利用函数性质判断方程解的存在教案

第1节 方程解的存在性及方程的近似解

5.1.1利用函数性质判定方程解的存在性

本部分内容是在学生学习了函数的定义、性质、图像、性质都已经熟悉的基础上，进一步研究函数与其他数学知识的有机联系，这里结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理(逻辑推理)，集中研究的是判定方程实数解的存在性，运用函数来解决实际问题。

(1)知识目标：

理解函数零点的意义，能够判定方程解的存在性。

(2)核心素养目标：

通过具体实例，感受数学的应用价值，养成严谨治学的态度和积极探索的精神。

重点：理解函数零点的意义，能够判定方程解的存在性。

难点：方程实数解的存在区间的求解。

多媒体课件

一、知识引入

函数零点：我们把函数y=f(x)的图像与横轴交点的横坐标称为这个函数的零点。函数y=f(x)的零点可以理解成方程f(x)=0的解。 你能从函数y=f(x)图像中找到函数零点吗？

依据定义找到函数零点： -1,1,3。

1、观察上述三个函数图像中零点附近的图像你能得什么结论吗？

零点附近的图像是从上到下或者从下到上地穿过x轴。（零点即交点）

2、零点两侧的附近区间内自变量x对应的函数值一正一负。（即f(a)f(b)﹤0）

3、此类零点称为变号零点。

作出函数xy1图像确定函数有没有零点？

能否用上述结论中f(a)f(b)﹤0来判断函数有零点？

得出结果：函数没有零点，用f(a)f(b)﹤0判断零点必须是在连续区间（a,b）上。

零点的判断方法：

（1）几何法：函数y=f(x)图像与x轴交点横坐标，即有几个交点就有几个零点。

（2）代数法：零点存在定理

函数y=f(x)图像在(a,b)上是连续的。

满足f(a)f(b)﹤0

则函数f(x)在区间(a,b)上至少一个零点。

如何判定函数f(x)在区间(a,b)上有唯一零点？引导学生在上述基础上加入单调性，来确定唯一零点。

二、例题解析

例1 方程3x-x2=0在区间[-1,0]内有没有解？为什么？ 解 设函数f（x）=3x-x2在区间[-1，0]上连续，

利用函数性质判定方程解的存在

一、教材分析

《利用函数性质判定方程解的存在》是北师大版教材必修一，第四章，第一节的内容。

函数在数学中占据着不可替代的核心地位，它与其它知识具有广泛的联系，而本节课“利用函数性质判定方程解的存在”就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机地联系在一起。

本节内容起着承上启下的作用：在函数性质的基础上，利用函数的图象和性质来判断方程根的存在，是函数图像与性质内容的延续。函数零点的概念和函数零点存在的判定方法，这又是学习下一节“利用二分法求方程的近似解”

的基础。

同时，本节课还是培养学生“数形结合思想”、“ 函数与方程思想”、“ 转化与化归思想”的优质载体。

二、学情分析

学生已经具备了：(1)基本初等函数的图象和性质；(2)初步了解一元二次方程和相应二次函数的关系；(3)初步具备将“数”与“形”相结合及转化的意识。

缺乏的能力：(1)应用函数解决问题的能力还不强；(2)由特殊到一般的归纳能力还不够；(3)数形结合的思想敏锐性还有待提高。

三、教学目标：

1.知识与技能：

（1）能说出函数零点的概念

（2）能归纳并叙述函数零点存在性定理

（3）会判断函数零点的个数和所在区间

2.过程与方法：

经历“类比—归纳—应用”的过程；经历方程与函数的转化过程

3.情感、态度与价值观：

体验自主探究，合作交流的乐趣；体会事物间普遍联系的辩证思想

四、教学重点、难点： 重点：函数零点的概念，函数零点的判定方法。

难点：探究发现函数零点的存在性，利用函数的图像和性质判断函数零点的个数

五、教法学法：

教法：启发—探究—讨论

学法：自主—合作—交流

六、教学过程：

教学准备：导学案，多媒体

课时安排：1课时

（一）设问激疑，创设情景

问题引入：求下列方程的根

前两个方程学生容易求解，后两个却无从下手，于是，引出本节课所要解决的问题，同时引入本节课题《利用函数性质判定方程解的存在》。

精 品 教 学 设 计

1.1利用函数性质判定方程解的存在

一、教学目标

以二次函数的图象与对应的一元二次方程的关系为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系，发现并掌握在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法；学会在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法。让学生在探究过程中体验发现的乐趣，体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想，培养学生的辨证思维以及分析问题解决问题的能力。

二、教学重点难点

重点：函数零点与方程根之间的关系；连续函数在某区间上存在零点的判定方法。

难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法。

三、教学程序设计

(一)设问激疑，创设情景

问题1

一元一次方程10x的根和相应的一次函数()1fxx的图象与x轴交点坐标有何关系？

问题2

一元二次方程2320xx的根和相应的二次函数2()32fxxx的图像与x轴交点坐标有何关系？

(二)启发引导，形成概念

函数零点的概念：

我们把函数的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点。

等价关系：

方程()0fx有实数根

函数()yfx的图像与x轴有交点

函数()yfx有零点

例如：判断函数12yx零点的个数.

解：通过分类讨论把绝对值函数转化为分段函数，作出

函数图像。函数12yx的图像与x轴有两个交点，

所以函数有两个零点。

练习：求下列函数的零点：

2(1).()56fxxx

(2).()21xfx

(三)讨论探究，揭示定理

思考：函数()yfx在某个区间上是否一定有零点？怎样的条件下，函数()yfx一定有零点？

观察函数()1fxx的图像，此函数在区间0,2上有没有零点？

计算函数()1fxx在区间0,2的两个端点对应的函数值(0)f和(2)f的乘积，你能发现这个乘积有何特点？

观察函数2()32fxxx的图像，此函数在区间0,1.5上有没有零点？

《利用函数性质判定方程解的存在》教案

教学目标

1.理解函数的零点，通过类比归纳，帮助学生提高数学抽象素养；

2.理解函数零点存在性定理，通过合作交流，体验由直观想象到数学抽象的核心素养；

3.会判断函数零点的个数和所在区间，帮助学生树立严谨的数学运算素养。

教学重难点

重点：理解函数零点的概念，掌握函数零点的判定方法。

难点：探究发现函数零点的存在性。

教学方法

启发式讲解，自主探究，合作探究等相结合

教学过程

一， 问题情境

1.从图片上你看到了什么，有何启示？

2.方程062lnxx有解吗？有几个呢？

二，新课探究

自主探究：从不同的角度看12xy

先让学生从形和数的角度看等式，接着当0y时，引导学生求出结果，再让学生从不同角度看0.5. T：引导学生画图回答问题，师生共同总结，得出零点的概念

函数的零点：我们把函数y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点.

注意：函数的零点  方程0y的根  函数)(xfy图像与x轴交点的横坐标. （数的角度） （形的角度）

思考：零点是不是点？函数都有零点？

活动一：学以致用

快速抢答：函数)3)(2)(1()(xxxxf零点个数为（）

A.1 B.-2 C.(1,0) ,(-2,0),(3,0) D.1,-2,3

小试牛刀：用图像法求方程3)2(2xx的根。

T：提示学生方程转化为函数角度。

合作探究：小马过河了吗？

观察下列两组画面,请你推断一下哪一组一定

说明小马已经成功过河？

问1：如果将河流抽象成x轴，将小马前后的两个

位置抽象为A、B两点。请问当A、B与x轴满足

怎样的位置关系时，AB间的一段连续函数图象与x轴一定有交点（即小马的运动轨迹一定经过小河）？并画出函数图像。

问2：结合所画图像，试用恰当的数学语言表述小马在什么情况下一定成功过河呢？