堆与优先权队列的设计与实现

一、实验目的通过本次实验，加深对堆栈和队列数据结构的理解，掌握堆栈的基本操作，并学会利用堆栈模拟队列的功能。

通过实验，培养学生的编程能力和问题解决能力。

二、实验内容1. 实现一个顺序堆栈，包括初始化、判断是否为空、入栈、出栈等基本操作。

2. 利用两个顺序堆栈实现队列的功能，包括入队、出队、判断队列是否为空等操作。

3. 通过实例验证模拟队列的正确性。

三、实验原理队列是一种先进先出（FIFO）的数据结构，而堆栈是一种后进先出（LIFO）的数据结构。

本实验通过两个堆栈来实现队列的功能。

当元素入队时，将其压入第一个堆栈（称为栈A）；当元素出队时，先从栈A中依次弹出元素并压入第二个堆栈（称为栈B），直到弹出栈A中的第一个元素，即为队首元素。

四、实验步骤1. 定义堆栈的数据结构，包括堆栈的最大容量、当前元素个数、堆栈元素数组等。

2. 实现堆栈的基本操作，包括初始化、判断是否为空、入栈、出栈等。

3. 实现模拟队列的功能，包括入队、出队、判断队列是否为空等。

4. 编写主函数，创建两个堆栈，通过实例验证模拟队列的正确性。

五、实验代码```c#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#define MAX_SIZE 100typedef struct {int data[MAX_SIZE];int top;} SeqStack;// 初始化堆栈void InitStack(SeqStack S) {S->top = -1;}// 判断堆栈是否为空int IsEmpty(SeqStack S) {return S->top == -1;}// 入栈int Push(SeqStack S, int x) {if (S->top == MAX_SIZE - 1) { return 0; // 堆栈已满}S->data[++S->top] = x;return 1;}// 出栈int Pop(SeqStack S, int x) {if (IsEmpty(S)) {return 0; // 堆栈为空}x = S->data[S->top--];return 1;}// 队列的入队操作void EnQueue(SeqStack S, SeqStack Q, int x) { Push(S, x);}// 队列的出队操作int DeQueue(SeqStack S, SeqStack Q, int x) { if (IsEmpty(Q)) {while (!IsEmpty(S)) {int temp;Pop(S, &temp);Push(Q, temp);}}if (IsEmpty(Q)) {return 0; // 队列为空}Pop(Q, x);return 1;}int main() {SeqStack S, Q;int x;InitStack(&S);InitStack(&Q);// 测试入队操作EnQueue(&S, &Q, 1);EnQueue(&S, &Q, 2);EnQueue(&S, &Q, 3);// 测试出队操作while (DeQueue(&S, &Q, &x)) {printf("%d ", x);}return 0;}```六、实验结果与分析1. 通过实例验证，模拟队列的入队和出队操作均正确实现了队列的先进先出特性。

纸上谈兵：堆（heap）堆(heap)⼜被为优先队列(priority queue)。

尽管名为优先队列，但堆并不是队列。

回忆⼀下，在中，我们可以进⾏的限定操作是dequeue和enqueue。

dequeue是按照进⼊队列的先后顺序来取出元素。

⽽在堆中，我们不是按照元素进⼊队列的先后顺序取出元素的，⽽是按照元素的优先级取出元素。

这就好像候机的时候，⽆论谁先到达候机厅，总是头等舱的乘客先登机，然后是商务舱的乘客，最后是经济舱的乘客。

每个乘客都有头等舱、商务舱、经济舱三种个键值(key)中的⼀个。

头等舱->商务舱->经济舱依次享有从⾼到低的优先级。

再⽐如，封建社会的等级制度，也是⼀个堆。

在这个堆中，国王、贵族、骑⼠和农民是从⾼到低的优先级。

封建等级Linux内核中的调度器(scheduler)会按照各个进程的优先级来安排CPU执⾏哪⼀个进程。

计算机中通常有多个进程，每个进程有不同的优先级(该优先级的计算会综合多个因素，⽐如进程所需要耗费的时间，进程已经等待的时间，⽤户的优先级，⽤户设定的进程优先程度等等)。

内核会找到优先级最⾼的进程，并执⾏。

如果有优先级更⾼的进程被提交，那么调度器会转⽽安排该进程运⾏。

优先级⽐较低的进程则会等待。

“堆”是实现调度器的理想数据结构。

(Linux中可以使⽤nice命令来影响进程的优先级)堆的实现堆的⼀个经典的实现是完全⼆叉树(complete binary tree)。

这样实现的堆成为⼆叉堆(binary heap)。

完全⼆叉树是增加了限定条件的⼆叉树。

假设⼀个⼆叉树的深度为n。

为了满⾜完全⼆叉树的要求，该⼆叉树的前n-1层必须填满，第n层也必须按照从左到右的顺序被填满，⽐如下图:为了实现堆的操作，我们额外增加⼀个要求: 任意节点的优先级不⼩于它的⼦节点。

如果在上图中，设定⼩的元素值享有⾼的优先级，那么上图就符合该要求。

这类似于“叠罗汉”。

叠罗汉最重要的⼀点，就是让体重⼤的参与者站在最下⾯，让体重⼩的参与者站在上⾯ (体重⼩，优先级⾼)。

二叉堆和优先队列高效实现堆排序和Dijkstra算法堆排序和Dijkstra算法是计算机科学中常见且高效的算法。

它们的实现中常用到二叉堆和优先队列的数据结构。

本文将介绍二叉堆和优先队列的概念，以及它们在堆排序和Dijkstra算法中的应用。

一、二叉堆二叉堆是一种特殊的完全二叉树，满足以下两个性质：1. 结构性质：除最后一层外，每一层都是满的，最后一层从左到右填入节点。

2. 堆序性质：对于任意节点i，其父节点值小于等于其子节点的值。

二叉堆有两种类型：大顶堆和小顶堆。

大顶堆中，父节点的值大于等于其子节点；小顶堆中，父节点的值小于等于其子节点。

二叉堆的根节点即堆中的最值。

二、优先队列优先队列是一种可以快速访问和删除最值元素的数据结构。

它支持两个主要操作：1. 插入操作：将元素按照一定的优先级插入队列中。

2. 弹出操作：弹出队列中的最值元素。

优先队列可以用二叉堆实现，其中小顶堆用于实现最小优先队列，大顶堆用于实现最大优先队列。

通过保持堆序性质，我们可以在O(logn)的时间复杂度内完成插入和弹出的操作。

三、堆排序堆排序是一种高效的排序算法，基于二叉堆数据结构。

其主要步骤如下：1. 构建最大堆：将待排序序列构建成一个最大堆。

2. 交换堆顶元素和最后一个元素：将最大堆的堆顶元素与最后一个元素交换，此时最大值被固定在了最后。

3. 调整堆：调整剩余元素构建一个新的最大堆。

4. 重复步骤2和步骤3，直到剩余元素只有一个。

堆排序的时间复杂度为O(nlogn)，且具有原地排序的优点，但是不稳定。

四、Dijkstra算法Dijkstra算法是一种解决单源最短路径问题的贪心算法。

其核心思想是利用优先队列选择当前最短路径的顶点来遍历附近的节点，并更新到达这些节点的最短距离。

其主要步骤如下：1. 创建一个距离数组dist，存储源点到每个顶点的最短距离。

初始时，源点到自身的距离为0，其他顶点的距离为无穷大。

2. 将源点插入到优先队列中。

priority_queue用法小根堆priority_queue是STL库中的一个模板类，它被用来实现优先队列，也就是一个元素集合，每个元素都有一个关键字，可以比较大小，且具有最高优先级的元素总是最先被访问（出队）。

小根堆：在优先队列中，元素的优先级被定义为元素的大小，小的元素优先级高，因此，如果想要实现小根堆，只需要定义一个存放元素的数据结构，比较大小的时候，使用“大于号”（>）进行比较，即将小的元素放在队首（出队），大的元素放在队尾（入队）。

priority_queue的基本操作：1.入队：push()2.出队并返回队首元素：top()3.出队：pop()4.判断队列是否为空：empty()5.求队列中元素的个数：size()下面是一个小根堆的例子：c++#include<iostream>#include<queue>using namespace std;int main() {priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > q;定义小根堆int a[] = {54,78,24,65,12,57,93};for(int i=0;i<7;i++) q.push(a[i]);入队while(!q.empty()) {输出队列中的元素cout<<q.top()<<" ";q.pop();出队}return 0;}运行结果：12 24 54 57 65 78 93这里我们使用了std::greater<int>作为比较的方式，因为priority_queue默认是大根堆，而我们要实现小根堆，则需要借助greater类。

c++优先队列实现原理
C++的优先队列是通过堆（heap）实现的。

堆是一种特殊的二
叉树结构，它满足以下两个条件：
1. 完全二叉树：除最后一层外，每一层都是满的，并且最后一层的节点都尽量靠左排列。

2. 堆序性：对于每个节点X，X的父节点的值（如果存在）必须大于或等于X的值。

C++的优先队列会根据元素的优先级自动进行排序，并且每次
取出最高优先级的元素。

它使用一个二叉堆（通常是最大堆）来实现。

在C++的STL库中，优先队列的实现是通过
std::priority_queue模板类来实现的。

这个类内部使用一个std::vector容器来存储元素，并且使用一个比较函数（默认是std::less）来确定元素的优先级。

当元素插入到优先队列中时，它会根据比较函数的规则将元素插入到正确的位置，以保证最高优先级的元素在队列的最前面。

当从优先队列中取出元素时，它会取出队列的第一个元素，并将其移出队列。

然后，它会重新调整剩余元素的顺序，以确保下一个元素仍然是最高优先级的元素。

总的来说，C++的优先队列使用二叉堆来存储和维护元素的顺序，并且根据比较函数来确定元素的优先级。

这使得插入和删
除操作的时间复杂度都是O(logN)，其中N是队列中元素的个数。

C++STL优先队列（priority_queue）std::priority_queue<queue>优先队列 1、第⼀个元素始终为最⼤元素。

2、有着类似于堆的特性，它可以在其中随时插⼊元素。

3、⽀持下标访问（随机访问迭代器）优先队列内部的实现需要依赖基础容器，该容器应可通过随机访问迭代器访问，并需要⽀持以下操作empty( )size( )front( )push_back( )pop_back( ) 显⽽易见的是有deque和vector这两个基础容器⽀持以上操作 所以在默认情况下，如果未为priority_queue指定基础容器类，则将使⽤vector。

成员函数(constructor)Construct priority queue (public member function ) empty优先队列是否为空size返回优先队列的当前元素个数top访问顶部元素（返回顶部元素的常量引⽤）push插⼊⼀个元素pop删除顶部元素emplace构造并插⼊⼀个元素void swap (priority_queue& x)交换两个队列的内容注：1、emplace 与 push 相⽐更加优化了对内存空间的使⽤，具体可以另⾏查询2、swap 是交换两个同⼀类型的优先队列内的所有元素，如a.swap ( x )即交换队列 a 和 x 的所有元素构造优先队列<queue>/* 1 */ priority_queue<int> pq1; //默认⼤根堆且默认基础容器为vector/* 2 */ priority_queue<vector<int>, less<int> > pq2; //与 1 的性质⼀模⼀样/* 3 */ priority_queue<deque<int>, greater<int> > pq3; //⼩根堆且基础容器为deque注意：⼤根堆为less，⼩根堆为greater。

queue 常见实现及方法queue是一种常见的数据结构，它是一种先进先出（First-In-First-Out，简称FIFO）的数据结构，常用于存储和管理多个元素。

在程序设计中，队列的实现可以有多种方法，下面将介绍两种常见的队列实现方法以及它们的方法。

一、数组实现队列数组是一种线性表结构，使用数组来实现队列是一种简单而常见的方法。

数组实现队列的关键是要确定队头和队尾的位置。

我们可以使用两个指针front和rear来指示队头和队尾的位置。

队头指针front指向队列的第一个元素，队尾指针rear指向队列的最后一个元素。

初始时，队头和队尾指针都指向-1，表示队列为空。

1. 入队操作（enqueue）：当需要入队一个元素时，我们先判断队列是否已满，即判断rear 是否指向了队列的最后一个位置。

如果队列已满，则无法入队；否则，将元素插入到rear指向的位置，并将rear指针向后移动一位。

2. 出队操作（dequeue）：当需要出队一个元素时，我们先判断队列是否为空，即判断front 和rear是否相等。

如果队列为空，则无法出队；否则，将队头元素取出，并将front指针向后移动一位。

3. 判断队列是否为空：当队头和队尾指针相等时，表示队列为空。

4. 判断队列是否已满：当rear指针指向了队列的最后一个位置时，表示队列已满。

二、链表实现队列链表是一种非连续的数据结构，使用链表来实现队列也是一种常见的方法。

链表实现队列的关键是要维护一个指向队头和队尾的指针。

我们可以使用两个指针head和tail来指示队头和队尾的位置。

初始时，head和tail都指向空。

1. 入队操作（enqueue）：当需要入队一个元素时，我们先创建一个新的节点，并将元素存储在节点中。

然后，将新节点链接到链表的尾部，并将tail指针指向新节点。

2. 出队操作（dequeue）：当需要出队一个元素时，我们先判断队列是否为空，即判断head 和tail是否都指向空。

栈与队列实现先进先出和后进先出的数据结构数据结构是计算机科学中一门重要的基础课程，其中栈（Stack）和队列（Queue）是常用的数据结构。

栈和队列都具有不同的特点和应用场景，能够满足先进先出（FIFO）和后进先出（LIFO）的要求。

一、栈的实现先进先出栈是一种线性数据结构，具有后进先出（LIFO）的特点。

在栈中，只能在栈的一端进行操作，称为栈顶。

栈的基本操作包括入栈（Push）和出栈（Pop）。

1. 入栈（Push）操作：当要向栈中添加元素时，将新元素放置在栈顶，并将栈顶指针向上移动一位。

该操作保证了后添加的元素会处于栈顶的位置。

2. 出栈（Pop）操作：当要从栈中移除元素时，将栈顶的元素弹出，并将栈顶指针向下移动一位。

该操作保证了最后添加的元素会最先被移除。

栈的实现可以使用数组或链表来存储元素。

使用数组实现时，需要指定栈的最大容量。

使用链表实现时，栈的容量可以动态扩展。

二、队列的实现先进先出队列是一种线性数据结构，具有先进先出（FIFO）的特点。

在队列中，元素从队尾入队，从队头出队。

队列的基本操作包括入队（Enqueue）和出队（Dequeue）。

1. 入队（Enqueue）操作：当要向队列中添加元素时，将新元素放置在队尾，并将队尾指针向后移动一位。

该操作保证了后添加的元素会处于队列的尾部。

2. 出队（Dequeue）操作：当要从队列中移除元素时，将队头的元素弹出，并将队头指针向后移动一位。

该操作保证了最早添加的元素会最先被移除。

队列的实现也可以使用数组或链表。

与栈不同的是，队列的实现更适合使用链表，因为链表可以实现在队头和队尾高效地执行插入和删除操作。

三、使用栈和队列实现先进先出和后进先出为了实现先进先出和后进先出的数据结构，可以使用一种特殊的数据结构：双端队列（Double-ended Queue），也称为双端栈（Deque）。

双端队列具有栈和队列的特点，既可以在队尾插入和删除元素，也可以在队头插入和删除元素。

堆的基本概念与实现方式堆是一种常见的数据结构，用于存储和管理元素的集合。

它是一种特殊的二叉树，其中每个节点都具有一个键值，并且具有一定的排序关系。

堆的实现方式主要有两种：最大堆和最小堆。

在本文中，将介绍堆的基本概念以及它们的实现方式。

1. 堆的基本概念堆是一种完全二叉树，满足以下两个条件：- 最大堆：对于任意节点i，节点i的键值大于或等于其子节点的键值。

- 最小堆：对于任意节点i，节点i的键值小于或等于其子节点的键值。

堆可以用数组来实现，我们将根节点存储在数组的第一个位置，然后按照层序遍历的顺序依次存储其他节点。

对于节点i，在数组中，它的左子节点位置为2i，右子节点位置为2i+1，父节点位置为i/2。

2. 最大堆的实现方式最大堆最常用的实现方式是使用数组来存储元素。

我们使用一个数组arr来表示最大堆，其中arr[0]为根节点。

最大堆具有以下几个基本操作：- 插入新元素：将新元素插入数组的最后一个位置，并且逐级向上比较与父节点的大小关系，直到满足堆的定义为止。

- 删除根节点：将根节点与数组最后一个元素交换位置，然后删除最后一个位置的元素。

接着，逐级向下比较与子节点的大小关系，直到满足堆的定义为止。

- 获取根节点：直接返回数组的第一个元素，即根节点。

3. 最小堆的实现方式最小堆的实现方式与最大堆类似，只是在比较大小时的规则相反。

同样，我们使用一个数组arr来表示最小堆，其中arr[0]为根节点。

最小堆的基本操作也与最大堆类似。

使用堆的好处是能够以O(logn)的时间复杂度进行插入、删除和获取根节点的操作。

这是因为插入和删除元素时，只需进行一次向上或向下的比较，而不需要遍历整棵树。

因此，堆在大量数据处理、优先级队列等场景中被广泛应用。

总结起来，堆是一种基本的数据结构，其中每个节点都满足一定的排序规则。

最大堆和最小堆是堆的两种实现方式，可以通过数组来表示。

它们可以高效地进行插入、删除和获取根节点的操作，适用于各种需要优先级管理的场景。