相似三角形的综合应用(培优提高)

相似三角形的应用

【学习目标】

1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算．

2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）．

【知识回顾】

一、相似三角形的性质

（1）对应边的比相等，对应角相等．

（2）相似三角形的周长比等于相似比． （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方．．．．．．

． （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比．

二、相似三角形的应用:

1、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）；

2、利用三角形相似，求线段的长等

3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度．如求河的宽度、求建筑物的高度等．

【典型例题】

例1：如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ， 高AD=80mm ， 要把它加工成矩形零件，使一边在BC 上，其余两个顶点分别在边AB 、AC 上， （1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？ （2）若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？

【同步练习】如图，△ABC 是一块三角形余料，AB=AC=13cm ，BC=10cm ，现在要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在△ABC 的边上，其余两个顶点分别在三角形另外两条边上．试求正方形的边长是多少？

例2：阅读以下文字并解答问题：

在“测量物体的高度” 活动中，某数学兴趣小组的4名同学选择了测量学校里的四棵树的高

A

B

C

Q

M D N

P

E

度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：

小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）． 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．

小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，落在地面上的影长为4.4米．

小明：测得丁树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如图4）．身高是1.6m 的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2m ．

（1）在横线上直接填写甲树的高度为

米． （2）求出乙树的高度（画出示意图）．

（3）请选择丙树的高度为（ ）

A 、6.5米

B 、5.75米

C 、6.05米

D 、7.25米

（4）你能计算出丁树的高度吗？试试看．

【同步练习】如图，有一路灯杆AB(底部B 不能直接到达)，在灯光下，小明在点D 处测得自己的影长DF ＝3m ，沿BD 方向到达点F 处再测得自己得影长FG ＝4m ，如果小明得身高为1.6m ，求路灯杆AB 的高度．

图1 图2

图3

图4

例3：如图，已知AD是△ABC的中线，M是边AC上的一动点，=

CM nAM，BM交AD于N点。

⑴如图①，若1

n=

，则=

AN

ND

。如图②，若2

n=，则=

AN

ND

。

如图③，若3

n=，则=

AN

ND

。

⑵猜想，

AN

ND

与n存在怎样的关系？并证明你的结论。

⑶当n=时，恰有

AN CM

ND AM

=

【同步练习】如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则S△DMN∶S四边形ANME =

例4：如图，在ABC

△中，9010

A BC ABC

∠==

°，，△的面积为25，点D为AB边上的任意一点（D不与A、B重合），过点D作DE BC

∥，交AC于点E．设DE x

=，以DE为折线将ADE

△翻折（使ADE

△落在四边形DBCE所在的平面内），所得的A DE

'

△与梯形DBCE重叠部分的面积记为y．

（1）用x表示ADE

△的面积；

（2）求出05

x

<≤时y与x的函数关系式；

（3）求出510

x

<<时y与x的函数关系式；

（4）当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？

【同步练习】如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D），Q是BC边上的任意一点. 连AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ

B C

A

E

A'

D

B C

A

于F.

（1）求证：△APE∽△ADQ；

（2）设AP的长为x，试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF 取得最大值?最大值为多少?

例5：等腰△ABC，AB=AC=8，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．

（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE～△CFP；

（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．

①探究1：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）

②探究2：连结EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由；

③设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S．