理论力学 第11章 质点运动微分方程

必须指出，牛顿定律中涉及到物体的运动与作用在 物体上的力。显然，物体及其所受的力不因参考系的选 择而改变，但同一物体的运动在不同的参考系中的描述 可能是完全不同的，这就存在着根本性的矛盾。这决定 了牛顿定律不可能适用于一切参考系，而只能适用于某 些参考系。凡牛顿定律成立的参考系，称为惯性参考系。 凡牛顿定律成立的参考系，称为惯性参考系 凡牛顿定律成立的参考系
2 d 2ρ dϕ m 2 −ρ = Fρ dt dt 2 d ρ dϕ d ϕ m 2 + ρ 2 = Fϕ dt dt dt
（11.6）
这就是极坐标形式的质点运动微分方程。
11.3 质点动力学的两类基本问题
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两 类基本问题。 第一类基本问题 已知质点的运动规律，即已知质点 的运动方程或质点在任意瞬时的速度或加速度，求作用 在质点上的未知力。这一类问题可归结为数学中的微分 问题。 求解该问题比较简单。若已知质点的运动方程，则 只须将它对时间求两次导数即可得到质点的加速度，代 入适当形式的质点运动微分方程，得到一个代数方程组， 求解这个方程组即可得到所求的未知力。
11.1 动力学基本定律
质点动力学的基本定律是牛顿在总结前人特别是伽 利略的研究成果的基础上，1687年在其著作《自然哲学 的数学原理》中提出来的，通常称为牛顿三定律 牛顿三定律。这些 牛顿三定律 定律是动力学的基础。
11.1 动力学基本定律
第一定律 任何质点都保持其静止的或作匀速直线运 动的状态， 动的状态，直到它受到其他物体的作用而被迫改变这 种状态为止。 种状态为止 质点保持静止或匀速直线运动状态的属性称为惯性 惯性， 惯性 质点作匀速直线运动称为惯性运动，因此第一定律又称 惯性运动， 惯性运动 惯性定律。此定律表明：质点必须受到其他物体的作用 惯性定律 时，也就是受到外力的作用时，才会改变其运动状态， 即外力是改变质点运动状态的原因 外力是改变质点运动状态的原因。 外力是改变质点运动状态的原因
G = mg
11.1 动力学基本定律
注意：重量和质量是两个不同的概念。质量是质点 惯性大小的度量，在古典力学中，质量是一个不变的常 量；而重量是物体所受重力的大小，在地面附近各点的 重力加速度的大小随所在位置的纬度和高度的不同而略 有差异，因此重量随物体所在位置的不同而改变，且在 地面附近的空间内才有意义。不过，在一般工程实际中， 45o 可以认为重力加速度的大小为常数，其值取在 纬度 海平面上重力加速度的大小，即 。 g = 9.8 m / s 2
11.2 质点运动微分方程
这就是自然轴系形式的质点运动微分方程 自然轴系形式的质点运动微分方程。式中 Fτ 自然轴系形式的质点运动微分方程
Fn、 Fb 分别是作用在质点上的合力 F =
轴、主法线轴和次法线轴上的投影。
∑ Fi
在切线
11.2 质点运动微分方程
*4．极坐标形式的质点运动 ． 微分方程 当质点M作平面曲线运动时， 有时还可以采用极坐标表示的 质点运动微分方程。如图11.3所 示，由运动学可知，质点的加 速度在极坐标系下有如下表达 式： 2 2
maτ = Fτ man = Fn mab = Fb
图 11.2
11.2 质点运动微分方程
由点的运动学知
aτ = ɺɺ s 2 v an = ρ ab = 0
ɺɺ ms = Fτ v2 m = Fn ρ 0 == Fb
故有
（11.5）
普通高等教育规划教材
理 论 力 学
编 著 课件制作 肖明葵 程光均 张祥东 吴云芳 邹昭文 王建宁
第11章 质点运动微分方程 章
11.1 11.2 11.3 11.4 动力学基本定律 质点运动微分定律 质点动力学的两类基本问题 质点相对运动动力学的基本方程
11.1 动力学基本定律
动力学是研究物体机械运动与作用于其上的力之间的 动力学 关系的科学。静力学 静力学所研究的是作用在刚体上的力系的 静力学 合成方法及其平衡条件，而没有研究刚体在不平衡力系 作用下的运动情况。运动学 运动学所研究的是质点和刚体运动 运动学 的几何特征，而没有研究使物体运动发生变化的原因。
11.1 动力学基本定律
若用M、L、T分别表示质量、长度和时间的量纲，则 速度的量纲为dimv=LT-1，加速度的量纲为dima=LT-2，力 的量纲为dimF=MLT-2。根据牛顿第二定律规定，使1kg质 量的质点产生1m/s2加速度的力规定为1N，即
1N=1kg × 1m/s 2 =1kgm/s 2
11.2 质点运动微分方程
由牛顿第二定律直接导出且含有表示质点的位置或速 度对时间的变化率的方程称为质点的运动微分方程。 度对时间的变化率的方程称为质点的运动微分方程。下面 给出常用的几种质点运动微分方程的表达形式。 1．矢量形式的质点运动微分方程 ． 设一质量为 m 的质点M，在合力 F = ∑ Fi 作用下，沿某一空间曲线 运动，如图11.1所示。 图 11.1
d r m 2 =F dt
2
（11.3）
这就是矢量形式的质点运动微分方程 矢量形式的质点运动微分方程。 矢量形式的质点运动微分方程 式(11.3)主要用于理论推导，在计算实际问题时，常常应 用它的投影形式。
11.2 质点运动微分方程
2．直角坐标形式的质点运动微分方程 ． 过原点O建立直角坐标系Oxyz(图11-1)，将式(11.3)中 各项投影到各轴上，则有
是质点的加速度a 在x、y、z轴上的投影。
11.2 质点运动微分方程
若质点在平面oxy内作平面运动，则式（11.4） 中 ɺɺ = 0 ；若质点沿ox轴作直线运动，则式（11.4） z 中 ɺɺ = ɺɺ = 0 。 z y
11.2 质点运动微分方程
3．自然轴系形式的质点运动微分方程 ．
若已知质点M的轨迹曲线，如图11.2所示，则以任意 瞬时质点所在处M为原点，建立自然轴系Mτnb，其中τ、 n和b分别为沿运动轨迹上M点的切线、主法线和次法线 方向的单位矢量。将式(11.3)中各项投影到自然坐标轴 上，则有
11.1 动力学基本定律
质点受力作用而产生的加速度， 第二定律 质点受力作用而产生的加速度，其方向与 力的方向相同，其大小与力的大小成正比， 力的方向相同，其大小与力的大小成正比，而与质点 的质量成反比， 的质量成反比，即
ma = F
（11.1）
式中， 和 a 分别表示质点的质量和加速度； 表示 m F 作用于质点上的外力。此方程给出了作用于质点的力、质 点的质量和质点的加速度三者之间的关系，称为质点动力 质点动力 学基本方程。 学基本方程
mɺɺ = Fx x mɺɺ = Fy y mɺɺ = Fz z
（11.4）
这就是直角坐标形式的质点运动微分方程 直角坐标形式的质点运动微分方程。式中 直角坐标形式的质点运动微分方程
Fz
是作用在质点上的各个力
F i 在x、y、z轴上投影的代数和；
Fx 、Fy
ɺɺ 、ɺɺ 、ɺɺ x y z
图
11.3
d ρ d ρ dϕ dϕ d 2ϕ a = 2 −ρ + ρ 2 ϕ0 ρ0 + 2 dt dt dt dt dt
11.2 质点运动微分方程
ρ 式中， 0 和 ϕ 0 分别为沿径向和横向的单位矢量。将上式
代入式（11.1）并将各项分别投影到 ρ0 和 ϕ 0 方向，则有
11.2 质点运动微分方程
某瞬时，质点位于M点，其加速度为 牛顿第二定律，有
a，则根据
(a)
ma = F
由运动学知
dv d r a= = 2 dt dt
2
(b)
11.2 质点运动微分方程 式中， 为质点M的速度；r为质点M相对于某固定点O的 v
位置矢径。将式(b)代入式(a)后可得
或
dv m =F dt
11.1 动力学基本定律
当质点同时受几个力作用时，则式中力 F 应理解为这些 力的合力。因此，式（11.1）可写成
ma = ∑ Fi
即质点的质量与加速度的乘积等于作用在质点上力系的合力。
11.1 动力学基本定律
由第二定律可知，不同外力作用在质量相同的质点 上时，外力较大的质点获得的加速度较大，外力较小的 质点获得的加速度较小；相同外力作用在质量不同的质 点上时，质量较大的质点所获得的加速度较小，质量较 小的质点所获得的加速度较大。这说明，质量较大的质 点保持其原有运动状态的能力较强，即惯性较大；质量 较小的质点保持其原有运动状态的能力较弱，即惯性较 小。因此，质量是质点惯性大小的度量 质量是质点惯性大小的度量。因为平动刚体 质量是质点惯性大小的度量 可视为质量集中在质心的质点，所以质量也是平动刚体 惯性大小的度量。
11.1 动力学基本定律
式(11.1)说明了质点所受外力与加速度的关系。速度和 加速度是两个不同的概念，而且速度的大小和方向与质 点的初始条件有关，因此，仅由式(11.1)并不能完全确定 质点的速度。 在地球表面附近任何一点，物体都将受到地球的引力 作用，这种作用称为重力 重力，用符号表示。地球对物体作 重力 用的重力的大小称为重量 重量。物体在重力作用下所产生的 重量 加速度称为重力加速度 重力加速度，用符号表示。由式(11.1)得 重力加速度 (11.2) 上式建立了物体的重量与质量的关系。
11.1 动力学基本定律
两个物体间的作用力与反作用力， 第三定律 两个物体间的作用力与反作用力，总是大 小相等、方向相反，沿同一直线， 小相等、方向相反，沿同一直线，且同时分别作用在 这两个物体上。 这两个物体上 第三定律也就是静力学中讲过的作用与反作用定律。 这个定律不但适用于静力平衡问题，而且在动力学问题 中仍然适用。
11.1 动力学基本定律
动力学知识在工程技术或科学研究中具有极广泛的 应用。例如，高速转动机械的均衡、振动和稳定，各种 机器、机构和结构的动力计算，以及宇宙飞船和火箭的 运行轨道等问题，都要用动力学知识来解决。所以，掌 握动力学基本理论及其应用，具有十分重要的意义。