图形的相似复习讲义[1]

图形的相似章节复习一、复习目标：1.了解线段的比，成比例线段；通过建筑、艺术等方面的实例了解黄金分割.2. 了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的判定及直角三角形相似的判定；会用相似三角形证明角相等或线段成比例，或进行角的度数和线段长度的计算等二、【知识梳理】1．两条线段_______的比叫做这两条线段的_______．在四条线段a 、b 、c 、d 中，若a ：b ＝c ：d ，则称a 、b 、c 、d 四条线段成_______．若a ：b ＝b ：c ，则线段b 叫做线段a 和c 的比例_______．2．比例的性质：(1)若a c b d =，则ad ＝_______． (2)若a c b d =，则a b b+＝_______． 3．黄金分割：点C 把线段AB 分成AC 和BC 两段(CA>BC)，且AC 是AB 和BC 的_______，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的________4．对应角_______，对应边成________的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做______．5．相似三角形的判定方法：6．相似三角形的性质：7．相似多边形的性质：8．相似多边形的判定： 对应角_______，对应边_______的多边形是相似多边形．三【考点例析】考点一 比例性质1、已知513b a =，则a b a b-+的值是 2.已知点C 是线段AB 的黄金分割点，带AC AB ≈0．6 18，那么CB AC的近似值是_______ 3.已知三个数1，2， 3 ，请你再添上一个（只填一个）数，使它们能构成一个比例式，则这个数是 。

4.两直角边的长分别为3和4的直角三角形的斜边与斜边上的高的比为（ ）考点二 相似三角形的判定6、△ABC 中，D 是AB 上的一点，再在 AC 上取一点 E ，使得△ADE 与△ABC 相似，则满足这样条件的E 点共有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个7、如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判断△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不正确的是 ( )A ．∠ABD ＝∠CB ．∠ADB ＝∠ABCC ．AB CB BD CD = D ．AD AB AB AC= 8、 如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，点F 在BC 上，且FC= 14BC ．图中相似三角形共有（ ）A ．1对 B ．2对C ．3对D ．4对 考点三 相似三角形的性质9、某校有两块相似的多边形草坪，其面积比为9：4，其中一块草坪的周长是36米，则另一块草坪的周长是10、 如图，在△ABC 中，EF ∥BC ，12AE EB =， S 梯形BCFE ＝8，则S △ABC 的值是考点四 综合运用12、如图，在yABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连结AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE ＝∠C ． ⑴ 求证：△ABF ∽△EAD ；⑵ 若AB=4，∠BA=30°，求AE 的长；⑶ 在⑴、⑵的条件下，若AD=3，求BF 的长.13、如图，在△ABC 中，BA=BC=20cm ，AC=30cm ，点P 从A 点出发，沿AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动，同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3㎝的速度向A 点运动，设运动的时间为x.⑴当x 为何值时，PQ ∥BC ？⑵当P 13BCQB Q ABC ABCS S S S ∆∆∆∆=时，求的值。

《图形的相似》复习课教学目标：（一）知识与技能1、归纳、总结本章知识，使知识成体系。

2、对成比例线段、相似三角形的知识进行巩固提升。

（二）过程与方法体现研究图形问题的多种方法，培养学生处理图形问题的思维发展水平，加强相关知识之间的联系和综合运用。

（三）情感与价值观要求培养学生对问题的观察、思考、交流、类比、归纳等过程，发展学生的探索精神，合作意识，增强应用数学意识，加深对数学的人文价值的理解和认识。

教学重点：1、归纳、总结本章知识，使知识成体系。

2、掌握相似三角形的知识，并能灵活运用。

教学难点：培养学生处理图形问题的思维发展水平，建立几何模型的解题思考过程。

教学内容：一、线段的比和比的基本性质AB m1、线段比的定义：AB∶CD＝m∶n 或写成＝，其中，线段AB、CD 分别叫做这两个线段比CD nm AB的前项和后项．如果把表示成比值k，则＝k 或AB＝kCD.n CDa c2、比例线段的定义：＝，那么这四条线段a，b，c，d 叫做成比例线段，简称比例线段．b d3、比例的性质：(1)比例的基本性质：如果a∶b＝c∶d，那么a d＝bc；a c(2)如果ad＝bc(a、b、c、d 都不等于 0)，那么＝．b d4、在求两条线段的比时，有哪些地方是需要特别留意的？(1)线段的比为正数；(2)单位要统一；(3)线段的比与所采用的长度单位无关．1.已知线段AB＝2cm，线段CD＝2m，则线段AB∶CD＝．2.已知四条线段a、b、c、d 的长度，试判断它们是否成比例？(1)a＝16cm，b＝8cm，c＝5cm，d＝10cm；(2)a＝8cm，b＝5cm，c＝6cm，d＝10cm.3.已知直角三角形两条直角边长比a∶b＝1∶2，斜边长为4 5cm，那么三角形面积是( )A．32cm2 B．16cm2 C．8cm2 D．4cm24.等边三角形的一边与这边上的高的比是( )3A. 3∶2B. 3∶1 C．2∶D．1∶3AE 5. 如图，已知矩形 ABCD (AB ＜BC )，AB ＝1.将矩形 ABCD 对折，得到小矩形 ABFE ，如果AB AB 的值恰好与 的值相等，求原矩形 ABCD 的边 AD 的长． AD 二、比例线段与比例的性质 1、比例的基本性质：如果 a ∶b ＝c ∶d ，那么 ad ＝bc ．a c e m a ＋c ＋e ＋…＋m a 2、等比性质：若 ＝ ＝ ＝…＝ ，且b ＋d ＋f ＋…＋n ≠0，则 ＝ ．b d f ac n a ± bc ±d b ＋d ＋f ＋…＋n b 3、合(分)比性质：若 ＝ ，则 ＝ ．b d ac e 1 bd a ＋c ＋e a ＋2c ＋3e 1.若 ＝ ＝ ＝ ，且 b ＋d ＋f ≠0，则 ＝ ； b d f 3 b d f ＋ ＋ ＝ ．a ＋b a ＋c b ＋cb 2d 3f2. 已知 c ＝ b ＝ a＝k ，则 k 的值是 2 或－1． a c e 1 3．若 ＝ ＝ ＝ ，b ＋d ＋f ＝30，则 a ＋c ＋e ＝15． b d f 2 a ＋4 b ＋3 c ＋84．已知 a 、b 、c 是△ABC 的三边，满足 3 ＝ 2(1)试求 a ，b ，c 的值；(2) 判断△ABC 的形状． 三、平行线分线段成比例＝ 4 ， 且 a ＋b ＋c ＝12. 1. 平行线等分线段：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等．2. 平分线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．3. 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．1. 如图，已知 l 1∥l 2∥l 3，如果 AB ∶BC ＝2∶3，DE ＝4，则 EF 的长是( )10A . 3B ．6C ．4D ．25 2. 如图，在四边形 ABCD 中，AD ∥BC ，E 是 AB 上的一点，EF ∥BC ，交 CD 于 F ，若 AE ＝2，BE ＝3， CD ＝4，则 FC ＝ ，DF ＝． 3．已知，如图，EG ∥BC ，GF ∥DC ，AE ＝3，EB ＝2，AF ＝6，求 AD 的值．四、相似多边形1. 相似多边形的定义：(1) 从图形上讲：一般而言，形状相同的图形称为相似图形；(2) 从边、角上讲：各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做相似比；(3) 相似多边形的记法：用“∽”符号表示相似，如四边形 ABCD 与四边形 A 1B 1C 1D 1 相似， 记为“四边形 ABCD ∽四边形 A 1B 1C 1D 1”．2. 相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例．1. 下列结论不正确的是( )A. 所有的矩形都相似 B ．所有的正方形都相似＋ ＋C. 2∶1C．所有的等腰直角三角形都相似D．所有的正八边形都相似2.如图，在下面的三个矩形中，相似的是( )A.甲、乙和丙B．甲和乙C．甲和丙D．乙和丙3.如果一个矩形对折后所得到的矩形与原矩形相似，则矩形的长边长与短边长的比是( )A．2∶1 B．4∶1 D．1∶五、探索三角形相似的条件（一）三角形相似的判定定理 11.相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，如△ABC与△DEF 相似，记作△ABC∽△DEF，其中对应顶点要写在相同位置上，如A 与D，B 与E，C 与F 相对应．AB∶DE 等于BC∶EF．2.三角形相似判定定理 1：两角对应相等的两个三角形相似．1．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点D，则图中相似三角形共有( )A.1对B．2 对C．3 对D．4 对2．如图，D 是直角三角形ABC 直角边AC 上的一点，若过D 点的直线交AB 于E，使得到的三角形与原三角形相似，则这样的直线有( )A．1 条B．2 条C．3 条D．4 条3.已知△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，BD 是角平分线，求证：△ABC∽△BDC.（二）两边一夹角判定两个三角形相似三角形相似判定定理 2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．1.下列条件不能判定△ABC 与△ADE 相似的是( )AE AC AE DEA.＝B．∠B＝∠ADE C. ＝D．∠C＝∠AEDAD AB AC BC2.下列条件能判断△ABC 和△A′B′C′相似的是( )AB AC AB AC AB A′B′AB ACA. ＝B. ＝且∠A＝∠C′C. ＝且∠B＝∠A′D. ＝且∠B＝∠B′A′B′A′C′A′B′A′C′BC A′C′A′B′A′C′3.如图，每个小正方形边长均为1，则下列图三角形(阴影部分)与右图△ABC 相似的是( ),A) ,B) ,C) ,D)4.已知：如图，在△ABC 中，CE⊥AB，BF⊥AC.求证：△AEF∽△ACB.（三）三边成比例的两个三角形相似三角形相似判定定理 3：三条边成比例的两个三角形相似．1.下列条件不能判定△ABC 与△ADE 相似的是( )25－1 2 5－1 2 AE AD AD AE DE DE AD A . ＝ ，∠CAE ＝∠BAD B.∠B ＝∠ADE ，∠CAE ＝∠BAD C . ＝ ＝ D . ＝ ，∠C ＝∠E AC AB AB AC BC BC AB2. 下列四个三角形，与右图中的三角形相似的是( )（四）黄金分割 ,A ) ,B ) ,C ) AC BC 黄金分割的意义：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ，如果 ＝ ，那么AB AC称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比．5－1 黄金比=，近似数为 0.618． 21. 已知点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AC ＞BC ，则下列等式成立的是( )A ．AB 2＝AC ·CB B ．CB 2＝AC ·AB C ．AC 2＝CB ·ABD ．AC 2＝2AB ·BC2. 已知 C 是线段 AB 的一个黄金分割点，则 AC ∶AB 为( )A. B . 3－ 5 2 5＋1 C. 2D. 或 3. 下列说法正确的是( )A. 每条线段有且仅有一个黄金分割点B ．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的 0.618 倍C ．若点 C 把线段 AB 黄金分割，则 AC 2＝AB ·BCD ．以上说法都不对六、利用相似三角形测高测量旗杆高度的常见方法有：(1)利用“同一时刻的物高与影长成比例”构造相似三角形；(2) 利用“视线、标杆和物高”构造相似三角形；(3) 利用“平面镜中入射角与反射角相等”构造相似三角形．①利用阳光下的影子来测量旗杆的高度点拨：把太阳的光线看成是平行的．∵太阳的光线是平行的，∴AE ∥CB ，∴∠AEB ＝∠CBD ，AB BE AB·BD ∵人与旗杆是垂直于地面的，∴∠ABE ＝∠CDB ，∴△ABE ∽△CDB ，∴ ＝ ，即 CD ＝ ，CD DB BE代入测量数据即可求出旗杆 CD 的高度．②利用镜子的反射点拨：入射角＝反射角．∵入射角＝反射角，∴∠AEB ＝∠CED .∵人、旗杆都垂直于地面，AB BE AB·DE ∴∠B ＝∠D ＝90°，∴△AEB ∽△CED ，∴ ＝ ，∴CD ＝ .因此，测量出人与镜子的CD DE BE距离 BE ，旗杆与镜子的距离 DE ，再知道人的身高 AB ，就可以求出旗杆 CD 的高度． 1. 某校数学兴趣小组为测量学校旗杆 AC 的高度，在点 F 处竖立一根长为 1.5m 的标杆 DF ，如右图，量出 DF 的影子 EF 的长度为 1m ，同一时刻测量旗杆 AC 的影子 BC 的长度为6m ，那么旗杆 AC 的高度为( )A. 6mB ．7mC ．8.5mD ．9m2. 如图，是小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点 P 处放一水平的平面镜，,D )3－ 5 2光线从点A 出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD 的顶端C 处．已知AB⊥BD，CD⊥B且D.测得AB＝1.2m，BP＝1.8m，PD＝12m.那么该古城墙CD 的高度是( )A.6m B．8m C．18m D．21m3.小明想知道学校旗杆的高，在他与旗杆之间的地面上直立一根2 米的标竿EF，小明适当调整自己的位置使得旗杆的顶端C、标竿的顶端F 与眼睛D 恰好在一条直线上，量得小明高AD 为 1.6 米，小明脚到标杆底端的距离AE 为0.5 米，小明脚到旗杆底端的距离AB 为8 米．请你根据数据求旗杆BC 的高度．七、相似三角形的性质（一）相似三角形对应线段的比1.相似多边形对应边的比叫做相似比．2.相似三角形的对应角相等，对应边成比例．3.相似三角形对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比都等于相似比1.如果两个相似三角形对应角平分线之比为1∶2，那么它们对应中线之比为( )A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶82.已知△ABC∽△A′B′C′，AD，A′D′是高，且AD＝3cm，A′D′＝5cm，AE，A′E′分别是BC 和B′C′边上的中线，AE＝6cm，则A′E′＝．3.如图，在△ABC 是一张锐角三角形硬纸片，AD 是边BC 上的高，BC＝40cm，AD＝30cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2 倍的矩形EFGH，使它的一边EF 在BC 上，顶点G，H 分别在AC，AB 上，AD 与HG 的交点为M.AM HG(1)求证：AD ＝BC；(2)求矩形EFGH 的周长．（二）相似三角形周长和面积的比相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．1.下列命题中错误的是( )A．相似三角形的周长比等于对应中线的比B．相似三角形对应高的比等于相似比C．相似三角形的面积比等于相似比D．相似三角形对应角平分线的比等于相似比2.若两个相似多边形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为( )A．1∶4 B．1∶2 C．2∶1 D．4∶13.若两个三角形相似，且它们的最大边分别为6cm 和8cm，它们的周长之和为35cm，则较小的三角形的周长为．4.在▱ABCD 中，BE＝2AE，若S△AEF＝6，求S CDF.八、图形的位似（一）位似变换1.位似多边形的定义：如果两个相似多边形任意一组对应顶点A、A′的连线(或延长线)都经过同一个点O，且有OA′＝kOA(k≠0)，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O 叫做位似中心，这时的相似比k 又称为位似比．2.位似多边形的性质：(1)位似多边形一定相似，位似多边形具有相似多边形的一切性质；(2) 位似多边形上任意一对对应点连线(或延长线)都经过位似中心，并且到位似中心的距离之比等于相似比．3.同时满足下面三个条件的两个图形才叫做位似图形．三个条件缺一不可：①两图形相似；②每组对应点所在直线都经过同一点；③对应边互相平行(或在同一直线上)．4.画位似图形的方法：①确定位似中心；②找对应点；③连线；④下结论．1.如图所示的每组图中的两个多边形，一定不是位似图形的是( ),A) ,B) ,C) ,D)2.下列说法错误的是( )A．位似多边形对应角相等，对应边成比例B．位似多边形对应点所连的直线一定经过位似中心C．位似多边形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比D．两个位似多边形一定是全等图形1.若五边形ABCDE 3.如图，五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE 是位似图形，且位似比为2的面积为16cm2，周长为20cm，那么五边形A′B′C′D′E′的面积为，周长为．4．如图，已知四边形ABCD 和点O，请以O 为位似中心，作出四边形ABCD 的位似图形，把四边形ABCD 放大为原来的2 倍．（二）位似变换中的坐标变化1.在平面直角坐标系中，一个多边形每一个顶点的横、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|．2.我们学习过的图形变换包括：平移、轴对称、旋转和位似．其中经过平移、轴对称、旋转变换前后的两个图形一定是全等的；而经过位似变换前后的两个图形是相似的1.如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为位似中心，将△ABO 扩大到原来的2 倍，得到△A′B′O.若点A 的坐标是(1，2)，则点A′的坐标是( )A．(2，4) B．(－1，－2) C．(－2，－4) D．(－2，－1)2.在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为A(－6，1)，B(－3，1)，C(－3，3)．若将它们的横纵坐标都乘以－3，得到新三角形△A1B1C1，则△A1B1C1与△ABC 是位似关系，位似中心是，位似比等于．3.如图，已知△ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(3，4)，C(2，2)．(正方形网格中每个小正方形的边长是1 个单位长度)(1)画出△ABC 向下平移4 个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是；(2)以点B 为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC 位似，且相似比为2∶1，点C2的坐标是；(3)△A2B2C2的面积是平方单位．九、相似三角形的几种基本模型。