第4章 图形的相似单元测试(培优卷)-2020-2021学年九年级数学上册尖子生同步培优(原卷版)【北师大版】

第四章 图形的相似（单元综合卷）一、单选题1．若0234a b c ==≠，则22a b c a-+= ( ) A ．45 B ．54 C ．34 D ．无法确定【答案】B【解析】【分析】设比值为k ，然后用k 表示出a 、b 、c ，再代入算式进行计算即可求解.【详解】 设234a b c k ===、 则2a k =、3b k =、4c k =、 ∴2223452224a b c k k k a k -+⨯-+==⨯. 故选、B .【点睛】本题考查了比例的性质，利用设“k ”法表示出a 、b 、c 是解题的关键，设“k ”法是中学阶段常用的方法之一，需熟练掌握并灵活运用.2．若、ABC、、DEF ，且、ABC 与、DEF 的面积比是94，则、ABC 与、DEF 对应中线的比为（ ） A ．23 B ．8116 C ．94 D ．32【解析】【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，再结合相似三角形的对应中线的比等于相似比解答即可．【详解】、、ABC、、DEF、、ABC与、DEF的面积比是9 4、、、ABC与、DEF的相似比为3 2、、、ABC与、DEF对应中线的比为3 2、故选D、【点睛】考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．3．如图，在ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，过点G作//GE BD，交AB边于点E，作//GF AC，交BC边于点F，则下列结论中一定正确的是（）A．AB AGAE AD=B．DF DGCF AD=C．FG EGAC BD=D．AE CFBE DF=【答案】D 【解析】由GE、BD、GF、AC利用平行线分线段成比例，可得出AE AGBE DG=，AG CFDG DF=，进而可得出AE CFBE DF=，此题得解．【详解】、GE、BD，GF、AC，、AE AGBE DG=，AG CFDG DF=，、AE CF BE DF=．故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，利用平行线分线段成比例，找出AE AGBE DG=，AG CFDG DF=是解题的关键．4．如图，平面直角坐标系中，点E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以原点O为位似中心，把、EFO缩小为、E′F′O，且、E′F′O与、EFO的相似比为1：2，则点E的对应点E′的坐标为（）A．（2，﹣1）B．（8，﹣4）C．（2，﹣1）或（﹣2，1）D．（8，﹣4）或（﹣8，4）【答案】C【解析】【分析】利用位似图形的性质，即可求得点E的对应点E'的坐标．【详解】、点E（﹣4，2），以O为位似中心，按2：1的相似比把、EFO缩小为、E'F'O，、点E的对应点E'的坐标为：（2，﹣1）或（﹣2，1）．故选C．【点睛】本题考查了位似图形的性质．此题比较简单，注意熟记位似图形的性质是解答此题的关键．5．兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（、A．11.5米B．11.75米C．11.8米D．12.25米【答案】C【解析】【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．本题中：经过树在台阶上的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以及树所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上台阶的高就是树高．【详解】如图，根据题意可知EF=BC=4.4米，DE=0.2米，BE=FC=0.3米，则ED=4.6米，、同一时刻物高与影长成正比例，、AE、ED=1、0.4、即AE、4.6=1、0.4、、AE=11.5米，、AB=AE+EB=11.5+0.3=11.8米，、树的高度是11.8米、故选C.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，根据相似三角形的相似比，列出方程进行求解是关键.6．如图所示的两个四边形相似、则α的度数是()A．60°B．75°C．87°D．120°【答案】C【解析】【分析】根据相似多边形性质：对应角相等.【详解】由已知可得：α的度数是：360〫-60〫-75〫-138〫=87〫故选C【点睛】本题考核知识点：相似多边形.解题关键点：理解相似多边形性质.7．下列条件中，能使ABC DEF ∽△△成立的是（ ）A ．、C ＝98°，、E ＝98°，AC DE BC DF； B ．AB ＝1，AC ＝1.5，BC ＝2，EF ＝8，DE ＝10，FD ＝6C ．、A ＝、F ＝90°，AC ＝5，BC ＝13，DF ＝10，EF ＝26；D ．、B ＝35°，BC ＝10，BC 上的高AG ＝7；、E ＝35°，EF ＝5，EF 上的高DH ＝3.5【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理对四个选项进行分析即可.【详解】A 、若、ABC~、DEF ，则AC DF =BC EF，故本选项错误； B 、若、ABC~、DEE ，则AB AC BC ==DE DF EF 而AB 1=DE 10≠AC 1.5=DF 6，故本选项错误； C 、若、ABC~、DEF ，、A ＝90°，则、D ＝90°，故本选项错误；D 、BC AG ==2EF DH且、AGC ＝、BHF ＝90°，因此、AGC、、BHF ，所以、C ＝、F ，而、B ＝、E ＝35°，因此可判断相似，故本选项正确；所以D 选项是正确的.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定定理，解答此类题目时要熟知相似三角形的判定方法，即：（1）三组对应边的比相等的两个三角形相似；（2）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（3）有两组角对应相等的两个三角形相似8．如图，、ABC 中，点D 在AB 上，过点D 作DE、BC 交AC 于点E ，过点E 作 EF、AB 交BC 于点F ，连接CD ，交EF 于点G ，则下列说法不正确的是（ 、A ．BD BF FG FC =B ．DE AE BC AC = C ．AD AE AB AC = D ．BF AD BC AB= 【答案】A【解析】因为DE、BC, 所以,,DE AE AD AE BC AC AB AC== 因为EF、AB, 所以,,BF AE BD BC BC AC FK CF== 所以,BF AD BC AB = 故选A.9．如图， ABC 中， 90C ∠=︒，3,4,AC BC M ==是BC 边上的动点，过M 作//MN AB 交AC 于点,N P 是MN 的中点，当PA 平分BAC ∠时， BM =（ ）A ．2011B ．2013C ．1511D ．2513【答案】A【解析】【分析】根据题意作PD AC ⊥于D ，PE AB ⊥于,E MF AB ⊥于F ，利用相似三角形判定证得BMF BAC ∽，进而设3,PD PE MF x ===建立方程求解即可．【详解】解：作PD AC ⊥于D ，PE AB ⊥于,E MF AB ⊥于F ，则,PD PE MF BMF BAC ==∽．、3,4,AC BC ==、5AB =设3,PD PE MF x ===则26,5CM PD x BM x ===由65114,BC x x x =+==得420 =,1111x BM =． 故选：A ．【点睛】 本题考查三角形动点问题，熟练掌握相似三角形判定并运用方程结合思维进行分析是解题的关键． 10．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，CE 平分、DCB 交BD 于点F ，且、ABC ＝60°，AB ＝2BC ，连接OE ，下列结论：、、ACD ＝30°；、S 平行四边形ABCD ＝AC BC ⋅；、OE ：AC ＝1：4；、S 、OCF ＝2S 、OEF ．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】 由四边形ABCD 是平行四边形，得到、ABC=、ADC=60°，、BAD=120°，根据角平分线的定义得到、DCE=、BCE=60°推出、CBE 是等边三角形，证得、ACB=90°，求出、ACD=、CAB=30°，故、正确； 由AC、BC ，得到S、ABCD=AC•BC ，故、正确；根据直角三角形的性质得到，根据三角形的中位线的性质得到OE=12BC ，于是得到OE ：AC=6，故、错误；由三角形的中位线可得BC、OE ，可判断、OEF、、BCF ，根据相似三角形的性质得到CF BC EF OE==2，求得S 、OCF =2S 、OEF ；故、正确．【详解】解：、四边形ABCD是平行四边形，、、ABC=、ADC=60°，、BCD=120°，、CE平分、BCD交AB于点E，、、DCE=、BCE=60°、、CBE是等边三角形，、BE=BC=CE，、AB=2BC，、AE=BC=CE，、、ACB=90°，、、ACD=、CAB=30°，故、正确；、AC、BC，、S、ABCD=AC•BC，故、正确，在Rt、ACB中，、ACB=90°，、CAB=30°，，、AO=OC，AE=BE，、OE=12 BC，、OE：6；故、错误；、AO=OC，AE=BE，、OE、BC，、、OEF、、BCF ， 、CF BC EF OE==2 、S 、OCF ：S 、OEF =CF EF =2， 、S 、OCF =2S 、OEF ；故、正确．故选C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线、相似三角形的性质，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．二、填空题11．如图，已知一组平行线////a b c ，被直线m 、n 所截，交点分别为A 、B 、C 和D 、E 、F ，且3AB =，4BC =， 4.8EF =，则DE 的长为__________．【答案】3.6【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得．【详解】由平行线分线段成比例定理得：AB DE BC EF= 3AB =，4BC =， 4.8EF =34 4.8DE ∴= 解得 3.6DE =故答案为：3.6．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解题关键．12．已知x 是正整数，且x 是4和16的比例中项，那么x =______．【答案】8【解析】【分析】根据比例中项的性质进行求解．【详解】解：、x 是4和16的比例中项，且是正整数，、241664x =⨯=，解得8x =．故答案是：8．【点睛】本题考查比例中项的性质，解题的关键是掌握比例中项的性质．13．如图，、ABC 与、A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是__、【答案】（9，0）【解析】【分析】【详解】根据位似图形的定义，连接A′A，B′B并延长交于(9，0)，所以位似中心的坐标为(9，0)．故答案为：(9，0)．14．如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m.【答案】4【解析】【分析】根据题意，画出示意图，易得：Rt、EDC、Rt、CDF，进而可得EDDC=DCFD；即DC2=ED•FD，代入数据可得答案．【详解】如图：过点C作CD、EF，由题意得：、EFC是直角三角形,、ECF=90°，、、EDC=、CDF=90°，、、E+、ECD=、ECD+、DCF=90°，、、E=、DCF，、Rt、EDC、Rt、CDF，有EDDC=DCFD;即DC2=ED FD，代入数据可得DC2=16，DC=4；故答案为4.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，能够将实际问题转化为相似三角形的问题是解题的关键.15．如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，且矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝1，则BC 的长为_____．【解析】【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．【详解】、矩形ABCD与矩形EABF相似，、AEAB＝ABAD，即121AD＝1AD，解得，AD，、矩形ABCD 的面积＝AB •AD ，．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键.16．如图，////AB EF DC ，//AD BC ，EF 与AC 交于点G ，则是相似三角形共有__________对．【答案】6【解析】【分析】图中三角形有：、AEG ，、ADC ，、CFG ，、CBA ，因为////AB EF DC ，//AD BC ，所以、AEG、、ADC、、CFG、、CBA ，有6中组合，据此可得出答案.【详解】图中三角形有：、AEG ，、ADC ，、CFG ，、CBA ，、////AB EF DC ，//AD BC ，、、AEG、、ADC、、CFG、、CBA共有6个组合分别为：、AEG、、ADC ，、AEG、、CFG ，、AEG、、CBA ，、ADC、、CFG ，、ADC、、CBA ，、CFG、、CBA故答案为6.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.17．如图，在三角形ABC中，AB＝24，AC＝18，D是AC上一点，AD=12，在AB上取一点E，使A、D、E三点组成的三角形与ABC相似，则AE＝__________.【答案】9或16【解析】【分析】根据相似三角形的判断，要使得、ADE与、ABC相似，已经满足、BAC＝、DAE，因此只要两边对应成比例即可，由于本题中三角形相似，对应点没有确定，因此分两种情况，画出图形，然后根据相似三角形对应边成比例，就出AE的长.【详解】第一种情况：当、ABC、、ADE时，如图、；、、ABC、、ADE，、AB AC AD AE=，、AB＝24，AC＝18，AD＝12，、2418 12AE=，、AE＝9.第二种情况：当、ABC、、AED ，如图、；、、ABC、、AED ， 、AB AC AE AD=， 、AB ＝24，AC ＝18，AD ＝12， 、241812AE =， 、AE ＝16.故填9或16.考点：相似三角形的性质.18．如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、BC 上的点，且DE AC ，若:1:4BDE CDE S S ∆∆=，则:BDE ACD S S ∆∆=______.【答案】1:20【解析】【分析】根据、BDE和、CDE高相同得到BE:EC=1:4,再证明、BDE、、BAC,利用面积比等于相似比的平方即可解题.【详解】、、BDE和、CDE高相同,且:1:4BDE CDES S=,、BE:EC=1:4,、//DE AC、、BDE、、BAC,即BE:BC=1：5、:BDE BACS S=1:25、:BDE ACDS S=1、、25-1-4、=1:20【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,属于简单题,熟悉相似三角形性质是解题关键.19．如图，在矩形ABCD中，BC＝4，AB＝2，Rt、BEF的顶点E在边CD上，且、BEF＝90°，EF＝12 BE，DF BE＝_____．【解析】【分析】过F作FG、CD，交CD的延长线于G，依据相似三角形的性质，即可得到FG＝12EC，GE＝2＝CD；设EC＝x，则DG＝x，FG＝12x，再根据勾股定理，即可得到CE2＝94，最后依据勾股定理进行计算，即可得出BE的长．【详解】解：如图所示，过F作FG、CD，交CD的延长线于G，则、G＝90°，、四边形ABCD是矩形，、、C＝90°，AB＝CD＝2，又、、BEF＝90°，、、FEG+、BEC＝90°＝、EBC+、BEC，、、FEG＝、EBC，又、、C＝、G＝90°，、、BCE、、EGF，、FG GE EF EC CB BE ==，即142EG CE EC ==， 、FG ＝12EC ，GE ＝2＝CD ， 、DG ＝EC ，设EC ＝x ，则DG ＝x ，FG ＝12x ， 、Rt、FDG 中，FG 2+DG 2＝DF 2，、（12x ）2+x 22， 解得x 2＝94， 即CE 2＝94，、Rt、BCE 中，BE ==．【点睛】本题主要考查了相似三角形和勾股定理的结合，准确分析计算是解题的关键．20．如图，在直角坐标系中，将OAB 绕原点旋转到OCD ，其中()3,1A -、()4,3B ，点D 在x 轴正半轴上，则点C 的坐标为_______．【答案】913,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】连接AC 、BD ，设点C 的坐标为（a ，b ），根据平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式即可求出OA 、OB ，由旋转的性质即可求出OC 和OD ，从而证出OAC、OBD ，列出比例式即可求出AC ，再利用平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式列出方程即可求出结论．【详解】解：连接AC 、BD ，设点C 的坐标为（a ，b ）、()3,1A -、()4,3B ，=5由旋转的性质可得，OD=OB=5，、AOC=、BOD、点D 的坐标为（5,0）,OA OC OB OD==OAC、OBD、AC OA BDOB== 解得AC=2、()()222210314a b a b ⎧+=⎪⎨++-=⎪⎩ 解得：95135a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或31a b =-⎧⎨=-⎩ 、点C 在第二象限，、95135a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即点C 913,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ 故答案为：913,55⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】此题考查的是坐标与图形的变化、相似三角形的判定及性质和平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式，此题难度较大，掌握旋转的性质、相似三角形的判定及性质和平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式是解决此题的关键．三、解答题21．化简并求值：已知2,235a c e a c e b d f===-+=，求b -2d+3f 的值． 【答案】52【解析】【分析】 由2a c e b d f===可知2,2,2a b c d e f ===，代入235a c e -+=易得b -2d+3f 的值． 【详解】 解：2a c e b d f=== 2,2,2a b c d e f ∴===232462(23)5a c e b d f b d f ∴-+=-+=-+=5232b d f ∴-+=【点睛】 本题考查了比例的性质，灵活的利用比例进行等量代换是解题的关键.22．如图，已知DE、BC ，FE、CD ，AF ＝3，AD ＝5，AE ＝4．（1）求CE 的长；（2）求AB 的长．【答案】（1）CE＝83；（2）AB＝253．【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理列出比例式求出AC即可解决问题；（2）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，然后代入数据计算即可．【详解】解：（1）、FE、CD，、AEAC＝AFAD，即4AC＝35，解得，AC＝203，则CE＝AC﹣AE＝203﹣4＝83；（2）、DE、BC，、ADAB＝AEAC，即5AB＝4203，解得，AB＝253．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．23．如图，在、ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，、AED=、B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且AD DF AC CG=．（1）求证：、ADF、、ACG；（2）若12ADAC=，求AFFG的值．【答案】(1)证明见解析；（2、1.【解析】（1）欲证明、ADF、、ACG，由可知，只要证明、ADF=、C即可．（2）利用相似三角形的性质得到，由此即可证明．【解答】（1）证明：、、AED=、B，、DAE=、DAE，、、ADF=、C，、，、、ADF、、ACG．（2）解：、、ADF、、ACG，、，又、，、，、1．24．已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．求证：2CF GF EF=⋅．【答案】详见解析【解析】【分析】由平行四边形对边互相平行，可得平行线分线段成比例，得出比例式进行等比代换即可得证.【详解】解：、四边形ABCD 是平行四边形，、AD BC ∥，AB CD ∥． 、GF DF CF BF =，CF DF EF BF= 、GF CF CF EF =， 即2CF GF EF =⋅．【点睛】本题考查证明线段乘积关系，由平行线分线段成比例得到比例式是解决本题的关键.25．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点、ABC （顶点是网格线的交点），在建立的平面直角坐标系中，、ABC 绕旋转中心P 逆时针旋转90°后得到、A 1B 1C 1、、1）在图中标示出旋转中心P ，并写出它的坐标；、2）以原点O 为位似中心，将、A 1B 1C 1作位似变换且放大到原来的两倍，得到、A 2B 2C 2，在图中画出、A 2B 2C 2，并写出C 2的坐标．【答案】、1、见解析、P点坐标为（3、1、、、2、作图见解析、C2的坐标为（2、4）或（﹣2、、4、、【解析】【分析】、1）作BB1和AA1的垂直平分线，它们的交点即为P点，然后写出P点坐标；（2）把点A1、B1、C1的横纵坐标都乘以2或-2得到对应点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可得到、A2B2C2、【详解】、、、1）如图，点P为所作，P点坐标为（3、1、、、2）如图，、A2B2C2为所作，C2的坐标为（2、4）或（﹣2、、4、、【点睛】本题考查了位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．26．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE、BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且、AFE=、B（1）求证：、ADF、、DEC；（2）若AB=8，AE的长．【答案】（1）见解析（2）6【解析】【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似、ADF、、DEC.（2）利用、ADF、、DEC，可以求出线段DE的长度；然后在在Rt、ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度.【详解】解：（1）证明：、四边形ABCD是平行四边形，、AB、CD，AD、BC、、C+、B=180°，、ADF=、DEC、、AFD+、AFE=180°，、AFE=、B，、、AFD=、C在、ADF与、DEC中，、、AFD=、C，、ADF=、DEC，、、ADF、、DEC（2）、四边形ABCD是平行四边形，、CD=AB=8．由（1）知、ADF、、DEC，、AD AF DE CD=，、AD CDDE12AF⋅===在Rt、ADE中，由勾股定理得：AE6===27．如图，在菱形ABCD中，60C︒∠=，4AB=,点E是边BC的中点，连接DE,AE.（1）求DE的长；（2）点F为边CD上的一点，连接AF，交DE于点G，连接EF，若DAG FEG∠=∠,、求证：、AGE∽、DGF；、求DF的长.【答案】（1）DE=（2）、详见解析；、1.【解析】【分析】（1）只要证明DE 是等边、DBC 的高即可解决问题；（2）、由、AGD、、EGF ，可得AG DG EG FG=，即可推出AG EG DG FG =又、AGE=、DGF ，即可推出、AGE、、DGF ； 、根据相似求出EF,再根据勾股定理求出FH 的长，再求出CF 即可解决问题.【详解】解：（1）连结BD4604122∵四边形是菱形，∵△是等边三角形∵点是边的中点ABCD CB CD AB C CDB DB DC BC E BC BE EC BC DE BCDE ︒∴===∠=∴∴===∴===∴⊥∴==（2）、DAG FEG AGD EGFAGD EGFAG DG EG FG AG EG DG FGAGE DGFAGE DGF∠=∠∠=∠∴∴=∴=∠=∠∴∵，△∽△又∵△∽△ 、,9030,901222131∵△∽△∵又∵过点作于点在△中，AGE DGF DE BCEAG GDF C AGD EGF AGE DGFGFE ADG DE EF AE E EH DC HRt ECH FH CF FH CH DF CD CF ︒︒︒⊥∴∠=∠=-∠=∠=∠∠=∠∴∠=∠==∴===⊥==∴=+=+=∴=-=【点睛】此题考查菱形的性质、相似三角形的判定和性质、直角三角形30°角性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题，所以中考常考题型．。

第四章测试卷(时间:100分钟 满分:120分)一、选择题(每小题3分，共30分，)题号12345678910答案B C A D B C C C A C1.下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是( )2.在比例尺为1：500000的交通地图上，玉林到灵山的长度约为 23.6cm ，则它的实际长度约为( )A.0.118km B.1.18km C.118km D.1180km3.如图，以A ，B ，C 为顶点的三角形与以D ，E ，F 为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为( )A.2:1B.3:1C.4:3D.3:24.在△ABC 中,D 是AB 中点,E 是AC 中点,若△ADE 的面积是3，则△ABC 的面积是 ( )A.3 B.6 C.9 D.125.如图,在△ABC 中,点D 在AB 边上,过点 D 作DE ∥BC 交AC 于点E,DF ∥AC 交BC 于F,若AE:DF=2:3,则BF:BC 的值是 ( )A. 23 B. 35 C. 12D. 256.如图,在四边形ABCD 中,如果∠ADC=∠BAC,那么下列条件中不能判定△ADC 和△BAC 相似的是 ( )A.∠DAC=∠ABC B. AC 是∠BCD 的平分线 C.AC²=BC ⋅CD D.ADAB =DCAC7. 若△ABC 的各 边都分别扩大到原来的 2 倍，得到△A ₁B ₁C ₁，下列结论正确的是 ( )A.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的对应角不相等 B.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁不一定相似C.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的相似比为1:2 D.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的相似比为2:18.如图,点 E 是▱ABCD 的边 BC 延长线上的一点,AE 和CD 交于点G ，AC 是▱ABCD 的对角线，则图中相似三角形共有 ( )A.2 对B.3 对C.4 对D.5 对9.如图,已知E(-4,2),F(--2,--2),以O 为位似中心,把△EFO 缩小到原来的 12，则点E 的对应点的坐标为( )A.(2,一1)或(-2,1)B.(8,一4)或(一8,4)C.(2,-1)D.(8,-4)10.如图,在正方形 ABCD 中,点 E 、F 分别在边AD 和CD 上,AF ⊥BE,垂足为G,若 AEED =2,则 AGGF 的值为( )A. 45B. 56C.67D.78二、填空题(每小题3分，共15分)11.若△ABC ∽△A'B'C',且相似比为3:5,已知△ABC 的周长为21,则△A'B'C'的周长为 .12.如图是一架梯子的示意图，其中 AA₁‖BB₁‖CC₁‖DD₁,且AB=BC=CD.为使其更稳固，在A ，D ₁间加绑一条安全绳( 线段AD ₁),量得 AE=0.4m,则 AD₁= m13.如图，阳光通过窗口照到室内，在地上留下3m 宽的亮区.已知亮区一边到窗下的墙角的距离CE=7m ，窗口高AB=1.8m,那么窗口底边离地面的高BC 等于 m.14.如图，已知每个小方格的边长均为1，则△ABC 与△CDE 的面积比为 .15.如图,在正方形ABCD 中,E 是BC 的中点,F 是CD 上一点，且 CF =14CD,下列结论:①∠BAE=30°,②△ABE ∽△ECF,③AE ⊥EF,④△ADF ∽△ECF.其中正确的结论是 (填序号).三、解答题(本大题8个小题，共75 分)16.(8分)根据下列条件,判断△ABC 与△A'B'C'是否相似,并说明理由. AB =3,BC =4,AC =5,A 'B '=12,B 'C '=16,C 'A '=2017.(9分)如图,D 是△ABC 的边AC 上的一点,连接BD,已知∠ABD=∠C,BC=6,BD=4,如果△ABD 的面积为4,求△BC D 的面积.18.(9分)在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(1，3)，B(4,1),C(1,1).(1)画出△ABC 关于x 轴成轴对称的△A ₁B ₁C ₁;(2)画出△ABC 以点O 为位似中心,相似比为 1:2的△A ₂B ₂C ₂.19.(9分)如图,四边形ABCD 是菱形,AF ⊥BC 交BD 于E,交 BC 于F.求证: AD 2=12DE ⋅DB.20.(10分)周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸边的一颗大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选择了 B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB 的延长线上选择点 D 竖起标杆DE，使得点 E 与点C、A共线.已知:CB⊥AD,ED⊥AD,测得 BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m，测量示意图如图所示.请根据相关测量信息，求河宽 AB.21.(10分)如图,E是平行四边形ABCD的边 DA 延长线上一点,连结 EC 交AB 于 P.(1)写出图中的三对相似三角形(不添加辅助线)；(2)请在你所写的相似三角形中选一对，说明相似的理由.22.(10分)阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题.角平分线分线段成比例定理：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC,则ABAC =BDCD.下面是这个定理的部分证明过程.证明:如图2,过点C作CE∥DA,交 BA的延长线于点 E⋯任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；(2)如图3,在△ABC中,AD是角平分线,AB=5cm ,AC=4 cm,BC=7 cm.求 BD的长.23.(10分)在矩形 ABCD中,点 E 是对角线AC 上一动点,连接 DE,过点 E 作EF⊥DE 交AB 于点 F.(1)如图1,当DE=DA时,求证:AF=EF;(2)如图2，点E 在运动过程中，DEEF的值是否发生变化?请说明理由.第四章测试卷答案一、选择题1、B2、C3、A4、D5、B6、C7、C8、C9、A 10、C 二、填空题11、35 12、1.2m 13、2.4m 14、4:1 15、②③三、解答题16、解：相似，理由： ∵AB A 'B '=312=14,BC B 'C '=416=14,AC A 'C '=520=14,∴ABA 'B'=BCB 'C '=ACA 'C ',∴ABC ∽A 'B 'C '.17、解:∵∠ABD=∠C,又∠A=∠A,∴△ABD ∽△ACB,S ABD S ACB=(BD CB )2=(46)2=49,18、解：如图所示19、证明:连接AC 交 BD 于点O,∵四边形ABCD 为菱形,∴AC ⊥BD,BO=OD,∵AE ⊥AD,∴△AOD ∽△EAD, ∴AD OD=ED AD,∴A D 2=ED ⋅OD,即 A D 2=12DE ⋅DB.20、解:∵CB ⊥AD,ED ⊥AD, ∴∠CBA =∠EDA =90°.∵∠CAB=∠EAD, ∴ABCOADE,∴AB AD=BC DE,∴AB AB +8.5=11.5,∴AB =17,.∴河宽为17m.21、解:(1)△EAP ∽△CBP,△AEP ∽△DEC,△BCP ∽△DEC.(2)选. △EAPO △CBP,理由如下:在▱ABCD 中AD ∥BC,∴∠EAP=∠B.又∵∠APE=∠BPC,∴△EAP ∽△CBP.22、解:(1)证明:如图2,过点C作CE∥DA,交BA的延长线于点E, ∵CEDA,∴BDCD =BAEA,∠CAD=∠ACE,∠BAD=∠E,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD, ∠ACE=∠E,∴AE=AC,∴ABAC =BDCD；(2)∵AD是角平分线, ∴ABAC =BDCD,AB=5 cm,AC=4 cm,BC=7 cm, C.54=BD7−BD,解得BD=359cm.23、解:(1)证明:如图,连接 DF，在矩形ABCD 中,∠DAF=90°,又∵DE⊥EF,∴∠DEF=90°,∵AD=DE,DF=DF,∴Rt△DAF≌Rt△DEF(HL),∴AF=EF;(2)DEEF 的值不变.如图,过点E作EM⊥AD于点M,过点E 作EN⊥AB 于点 N,∵EM∥CD,EN∥BC,∴EMCD =AEAC,ENBC=AEAC,∴EMEN=CDBC,∵∠DEF=∠MEN=90°,∴∠DEM=∠FEN,又·∴∠DME=∠ENF=90°,∴△DME⊗△FNE,∴DEEF =EMEN,∴DEEF=CDBC,∵CD 与BC 的长度不变, ∴DEFF的长度不变.。

北师版九年级数学上册 第四章图形的相似测试卷题号 一 二 三 总分 得分第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（共10小题，3*10=30）1．如果mn ＝ab ，那么下列比例式中错误的是( ) A.a m ＝n b B.a n ＝m b C.m a ＝n b D.m a ＝b n2．如图，△ABC ∽△DEF ，相似比为12，若BC ＝1，则EF 的长是( )A ．1B ．2C ．3D ．43．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，DE ⊥BC ，那么与△ABC 相似的三角形的个数有( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 边上的点，DE ∥BC ，BE 与CD 相交于点F ，则下列结论一定正确的是( ) A.AD AB ＝AE AC B.DF FC ＝AE EC C.AD DB ＝DE BC D.DF BF ＝EF FC5．某人要在报纸上刊登广告，一块10cm×5cm 的矩形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他应付广告费( ) A ．540元 B ．1080元 C ．1620元 D ．1800元6．如图，点E ，F 的坐标分别为E(－4，2)，F(－1，－1)，以原点O 为位似中心，按相似比12把△EFO 缩小，则E 点的对应点E′的坐标为( ) A ．(2，1) B ．(12，12) C ．(2，－1) D ．(2，－12)7．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为( ) A ．1.25尺 B ．57.5尺 C ．6.25尺 D ．56.5尺8．如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判定△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不正确的是( ) A ．∠ABD ＝∠C B ．∠ADB ＝∠ABC C.AB BD ＝CB CD D.AD AB ＝AB AC9．如图，在△ABC 中，A 、B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(－1，0)．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A′B′C ，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍．设点B 的对应点B′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是( ) A ．－12a B ．－12(a ＋1) C ．－12(a －1) D ．－12(a ＋3)10．如图所示的是一张等腰三角形纸片，底边长18 cm ，底边上的高长18 cm ，现沿底边依次由下往上裁剪宽度均为3 cm 的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( ) A ．第4张 B ．第5张 C ．第6张 D ．第7张第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共8小题，3*8=24）11．若x ∶y ＝1∶2，则x －yx ＋y＝__________．12. 如图，已知AB ∥CD ，若AB CD ＝14，则OAOC＝__________．13．如图，AE ，BD 交于点C ，BA ⊥AE 于点A ，ED ⊥BD 于点D ，若AC ＝4，AB ＝3，CD ＝2，则CE ＝__________．14．如图，测量小玻璃管口径的量具ABC ，AB 的长为10 cm ，AC 被分为60等份．如果小玻璃管口DE 正好对着量具上20等份处(DE ∥AB)，那么小玻璃管口径DE 是__________m.15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为(4，0)，(8，2)，(6，4)．已知△A 1B 1C 1的两个顶点的坐标为(1，3)，(2，5)．若△ABC 与△A 1B 1C 1位似，则△A 1B 1C 1的第三个顶点的坐标为______________．16如图，E 为▱ABCD 的边AB 延长线上的一点，且BE ∶AB ＝2∶3，连接DE 交BC 于点F ，则CF ∶AD ＝____________．17．如图，在▱ABCD 中，点E 是边BC 上的黄金分割点，且BE ＞CE ，AE 与BD 相交于点F ，那么BF ∶FD 的值为________________．18．“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD 长7里，东门点E、南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A 点，则FH＝____________里．三．解答题（共7小题，46分）19．(6分)如图，l1∥l2∥l3，AB＝3，AD＝2，DE＝4，EF＝7.5，求BC，BE的长．20. (6分) 如图，一油桶高1 m，桶内有油，一根木棒长1.2 m，从桶盖的小口处斜插入桶内，一端插到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长为0.48 m，求桶内油面的高度h′.21. (6分)如图，▱ABCD中，AE∶EB＝2∶3，DE交AC于点F.(1)求证：△AEF∽△CDF；(2)求△AEF与△CDF周长之比；22．(6分)九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，如图所示，已知标杆高度CD＝3 m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15 m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6 m，人与标杆CD的水平距离DF＝2 m，则旗杆AB的高度．23．(6分)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，点G在AD上，过G作BC的平行线分别与AB，AC交于P，Q两点，过点P作PE⊥BC于点E，过点Q作QF⊥BC于点F，设AD＝80，BC＝120，当四边形PEFQ为正方形时，试求出正方形的边长．24．(8分)如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED，点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点F.(1)求证：四边形ABCD是正方形；(2)当AE＝2EF时，判断FG与EF有何数量关系？并证明你的结论．25．(8分)晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点(距N点5块地砖长)时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点(距N点9块地砖长)时，其影长BF恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ.请你根据以上信息，求出小军身高BE的长．(结果精确到0.01米)参考答案 1-5 CBDAC 6-10CBCDB 11. －1312. 1413. 5214.20315. (3，4)或(0，4) 16. 3∶5 17.5－1218. 1.0519. 解：∵l 1∥l 2∥l 3，∴FB BE ＝AB BC ＝ADDE ，即BF BE ＝3BC ＝24，∴BC ＝6，BF ＝12BE ， ∴EF ＝12BE ＋BE ＝7.5，∴BE ＝520. 解：∵CD ∥BE ，∴△ACD ∽△ABE ， ∴AC AB ＝ADAE ，∴1.2－0.481.2＝1－h′1， ∴h′＝0.4 m答：桶内油面的高度是0.4 m.21. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ∥AB ， ∴∠CDF ＝∠FEA ，∠DCA ＝∠FAE ，∴△AEF ∽△CDF (2)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ＝AB. 又∵AE ∶EB ＝2∶3，∴可设AE ＝2λ，则BE ＝3λ，DC ＝5λ. ∵△AEF ∽△CDF ，∴C △AEF C △CDF ＝AE DC ＝2λ5λ＝2522. 解：∵CD ⊥FB ，∴AB ⊥FB ，∴CD ∥AB ， ∴△CGE ∽△AHE ，∴CG AH ＝EG EH， 即：CD －EF AH ＝FD FD ＋BD ，∴3－1.6AH ＝22＋15， ∴AH ＝11.9，∴AB ＝AH ＋HB ＝AH ＋EF ＝11.9＋1.6＝13.5(m) 答：旗杆AB 的高度是13.5m.23. 解：设正方形的边长为x ，则PQ ＝PE ＝x. ∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°.∵PQ ∥BC ，∴∠AGP ＝90°，∴AG ⊥PQ.又∵PQ ∥BC ，PE ⊥BC ，∴GD ＝PE ＝x ，AG ＝AD －GD ＝80－x. ∵PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC ，∴PQ BC ＝AG AD ，∴x 120＝80－x 80， 解得x ＝48，答：正方形的边长为4824. (1)证明：易证△ABE ≌△CBE ，∴AB ＝BC ，∴四边形ABCD 是正方形 (2)解：当AE ＝2EF 时，FG ＝3EF.证明如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴△ABE ∽△FDE ，△ADE ∽△GBE. ∵AE ＝2EF ，∴BE ∶DE ＝AE ∶EF ＝2.∴BG ∶AD ＝BE ∶DE ＝2，即BG ＝2AD. ∵BC ＝AD ，∴CG ＝AD.易证△ADF ∽△GCF ，∴FG ＝AF ，即FG ＝AF ＝AE ＋EF ＝3EF 25. 解：由题意得：∠CAD ＝∠MND ＝90°，∠CDA ＝∠MDN ，∴△CAD∽△MND，∴CAMN＝ADND，∴1.6MN＝1×0.8（5＋1）×0.8，∴MN＝9.6，又∵∠EBF＝∠MNF＝90°，∠EFB＝∠MFN，∴△EFB∽△MFN，∴EBMN＝BFNF，∴EB9.6＝2×0.8（2＋9）×0.8，∴EB≈1.75，答：小军身高约为1.75米1、生活不相信眼泪，眼泪并不代表软弱。

2020-2021学年九年级数学北师大版上册第4章图形的相似单元测试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABCC．AP ABAB AC=D．AB ACBP CB=2．如图，在ABC△中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是( )A．DF AEFC AC=B．AD ECAB AC=C．AD DEDB BC=D．DF EFBF FC=3．如图是一个照相机成像的示意图，如果底片AB宽40mm，焦距是60mm，所拍摄的2m外的景物的宽CD为（）A．1?2m B．3m C．32m D．43m4．如图：把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC面积的一半，若，则此三角形移动的距离AA′是（）A -1B ．2C ．1D ．125．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE ⊥AC 于点F ，连接DF ，下列四个结论：①△AEF ∽△CAB ；②CF ＝2AF ；③DF ＝DC ；④S 四边形CDEF ＝52S △ABF .其中正确的结论有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 6．观察下列每组图形，相似图形是( )A ．AB ．BC ．CD ．D7．如果两个相似三角形对应边中线之比是1∶4，那么它们的对应高之比是（ ） A ．1∶2 B ．1∶4 C ．1∶8 D ．1∶168．如图，l 1∥l 2∥l 3，直线a ，b 与l 1，l 2，l 3分别相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，若23AB BC ，DE=4，则DF 的长是（ ）A ．203B ．83C ．10D ．69．如图，在平行四边形ABCD 中，EF ∥AB 交AD 于E ，交BD 于F ，DE ：EA=3：4，EF=3，则CD 的长为（ ）A ．4B ．7C ．3D ．1210．如图，在直角坐标系中，有两点A (6，3)、B (6，0)．以原点O 为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB 缩小后得到线段CD ，则点C 的坐标为（ ）A ．(2，1)B ．(2，0)C ．(3，3)D ．(3，1)二、填空题11．如果四条线段m ，n ，x ，y 成比例，若m ＝2，n ＝8，y ＝20，则线段x 的长为________.12．两个相似三角形的面积比为1∶4，则它们的周长之比_________. 13． 若345a b c ==，则2a bc-＝__________. 14． 如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，点D 在边AB 上，且∠ACD ＝∠B ，则线段AD 的长为_________．15．相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形，叫做黄金矩形，从外形看，它最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那么相邻一条边的边长等于________厘米．16． 如图，若△ADE ∽△ACB ，且23ADAC ,若四边形BCED 的面积是2，则△ADE 的面积是_________．17．如图，身高为1.7 m 的小明AB 站在河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD 的高度，CD 在水中的倒影为C ′D ，A ，E ，C ′在一条线上．已知河BD 的宽度为12 m ，BE ＝3 m ，则树CD 的高为___________.18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的各顶点坐标为A （－1，1），B （2，3），C （0，3）．现以坐标原点为位似中心，作△A ′B ′C ′，使△A ′B ′C ′与△ABC 的位似比为23．则点A 的对应点A ′的坐标为________．19．如图所示，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF 来测量操场旗杆AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点A 在同一直线上，已知0.5DE =米，0.25EF =米，目测点D 到地面的距离1.5DG =米，到旗杆水平的距离20DC =米，则旗杆的高度为__________米．三、解答题 20．已知234a b c==≠0，2a －b ＋c ＝10，求a ，b ，c 的值． 21． 图中的两个多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1相似(各字母已按对应关系排列)，∠A ＝∠D 1＝135°，∠B ＝∠E 1＝120°，∠C 1＝95°. (1)求∠F 的度数；(2)如果多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1的相似比是1：1.5，且CD ＝15cm ，求C 1D 1的长度．22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2）．（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；（2）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出C2点坐标；（3）如果点D（a，b）在线段AB上，请直接写出经过（2）的变化后D的对应点D2的坐标．23．如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连结BD并延长与CE交于点E（1）求证：△ABD∽△CED（2）若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．24．如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，BD＝AD＝AC，AD 与CE相交于点F，AE2＝EF·EC.(1)求证：∠ADC＝∠DCE＋∠EAF；(2)求证：AF·AD＝AB·EF.25．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．动点M从点B出发，在BA 边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0＜t＜103），连接MN．（1）若△BMN与△ABC相似，求t的值；（2）连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．参考答案1．D【解析】试题分析：A．当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；B．当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；C．当AP ABAB AC=时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．故选D．考点：相似三角形的判定．2．A【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理逐项分析即可. 【详解】A.∵DE BC，∴DF DEFC BC=，AE DEAC BC=，∴DF AEFC AC=，故A正确；B. ∵DE BC，∴AD AEAB AC=，故B不正确；C. ∵DE BC，∴AD DEAB BC=，故C不正确；D. ∵DE BC，∴DF EFCF BF=，故D不正确；故选A.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例.推论：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.3．D【解析】【分析】由题意可知△AEB∽△DEC，利用相似三角形的性质：对应高之比等于相似比即可求出宽CD的长．【详解】∵AB∥CD，∴△AEB∽△DEC，∴ABCD=602000，∴403100 CD=，∴CD=4m3，故选D．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟知相似三角形对应高之比等于相似比是解本题的关键. 4．A【解析】试题解析：设BC与A′C′交于点E，由平移的性质知，AC∥A′C′∴△BEA′∽△BCA∴S△BEA′：S△BCA=A′B2：AB2=1：2∵∴A′B=1∴AA′=AB--1故选A．考点：1.相似三角形的判定与性质；2.平移的性质． 5．A【解析】试题分析：根据AE ∥BC 可得：△AEF ∽△CBF ，根据题意可知△CBF ∽△CAB ，则△AEF ∽△CAB ，则①正确；根据相似可得：12AE AF BC CF ==，即CF=2AF ，则②正确；根据角度之间的关系我们可以得出∠DFC=∠DCF ，从而得出DF=DC ，即③正确；根据相似三角形的边长之比得出△ABF 和△DFC 的比值，从而得出四边形CDEF 和△ABF 的面积之比，则④正确，故本题选A ． 6．D 【解析】试题解析：如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么这两个图形相似. 故选D. 7．B【解析】试题分析：两个相似三角形的中线之比、高线之比，角平分线之比都等于相似比，面积之比等于相似比的平方，故本题选B ． 8．C 【解析】 试题解析：123,l l l2,3DE AB EF BC ∴== 又DE =4， ∴EF =6，∴DF =DE +EF =10， 故选C. 9．B 【解析】试题分析：∵DE ：EA=3：4，∴DE ：DA=3：7，∵EF ∥AB ，∴DE EF DA AB=，∵EF=3，∴337AB =，解得：AB=7，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD=AB=7．故选B ． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质． 10．A 【分析】根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是13，根据已知数据可以求出点C的坐标．【详解】由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是13，∴OD DC OB AB=，又OB=6，AB=3，∴OD=2，CD=1，∴点C的坐标为：（2，1），故选A．【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．11．5【详解】解：根据题意可知m:n=x:y，即2:8=x：20，解得：x=5．故答案为：512．1∶2【解析】试题分析：两个相似三角形的周长之比相似比，相似三角形的面积之比等于相似比的平方，则根据题意可知：它们的周长之比为1:2．13．2 5【解析】试题分析：设a=3k，则b=4k，c=5k，则原式=64k22 555k kk k-==．14．9 5【解析】试题分析：∵∠A=∠A，∠ACD=∠B，∴△ABC∽△ACD，∴AB ACAC AD=，∵AB=5，AC=3，∴533AD=，∴AD=95．故答案为95．考点：相似三角形的判定与性质．15．12．36．【解析】试题分析：黄金分割即较大部分与较小部分之比值为1∶0.618，该矩形的较长边是20cm，那么较小边x是1200.618x=，解得x=0.618×20=12.36.考点：黄金分割比例点评：该题主要考查学生对黄金分割的意义，比值的熟记程度，同时提高学生明白数学在审美中的应用。

【浙教版】九年级数学上册第四章相似三⾓形培优训练卷（含答案）第四章相似三⾓形单元培优训练卷⼀.选择题（共10⼩题，每⼩题3分，满分30分）1.如图，在边长为9的正三⾓形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为（）A.4B.5C.6D.7(第1题) (第2题) 2.如图，点D在△ABC的边AC上，添加下列⼀个条件仍不能判断△ADB与△ABC相似的是（）A.∠ABD=∠CB.∠ADB=∠ABCC.BC2=CD?ACD.AB2=AD?AC3.如图，在平⾯直⾓坐标系中，已知点A（―3，6）.B（―9，⼀3），以原点O为位似中⼼，相似⽐为13，把△ABO缩⼩，则点A的对应点A′的坐标是（）A.（―1，2）B.（―9，18）C.（―9，18）或（9，―18）D.（―1，2）或（1，―2）xy(-9，-3)(-3，6)第8题图B A O4.如图，在△中，点分别是的中点，则下列结论：①；②△∽△ABAEAD.其中正确的有（）A.3个B.2个C.1个D.0个 5.如图，在△中，∠的垂直平分线交的延长线于点，则的长为（）A. 23B. 67C.625D.2 6.如图，在平⾏四边形ABCD 中，E 为CD 上⼀点，DE ：CE =2： 3，连结AE ，BD 交于点F ，则S △DEF ：S △ADF ：S △ABF 等于( ) A.2：3：5 B.4：9：25 C.4：10：25 D.2：5：25第10题图F EDA(第6题) (第7题) (第8题)7.如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂⾜为点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF ＝2AF；③DF＝DC；④tan∠CAD＝ 2.其中正确的结论有( )A.4个B.3个C.2个D.1个8.如图，在RtΔABC中，AF是斜边上的⾼线，且BD=DC=FC=1，则AC的长为（）A. 32B. 39.如图1，在等腰三⾓形ABC中，AB=AC=4，BC=7.如图2，在底边BC上取⼀点D，连结AD，使得∠DAC=∠AC D.如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABE D.则BE的长是（）A.4B.C.3D.210.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4.△A1B1C1.△A2B2C2.△A3B3C3.….△A n B n C n是n个相同的等腰直⾓三⾓形，其直⾓顶点C1.C2.C3.….C n都在CB边上，点A1在AC上，A2C2经过点B1且平⾏于A1C1，A3C3经过点B2且平⾏于A2C2，…，A n C n过点B n﹣1且平⾏于A n﹣1C n﹣1，且A1C=2CC1.当n=7时，点B7正好落在AB边，则这个⼩的等腰直⾓三⾓形的直⾓边长为（）A. B. C. D.(第10题) (第11题)⼆、填空题（共6⼩题，每⼩题4分，满分24分）11.如图是重叠的两个直⾓三⾓形，将其中⼀个直⾓三⾓形沿BC⽅向平移得到△DEF.若AB=8，BE=6，DP=4，则图中阴影部分的⾯积为 .12.如图，△ABC是等边三⾓形，CE是外⾓平分线，点D在AC上，连接BD并延长交CE于点E，若AB=6，AD=2CD，则BE的长为 .(第12题) (第13题)13.如图，点M 是△ABC 内﹣点，过点M 分别作直线平⾏于△ABC的各边，所形成的三个⼩三⾓形△1.△2.△3（图中阴影部分）的⾯积分别是1，4，9.则△ABC 的⾯积是 . 14.如图，在Rt△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＞AB ，点D在BC 上，以AC 为对⾓线的所有平⾏四边形ADCE 中，DE 的最⼩值是_____________.第14题图EOBA CD(第14题) (第15题)15.如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，BE 平分∠ABC 交CD 于E ，且BE⊥CD，CE ：ED=2：1.如果△BEC 的⾯积为2，那么四边形ABED 的⾯积是_______.16.设△ABC 的⾯积为1，如图①将边BC .AC 分别2等份，1BE .1AD 相交于点O ，△AOB 的⾯积记为1S ；如图②将边BC .AC分别3等份，1BE .1AD 相交于点O ，△AOB 的⾯积记为2S ；……，依此类推，则n S 可表⽰为 .(⽤含n 的代数式表⽰，其中n 为正整数)三.解答题（本题有7个⼩题，共66分）解答应写出证明过程或推演步骤.17.已知，如图，A（0.8），B（4，0），D是AB的中点，过D 点作直线与△AOB的⼀边交于点E，直线DE截△ADO得到的⼩三⾓形与△ABO相似，求满⾜题意的E点的坐标.18.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD 相交于点E，且DC2=CE?C A.（1）求证：BC=CD；（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB=OB，CD=2，求⊙O 的半径.19.如图，在△ABC中，⼰知AB=AC=5，BC=6，且将△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在⼀起，△ABC不动，△DEF运动，并满⾜：点E在边BC上沿B到C的⽅向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点.（1）求证：△ABE∽△ECM；（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三⾓形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；（3）当点E运动到什么位置时，线段AM最短？并求出此时AM的值.（直接写出答案）20.如图，点M.N是边长为4的正△ABC边AB.AC上的动点，且满⾜：将△AMN沿MN折叠，使A点恰好落在BC边上的D点处.（1）求证：△BDM∽△CND；（2）若BD：CD=2：3，试求AM：AN的值；21.问题提出：数学课本上有这样⼀道题⽬：如图①，⼀块材料的形状是锐⾓三⾓形ABC，边BC=120mm，⾼AD=80mm.把它加⼯成正⽅形零件，使正⽅形的⼀边在BC上，其余两个顶点分别在AB.AC上，这个正⽅形零件的边长是多少？初步思考：（1）试计算出正⽅形零件的边长；深⼊探究：（2）李华同学通过探究发现如果要把△ABC按照图②加⼯成三个相同⼤⼩的正⽅形零件，△ABC的边BC与⾼AD需要满⾜⼀定的数量关系.则这⼀数量关系是：AD=BC.（直接写出结论，不⽤说明理由）；（3）若△ABC可以按照图③加⼯成四个⼤⼩相同的正⽅形，且∠B=30°，求证：AB=B C.22.如图1，△ABC是等腰直⾓三⾓形，∠BAC＝90°，AB＝AC，四边形ADEF是正⽅形，点B.C分别在边AD.AF上，此时BD ＝CF，BD⊥CF成⽴.(1)当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD＝CF成⽴吗？若成⽴，请证明；若不成⽴，请说明理由.(2)当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长DB交CF于点H.①求证：BD⊥CF；②当AB＝2，AD＝32时，求线段DH的长.23.在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D是△ABC内部或BC边上的⼀个动点（与B.C不重合），以D为顶点作△DEF，使△DEF∽△ABC（相似⽐k＞1），EF∥B C.（1）求∠D的度数；（2）若两三⾓形重叠部分的形状始终是四边形AGDH.①如图1，连接GH.AD，当GH⊥AD时，请判断四边形AGDH的形状，并证明；②当四边形AGDH的⾯积最⼤时，过A作AP⊥EF于P，且AP=AD，求k的值.24.数学活动课上，某学习⼩组对有⼀内⾓为120°的平⾏四边形ABCD（∠BAD=120°）进⾏探究：将⼀块含60°的直⾓三⾓板如图放置在平⾏四边形ABCD所在平⾯内旋转，且60°⾓的顶点始终与点C重合，较短的直⾓边和斜边所在的两直线分别交线段AB，AD于点E，F（不包括线段的端点）.（1）初步尝试如图1，若AD=AB，求证：①△BCE≌△ACF，②AE+AF=AC；（2）类⽐发现如图2，若AD=2AB，过点C作CH⊥AD于点H，求证：AE=2FH；（3）深⼊探究如图3，若AD=3AB，探究得：的值为常数t，则t= .参考答案⼀.选择题（共10⼩题，每⼩题3分，满分30分）2.如图，点D在△ABC的边AC上，添加下列⼀个条件仍不能判断△ADB与△ABC相似的是（）A.∠ABD=∠CB.∠ADB=∠ABCC.BC2=CD?ACD.AB2=AD?AC【解答】解：∵∠A是公共⾓，∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两⾓对应相等的三⾓形相似）；故A与B正确；当=，即AB2=AC?AD时，△ADB∽△ABC（两组对应边的⽐相等且夹⾓对应相等的两个三⾓形相似）；故D正确；当=，即BC2=CD?AC时，∠A不是夹⾓，故不能判定△ADB 与△ABC相似，故C错误.故选C.3.如图，在平⾯直⾓坐标系中，已知点A（―3，6）.B（―9，⼀3），以原点O为位似中⼼，相似⽐为13，把△ABO缩⼩，则点A的对应点A′的坐标是（）A.（―1，2）B.（―9，18）C.（―9，18）或（9，―18）D.（―1，2）或（1，―2）xy(-9，-3)(-3，6)第8题答案图EDB''B'A''A'B A Oxy(-9，-3)(-3，6)第8题图B A O【解析】⽅法⼀：∵△ABO 和△A ′B ′O 关于原点位似，∴△ ABO ∽△A ′B ′O 且OA ′OA ＝13.∴A ′E AD ＝OE OD ＝13. ∴A ′E ＝13AD ＝2，OE ＝13OD ＝1.∴A ′（－1,2）.同理可得A ′′（1,―2）.⽅法⼆：∵点A （―3，6）且相似⽐为13，∴点A 的对应点A ′的坐标是（―3×13，6×13），∴A ′（－1,2）.∵点A ′′和点A ′（－1,2）关于原点O 对称，∴A ′′（1,―2）. 故选择D. 4.如图，在△中，点分别是的中点，则下列结论：①；②△∽△；③ACAB AEAD =.其中正确的有（）A.3个B.2个C.1个D.0个【解答】解：因为点分别是的中点，所以是△的中位线.由中位线的性质可推出①②③全部正确. 故选A 5.如图，在△中，∠的垂直平分线交的延长线于点，则的长为（）A. 23B. 67 C.625D.2 【解答】解：在△中，∠由勾股定理得因为所以25. ⼜因为所以△∽△所以BCBD AB BE =，所以625=?=BC AB BD BE ，所以673625=-. 故选B6.如图，在平⾏四边形ABCD 中，E 为CD 上⼀点，DE ：CE =2：3，连结AE ，BD 交于点F ，则S △DEF ：S △ADF ：S △ABF 等于( )A.2：3：5B.4：9：25C.4：10：25D.2：5：25【解答】解：∵四边形ABCD是平⾏四边形，∴DC=AB，DC∥AB，∵DE：CE=2：3，∴DE：AB=2：5，∵DC∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴=（）2=，==，∴===（等⾼的三⾓形的⾯积之⽐等于对应边之⽐），∴S△DEF：S△ADF：S△ABF等于4：10：25，故选C.7.如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂⾜为点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF ＝2AF；③DF＝DC；④tan∠CAD＝ 2.其中正确的结论有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个第10题图DA【解析】∵矩形ABCD 中，∴AD ∥BC .∴△AEF ∽△CAB …............①正确；∵△AEF ∽△CAB ，∴AF CF ＝AE BC ＝12，∴CF ＝2AF …………………②正确；过点D 作DH ⊥AC 于点H .易证△ABF ≌△CDH (AAS ).∴AF ＝CH .∵EF ∥DH ,∴AF FH ＝AEED＝1.∴AF ＝FH .∴FH ＝CH .∴DH 垂直平分CF .∴DF ＝DC . …………③正确；第10题答案图DA设EF ＝1，则BF ＝2.∵△ABF ∽△EAF .∴AF EF ＝BFAF.∴AF ＝EF ?BF＝1×2＝ 2.∴tan∠ABF ＝AF BF ＝22.∵∠CAD ＝∠ABF ，∴tan∠CAD ＝tan∠ABF ＝22.…………④错误.故选择B.8.如图，在RtΔABC 中，AF 是斜边上的⾼线，且BD =DC =FC =1，则AC 的长为（）A. 32B. 3C. 2D. 33 【解答】解：在Rt △ADB 中，∵BD =1，∴由勾股定理得2AB 1x =-∵DC =FC =1，∴△DCB 是等腰三⾓形。

第四章 图形的相似第Ⅰ卷 (选择题 共30分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列各组中的四条线段是成比例线段的是( )A ．1 cm ，2 cm ，20 cm ，40 cmB ．1 cm ，2 cm ，3 cm ，4 cmC ．6 cm ，4 cm ，1 cm ，3 cmD ．5 cm ，10 cm ，15 cm ，20 cm2．如图1，两条直线分别被三条平行直线l 1，l 2，l 3所截，若AB ＝3，BC ＝6，DE ＝2，则DF 的长为( )图1A ．4B ．5C ．6D ．73．若a b ＝35，则a ＋b b的值是( )A.58B.35C.85D.324．如图2，△ABC 中，AC ＝BC ，在边AB 上截取AD ＝AC ，连接CD ，若点D 恰好是线段AB 的一个黄金分割点，则∠A 的度数是( )图2A．22.5° B．30° C．36° D．45°5．如图3所示，将△ABO的三边分别扩大为原来的2倍得到△A1B1C1(顶点均在格点上)，它们是以点P为位似中心的位似图形，则点P的坐标是( )A．(－4，－3) B．(－3，－3) C．(－4，－4) D．(－3，－4)图36．如图4，已知矩形ABCD，AB＝2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使点B落在AD上的点F处，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD的长为( )图4A. 5B.5＋1 C．4 D．2 37．在小孔成像问题中，光线穿过小孔，在屏幕上形成倒立的实像，如图5所示，若点O到AB的距离是18 cm，点O到CD的距离是6 cm，则像CD的长是AB长的( )图5A ．3倍 B.12C.13D ．不知AB 的长度，故无法判断8．为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图6所示的测量方案，把一面很小的镜子水平放置在离树底(B )8.4米的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE ＝3.2米，观察者目高CD ＝1.6米，则树(AB )的高度为( )图6A ．4.2米B ．4.8米C ．6.4米D ．16.8米9．如图7，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 与CD 边的中点B ′重合，若AB ＝2，BC ＝3，则△FCB ′与△B ′DG 的面积之比为( )A．9∶4 B．3∶2 C．4∶3 D．16∶9图710．如图8，在△ABC中，AB＝6 cm，AC＝12 cm，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止．点D的运动速度为1 cm/s，点E的运动速度为2 cm/s.如果两点同时运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是( )图8A．3 s或4.8 s B．3 sC．4.5 s D．4.5 s或4.8 s请将选择题答案填入下表：题号12345678910总分答案第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(每小题3分，共18分)11．如图9，D 是等边三角形ABC 中边AB 上的点，AD ＝2，DB ＝4.现将△ABC 折叠，使得点C 与点D 重合，折痕为EF ，且点E ，F 分别在边AC 和BC 上，则CFCE＝________．图912．如图10，△ABC 中，AB ＝6，DE ∥AC ，将△BDE 绕点B 顺时针旋转得到△BD ′E ′，点D 的对应点D ′落在边BC 上．已知BE ′＝5，D ′C ＝4，则BC 的长为________．图1013．若a b ＝c d ＝e f ＝12，则3a －2c ＋e 3b －2d ＋f(3b －2d ＋f ≠0)＝________．14．如图11所示，Rt △DEF 是由Rt △ABC 沿BC 方向平移得到的，若AB ＝8，BE ＝4，DH ＝3，则△HEC 的面积为________．图1115．如图12，在△ABC 中，AC ＝6，AB ＝4，点D ，A 在直线BC 的同侧，且∠ACD ＝∠B ，CD ＝2，E 是线段BC 延长线上的动点，当△DCE 和△ABC 相似时，线段CE 的长为________．图1216．如图13，直线y ＝12x ＋1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，△BOC 与△B ′O ′C ′是以点A 为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，则点B 的对应点B ′的坐标为________．图13三、解答题(共72分)17．(6分)已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足a ＋43＝b ＋32＝c ＋84，a ＋b ＋c ＝12，试求a ，b ，c 的值，并判断△ABC 的形状．18．(6分)如图14，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别是O(0，0)，A(6，0)，B(3，6)，C(－3，3)．(1)以原点O为位似中心，在点O的异侧画出四边形OABC的位似图形四边形OA1B1C1，使它与四边形OABC的相似比是2∶3；(2)写出点A1，B1，C1的坐标；(3)求四边形OA1B1C1的面积．图1419．(8分)已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB(如图15①)或线段AB的延长线(如图15②)于点P.(1)当点P 在线段AB 上时，求证：△AQP ∽△ABC ；(2)当△PQB 为等腰三角形时，求AP 的长．图1520．(8分)如图16①，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且AD AB ＝AEAC .(1)求证：DE ∥BC ；(2)如图②，在△ABC 中，D 为边AC 上任意一点，连接BD ，取BD 的中点E ，连接CE 并延长CE 交边AB 于点F ，求证：BF AF ＝CDAC；(3)在(2)的条件下，若AB ＝AC ，AF ＝CD ，求BFAF的值．图1621．(10分)如图17是位于陕西省西安市荐福寺内的小雁塔，是中国早期方形密檐式砖塔的典型作品，并作为丝绸之路的一处重要遗址点，被列入《世界遗产名录》．小铭、小希等几位同学想利用一些测量工具和所学的几何知识测量小雁塔的高度，由于观测点与小雁塔底部间的距离不易测量，因此经过研究需要进行两次测量，于是在阳光下，他们首先利用影长进行测量，方法如下：小铭在小雁塔的影子顶端D 处竖直立一根木棒CD ，并测得此时木棒的影长DE ＝2.4米；然后，小希在BD 的延长线上找出一点F ，使得A ，C ，F 三点在同一直线上，并测得DF＝2.5米．已知图中所有点均在同一平面内，木棒高CD＝1.72米，AB⊥BF，CD⊥BF，试根据以上测量数据，求小雁塔的高度AB.图1722．(10分)如图18，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米，点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果点P，Q同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0≤t≤6)．(1)设△POQ的面积为y，求y关于t的函数表达式；(2)当t为何值时，△POQ与△AOB相似？图1823．(12分)如图19，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，D是BC边上的一个动点(不与点B，C重合)，在AC上取一点E，使∠ADE＝30°.(1)求证：△ABD∽△DCE；(2)设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；(3)当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．图1924．(12分)如图20①，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC AB ＝BCAC ，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行研究时，由“黄金分割点”联想到“黄金分割线”，类似给出“黄金分割线”的定义：一条直线将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果S 1S ＝S 2S 1，那么称这条直线为该图形的黄金分割线．(1)如图②，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，∠ACB 的平分线交AB 于点D ，请问直线CD 是不是△ABC 的黄金分割线？并证明你的结论；(2)如图③，在边长为1的正方形ABCD 中，E 是边BC 上一点，若直线AE 是正方形ABCD 的黄金分割线，求BE 的长．图20详解详析1．A2．C [解析] ∵两条直线分别被三条平行直线l 1，l 2，l 3所截，∴AB BC ＝DE EF.∵AB ＝3，BC ＝6，DE ＝2，∴EF ＝4，∴DF ＝DE ＋EF ＝2＋4＝6.故选C.3．C4．C [解析] ∵点D 是线段AB 的一个黄金分割点，∴AD 2＝BD ·AB . ∵AD ＝AC ＝BC ，∴BC 2＝BD ·AB ， 即BC ∶BD ＝AB ∶BC .而∠ABC ＝∠CBD ，∴△BCD ∽△BAC ， ∴∠A ＝∠BCD .设∠A ＝x °，则∠B ＝x °，∠BCD ＝x °， ∴∠ADC ＝∠BCD ＋∠B ＝2x °. 而AC ＝AD ，∴∠ACD ＝∠ADC ＝2x °， ∴x ＋2x ＋2x ＝180，解得x ＝36， 即∠A ＝36°.故选C.5．A6．B [解析] 由折叠知AF ＝AB ＝2，设AD ＝x ，则FD ＝x －2，EF ＝2，∵四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，∴EF FD ＝AD AB ，即2x －2＝x 2，解得x 1＝1＋5，x 2＝1－5(不合题意，舍去)，即AD 的长为5＋1.故选B.7．C [解析] 过点O 作OM ⊥AB 于点M ，交CD 于点N ，如图，则OM ＝18 cm ，ON ＝6 cm.∵AB ∥CD ，∴△ODC ∽△OAB ，∴CD AB ＝ON OM ＝618＝13，即CD 的长是AB 长的13.故选C.8．A [解析] 如图，过点E 作EF ⊥BD 于点E ，则∠1＝∠2.∵∠DEF ＝∠BEF ＝90°，∴∠DEC ＝∠AEB .∵CD ⊥BD ，AB ⊥BD ，∴∠CDE ＝∠ABE ＝90°，∴△CDE ∽△ABE ，∴DE BE ＝CDAB.∵DE ＝3.2米，CD ＝1.6米，BE ＝8.4米，∴3.28.4＝1.6AB，解得AB ＝4.2米． 9．D [解析] 本题运用方程思想，设CF ＝x ， 则BF ＝3－x ，易得CF 2＋CB ′2＝FB ′2，即x 2＋12＝(3－x )2，解得x ＝43.由已知可证得Rt △FCB ′∽Rt△B ′DG ，所以S △FCB ′S △B ′DG ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫CF DB ′2＝169.10．A [解析] 本题运用分类讨论的思想，分△ADE ∽△ABC 和△ADE ∽△ACB 两种情况分别求解．11.54 [解析] ∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，AC ＝BC ＝AB ＝AD ＋DB ＝6.由折叠的性质可知∠EDF ＝∠C ＝60°，EC ＝ED ，FC ＝FD ，∴∠AED ＝∠BDF ， ∴△AED ∽△BDF ，∴DF DE ＝BD ＋DF ＋BF AE ＋AD ＋DE ＝108＝54，∴CF CE ＝DF DE ＝54. 12．2＋34 [解析] 由旋转可得BE ＝BE ′＝5，BD ＝BD ′. ∵D ′C ＝4，∴BD ′＝BC －4，即BD ＝BC －4.∵DE ∥AC ，∴BD BA ＝BE BC ，即BC －46＝5BC，解得BC ＝2＋34(负值已舍)，即BC 的长为2＋34.13.12 [解析] 由a b ＝c d ＝e f ＝12，得a ＝12b ，c ＝12d ，e ＝12f ，所以3a －2c ＋e 3b －2d ＋f ＝1.5b －d ＋0.5f3b －2d ＋f ＝12. 14.503 [解析] 设CE ＝x ，由△CEH ∽△CBA ，得EH AB ＝CE CB ，即8－38＝x x ＋4，∴x ＝203，∴S△HEC＝12×203×5＝503.15.43或3 [解析] ∵∠ACD ＋∠DCE ＝∠B ＋∠A ，∠ACD ＝∠B ，∴∠DCE ＝∠A ，∴∠A 与∠DCE 是对应角，∴△DCE 和△ABC 相似有两种情况：(1)当△BAC ∽△ECD 时，AB CE ＝AC CD ，∴4CE ＝62，∴CE ＝43； (2)当△BAC ∽△DCE 时，AB CD ＝ACCE， ∴42＝6CE，∴CE ＝3. 综上所述，CE 的长为43或3.故答案为：43或3.易错警示△DCE 和△ABC 相似有两种情况，注意不要漏解．16．(4，3)或(－8，－3) [解析] 由直线y ＝12x ＋1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，得点A (－2，0)，点B (0，1)．画△BOC 的位似图形△B ′O ′C ′如图所示．∵△BOC 与△B ′O ′C ′的相似比为1∶3，∴点B ′(x ，3)或(x ，－3)．∵点B ′(x ，3)或(x ，－3)在直线y＝12x ＋1上，∴点B ′的坐标为(4，3)或(－8，－3)． 故答案为(4，3)或(－8，－3)．17．解：设a ＋43＝b ＋32＝c ＋84＝k (k ≠0)，∴a ＝3k －4，b ＝2k －3，c ＝4k －8. ∵a ＋b ＋c ＝12，将a ＝3k －4，b ＝2k －3，c ＝4k －8代入上式， 得3k －4＋2k －3＋4k －8＝12， ∴9k ＝27，即k ＝3. ∴a ＝5，b ＝3，c ＝4.∵b 2＋c 2＝9＋16＝25，a 2＝52＝25， ∴b 2＋c 2＝a 2，∴△ABC 是直角三角形．18．解：(1)如图所示，四边形OA 1B 1C 1即为所求．(2)由图形可得A 1(－4，0)，B 1(－2，－4)，C 1(2，－2)．(3)四边形OA 1B 1C 1的面积为12×2×4＋12×(3＋4)×2＋12×3×2＝14.19．解：(1)证明：∵∠A ＋∠APQ ＝90°，∠A ＋∠C ＝90°， ∴∠APQ ＝∠C . 在△AQP 和△ABC 中， ∵∠APQ ＝∠C ，∠A ＝∠A ， ∴△AQP ∽△ABC .(2)在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，由勾股定理，得AC ＝5. ①当点P 在线段AB 上时． ∵△PQB 为等腰三角形，∴PB ＝PQ . 由(1)可知，△AQP ∽△ABC ，∴PA AC ＝PQBC，即3－PB 5＝PB 4，解得PB ＝43， ∴AP ＝AB －PB ＝3－43＝53；②当点P 在线段AB 的延长线上时． ∵△PQB 为等腰三角形， ∴PB ＝BQ ，∴∠BQP ＝∠P .∵∠BQP ＋∠AQB ＝90°，∠A ＋∠P ＝90°，∴∠AQB ＝∠A ，∴BQ ＝AB ， ∴AB ＝BP ，即B 为线段AP 的中点， ∴AP ＝2AB ＝2×3＝6.综上所述，当△PQB 为等腰三角形时，AP 的长为53或6.20．解：(1)证明：∵∠A ＝∠A ，AD AB ＝AEAC， ∴△ADE ∽△ABC ，∴∠ADE ＝∠B ， ∴DE ∥BC .(2)证明：如图，过点D 作DG ∥AB 交CF 于点G ，则△CDG ∽△CAF ，∴DG AF ＝CD AC.∵E 是BD 的中点，∴BE ＝ED . ∵DG ∥AB ，∴∠FBE ＝∠EDG .在△BEF 和△DEG 中，∠FBE ＝∠EDG ，∠FEB ＝∠GED ，BE ＝ED ，∴△BEF ≌△DEG (ASA)，∴BF ＝DG ，∴BF AF ＝CDAC.(3)由(2)可得BF AF ＝CDAC.∵AB ＝AC ，AF ＝CD ，∴BF AF ＝AFAF ＋BF，∴BF 2＋BF ·AF －AF 2＝0，∴(BF AF)2＋BF AF －1＝0，解得BF AF ＝－1±52，而BE AF >0，∴BF AF ＝5－12.21．解：由题意得∠ABD ＝∠CDE ＝90°， ∠ADB ＝∠CED ，∴△CDE ∽△ABD ，∴CD AB ＝DE BD.∵由题意得∠CDF ＝∠ABF ＝90°，∠CFD ＝∠AFB ，∴△CDF ∽△ABF ，∴CD AB ＝DF BF，∴DE BD ＝DF BF，即2.4BD ＝ 2.5BD ＋2.5，∴BD ＝60， ∴1.72AB ＝2.460，∴AB ＝43. 答：小雁塔的高度AB 是43米．22．解：(1)由题意，得BQ ＝t 厘米，OP ＝t 厘米． 因为OB ＝6厘米， 所以OQ ＝(6－t )厘米．所以y ＝12OP ·OQ ＝12t ·(6－t )＝－12t 2＋3t (0≤t ≤6)． (2)当△POQ 与△AOB 相似时，①若OQ OB ＝OP OA ，即6－t 6＝t 12，解得t ＝4； ②若OQ OA ＝OP OB ，即6－t 12＝t 6，解得t ＝2. 所以当t ＝4或t ＝2时，△POQ 与△AOB 相似．23．解：(1)证明：∵△ABC 是等腰三角形，且∠BAC ＝120°，∴∠B ＝∠C ＝30°. 又∵∠ADE ＝30°，∴∠B ＝∠ADE .又∵∠ADC ＝∠ADE ＋∠EDC ＝∠B ＋∠DAB ，∴∠EDC ＝∠DAB ，∴△ABD ∽△DCE .(2)如图①，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，∵AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，∴∠AFB ＝90°.∵AB ＝2，∠ABF ＝30°，∴AF ＝12AB ＝1， ∴BF ＝3，∴BC ＝2BF ＝23，则CD ＝23－x ，CE ＝2－y .∵△ABD ∽△DCE ，∴AB BD ＝CD CE ，∴2x ＝23－x 2－y ，化简得y ＝12x 2－3x ＋2(0＜x ＜23)．(3)当AD ＝DE 时，如图②，由(1)可知：此时△ABD ∽△DCE ，则AB ＝CD ，即2＝23－x ，x ＝23－2，将其代入y ＝12x 2－3x ＋2，解得y ＝4－23， 即AE ＝4－23；当AE ＝ED 时，如图③，∠EAD ＝∠EDA ＝30°，∠AED ＝120°，∴∠DEC ＝60°，∠EDC ＝90°，则DE ＝12CE ，即y ＝12(2－y )，解得y ＝23，即AE ＝23；当AD ＝AE 时，∠AED ＝∠ADE ＝30°，∠EAD ＝120°，此时点D 与点B 重合，不符合题意，故此种情况不存在．综上，当△ADE 是等腰三角形时，AE 的长为4－23或23. 24．解：(1)直线CD 是△ABC 的黄金分割线．证明：∵AB ＝AC ，∠A ＝36°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝72°.∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠BCD ＝12∠ACB ＝36°， ∴∠BDC ＝72°＝∠B ，∠A ＝∠ACD ，∴BC ＝CD ，AD ＝CD ，∴BC ＝AD .∵∠B ＝∠B ，∠BCD ＝∠A ，∴△BCD ∽△BAC ，∴BD BC ＝BC AB ，∴BD AD ＝AD AB. 又∵S △BCD S △ADC ＝BD AD ，S △ADC S △ABC ＝AD AB， ∴S △BCD S △ADC ＝S △ADC S △ABC， ∴直线CD 是△ABC 的黄金分割线．(2)设BE ＝x ，∵正方形ABCD 的边长为1，∴S △ABE ＝12AB ·BE ＝12x ，S 正方形ABCD ＝12＝1， ∴S 四边形ADCE ＝1－12x . ∵直线AE 是正方形ABCD 的黄金分割线， ∴S △ABES 四边形ADCE ＝S 四边形ADCE S 正方形ABCD， ∴S 四边形ADCE 2＝S △ABE ·S 正方形ABCD ， 即(1－12x )2＝12x ·1， 整理，得x 2－6x ＋4＝0，解得x 1＝3＋5，x 2＝3－ 5.∵E 是边BC 上一点，∴x ＜1，∴x＝3－5，∴BE的长为3－ 5.。

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——高斯2020-2021学年浙教新版九年级上册数学《第4章相似三角形》单元测试卷一．选择题1．点B是线段AC的黄金分割点，且AB＜BC，若AC＝2，则BC的长为（）A．B．C．+1D．﹣12．若两个相似五边形的相似比为3：5，则它们的面积比为（）A．3：5B．5：3C．9：25D．25：93．已知2x＝3y，则下列比例式成立的是（）A．B．C．D．4．如图，△ABO∽△CDO，若BO＝8，DO＝4，CD＝3，则AB的长是（）A．2B．3C．4D．65．设a＞0，b＞0，称为a，b的“调和平均数”，如图，C为线段AB上的点，且AC ＝a，BC＝b，O是AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，如：图中的线段OD的长度是a，b的算术平均数，则长度是a，b的“调和平均数”的线段是（）A．OC B．CE C．DE D．OE6．如图．在平面直角坐标系中，点A、B、C、D的坐标分别为（﹣2，5）、（0，5）、（0，﹣1）、（4，﹣1）．若线段AB和CD是位似图形，位似中心在y轴上，则位似中心的坐标为（）A．（0，1）B．（0，）C．（0，）D．（0，3）7．如图，两条直线被三条平行线所截，AB＝4，BC＝6，DF＝9，则DE的长为（）A．3.2B．3.6C．4D．4.28．已知点E、F分别在△ABC的AB、AC边上，则下列判断正确的是（）A．若△AEF与△ABC相似，则EF∥BCB．若AE×BE＝AF×FC，则△AEF与△ABC相似C．若，则△AEF与△ABC相似D．若AF•BE＝AE•FC，则△AEF与△ABC相似9．如图，某测量工作人员站在地面点B处利用标杆FC测量一旗杆ED的高度．测量人员眼睛处点A与标杆顶端处点F，旗杆顶端处点E在同一直线上，点B，C，D也在同一条直线上．已知此人眼睛到地面距离AB＝1.6米，标杆高FC＝3.2米，且BC＝1米，CD ＝5米，则旗杆的高度为（）A．8.4米B．9.6米C．11.2米D．12.4米10．在坐标系中，已知A（6，0），B（0，8），C（0，﹣2），过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D、C、O为顶点的三角形与△AOB相似，这样的直线一共可以作（）条．A．3B．4C．5D．6二．填空题11．两个三角形的相似比是2：3，那么它们面积的比是．12．已知3a﹣5b＝0，则＝．13．四条线段a、b、c、d成比例，其中a＝3cm，b＝9cm，d＝6cm，则c＝．14．如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽，以AB为长的矩形面积为S2，S1S2（填“＞”或“＝”或“＜”）．15．若两个相似多边形的相似比是2：3，则它们的面积比等于．16．如图，周一某校升国旗时，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子AD刚好在甲的影子AC里边，已知甲身高BC为1.6米，乙身高DE为1.4米，甲的影长AC是6米，则甲、乙同学相距米．17．已知点M是线段AB的黄金分割点，线段AB的长度为12cm，那么较长的线段AM的长是cm．18．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A的坐标为（2，﹣5），若以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1的位似比为2：1，且点A1和点A 不在同一象限内，则点A1的坐标为．19．如图，⊙O的直径AB过的中点A，若∠C＝30°，AB、CD交于点E，连接AC、BD，则＝．20．如图，已知直线l1∥l2∥l3，如果DE：EF＝2：3，AC＝15，那么BC＝．三．解答题21．已知a：b：c＝2：3：5，如果3a﹣b+c＝24，求a，b，c的值．22．如图，点B是线段AC的黄金分割点，且AB＞BC，若AC＝2，求AB、BC的长．23．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若，DE＝6，求EF的长．24．如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，＝，OB＝6，S＝50，△AOC 求：（1）AO的长；（2）求S△BOD25．如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥EC交AB于F，连接FC，求证：△AEF ∽△DCE．26．△ABC是一块直角三角形余料，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，如图将它加工成正方形零件，试说明哪种方法利用率高？（得到的正方形的面积较大）27．两个相似多边形的最长边分别为6cm和8cm，它们的周长之和为56cm，面积之差为28cm2，求较小相似多边形的周长与面积．参考答案与试题解析一．选择题1．解：∵点B是线段AC的黄金分割点，且AB＜BC，∴BC＝AC，∵AC＝2，∴BC＝﹣1．故选：D．2．解：∵两个相似五边形的相似比为3：5，∴它们的面积比为：9：25．故选：C．3．解：A、变成等积式是：xy＝6，故错误；B、变成等积式是：3x＝y，故错误；C、变成等积式是：2x＝3y，故正确；D、变成等积式是：2x＝﹣5y，故错误；故选：C．4．解：∵△ABO∽△CDO，∴，∵BO＝8，DO＝4，CD＝3，∴＝，解得：AB＝6．故选：D．5．解：∵AB是圆的直径，∴∠ADB＝90°，又DC⊥AB，∴CD2＝AC•BC＝ab，∵线段OD的长度是a，b的算术平均数，∴OD＝，∵DC⊥OC，CE⊥OD，∴CD2＝DE•OD，∴DE＝＝＝，∴线段DE的长度是a，b的“调和平均数”，故选：C．6．解：连接AD交BC于E，则点E为位似中心，∵点A、B、C、D的坐标分别为（﹣2，5）、（0，5）、（0，﹣1）、（4，﹣1），∴AB＝2，CD＝4，BC＝6，∵线段AB和CD是位似图形，∴AB∥CD，∴＝，即＝，解得，BE＝2，∴OE＝OB﹣BE＝3，∴位似中心点E的坐标为（0，3），故选：D．7．解：∵AD∥BE∥CF，∴，∴，∵DF＝9，∴DE＝，故选：B．8．解：选项A错误，∵△AEF与△ABC相似，可能是∠AEF＝∠C，推不出EF∥BC．选项B错误，由AE×BE＝AF×FC，推不出△AEF与△ABC相似．选项C错误，由，推不出△AEF与△ABC相似．选项D正确．理由：∵AF•BE＝AE•FC，∴＝，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC．故选：D．9．解：作AH⊥ED交FC于点G，如图所示：∵FC⊥BD，ED⊥BD，AH⊥ED交FC于点G，∴FG∥EH，∵AH⊥ED，BD⊥ED，AB⊥BC，ED⊥BC，∴AH＝BD，AG＝BC，∵AB＝1.6，FC＝3.2，BC＝1，CD＝5，∴FG＝3.2﹣1.6＝1.6，BD＝6，∵FG∥EH，∴，＝解得：EH＝9.6，∴ED＝9.6+1.6＝11.2（m）答：电视塔的高ED是11.2米，故选：C．10．解：若△AOB∽△COD，则＝＝，∴OD＝，则D（，0）或（﹣，0）．若△AOB∽△DOC，则＝＝，∴OD＝，则D（，0）或（﹣，0）．所以可以作出四条直线．故选：B．二．填空题11．解：∵两个三角形的相似比是2：3，∴它们面积的比是（）2＝，故答案为：4：9．12．解：∵3a﹣5b＝0，∴3a＝5b，∴＝；故答案为：．13．解：∵四条线段a、b、c、d成比例，∴＝，∵a＝3cm，b＝9cm，d＝6cm，∴＝，解得：c＝2（cm），故答案为：2cm．14．解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴AP2＝BP×AB，又∵S1＝AP2，S2＝PB×AB，∴S1＝S2．故答案为：＝．15．解：∵两个相似多边形的相似比为2：3，∴它们的面积比＝22：32＝4：9．故答案为：4：916．解：设两个同学相距x米，∵△ADE∽△ACB，∴＝，∴＝，解得：CD＝0.75．故答案为0.75．17．解：∵点M是线段AB的黄金分割点，AM＞BM，∴AM＝AB＝（6﹣6）厘米，故答案为：（6﹣6）．18．解：在同一象限内，∵△ABC与△A′B′C′是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比是2：1，A坐标为（2，﹣5），∴则点A′的坐标为：（1，﹣2.5），不在同一象限内，∵△ABC与△A′B′C′是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比是2：1，A坐标为（2，﹣5），∴则点A′的坐标为：（﹣1，2.5），故答案为：（﹣1，2.5）．19．解：∵⊙O的直径AB过的中点A，∴＝，∴DE＝EC，∵AB是⊙O的直径，∴∠BED＝∠CEA＝90°，∵∠C＝30°，∴∠DCA＝∠DBA＝30°，∴△AEC∽△DEB，∴＝，设DE＝EC＝x，∵∠C＝30°，∴AE＝x，∵∠DBA＝30°，∴BE＝x，∴＝＝；故答案为：．20．解：∵l1∥l2∥l3，∴，∴，∵AC＝15，∴BC＝9，故答案为：9．三．解答题21．解：∵a：b：c＝2：3：5，∴设a＝2t，b＝3t，c＝5t，∵3a﹣b+c＝24，∴6t﹣3t+5t＝24，解得t＝3，∴a＝6，b＝9，c＝15．22．解：∵点B是线段AC的黄金分割点，且AB＞BC，∴AB＝×AC＝﹣1，∴BC＝AC﹣AB＝2﹣（﹣1）＝3﹣．23．解：∵l1∥l2∥l3，∴，∵，DE＝6，∴，∴EF＝9．24．解：（1）∵△OBD∽△OAC，∴＝＝，∵BO＝6，∴AO＝10；（2）∵△OBD∽△OAC，＝，∴＝，＝50，∵S△AOC∴S＝18．△BOD25．证明：∵∠FEC＝90°，∴∠AEF+∠DEC＝90°，∵ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∵∠A+∠AFE+∠AEF＝180°，∴∠AFE+∠AEF＝90°，∴∠DEC＝∠AFE，又∵∠A＝∠D，∴△AEF∽△DCE．26．解：当所截的正方形的边在△ABC的直角边上，如图1，设正方形CDEF边长为x，则DE＝xcm，BD＝BC﹣CD＝（6﹣x）cm，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BCA，∴＝，即＝，解得：x＝（cm），即正方形BDEF边长为cm；当所截的正方形的边在△ABC的斜边上，如图2，作CH⊥AB于H，交MQ于J，则MN∥CH，AB＝＝＝10，∵CH•AB＝AC•BC∴CH＝＝（cm），设正方形MNPQ边长为x，则QM＝x，BJ＝﹣x，∵QM∥AB，∴△CMQ∽△CBA，∴＝，即＝，解得：x＝（cm），即正方形BDEF边长为（cm）；∵＝＞，∴图1利用率高．27．解：设较小相似多边形的周长为x，面积为y，则较大相似多边形的周长为56﹣x，面积28+y，根据题意得＝，＝（）2，解得x＝24，y＝36，所以较小相似多边形的周长为24cm，面积为36cm2．。

北师大版2020九年级数学上册第四章图形的相似自主学习培优测试卷B （附答案详解） 1．如图，D 为ABC ∆的边AB 上一点，,3cm,4cm ABC ACD AD AB ∠=∠==，则AC 长为（ ）A ．12cmB ．23cmC ．3cmD ．2cm2．下列四条线段中，不能成比例的是（ ） A ．a=3，b=6，c=2，d=4 B ．a=1，b=2，c=22，d=4 C ．a=4，b=5，c=8，d=10 D ．a=2，b=3，c=4，d=53．若-x x y ＝2，则xy的值( ) A ．12 B ．32C ．23D ．24．如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，对角线AC 、BD 相交于O ，下面四个结论： ①AOB COD ∽②AOD BOC ∽③::DOCBOAS SDC AB =④AODBOCSS=．其中结论始终正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，要使△ACD ∽△ABC ，需要补充的一个条件是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，梯形ABCD 中，//AD BC ，E 、F 两点分别在AB 、DC 上．若4AE =，6EB =，2DF =，3FC =，且梯形AEFD 与梯形EBCF 相似，则AD 与BC 的长度比为何？（ ）A ．1:2B ．2:3C ．2:5D ．4:97．如图，在平行四边形ABCD 中，点F 在CD 边上，CF ：DF=1：2，则S △CEF ：S △AEB 等于（ ）A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．1：98．在△ABC 中，三条边的长分别为2、3、4，△A′B′C′的两边长分别为1、1.5，要使△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边长应该是( ) A ．2B ．2C ．4D ．229．小明在离路灯底部6m 处测得自己的影子长为1.2m ，小明的身高为1.6m ，那么路灯的高度为（ ） A ．9.6mB ．8mC ．7.2mD ．6m10．用同一张底片洗出两张照片，一张为2寸，另一张为6寸，则这两张照片上的图像的大小比例为( ) A ．13B ．23C ．12D ．不能确定11．如图，若BC ∥DE ，23AB AD =，S △ABC =4，则S △ADE =_____．12．两个相似三角形面积比为2，周长比为K ，则2k=________． 13．已知线段a=4，b=1，如果线段c 是线段a 、b 的比例中项，那么c=_____． 14．如图，90ABC D ∠=∠=，9AC cm =，6BC cm =，则当BD =________cm 时，ABC CDB ∽．15．已知x ，0y ≥满足231x y==，则x y +=________．16．如果0.2m,4cm a b ==，则:a b =______． 17．若345a b c==，则分式222ab bc aca b c -+++=_____．18．一个六边形六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与它相似的六边形的最短边为6，则其周长为________．19．如图1，点D 为直角三角形ABC 的斜边AB 上的中点，DE ⊥AB 交AC 于E, 连EB 、CD ，线段CD 与BF 交于点F.若tanA=12,则CFDF =_____.如图2，点D 为直角三角形ABC 的斜边AB 上的一点，DE ⊥AB 交AC 于E, 连EB 、CD ；线段CD 与BF 交于点F.若13AD DB =，tanA=12，则CFDF =____.20．P 是⊙O 内一点，过点P 作⊙O 的任意一条弦AB ，我们把PA•PB 的值称为点P 关于⊙O 的“幂值”（1）⊙O 的半径为6，OP=4．①如图1，若点P 恰为弦AB 的中点，则点P 关于⊙O 的“幂值”为_____；②判断当弦AB 的位置改变时，点P 关于⊙O 的“幂值”是否为定值，若是定值，证明你的结论；若不是定值，求点P 关于⊙0的“幂值”的取值范围；（2）若⊙O 的半径为r ，OP=d ，请参考（1）的思路，用含r 、d 的式子表示点P 关于⊙O 的“幂值”或“幂值”的取值范围_____；（3）在平面直角坐标系xOy 中，C （1，0），⊙C 的半径为3，若在直线y=3x+b 上存在点P ，使得点P 关于⊙C 的“幂值”为6，请直接写出b 的取值范围_____．21．如图，在方格纸中，点A，D都在格点上，作三角形ABC，使其满足下列条件.（点B，C不与点D重合）（1）在图甲中，作格点等腰△ABC，使AD为△ABC的高线.（2）在图乙中，作格点钝角△ABC，使AD为△ABC的角平分线22．如图(1)，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为坐标原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA=5，OC=4，在OC 边上取一点D，将将纸片沿AD 翻转，使点O 落在BC 边上的点E 处．(1)求D、E 两点的坐标；(2)如图(2)，若AE 上有一动点P（不与A，E 重合），自点A 沿AE 方向向点E 做匀速运动，运动的速度为每秒1 个单位长度，设运动时间为t 秒，过点P作ED 的平行线交AD 于点M，过点M 作AE 平行线交DE 于点N．求四边形PMNE 的面积S 与时间t 之间的函数关系式；当t 取何值时，s 有最大值，最大值是多少？(3)请探究：在(2)的条件下，当t 为何值时，以A，M，E 为顶点的三角形是等腰三角形？23．如图，EG∥BC，GF∥DC，AE＝3，EB＝2，AF＝6，求AD的值．24．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＜AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N，动点P在线段BA上以每秒3cm的速度由点B向点A运动．同时，动点Q在线段AC上由点N向点C运动，且始终保持MQ⊥MP．一个点到终点时两个点同时停止运动，设运动的时间为t秒(t＞0)．(1)求证：△PBM∽△QNM．(2)若∠ABC＝60°，AB＝43cm，①求动点Q的运动速度；②设△APQ的面积为S(cm2)，求S与t的等量关系式(不必写出t的取值范围)．25．如图，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点，以AD为斜边作△ADC，使∠C=90°，∠CAD=∠DAB（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若AB=9，AD=6，求DC的长．26．已知ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且AD AEnBD CE==，CD交BE于O，连AO并延长交BC于F．（1）当12 n=时，求AOOF的值；（2）当1n=时，求证：BF CF=；（3）当n=________时，O为AF中点．27．如图1，我们已经学过：点C将线段AB分成两部分，如果AC BCAB AC=，那么称点C 为线段AB的黄金分割点．某校的数学拓展性课程班，在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果121S SS S=，那么称直线l为该图形的黄金分割线．如图2，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠C的平分线交AB于点D．（1）证明点D是AB边上的黄金分割点；（2）证明直线CD是△ABC的黄金分割线．参考答案1．B【解析】【分析】由ABC ACD∠=∠且∠A=∠A可证△ACD≌△ABC，则通过其比例关系可得：AC2=AD×AB.【详解】∵∠A=∠A，ABC ACD∠=∠∴△ACD≌△ABC，∴AC AB AD AC=,∴AC2=AD×AB=3×4=12∴AC=23cm故选择B.【点睛】本题考察了“有两角对应相等的三角形相似”的判定方法及相似三角形的性质. 2．D【解析】试题解析：A、2×6=3×4，能成比例；B、4×1=2×22，能成比例；C、4×10=5×8，能成比例；D、2×5≠3×4，不能成比例．故选D．3．D【解析】由＝2去分母得，再整理即可得到结果。

《第4章图形的相似》一、选择题1.如图，A, B, C, D, E, G, H, M, N 都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点），要使△DEF 与AABC 相似，则点F 应是G, H, M, N 四点中的（ ）人.曰或” B. G 或H C. M 或N D. G 或M2. AABC 与Z\DEF 的相似比为1： 4,则ZkABC 与Z\DEF 的周长比为（） 4.在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为 1,则新三角形与原三角形相似.乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为 1,则新矩形与原矩形不相似.A. 1： 2B. 1： 3C. 1: 4D. 1： 16则皺（D.如图，在AABC 中，DE/7BC, 3. C.5.如图，Z\ABC 中，P 为AB 上的一点，在下列四个条件中：①ZACP 二ZB ；②ZAPC 二ZACB ； ③AC~AP ・AB ；④AB ・CP 二AP ・CB,能满足ZkAPC 和AACB 相似的条件是（ ）ABCD : S 四边形 A 'B’C'D'二(A. 1： 9B. 1： 3 8.小刚身高1.7m,测得他站立在阳光下的影长为0. 85m,紧接着他把手臂竖直举起，测得影长为1.1m,那么小刚举起手臂超出头顶（）A. 0. 5 mB. 0. 55 mC. 0. 6 mD. 2. 2 mAF1 1 9.如图，在Z\ABC 中，DE//BC,詈二羔则下列结论中正确的是（）UD ZA.两人都对B.两人都不对C.甲对，乙不对D.甲不对，乙对C.②③④D.①②③ 6.如图，在DABCD 中，点E 是边AD 的中点EC 交对角线BD 于点F,则EF ： FC 等于 C. 1： 1D. 1： 2 四边形ABCD 与四边形"B z L D ，位似,0为位似中心,若OA ： 0A' =1： 3,则S 四边形C. 1： 4D. 1： 5 图2( )7.A AE _1 D DE _1 A ——B ——*AC 2 * BC 2△ADE的周长二」AADE的面积二」•A ABC的周长—§D・A ABC的面积10.如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F,且AB二1, CD二3,那么EF的长是( )12. 如果竿二*■二半二k (b+d+fWO),且a+c+e二3 (b+d+f),那么k二・b d f13. 已知一个三角形的三边长分别为6, 8和10,与其相似的一个三角形的最短边长为18,则较小三角形与较大三角形的相似比k二_・14. 在Z\ABC中，AB二12cm, BC=18c叫AC二24cm,另一个与它相似的Z\A‘ B‘ C'的周长为18cm,则Z\A‘ B‘ C各边长分别为__________ ・15. 如图，一束光线从点A (3, 3)出发，经过y轴上点C反射后经过点B (1, 0),则光线从点A到点B经过的路径长为・二、填空题心)17.如图，在Z\ABC 中，DE 〃BC,孚■ AADE 的面积是8,贝IjAABC 的面积为B c18.如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上一点，且BE ： EC 二2： 1, AE 与BD 交于点F,则 AAFD 与四边形DEFC 的面积之比是 ・已知a 、b 、c 是AABC 的三边，且满足岁」且a+b+c 二12，请你探索AABC 的形状.22.如图，AABC 中，CD 是边AB 上的高，且弟二黒.CD D U(1) 求证:AACD^ACBD ；(2) 求ZACB 的大小.三、 解答题19. 已知线段a, b, c, d 成比例，且a 二6dm, b 二3dm, 20.4x _ 3y 1 v 若寺耗的值•21.,求线段C 的长度.c23.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE二ED, DF二*DC,连接EF并延长交BC 的延长线于点G.(1)求证：AABE^ADEF；24.某小区居民筹集资金1600元，计划在两底分别为10m、20m梯形空地上种植种植花木，如图：(1) 他们在AAMD和ABMC地带上种植太阳花，单价为8元/卅，当AAMD地带种满花后(图中阴影部分)，共花了160元，计算种满ABMC地带所需费用.(2) 若其余地带有玫瑰、茉莉两种可供选择，单价分别为12元/卅、10元/a/,应选哪种花木，刚好用完所筹资金？25.如图，已知在AABC和Z\EBD中，詈希普二・(1) 若AABC与AEBD的周长之差为60cm,求这两个三角形的周长.(2) 若AABC与AEBD的面积之和为812cm2,求这两个三角形的面积.C l -------------- BE26.某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B （点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸）・①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB=1.7米；②小明站在原地转动180。