《数字信号处理教程》程佩青_课后答案

7.2　课后习题详解7-1 用冲激响应不变法将以下Ha （s ）变换为H （z ），抽样周期为T 。

（1）H a （s ）＝（s ＋a ）/[（s ＋a ）2＋b 2]；（2）H a （s ）＝A/（s －s 0）n0，n 0为任意正整数。

解：（1）冲激响应不变法满足h （n ）＝h a （t ）|t ＝nT ＝h a （nT ），T 为抽样间隔。

这种变换法必须让H a （s ）先用部分分式展开。

由推出由冲激响应不变法可得（2）先引用拉氏变换的结论，可得按且可得可以递推求得7-2 设计一个模拟低通滤波器，要求其通带截止频率f p＝20Hz，其通带最大衰减为R p＝2dB，阻带截止频率为f st＝40Hz，阻带最小衰减为A s＝20dB，采用巴特沃思滤波器，画出滤波器的幅度响应。

解：巴特沃思模拟低通滤波器设计流程为：①利用教程（7-5-24）式求解滤波器阶次N；②利用教程（7-5-27a）式求解3dB截止频率Ωc；③查教程表7-2或表7-4获得归一化巴特沃思低通滤波器的系统函数H an（s）；④将H an（s）根据Ωc的值去归一化求得所需的系统函数H a（s）。

已知Ωp＝2π×20rad/s，Ωst＝2π×40rad/s，R p＝2dB，A s＝20dB。

（1）按给定的参数由教程（7-5-24）式可求得取N＝4。

（2）按教程（7-5-27a）式可求得巴特沃思滤波器3dB处的通带截止频率Ωc为（3）查教程表7-2可得N＝4时归一化巴特沃思低通滤波器H an（s）（4）去归一化，求得所需的H a（s）为滤波器的幅度响应如图7-1所示。

图7-17-3 设计一个模拟高通滤波器，要求其阻带截止频率f st＝30Hz，阻带最小衰减为A s＝25dB，通带截止频率为f p＝50Hz，通带最大衰减为R p＝1dB。

（1）采用巴特沃思滤波器；（2）采用切比雪夫滤波器；（3）利用MATLAB工具箱函数设计椭圆函数滤波器。

第一章 离散时间信号与系统2.任意序列x(n)与δ(n)线性卷积都等于序列本身x(n)，与δ(n-n 0)卷积x(n- n 0),所以（1）结果为h(n) (3)结果h(n-2) （2（4）3 .已知 10,)1()(<<--=-a n u a n h n，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为 )(n h 的线性移不变系统的阶跃响应。

4. 判断下列每个序列是否是周期性的,若是周期性的,试确定其周期：)6()( )( )n 313si n()( )()873cos()( )(ππππ-==-=n j e n x c A n x b n A n x a分析：序列为)cos()(0ψω+=n A n x 或)sin()(0ψω+=n A n x 时，不一定是周期序列，nmm m n n y n - - -∞ = - ⋅ = = ≥ ∑ 2 31 2 5 . 0 ) ( 01当 3 4n m nm m n n y n 2 2 5 . 0 ) ( 1⋅ = = - ≤ ∑ -∞ = - 当 aa a n y n a a an y n n h n x n y a n u a n h n u n x m m nnm mn -==->-==-≤=<<--==∑∑--∞=---∞=--1)(11)(1)(*)()(10,)1()()()(:1时当时当解①当=0/2ωπ整数，则周期为0/2ωπ；②；为为互素的整数）则周期、（有理数当 , 2 0Q Q P QP =ωπ ③当=0/2ωπ无理数 ，则)(n x 不是周期序列。

解：（1）0142/3πω=，周期为14 （2）062/13πω=，周期为6 （2）02/12πωπ=，不是周期的 7.（1）[][]12121212()()()()()()[()()]()()()()[()][()]T x n g n x n T ax n bx n g n ax n bx n g n ax n g n bx n aT x n bT x n =+=+=⨯+⨯=+所以是线性的T[x(n-m)]=g(n)x(n-m) y(n-m)=g(n-m)x(n-m) 两者不相等，所以是移变的y(n)=g(n)x(n) y 和x 括号内相等，所以是因果的。

目　录第1章　离散时间信号与系统1.1　复习笔记1.2　课后习题详解1.3　名校考研真题详解第2章　Z变换与离散时间傅里叶变换（DTFT）2.1　复习笔记2.2　课后习题详解2.3　名校考研真题详解第3章　离散傅里叶变换（DFT）3.1　复习笔记3.2　课后习题详解3.3　名校考研真题详解第4章　快速傅里叶变换（FFT）4.1　复习笔记4.2　课后习题详解4.3　名校考研真题详解第5章　数字滤波器的基本结构5.1　复习笔记5.2　课后习题详解5.3　名校考研真题详解第6章　几种特殊滤波器及简单一、二阶数字滤波器设计6.1　复习笔记6.2　课后习题详解6.3　名校考研真题详解第7章　无限长单位冲激响应（IIR）7.1　复习笔记7.2　课后习题详解7.3　名校考研真题详解第8章　有限长单位冲激响应（FIR）数字滤波器设计方法8.1复习笔记8.2　课后习题详解8.3　名校考研真题详解第9章　序列的抽取与插值——多抽样率数字信号处理基础9.1　复习笔记9.2　课后习题详解9.3　名校考研真题详解第10章　数字信号处理中的有限字长效应10.1　复习笔记10.2　课后习题详解10.3　名校考研真题详解第1章　离散时间信号与系统1.1　复习笔记一、离散时间信号——序列1．序列序列可以有三种表示法。

（1）函数表示法。

例如x（n）＝a n u（n）。

（2）数列的表示法。

例如x（n）＝{...，－5，－3，－l，0，2，7，9，…）本书中，凡用数列表示序列时，都将n=0时x（o）的值用下划线（_）标注，这个例子中有z（－1）＝－3，x（0）＝－l，x（1）＝0，…（3）用图形表示，如图l-1所示。

图1-1 离散时间信号的图形表示2．序列的运算（1）基于对序列幅度x（n）的运算序列的简单运算有①加法；②乘法；③累加；④序列绝对和；⑤序列的能量；⑥平均功率。

（2）基于对n的运算①移位，某序列为x（n）则x（n－m）就是x（n）的移位序列，当m＝正数时，表示序列x（n）逐项依次右移（延时）m位；当m＝负数时，表示序列 x（n）逐项依次左移（超前）m位；②翻褶，若序列为x（n），则x（－n）是以n＝0为对称轴将x（n）序列加以翻褶；③时间尺度变换。

数字信号处理（程佩青）课后习题解答（4）第四章快速傅立叶变换运算需要多少时间。

计算需要多少时间，用，问直拉点的，用它来计算每次复加速度为平均每次复乘需如果一台通用计算机的FFT DFT[x (n)]512s 5 s 50.1μμ 解: 解: ⑴ 直接计算: 复乘所需时间:复加所需时间: ⑵用FFT 计算:复乘所需时间: 复加所需时间:运算一次完成。

点试用一个为了提高运算效率值求今需要从值的点实序列是两个已知IFFT N n y n x k Y k X DFT n y n x N k Y k X ,,)(),()(),(,)(),()(),(.2s N T N 01152.0 512log 105 log 105 2251262261==??=--s T T T sN N T 013824.0 002304.0 512log 512105.0 log 105.0 2126262=+=∴===--sT T T sN N T 441536.1 130816.0 )1512(512105.0 )1(105.0 21662=+=∴=-=-=--s N T 31072.1 512105 105 262 61=??=??=--值的过程。

）（），（完成计算点）可用一次（）（）（综上所述，构造序列）（）（）（）（可得：）（）（）（再根据都是实序列，）（），（由原题可知：）（）（）（）（（）（）（性质：又根据可得序列点作对取序列依据题意解 ]Im[ ]Re[ ][][ ][ ).()( )()()( )()();()( ::n y n x IFFT N k jY k X k Z n z n y n z n x n jy n x n z n y n x n jy n x k Y jIDFT k X IDFT k jY k X IDFT DFT n z IFFT N k Z k jY k Xk Z k Y n y k X n x +===+=+=+=++=??。

第一章 离散时间信号与系统2.任意序列x(n)与δ(n)线性卷积都等于序列本身x(n)，与δ(n-n 0)卷积x(n- n 0),所以（1）结果为h(n) (3)结果h(n-2) （2（4）3 .已知 10,)1()(<<--=-a n u a n h n，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为 )(n h 的线性移不变系统的阶跃响应。

4. 判断下列每个序列是否是周期性的,若是周期性的,试确定其周期：)6()( )( )n 313si n()( )()873cos()( )(ππππ-==-=n j e n x c A n x b n A n x a分析：序列为)cos()(0ψω+=n A n x 或)sin()(0ψω+=n A n x 时，不一定是周期序列，nmm m n n y n - - -∞ = - ⋅ = = ≥ ∑ 2 31 2 5 . 0 ) ( 01当 3 4n m nm m n n y n 2 2 5 . 0 ) ( 1⋅ = = - ≤ ∑ -∞ = - 当 aa a n y n a a an y n n h n x n y a n u a n h n u n x m m nnm mn -==->-==-≤=<<--==∑∑--∞=---∞=--1)(11)(1)(*)()(10,)1()()()(:1时当时当解①当=0/2ωπ整数，则周期为0/2ωπ；②；为为互素的整数）则周期、（有理数当 , 2 0Q Q P QP =ωπ ③当=0/2ωπ无理数 ，则)(n x 不是周期序列。

解：（1）0142/3πω=，周期为14 （2）062/13πω=，周期为6 （2）02/12πωπ=，不是周期的 7.（1）[][]12121212()()()()()()[()()]()()()()[()][()]T x n g n x n T ax n bx n g n ax n bx n g n ax n g n bx n aT x n bT x n =+=+=⨯+⨯=+所以是线性的T[x(n-m)]=g(n)x(n-m) y(n-m)=g(n-m)x(n-m) 两者不相等，所以是移变的y(n)=g(n)x(n) y 和x 括号内相等，所以是因果的。

4.2　课后习题详解4-1 如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘40ns ，每次复加5ns ，用它来计算512点的DFT[x （n ）]，问直接计算需要多少时问?用FFT 运算需要多少时间?若做128点快速卷积运算，问最低抽样频率应是多少?解：①直接利用DFT 计算：复乘次数为N 2，复加次数为N （N-1）。

②利用FFT计算：复乘次数为，复加次数为N㏒2N 。

（1）直接计算复乘所需时间复加所需时间所以（2）用FFT 计算复乘所需时间复加所需时间所以4-2 N ＝16时，画出基-2按频率抽选法的FFT 流图采用输入自然顺序，输出倒位序），统计所需乘法次数（乘±1，乘±j 都不计在内）。

根据任一种流图确定序列x （n ）＝4cos （n π／2）（0≤n ≤15）的DFT 。

解：按频率抽取法的FFT 流图中的复数乘法出现在减法之后，其运算量为复数乘法：；复数加法：；由于N ＝16，有，，，不需要乘法。

按频率抽取，见图4-1（a ）。

图4-1（a ）运算量：复数乘法：由于，，，不需要乘法。

由图P4.2（a ）可知，共有的个数为1＋2＋4＋8＝15有的个数为1＋2＋4＝7所以总的乘法次数为32-15-7＝10（个）复数加法：举例：对序列x （n ）＝4cos （n π／2）（0≤n ≤15）可表示为由于N ＝16，可采用P4.2（b ）的流图。

设Xi （k ）＝（i ＝1，2，3，4）分别为第i 级蝶形结构的输出序列，则由P4.2（b ）的流图可知由于采用的是顺序输入、逆序输出的结构，因此输出X （k ）与X 4（k ）为逆序关系，即，为k 二进制逆序值由此可知，x （n ）的DFT 为X （4）＝X 4（2）＝32，X （12）＝X 4（3）＝12图4-1（b ）4-3 用MATLAB 或C 语言编制以下几个子程序。

（1）蝶形结运算子程序；（2）求二进制倒位序子程序；（3）基-2 DIT FFT 流程图，即迭代次数计算子程序。