴转动的角动量定理
质M点i mi受ddLt合i 力d矩(dJMti()包括ddMt (iemx、iri
Miin
2 )
)
对定轴转的刚体
M

M
M
idex(Jdd)t
M (
iinmir0i2，合) 外d力(dJ矩t


m y
r
大 小L rmvsin
L 的方向符合右手法则
角动量单位：kg·m2·s-1
第四章 刚体的转动
3
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
质点以 作半径为 r
的圆周运动，相对圆心
L mr 2 J
L
o
p
m r
2 质点的角动量定理
M

dL
dt
作用于质点的合外力对参考点 O 的力
3
质点的角动量守恒定律


M 0, L 恒矢量
第四章 刚体的转动
6
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
二 刚体定轴转动的角动量定理
和角动量守恒定律
1 刚体定轴转动
的角动量

04-3角动量定理(新)

将:L＝0.40m M =1.0kg 、 m ＝8.0g v＝200m/s代入后得:
16
9 m2v 2
L
θ = 94.18´
o
v
M
例题：质量为M 长度为L 的均质细杆可绕一水平轴自由
转动。开始时杆子处于铅直状态。现有一质量为m 的子 弹以水平速度v 射入细杆后而不复出。试求（1）子弹射 入细杆后系统的转动惯量（2）若细棒被击中后上摆的 最大角度为θ，求：子弹击中细棒前的速度。
2
＝ω （m 10 ＋ m 10 ） ＝ 200 mω
2 2
L＝20cm
等式的左边 ＝ 等式的右边
50 mω ＝ 200 mω
0
1ω 得：ω ＝ 4
0
例题：一根杆长l＝50cm ，可绕上端的光滑固定轴0在
竖直平面内转动，相对于0轴的转动惯量J＝5kg.m2, 原来杆静止并自然下垂。若在杆的下端水平射入质量 m＝0.01kg、速率为v = 400m/s的子弹并陷入杆内 此时杆的角速度为多少？ （练习册P9填充题1）
一个质量为m 的质点，绕 坐标中心0作半径为r 的圆 周运动，其线速度为v、 动 量p＝mv 且r⊥v 。
ω
o
z
L
y
d x
r
m

p＝mv
定义
L 为该质点m 对0的角动量。
L = mvd = m v r sin = p r sin L = r ×p
质点的角动量L 是个 矢量，有大小有方向 方向：遵守右手螺 旋前进法则 （右螺旋法则）
0
·
L
分析： 作为一个系统子弹和细杆所受的合外力
矩为0，所以系统角动量守恒。另外：子弹与细杆 是完全非弹性碰撞。 可列出方程：

4-3角动量 角动量守恒定律

in
M L 常量
ex
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
自然界中存在多种守恒定律
动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律 电荷守恒定律 质量守恒定律 宇称守恒定律等
许多现象都可 以用角动量守恒来 说明. 花样滑冰 跳水运动员跳水
跳水运动员
茹可夫斯基凳
例3 质量很小长度为l 的均匀细杆，可 绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面 内转动．当细杆静止于水平位置时，有一只 小虫以速率 v 0 垂直落在距点O为 l/4 处，并背 离点O 向细杆的端点A 爬行．设小虫与细杆 的质量均为m．问：欲使细杆以恒定的角速 度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行?
解 设飞船在点 A 的速度 v 0 , 月球质 量 mM ,由万有引力和 牛顿定律
vB
R
B
vA
v0
v
O h A
u
v mM m G m 2 ( R h) Rh mM g G 2 2 R R g
2 0
v0 (
Rh
)
12
1 612 m s
1
质量 m' 在 A 点和 B 点只受有心力作用 , 角动量守恒
d r mv r F dt
所以
dL M＝ dt
dL M dt

t2
t1
M dt L2 L1
冲量矩
t1
t2
M dt
对同一参考点O，质点所受的冲量矩 等于质点角动量的增量．——质点的角动 量定理
3、质点的角动量守恒定律
若质点所受的合外力矩为零，即 M=0，
4－3 角动量 角动量守恒定律
力对时间累积效应： 冲量、动量、动量定理． 力矩对时间累积效应： 冲量矩、角动量、角动量定理．
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L2
1
d L J 2 J 1
非刚体定轴转动的角动量定理
第四章 刚体转动

t2
t1
M d t J 2 2 J 1 1
4 – 3 角动量 角动量守恒定律
刚体定轴转动的角动量定理 三
物理学教程 （第二版）

t2
t1
M dt J 2 J 1
刚体定轴转动的角动量守恒定律
若 M 0 ，则
讨论
守恒条件
L J 常量 .
M 0
若 J 不变， 不变；若 J 变， 也变，但 L J 不变. 内力矩不改变系统的角动量. 在冲击等问题中 M
第四章 刚体转动
in
M
ex
L 常量
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
(
3m m 6m
) h
2
4 – 3 角动量 角动量守恒定律
物理学教程 （第二版）
例3 质量很小长度为l 的均匀细杆, 可绕过其中心 O 并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动 . 当细杆静止于 水平位置时, 有一只小虫以速率 v 0 垂直落在距点 O 为 l/4 处, 并背离点O 向细杆的端点 A 爬行. 设小虫与细杆 的质量均为m. 问: 欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫 应以多大速率向细杆端点爬行? 解 碰撞前后系统角动 量守恒
l 2 1 2 mv 0 ml m ( ) 4 12 4 l
12 v 0 7 l
第四章 刚体转动
4 – 3 角动量 角动量守恒定律
物理学教程 （第二版）

角动量定理
M dL dt
12 v 0 7 l
dJ dtຫໍສະໝຸດ O l/4 v0A
P
d ( J ) dt
解 系统角动量守恒
物理学教程 （第二版）
J 11 J 2 2 ( J 1 J 2 )

J 1 1 J 2 2 ( J1 J 2 )
第四章 刚体转动
4 – 3 角动量 角动量守恒定律
物理学教程 （第二版）
例2 一杂技演员 M 由距水平跷板高为 h 处自由下 落到跷板的一端 A, 并把跷板另一端的演员 N 弹了起来. 设跷板是匀质的, 长度为 l , 质量为 m ' , 跷板可绕中部 支撑点 C 在竖直平面内转动, 演员的质量均为 m. 假定 演员 M 落在跷板上, 与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞 . 问演员 N 可弹起多高 ?
第四章 刚体转动
4 – 3 角动量 角动量守恒定律
2 刚体定轴转动的角动量
物理学教程 （第二版）
L

i
m i ri v i ( m i ri )
2 i

ri
mi
z
L J
二
刚体定轴转动的角动量定理 dL d ( J ) M dt dt
O
vi
t
t2
1
M dt
L
解 碰撞前 M 落在 A点的速度
M h
N B C A l/2
v M ( 2 gh )
1 2
碰撞后的瞬间, M、 N具有相同的线速度
第四章 刚体转动
l
4 – 3 角动量 角动量守恒定律
物理学教程 （第二版）
v M (2 gh )
uN uM u
1 2
l 2

N
B l
M h C
l/2
4 – 3 角动量 角动量守恒定律
有许多现象都可以用角 动量守恒来说明. 它是自然 界的普遍适用的规律.
物理学教程 （第二版）
花样滑冰 跳水运动员跳水 飞轮
2
航天器调姿

1
第四章 刚体转动
4 – 3 角动量 角动量守恒定律 例1 两个转动惯量分别为 J1 和 J2 的圆盘 A和 B. A 是机器上的飞轮, B 是用以改变飞轮转速的离合器 圆盘. 开始时, 他们分别以角速度1 和2 绕水平轴转 动. 然后,两圆盘在沿水平轴方向力的作用下,啮合为 一体, 其角速度为, 求： 齿轮啮合后两圆盘的角速度.
M、N和跷板系统 角动量守恒
A
mvM
l 2
J 2 mu
l 2
2

1 12
m l
2
1

mvMl 2 m l
2
12 ml
2

2
2 1 2 6 m ( 2 gh )
ml
2
( m 6 m )l
2
演员 N 达到的高度 h
第四章 刚体转动
u
2
2g

l 8g
4 – 3 角动量 角动量守恒定律 力的时间累积效应 力矩的时间累积效应 角动量定理.
一
物理学教程 （第二版）
冲量、动量、动量定理. 冲量矩、角动量、
质点的角动量和刚体的角动量 质点运动状态的描述 p m v E k m v 2 2 刚体定轴转动运动状态的描述 L J E k J 2 2 0, p 0 0, p 0
r
mgr cos
考虑到
d
d t 12
(
1
ml mr ) 2 mr
2 2
dr dt
t
cos t 7 lg 24 v 0 cos( 12 v 0 7l t)
dr dt

g 2
第四章 刚体转动


pi
pj
第四章 刚体转动
4 – 3 角动量 角动量守恒定律 一 质点的角动量和刚体的角动量
1 质点角动量 质点在垂直于 z 轴平面 上以角速度 作半径为 r 的圆运动. 质点角动量（相对圆心） 90
物理学教程 （第二版）
z
O
r
A
mv

L r p r mv z 大小 L rm v sin mv L 2 L rm v mr （圆运动） L 的方向符合右手法则. r