利用函数性质判定方程解的存在
一、教材分析
《利用函数性质判定方程解的存在》是北师大版教材必修一，第四章，第一节的内容。
函数在数学中占据着不可替代的核心地位，它与其它知识具有广泛的联系，而本节课“利用函数性质判定方程解的存在”就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机地联系在一起。
本节内容起着承上启下的作用：在函数性质的基础上，利用函数的图象和性质来判断方程根的存在，是函数图像与性质内容的延续。函数零点的概念和函数零点存在的判定方法，这又是学习下一节“利用二分法求方程的近似解”
的基础。
同时，本节课还是培养学生“数形结合思想”、“ 函数与方程思想”、“ 转化与化归思想”的优质载体。
二、学情分析
学生已经具备了：(1)基本初等函数的图象和性质；(2)初步了解一元二次方程和相应二次函数的关系；(3)初步具备将“数”与“形”相结合及转化的意识。
缺乏的能力：(1)应用函数解决问题的能力还不强；(2)由特殊到一般的归纳能力还不够；(3)数形结合的思想敏锐性还有待提高。
三、教学目标：
1.知识与技能：
（1）能说出函数零点的概念
（2）能归纳并叙述函数零点存在性定理
（3）会判断函数零点的个数和所在区间
2.过程与方法：
经历“类比—归纳—应用”的过程；经历方程与函数的转化过程
3.情感、态度与价值观：
体验自主探究，合作交流的乐趣；体会事物间普遍联系的辩证思想
四、教学重点、难点： 重点：函数零点的概念，函数零点的判定方法。
难点：探究发现函数零点的存在性，利用函数的图像和性质判断函数零点的个数
五、教法学法：
教法：启发—探究—讨论
学法：自主—合作—交流
六、教学过程：
教学准备：导学案，多媒体
课时安排：1课时
（一）设问激疑，创设情景
问题引入：求下列方程的根
前两个方程学生容易求解，后两个却无从下手，于是，引出本节课所要解决的问题，同时引入本节课题《利用函数性质判定方程解的存在》。
当代教育实践与教学研究
内容分析：本节是以函数的定义性质和特殊函数，并对函数图像性质都已熟悉为基础，经启发引导得出相应结论，培养探究和应用新知解决问题的兴趣和能力。教学目标：１．知识技能：（１）正确认识函数与方程的关系，能说明方程的根、函数图像与ｘ轴交点横坐标、函数零点的关系。（２）理解函数零点存在性定理，判断函数零点的存在区间。能利用函数图像性质判断某些函数零点的个数。２．过程与方法：在近似计算的学习中感受近似、逼近等数学思想的含义和作用。３．情感、态度价值观：拓展视野，体会不同内容之间的内在联系。学习者特征：数形结合和抽象思维能力不足，不能发现知识之间的联系。函数与方程联系观点的建立和函数应用意识的树立，是本节的关注点。教学重点：零点存在的判定条件；教学难点：函数零点的概念，函数零点与相应方程解的关系；突破重难点的措施：自主探究，数形结合帮助学生理解定理把握重点；结合图像对函数零点形成直观认识，探索判断函数零点的方法突破难点。教学过程设计一、质疑引新解方程擂台赛：（学生动手发现问题）（１）ｘ－１＝０； （２）ｘ２－３ｘ＋２＝０； （３）ｘ３－２ｘ＋２＝０； （４）２ｘ－ｘ＝０； （５）ｌｇｘ－1x＝０设计意图：（１）（２）易解，（３）（４）（５）不会解。引发思考导入新课。二、体验过程１．函数的零点：函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图像与横轴交点的横坐标称为这个函数的零点． 探究一：（１）解方程：ｘ－１＝０；（２）求函数ｆ（ｘ）＝ｘ－１的图像与ｘ轴的交点坐标？并做出函数图像。探究二：（１）解方程：ｘ２－３ｘ＋２＝０；（２）求函数ｆ（ｘ）＝ｘ２－３ｘ＋２的图像与ｘ轴交点的横坐标。（观察方程的解与函数图像与ｘ轴交点的关系）设计意图：通过熟知的方程和函数，发现它们之间的关系，理解零点定义，培观察、分析能力。２．等价关系：“方程ｆ（ｘ）＝０有实数解”等价于“函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图像与ｘ轴有交点”等价于“函数ｙ＝ｆ（ｘ）有零点”利用函数图像判断下列方程有无实数解，有几个？（１）2350xx−++=；（２）2(2)3xx−=−；（３）252xx−=；（４）244xx=−设计意图：用已学知识求解相应函数的零点，加深理解函数零点与方程解的关系。知识拓展：数形结合。巩固旧知，体会方法的区别和数形结合思想的巧妙。分析（２）（３）（４），引导学生采用数形结合法，做两个函数的图像，图像的交点个数即零点个数。３．零点存在性定理探究：观察函数2()23fxxx=−−的图像（如图）区间［－２，１］上(2)0,(1)0ff−><，即：(2)(1)0ff−⋅<，ｘ＝－１是2230xx−−=的一个解；区间［２，４］上(2)0,(4)0ff<>，即(2)(4)0ff⋅<，ｘ＝３是2230xx−−=的另一个解。零点存在性定理：若函数ｙ＝ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即，则在区间（ａ，ｂ）内，函数ｙ＝ｆ（ｘ）至少有一个零点，即相应的方程ｆ（ｘ）＝０在区间（ａ，ｂ）内至少有一个实数解。应用举例例１．已知函数2()3xfxx=-．问：方程()0fx=在区间［－１，０］内有无实数解？为什么？分析：零点存在性定理的直接应用。解略（强调：①图像必修是连续曲线；②端点处函数值乘积小于０）例２．判定方程（ｘ－２）（ｘ－５）＝１有两个相异的实数解，且一个大于５，一个小于２。分析：数形结合思想和零点存在性的灵活运用。解略三、巩固新知判断下列函数有无零点，有几个，说明理由。（１）26yxx−−；（２）31yx=−；（３）||39xy=−；（４）1yx=；设计意图：通过具体函数及对应图像，理解函数零点存在的判断方法，充分理解“至少有一个”的具体含义，并能进行简单应用，体会由特殊到一般的学习方式。四、课堂小结:（１）函数零点的概念；（ ２）函数零点或相应方程的根的存在性判断；（３）确定函数零点的方法。五、作业布置 习题4-1 A组 1，2六、教学反思通过课件，将抽象的知识形象化，学生能亲身体验知识产生。理解用函数性质判定方程解的存在的方法，并能较好的应用此知识点选择合适的突破点进行判断方程的解的存在。针对学有余力和学习困难的学生，在作业和课后练习中分别做适当的调整。如果多媒体在本课中师生交互性方面的功能再强一点会更好。《利用函数性质判定方程解的存在》教学设计陕西师范大学数学与信息科学学院 张 伟摘 要：备课要认真研读课标、教材，了解学情，做好教学设计和教学活动安排。本文就北师大版高中必修一第四章《利用函数性质判定方程解的存在》在课标的指导下，根据学情做如下设计。关键词：课程设计 函数 零点文章编号：ＩＳＳＮ２０９５－６７１１／Ｚ０１－２０１６－１２－０１４６
北师大版高中数学必修第一册《利用函数性质判定方程解的存在性》评课稿
介绍
本文是对北师大版高中数学必修第一册中《利用函数性质判定方程解的存在性》这一章节的评课稿。本章主要讲解了如何通过利用函数性质来判定方程解的存在性。通过学习本章，学生将能够掌握判断一元二次方程、绝对值方程和分式方程解的存在性的方法和技巧。本评课稿将从教材内容的组织、教学目标的达成度、教学方法的灵活性以及学生对知识的掌握程度等方面进行评价和总结。
教材内容的组织
本章的教材内容组织合理，层次清晰，基本符合学生的认知规律。从解一元二次方程开始，逐渐引入绝对值方程和分式方程的求解，形成了一个由易到难、由简单到复杂的教学过程。在每一小节中，教材都以实际问题为例子，具体说明了如何利用函数性质来判定方程解的存在性。通过实际问题的引入，不仅提高了学生的学习兴趣，还帮助学生更好地理解和应用知识。
教学目标的达成度
学生在学习本章后应能够： - 理解并应用一元二次方程的解的性质，判断方程解的存在性。 - 掌握绝对值方程的解的性质，准确判定方程解的存在性。 - 理解并运用分式方程解的性质，判定方程解的存在性。
通过对学生的学习情况的观察和测试，大部分学生能够达到上述学习目标。他们能够准确地判断方程解的存在性，并能够应用所学知识解决实际问题。然而，在对一些复杂问题的应用上，仍有部分学生存在困难，部分学生对分式方程解的判断仍存在不确定性。因此，在教学过程中，可以适当增加一些练习和巩固的环节，帮助所有学生更好地掌握这些知识和技巧。
教学方法的灵活性
教学过程中教师采用了多种灵活的教学方法，如讲解、示范、讨论和练习等。教师在引入新知识时，注重通过简单明了的语言和具体的例子来解释概念和原理，使学生易于理解。在讲解过程中，教师积极与学生互动，鼓励学生提问、思考和讨论，促进学生的主动学习。同时，教师还设计了一些小组活动和练习，让学生在合作中巩固所学内容，提高解题能力。
《函数的零点》
一、教材分析 内容地位与作用 “函数的零点”是必修1第二章《函数与方程》的第一课时。函数与方程是高中数学的重要内容之一，函数与方程思想在新课程教学中有着不可替代的重要位置。引入函数的零点，就是要用函数的观点统帅中学代数，把解方程问题纳入到函数的问题中。 本节要求结合函数的图象和性质来理解函数零点的概念及函数零点与方程根的关系，进而利用零点作函数的简图；通过探究的方式获得图像连续的函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“二分法求方程的近似解”和后续算法的学习做好知识上和思想上的准备。 重点、难点和关键 教学重点：函数零点的概念及求法。 教学难点：利用零点作函数图象及零点存在的判定方法。 关键：以学生熟悉的一次、二次函数为出发点，精心设计问题，将难点分解，搭建探究的平台，引导学生合作讨论、相互交流，积极参与到课堂教学中。结合多媒体动态演示加强学生的直观感受，完善其认知结构，从而达到突破难点的效果。
二、教学目标： 1、知识与技能：使学生理解函数零点的概念，领会函数的零点与方程根的关系，初步了解图像连续的函数在某个区间上存在零点的判定方法。 2、过程与方法：通过学生自主探究的过程，领悟函数与方程、数形结合、化归的数学思想以及由具体到抽象、有特殊到一般的的推理方法。 3、情感、态度、价值观：在问题的提出、探究和解决的过程中，让学生体会用联系、运动变化的观点来思考和认识问题，体验数学的内在美,激发学习热情,培养学生的创新意识和科学精神。
三、学情分析： 学生大多不清楚为什么要研究函数的零点，因为在此之前他们都能用公式法求解方程的根。所以，教学时首先解决这一问题，通过举例让学生知道，有许多方程不能用公式法求解，为了研究更多方程的根，有必要学习函数的零点，如果带着这样的疑问学习，必然会激发其求知欲，从而提高学习的效率。
四、教学方法和教学手段 主要采取教师启发引导，学生探究学习的教学方法。创设适当的问题情境，激发学生的思维，引导学生通过观察、计算、作图，思考理解问题的本质。 在教学手段方面，我利用几何画板，采用多媒体辅助教学方式，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识，同时采用实物投影，加强练习的反馈和矫正。
