冀教版2020九年级数学上册第二十五章图形的相似自主学习培优测试卷B卷(附答案详解)

第二十五章测试卷一、选择题(1～10题每题3分，11～16题每题2分，共42分) 1．下列长度的各组线段成比例的是( )A ．4cm ，2cm ，1cm ，3cmB ．1cm ，2cm ，3cm ，5cmC ．3cm ，4cm ，5cm ，6cmD ．1cm ，2cm ，2cm ，4cm 2．若m ＋n n ＝52，则m n 等于( )A.52B.23C.25D.323．如图，可以判定△ABC ∽△A ′B ′C ′的条件是( )A ．∠A ＝∠B ′＝∠C ′ B.AB A ′B ′＝AC A ′C ′且∠A ＝∠C ′ C.AB A ′B ′＝AC A ′C ′且∠A ＝∠A ′D ．以上条件都不对4．若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为( )A ．1：4B ．1：2C ．2：1D ．4：15．如图，在△ABC 中，若DE ∥BC ，AD ＝3，BD ＝6，AE ＝2，则AC 的长为( )A ．4B ．5C ．6D ．86．如图，在平面直角坐标系中，有点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB缩短后得到CD，则点C的坐标为()A．(2，1) B．(2，0)C．(3，3) D．(3，1)7．若线段AB＝5cm，C是线段AB的一个黄金分割点，则线段AC的长为()A.5－52 B.35－52C.5－52或35－52 D.35－52或5＋528．如图，小东用长3.2 m的竹竿BE做测量工具测量学校旗杆CD的高度，移动竹竿BE，使竹竿BE、旗杆CD顶端的影子恰好落在地面的同一点A处．此时，竹竿BE与点A相距8 m，与旗杆CD相距22 m，则旗杆CD的高度为()A．12 m B．10 mC．8 m D．7 m9．如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形是()10．如图所示，△ABC是等边三角形，若被一边平行于BC的矩形所截，AB被截成三等份，则图中阴影部分的面积是△ABC面积的()A.19 B.29 C.13 D.4911．如图，在△ABC中，点D, E分别是边AC, AB的中点，BD与CE相交于点O, 连接DE.下列结论：①OEOB＝ODOC；②DEBC＝12；③S△DOES△BOC＝12；④S△DOE S△DBE＝13，其中正确的有()A．1个B．2 个C．3 个D．4个12．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF等于()A．2 B．2.4C．2.5 D．2.2513．如图是小明设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A发出经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C 处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是()A．6米B．8米C．18米D．24米14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，且AD∶BD＝9∶4，则AC∶BC等于()A．9∶4 B．9∶2C．3∶4 D．3∶215．如图，在△ABC中，AB＝AC＝18，BC＝12，正方形DEFG的顶点E，F 在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD＝AG，DG＝6，则点F 到BC的距离为()A．1 B．2C．12 2－6 D．6 2－616．如图，在钝角三角形ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于点M，取BC的中点D，AC的中点N，连接DN，DE，DF.下列结论：①EM＝DN；②S△CND＝13S四边形ABDN；③DE＝DF；④DE⊥DF.其中正确结论的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题(每题3分，共9分)17．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F，已知ABAC＝13，则EFDE＝________.18．如图，已知D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，且S△ADE：S四边形DBCE＝1：8，那么AE：AC＝________．19．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形(如图)，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是________步．三、解答题(20，21题每题8分，22～25题每题10分，26题13分，共69分) 20．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，试求出x及α的大小．21．如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5)．(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，并求出△A2B2C2的面积．22．如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD.(1)求证：△ABC～△ACD；(2)若AD＝2，AB＝5，求AC的长．23．如图，一条河的两岸BC与DE互相平行，两岸各有一排景观灯(图中黑点代表景观灯)，每排相邻两景观灯的间隔都是10 m，在与河岸DE的距离为16 m的A处(AD⊥DE)看对岸BC，看到对岸BC上的两个景观灯的灯杆恰好被河岸DE上两个景观灯的灯杆遮住．河岸DE上的两个景观灯之间有1个景观灯，河岸BC上被遮住的两个景观灯之间有4个景观灯，求这条河的宽度．24．如图，要从一块Rt△ABC的白铁皮零料上截出一块矩形EFHD白铁皮．已知∠A＝90°，AB＝16cm，AC＝12cm，要求截出的矩形的长与宽的比为2∶1，且较长边在BC上，点H，F分别在AB，AC上，所截矩形的长和宽各是多少？25．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝24，BC＝12，点E沿BC边从点B开始向点C以每秒2个单位长度的速度运动；点F沿CD边从点C开始向点D以每秒4个单位长度的速度运动．如果点E，F同时出发，用t(0≤t≤6)秒表示运动的时间．请解答下列问题：(1)当t为何值时，△CEF是等腰直角三角形？(2)当t为何值时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似？26．如图，E，F分别是正方形ABCD的边DC，CB上的点，且DE＝CF，以AE为边作正方形AEHG，HE与BC交于点Q，连接DF.(1)求证：△ADE≌△DCF；(2)若E是CD的中点，求证：Q是CF的中点；(3)连接AQ，设S△CEQ＝S1，S△AED＝S2，S△EAQ＝S3，在(2)的条件下，判断S1＋S2＝S3是否成立？并说明理由．答案一、1.D 2.D 3.C 4.B 5.C 6.A7．C8．A 点拨：∵BE ∥CD ，∴△AEB ∽△ADC ，∴AE AD ＝BE CD ，即88＋22＝3.2CD ， 解得CD ＝12 m ．故旗杆CD 的高度为12 m ．故选A.9．D 10.C11．B 点拨：∵点D ，E 分别是边AC ，AB 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC 且DE BC ＝12，②正确； ∴∠ODE ＝∠OBC ，∠OED ＝∠OCB ，∴△ODE ∽△OBC ，∴OE OC ＝OD OB ＝DE BC ＝12，①错误； S △DOE S △BOC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DE BC 2＝14，③错误；∵S △DOE S △BOE ＝12OD ·h 12OB ·h ＝OD OB ＝12， ∴S △DOE S △DBE＝13，④正确．故选B. 12．B13．B 点拨：由题意知，∠APB ＝∠CPD .又∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，∴Rt △ABP ∽Rt △CDP ，∴AB CD ＝BP PD .∵AB ＝1.2米，BP ＝1.8米，PD ＝12米，∴CD ＝AB ·PD BP ＝1.2×121.8＝8(米)．故选B.14．D 点拨：方法1：∵∠ACB ＝90°，∠ADC ＝90°，又∠A 是公共角，∴Rt △ABC ∽Rt △ACD .∴AC AB ＝AD AC ，∴AC 2＝AD ·AB .∵∠ACB ＝90°，∠BDC ＝90°，又∠B 是公共角，∴Rt △ABC ∽Rt △CBD ，∴BC BD ＝AB BC ，∴BC 2＝BD ·AB .∴⎝ ⎛⎭⎪⎫AC BC 2＝AD ·AB BD ·AB ＝AD BD ＝94. ∴AC ∶BC ＝3∶2.方法2：易证△ACD ∽△CBD ，∴S △ACD S △CBD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC BC 2. 又∵CD ⊥AB ，∴S △ACD S △CBD ＝12AD ·CD 12BD ·CD ＝AD BD ＝94， ∴AC BC ＝32. 15．D 点拨：如图，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，交DG 于点N ，延长GF 交BC 于点H .∵AB ＝AC ，AD ＝AG ，∴AD ：AB ＝AG :AC .又∵∠BAC ＝∠DAG ，∴△ADG ∽△ABC .∴∠ADG ＝∠B .∴DG ∥BC .∴AN ⊥DG .∵四边形DEFG 是正方形，∴FG⊥DG.∴FH⊥BC.∵AB＝AC＝18，BC＝12，∴BM＝12BC＝6.∴AM＝AB2－BM2＝12 2.∵ANAM＝DGBC，即AN12 2＝612，∴AN＝6 2.∴MN＝AM－AN＝6 2.∴FH＝MN－GF＝6 2－6.故选D.16．D点拨：∵△ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB，∴EM是AB边上的中线．∴EM＝12AB.∵点D，点N分别是BC，AC的中点，∴DN是△ABC的中位线．∴DN＝12AB，DN∥AB.∴EM＝DN.①正确；由DN∥AB，易证△CDN∽△CBA.∴S△CNDS△CAB＝⎝⎛⎭⎪⎫DNAB2＝14.∴S△CND＝13S四边形ABDN.②正确；如图，连接DM，FN，则DM是△ABC的中位线，∴DM＝12AC，DM∥AC，∴四边形AMDN是平行四边形．∴∠AMD＝∠AND.易知∠ANF＝90°，∠AME＝90°，∴∠EMD＝∠DNF.∵FN是AC边上的中线，∴FN＝12AC.∴DM＝FN.又∵EM＝DN，∴△DEM≌△FDN.∴DE＝DF，∠FDN＝∠DEM.③正确；∵∠MDN＋∠AMD＝180°，∴∠EDF＝∠MDN－(∠EDM＋∠FDN)＝180°－∠AMD－(∠EDM＋∠DEM)＝180°－(∠AMD＋∠EDM＋∠DEM)＝180°－(180°－∠AME)＝180°－(180°－90°)＝90°，∴DE⊥DF.④正确．故选D.二、17.218.1∶319.60 17三、20.解：因为四边形ABCD∽四边形EFGH，所以∠H＝∠D＝95°，则α＝360°－95°－118°－67°＝80°.再由x∶7＝12∶6，解得x＝14.21．解：(1)如图，△A1B1C1就是所要画的三角形．(2)如图，△A2B2C2就是所要画的三角形．分别过点A2，C2作y轴的平行线，过点B2作x轴的平行线，交点分别为E，F.∵A (－1，2)，B (2，1)，C (4，5)，△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且位似比为2:1， ∴A 2(－2，4)，B 2(4，2)，C 2(8，10)．∴S △A 2B 2C 2＝12×(2＋8)×10－12×2×6－12×4×8＝28.22．(1)证明：∵∠ABC ＝∠ACD ，∠A ＝∠A ，∴△ABC ∽△ACD .(2)解：由(1)知△ABC ∽△ACD ，∴AC AD ＝AB AC .∵AD ＝2，AB ＝5，∴AC 2＝5AC， ∴AC ＝10(负值舍去)．23．解：由题意可得DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC .所以AD AB ＝DE BC ，即AD AD ＋DB＝DE BC . 因为AD ＝16 m ，BC ＝50 m ，DE ＝20 m ，所以1616＋DB ＝2050. 所以DB ＝24 m.答：这条河的宽度为24 m.24．解：如图，过点A 作AN ⊥BC 交HF 于点M ，交BC 于点N .∵∠BAC ＝90°，∴∠BNA ＝∠BAC ，BC ＝AB 2＋AC 2＝20(cm)．又∵∠B ＝∠B ，∴△ABN ∽△CBA ，∴AN AC ＝ABBC ，∴AN ＝AC ×AB BC ＝485(cm)．∵四边形EFHD 是矩形，∴HF ∥ED ，∴∠AHF ＝∠B ，∠AFM ＝∠C ，∴△AHF ∽△ABC ，∴AM AN ＝HFBC .设EF ＝x ，则MN ＝x ，由截出的矩形的长与宽的比为2∶1，可知HF ＝2x ，∴485－x485＝2x20，解得x ＝24049，∴2x ＝48049.故所截矩形的长为48049cm ，宽为24049cm.25．解：(1)由题意可知BE ＝2t ，CF ＝4t ，CE ＝12－2t .因为△CEF 是等腰直角三角形，∠ECF 是直角，所以CE ＝CF .所以12－2t ＝4t ，解得t ＝2.所以当t ＝2时，△CEF 是等腰直角三角形．(2)根据题意，可分为两种情况：①若△EFC ∽△ACD ，则EC AD ＝FCCD ，所以12－2t12＝4t24，解得t ＝3，即当t ＝3时，△EFC ∽△ACD ；②若△FEC ∽△ACD ，则FC AD ＝ECCD ，所以4t 12＝12－2t 24，解得t ＝1.2， 即当t ＝1.2时，△FEC ∽△ACD .因此，当t 为3或1.2时，以点E ，C ，F 为顶点的三角形与△ACD 相似．26．(1)证明：由AD ＝DC ，∠ADE ＝∠DCF ＝90°，DE ＝CF ，得△ADE ≌△DCF .(2)证明：因为四边形AEHG 是正方形，所以∠AEH ＝90°.所以∠QEC ＋∠AED ＝90°.又因为∠AED ＋∠EAD ＝90°，所以∠QEC ＝∠EAD .因为∠C ＝∠ADE ＝90°，所以△ECQ ∽△ADE .所以CQ DE ＝EC AD .因为E 是CD 的中点，CD ＝AD ，所以EC ＝DE ＝12AD . 所以EC AD ＝12. 因为DE ＝CF ，所以CQ DE ＝CQ CF ＝12， 即Q 是CF 的中点．(3)解：S 1＋S 2＝S 3成立．理由：因为△ECQ ∽△ADE ，所以CQ DE ＝QE AE .所以CQ CE ＝QE AE .因为∠C ＝∠AEQ ＝90°，所以△ECQ ∽△AEQ .所以△AEQ ∽△ECQ ∽△ADE .所以S 1S 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫EQ AQ 2，S 2S 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AE AQ 2. 所以S 1S 3＋S 2S 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫EQ AQ 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫AE AQ 2＝EQ 2＋AE 2AQ 2.在Rt △AEQ 中， 由勾股定理得EQ 2＋AE 2＝AQ 2，S1 S3＋S2S3＝1，即S1＋S2＝S3.所以1、只要朝着一个方向努力，一切都会变得得心应手。

第二十五章 图形的相似一、选择题(每小题4分，共24分)1．已知线段a ＝3 cm ，b ＝12 cm ，若线段c 是a ，b 的比例中项，则c 的值为( ) A ．2 cm B ．4 cm C ．6 cm D ．±6 cm2．如图1，在△ABC 中，点D 在边AB 上，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，DF ∥AC 交BC 于点F ，若AE ∶DF ＝2∶3，则BF ∶BC 的值是( )A.23B.35C.12D.25图1 图23．如图2，四边形ABCD 为平行四边形，E ，F 为CD 边的两个三等分点，连接AF ，BE 交于点G ，则S △EFG ∶S △ABG 的值为( )A ．1∶3B ．3∶1C ．1∶9D ．9∶1图34．图3是一种雨伞的轴截面图，伞骨AB ＝AC ，支撑杆OE ＝OF ＝40 cm ，当点O 沿AD 滑动时，雨伞开闭．若AB ＝3AE ，AD ＝3AO ，此时B ，D 两点间的距离为( ) A ．60 cm B ．80 cm C ．100 cm D ．120 cm5．在平面直角坐标系中，已知点A (－4，2)，B (－6，－4)，以原点O 为位似中心，相似比为12，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A ′的坐标是( )A ．(－2，1)B ．(－8，4)C ．(－8，4)或(8，－4)D ．(－2，1)或(2，－1)6．如图4所示，在长为8 cm ，宽为4 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是( )A ．2 cm 2B ．4 cm 2C ．8 cm 2D ．16 cm 2图4二、填空题(每小题4分，共28分)7．已知a b ＝57，则a a ＋b ＝________，aa －b＝________.8．一个主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，如果舞台AB 长为20米，一个主持人现在站在A 处，那么他应至少再走____________米才最理想．9．如图5，已知正方形DEFG 的顶点D ，E 在△ABC 的边BC 上，顶点G ，F 分别在边AB ，AC 上．如果BC ＝12，△ABC 的面积是48，那么这个正方形的边长是________．图610.如图6，在四边形ABCD 中，DE ∥BC 交AB 于点E ，点F 在AB 上，请你再添加一个条件________________(不再添加辅助线及其他字母)，使△FCB ∽△ADE . 11．已知四边形ABCD ∽四边形A 1B 1C 1D 1，AB A 1B 1＝14，BC ＝2 cm ，C 1D 1＝16 cm ，则B 1C 1＝________cm ，CD ＝________cm. 12．如图7，△AOB 三个顶点的坐标分别为A (8，0)，O (0，0)，B (8，－6)，M 为OB 的中点．以点O 为位似中心，把△AOB 缩小为原来的12，得到△A ′O ′B ′，点M ′为O ′B ′的中点，则MM ′的长为________．图7 图8 .如图8，阳光通过窗口照到室内，在地上留下3 m 宽的亮区．已知亮区一边到窗下的墙角的距离CE ＝7 m ，窗口高AB ＝1.8 m ，那么窗口底边离地面的高BC 等于________． 三、解答题(共48分)BD 上，且ABAE ＝BC ED ＝ACAD.14．(10分)如图9，在四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点F ，点E 在(1)∠1与∠2相等吗？为什么？(2)判断△ABE 与△ACD 是否相似，并说明理由．图915．(10分)如图10，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC ＝∠ACB ＝90°，E 为AB 的中点．(1)求证：AC 2＝AB ·AD ； (2)求证：CE ∥AD ；(3)若AD ＝4，AB ＝6，求AC AF的值．图1016．(14分)如图11，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15 cm，他准备了一支长为20 cm的蜡烛，想要得到高度为5 cm的像，则蜡烛应放在距离纸筒多远的地方？图1117．(14分)猜想归纳：为了建设经济型节约型社会，“先锋”材料厂把一批三角形废料重新利用，因此工人师傅需要把它们截成不同大小的正方形．已知在△ABC中，AC＝40，BC＝30，∠C＝90°.(1)如图12①，若截取△ABC的内接正方形DEFG，请你求出此正方形的边长；(2)如图②，若在△ABC内并排截取两个相同的正方形(它们组成的矩形内接于△ABC)，请你求出此正方形的边长；(3)如图③，若在△ABC内并排截取三个相同的正方形(它们组成的矩形内接于△ABC)，请你求出此正方形的边长；(4)猜想：如图④，假设在△ABC内并排截取n个相同的正方形(它们组成的矩形内接于△ABC)，则此正方形的边长是多少？图12答案1．C 2．B 3．C 4．D 5．D 6．C7.512 －52 8.(30－10 5)9．4.810．答案不唯一，如∠A ＝∠BFC . 11．8 4 12.52或15213．2.4 m14．解：(1)∠1与∠2相等．理由如下： 在△ABC 和△AED 中， ∵AB AE ＝BC ED ＝ACAD，∴△ABC ∽△AED ， ∴∠BAC ＝∠EAD ，∴∠1＝∠2.(2)△ABE 与△ACD 相似．理由如下： 由AB AE ＝AC AD ，得AB AC ＝AE AD . 在△ABE 和△ACD 中， ∵AB AC ＝AEAD，∠1＝∠2， ∴△ABE ∽△ACD .15．解：(1)证明：∵AC 平分∠DAB ， ∴∠DAC ＝∠CAB .∵∠ADC ＝∠ACB ＝90°， ∴△ADC ∽△ACB ， ∴AD ∶AC ＝AC ∶AB ，∴AC 2＝AB ·AD .(2)证明：∵E 为AB 的中点，∠ACB ＝90°， ∴CE ＝EB ＝AE ， ∴∠EAC ＝∠ECA . ∵∠DAC ＝∠CAB ， ∴∠DAC ＝∠ECA ， ∴CE ∥AD .(3)∵CE ∥AD ，∴△AFD ∽△CFE ， ∴AD ∶CE ＝AF ∶CF .∵E 为AB 的中点，∴CE ＝12AB ＝3.∵AD ＝4，∴43＝AF CF ，∴AC AF ＝74.16. 解：如图，过点作OE ⊥AB ，垂足为E ，延长EO ，交CD 于点F .AB ＝20 cm ，OF ＝15 cm ，CD ＝4 cm.∵AB ∥CD ，EF ⊥AB ，∴EF ⊥CD ，∴△OAB ∽△ODC ， ∴CD AB ＝OF OE ，即520＝15OE， 解得OE ＝60.答：蜡烛应放在距离纸筒60 cm 的地方．17．解：(1)如图(a)，作CN ⊥AB 分别交GF ，AB 于点M ，N .在Rt △ABC 中，∵AC ＝40，BC ＝30，∠C ＝90°，∴AB ＝50，CN ＝24. 由GF ∥AB ，得△CGF ∽△CAB ，∴CM CN ＝GF AB. 设此正方形的边长为x ，则24－x 24＝x50，解得x ＝60037，即此正方形的边长为60037.(2)作CN ⊥AB 交GF 于点M ，交AB 于点N ，如图(b)． 易证△CGF ∽△CAB ，则CM CN ＝GFAB.设小正方形的边长为x ， 则24－x 24＝2x 50，解得x ＝60049， 即此正方形的边长为60049.(3)如图(c)，作CN ⊥AB 交GF 于点M ，交AB 于点N . ∵GF ∥AB ，∴△CGF ∽△CAB ， ∴CM CN ＝GF AB. 设每个正方形的边长为x ， 则24－x 24＝3x 50，解得x ＝60061. 即此正方形的边长为60061.(4)如图(d)，设每个正方形的边长为x ，同理得到 24－x 24＝nx 50，则x ＝60012n ＋25，即此正方形的边长为60012n ＋25.。

冀教版九年级上册数学第25章图形的相似含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，已知点P在△ABC的边AC上，下列条件中，不能判断△ABP∽△ACB 的是（）A.∠ABP=∠CB.∠APB=∠ABCC.AB 2=AP•ACD.2、已知：在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，下列阴影部分的三角形与原△ABC不相似的是( )A. B. C.D.3、如图，点D、E分别是△ABC的边AB，AC上的点，添加下列条件仍不能判断△ADE与△ABC相似的是( )A.DE∥BCB.∠ADE=∠ACBC.D.4、下列各组图形一定相似的是（）A.两个直角三角形B.两个等边三角形C.两个菱形D.两个矩形5、如果△ABC∽△DEF，A、B分别对应D、E，且AB∶DE=1∶2，那么下列等式一定成立的是( )A. BC∶ DE=1∶2B.△ ABC的面积∶△ DEF的面积=1∶2C.∠ A 的度数∶∠ D的度数=1∶2D.△ ABC的周长∶△ DEF的周长=1∶26、已知△ABC和△A′B′C′是位似图形．△A′B′C′的面积为6cm2，周长是△ABC的一半．AB＝8cm，则AB边上高等于（）A.3 cmB.6 cmC.9cmD.12cm7、如果x：（x+y）=3：5，那么x：y=（）A. B. C. D.8、在某幅地图上，AB两地距离8.5cm，实际距离为170km，则比例尺为（）A.1:20B.1：20000C.1：200000D.1：20000009、如图，AB是⊙O的直径，AC，BC分別与⊙O交于点D，E，则下列说法一定正确的是（）A.连接BD，可知BD是△ABC的中线B.连接AE，可知AE是△ABC的高线 C.连接DE，可知 D.连接DE，可知S△CDE ：S△ABC＝DE：AB10、下列多边形一定相似的为（）A.两个矩形B.两个菱形C.两个正方形D.两个平行四边形11、如图，在正方形ABCD中，连接AC，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB，AC于点M，N，分别以M，N为圆心，大于MN长的一半为半径画弧，两弧交于点H，连结AH并延长交BC于点E，再分别以A，E为圆心，以大于AE长的一半为半径画弧，两弧交于点P，Q，作直线PQ，分别交CD，AC，AB于点F，G，L，交CB的延长线于点K，连接GE，下列结论：①∠LKB=22.5°，②GE∥AB，③tan∠CGF= ，④S△CGE ：S△CAB=1：4．其中正确的是（）A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④12、如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（6，0），B（0，8），以某点为位似中心，作出与△AOB的位似比为k的位似△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为（）A.（0，0），2B.（2，2），C.（2，2），2D.（1，1），13、如图，EF是△ABC的中位线，将△AEF沿中线AD方向平移到△A1E1F1的位置，使E1F1与BC边重合，已知△AEF的面积为7，则图中阴影部分的面积为（）A.7B.14C.21D.2814、小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为（）A.10米B.12米C.15米D. 米15、如图，在▱ABCD中，F是AD延长线上一点，连接BF交DC于点E，则图中相似三角形共有（）对.A.2对B.3对C.4对D.5对二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，BC为半圆O的直径，将△ABC沿射线CB方向平移得到△A1B1C1.当A1B1与半圆O相切于点D时，平移的距离的长为________.17、若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：3，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为________18、如图，ACM中，ABC、BDE和DFG是等边三角形，点E、G在ACM边CM上，设ABC，BDE和DFG的面积分别为S1、S2、S3，若S 1=8，S3=2，S2=________.19、小刚和小明在太阳光下行走，小刚身高1.75米，他的影长为2.0m，小刚比小明矮5cm，此刻小明的影长是________ m．20、如图，在矩形中，，，是的黄金分割点（），是上一点，将沿直线折叠，点落在边上的点处，再将沿直线折叠，点落在上的点处，则的长为________．21、如图，在正方形中，点E是边的中点，连接、，分别交、于点P、Q，过点P作交的延长线于F，下列结论：① ，② ，③ ，④若四边形的面积为4，则该正方形的面积为36，⑤．其中正确的结论有________．22、在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点的连线为边的三角形称为格点三角形，如图所示的5×5的方格纸中，如果想作格点△ABC与△OAB相似（相似比不能为1），则C点坐标为________．23、如图，已知直线l：y＝﹣x+4分别与x轴、y轴交于点A，B，双曲线（k＞0，x＞0）与直线l不相交，E为双曲线上一动点，过点E作EG⊥x轴于点G，EF⊥y轴于点F，分别与直线l交于点C，D，且∠COD＝45°，则k ＝________．24、生活中到处可见黄金分割的美.如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感.若图中为2米，则约为________.25、如图，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若△AEM与△ECM相似，则AB和BC的数量关系为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、解方程.534%－2x=0.5627、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为1的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．求点P的坐标．28、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，求球拍击球的高度h．29、如图，点P在平行四边形ABCD的CD边上，连接BP并延长与AD的延长线交于点Q．（1）求证：△DQP∽△CBP；（2）当△DQP≌△CBP，且AB=8时，求DP的长．30、如图，四边形ABCD是正方形，点E在BC上，DF⊥AE于F，求证：△DAF∽△AEB.参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、C3、C4、B5、D6、B7、D8、D9、B10、C11、A12、B13、B14、A15、B二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、29、。

冀教版九年级上册数学第25章 图形的相似含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、“差之毫厘，失之千里”是一句描述开始时虽然相差很微小，结果会造成很大的误差或错误的成语.现实中就有这样的实例，如步枪在瞄准时的示意图如图，从眼睛到准星的距离OE 为80cm ，眼睛距离目标为200m ，步枪上准星宽度AB 为2mm ，若射击时，由于抖动导致视线偏离了准星1mm ，则目标偏离的距离为（ ）cm ．A.25B.50C.75D.1002、如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m ，树的顶端在水中的倒影距自己5m 远，该同学的身高为1.7m ，则树高为（ ）m.A.3.4B.5.1C.6.8D.8.53、如图，△ABC 和△A 1B 1C 1是以点O 为位似中心的位似三角形，若C 1为OC 的中点，AB ＝4，则A 1B 1的长为( )A.1B.2C.4D.84、在平行四边形ABCD 中，点E 为AD 的中点，连接BE ，交AC 于点F ，则S △AEF ：S △BCF 的值是（ ）A. B. C. D.5、如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（-2，3），AD=5，若反比例函数（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（）A. B.8 C.10 D.6、若两个相似三角形的周长比为1:3，则它们的面积比为（）A.1:9B.1:6C.1:3D.6:17、如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠ADE＝∠C，如果AE＝4，△ADE的面积为5，四边形BCED的面积为15，那么AB的长为（）A.6B.C.8D.8、我国古代数学著作中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问:邑方几何？”其大意是：一座正方形城池，西、北边正中各开一道门，从北门往正北方向走40步后刚好有一树木，若从西门往正西方向走810步后正好看到树木，则正方形城池的边长为（）步A.360B.270.C.180D.909、如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，射线BF交AC于点G，交CD的延长线于点E，则下列等式正确的为（）A. B. C. D.10、图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（）A.点PB.点DC.点MD.点N11、平面直角坐标系中，已知点O(0，0)、A(0，2)、B(1，0)，点P是反比例函数y= 象上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q若以点O、P、Q 为顶点的三角形与△OAB相似，则相应的点P共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个12、如图2，在□ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是（）A.S△AFD =2S△EFBB.BF= DFC.四边形AECD是等腰梯形 D.∠AEB=∠ADC13、如图，在中，分别为边上的中点，则与的面积之比是（）A. B. C. D.14、如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A. =B.∠APB=∠ABCC. =D.∠ABP=∠C15、如图，点P是的边上一点，连接，则下列条件中，不能判定的是（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女士身高157cm，下半身长为94cm，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为________cm．（精确到1cm）17、如图，在△ABC中，DE∥BC，= ，则=________．18、如图，的两条中线，交于点，交于点，若，则________.19、如图，D是等边△ABC边AB上的点，AD=2，DB=4．现将△ABC折叠，使得点C与点D重合，折痕为EF，且点E、F分别在边AC和BC上，则=________．20、如图，若CD是RtΔABC斜边CD上的高，AD=3cm，CD=4cm，则BC的长等于________cm.21、如图，在△ABC中，P，Q分别为AB，AC的中点.若S△APQ =1，则S四边形PBCQ=________.22、如图，已知点M是△ABC的重心，AB＝18，MN∥AB，则MN＝________.23、已知abc≠0，且，则的值是________或________．24、已知，则=________25、如图，E为▱ABCD的边AB延长线上的一点，且BE：AB=2：3，连接DE交BC 于点F，则CF：AD=________．三、解答题(共5题，共计25分)26、已知：，求的值.27、如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∠B＝2∠ADE，点C在BA 的延长线上．（Ⅰ）若∠C＝∠DAB，求证：CE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OF＝2，AF＝3，求EF的长．28、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，F是DC的中点，BF的延长线交射线AD于点G,， BG 交AC于点E．求证：．29、如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA 的延长线于点E．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若DE=2BC，AD=5，求OC的值．30、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1）、B（﹣3，2）、C（﹣1，4）．①以原点O为位似中心，在第二象限内画出将△ABC放大为原来的2倍后的△A1B1C1．②画出△ABC绕C点顺时针旋转90°后得到的△A2B2 C．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、A2、B3、D4、C5、D6、A7、C8、A9、B10、A11、D12、A13、A14、A15、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、29、30、。

第二十五章图形的相似一、选择题（每小题3分，共24分）1．观察下面各组图形，其中不相似的一组是（）2．下列命题正确的是（）A．所有的直角三角形都相似B．所有的等腰三角形都相似C．两个半径不等的圆相似D．有一个角是30°的等腰三角形都相似3．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则图中相似三角形有（）A．4对B．3对C．2对D．1对4．在一张由复印机复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原来的1cm变成了4cm，那么这次复印的面积变为原来的（）A．不变B．2倍C．4倍D．16倍5．如图2，在平行四边形ABCD中，E是AD上的一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论中错误的是（）A．∠AEF＝∠DEC B．F A∶CD＝AE∶BCC．F A∶AB＝FE∶EC D．AB＝DC6．正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，AF与DE相交与点O，则（）A．B．C．D．7．若平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长为（）A．1.8 B．5 C．6或4 D．8或28．某校有两块相似的多边形草坪，其面积比为9∶4，其中一块草坪的周长是36米，则另一块草坪的周长是（）A．24米B．54米C．24米或54米D．36米或54米二、填空题（每小题3分，共24分）9．若两个三角形的相似比是1，则这两个三角形．10．两地的实际距离是60km，在地图上量得的距离是3cm，这张地图的比例尺为．11．根据图3中给出的线段的长度，尽量多地写出图中成比例的线段．12．如图4，已知△ABC中，P是AB上一点；连接CP，要使△ACP∽△ABC，只需添加条件．（只要求写出一个合适的条件）13．如图5，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距墙80cm，梯上点D距墙70cm，BD长55cm，则梯子的长为．14．如图6，火焰AC通过纸板EF上的一个小孔O照射到屏幕上形成倒立的实像，像的长度BD＝2cm，OA＝60cm，OB＝20cm，则火焰AC的长为．15．已知三角形ABC的三边长分别为5、12、13，与其相似的的最大边长为26，则的面积为．16．如图7，我们可以用下面的方法测出月球与地球的距离：在月圆时，把一个五分的硬币（直径约为2.4cm），放在离眼睛O约2.6m的AB处，正好把月亮遮住，已知月球的直径约为3500km，那么月球与地球的距离约为．（保留两个有效数字）三、解答题（本大题共52分）17．(本题8分)如图8左边格点图中有一个四边形ABCD，请在右边的格点图中画一个与该四边形相似的图形．18．（本题8分）如图9，小明为了测量一高楼MN的高，在离点N20m的A处放了一个平面镜，小明沿NA后退到点C，正好从镜中看到楼顶M，若AC＝1.5m，小明的眼睛离地面的高度为1.6m，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m）19．（本题10分）如图10，是某菜农的菜地，菜地呈矩形状，矩形ABCD中，E、F分别在BC、AD上，矩形ABCD（大块菜地）∽矩形ECDF（小块菜地），S矩形ABCD＝3S矩形ECDF，AB ＝12m，求S矩形ABCD．20．（本题13分）将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图11所示的样子，设两块三角板所有的点、边都在同一平面内．通过观察回答：图中有相似三角形吗？如果有，请把它们一一写出来．（不另添辅助线和标字母）若换成两块完全相同的含30°角的直角三角板时，情形又怎样？21．(本题1３分)小明按下面方法来测量电线杆的高度：如图12所示，小明拿着一把刻有厘米刻度的小尺，站在距电线杆约30m的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上18个刻度恰好遮住电线杆，已知手臂长约60cm．小明能求出电线杆的高度吗？不能时还缺少什么数据？若能求，请你替小明写出求解过程．附加题:（本题20分，不计入总分）22．如图13，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q以1cm/s的速度从点D开始向点A移动，如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6）．（1）t为何值时，△QAP为等腰直角三角形；（2）求四边形QAPC的面积；并提出一个与计算有关的结论；（3）当t为何值时，以点Q、P、A为顶点的三角形与△ABC相似．参考答案：一、1~5．DCBDB DAC二、9．全等10．1：2 000 00011．如，．12．答案不惟一，如：，或，或等13．4.4m 14．6cm 15．120 16．三、17．略．18．21.3（m）．19．．20．解：（因为，）．（因为，）．．如换成含角的两直角三角板时，只存在一对三角形相似．21．能，电线杆高9m．附加题：22．（1）；（2）；（3）当时，，即，解得．当时，，即，解得．所以当或时，以点为顶点的三角形与相似．。

冀教版2020九年级数学上册第二十五章图形的相似自主学习基础达标测试卷B 卷（附答案详解）1．如图，在ABC 中，20B ∠=，50A ∠=，则下列四个条件中，不能使ADC ACB ∽的条件是（ ）A ．BC DC ⊥B ．20ACD ∠=C ．110ADC ∠=D ．AC DC AB BC = 2．如图直线 AB 、CD 、EF 被直线a 、b 所截，若1100=∠，2100∠=，3125∠=，4∠ =55 下列结论错误的是（ ）A ．EF ∥CD ∥AB B ．AC BD CE DF = C ．AB AC CD DF = D ．AC BD AE BF = 3．如图，线段AB 两个端点坐标分别为A （4，6），B （6，2），以原点O 为位似中心，在第三象限内将线段AB 缩小为原来的12后，得到线段CD ，则点C 的坐标为（ ）A ．（﹣2，﹣3）B ．（﹣3，﹣2）C ．（﹣3，﹣1）D ．（﹣2，﹣1） 4．已知x ：y=1：2，那么（x +y ）：y 等于（ ）A ．2：2B ．3：1C ．3：2D ．2：35．如图，将菱形ABCD 沿BD 方向平移得到菱形EFGH ，若FD ：BF 1=：3，菱形ABCD 与菱形EFGH 的重叠部分面积记为1S ，菱形ABCD 的面积记为2S ，则1S ：2S 的值为( )A ．1：3B ．1：4C ．1：9D ．1：166．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上点，DE∥BC，AD=2，DB=1，AE=3，则EC长（）A．23B．1C．32D．67．如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，其中∠ABC ＝∠AED＝90°，CD与BE、AE分别交于点P、M．对于下列结论：①△CAM∽△DEM；②CD＝2BE；③MP·MD＝MA·ME；④2CB2＝CP·CM．其中正确的是 ( )A．①②B．①②③C．①②③④D．①③④8．如果3x=4y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（）A．34xy=B．43xy=C．34x y=D．43x y=9．如果两个相似正五边形的边长比为1：10，则它们的面积比为（）A．1：2B．1：5C．1：100D．1：10 10．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OC，OB=3OD），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当CD=1.8cm时，则AB的长为（）A．7.2 cm B．5.4 cm C．3.6 cm D．0.6 cm 11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB=4，AC=3，AD⊥BC于点D，则△ACD 与△ABC的面积比为_________12．只增加一个条件，使矩形ABCD 与矩形''''A B C D 相似，这个条件可以是________． 13．如图，火焰的光线穿过小孔O ，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，48cm OA =，像的高度为1.5cm ，16cm OC = ，则火焰的高度是 _____cm ．14．在比例尺为1：2000的地图上测得AB 两地间的图上距离为5 cm ，则AB 两地间的实际距离为__________m ．15．若3x=5y ，则x y=__________. 16．如果点P 把线段AB 分割成AP 和PB 两段（AP ＞PB ），其中AP 是AB 与PB 的比例中项，那么AP ：AB 的值为_____． 17．如图，在55⨯的正方形网格中，点A 、B 、C 、E 、F 都在小正方形的顶点上，试在该网格中找点D ，连接DE 、DF ，使得DEF 与ACB 相似，且点E 与点C 对应，点F 与点B 对应．________．18．小明的身高为1.6米，他在阳光下的影长为0.8米，同一时刻，测得校园的旗杆的影长为4.5米，则该旗杆的高为________米．19．如图，在Rt ABC 中，ACB 90∠=，AC BC =，在AC 上取一点D ，在AB 上取一点E ，使BDC EDA ∠∠=，过点E 作EF BD ⊥于点N ．交BC 于点F ，若CF 8=，AD 11=，则CD 的长为________．20．如图，在△ABC 中，BC ＝AC ＝5，AB ＝8，CD 为AB 边的高，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，点C 在第一象限，若A 从原点出发，沿x 轴向右以每秒4个单位长的速度运动，则点B 随之沿y 轴下滑，并带动△ABC 在平面内滑动，设运动时间为t 秒，当B 到达原点时停止运动.当△ABC 的边与坐标轴平行时，t ＝_____________.21．如图D ，E 分别是ABC 的AB ，AC 边上的点，ABC ADE ∽．已知:1:2AD DB =，18BC cm =，求DE 的长．22．如图1，平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，AB=6，AD=10，点P 在边AD 上运动，以P 为圆心，PA 为半径的⊙P 与对角线AC 交于A ，E 两点．（1）如图2，当⊙P 与边CD 相切于点F 时，求AP 的长；（2）不难发现，当⊙P 与边CD 相切时，⊙P 与平行四边形ABCD 的边有三个公共点，随着AP 的变化，⊙P 与平行四边形ABCD 的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP 的值的取值范围 ．23．如图，在△ABC 中，AB=AC ，点P ，D 分别是BC ，AC 边上的点，且∠APD=∠B．(1)求证：△ABP∽△PCD；(2)若AB=10，BC=12，当PD∥AB 时，求BP 的长．24．如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，ABC 与 A B C '''∆是以点O 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．()1画出位似中心点O ；()2直接写出ABC 与'''A B C 的位似比；()3以位似中心O 为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，并直接写出'''A B C 各顶点的坐标．25．如图，点A ，D 在XOY ∠的边OX 上，点B ，E 在OY 边上，射线OZ 在XOY ∠内，且点C ，F 在OZ 上，//AC DF ，//BC EF ．57AC DF =．()1试说明ABC 与DEF 是位似图形； ()2求ABC 与DEF 的位似比．26．如图，已知CD 是△ABC 中∠ACB 的角平分线，E 是AC 上的一点，且CD 2=BC·CE ，AD=6，AE=4．（1）求证：△BCD ∽△DCE ；（2）求证：△ADE ∽△ACD ；（3）求CE 的长．27．如图，ABC 中，DE //BC ，AD 6=，AC 8=，BD AE =，求BD 的长．28．已知：如图，BD 、CE 交于点O ，ADE ABC ∠=∠．()1求证：ADE ABC∽；（2）ABD与ACE相似吗？为什么？()3图中还有哪些三角形相似？请直接写出来．参考答案1．D【解析】【分析】当BC⊥DC时，可知∠ACD=20°，可判定△ADC∽△ACB成立，依次进行判断即可得出答案．【详解】A. ∵∠B=20°,∠A=50°，∴∠ACB=110°，当BC⊥DC时,可知∠ACD=20°，可判定△ADC∽△ACB成立.B. 当∠ACD=20°可判定△ADC∽△ACB；C. 当∠ADC=110°,可判定△ADC∽△ACB；D.不能判定△ADC∽△ACB.故答案选D.【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定.2．C【解析】【分析】根据平行线的判定得出AB∥CD∥EF，根据平行线分线段成比例解答即可．【详解】∵∠1=100°，∠2=100°，∴∠1=∠2，∴AB∥EF，∵∠3=125°，∠4=55°，∴∠3=∠ABD，∠ABD+∠4=180°∴AB∥CD∴AB∥CD∥EF，∴AC BDCE DF=，AC BDAE BF=.故选C．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的应用，根据平行线的判定得出AB∥CD∥EF是解此题的关键．3．A【解析】【分析】【详解】解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（4，6），B（6，2），以原点O为位似中心，在第三象限内将线段AB缩小为原来的12后得到线段CD，∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，∴端点C的坐标为：（-2，-3）．故选A．4．C【解析】【分析】直接利用比例的性质假设出未知数,进而得出答案.【详解】∵x：y=1：2，∴设x=a，则y=2a，∴（x+y）：y=（a+2a）：2a=3：2．故选：C．【点睛】本题考查了比例的性质，用a表示出x和y的值是解题的关键. 5．D【解析】【分析】利用相似多边形的性质即可解决问题．【详解】解：如图设AD交EF于M，CD交FG于N．由题意，重叠部分四边形MDNF 是菱形，菱形MFND ∽菱形ABCD ，212()S DF S BD∴=， DF ：1BF =：3，DF ∴：1BD =：4，2121()16S DF S BD ∴==， 故选D ．【点睛】考查菱形的性质、相似多边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 6．C【解析】试题解析：∵D 、E 分别是AB 、AC 上点，DE //BC ， ∴AD AE BD EC= ∵AD =2，DB =1，AE =3， ∴·31322AE BD EC AD ⨯=== 故选C.7．C【解析】【分析】①根据两个三角形的两角相等证明相似三角形；②根据两个三角形的两边比值相等证明△BAE ∽△CAD 即可的CD 与BE 的比值； ③根据△BAE ∽△CAD ，得∠BEA =∠CDA ，再根据△PME ∽△AMD ，得MP⋅MD=MA⋅ME；④根据△PME∽△AMD ，得∠MPE=∠MAD=45°，再根据MP⋅MD=MA⋅ME得△PMA∽△EMD，又因为∠APC=∠MAC=90°，∠ACP=∠MCA，所以△APC∽△MAC，则AC2=MC⋅PC，再根据BC，得2CB2=CP⋅CM.【详解】①在等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，∠CAB=∠EAD=45°，所以∠CAM=90°，又因为∠CMA=∠DME（对顶角），∠AED=∠CAM=90°，所以△CAM∽△DEM，故①正确.②在等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，∠CAB=∠EAD=45°，，AE，所以∠CAB+∠CAE=∠EAD+∠CAE，即∠BAE=∠CAD，又因为ACAB=ADAE，所以△BAE∽△CAD.则BE，故②正确.③由②中△BAE∽△CAD，得∠BEA=∠CDA，又因为∠BEA=∠AMD，所以△PME∽△AMD，所以MPMA=MEMD，即MP⋅MD=MA⋅ME，故③正确.④，由③中△PME∽△AMD ，得∠MPE=∠MAD=45°，因为MP⋅MD=MA⋅ME，所以MPME=MAMD，所以△PMA∽△EMD，所以∠APM=∠DEM=90°，因为∠APC=∠MAC=90°，∠ACP=∠MCA，所以△APC∽△MAC，所以ACMC=PCAC，即AC2=MC⋅PC，又因为，所以2CB2=CP⋅CM，故④正确.故答案选C.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的性质与运用. 8．D【解析】【分析】 根据比例的性质，可得43x y =(0y ≠)，逐项判断即可得出结论. 【详解】解：∵34x y =(0y ≠)， ∴43x y =， 故答案为D.【点睛】本题考查了比例的性质.解题关键是注意比例变形和比例的性质，注意分母不为0的条件. 9．C【解析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，由两个相似正五边形的相似比是1：10，可知它们的面积为1：100．故选：C ．点睛：此题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方． 10．B【解析】【分析】由已知可证△ABO ∽CDO,故CD OC AB OA = ,即1.813AB =. 【详解】由已知可得，△ABO ∽CDO, 所以，CD OC AB OA= , 所以，1.813AB =， 所以，AB=5.4故选B【点睛】本题考核知识点：相似三角形. 解题关键点：熟记相似三角形的判定和性质. 11．9：25【解析】根据题意先通过勾股定理求出BC的长，再利用两角相等的两个三角形相似来证明△CAD∽△CBA，从而得出相似比为3：5，再根据两相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出答案．解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB=4，AC=3，∴BC5==，在△CAD和△CBA中，∵∠C=∠C, ∠ADC =∠BAC =90°，∴△CAD∽△CBA，∴△CAD与△CBA相似比为35 ACBC=，∴△CAD与△CBA的面积之比=(35)2=925.故答案为：9 25.12．'''' AB A B BC B C=【解析】【分析】根据矩形的性质及相似多边形的定义解答即可．【详解】∵矩形的四个角都是直角，∴只要矩形的对应边成比例，则两个矩形相似，∴这个条件可以是ABBC=A BB C''''(答案不唯一).故答案为：ABBC=A BB C''''(答案不唯一).【点睛】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是熟练的掌握相似多边形的性质. 13．4.5【解析】如图，连接AB、CD，由题意可知：AB∥CD，CD=1.5cm，∴△OCD∽△OAB，∴161483CD OCAB OA===，即1.513AB=，∴AB=4.5（cm），即火焰的高度为4.5cm. 故答案为4.5.14．100【解析】试题分析：设AB两地间的实际距离为x，，解得x=10000cm=100m．故答案为100m．考点：比例线段．15．5 3【解析】【分析】依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，即可进行解答．【详解】因为3x=5y，则x：y=5：3．故答案为：5：3．【点睛】此题主要考查比例的基本性质的灵活应用． 16．51- 【解析】∵点P 把线段分割成AP 和PB 两段(AP>PB)，AP 是AB 和PB 的比例中项，∴点P 是线段AB 的黄金分割点，∴AP:AB=51-， 故答案为51- 17．见解析【解析】【分析】 首先建立坐标系，设出点D 的坐标，根据相似三角形的比例关系，求出点D 的坐标，从而找到D 点的位置．【详解】如下图，建立坐标系：令小正方形的边长为1,设D (x ,y )，∵△DEF 与△ACB 相似，∴DF EF DE AB CB AC==①， ∵3,2,5AB BC AC ===， EF =2,2222,(2)DE x y DF x y =+=-+，代入①解得,D (−1,3).故答案为【点睛】考查相似三角形的性质以及应用，根据对应边的比相等求出点D 的坐标，从而找到点D 的位置.18．9【解析】【分析】设旗杆为xm ，根据在同一时刻物高与影长的比相等得到4.51.60.8x =，然后利用比例性质求出x 即可．【详解】设旗杆为xm ，根据题意得： 4.51.60.8x =， 解得：x=9．所以旗杆为9米．故答案为9．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度．通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．19．3【解析】【分析】过B 作BH ⊥BC 交DE 的延长线于H ，则BH ∥AC ，推出△ADE ∽△BHE ，根据相似三角形的性质得到AE EB =AD BH，根据平行线的性质得到∠H =∠1，∠2=∠DBH ，等量代换得到∠H =∠DBH ，于是得到DH =BD ，过D 作DM ⊥BH 与M ，根据等腰三角形的性质和矩形的性质得到BM=12BH=CD，设CD=x，则BH=2x，根据余角的性质得到∠2=∠3，推出△ADE∽△BFE，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】过B作BH⊥BC交DE的延长线于H，过D作DM⊥BH与M，则BH∥AC，四边形DCBM是矩形，∴△ADE∽△BHE，∴AEEB=ADBH．∵BH∥AC，∴∠H=∠1，∠2=∠DBH．∵∠1=∠2，∴∠H=∠DBH，∴DH=BD，∴BM=12BH=CD，设CD=x，则BH=2x．∵EF⊥BD，∴∠BNF=90°，∴∠2+∠CBD=∠3+∠NBF，∴∠2=∠3．∵∠A=∠FBE=45°，∴∠1=∠3，∴△ADE∽△BFE，∴ADBF=AEEB=ADBH，∴BF=BH，即11+x﹣8=2x，∴x=3，∴CD=3．故答案为：3．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．20．68 55或【解析】分析：分两种情况：①当CA⊥x轴时，根据两角对应相等的两三角形相似证明△CAD∽△ABO，得出AB AOCA CD＝，求出AO的值；②CB⊥y轴时，同理，可求出AO的值．详解：∵BC=AC，CD⊥AB，∴D为AB的中点，∴AD=12AB=4．在Rt△CAD中，CD=2254=3，分两种情况：①设AO=4t1时，CA⊥x轴时，A垂足，如图．∴CA⊥OA，∴CA∥y轴，∴∠CAD=∠ABO．又∵∠CDA=∠AOB=90°，∴Rt△CAD∽Rt△ABO，∴AB AOCA CD＝，即148=53t，解得t1=65；②设AO=4t2时，CB⊥y轴，B为切点，如图．同理可得，t2=85．综上可知，当以点C为圆心，CA为半径的圆与坐标轴相切时，t的值为65或85．点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，综合性较强，有一定难度，进行分类讨论是解题的关键．21．6cm【解析】【分析】先根据AD ∶DB=1∶2得出AD ∶AB=1∶3的值,再根据相似三角形对应边成比例即可得出DE 的长.【详解】∵:1:2AD DB =，∴:1:3AD AB =，∵ABC ADE ∽， ∴DE AD BC AB=， ∴6DE cm =．【点睛】本题考查了相似三角形的性质,掌握相似三角形对应边的比等于相似比是解答此题的关键. 22．（1）AP=409；（2）409＜AP ＜245或AP=5． 【解析】【分析】（1）如图2所示，连接PF ，在Rt △ABC 中，利用勾股定理求出AC=8，设AP=x ，则DP=10﹣x ，PF=x ，由⊙P 与边CD 相切于点F ，根据已知可推导得出△DPF ∽△DAC ，根据相似三角形对应边成比例即可求得AP 长；（2）当⊙P 与BC 相切时，设切点为G ，如图3，利用面积法求出PG=245，然后分两种情况①⊙P 与边AD 、CD 分别有两个公共点，②⊙P 过点A 、C 、D 三点，分别讨论即可得.【详解】（1）如图2所示，连接PF ，在Rt △ABC 中，由勾股定理得：=8，设AP=x ，则DP=10﹣x ，PF=x ，∵⊙P 与边CD 相切于点F ，∴PF ⊥CD ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∵AB ⊥AC ，∴AC⊥CD，∴AC∥PF，∴△DPF∽△DAC，∴PF PD AC AD=，∴10810x x-=，∴x=409，即AP=409；（2）当⊙P与BC相切时，设切点为G，如图3，S▱ABCD=12×6×8×2=10PG，PG=245，①当⊙P与边AD、CD分别有两个公共点时，409＜AP＜245，即此时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，②⊙P过点A、C、D三点，如图4，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，此时AP=5，综上所述，AP的值的取值范围是：409＜AP＜245或AP=5．故答案为：409＜AP＜245或AP=5．【点睛】本题考查了切线的判定、直线与圆的位置关系、相似三角形的判定与性质等知识，正确添加辅助线、熟练掌握和灵活应用相关知识是解题的关键.23．(1)证明见解析；(2)BP=253. 【解析】【分析】 （1）由题意可得∠ABC ＝∠ACB ，∠DPC ＝∠BAP ，可证△ABP ∽△PCD ；（2））由△ABP ∽△PCD ，可得PC AB CD BP =，由PD ∥AB ，可得PC BC CD AC=，即AB BC BP AC=，可求BP 的长． 【详解】（1）∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ．∵∠APC ＝∠ABC +∠BAP ，∴∠APD +∠DPC ＝∠ABC +∠BAP ，且∠APD ＝∠B ，∴∠DPC ＝∠BAP 且∠ABC ＝∠ACB ，∴△BAP ∽△CPD ．（2）∵△ABP ∽△PCD ，∴PC CD AB BP =即PC AB CD BP=． ∵PD ∥AB ，∴PC CD BC AC =即PC BC CD AC =，∴AB BC BP AC =，∴101210BP =，∴BP 253=． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是本题的关键．24．（1）见解析；（2）2:1；（3）()'6,0A -，()'3,2B -，()'4,4C -．【解析】【分析】（1）连接CC′并延长，连接BB′并延长，两延长线交于点O ；（2）由OB=2OB′，即可得出△ABC 与△A′B′C′的位似比为2：1；（3），连接B′O 并延长，使OB″=OB′，延长A′O 并延长，使OA″=OA′，C′O 并延长，使OC″=OC′，连接A″B″，A″C″，B″C″，则△A″B″C″为所求，从网格中即可得出△A″B″C″各顶点的坐标．【详解】（1）图中点O 为所求；（2）△ABC 与△A′B′C′的位似比等于2：1；（3）△A″B″C″为所求；A″（6，0）；B″（3，-2）； C″（4，-4）．【点睛】此题考查了作图-位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．25．（1）详见解析；（2）57. 【解析】【分析】（1）利用平行线的性质以及平行线分线段成比例定理得出∠DFE=∠ACB ，AC BC DF EF =，即可得出△ACB ∽△DFE ，再利用两图形对应点交于点O ，即可得出答案；（2）利用位似图形的性质，得出相似比就是位似比．【详解】() 1∵//AC DF ，//BC EF ，∴DFO ACO ∠=∠，OFE OCB ∠=∠，OA OC AC OD OF DF ==，OC BC OF EF =， ∴DFE ACB ∠=∠，AC BC DF EF=， ∴ACB DFE ∽， ∴ABC 与DEF 是位似图形； ()2∵ABC 与DEF 是位似图形，57AC DF =，∴ABC与DEF的位似比为：57．【点睛】此题主要考查了位似变换，正确利用位似图形的定义得出是解题关键．26．（1）证明见解析（2）证明见解析（3）5【解析】试题分析：（1）根据两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，可得答案；（2）根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得答案；（3）根据两个三角形相似，对应边成比例，可得答案．试题解析：（1）证明：CD是△ABC中∠ACB的角平分线，∴∠BCD=∠DCE．∵CD2=BC•CE，∴CD CE BC CD＝，∴△BCD∽△DCE（两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似）；（2）证明：∵△BCD∽△DCE，∴∠EDC=∠DBC（相似三角形的对应角相等）．∵∠ADC=∠DBC+∠DCB（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），∠ADC=∠ADE+∠EDC，∴∠ADE=∠ACD．∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD（两个角对应相等的两个三角形相似）；（3）解：∵△ADE∽△ACD，∴AD AE AC AD＝，∴646 AC＝，∴AC=9，∴CE=AC-AE=9-4=5．273；【解析】【分析】由DE //BC ，根据平行线分线段成比例定理可得AD AE BD EC =，继而根据已知线段的长即可求得答案.【详解】∵DE //BC ， ∴AD AE BD EC=， 又∵AD 6=，AC 8=，BD AE =， ∴6BD BD 8BD =-，解得BD 3=或BD 3=（舍去），即BD 3．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，结合图形熟练应用平行线分线段成比例定理是解题的关键.28．（1）解析解析；（2）相似；（3）DOE COB ∽；EOB DOC ∽．【解析】【分析】1、两个角相等的两个三角形相似，2、由1中可知相似，又对应的边成比例以及角相等，即可证明.3、由已知条件可得即可得出相似三角形.【详解】解：()1证明∵A A ∠=∠，ADE ABC ∠=∠，∴ADE ABC ∽；()2相似．证明：∵ADE ABC ∽； ∴AD AE AB AC=， ∵A A ∠=∠，∴ABD ACE ∽；（3）DOE COB ∽；EOB DOC ∽．【点睛】本题考察了相似三角形的判定，熟悉掌握概念是解决本题的关键.。

第二十五章　学情评估卷一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1.已知b 2＝a5，则下列变形不正确的是( )A.a b ＝52B ．2a ＝5bC.b a ＝25D ．5a ＝2b2．如图，a ∥b ∥c ，直线m ，n 与直线a ，b ，c 分别交于点A ，C ，E 和点B ，D ，F ，AC ＝4，CE ＝6，BD ＝2.4，则BF 的长为( )A ．5B ．5.6C ．6D ．6.5(第2题) (第3题)　3．大自然是美的设计师，一片小树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P 为AB 的黄金分割点(AP >PB )，如果AP 的长度为10 cm ，那么AB 的长度是( )A ．(5 5＋5)cm B ．(15－5 5)cm C ．(5 5－5)cmD ．(15＋5 5)cm4．如图，已知△ABC ∽△EDC ，AC ∶EC ＝2∶3，若AB 的长度为6，则DE 的长度为( )A ．4B ．9C ．12D ．13.5(第4题)　(第5题)5．如图是老师画出的△ABC ，已标出三边的长度．下面四位同学画出的三角形与老师画出的△ABC 不一定相似的是( )6．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别交边AB ，AC 于D ，E 两点，若AD ∶DB ＝2∶3，则△ADE 与△ABC 的面积比为( )A ．2∶3B ．4∶9C ．4∶25D ．4∶21(第6题) (第7题)7．凸透镜成像的原理如图所示，AD ∥l ∥BC .若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线DB 的距离之比为5∶4，则物体被缩小到原来的( )A.45 B.25 C.49 D.598．如图，在平面直角坐标系中，已知点A (2，2)，B (4，1)，以原点O 为位似中心，位似比为2，把△OAB 放大，则点A 的对应点A ′的坐标是( )A ．(1，1) B ．(4，4)或(8，2) C ．(4，4)D ．(4，4)或(－4，－4)(第8题) (第9题)9．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，点E 是OA 的中点，连接BE 并延长交AD 于点F ，已知S △AEF ＝3，则下列结论：①AF DF ＝12；②S △BCE＝27；③S △ABE ＝12；④△AEF ∽△ACD .其中一定正确的是( )A ．①②③④B ．①④C ．②③④D ．①②10．如图①，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝8，BC ＝6，D 是AB 上一点，且AD ＝2，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，将△ADE 绕点A 顺时针旋转到图②的位置，则图②中BD CE的值为( )3A.35 B.45 C.43 D.34二、填空题(本大题共3小题，共有5个空，每空3分，共15分)11.若如图所示的两个四边形相似，则α的度数是________．(第11题) (第12题)12．如图，在矩形ABCD 中，连接BD ，点E 在AD 上，连接CE ，交BD 于点F ，且△DEF ∽△DB A.(1)BD 与CE 是否垂直？________(填“是”或“否”)．(2)若AB ＝1，∠CBD ＝30°，则EFCF的值为________．13.如图，△ABC ∽△ADE ，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点D 是线段BC 上一动点，若点D 从点B 开始向点C 运动．(1)当BD ＝2时，CE ＝________；(2)设P 为线段DE 的中点，在点D 的运动过程中，CP 的最小值是______．三、解答题(本大题共4小题，共45分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)14.(8分)已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且2a ＝3b ＝4c .(1)求a ＋2b 3c的值；(2)若△ABC 的周长为81，求三边a ，b ，c的长．15．(12分)如图，在△ABC中，点D是边AB上一点．(1)当∠ACD＝∠B时，①求证：△ABC∽△ACD；②若AD＝1，BD＝3，求AC的长．(2)若AB＝2AC＝2AD，CD＝2，求BC的长．16．(12分)如图①，小红家的阳台上放置了一个晒衣架，图②是晒衣架的侧面示意图，立杆AB，CD相交于点O，B，D两点在地面上，经测量得到AB＝CD ＝136 cm，OA＝OC＝51 cm，OE＝OF＝34 cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段．发现：连接AC，则AC与EF有何位置关系？并说明理由．探究：若EF＝32 cm，利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？517．(13分)如图①，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，点P 从点A 出发，沿折线AB －BC 以每秒1个单位长度的速度运动，设点P 的运动时间为t s (0<t <14)．(1)求AC 的长．(2)如图②，当点P 在BC 上时，过点P 作AC 的垂线，垂足为D .①求证：△ABC ∽△PDC ；②当∠BAP ＝45°时，求PD 的长．(3)设点P 移动的路程为x ，当0<x ≤6及6<x <14时，分别求点P 到直线AC 的距离．(用含x 的式子表示)(4)过点P 作PQ ⊥AP ，交AC 于点Q .当CQ ＝54时，请直接写出t的值．答案一、选择题12345678910答案速查DCABCCADDB二、填空题11．87°　12.(1)是　(2)13　13.(1)83　(2)2三、解答题14．解：(1)令2a ＝3b ＝4c ＝1k，则a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，∴a ＋2b 3c＝2k ＋6k 12k ＝23.(2)∵△ABC 的周长为81，∴由(1)易知a ＋b ＋c ＝2k ＋3k ＋4k ＝9k ＝81，解得k ＝9，∴a ＝18，b ＝27，c ＝36.15．(1)①证明：∵∠A ＝∠A ，∠B ＝∠ACD ，∴△ABC ∽△ACD .②解：∵AD ＝1，BD ＝3，∴AB ＝AD ＋BD ＝1＋3＝4.∵△ABC ∽△ACD ，∴ACAD ＝ABAC ，∴AC ＝AB ·AD ＝4×1＝2.(2)解：∵AB ＝2AC ＝2AD ，∴AB AC ＝ACAD ＝ 2.∵∠A ＝∠A ，∴△ABC ∽△ACD ，∴BCCD ＝ABAC ＝2，∴BC ＝2CD ＝2×2＝2 2.16. 解：发现：AC ∥EF ，理由如下：如图，∵立杆AB ，CD 相交于点O ，∴∠AOC ＝∠EOF .7又∵OA OE ＝OC OF ＝5134＝32，∴△AOC ∽△EOF ，∴∠OAC ＝∠OEF ，∴AC ∥EF .探究：如图，过点A 作AM ⊥BD 于点M ，过点O 作ON ⊥EF 于点N ，∵OE ＝OF ＝34 cm ，∴△OEF 是等腰三角形，∴∠OEF ＝∠OFE ＝12(180°－∠EOF )．∵ON ⊥EF ，EF ＝32 cm ，∴EN ＝FN ＝12EF ＝16 cm.在Rt △OEN 中，根据勾股定理，可得ON ＝OE 2－EN 2＝342－162＝30(cm)，∵ON ⊥EF ，AM ⊥BD ，∴∠ONE ＝∠AMB ＝90°.∵OA ＝OC ，AB ＝CD ，∴OB ＝OD ，∴∠OBD ＝∠ODB ＝12(180°－∠BOD )，∴∠OBD ＝∠OEF ，∴△ABM ∽△OEN ，∴OE AB ＝ON AM ，即34136＝30AM，解得AM ＝120 cm.∴利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于120 cm 时，连衣裙才不会拖在地面上．17．(1)解：∵∠B ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝10.(2)①证明：∵PD ⊥AC ，∴∠CDP ＝∠B ＝90°.∵∠C ＝∠C ，∴△ABC ∽△PDC .②解：∵∠BAP ＝45°，∠B ＝90°，∴△ABP是等腰直角三角形，∴BP ＝AB ＝6，∴CP ＝2.∵△ABC ∽△PDC ，∴PD AB ＝CPAC ，∴PD6＝210，∴PD ＝1.2.(3)解：当0<x ≤6时，作PD ⊥AC 于点D ，如图①，∵∠ADP ＝∠B ＝90°，∠A ＝∠A ，∴△ADP ∽△ABC ，∴APAC ＝PD BC ，∴x 10＝PD 8，∴PD ＝45x .　当6<x <14时，作PD ⊥AC 于点D ，如图②，∵∠CDP ＝∠B ＝90°，∠C ＝∠C ，∴△PDC ∽△ABC ，∴PD AB ＝CP AC ，∴PD6＝6＋8－x 10，∴PD ＝425－35x .综上所述，当0＜x ≤6时，点P 到AC 的距离为45x ；当6＜x ＜14时，点P 到AC 的距离为425－35x .(4)解：t 的值为214或19－312或19＋312.点拨：当0<x ≤6时，如图③，∵PQ ⊥AP ，∴∠APQ ＝∠B ＝90°.∵∠A ＝∠A ，9∴△APQ ∽△ABC .∴AP AB ＝AQ AC ，即AP 6＝10－5410，∴AP ＝214，∴t ＝214.当6<x <14时，过点Q 作QH ⊥BC 于点H ，如图④，∵∠CHQ ＝∠B ＝90°，∠C ＝∠C ，∴△CHQ ∽△CBA ，∴CH CB ＝QH AB ＝CQ AC ，∴CH 8＝QH 6＝5410＝18，∴CH ＝1，QH ＝34.∵∠BAP ＋∠APB ＝90°，∠QPH ＋∠APB ＝90°，∴∠BAP ＝∠QPH .∵∠B ＝∠PHQ ＝90°，∴△ABP ∽△PHQ ，∴ABPH ＝BPQH ，∴68－BP －1＝BP 34，∴BP ＝7－312或BP ＝7＋312，∴t ＝(6＋7－312)÷1＝19－312或t ＝(6＋7＋312)÷1＝19＋312.综上，t 的值为214或19－312或19＋312.。

冀教版2020九年级数学上册第二十五章图形的相似单元综合培优提升训练题（附答案详解）1．如图，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、K 都是7×8方格纸中的格点，为使△DEM ∽△ABC ，则点M 所在位置应是F 、G 、H 、K 四点中的（ ）A ．KB ．HC ．GD ．F2．如图，△ABC 与△A 'B 'C '是位似图形，且顶点的坐标分别是A （5，2），B （4，3），C （3，3），A '（8，3），B '（6，5），C '（4，5），则位似中心的坐标是（ ）A ．(2，1)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1，1)3．如图，已知////AB CD EF ，:1:2BD DF =，那么下列结论正确的是（ ）．A ．:1:3AC AE =B ．:1:3CE EA =C ．:1:2CD EF =D ．:1:2AB CD =4．如图，在正五边形ABCDE 中，对角线AD ，AC 与EB 分别交于点M ，N ，则下列结论正确的是（ ）A ．EM ：AE=2：B ．MN ：EM=：C ．AM ：MN=：D ．MN ：DC=：25．下列各组线段的长度成比例的是（ ）A ．6cm 、2cm 、1cm 、4cmB ．4cm 、5cm 、6cm 、7cmC ．3cm 、4cm 、5cm 、6cmD ．6cm 、3cm 、8cm 、4cm6．如图，在△ABC 中，∠A=90°，D 是AB 的中点，过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E ，作BC 的垂线交BC 于点F ，若AB=CE ，且△DFE 的面积为1，则BC 的长为（ ）A ．25B ．5C ．45D ．107．已知：如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上， 则球拍击球的高度h 应为 ( )A ．0.9mB ．1.8mC ．2.7mD ．6m8．如图，在▱ABCD 中，AB ＝1，AC ＝42，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 是BC 的中点，连接AE 交BD 于点F ．若AC ⊥AB ，则FD 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．69．如图，AD DF FB ==，////DE FG BC ，且把三角形ABC 分成面积为1S ，2S ，3S 三部分，则123::S S S =（ ）A ．1:2:3B ．1:4:9C ．1:3:5D ．无法确定10．如图，矩形ABCD ，AB 8=，AD 14=，点M ，N 分别为边AD 和边BC 上的两点，且MN //AB ，点E 是点A 关于MN 所在的直线的对称点，取CD 的中点F ，连接EF ，NF ，分别将EDF 沿着EF 所在的直线折叠，将CNF 沿着NF 所在的直线折叠，点D 和点C 恰好重合于EN 上的点G.以下结论中：EF NF ⊥①；MNE CNE ②∠∠=；MNE ③∽DEF ；④四边形MNCD 是正方形；AM 5.=⑤其中正确的结论是( )A ．①②B ．①④C ．①③⑤D ．①④⑤11．如图，在ABC 中， 10AB AC cm ==， F 为AB 上一点，2AF =，点E 从点A 出发，沿AC 方向以2/cm s 的速度匀速运动，同时点D 由点B 出发，沿BA 方向以1/cm s 的速度匀速运动，设运动时间为05()()t s t <<，连接DE 交CF 于点G ，若2CG FG =，则t 的值为()A ．1B ．2C ．3D ．412．已知3x=5y （y≠0），则下列比例式成立的是（ ） A ．3x =5yB ．5x =3y C ．x y =35D ．3x =5y 13．如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB 和AC 上的动点，且DE∥BC，当DE 把△ABC 的面积分成1：3的两部分时，DEBC的值为______.14．现有一个测试距离为5m 的视力表，根据这个视力表，小华想制作一个测试距离为3m 的视力表，则图中的21b b = ．15．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝4．点P 是边AC 上一动点，过点P 作PQ ∥AB 交BC 于点Q ，D 为线段PQ 的中点，当BD 平分∠ABC 时，BQ 的长度为_____．16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=6，AD=2，当AB 的长为 时，△ACB 与△ADC 相似．17．如图，在梯形ABCD 中，AB//DC ，AC 、BD 相交于点O ，如果,162cm S AOB =三角形COB DOC COD S S cm S 三角形三角形三角形：则,92==____________18．如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点，若△ADE 的面积为1，则△ABC 的面积等于______．OA BD C19．如图，在△ABC 中，点E ，F 分别在AB ，AC 上，若△AEF ∽△ABC ，则需要增加的一个条件是______（写出一个即可）20．已知线段MN 的长为2厘米，点P 是线段MN 的黄金分割点，那么较长的线段MP 的长是________厘米．21．如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A(10，0),C(0，4),点P 是边OA 上一点，若△OPC 与△ABP 相似，则满足条件的点P 有____________________ (用坐标表示)22．如图，菱形ABCD 的边AD 在x 轴上，顶点(0,2)C ，点B 在第一象限.将COD ∆沿y 轴翻折，点D 落在x 轴上的D 处，CD '交AB 于点E ，且:3:5AE BE =.若(0)ky k x=≠图象经过点B ，则k 的值为__________.23．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D边BC上的任意一点，将∠C沿过点D的直线折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE是直角三角形时，CD的长为_____．24．△ABC中边AB上有一点D，如果AC2＝AD•AB，∠A＝65°，∠B＝40°，则∠BCD ＝_____．25．如图，已知直线y=-34x+b与y轴相交于点B（0，3），与x轴交于点A，将△AOB沿y轴折叠，使点A落在x轴上的点C．（1）求点C的坐标；（2）设点P为线段CA上的一个动点，点P与点A、C不重合．联结PB．以点P为端点作射线PM交AB于点M，使∠BPM=∠BAC．①求证：△PBC∽△MPA．②是否存在点P，使△PBM为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．26．如图，已知抛物线过点A（0，6），B（2，0），C（7，）. 若D是抛物线的顶点，E是抛物线的对称轴与直线AC的交点，F与E关于D对称.（1）求抛物线的解析式；（2）求证：∠CFE=∠AFE；（3）在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FDC相似，若有，请求出所有合条件的点P的坐标；若没有，请说明理由.27．如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90，点D 在BC 延长线上，连接AD ，过B 作BE ⊥AD ，垂足为E ，交AC 于点F ，连接CE .（1）求证： CF =CD ；（2）求证：DA DE DB DC ⋅=⋅；（3）探究线段AE ，BE ，CE 之间满足的等量关系，并说明理由.28．如图,方形ABCD 的AB 边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O ，DF 切半圆于点E ，交AB 的延长线于点F ，BF=4． (1)求：cos ∠F 的值； (2)BE 的长．29．在矩形ABCD 的CD 边上取一点E ，将BCE ∆沿BE 翻折，使点C 恰好落在AD 边上点F 处．（1）如图1，若2BC BA =，求CBE ∠的度数；（2）如图2，当5AB =，且10AF FD ⋅=时，求BC 的长；（3）如图3，延长EF ，与ABF ∠的角平分线交于点M ，BM 交AD 于点N ，当NF AN FD =+时，求ABBC出的值．30．如图，以点O 为位似中心，在网格内将△ABC 放大2倍得到△A′B′C′，若A 点坐标为（﹣1，1）．请写出A′点的坐标．31．如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，点C 、E 是⊙O 上的两点，CE=CB ，BCD CAE ∠=∠，延长AE 交BC 的延长线于点F.(1)求证：CD 是⊙O 的切线； (2)求证：CE=CF (3)若BD=1,2CD =,求直径AB 的长.32．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 上的一点，联结AE ，作BF AE ⊥，垂足为H ，交CD 于点F ，作CG AE ∥，交BF 于点G ．求证：（1）CG BH =； （2）2FC BF GF =⋅；（3）22FC GF AB GB=． 33．将一副三角板与（其中，，，）如图摆放，中所对直角边与斜边恰好重合．以为直径的圆经过点，且与交于点，分别连接，．（1）求证：平分；（2）求的值．34．如图，在ABC 中，8AB cm =，16BC cm =，点P 从点A 出发沿AB 边想向点B 以2/cm s 的速度移动，点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以4/cm s 的速度移动，如果P、Q同时出发，经过几秒后PBQ和ABC相似？35．如图，在△ABC中，点P是AC边上的一点，过点P作与BC平行的直线PQ，交AB于点Q，点D在线段BC上，连接AD交线段PQ于点E，且CP QECD BD，点G在BC延长线上，∠ACG的平分线交直线PQ于点F．（1）求证：PC＝PE；（2）当P是边AC的中点时，求证：四边形AECF是矩形．参考答案1．B【解析】试题分析：根据题意得：AB=4，AC=6，DE=2，则DM=3，即点M所在的位置就是点H所在的位置.考点：三角形相似的判定.2．A【解析】【分析】根据位似中心的概念结合图形画图即可得到结论．【详解】根据位似变换的性质和图形可知，位似中心坐标是（2，1）．故选A．【点睛】本题考查了位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．3．A【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得到AC：CE=BD：DF=1：2，然后利用比例性质对各选项进行判断．【详解】解：∵AB∥CD∥EF，∴AC：CE=BD：DF=1：2，即CE=2AC，∴AC：CE=1：3，CE：EA=2：3．故选：A．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．4．D【解析】试题分析：∵五边形ABCDE是正五边形，∴DE=AE=AB，∠AED=∠EAB=108°，∴∠ADE=∠AEM=36°，∴△AME∽△AED，∴，∴AE2=AD•AM，∵AE=DE=DM，∴DM2=AD•AM，设AE=DE=DM=2，∴22=AM（AM+2），∴AM=﹣1，（负值设去），∴EM=BN=AM=﹣1，AD=+1，∵BE=AD，∴MN=BE﹣ME﹣BN=3﹣，∴MN：CD=：2，故选D．考点：正多边形和圆．5．D【解析】试题解析：A.6×1≠2×4，故本选项错误；B.4×7≠5×6，故本选项错误；C.3×6≠4×5，故本选项错误；D.6×4=3×8，故本选项正确；故选D ．点睛：判断成比例线段，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．6．A【解析】【分析】利用D 为AB 的中点，DE//BC ，证明DE 是中位线，求得ADE ∆的面积，利用相似三角形的性质求解ABC ∆的面积，由勾股定理可得答案．【详解】解：//,DE BC D 是AB 的中点，DE ∴是ABC ∆的中位线，1,,,ADE DEF S S ADE ABC AE CE ∆∆∴==∆∆=∽21(),4ADE ABC S AD S AB ∆∆∴== 4,ABC S ∆∴=,AB CE =2,AC AB ∴=90,A ∠=︒14,2AB AC ∴•= 124,2AB AB ∴•= 0,AB ＞2,4,AB AC ∴==BC ∴=故选A ．【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．7．C【解析】【分析】发现图形中的相似三角形，并利用相似三角形的性质定理解题【详解】 很容易可以发现图中的两个直角三角形相似，由性质定理得直角边对应成比例，即h 0.91055=+，解得h=2.7m ，故答案选C. 【点睛】熟练掌握相似三角形的性质定理并学会应用是解答本题的关键.8．C【解析】【分析】利用平行四边形的性质得出△ADF ∽△EBF ，得出BE AD =BF DF ，再根据勾股定理求出BO 的长，进而得出答案．【详解】解：∵在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，∴BO=DO,AO=OC,AD ∥BC ，∴△ADF ∽△EBF ， ∴BE AD =BF DF，∵，∴，∵AB=1，AC ⊥AB ，∴，∴BD=6，∵E 是BC 的中点，∴BEAD=BFDF=12，∴BF=2， FD=4.故选C.【点睛】本题考查了勾股定理与相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握勾股定理与相似三角形的判定与性质.9．C【解析】【分析】首先根据已知的平行线段，可判定△ADE∽△AFG∽△ABC，进而可由它们的相似比求得面积比，从而得到S1、S2、S3的比例关系．【详解】∵DE∥FG∥BC，∴△ADE∽△AFG∽△ABC，∴S△ADE：S△AFG：S△ABC=AD2：（2AD）2：（3AD）2=1：4：9；设S△ADE=1，则S△AFG=4，S△ABC=9，∴S1=S△ADE=1，S2=S△AFG-S△ADE=3，S3=S△ABC-S△AFG=5，即S1：S2：S3=1：3：5.故选C．【点睛】此题主要考查的是相似三角形的判定和性质，理解相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．10．B【解析】【分析】由折叠的性质得到∠DFE＝∠GFE，∠GFN＝∠CFN，根据平角的定义得到EF⊥NF；故①正确；连接AN，根据轴对称的性质得到∠ANM＝∠ENM，推出∠MNE≠∠CNE；故②错误；根据余角的性质得到∠DFE≠∠NEM，推出△MNE∽△DEF错误，故③错误；设DE＝x，根据相似三角形的性质得到CN＝8，推出四边形MNCD是正方形；故④正确；根据线段的和差得到AM＝6，故⑤错误．【详解】∵由折叠的性质得，∠DFE＝∠GFE，∠GFN＝∠CFN，∵∠DFE+∠GFE+∠GFN+∠CFN＝180°，∴∠GFN+∠CFN＝90°，∴∠NFE＝90°，∴EF⊥NF；故①正确；连接AN，∵点E是点A关于MN所在的直线的对称点，∴∠ANM＝∠ENM，∴∠ANB＝∠CNE，而四边形ABNM不是正方形，∴∠ANB≠∠ANM，∴∠MNE≠∠CNE；故②错误；∵∠NEF≠90°，∠DFE+∠DEF＝90°，∠DEF+∠MEN≠90°，∴∠DFE≠∠NEM，∴△MNE∽△DEF错误，故③错误；设DE＝x，∴BN＝AM＝14-x2，∴CN＝14﹣BN＝14+x2，∵∠EFD+∠CFN＝∠EFD+∠DEF＝90°，∴∠DEF＝∠CFN，∵∠D＝∠C＝90°，∴△DEF∽△CFN，∴DF DE CN CF，∵F是CD的在中点，∴CF＝DF＝4，∴4x14x42=+，∴x＝2，x＝﹣16（不合题意舍去），∴DE＝2，CN＝8，∴CD＝CN，∴四边形MNCD是正方形；故④正确；∵CN＝DM＝8，∴AM＝6，故⑤错误，故选B．【点睛】本题考查了作图﹣轴对称变换，正方形的判定，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．11．B【解析】【分析】过点C作CH∥AB交DE的延长线于点H，则DF=10-2-t=8-t，证明△DFG∽△HCG，可求出CH，再证明△ADE∽△CHE，由比例线段可求出t的值．【详解】解：过点C作CH∥AB交DE的延长线于点H，则BD=t，AE=2t，DF=10-2-t=8-t，∵DF∥CH，∴△DFG∽△HCG，∴1==2DF FGCH CG，∴CH=2DF=16-2t ，同理△ADE ∽△CHE ， ∴=AD AE CH CE， ∴102=162102t t t t ---， 解得t=2，t=253（舍去）． 故选：B ．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．12．B【解析】【分析】直接利用比例的性质得出x ，y 之间关系进而得出答案．【详解】A. 由53x y =得15xy =，故本选项错误； B. 由53x y =得35x y =，故本选项正确； C. 由35x y =得53x y =，故本选项错误； D. 由35x y =得53x y =，故本选项错误. 故选B.【点睛】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．13．12【解析】【分析】由已知中△ABC 中,DE ∥BC,根据相似三角形判定的引理可得△ADE~△ABC, 又由DE 把△ABC 的面积分成1：3的两部分时,可得ADE S : ABC S =1: 4或ADE S : ABC S =3: 4, 根据相似三角形面积之比等于相似比的平方, 可得答案. 【详解】 解：由题意得：在△ABC 中,DE∥BC ，可得△ADE~△ABC ，DE 把△ABC 的面积分成1：3的两部分，∴ADE S: ABC S =1: 4或ADE S : ABC S =3: 4， 可得DE BC =12或DE BC =32, 故答案为:12或3. 【点睛】 本题考查的知识点是相似三角形的性质, 熟练掌握相似三角形中对应线之比等于相似比, 对应面积之比等于相似比的平面是解答本题的关键.14．35【解析】试题解析：如图，依题意得△OAB ∽△OCD∴AB OB CD OD= ∴2135b b =．考点：相似三角形的应用．15．2013【解析】【分析】根据勾股定理求出AC ，根据角平分线的定义、平行线的性质得到∠QBD ＝∠BDQ ，得到QB ＝QD ，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【详解】解：∵∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝4，∴AC 3，∵PQ ∥AB ，∴∠ABD ＝∠BDQ ，又∠ABD ＝∠QBD ，∴∠QBD ＝∠BDQ ，∴QB ＝QD ，∴QP ＝2QB ，∵PQ ∥AB ，∴△CPQ ∽△CAB ， ∴CQ PQ CB AB=， ∴4245BQ BQ -=， 解得，BQ ＝2013． 故答案为：2013． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．16．3或【解析】试题分析：根据Rt △ACD 的勾股定理可得：AD:AC=AC:AB 时，则AB=3，当CD ：AC=AC ：AB ，则考点：三角形相似的判定．17．3:4【解析】试题分析：由AB//DC 可得△COD ∽△AOB ，由,162cm S AOB =三角形29cm S COD =三角形可得DO 与BO 的比，再根据三角形DOC 与三角形COB 的高相等即可得到结果.∵AB//DC∴△COD ∽△AOB∵,162cm S AOB =三角形29cm S COD =三角形∴DO:BO=3:4∴:COD S 三角形.4:3=COB S 三角形考点：相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式点评：相似三角形的判定和性质的应用是初中数学极为重要的知识，与各个知识点结合极为容易，因而是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意. 18．4【解析】【分析】根据三角形中位线的性质可得DE ∥BC ，DE=12BC ，从而证出△ADE ∽△ABC ，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△ABC 的面积．【详解】解：∵D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点，∴DE ∥BC ，DE=12BC ∴△ADE ∽△ABC ∴214ADE ABC S DE S BC ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△ ∵△ADE 的面积为1∴△ABC 的面积为4故答案为：4．【点睛】此题考查的是三角形中位线的性质和相似三角形的判定及性质，掌握三角形中位线的性质和相似三角形的判定及性质是解决此题的关键．19．EF∥BC【解析】【分析】利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似进行添加条件．【详解】当EF∥BC时，△AEF∽△ABC．故答案为：EF∥BC．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．20．)1【解析】【分析】较长的线段MP的长为xcm，则较短的线段长是（2-x）cm．根据黄金分割的定义即可列方程求解．【详解】较长的线段MP的长为xcm，则较短的线段长是(2−x)cm.则x2=2(2−x)，解得x=)1或1(舍去).故较长的线段MP的长是)1厘米.【点睛】本题考查的是黄金比例，解题的关键清楚黄金比例概念.21．（2，0），（5，0），（8，0）.【解析】试题分析：设P（x,0）则OP=x，AP=10-x.若△OCP∽△APB时，由对应边成比例可求出x的值；若△OCP∽△ABP时，由对应边成比例可求出x的值.试题解析：设P（x,0）则OP=x，AP=10-x.若△OCP∽△APB时，则OC PA OP AB=即：4104x x-=解得：12x =，28x =.若△OCP ∽△ABP 时，则OC OP AB AP= 即：4410x x=- 解得：x=5所以点P 的坐标分别为（2，0），（5，0），（8，，0）.考点: 相似三角形的性质.22．203【解析】【分析】 由菱形ABCD 的性质，结合:3:5AE BE =，设3,AD m '=利用三角形相似的性质表示菱形的边长，结合对折的性质表示OD ，利用勾股定理求解m 的值，过B 作BG AD ⊥于G ，求解矩形矩形GBCO 的面积即可得到答案．【详解】解： 菱形,ABCD,//,AD AB CD BC AD BC ∴===,AD E BCE '∴∆∆∽:3:5AE BE =3,5AE AD BE BC '∴== 设3,AD m '= 则5,BC CD AD m ===8,DD m '∴= 由对折可得：14,2OD OD DD m ''=== ()0,2,C由勾股定理得：()()222542,m m =+2,3m ∴= （负根舍去）， 过B 作BG AD ⊥于G ，菱形,ABCD 90,AOC ∠=︒90,BCO ∴∠=︒∴ 四边形GBCO 为矩形，∴矩形GBCO 的面积22052,33=⨯⨯= 200,.3k k ∴=＞ 故答案为：20.3【点睛】本题考查的是菱形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，矩形的判定与性质，反比例函数系数k 的几何意义，掌握以上知识是解题的关键．23．3或247. 【解析】【分析】依据沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的点E 处，当△BDE 是直角三角形时，分两种情况讨论：∠DEB ＝90°或∠BDE ＝90°，分别依据勾股定理或者相似三角形的性质，即可得到CD 的长．【详解】分两种情况：①若∠DEB＝90°，则∠AED＝90°＝∠C，CD＝ED，连接AD，则Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AE＝AC＝6，BE＝10﹣6＝4，设CD＝DE＝x，则BD＝8﹣x，∵Rt△BDE中，DE2+BE2＝BD2，∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴CD＝3；②若∠BDE＝90°，则∠CDE＝∠DEF＝∠C＝90°，CD＝DE，∴四边形CDEF是正方形，∴∠AFE＝∠EDB＝90°，∠AEF＝∠B，∴△AEF∽△EBD，∴AFED＝EFBD，设CD＝x，则EF＝CF＝x，AF＝6﹣x，BD＝8﹣x，∴6xx-＝8xx-，解得x＝247，∴CD＝247，综上所述，CD的长为3或24 7.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意分情况讨论. 24．35°【解析】【分析】根据三角形内角和定理以及相似三角形的判定定理和性质即可求出答案．【详解】∵∠A＝65°，∠B＝40°，∴∠BCA＝180°﹣40°﹣65°＝75°，∵AC2＝AD•AB，∴AC AB AD AC又∠A＝∠A，∴△ADC∽△ABC，∴∠ACD＝∠B＝40°，∴∠BCD＝∠BCA﹣∠ACD＝75°﹣40°＝35°，故答案为：35°【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定．25．（1）C（-4，0）；（2）①证明见解析，②存在．使△PBM为直角三角形的点P有两个P1（-94，0），P2（0，0）．【解析】【分析】（1）根据B点坐标求得直线解析式，再求得A点坐标，然后根据A与C关于y轴对称，据此即可确定C的坐标；（2）①根据点C与点A关于y轴对称，即可得到BC=BA，则∠BCP=∠MAP，再根据三角形的外角的性质即可证得∠PMA=∠BPC，从而证得两个三角形相似；②首先求得B的坐标，当∠PBM=90°时，则有△BPO∽△ABO，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得PO的长，求得P的坐标；当∠PMB=90°时，则∠PMA═90°时，BP⊥AC，则此时点P与点O重合．则P的坐标可以求得．【详解】（1）解：∵直线y=-34x+b与y轴相交于点B（0，3），∴b=3，∴直线的解析式为y=-34x+3，令y=0，得到x=4，∴A（4，0），∵点C与点A关于y轴对称，∴C（-4，0）；（2）①证明：∵∠BPM=∠BAC，且∠PMA=∠BPM+∠PBM，∠BPC=∠BAC+∠PBM，∴∠PMA=∠BPC，又∵点C与点A关于y轴对称，且∠BPM=∠BAC，∴∠BCP=∠MAP，∴△PBC∽△MPA；②解：存在．由题意：A（4，0），B（0，3），C（-4，0）当∠PBM=90°时，则有△BPO∽△ABO，∴POBO=BOAO，即PO3=34，∴PO=94，即：P1（-94，0）．当∠PMB=90°时，则∠PMA═90°，∴∠PAM+∠MPA=90°，∵∠BPM=∠BAC，∴∠BPM+∠APM=90°，∴BP⊥AC．∵过点B只有一条直线与AC垂直，∴此时点P与点O重合，即：符合条件的点P2的坐标为：P2（0，0）．∴使△PBM为直角三角形的点P有两个P1（-94，0），P2（0，0）．【点睛】本题是属于一次函数综合题，考查了相似三角形的判定和性质、待定系数法、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．26．解：（1）抛物线经过点A（0，6），B（2，0），C（7，）的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，则：解得∴此抛物线的解析式为（2）过点A作AM∥x轴，交FC于点M，交对称轴于点N.∵抛物线的解析式可变形为∴抛物线对称轴是直线x =4，顶点D的坐标为（4，－2）.则AN=4.设直线AC的解析式为,则有，解得.∴直线AC的解析式为当x=4时，∴点E的坐标为（4，4），∵点F与E关于点D对称，则点F的坐标为（4，－8）设直线FC的解析式为,则有，解得.∴直线AC的解析式为∵AM与x轴平行，则点M的纵坐标为6.当y=6时，则有解得x=8.∴AM=8,MN=AM—MN=4∴AN=MN∵FN⊥AM∴∠ANF=∠MNF又NF=NF∴△ANF≌△MNF∴∠CFE=∠AFE（3）∵C的坐标为（7，），F坐标为（4，－8）∴∵又A的坐标为（0，6），则，又DF=6，若△AFP∽△DEF∵EF∥AO，则有∠PAF=∠AFE，又由（2）可知∠DFC=∠AFE∴∠PAF=∠DFC若△AFP1∽△FCD则,即,解得P1A=8.∴O P1=8－6=2∴P1的坐标为（0，－2）若△AFP2∽△FDC则,即,解得P2A=.∴O P2=－6=.∴P2的坐标为（0，－）所以符合条件的点P的坐标不两个，分别是P1（0，－2），P2（0，－）.【解析】解：（1）抛物线经过点A（0，6），B（2，0），C（7，）的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，则：……………………………………1分解得…………………………………2分∴此抛物线的解析式为……………3分（2）过点A作AM∥x轴，交FC于点M，交对称轴于点N.∵抛物线的解析式可变形为∴抛物线对称轴是直线x =4，顶点D的坐标为（4，－2）.则AN=4.设直线AC的解析式为,则有，解得.∴直线AC的解析式为…………………………………4分当x=4时，∴点E的坐标为（4，4），∵点F与E关于点D对称，则点F的坐标为（4，－8）设直线FC的解析式为,则有，解得.∴直线AC的解析式为………………………………5分∵AM与x轴平行，则点M的纵坐标为6.当y=6时，则有解得x=8.∴AM=8,MN=AM—MN=4∴AN=MN∵FN⊥AM∴∠ANF=∠MNF又NF=NF∴△ANF≌△MNF∴∠CFE=∠AFE……………………………………………………6分（3）∵C的坐标为（7，），F坐标为（4，－8）∴∵又A的坐标为（0，6），则，…………………7分又DF=6，若△AFP∽△DEF∵EF∥AO，则有∠PAF=∠AFE，又由（2）可知∠DFC=∠AFE∴∠PAF=∠DFC若△AFP1∽△FCD则,即,解得P1A=8.∴O P1=8－6=2∴P1的坐标为（0，－2）…………………………………………………8分若△AFP2∽△FDC则,即,解得P2A=.∴O P2=－6=.∴P2的坐标为（0，－）………………………………………………9分所以符合条件的点P的坐标不两个，分别是P1（0，－2），P2（0，－）.27．（1）证明见解析（2）证明见解析（3）AE，BE，CE之间满足的等量关系BE AE2CE-=【解析】试题分析：（1）由垂直的定义得到∠ACB=90°，根据全等三角形的判定定理ASA可证明△BCF≌△ACD，然后根据全等三角形的性质可证明；（2）根据相似三角形的判定证得△BED∽△ACD，然后根据相似三角形的性质可证明；（3）在BE上截取BG=AE，连接CG，然后根据三角形全等的判定可证明△GCE是等腰直角三角形，由此可得到结果.试题解析：（1）证明：∵∠BCA=∠ACD = 90°∴∠FBC+∠D=∠CAD +∠D = 90°∴∠FBC =∠CAD∵AC=BC∴△BCF≌△ACD（ASA）∴CF=CD（2）证明：∵∠FBC =∠CAD∠D=∠D∴△BED∽△ACD∴BD：AD=ED：CD⋅=⋅∴DA DE DB DC（3）AE，BE，CE之间满足的等量关系BE AE2CE-=理由：在BE上截取BG=AE，连接CG，∵∠FBC =∠CAD BC=AC∴△BCG≌△ACE∴GC=EC 且∠BCG=∠ACE∴∠GCE=∠ACD= 90°∴△GCE为等腰直角三角形∴GC2CE∴BE AE GE2CE-==点睛：此题主要考查三角形的相关性质，解题时灵活应用三角形全等的判定与性质和相似三角形的判定与性质，即可证明，然后结合等腰直角三角形的性质即可得到结论.28．（1）45；（2）125【解析】【分析】（1）解答此题的关键是由△OEF∽△DAF得出AF=2EF，再根据此数值求出EF和FO，然后即可求出cos∠F．（2）由△BEF∽△EAF，和设BE=k，则AE=2k，即可求得BE．【详解】解：(1)连结OE.∵DF切半圆于E，∴∠OEF=90°，在正方形ABCD中，AB=AD，∠DAF=90°，∴∠OEF=∠DAF.又∵∠F为公共角，∴△OEF∽△DAF.∴12 EF OE OEAF DA AB===即AF=2EF.∵DF切半圆O于E，∴EF2=FB·FA=BF·2EF，∴EF=2BF=8，AF=2EF=16.∴AB=AF－BF=12，FO=AB+BF=×12+4=10.在Rt△OEF中，cos∠F=84105 EFFO==(2)连结AE，∵DF切半圆于E，∴∠EAF=∠BEF.∵∠F=∠F，∴△BEF∽△EAF.∴.81162 BE EFEA AF===设BE=k(k＞0)，则AE=2k，∵AB为半圆O的直径，∴∠AEB=90°. 在Rt△AEB中，AE2+BE2=AB2，（2k）2+k2=122,∴125.【点睛】此题涉及的知识点较多，由相似形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质等知识点，综合性较强．29．（1）15°；（2）；（3）35【解析】【分析】 （1）根据矩形的性质和直角三角形的性质，先得到30AFB ∠=︒，再由折叠的性质可得到15CBE ∠=°；（2）由三等角证得FAB EDF ∆∆∽，从而得2DE =，3EF CE ==，再由勾股定理求出DE ，则BC AD ==（3）过点N 作NG BF ⊥于点G ，可证得NFG BFA ∆∆∽．再根据相似三角形的性质得出对应边成比例及角平分线的性质即可得解．【详解】（1）∵矩形ABCD ，∴90A ∠=︒，//AD BC由折叠的性质可知BF=BC=2AB ，12CBE CBF ∠=∠， ∴30AFB ∠=︒，∴30FBC AFB ∠=∠=°，∴15CBE ∠=°（2）由题意可得90A D ∠=∠=︒， 90AFB DFE ∠+∠=︒，90FED DFE ∠+∠=°∴AFB DEF ∠=∠∴FAB EDF ∆∆∽ ∴AF AB DE DF=， ∴1025AF DF DE AB === ∴3EF CE ==，由勾股定理得DF =，∴AF ==∴35BC AD AF FD ==+=； （3）过点N 作NG BF ⊥于点G ．∴90NGF A ∠=∠=°又∵BFA NFG ∠=∠∴NFG BFA ∆∆∽．∴NG FG NF AB FA BF==． ∵NF AN FD =+，即111222NF AD BC BF === ∴12NG FG NF AB FA BF ===， 又∵BM 平分ABF ∠，90NG BF A ⊥∠=︒，，∴NG=AN ，∴12NG AN AB ==， ∴111222FG BF BG BC AB FA AN NF AB BC --===++ 整理得：35AB BC =．【点睛】本题是一道矩形的折叠和相似三角形的综合题，解题时要灵活运用折叠的性质和相似三角形的判定与性质的综合应用，是中考真题．30．（2，﹣2）【解析】【分析】根据A 点坐标确定直角坐标系，然后在网格内作出位似图形，进而可得A′点的坐标.【详解】解：如图，在网格内将△ABC放大2倍得到△A′B′C′，则A′点的坐标为（2，－2）.【点睛】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确作出位似图形是解题关键．31．（1）见解析；（2）见解析；（3）1【解析】【分析】（1）连接OC，可证得∠CAD＝∠BCD，由∠CAD＋∠ABC＝90°，可得出∠OCD＝90°，即结论得证；（2）证明△ABC≌△AFC可得CB＝CF，又CB＝CE，则CE＝CF；（3）证明△DCB∽△DAC，可求出DA的长，再求出AB长即可.【详解】（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAD＋∠ABC＝90°，∵CE＝CB，∴∠CAE＝∠CAB，∵∠BCD＝∠CAE，∴∠CAB＝∠BCD，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OCB＋∠BCD＝90°，∴∠OCD＝90°，∴CD是⊙O的切线；（2）∵∠BAC＝∠CAE，∠ACB＝∠ACF＝90°，AC＝AC，∴△ABC≌△AFC（ASA），∴CB＝CF，又∵CB＝CE，∴CE＝CF；（3）∵∠BCD＝∠CAD，∠ADC＝∠CDB，∴△DCB∽△DAC，∴CD AD AC BD CD BC==，∴1=∴DA＝2，∴AB＝AD−BD＝2−1＝1，【点睛】本题考查切线的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．32．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得AB=BC，再利用同角的余角相等求出∠BAH=∠CBG，再利用“角角边”证明△ABH和△BCG全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=BH；（2）利用两组角对应相等，两三角形相似求出△BCF和△CGF相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得证． （3）易证△BGC ∽△BFC ，可推出2BC BG BF =⋅，再用等量代换得到2AB BG BF =⋅，结合（2）的结论即可得证.【详解】（1）∵BF AE ⊥，CG AE ∥，∴CG BF ⊥．∴90∠+∠=︒CBG BCG∵四边形ABCD 为正方形，∴∠ABC=90°，∴90∠+∠=︒CBG ABH ，∴BAH CBG ∠=∠，在ABH 和BCG 中，∵90∠=∠=AHB BGC ，BAH CBG ∠=∠，AB BC =.∴ABH ≌BCG （AAS ），∴CG BH =.（2）∵BFC CFG ∠=∠，90BCF CGF ∠=∠=︒，∴BCF ∽CGF △，∴FC GF BF FC=，即2FC BF GF =⋅， （3）∵∠BGC=∠BCF=90°，∠CBG=∠FBC ，∴△BGC ∽△BFC∴BG BC BC BF=即2BC BG BF =⋅， ∵AB BC =，∴2AB BG BF =⋅．∴22⋅==⋅FC GF BF GF AB BG BF BG. 【点睛】本题考查正方形中的相似三角形，利用正方形的性质得到相似的条件是解决本题的关键. 33．（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）由Rt△ACB中∠ABC=45°，得出∠BAC=∠ABC=45°，根据圆周角定理得出∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC，等量代换得出∠AEC=∠BEC，即EC平分∠AEB；（2）设AB与CE交于点M．根据角平分线的性质得出．易求∠BAD=30°，由直径所对的圆周角是直角得出∠AEB=90°，解直角△ABE得到AE=BE，那么．作AF⊥CE于F，BG⊥CE于G．证明△AFM∽△BGM，根据相似三角形对应边成比例得出，进而求出．试题解析：（1）证明：∵Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，∴∠BAC=∠ABC=45°，∵∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC，∴∠AEC=∠BEC，即EC平分∠AEB；（2）如图，设AB与CE交于点M．∵EC平分∠AEB，∴．在Rt△ABD中，∠ABD=90°，∠D=60°，∴∠BAD=30°，∵以AB为直径的圆经过点E，∴∠AEB=90°，∴tan∠BAE=，∴AE=BE，∴=．作AF⊥CE于F，BG⊥CE于G．在△AFM与△BGM中，∵∠AFM=∠BGM=90°，∠AMF=∠BMG，∴△AFM∽△BGM，∴，∴．考点：相似三角形的判定与性质，圆周角定理，锐角三角函数定义.34．经过0.8秒或2秒后PBQ 和ABC 相似．【解析】【分析】设经过x 秒后PBQ 和ABC 相似．2AP xcm =，4BQ xcm =，分两种情况：①BP 与BC 边是对应边，②BP 与AB 边是对应边进行讨论即可.【详解】解：设经过x 秒后PBQ 和ABC 相似．则2AP xcm =，4BQ xcm =，∵8AB cm =，16BC cm =，∴()82BP x cm =-，①BP 与BC 边是对应边，则BP BQ BC AB =， 即824168x x -=， 解得0.8x =， ②BP 与AB 边是对应边，则BP BQ AB BC =， 即824816x x -=， 解得2x =．综上所述，经过0.8秒或2秒后PBQ 和ABC 相似．【点睛】考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.35．(1)见解析；(2)见解析【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质得出,QE AE PE AE BD AD CD AD ，等量代换得到PE QE CD BD ，推出CPPE CD CD，于是得出结论； （2）根据平行线的性质得到∠PFC ＝∠FCG ，根据角平分线的性质得到∠PCF ＝∠FCG ，等量代换得到∠PFC ＝∠FCG ，根据等腰三角形的性质得到PF=PC ，得到PF=PE ，由已知条件得到AP=CP ，推出四边形AECF 是平行四边形，再证得∠ECF ＝90°，于是得出结论.【详解】（1）证明：∵PQ ∥BC ，∴△AQE ∽△ABD ，△AEP ∽△ADC ， ∴,QE AE PE AE BD AD CD AD ， ∴PE QE CD BD ， ∵CP QE CD BD ， ∴CP PE CD CD ， ∴PC ＝PE ；（2）∵PF ∥DG ，∴∠PFC ＝∠FCG ，∵CF 平分∠PCG ，∴∠PCF ＝∠FCG ，∴∠PFC ＝∠FCG ，∴PF ＝PC ，∴PF ＝PE ，∵P 是边AC 的中点，∴AP ＝CP ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵PQ ∥CD ，∴∠PEC ＝∠DCE ，∴∠PCE ＝∠DCE ，∴1()902PCE PCF PCD PCG，∴∠ECF＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质以及矩形的判定，还涉及了平行线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、平行四边形的判定等知识点，属于综合题，难度适中，熟练掌握相关性质定理是解题关键.。

冀教版2020九年级数学上册第二十五章图形的相似自主学习能力达标测试卷B 卷（附答案详解）1．如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，DE ∥AC ，若S △BDE ：S △CDE ＝1：4，则S △DOE ：S △AOC 的值为（ ）A ．14B ．19C ．116D ．1252．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是DC 上的点，DE ：EC ＝2：1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 与△BAF 的面积之比为（ ）A ．3：2B ．2：3C ．9：4D ．4：93．如图，▱ABCD ，BE ：AE ＝4：1．若△AEF 的面积为2cm 2，则△ADF 的面积为（ ）cm 2A ．8B ．10C ．18D ．324．若:3:4a b =，且14a b +=，则2a b -的值是（ ）A ．4B ．2C ．20D ．145．如图，∠1＝∠2，则下列各式不能说明△ABC ∽△ADE 的是（ ）A ．∠D ＝∠B B ．∠E ＝∠C C ．AD AE AB AC = D ．AD DE AB BC = 6．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，AB =3，AD =4，BC =33P 从A 点出发，按A →B →C 的方向在AB 和BC 上移动，记P A =x ，点D 到直线P A 的距离为y ，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，△ABC 中，点 D 为边 BC 的点，点 E 、F 分别是边 AB 、AC 上两点，且 EF ∥BC ，若 AE ：EB ＝m ，BD ：DC ＝n ，则（ ）A ．若 m ＞1，n ＞1，则 2S △AEF ＞S △ABDB ．若 m ＞1，n ＜1，则 2S △AEF ＜S △ABDC ．若 m ＜1，n ＜1，则 2S △AEF ＜S △ABD D ．若 m ＜1，n ＞1，则 2S △AEF ＜S △ABD8．如图，已知每个小正方形的边长均为1，ABC ∆与DEF ∆的顶点都在小正方形的顶点上，那么DEF ∆与ABC ∆相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝9，DB ＝3，CE ＝2，则AC 的长为A ．7B ．8C ．9D ．1010．已知线段c 是线段a 、b 的比例中项，如果4cm a =，5cm b =，那么______cm c =．11．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，ABO 与A B O '''是以点P 为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点（网格线的交点）上，则点P 的坐标为_____12．有一支夹子如图所示，AB=2BC ，BD=2BE ，在夹子前面有一个长方体硬物，厚PQ 为6cm ，如果想用夹子的尖端A 、D 两点夹住P 、Q 两点，那么手握的地方EC 至少要张开________cm ．13．在比例尺为1：50000的宝应交通地图上，某条道路的实际长度为5km ，则这条道路在地图上的长度为_____cm14．如图，已知矩形ABCD ，AB ：BC ＝1：2，P 为线段AB 上的一点，以BP 为边作矩形EFBP ，使点F 在线段CB 的延长线上，矩形ABCD ∽矩形EFBP ，设EF ＝a ，AB ＝b ，当EP 平分∠AEC 时，则a b＝_____．15．已知ABC △中，4AB =，3AC =，把ABC △绕点A 旋转某个角度后，使得点B 落在点1B 处，点C 落在点1C 处，这时，若12BB =，则1CC 的长度为______．16．两个相似三角形周长的差是4，对应中线的比是4：5，那么较大三角形的周长是_____．17．如图，矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝8，点E 为DC 上一个动点，把△ADE 沿AE 折叠，若点D 的对应点D ′，连接D ′B ，以下结论中：①D ′B 的最小值为3；②当DE ＝52时，△ABD ′是等腰三角形；③当DE ＝2是，△ABD ′是直角三角形；④△ABD ′不可能是等腰直角三角形；其中正确的有_____．（填上你认为正确结论的序号）18．如图，要使AEF 和ACB 相似，已具备条件________，还需补充的条件是________，或________，或________．19．如图，在ABC △中，点D 、E 分别在AC 、AB 上，如果DE BC ∥，3△ADE S =，18BCD S =△，求EBD S =△______．20．已知：如图，在ABC 中，点D ．E 分别在AB ，AC 上，DE //BC ，点F 在边AB 上，2BC BF BA =⋅，CF 与DE 相交于点G ．()1求证：DF AB BC DG ⋅=⋅()2当点E 为AC 的中点时，求证：2EG AF DG DF=．21．如图，在△ABC中，分别以AB、AC为腰向外侧作等腰Rt△ADB与等腰Rt△AEC，∠DAB＝∠EAC＝90°，连接DC、EB相交于点O．（1）求证：BE⊥DC；（2）若BE＝BC．①如图1，G、F分别是DB、EC中点，求GFBC的值．②如图2，连接OA，若OA＝2，求△DOE的面积．22．阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，BE是AC边上的中线，点D在BC边上，23DBBC=，AD与BE相交于点P，求APPD的值．小昊发现，过点C作CF∥AD，交BE的延长线于点F，通过构造△CEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：写出APPD的值．参考小昊思考问题的方法，解决问题：（1）如图3，在△ABC中，点D在BC的延长线上，3 2DB BC =，点E在AC上，且32AEEC=．求APPD的值；（2）如图4，在△ABC中，点D在BC的延长线上，3 2DB BC =，点E在AC上，且72AEEC=，直接写出APPD的值．23．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点时停止运动．点P也同时停止．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，连接PQ，设运动时间为t(t＞0)秒．(1)当点Q从B点向A点运动时(未到达A点)，①当t＝_____时PQ∥BC②求△APQ的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；(2)伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l：①当l经过点A时，射线QP交AD于点E，求此时的t的值和AE的长；②当l经过点B时，求t的值．24．已知正方形ABCD，过C的直线分别交AD、AB的延长线于点E、F，且AE=15，AF=10，求正方形ABCD的边长.25．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？（2）当PQ的值为多少时，这个矩形面积最大，最大面积是多少？26．如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB 方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题：（1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2；（2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．三个顶点的坐标分别为A(–2，1)，B(–1，4)，C(–3，27．在平面直角坐标系中，ABC2).(1)写出点C 关于点B 成中心对称点1C 的坐标;(2)以原点O 为位似中心，位似比为2:1，在y 轴的左侧画出ABC ∆C 放大后的222A B C ∆，并直接写出点2C 的坐标.参考答案1．D【解析】【分析】由已知条件易求得BE：BC＝1：5，由DE∥AC可证△BDE∽△BAC，△DOE∽△AOC，可得DE：AC的值，再利用相似三角形的性质即可解决问题．【详解】解：∵S△BDE：S△CDE＝1：4，∴BE：EC＝1：4，∴BE：BC＝1：5，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，△DOE∽△AOC，∴DE：AC＝BE：BC＝1：5，∴S△DOE：S△AOC＝（15）2＝125.故选：D．【点睛】本题考查了等高的两个三角形的面积之间的关系和相似三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键.2．D【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得出CD∥AB，进而可得出△DEF∽△BAF，根据相似三角形的性质结合DE：EC=2：1，即可得出△DEF与△BAF的面积之比，此题得解．【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴△DEF∽△BAF．∵DE：EC=2：1，∴22213 DEBA==+，∴249DEF BAF S DE S BA （）==． 故选D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．3．B【解析】【分析】证明△DFC ∽△EF A ，得DF CD EF AE =，根据已知得15AE AE AB CD ==，所以DF EF=5，由同高三角形面积的比等于对应底边的比，可得结论．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ∥AB ，AB ＝CD ，∴△DFC ∽△EF A ，∴DF CD EF AE=． ∵BE ：AE ＝4：1，∴15AE AE AB CD ==，∴DF EF =5，∴ADF AEF S S =5．∵△AEF 的面积为2cm 2，∴△ADF 的面积为10cm 2．故选B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．4．A【解析】【分析】根据比例的性质得到34b a =，结合14a b +=求得,a b 的值，代入求值即可．【详解】解：由a ：b ＝3：4:3:4a b =知34b a =，所以43a b =．所以由14a b +=得到：4143aa +=， 解得6a =． 所以8b =．所以22684a b -=⨯-=． 故选：A ． 【点睛】考查了比例的性质，内项之积等于外项之积．若a cb d=，则ad bc =． 5．D 【解析】 【分析】根据∠1＝∠2，可知∠DAE ＝∠BAC ，因此只要再找一组角或一组对应边成比例即可． 【详解】解：A 和B 符合有两组角对应相等的两个三角形相似；C 、符合两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似；D 、对应边成比例但无法证明其夹角相等，故其不能推出两三角形相似． 故选：D ． 【点睛】考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 6．D 【解析】 【分析】分两种情况：（1）当点P 在AB 上移动时，点D 到直线P A 的距离不变，恒为4；（2）当点P 在BC 上移动时，根据相似三角形判定的方法，判断出△P AB ∽△ADE ，即可得出y 12x=（3＜x ≤6），据此判断出y 关于x 的函数大致图象是哪个即可． 【详解】根据题意，分两种情况讨论：（1）当点P 在AB 上移动时，点D 到直线P A 的距离为：y =DA =4（0≤x ≤3），即点D 到P A的距离为AD的长度，是定值4；（2）当点P 在BC 上移动时．△ADP 的面积不变，为13462ADPS=⨯⨯= 又∵12ADP S xy =∴y 12x=（3＜x ≤6）．综上，纵观各选项，只有D 选项图形符合．故选D ． 【点睛】本题考查了动点问题函数图象，关键是利用了相似三角形的判定与性质，难点在于根据点P 的位置分两种情况讨论． 7．D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定与性质，得出2221AEF ABC S AE m S AB m ∆∆⎛⎫== ⎪+⎝⎭，1ABD ABC S BD n S BD DC n ∆∆==++，从而建立等式关系，得出211AEF ABDS m n Sm n +⎛⎫=⋅ ⎪+⎝⎭，然后再逐一分析四个选项，即可得出正确答案 . 【详解】解：∵EF ∥BC ，若AE ：EB ＝m ，BD ：DC=n ， ∴△AEF ∽△ABC ， ∴=1EF AE AE mBC AB AE BE m ==++， ∴2221AEF ABC S AE m S AB m ∆∆⎛⎫== ⎪+⎝⎭，∴1ABD ABC S BD nS BD DC n ∆∆==++， ∴211AEF ABDS m n Sm n +⎛⎫=⋅ ⎪+⎝⎭∴当m=1，n=1，即当E 为AB 中点，D 为BC 中点时，12AEF ABDSS=， A.当m ＞1，n ＞1时，S △AEF 与S △ABD 同时增大，则12AEF ABDS S>或12AEF ABDS S<，即2AEFABDS S<或2AEF S＞ABDS，故A 错误；B.当m ＞1，n ＜1，S △AEF 增大而S △ABD 减小，则12AEF ABDS S>，即2AEFABDS S>，故B 错误；C.m ＜1，n ＜1，S △AEF 与S △ABD 同时减小，则12AEF ABDSS>或12AEF ABDS S<，即2AEFABDS S>或2AEFS＜ABDS，故C 错误；D.m ＜1，n ＞1，S △AEF 减小而S △ABD 增大，则12AEF ABDS S<，即2AEFS ＜ABDS，故D 正确 .故选D . 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键 . 8．B 【解析】【分析】首先由勾股定理求得各三角形的三边长，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可求得答案．注意排除法在解选择题中的应用．【详解】2,BC AC===A.∵ED EF ==DF=1，∴ED EF DF AB BC AC≠≠，∴△DEF与△ABC不相似；B. ∵EF==DF=1，∴DE EF DF AB BC AC==，∴△DEF与△ABC相似；C.∵DE=3,EF=DF，∴DE EF DF AB BC AC≠≠，∴△DEF与△ABC不相似；D. ∵EF==，DF=2，∴DE EF DF AB BC AC≠≠，∴△DEF与△ABC不相似.故选B.【点睛】此题考查相似三角形的判定，勾股定理，解题关键在于掌握判定定理. 9．B【解析】【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求解.【详解】∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC，∴AD AE AB AC=即92 93ACAC-=+解得AC=8故选B.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是找到对于线段成比例.10．【解析】 【分析】根据比例中项的概念，得c 2=ab ，再利用比例的基本性质计算得到c 的值． 【详解】解：∵线段c 是线段a 、b 的比例中项， ∴c 2=ab ，又∵a=4cm ，b=5cm ， ∴c 2=ab=20，解得c =±又∵c 为线段的长度，c ∴=-舍去；∴c =.故答案为:c =. 【点睛】此题考查了比例中项的定义，理解比例中项的概念：当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项．根据比例的基本性质进行计算. 11．(3,2)- 【解析】 【分析】根据位似图形的性质“位似图形对应点连线的交点是位似中心”，连接B B '并延长，A A '并延长，B B '与A A '的交点即为位似中心P 点，根据相似三角形性质求解. 【详解】根据位似图形的性质“位似图形对应点连线的交点是位似中心”，连接B B '并延长，A A '并延长，B B '与A A '的交点即为位似中心P 点，由图可知B '、B 、P 在一条直线上，则P 点横坐标为-3， 由图可得ABO 和A B O '''的位似比为3162OB O B ''==，2BB '=，所以12PB PB PB PB BB ''==+， 解得PB=2， 所以P 点纵坐标为， 即P 点坐标为(3,2)-.故答案为：(3,2)- 【点睛】本题主要考查图形的位似变换.找出相似比是关键. 12．3 【解析】 【分析】首先从题目中整理出相似三角形，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式即可求解． 【详解】解：2AB BC =∵，2BD BE =，ADB CEB ∴∆∆∽，∴AD ABEC BC= ， 当6AD PQ cm ==时， ∴621EC = ， 解得：EC=3（cm ）， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形，难度不大．13．10 【解析】 【分析】直接利用比例线段的性质求出这条道路的图上距离． 【详解】解：∵在比例尺为1：50000的宝应交通地图上，某条道路的实际长度为5km ， ∴这条道路在地图上的长度为50000010.50000cmcm =故答案为：10 【点睛】此题主要考查了比例线段，正确理解比例线段的意义是解题关键．14．2． 【解析】 【分析】设AB 与CE 交于点G ，根据等腰三角形三线合一的性质可表示出PG ，进而得到BG ，然后根据平行线分线段成比例定理列出比例式，变形求解即可． 【详解】解：如图，AB 与CE 交于点G ， ∵EP 平分∠AEC ，EP ⊥AG ， ∴∠AEP=∠GEP ，∠APE=∠GPE=90° ∴∠EAP=∠EGP ∴EA=EG∴AP ＝PG ＝b ﹣a ，BG ＝a ﹣（b ﹣a ）＝2a ﹣b ， ∵PE ∥CF ， ∴2PEPG b aBC BG a b， ∵矩形ABCD ∽矩形EFBP ，∴PE EF aBC AB b ，∴2a b a b a b，整理得：222b a =，∵a ＞0，b ＞0， ∴2a b =， 故答案是：22．【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定和性质、相似图形的性质以及平行线分线段成比例定理，根据三线合一表示出PG 、BG 的长是解答此题的关键． 15．32【解析】 【分析】根据旋转的性质可以得到△BB′A 和△CC′A 是顶角相等的两个等腰三角形，因而△BB′A ∽△CC′A ，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得． 【详解】解：由题意可知，AB=A B′，AC=A C′，∠BA B′=∠CA C′,''AB AB AC AC∴=, ∴△BB′A ∽△CC′A34CC AC BB AB ''∴==， 3332442CC BB ''∴==⨯=. 故答案是：32.【点睛】本题主要是运用旋转的性质，利用相似三角形的性质求解，得到△BB′A ∽△CC′A 是解决本题的关键．16．20【解析】【分析】利用相似三角形的对应周长比等于相似比，对应中线比等于相似比即可得出．【详解】解：令较大的三角形的周长为x．小三角形的周长为x﹣4，由两个相似三角形对应中线的比为4：5得，4：5＝（x﹣4）：x，解之得x＝20．故答案为20．【点睛】此题考查相似三角形的性质．解题关键在于能灵活运用相似三角形的周长比等于相似比．17．①②④【解析】【分析】当D′落在线段AB上时，D′B的值最小，此时D′B＝AB﹣AD＝3，得出①正确；过D′作MN⊥AB交AB于点N，交CD于点M，设AN＝x，则EM＝x﹣2.5，证出∠ED′M＝∠D′AN，因此△EMD′∽△D′NA，得出对应边成比例ED EMAD D N='''，求出x＝4，得出AN＝BN，因此AD′＝D′B，得出②正确；当DE＝2时，假设△ABD′是直角三角形，则E、D′、B在一条直线上，作EF⊥AB于点F，由勾股定理求出D′B、EB，得出③不正确；当AD′＝D′B时，由勾股定理的逆定理得出△ABD′不是直角三角形，当△ABD′是直角三角形时，由勾股定理求出D′B，得出AD′≠D′B，因此△ABD′不可能是等腰直角三角形，得出④正确．【详解】当D′落在线段AB上时，D′B的值最小，如图1所示：此时D′B＝AB﹣AD＝8﹣5＝3，∴①正确；过D′作MN ⊥AB 交AB 于点N ，交CD 于点M ，如图2所示： 设AN ＝x ，则EM ＝x ﹣2.5，∵∠AD′N ＝∠DAD′，∠ED′M ＝180°﹣∠AD′E ﹣∠AD′N ＝180°﹣90°﹣∠AD′N ＝90°﹣∠AD′N ，∴∠ED′M ＝90°﹣∠DAD′， ∵∠D′AN ＝90°﹣∠DAD′， ∴∠ED′M ＝∠D′AN ， ∵MN ⊥AB ， ∴∠EMD′＝∠AND′， ∴△EMD′∽△D′NA ，∴ED EMAD D N='''， 即，2.55=解得：x ＝4， ∴AN ＝BN ， ∴AD′＝D′B ，即△ABD′是等腰三角形， ∴②正确；当DE ＝2时，假设△ABD′是直角三角形， 则E 、D′、B 在一条直线上， 作EF ⊥AB 于点F ，如图3所示：D′B ==∵2 ∴③不正确；当AD′＝D′B 时，52+52≠82， ∴△ABD′不是直角三角形，当△ABD′是直角三角形时，D′B∴AD′≠D′B ，∴△ABD′不可能是等腰直角三角形，∴④正确；故答案为：①②④．【点睛】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性质是解决问题的关键．18．EAF CAB ∠∠=AEF C ∠∠= AFE B ∠∠= AE AF AC AB= 【解析】【分析】根据三角形判定定理：两角对应相等两三角形相似、两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．已知一个角相等，只要满足另外任何一个角对应相等或者所夹相等角的两边对应成比例即可．【详解】解：由图示可知∠EAF=∠CAB要使△AEF 和△ACB 相似根据三角形相似的判定定理，需要补充条件是EAF CAB ∠∠=，或∠AEF=∠C ，AE AF AC ABAFE B ∠∠==或． 故答案为(1). EAF CAB ∠∠= (2). AEF C ∠∠= (3). AFE B ∠∠= (4). AE AF AC AB= 【点睛】本题考查了三角形相似的判定，定理为：①两角对应相等两三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；③三边对应成比例，两个三角形相似．19．6【解析】【分析】 由同高三角形面积比等于底边之比可得AED EBD S AE =S BE ，ABD BCD S AD =S CD，在根据平行线分线段成比例得到AE AD =BE CD ，建立方程即可求解. 【详解】∵DE ∥BC∴AE AD =BE CD∵AED EBD S AE =SBE ，ABD BCD S AD =S CD ∴AED ABD EBD BCD S S =S S ，设EBD S =x ，则33=18+x x ， 解方程得6x =或9-（舍去）故答案为：6.【点睛】本题考查平行线分线段成比例，由同高三角形面积比等于底边之比建立方程是解决本题的关键.20．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由2BC BF BA =⋅，可判断BAC BCF ∽,再由DE∥BC 可判断BCF DGF ∽,所以DGF BAC ∽,然后利用相似三角形的性质即可得到结论;(2)作AH∥BC 交CF 的延长线于H,如图,易得AH∥DE,由点E 为AC 的中点得AH=2EG,再利用AH∥DG 可判定AHF DGF ∽,则根据相似三角形的性质得AH AF DG DF=,然后利用等线段代换即可得到结论.【详解】证明：()1∵2BC BF BA =⋅，∴BC:BF BA:BC =，而ABC CBF ∠∠=，∴BAC BCF ∽，∵DE //BC ，∴BCF DGF ∽，∴DGF BAC ∽，∴DF:BC DG:BA =，∴DF AB BC DG ⋅=⋅； ()2作AH //BC 交CF 的延长线于H ，如图，∵DE //BC ，∴AH //DE ，∵点E 为AC 的中点，∴AH 2EG =，∵AH //DG ，∴AHF DGF ∽，∴AH AF DG DF=， ∴2EG AF DG DF =． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质,在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形;在运用相似三角形的性质时,主要通过相似比得到线段之间的关系.21．（1）详见解析；（2）；②2． 【解析】【分析】（1）证明△BAE ≌△DAC ，根据全等三角形的性质证明结论；（2）①取DE 的中点H ，连接GH 、FH ，根据三角形中位线定理得到GH ∥BE ，GH ＝12BE ，得到GH ＝FH ，GH ⊥FH ，根据勾股定理计算，得到答案；②作AM ⊥BE 于M ，AN ⊥CD 于N ，证明△BAE ≌△BAC ，得到∠BAE ＝∠BAC ＝135°，证明△ODA ∽△OAE ，根据相似三角形的性质求出OD •OE ，根据三角形的面积公式就是，得到答案．【详解】（1）证明：∵∠DAB ＝∠EAC ＝90°，∴∠EAB ＝∠CAD ，在△BAE 和△DAC 中， AB AD BAE DAC AE AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAE ≌△DAC （SAS ），∴∠ABE ＝∠ADC ，∵∠BAD ＝90°，∴∠DOB ＝90°，即BE ⊥DC ；（2）①取DE 的中点H ，连接GH 、FH ，∵点G 是BD 的中点，∴GH ∥BE ，GH ＝12BE ， 同理，FH ∥CD ，FH ＝12CD ， ∵BE ＝CD ．BE ⊥DC ，∴GH ＝FH ，GH ⊥FH ，∴△HGF 为等腰直角三角形，∴GF ＝2GH ，∵GH ＝12BE ， ∴22GF BE =， ∵BE ＝BC ，∴2GF BC =； ②作AM ⊥BE 于M ，AN ⊥CD 于N ，在△BAE 和△BAC 中，BE BC AE AC AB AB =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△BAE ≌△BAC （SSS ），∴∠BAE ＝∠BAC ＝135°，∴∠DAE ＝135°﹣90°＝45°，即∠OAD +∠OAE ＝45°，∵△BAE ≌△DAC ，∴AM ＝AN ，又AM ⊥BE ，AN ⊥CD ，∴OA 平分∠BOC ，∴∠BOA ＝∠COA ＝45°，∴∠DOA ＝∠EOA ＝135°，∴∠ODA +∠OAD ＝45°，∴∠OAE ＝∠ODA ，∴△ODA ∽△OAE ， ∴OD OA OA OE=，即OD •OE ＝OA 2＝4， ∴△DOE 的面积＝12×OD •OE ＝2． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．22．3=2AP PD ；（1）=1AP PD ；（2）7=3AP PD 【解析】【分析】如图2，过点C 作CF ∥AD ，交BE 的延长线于点F ，易证△AEP ≌△CEF ，根据全等三角形的性质可得AP=FC ，又因PD ∥FC ，可得△BDP ∽△BCF ，由相似三角形的性质可得PD BD FC CD =，由此即可求得AP PD的值．（1）如图3，过A 作AF ∥BC ，交BP 延长线于点F ，可得△AFE ∽△CBE ，根据相似三角形的性质可得32AF AE BC EC ==,设AF ＝3x ，BC ＝2x ，由32DB BC =可得BD ＝3x ，所以AF ＝BD ＝3x ，再证明△AFP ∽△DBP ，即可得1AP AF PD BD==；（3）如图4，过C 作CF ∥AP 交PB 于F ，可得△BCF ∽△BDP ，根据相似三角形的性质可得23BC CF BD PD ==，设CF ＝2x ，PD ＝3x ，再证明△ECF ∽△EAP ，可得27EC CF AE AP ==，所以AP ＝7x ，AD ＝4x ，即可求得7=3AP PD ． 【详解】解：如图2，过点C 作CF ∥AD ，交BE 的延长线于点F ，∴∠F ＝∠APF ，∠FCE ＝∠EAP ，∵BE 为AC 边的中线，∴AE ＝CE ，∴△AEP ≌△CEF ，∴AP ＝FC ，∵PD ∥FC ，∴△BPD ≌△BFC ，∴＝， ∴＝，（1）如图3，过A 作AF ∥BC ，交BP 延长线于点F ，∴△AFE ∽△CBE ，∴， ∵， ∴，设AF ＝3x ，BC ＝2x ，∵，∴AF＝BD＝3x，∵AF∥BD，∴△AFP∽△DBP，∴＝＝1；（2）如图4，过C作CF∥AP交PB于F，∴△BCF∽△BDP，∴，设CF＝2x，PD＝3x，∵CF∥AP，∴△ECF∽△EAP，∴，∴AP＝7x，AD＝4x，∴7=3 APPD．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造出相似三角形是解决问题的关键.23．(1)①154秒；②S△APQ＝﹣225t+125t(0＜t≤6)；(2)①t＝3，AE＝6；②t＝5．【解析】【分析】(1)①因为PQ∥BC，利用平行线分线段成比例，可得AQ APAB AC，找到关于t的方程，求解即可；②过P作PE⊥AB于E，利用∠BAC的正弦，可以求出PE的长，最后找到S与t的(2)①因为l为PQ的垂直平分线且过点A，所以AP=AQ，由此可以求出t的值，延长QP交CD于M，容易得到△APQ和△CPM相似，找到相似比可求出AE的长；②当l经过B时，可得BQ=BP=AP，过P作PG⊥AB于G，利用三线合一可得AG=BG，利用PG∥BC，可转化出P也为AC的中点，进而可求出AP的值，最后可找到t的值.【详解】解：(1)①由题意得：BQ＝AP＝t，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝10，AQ＝6﹣t，∵PQ∥BC，∴AQ AP AB AC=，∴6610t t-=，t＝154，则当t＝154秒时，PQ∥BC，故答案为154秒；②如图1，过P作PE⊥AB于E，sin∠BAC＝PE BC AP AC=，∴810PEt=，PE＝45t，∴S△APQ＝12AQ•PE＝12(6﹣t)45t＝﹣225t+125t(0＜t≤6)；(2)①如图2，延长CD交QP于M，∵线段PQ的垂直平分线为l经过点A，∴AQ＝AP，即6﹣t＝t，∴t＝3，∴AQ＝AP＝3，CP＝10﹣3＝7，∵AQ∥CD，∴△AQP∽△CMP，∴AP AQ PC CM=，∴37=3CM，CM＝7，∴DM＝7﹣6＝1，∵AQ∥DM，∴△AQE∽△DME，∴AQ AEDM ED=＝31，∵AE+DE＝8，∴AE＝6；②如图3，连接PB，过P作PG⊥AB于G，则PG∥BC，∵线段PQ的垂直平分线l经过点B，∴PB＝BQ＝t＝AP，∴AG＝BG，∴AP＝PC＝12AC＝5，∴t＝5．【点睛】本题主要考察几何问题中的动点问题，合理分析与图形的正确构造是解题的关键. 24．6.【解析】【分析】如图，根据题意易证△FBC∽△FAE，利用三角形相似比=，列方程即可求解.【详解】如图，∵BC∥AE，∴△FBC∽△FAE，∴=，设正方形的边长为x，则=,解得x=6，即正方形的边长为6.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据正方形的性质得到三角形相似. 25．（1）若这个矩形是正方形，那么边长是48mm（2）2400mm2【解析】【分析】 （1）根据正方形的性质PQ ∥BC ，根据相似三角形的性质得到比例关系式，代入数据求解即可； （2）设PQ ＝x 根据比例式得到2803PN x =-，根据矩形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）设边长为xmm ，∵矩形为正方形，∴PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC ，∵AD ⊥BC ，∴AD ⊥PQ ， ∴,PQ AH BC AD= ∴80,12080PQ PQ -= 解得PQ ＝48；答：若这个矩形是正方形，那么边长是48mm ；（2）设PQ ＝x∵,PQ AH BC AD= ∴80,12080x PN -= ∴2803PN x =-， ∴S 四边形PQMN ()222228080602400333x x x x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭， 当PQ ＝60时，S 四边形PQMN 的最大值＝2400mm 2．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，结合了平行线的比例关系求解，注意数形结合的运用．26．（1）t为5秒时，△BDE的面积为7.5cm2；（2）存在时间t为5013或8013秒时，使得△BDE与△ABC相似．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质求三角形BDE边BE的高即可求解；（2）根据等腰三角形和相似三角形的判定和性质分两种情况说明即可．【详解】解：（1）分别过点D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足为F、G如图∴DF∥AG，DFAG＝BDAB∵AB＝AC＝10，BC＝16∴BG＝8，∴AG＝6．∵AD＝BE＝t，∴BD＝10﹣t，∴DF6＝1010t解得DF＝35（10﹣t）∵S△BDE＝12BE•DF＝7.5∴35（10﹣t）•t＝15解得t＝5．答：t为5秒时，△BDE的面积为7.5cm2．（2）存在．理由如下：①当BE＝DE时，△BDE与△BCA，∴BE AB ＝BD BC 即10t ＝1016t -， 解得t ＝5013， ②当BD ＝DE 时，△BDE 与△BAC ，BE BC ＝BD AB 即16t ＝1010t -， 解得t ＝8013． 答：存在时间t 为5013或8013秒时，使得△BDE 与△ABC 相似． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是动点变化过程中形成不同的等腰三角形．27．（1）点1C 的坐标(1,6)；（2）图见解析；2C 的坐标(6,4)-【解析】【分析】（1）根据对称点的方法很容易可写出C 1的坐标.（2）首先根据位似中心画出位似图形，在写坐标即可.【详解】解：（1）点1C 的坐标(1,6)；（2）222A B C ∆如图所示点2C 的坐标(6,4)-【点睛】本题主要考查位似图形的画法，关键在于位似中心，这是直角坐标系的必考题，必须熟练掌握.。