2018春八年级数学下册第2章四边形2.6菱形第2课时习题课件湘教版_119

菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它 的对称轴.
思考
如图，你能利用菱形的性质说明菱形ABCD的面
积 S 1 AC BD 吗？
2
S菱形ABCD =S ACD S ABC ,
D
又AC ⊥ BD（菱形的对角线互相垂直），A
S菱形ABCD
=
1 2
AC
DO
1 2
AC
BO
O B
C
1 AC DO BO
点O作MN⊥BD，分别交AD，BC于点M，N.求证：四边
形BNDM是菱形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
A
M
D
∴AD∥BC，OD=OB.∴∠MDO=∠NBO.
∵MN⊥BD，∴∠MOD=∠NOB=90°.
∴△MOD≌△NOB（ASA）. B
∴MD=NB.又∵ MD∥NB，∴四边形
O C
N
BNDM是平行四边形.
菱形的面积等于两
2
1 AC BD
条对角线长度乘积
2
的一半.
【例】如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD的长度分 别为4 cm，3 cm，求菱形ABCD的面积和周长．
解：菱形ABCD的面积为
D
S 1 4 3 6(cm2). 2
在Rt△ABO中，
AO
C
OA
1 2
AC
2 cm
，OB
1 2
思考
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相
交于点O.对角线AC⊥DB吗？你的理由是什么？ D
∵四边形ABCD是菱形，∴DA=DC.
∴点D在线段AC的垂直平分线上.
又∵O为线段AC的中点，
A
O
C

D
A
O
C
课件在线
4
B
用四支长度相等的圆珠笔（或铅笔）能摆成菱形吗？
四边都相等的四边形是菱形吗？ 是
如图，四边形ABCD的四条边都相等．四边形ABCD是 平行四边形吗？它是菱形吗？为什么？
是
是
根据菱形的定义
D
四条边都相等的四边形是菱形．
A
C
菱形的判定方法：
一组邻边相等的；
四条边都相等的四边形是课件菱在形线 ．
5
如图，直线l1∥l2，A，C分别是l1, l2上的点，使得AC与l1不垂直，线段
AC的垂直平分线与l1，l2，AC分别相交于点B，D，O，连结BC，DA，
试问：四边形 ABCD是菱形吗？为什么？
解 由于l1∥l2，因此∠1＝∠2
B
A
1
l1
由于BD是线段AC的垂直平分线，因此OA＝OC
∴ AB∥CD BC∥AD ∴ 四边形ABCD是平行四边形 又BD⊥AC OC＝OA ∴ BC=BA ∴ 四边形ABCD是菱形
B
A
1
l1
O
2 C
D
l2
课件在线
8
O
又有 ∠BOA＝∠DOC，
2 C
D
l2
所以 △OAB≌△OCD（ASA）
从而 OB＝OD
因此四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）
课件在线
6
1.画一菱形，使它的两条对角线长度分别为4cm,3cm. D
1.5
A
C
2
2
1.5
B
课件在线
7
2.在例2 中，你能用另外一种方法说明四边形ABCD是菱形吗？
D

∴2x+3x= 180°,
解得 x= 36°.
∴ ∠A = ∠C=72°, ∠B= ∠D=108°.
(2)若 ABCD的周长为28cm,AB:BC=3:4,求各边的长度. 解： (2)在平行四边形ABCD中, ∵AB=CD，BC=AD. 又∵AB+BC+CD+AD=28cm, ∴AB+BC= 14cm. ∵AB:BC=3:4,设AB=3ycm,BC=4ycm, ∴3y+4y=14，解得y=2. ∴AB=CD=6cm，BC=AD=8cm.
平行四边形的性质除了对边互相平行以外，还有:
A
D
B
C
平行四边形的对边相等．
平行四边形的对角相等．
动手做一做:剪两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一 起，重合部分构成了一个四边形，转动其中一张纸条， 线段AD和BC的长度有什么关系？为什么？
解：AD和BC的长度相等. 理由如下：由题意知 AB//CD,AD//BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC.
B
FC
∴ △ABE≌ △CDF.
∴BE=DF.
练一练
1.如图，在□ABCD中.
(1)若∠A=130°，则∠B=___5_0_°_ ，∠C=__1_3_0_°_ ， ∠D=___5_0_°_.
(2)若AB=3,BC=5,则它的周长= __1_6___.
(3)若∠A+ ∠C= 200°，则∠A=_1_0_0_°_，∠B=__8_0_°__.
第2章 四边形
八年级数学下（XJ） 教学课件
2.2.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的边、角性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结

∵AC∠B＝AB920°B，C2AB＝626c8m2， 1B0Cc＝m8.cm，
∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm， ∴归四纳边形四A边C形FD的是条菱件形中．存在多个关于边的等量关系 时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较 方便．
例3 如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四
证一证 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,对角线AC 与BD相交于点O ，AC⊥BD. 求证：□ABCD是菱形.
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形.
B
∴OA=OC.
O
又∵AC⊥BD,
A
C
∴BD是线段AC的垂直平分线.
D
∴BA=BC.
∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.
归纳总结
平行四边形的判定定理：
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
(2)解：∵∠BCF＝120°， ∴∠EBC＝60°， ∴△EBC是等边三角形， ∴菱形的边长为4，高为 2 3 ， ∴菱形的面积为4 2 3 8 3 . 归纳 判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选 择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形； 如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以 先尝试证出这个四边形是平行四边形．
B．AC⊥BD
C．AB=CD
D．AB∥CD
三 菱形的性质与判定的综合运用
例6 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点， BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF. (1)求证：四边形BCFE是菱形； (1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE∥BC且2DE＝BC. 又∵BE＝2DE，EF＝BE， ∴EF＝BC，EF∥BC， ∴四边形BCFE是平行四边形． 又∵EF＝BE， ∴四边形BCFE是菱形；

2.6.1
菱形的性质
名师点金
1.菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质.菱形的
性质还有：(1)菱形的每一条对角线平分一组对角；(2)
菱形的四条边相等；(3)菱形是轴对称图形；(4)菱形的
对角线互相垂直.
2.菱形的面积等于两条对角线乘积的一半.
知识点1
菱形的定义及其对称性
1.[2023·福建]如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠B＝60°，
DF＝DE＝2，易证明∠BCF＝∠BFC，得到BF＝
BC＝4，则BD＝6，所以OB＝OD＝3，接着利用
勾股定理计算出OC＝ ，从而得到AC＝2 ，
然后根据菱形的面积公式计算它的面积.
易错点
不会利用对角线所在直线为对称轴这一性质而致错
10. [新考法 最值探究法]如图，点P是边长为1的菱形ABCD的
则AC的长为
10
.
(第1题)
【点拨】
由题意得到AB＝BC，又∠B＝60°，∴△ABC是等边三
角形，∴AC＝AB＝10.
2.[2023·大庆]将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若
∠BAD＝α，∠CBE＝β，则β＝( D )

A.45°＋ α



C.90°－ α

B.45°＋ α



D.90°－ α
＝( B )
(第7题)
A.2

B.

C.3
D.4
【点拨】


由菱形的性质得到OC＝ AC＝3，OB＝ BD＝4，


AC⊥BD，由勾股定理求出BC的长，由直角三角形斜边中线
的性质，即可求出OE的长.
(第7题)

感悟新知
知2－练
方法点拨 证明一个四边形是菱形的方法：
若已知要证的四边形的对角线互相垂直，则要考虑证 明这个四边形是平行四边形，用“对角线互相垂直的平行 四边形是菱形”进行证明 .
感悟新知
知2－练
证明： ∵ CF ∥ BA，∴∠ EAD= ∠ FCD， ∠ AED= ∠ CFD. 又∵ D 是 AC 的中点，∴ AD=CD， ∴△ ADE ≌△ CDF(AAS)，∴ AE=CF. 又∵ AE ∥ CF，∴四边形 AECF 是平行四边形 . 又∵ DE ⊥ AC，∴四边形 AECF 是菱形 .
∴∠ BAD= ∠ ADE，∴ AE=DE，
∴平行四边形 AEDF 是菱形 .
感悟新知
知1－练
特别提醒 在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，首先
判定这个四边形是平行四边形，再证一组邻边相等 .
感悟新知
知1－练
例2
[ 中考·长沙 ] 如图 2.6 － 2，菱形 ABCD 的对角线
AC，BD 相交于点 O，点 E 是边 AB 的中点，若
解题秘方： (1)按照垂直平分线的作法作 图即可； (2)证明△ DEO ≌△ BFO，得到 DE=BF， 根据垂直平分线的性质证四 边相等即可 .
感悟新知
技巧点拨 判定菱形的方法：
知2－练
(1)若用边进行判定： 先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相
等，或直接证明四边形的四条边都相等； (2)若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边
第二章 四边形
2.6 菱形
学习目标
1 课时讲解 菱形的定义及其性质
菱形的判定
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知

△ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO.
B
C
例2 如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形，
求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° .
证明：∵ ΔBEC是等边三角形，
A
D
∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，
E
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，
∴四边形AFBE是正方形．
思考 前面学菱形时我们探究了顺次连接任意四边形各边中点所得的四 边形是平行四边形.顺次连接矩形各边中点能得到菱形，那么顺次连接正 方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？
A
H
A
E 平行四边形
D G
E
B
F
CB
任意四边形
H 菱形
F 矩形
A
H
D
D
G
E 正方形 G
CB
F
C
正方形
当堂练习
第2章 四边形
2.7 正方形
学习目标
1.探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、 矩形、菱形之间的联系和区别；(重点、难点)
2．探索并证明正方形的判定，并了解平行四边形、 矩形、菱形之间的联系和区别；(重点、难点)
3．会运用正方形的性质及判定条件进行有关的论证 和计算 . (难点)
导入新课
情景引入 观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不 在.
（2）解：当点E运动到AC的中点时四边形AFBE是正方
形，
理由：∵点E运动到AC的中点，AB=BC，
∴BE⊥AC，BE=AE= AC， 1
∵AF=AE，
2
∴BE=AF=AE.

• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
。2020年12月16日星期三2020/12/162020/12/162020/12/16
15、会当凌绝顶，一览众山小。2020年12月2020/12/162020/12/162020/12/1612/16/2020
16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2020/12/162020/12/16December 16, 2020
例1、把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，试探
究重叠部分ABCD的形状，并说明理由。
A D
BC
A BE
D
F
C
思考：若例1中，已知∠ABC=600，纸条宽为6厘
米，试求出重叠部分ABCD的面积。 1
2
∵∠AEB=900
∠ABC=600
∴∠BAE=300
∴AB=2BE
23
设BE=x,则AB=2x 2 3
究重叠部分ABCD的形状，并说明理由。
A D
BC
A BE
D
F
C
思考：若例1中，已知∠ABC=600，纸条宽为6厘
米，试求出重叠部分ABCD的面积。

证明： ∵ ∠1= ∠2 , 又∵AE=AC , AD=AD, ∴ △ACD ≌ △AED (SAS) , 同理△ACF ≌△AEF(SAS) . ∴CD=ED , CF=EF.
A
21
F
E
CD
B
又∵EF=ED ,
∴四边形ABCD是菱形（四边相等的四边形是菱形）.
课堂小结
定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
新知探究
议一议：已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形 ABCD,使AB为菱形的一条对角线？
B A
D
小刚：分别以A , C为圆心 , 以大于
1 AC的长为半径作弧 , 两条
2
C
弧分别相较于点B , D,依次
连接A , B , C , D四点.
想一想：1.你是怎么做的,你认为小刚的作法对吗？ 2.怎么验证四边形ABCD是菱形？ 提示：AB = BC平行四边形 是菱形.
定理2：四边相等的四边形是菱形.
运用定理进行计算和证明.
课堂小测
1.下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是（ C ）． A. AC⊥BD , AC与BD互相平分 B. AB=BC=CD=DA C. AB=BC, AD=CD, AC ⊥BD D. AB=CD, AD=BC, AC ⊥BD
于点O ,AC⊥BD.
求证：□ABCD是菱形.
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形.
B
∴OA=OC.
O
又∵AC⊥BD ,
A
C
∴BD是线段AC的垂直平分线 ,
D
∴BA=BC.
∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.
定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
新知探究