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动力学基本定律与质点运动微分方程

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第十一章 动力学基本定律与质点运动微分方程
一、 内容提要
1． 动力学基本定律
（1） 第一定律（惯性定律）：质点如不受外力作用，则保持其运动状态不变，即作匀速直
线运动或者静止。

（2） 第二定律（力与加速度关系定律）：质点受力作用而产生的加速度，其方向与作用力
合力的方向相同，大小与合力的大小成正比，与质点的质量成反比。

（3） 第三定律（作用与反作用定律）：两物体间相互作用的一对力，总是大小相等、方向
相反、且作用在同一条直线上。

2． 质点动力学基本方程： F = m a
3． 质点运动微分方程：
（1） 矢量形式： F dt r d m
=22
（2） 直角坐标形式： ⎪⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬⎫
===z y x F dt z d m F dt y d m F dt x d m 222222
（3） 自然形式： ⎪⎪⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬⎫
===b n F o F v m F dt s d m ρτ222
4． 质点动力学两类问题：
（1） 第一类问题：已知质点的运动，求作用在质点上的力。

（微分问题）
（2） 第二类问题：已知作用在质点上的力，求质点的运动。

（积分问题）
5． 质点相对运动的动力学基本方程：
ma r = F +N+Q e +Q k
其中Q e =-ma e 为牵连惯性力；Q k =-ma k 为科氏惯性力。

二、 基本要求：
1、对质点动力学的基本定律要进一步理解其实质。

2、能正确建立质点的运动微分方程，求解质点动力学的两类问题。

三、典型例题分析：
1.质量m=6Kg 的小球，放在α=300 的光滑斜面上，并用平行于
斜面的软绳将小球固定在图示位置。

若斜面以加速度a= g/3向左运动，
70 求绳中的张力T 及斜面的反力N ，欲使绳中的张力为0，斜面的加速度应为多大？
解：取小球为研究对象，受力如图所示： ma=Nsin300-Tcos30
0 =Ncos300+Tsin300-mg
若a=g/3,m=6Kg, 解得 :
N=60.72N,T=12.43N
若绳子的张力为0，即T=0，则方程为： ma=Nsin300 0 =Ncos300 -mg
解得 : a=0.577g
2: 当物体M 在极深的矿井中下落时，其加速度与其离地心的距离成正比。

求物体下落s 距
离所需的时间t 和对应的速度v 。

设初速为0，不计任何阻力。

解：研究物体M ，根据题意，有： a=k(R-y) 当y=0时，a=g=kR ，得：
R t R g B t R g A y t R
g B t R g A R y y R R g dt
y d y R R g a R g k ++=+=--=-==sin cos
sin cos )()(,22所以：积分得：
， R t R
g R y B R A v t y t +-==-=====cos 0
,0,0;0,0所以：时，可得：由初始条件，当 )2(arccos ,cos
R s gs v R s R y R t R t R g R s s -
=-=+-=下降速度为：所需时间为时，则当下落。

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理论力学 第11章 质点运动微分方程

理论力学 第11章 质点运动微分方程

必须指出，牛顿定律中涉及到物体的运动与作用在 物体上的力。显然，物体及其所受的力不因参考系的选 择而改变，但同一物体的运动在不同的参考系中的描述 可能是完全不同的，这就存在着根本性的矛盾。这决定 了牛顿定律不可能适用于一切参考系，而只能适用于某 些参考系。凡牛顿定律成立的参考系，称为惯性参考系。 凡牛顿定律成立的参考系，称为惯性参考系 凡牛顿定律成立的参考系
2 d 2ρ dϕ m 2 −ρ = Fρ dt dt 2 d ρ dϕ d ϕ m 2 + ρ 2 = Fϕ dt dt dt
（11.6）
这就是极坐标形式的质点运动微分方程。
11.3 质点动力学的两类基本问题
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两 类基本问题。 第一类基本问题 已知质点的运动规律，即已知质点 的运动方程或质点在任意瞬时的速度或加速度，求作用 在质点上的未知力。这一类问题可归结为数学中的微分 问题。 求解该问题比较简单。若已知质点的运动方程，则 只须将它对时间求两次导数即可得到质点的加速度，代 入适当形式的质点运动微分方程，得到一个代数方程组， 求解这个方程组即可得到所求的未知力。
11.1 动力学基本定律
质点动力学的基本定律是牛顿在总结前人特别是伽 利略的研究成果的基础上，1687年在其著作《自然哲学 的数学原理》中提出来的，通常称为牛顿三定律 牛顿三定律。这些 牛顿三定律 定律是动力学的基础。
11.1 动力学基本定律
第一定律 任何质点都保持其静止的或作匀速直线运 动的状态， 动的状态，直到它受到其他物体的作用而被迫改变这 种状态为止。 种状态为止 质点保持静止或匀速直线运动状态的属性称为惯性 惯性， 惯性 质点作匀速直线运动称为惯性运动，因此第一定律又称 惯性运动， 惯性运动 惯性定律。此定律表明：质点必须受到其他物体的作用 惯性定律 时，也就是受到外力的作用时，才会改变其运动状态， 即外力是改变质点运动状态的原因 外力是改变质点运动状态的原因。 外力是改变质点运动状态的原因
动力学基本定律 质点的运动微分方程

动力学基本定律 质点的运动微分方程

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动力学
第十章
质点动力学的基本方程
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动力学基本定律 质点的运动微分方程 §11–1 §11–2 §11–3 引言 动力学基本定律 质点的运动微分方程
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动力学
引言
§11–1 引
言
研究物体的机械运动与作用力之间的关系 一.研究对象：
二.力学模型：
1.质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。 例如： 研究卫星的轨道时，卫星 刚体作平动时,刚体 质点； 质点。
解：属于已知力是位置的函数的第二类问题。
取火箭(质点)为研究对象, 建立坐标如图示。
火箭在任意位置x 处受地球引力F 的作用。
mM F f 2 x mM mg f R2 m gR2 F x2
建立质点运动微分方程
m
dx 2 dt
2

mgR2 x2
即：
dvx R 2 mg mvx 2 dx x
动力学
质点动力学的基本方程
dy v0 sin 0 代入最高点A处值，得： v0 sin 0 gt 0, 即 t dt g 将到达A点时的时间t, x=S, y=H 代入运动方程， 得
v0 cos 0
sg 2 gH
v0 sin 0 2gH
发射初速度大小与初发射角 0 为
从该式还可以看出，质点质量越大，其运动状态越不容易 改变，也就是质点的惯性越大，因此，质量是质点惯性的度量； 另外应注意公式中国际单位制（SI）的表示以及国际单位制和 工程单位制的换算关系。
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动力学
第十章
质点动力学的基本方程
第三定律（作用与反作用定律）
两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等，方向 相反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。 这一定律就是静力学的公理四，它不仅适用于平衡的物体， 而且也适用于任何运动的物体。
《理论力学 动力学》 第十六讲 变质量质点的运动微分方程

《理论力学 动力学》 第十六讲 变质量质点的运动微分方程

变质量动力学曾凡林哈尔滨工业大学理论力学教研组本讲主要内容1、变质量质点的运动微分方程2、变质量动力学在火箭发射中的应用3、变质量质点的动力学普遍定理1、变质量质点的运动微分方程(1) 变质量质点的运动微分方程m 在时刻t ，质点的质量为m ，速度为vv 1在时刻t+d t ，并入速度为v 1的微小质量d mm +d m v 并入后，系统质量变为m +d m ，速度变为v +质点系在t 瞬时的动量：11d m m =+×p v v t +d t 质点系在t+d t 瞬时的动量：2(d )(d )m m =++p v v 根据动量定理有：(e)21d d t=-=p p p F (e)1d d d d d d m m m m t+×+×-×=v v v v F 略去高阶微量d m ·d v ，并在等式两边同时除以d t , 得：(e)1d d ()d d m m t t --=v v v F 式中v 1-v=v r 为微小质量在并入前相对于质点m 的相对速度, 令d d r m t f =F v 则有：(e)d d m tf =+v F F —变质量质点的运动微分方程方程形式与常质量质点运动微分方程相似，仅在右端多了一项F ϕ，它具有力的量纲，常称为反推力。

当d m /d t >0 时，F ϕ与v r 同向；当d m /d t <0 时，F ϕ与v r 反向。

1、变质量质点的运动微分方程(2) 常用的几种质量变化规律i 质量按线性规律变化1)1(0<-=t t m m b b ，由知，其反推力为：b 0d d m t m-=r 0rd d mm t f b ==-F v v 当v r 为常量时，反推力也为常量，且与v r 方向相反。

ii 质量按指数规律变化tm m b -=e 0由知，其反推力为：0d d t m m e t b b -=-r 0rd d tmm e t b f b -==-F v v 令a ϕ表示仅在反推力F ϕ作用下变质量质点的加速度，则：0rrtt m e m m e b f f b b b ---===-F v a v 当v r 为常量时，a ϕ也为常量，即由反推力引起的加速度为常量。

理论力学第10章 质点动力学

理论力学第10章 质点动力学

4 4
y
ω O φ
A β
B
如滑块的质量为m，忽略摩擦及连 杆AB的质量，试求当 t 0 和 时，连杆AB所受的力。
π 2
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
运 动 演 示
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
y
解：
ω O φ
A
β B
以滑块B为研究对象，当φ=ωt 时，受力 如图。连杆应受平衡力系作用，由于不计连 杆质量，AB 为二力杆，它对滑块B的拉力F沿 AB方向。 写出滑块沿x轴的运动微分方程
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
解： 以弹簧未变形处为坐标原点O，物块
在任意坐标x处弹簧变形量为│x│ ，弹簧 力大小为 F k x ，并指向点O，如图所 示。 则此物块沿x轴的运动微分方程为
F O x
m
x
d2 x m 2 Fx kx dt
或 令
d2 x m 2 kx 0 dt
mg
绳的张力与拉力F的大小相等。
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
物块在光滑水平面上与弹簧相连，如图所示。物块
质量为 m ，弹簧刚度系数为 k 。在弹簧拉长变形量为 a 时， 释放物块。求物块的运动规律。
F
O x
m
x
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
运 动 演 示
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
§10.3 质点动力学的两类基本问题
第一类基本问题：已知质点的运动，求作用于质点上的力。 也就是已知质点的运动方程，通过其对时间微分两次得到质 点的加速度，代入质点运动微分方程，就可得到作用在质点 上的力。