课题§1利用函数性质判定方程解的存在

第1节 方程解的存在性及方程的近似解

5.1.1利用函数性质判定方程解的存在性

本部分内容是在学生学习了函数的定义、性质、图像、性质都已经熟悉的基础上，进一步研究函数与其他数学知识的有机联系，这里结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理(逻辑推理)，集中研究的是判定方程实数解的存在性，运用函数来解决实际问题。

(1)知识目标：

理解函数零点的意义，能够判定方程解的存在性。

(2)核心素养目标：

通过具体实例，感受数学的应用价值，养成严谨治学的态度和积极探索的精神。

重点：理解函数零点的意义，能够判定方程解的存在性。

难点：方程实数解的存在区间的求解。

多媒体课件

一、知识引入

函数零点：我们把函数y=f(x)的图像与横轴交点的横坐标称为这个函数的零点。函数y=f(x)的零点可以理解成方程f(x)=0的解。 你能从函数y=f(x)图像中找到函数零点吗？

依据定义找到函数零点： -1,1,3。

1、观察上述三个函数图像中零点附近的图像你能得什么结论吗？

零点附近的图像是从上到下或者从下到上地穿过x轴。（零点即交点）

2、零点两侧的附近区间内自变量x对应的函数值一正一负。（即f(a)f(b)﹤0）

3、此类零点称为变号零点。

作出函数xy1图像确定函数有没有零点？

能否用上述结论中f(a)f(b)﹤0来判断函数有零点？

得出结果：函数没有零点，用f(a)f(b)﹤0判断零点必须是在连续区间（a,b）上。

零点的判断方法：

（1）几何法：函数y=f(x)图像与x轴交点横坐标，即有几个交点就有几个零点。

（2）代数法：零点存在定理

函数y=f(x)图像在(a,b)上是连续的。

满足f(a)f(b)﹤0

则函数f(x)在区间(a,b)上至少一个零点。

如何判定函数f(x)在区间(a,b)上有唯一零点？引导学生在上述基础上加入单调性，来确定唯一零点。

二、例题解析

例1 方程3x-x2=0在区间[-1,0]内有没有解？为什么？ 解 设函数f（x）=3x-x2在区间[-1，0]上连续，

利用函数性质判定方程解的存在

一、教材分析

《利用函数性质判定方程解的存在》是北师大版教材必修一，第四章，第一节的内容。

函数在数学中占据着不可替代的核心地位，它与其它知识具有广泛的联系，而本节课“利用函数性质判定方程解的存在”就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机地联系在一起。

本节内容起着承上启下的作用：在函数性质的基础上，利用函数的图象和性质来判断方程根的存在，是函数图像与性质内容的延续。函数零点的概念和函数零点存在的判定方法，这又是学习下一节“利用二分法求方程的近似解”

的基础。

同时，本节课还是培养学生“数形结合思想”、“ 函数与方程思想”、“ 转化与化归思想”的优质载体。

二、学情分析

学生已经具备了：(1)基本初等函数的图象和性质；(2)初步了解一元二次方程和相应二次函数的关系；(3)初步具备将“数”与“形”相结合及转化的意识。

缺乏的能力：(1)应用函数解决问题的能力还不强；(2)由特殊到一般的归纳能力还不够；(3)数形结合的思想敏锐性还有待提高。

三、教学目标：

1.知识与技能：

（1）能说出函数零点的概念

（2）能归纳并叙述函数零点存在性定理

（3）会判断函数零点的个数和所在区间

2.过程与方法：

经历“类比—归纳—应用”的过程；经历方程与函数的转化过程

3.情感、态度与价值观：

体验自主探究，合作交流的乐趣；体会事物间普遍联系的辩证思想

四、教学重点、难点： 重点：函数零点的概念，函数零点的判定方法。

难点：探究发现函数零点的存在性，利用函数的图像和性质判断函数零点的个数

五、教法学法：

教法：启发—探究—讨论

学法：自主—合作—交流

六、教学过程：

教学准备：导学案，多媒体

课时安排：1课时

（一）设问激疑，创设情景

问题引入：求下列方程的根

前两个方程学生容易求解，后两个却无从下手，于是，引出本节课所要解决的问题，同时引入本节课题《利用函数性质判定方程解的存在》。

当代教育实践与教学研究

内容分析：本节是以函数的定义性质和特殊函数，并对函数图像性质都已熟悉为基础，经启发引导得出相应结论，培养探究和应用新知解决问题的兴趣和能力。教学目标：１．知识技能：（１）正确认识函数与方程的关系，能说明方程的根、函数图像与ｘ轴交点横坐标、函数零点的关系。（２）理解函数零点存在性定理，判断函数零点的存在区间。能利用函数图像性质判断某些函数零点的个数。２．过程与方法：在近似计算的学习中感受近似、逼近等数学思想的含义和作用。３．情感、态度价值观：拓展视野，体会不同内容之间的内在联系。学习者特征：数形结合和抽象思维能力不足，不能发现知识之间的联系。函数与方程联系观点的建立和函数应用意识的树立，是本节的关注点。教学重点：零点存在的判定条件；教学难点：函数零点的概念，函数零点与相应方程解的关系；突破重难点的措施：自主探究，数形结合帮助学生理解定理把握重点；结合图像对函数零点形成直观认识，探索判断函数零点的方法突破难点。教学过程设计一、质疑引新解方程擂台赛：（学生动手发现问题）（１）ｘ－１＝０；　（２）ｘ２－３ｘ＋２＝０；　（３）ｘ３－２ｘ＋２＝０；　（４）２ｘ－ｘ＝０；　（５）ｌｇｘ－1x＝０设计意图：（１）（２）易解，（３）（４）（５）不会解。引发思考导入新课。二、体验过程１．函数的零点：函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图像与横轴交点的横坐标称为这个函数的零点．　探究一：（１）解方程：ｘ－１＝０；（２）求函数ｆ（ｘ）＝ｘ－１的图像与ｘ轴的交点坐标？并做出函数图像。探究二：（１）解方程：ｘ２－３ｘ＋２＝０；（２）求函数ｆ（ｘ）＝ｘ２－３ｘ＋２的图像与ｘ轴交点的横坐标。（观察方程的解与函数图像与ｘ轴交点的关系）设计意图：通过熟知的方程和函数，发现它们之间的关系，理解零点定义，培观察、分析能力。２．等价关系：“方程ｆ（ｘ）＝０有实数解”等价于“函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图像与ｘ轴有交点”等价于“函数ｙ＝ｆ（ｘ）有零点”利用函数图像判断下列方程有无实数解，有几个？（１）2350xx−++=；（２）2(2)3xx−=−；（３）252xx−=；（４）244xx=−设计意图：用已学知识求解相应函数的零点，加深理解函数零点与方程解的关系。知识拓展：数形结合。巩固旧知，体会方法的区别和数形结合思想的巧妙。分析（２）（３）（４），引导学生采用数形结合法，做两个函数的图像，图像的交点个数即零点个数。３．零点存在性定理探究：观察函数2()23fxxx=−−的图像（如图）区间［－２，１］上(2)0,(1)0ff−><，即：(2)(1)0ff−⋅<，ｘ＝－１是2230xx−−=的一个解；区间［２，４］上(2)0,(4)0ff<>，即(2)(4)0ff⋅<，ｘ＝３是2230xx−−=的另一个解。零点存在性定理：若函数ｙ＝ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即，则在区间（ａ，ｂ）内，函数ｙ＝ｆ（ｘ）至少有一个零点，即相应的方程ｆ（ｘ）＝０在区间（ａ，ｂ）内至少有一个实数解。应用举例例１．已知函数2()3xfxx=-．问：方程()0fx=在区间［－１，０］内有无实数解？为什么？分析：零点存在性定理的直接应用。解略（强调：①图像必修是连续曲线；②端点处函数值乘积小于０）例２．判定方程（ｘ－２）（ｘ－５）＝１有两个相异的实数解，且一个大于５，一个小于２。分析：数形结合思想和零点存在性的灵活运用。解略三、巩固新知判断下列函数有无零点，有几个，说明理由。（１）26yxx−−；（２）31yx=−；（３）||39xy=−；（４）1yx=；设计意图：通过具体函数及对应图像，理解函数零点存在的判断方法，充分理解“至少有一个”的具体含义，并能进行简单应用，体会由特殊到一般的学习方式。四、课堂小结:（１）函数零点的概念；（　２）函数零点或相应方程的根的存在性判断；（３）确定函数零点的方法。五、作业布置 习题4-1 A组 1，2六、教学反思通过课件，将抽象的知识形象化，学生能亲身体验知识产生。理解用函数性质判定方程解的存在的方法，并能较好的应用此知识点选择合适的突破点进行判断方程的解的存在。针对学有余力和学习困难的学生，在作业和课后练习中分别做适当的调整。如果多媒体在本课中师生交互性方面的功能再强一点会更好。《利用函数性质判定方程解的存在》教学设计陕西师范大学数学与信息科学学院 张　伟摘　要：备课要认真研读课标、教材，了解学情，做好教学设计和教学活动安排。本文就北师大版高中必修一第四章《利用函数性质判定方程解的存在》在课标的指导下，根据学情做如下设计。关键词：课程设计　函数　零点文章编号：ＩＳＳＮ２０９５－６７１１／Ｚ０１－２０１６－１２－０１４６

精 品 教 学 设 计

1.1利用函数性质判定方程解的存在

一、教学目标

以二次函数的图象与对应的一元二次方程的关系为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系，发现并掌握在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法；学会在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法。让学生在探究过程中体验发现的乐趣，体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想，培养学生的辨证思维以及分析问题解决问题的能力。

二、教学重点难点

重点：函数零点与方程根之间的关系；连续函数在某区间上存在零点的判定方法。

难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法。

三、教学程序设计

(一)设问激疑，创设情景

问题1

一元一次方程10x的根和相应的一次函数()1fxx的图象与x轴交点坐标有何关系？

问题2

一元二次方程2320xx的根和相应的二次函数2()32fxxx的图像与x轴交点坐标有何关系？

(二)启发引导，形成概念

函数零点的概念：

我们把函数的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点。

等价关系：

方程()0fx有实数根

函数()yfx的图像与x轴有交点

函数()yfx有零点

例如：判断函数12yx零点的个数.

解：通过分类讨论把绝对值函数转化为分段函数，作出

函数图像。函数12yx的图像与x轴有两个交点，

所以函数有两个零点。

练习：求下列函数的零点：

2(1).()56fxxx

(2).()21xfx

(三)讨论探究，揭示定理

思考：函数()yfx在某个区间上是否一定有零点？怎样的条件下，函数()yfx一定有零点？

观察函数()1fxx的图像，此函数在区间0,2上有没有零点？

计算函数()1fxx在区间0,2的两个端点对应的函数值(0)f和(2)f的乘积，你能发现这个乘积有何特点？

观察函数2()32fxxx的图像，此函数在区间0,1.5上有没有零点？