第五节 极限存在准则 两个重要极限、连续复利(简案)2012-9-23

高等数学教学教案极限存在准则两个重要极限（优秀版）word资料§1.6极限存在准则两个重要极限授课次序061 ,, n11 {},{},22 n nb=+⋅⋅⋅+数列单调减少且有下界，零或小于零的任何常数都是其下界。

下界里有个最大的吗？有！数列单调增加且有上界，1或大于1的任何常数都是其上界．上界里有个最小的吗？也有！现在请用一下你的想象力：对于单调增加有上界的数列}nx，它的图像是数轴上的一个点列，点列中的点在数轴上会不停的向前走，但是不可能越过它的最小上界a．由于数列有无穷多项，从某一项之后的所{}lim n n a n N →∞∴∀>单调增加，这意味着所以，§1. 6极限存在准则 两个重要极限准则I如果数列{x n }、{y n }及{z n }满足下列条件:(1)y n ≤x n ≤z n (n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), (2)a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim ,那么数列{x n }的极限存在, 且a x n n =∞→lim .证明: 因为a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim , 根据数列极限的定义, ∀ε >0, ∃N 1>0, 当n >N 1时, 有|yn -a |<ε ; 又∃N 2>0,当n >N 2时, 有|z n -a |<ε . 现取N =max{N 1, N 2}, 则当 n >N 时, 有 |y n -a |<ε , |zn -a |<ε 同时成立, 即 a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε , 同时成立.又因y n ≤x n ≤z n , 所以当 n >N 时, 有a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε , 即 |x n -a |<ε . 这就证明了a x n n =∞→lim .简要证明: 由条件(2), ∀ε >0, ∃N >0, 当n >N 时, 有|y n -a |<ε 及|z n -a |<ε , 即有 a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε , 由条件(1), 有 a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε , 即 |x n -a |<ε . 这就证明了a x n n =∞→lim .准则I ' 如果函数f (x )、g (x )及h (x )满足下列条件:(1) g (x )≤f (x )≤h (x ); (2) lim g (x )=A , lim h (x )=A ; 那么lim f (x )存在, 且lim f (x )=A .注 如果上述极限过程是x →x 0, 要求函数在x 0的某一去心邻域内有定义, 上述极限过程是x →∞, 要求函数当|x |>M 时有定义, 准则I 及准则I ' 称为夹逼准则.下面根据准则I '证明第一个重要极限: 1sin lim 0=→xx x .证明 首先注意到, 函数x x sin 对于一切x ≠0都有定义. 参看附图: 图中的圆为单位圆,因为 S ∆AOB <S 扇形AOB <S ∆AOD , 所以21sin x <21x <21tan x , 即sin x <x <tan x . 不等号各边都除以sin x , 就有x x x cos 1sin 1<<, 或1sin cos <<xx x .注意此不等式当-2 π<x <0时也成立. 而1cos lim 0=→x x , 根据准则I ', 1sin lim 0=→x x x .简要证明: 参看附图, 设圆心角∠AOB =x (20π<<x ). 显然 BC < AB <AD , 因此 sin x < x <备注栏高等数学课程教学设计方案中央电大教务处教学管理科（20XX年04月15日）浏览人次627（修订稿）一、课程概况1. 课程的性质、任务“高等数学”课程是中央广播电视大学水利水电专业的一门必修的重要基础理论课，是为培养学生的基本素质、学习后续课程服务的。

§2.5 极限存在准则两个重要极限 连续复利教学目的：了解夹逼准则的推导过程；能熟练应用夹逼准则、两个重要极限解决相关问题；会正确求解连续复利问题．重点:熟练运用两个重要极限解决相关问题; 会求解连续复利问题．难点: 夹逼准则及两个重要极限的灵活与正确运用. 教学方法：启发式讲授与指导练习相结合 教学过程： 一、夹逼准则【定理2.11】准则Ⅰ若数列{}n x {}n y {}n z (1,2,)n = 满足条件:(1) n n n y x z ≤≤(1,2,)n = ; (2) lim lim n n n n z y a →∞→∞==;则lim n n x →∞存在,且lim n n x a →∞=.证明 由lim lim n n n n z y a →∞→∞==知 对于120,0,0N N ε∀>∃>>,1n N >当时,有n y a ε-<；当2n N >时,有n z a ε-<;取{}12max ,N N N =,当n N >时, 有,n n y a z a εε-<-< 同时成立, 从而n n n a y x z a εε-<<<<+成立, 即n x a ε-<, 故 lim n n x a →∞=.准则Ⅰ1(夹逼准则):lim lim x x u v A λλ→→==,且,()u w v x U λ≤≤∈,则 lim x w A λ→=.证明：因A v u x x ==→→λλl i m l i m⇒)1(o A u +=,)1(o A v +=, )(λ→x .又因v w u ≤≤,于是, ]1,0[∈∃θ ..t s()w u v u θ=+-[(1)](1){[(1)][(1)]}A o O A o A o =+++-+ )1()1()1(o A o o A +=++=, )(λ→x . 所以 A w x =→λlim .( 其实uv uw --=θ, v u ≠； 0=θ, v u =. ) 例1 证明（1）0limsin 0x x →=；（2）0limcos 1x x →=.证：(1)当02x π<<时，0sin x x <<；由 0lim 0x x →=， 故 0lim sin 0x x →=.（0lim sin 0limsin 0x x x x →→=⇔=）(2)22201cos 2sin 2222x x x x ⎛⎫≤-=≤= ⎪⎝⎭，因为 20lim02x x →=，所以 0lim(1cos )0x x →-=； 故 0lim cos 1x x →=.例2 利用夹逼准则计算下列极限(1)22212lim()12n nn n n n n n n→∞+++++++++解：设2221212n nx n n n n n n n =+++++++++ ，则 2212121n n nn ny x z n n n n n ++++++=≤≤=++++因为21211lim limlim 2(2)2n n n n n n y n n n n →∞→∞→∞++++===+++ 且2212(1)1lim limlim 12(1)2n n n n n n n z n n n n →∞→∞→∞++++===++++ 所以由夹逼准则知：1lim 2n n x →∞=，故222121lim()122n n n n n n n n n →∞+++=++++++ (2)222111lim()12n n n n n→∞++++++解：设22211112n x n n n n =++++++ ，则221n n n n ny x z n n n =≤≤=++因为222lim lim lim 1n n n n nn y n n n n→∞→∞→∞===++且222lim lim lim 111n n n n nn z n n →∞→∞→∞===++ 所以由夹逼准则知：lim 1n n x →∞=，故222111lim()112n n n n n→∞+++=+++(3) 222111lim ()12n n n n n n πππ→∞⋅+++=+++ . 证明：由于2222222111()2n n n n n n n n n n πππππ≤+++≤+++++ ，而221lim lim 11n n n n n nππ→∞→∞==++,2221lim lim 11n n n n n ππ→∞→∞==++,所以 222111lim()12n n n n n πππ→∞+++=+++ . (4)设12max{,,,}m A a a a = ,(0,1,2,,)i a i m >= ,则有12lim nnnn m n a a a A →∞+++= .证明：由于12nn n n n nn n n m A A a a a mA A m =≤+++≤= ，而 lim lim 1n n n n A m A m A A →∞→∞==⋅=,所以 12lim n n nn m n a a a A →∞+++= .(5)1lim(1234)nn nn nn →∞+++解：设1(1234)n n nn nn x =+++，则111(4)4(44)4n n n n n nn n n y x z +==≤≤⨯==因为lim 4n n y →∞=且1limlim 44n n nn n z →∞+→∞==所以由夹逼准则知：lim 4n n x →∞=，故 1lim(1234)4n n nn nn →∞+++=.例3 证明:lim 1n n a →∞=, (0)a >.证明：(1)当1=a 时,结论显然成立；(2)当1>a 时, 令01>-=n n a t ,有n nn n nk k n k n nn nt t nt t C t a +≤+++==+=∑=11)1(0 ,这样 010→-≤<na t n ,(∞→n ), 于是0lim =∞→n n t ,所以1101lim ]1)1[(lim lim =+=+=+-=∞→∞→∞→n n n n n n t a a ；(3)当10<<a 时,令11>=ab , 1lim 11lim lim ===∞→∞→∞→n n n n n n bb a . 综上所述 1lim =∞→n n a , )0(>a .提问:(00.3) 设对任意的x ,总有()()()x f x g x ϕ≤≤,且lim[()()]0x g x x ϕ→∞-=,则lim ()x f x →∞=( ).(A )存在且等于零 (B )存在但不一定为零 (C )一定不存在 (D )不一定存在答 因)()()(x g x f x ≤≤ϕ很容易想到夹逼定理,但注意适用条件是)(),(x x g ϕ极限均存在且相等.此题选(D ).例4*(06.4) (1)1lim()nn n n-→∞+= .解法1 由于1(1)1n-≤-≤,有1(1)111111()()11n n n n n n n n n--+++-=≤≤=++因11lim(1)lim(1)11n n n n→∞→∞-=+=+,所以(1)1lim()1nn n n-→∞+=.设有数列()n y f n =，（1）若对于任何正整数n ，恒有()(1)f n f n <+，则称()f n 为单调递增数列.（2）如果对于任何正整数n ，恒有()(1)f n f n >+，则称()f n 为单调递减数列.（3）如果存在两个数,()m M M m >，使得对于任何正整数n ，恒有()m f n M <<，则称()f n 为有界数列.【定理2.12】准则Ⅱ：单调有界数列必有极限.（单调上升且有上界或单调下降且有下界时极限存在），即数列()n y f n =单调有界，则lim ()n f n →∞存在.例如 数列 11231:0,,,,234n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭……， 因为11n y n =-单调增加且有上界 1n y <， 所以 1lim(1)n n →∞-存在.且 1lim(1)1n n→∞-=.例5 （1）设12x =,12n n x x -=+,2,3,n = ,证明数列{}n x 存在极限并求之. 证明:1)先证明数列}{n x 存在极限 显然 122x =<,假设12n x -<, 有 12222n n x x -=+<+=,因此,02n x <<,（ ,3,2,1=n ），{}n x 有界. 由于11222x x x =>+=,假设1->n n x x ,有1122n n n n x x x x +-=+>+=,因此, {}n x 为单调递增数列； 综上所述: 数列}{n x 必存在极限.2)求极限: 设lim n n x a →∞=，显然有02a ≤≤.由2a a =+， 即022=--a a ，得2=a(1-=a 舍去).故 数列}{n x 极限存在且 lim 2n n x →∞=.（2）证明数列21=x ,)1(211nn n x x x +=+的极限存在.并求此极限.证明：①显然121≥=x ,而11221)1(211=⋅⋅⋅≥+=+nn n n n x x x x x ,②由于111()2n n n n nx x x x x +-=+- 221111022221n n n n x x x x --=-=≤=⋅, 即 n n x x ≤+1,因此,}{n x 为单调递减数列；③由①②知,21≤≤n x , ,3,2,1=n ,因此数列}{n x 的极限必存在. 设a x n n =∞→lim ,则2211()211(0)2a a a a a a a =+⇒=+⇒=±> 1a ⇒=. 准则Ⅲ：有界数列必有收敛的子数列.二、两个重要极限1.0sin lim 1x xx→=. 证明：如图,AO D AO B AO B S S S ∆∆<<扇,从而,BADxCO1当20π<<x 时,x x x tan 2121sin 21<<时, 由于sin 0x >所以 1sin cos <<xxx , 显然02<<-x π时此式也成立.（注意：sin xx是偶函数）下证 1cos lim 0=→x x .因 2||0π<<x 时)0( 02)2(22sin 2cos 10222→→=⋅<=-<x x x x x ,所以 1cos lim 0=→x x .由准则Ⅰ, 知 1sin lim0=→x xx .提问：21sin(1)lim 1x x x →-=-【 】.(A )1 (B )0 (C )2 (D )21答221)]1(1)1sin([lim 1)1sin(lim 22121=⋅=+⋅--=--→→x x x x x x x . 例6计算下列极限 (1)0tan limx xx→000sin 1sin 1lim lim lim 111cos cos x x x x x x x x x →→→⎛⎫=⋅=⋅=⋅= ⎪⎝⎭. (2)201cos limx xx →-222002sin sin222lim lim 42x x x x xx →→⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭22201sin 11lim 1222x t t t t =→⎛⎫===⋅= ⎪⎝⎭. (3)arcsin 00arcsin limlim 1sin t x x t x txt =→→== (4)00sin sin()sin lim lim lim 1t x x t t x t tx t tππππ=-→→→+==-=--．(5)00sin 1sin 11lim lim 0sin sin 111x x x x x x x x x x→→---===+++; (7)30tan sin lim sin x x xx→- 2211cos ~2220sin ~011cos 2lim lim sin cos cos x x x x x x x x x x x x-→→-= 0111lim 2cos 212x x →===⋅. (8)00sin 22sin 22122lim lim sin 5sin 551555x x x x x x x x→→⋅⋅===⋅⋅. 00sin sin limlim x x kx kxk k x kx→→=⋅= （k 为非零常数）. (9)2112122sin 22cos lim 2cot lim 00=⨯=⋅=→→xx x x x x x .(10)2001cos 22sin lim lim sin sin x x x xx x x x→→-⋅=0sin lim(2)212x xx→=⋅=⨯=.(11)lim 2sin 2nn n x →∞12sin lim()1nt n txxx x tx=→∞===⋅=,(x 为不等于零的常数).(12)0sin sin sin()sin lim lim t x a x a t x a a t ax a t=-→→-+-====-022sin cos22limt t a t t→+= 00sin2lim limcos()cos 22t t t t a a t →→=+=. (14)303sin()sin 3lim lim12cos 12cos()3t x t x x t x t ππππ=-→→-====--+sin lim12(cos cossin sin )33t tt t ππ→=--0sin lim1cos 3sin t tt t→=-+0022sin sin lim lim1cos 3sin sin sin 232()2t t tt t tt t t t t t→→==-+⋅+1330131==⨯+⨯. 另解33sin()sin()133limlim 112cos 2cos 2x x x x x x ππππ→→--=-- 3sin()13lim2cos cos 3x x x πππ→-=-33cos112lim 233sin 2x x x πππ→-=-=+. (15)1102lim(1)tan lim 2cot2t x x t x t x t πππ=-→→-==.(16)(07-08期末考试)11lim(sinsin )n n n n n→∞+= 1 .若 lim(1)5xx a x→∞+=,则 ln5a = .例7 (1)(05.4) 极限22lim sin 1x xx x →∞=+ . 答案：2.(2)(93.3) =++∞→xx x x 2sin 3553lim2 . 解 2222sin3526106lim sin lim()253535x x x x x x x x x x→∞→∞++=⋅=++. 2. 1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭.将数列1(1)nn+的值列成表格：n1 2 3 4 5 10 100 1000 100001(1)n n +2 2.250 2.370 2.441 2.488 2.594 2.705 2.717 2.718 有表格看出随着n →∞，1(1)nn+的变化趋势是稳定的.下证1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭证明：令0111n n k n n k k x C n n =⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∑, 1,2,3,n = (1) 先证{}n x ↑. 由于23(1)1(1)(2)1112!3!n n n n n n x n n ---=++⋅+⋅+ (1)(1)1!n n n n n n n--++⋅ )11()21)(11(!1)11(!2111nn n n n n ----++-++=11111(1)2!1n x n +=++-++1121(1)(1)(1)!111n n n n n -+---+++ 112(1)(1)(1)(1)!111nn n n n +---++++ 显然 1+≤n n x x , ,3,2,1=n ， 所以↑}{n x . (2) 再证3<n x , 即 3||<n x , ,3,2,1=n . 由于1111(1)2!n x n =++-+1121(1)(1)(1)!n n n n n -+--- 111112!3!!n ≤+++++2111111222n -≤+++++111121331212nn --=+=-<-.{}n x 有界 (3) 由(1)(2)及准则Ⅱ知, n n x ∞→lim 存在,记作e ,即e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim . 其中：e 是无理数, 它的值是 718281828.2=e .下证: 1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭.证明:(1)0x ∀>,n N +∃∈ ..t s 1n x n ≤<+⇒1111111n x n+<+≤++, 从而 11111111n x n n x n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<+≤+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 又因为 111lim 1,lim 11nn n n e e n n +→∞→∞⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭所以 1l i m 1xx e x →+∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭.(2) 111lim 1lim 1lim 1x t t x t x t t x t t t -=-→-∞→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫+===-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎪⎝⎭111lim 1111t t t t -→+∞⎛⎫⎛⎫=+⋅+⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭11lim 11t t e t -→+∞⎛⎫=+= ⎪-⎝⎭.综上所述 1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭.公式: 1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭,1101lim(1)lim 1t txx x t x e t =→→∞⎛⎫+===+= ⎪⎝⎭. 例8 计算下列极限(1)1lim 11nn n →∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭11111lim 111lim 1111lim 111n n n n n e n n e n n ++→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭====⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.(2)1111lim 1lim 11n nn n n n n +→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11lim 1lim 1n n n e n n →∞→∞⎛⎫⎛⎫=+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (3)lim [ln(2)ln ]n n n n →∞+-22lim 2ln(1)nn n→∞=+2e ln 2==.(4)22lim(1)x x x →∞+e 4422lim[(1)]x x x→∞=+=;（5）100ln(1)lim lim ln(1)x x x x x x→→+=+10ln[lim(1)]1xx x →=+=所以 ln(1)(0x x x +→ 时）(6) 2111202lim(1) lim(1)xu x u x u u x=----→∞→-+11lim[(1)(1)]u u u u →=++1e=; (7)e1)1(lim 1)1(lim )22(lim 101220=+=+-→-→-=→uu uu xu xx u u x; (8)1lim()1xx x x →∞-+e21(1)11lim lim 111(1)(1)(1)xx x x x x x x x x →∞→∞--===+++-;(9)211lim (1)lim (1)u x x u x u x u=→+∞→+∞-- 1ee )11()11(lim ==-++=-+∞→u uu u u ;(10)22lim()1xx x x →∞- 211lim 111(1)lim[(1)(1)]x x x xx x x x→∞→∞==--+ 1lim(1)11lim(1)xx x x e x e x-→∞→∞-===+.(11)22cot 0lim(13tan )xx x →+2313tan 330lim(1)[lim(1)]t xtt t t t t e =→→===+=+=.(12)0ln(12)lim sin 3x x x→+11220002l i m l n (12)2l n (12)lim sin 3sin 333lim33xxx x x x x x x xx x x→→→++==⋅2l n 2313e ==⨯. (13)3tan 0lim(1)xx x →+01313lim3tan tan 0lim(1)[lim(1)]x x x x xx xx x x x e →⋅→→=+=+=.例9 确定ｃ，使lim()4xx x c x c→∞+=- 解：由于1lim()lim 1xx x x c x c x c x c x →∞→∞⎡⎤+⎢⎥+=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦ 2[(1)]lim [(1)]x ccc x x cc c x e c x→∞--+==-. 由24ce =解得：ln 2c = 三、连续复利1.一年一个计息期的复利：设年利率为r ,贷款本金为0A ,那么一年后本利和为：10(1)A A r =+； 两年后本利和为：220(1)A A r =+；……………………k 年后本利和为：0(1)k k A A r =+.2.一年n 个计息期的复利：设年利率为r ,一年n 个计息期,则每期利率为nr , 若贷款本金为0A ,那么, k 年后本利和为：0(1)kn k rA A n=+.3.连续复利：即每时每刻计算复利.设年利率为r ,贷款本金为0A ,让一年计息期的个数n →∞,则k 年后本利和为：000lim (1)lim (1)krnkn kr r k n n r r A A A A e n n →∞→∞⎡⎤=+=+=⎢⎥⎣⎦.这个数学模型在现实世界中应用很多，例如物体的冷却、细胞的繁殖、树木的生长、镭的衰变等.例10某企业计划发行公司债券,规定以年利率6.5%的连续复利计算利息,10年后每份债券一次偿还本息1000元,问发行时每份债券的价格应定为多少元？ 解：设0A 为发行时每份债券的价格,年利率为6.5%r =,10k =年后每份债券一次偿还本息1000k A =元,若以连续复利计算利息,则0krk A A e =, 即100.06501000A e⨯=,得 100.06501000552.05A e-⨯==(元).小结：1.利用两个重要极限时，计算式必须符合重要极限的形式才能套用公式.但需注意巧算.2．运用夹逼准则解题时放缩尺度要把握好，两边极限要相等.3．解决经济问题时注意：以年计息时，月利息=年利息的12分之一；每期到时结一次息，按年数乘以年息.课后记：1.计算技巧运用不到位，不能灵活变形，蛮算.使用公式时，不注意公式的条件限制.2.用夹逼准则解题时放缩的尺度把握不好；用重要极限时不能灵活运用变量替换进行适当变形．。