高考冲刺练习——河南省开封市2022届高三三模理科数学试题(含答案解析)

开封市2024届高三年级第三次质量检测数 学本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时．选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动．用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后．将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1 设复数z 满足()1i 1z -=-，则z=（ ）A. 1B.C.D. 22. 已知向量()2,1a =r ，()1,a b m += ，若a b∥，则m =（ ）A. 3-B. 3C. 12-D.123. 设U =R ，已知集合{}{}|1,|A x x B x x a =≥=>，且()U A B R ⋃=ð，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()1,+∞B. (],1-∞C. [)1,+∞D. (),1-∞4. 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1次抽到几何题的条件下，第2次抽到代数题的概率是（ ） A.34B.310C.325D.6255. 已知9log 41a =，则2a -=（ ） A.19B.18C.13D. 36. 在某项测验中，假设测验数据服从正态分布()78,16N．如果按照16%，34%，34%，16%的比例将测.验数据从大到小分为A ，B ，C ，D 四个等级，则等级为A 的测验数据的最小值可能是（附：若()2,X N μσ ，则()0.6827P X μσ-≤≈，()20.9545P X μσ-≤≈）（ ）A. 94B. 86C. 82D. 787. 已知点F 是抛物线24y x =的焦点，M ,N 是该抛物线上两点，6MF NF +=，则MN 中点的横坐标为（ ） A.32B. 2C.52D. 38. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n T 为数列{}n a 的前n 项积，若11a =，1n n a S +=，则满足1000n T >的n 的最小值是（ ） A. 5B. 6C. 7D. 8二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 椭圆()2222:101x y C m m m +=>+的焦点为1F ，2F ，上顶点为A ，直线1AF 与C 的另一个交点为B ，若12π3F AF ∠=，则（ ） A. C 的焦距为2B. C的短轴长为C. CD. 2ABF △的周长为810. 已知函数()22cos sin f x x x =-，将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度后得到函数()g x 的图象，则（ ）A. 函数()g x 的周期为πB. 函数()g x 图象关于直线π3x =对称 C. 函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D. 函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最小值为12-11. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()f x y f x y f x f y ++-=，()11f =，则（ ）的的的A. ()02f =B. ()()33f x f x -=+C. ()f x 是周期函数D. ()f x 的解析式可能为()π2sin6f x x = 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若18a =，460a a +=，则8S =________ 13. 已知函数 ()1f x x x=-的值域为[0,)+∞，则()f x 的定义域可以是______ 14. 在矩形ABCD 中，2AB =，AD =AC 将矩形折成一个大小为θ的二面角B ACD --，当点B 与点D 之间的距离为3时cos θ=______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 某学校有A ，B 两家餐厅，A 餐厅有2种套餐选择，B 餐厅有4种套餐选择，且这6种套餐各不相同．A 餐厅距离教学楼相比于B 餐厅要近很多，经调查发现，100名不同性别的学生选择餐厅用餐的情况如下：男 女 在A 餐厅用餐 40 20 在B 餐厅用餐 1525（1）求某天甲、乙两名同学选择同一套餐用餐的概率；（2）依据0.005α=的独立性检验，能否认为性别与选择餐厅之间有关联? 附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++．α0.05 0.01 00050.001 x α3.8416.6357.87910.82816. 已知函数()33ln f x x x =-，()f x '为()f x 的导函数．（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）求函数()()()9g x f x f x x'=--的单调区间和极值． .17. 已知()1,0A -，()10B ,，对于平面内一动点()(),1P x y x ≠±，PM x ⊥轴于点M ，且AM ，PM ，BM 成等比数列．（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）已知过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点，若8AM AN ⋅=，求直线l 的方程．18. 已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，给出下列三个论断：①PC PD =；②AC PD ⊥；③BD ⊥平面PAC ．（1）以其中的两个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题，并证明； （2）在（1）的条件下，若1PA =，求四棱锥P ABCD -体积的最大值．19. 点S 是直线PQ 外一点，点M ，N 在直线PQ 上（点M ，N 与点P ，Q 任一点不重合）．若点M 在线段PQ 上，记()sin ,;sin SP PSM P Q M SQ MSQ ∠=∠；若点M 在线段PQ 外，记()sin ,;sin SP PSMP Q M SQ MSQ∠=-⋅∠．记()()(),;,;,,;P Q M P Q M N P Q N =．记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2b =，60A =︒，点D 是射线BC 上一点，且(),;2c B C D =．（1）若1AD =，求ADC ∠；（2）射线BC 上的点0M ，1M ，2M ，…满足(),;,n B C M D =，N n ∈， （i ）当0n =时，求08AM AD +的最小值； （ii ）当0n ≠时，过点C 作n n CP AM ⊥于n P ，记nn CP a n=，求证：数列{}n a 的前n 项和2n S <+．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设复数z 满足()1i 1z -=-，则z=（ ）A. 1B.C.D. 2【答案】B 【解析】【分析】利用复数的加减乘除四则运算求出z ，再求其模即得.【详解】由()1i 1z -=-可得11=1i iz =-+，则z =.故选：B.2. 已知向量()2,1a =r ，()1,a b m += ，若a b∥，则m =（ ）A. 3-B. 3C. 12-D.12【答案】D 【解析】【分析】根据向量的坐标运算及向量共线的坐标关系即可求解.【详解】由()2,1a = ，()1,a b m +=可得()()1,1b a b a m =+-=-- ，由a b∥可得()121m -=-，解得m =12，故选：D3. 设U =R ，已知集合{}{}|1,|A x x B x x a =≥=>，且()U A B R ⋃=ð，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()1,+∞ B. (],1-∞C. [)1,+∞D. (),1-∞【答案】D 【解析】【分析】由题设可得{}|1U A x x =<ð，根据已知集合的并集结果即可求a 的取值范围. 【详解】由题设，{}|1U A x x =<ð，又()U A B R ⋃=ð，{}|B x x a =>， ∴1a <. 故选：D4. 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1次抽到几何题的条件下，第2次抽到代数题的概率是（ ） A34B.310C.325D.625【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由条件概率的计算公式，代入计算，即可得到结果． 【详解】设事件A = “第1次抽到几何题”，事件B = “第2次抽到代数题”，所以2233(),()55410P A P AB ==⨯=，则3()310(|)2()45P AB P B A P A ===． 故选：A ．5. 已知9log 41a =，则2a -=（ ） A.19B.18C.13D. 3【答案】C 【解析】【分析】运用对数与指数的运算性质以及指数式与对数式的互化即可求得. 【详解】由9log 41a =可得49a =，即2(2)9a =，23a =，故123a-=. 故选：C.6. 在某项测验中，假设测验数据服从正态分布()78,16N．如果按照16%，34%，34%，16%的比例将测验数据从大到小分为A ，B ，C ，D 四个等级，则等级为A 的测验数据的最小值可能是（附：若()2,X N μσ ，则()0.6827P X μσ-≤≈，()20.9545P X μσ-≤≈）（ ）A. 94B. 86C. 82D. 78【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解． 【详解】测验数据服从正态分布()~78,16X N ， 则78μ=，4σ==，.故1()()0.162P X P X μσμσ--≤>+=≈，故A 等级的分数线应该是78482μσ+=+=． 故选：C7. 已知点F 是抛物线24y x =的焦点，M ,N 是该抛物线上两点，6MF NF +=，则MN 中点的横坐标为（ ） A.32B. 2C.52D. 3【答案】B 【解析】【分析】利用抛物线的定义和中点坐标公式求解.【详解】设点,M N 坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，抛物线24y x =的准线方程为=1x -， 由抛物线定义有，121,1MF x NF x =+=+, 所以12116x x +++=,124x x +=，故1222x x +=，选项B 正确． 故选：B.8. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n T 为数列{}n a 的前n 项积，若11a =，1n n a S +=，则满足1000n T >的n 的最小值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】B 【解析】【分析】根据1n n a S +=可得{}n S 为公比为2的等比数列，即可求解12n n S -=，进而可得222,n n n a -=≥，根据n T 的表示即可求解.【详解】由1n n a S +=可得112n n n n n S S S S S ++⇒=-=，110S =≠， 故{}n S 为公比为2的等比数列，故12n n S -=，所以112n n n a S -+==，故222,n n n a -=≥，因此22,2,1,1n n n a n -⎧≥=⎨=⎩故()()12012212312222n n n n nT a a a a ---==⨯⨯⨯= ，要使1000n T >，则()()12221000n n -->，当6n =时，1021000>，5n =时，621000<，且()()122n n --在5n ≥时，随着正整数n 的增大而增大，故n 的最小值为6， 故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 椭圆()2222:101x y C m m m +=>+的焦点为1F ，2F ，上顶点为A ，直线1AF 与C 的另一个交点为B ，若12π3F AF ∠=，则（ ） A. C 的焦距为2B. C的短轴长为C. CD. 2ABF △的周长为8【答案】ABD 【解析】【分析】根据12π3F AF ∠=以及椭圆的对称性可得222221b m a m ==+，进而可求解2,1a b c ===，即可根据选项逐一求解. 【详解】由于12π3F AF ∠=，所以12π6F AO OAF ∠=∠=,故11πcos 6AO b F AO AF a ∠=====因此222221b m a m ==+，故23m =， 所以椭圆22:143x y C +=，2,1a b c ===对于A ，焦距为22c =，故A 正确， 对于B，短轴长为2b =，B 正确，对于C ，离心率为12c e a ==，C 错误， 对于D ，2ABF △的周长为48a =，D 正确， 故选：ABD10. 已知函数()22cos sin f x x x =-，将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度后得到函数()g x 的图象，则（ ）A. 函数()g x 的周期为πB. 函数()g x 的图象关于直线π3x =对称 C. 函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D. 函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为12-【答案】AD 【解析】【分析】根据二倍角公式化简()cos 2f x x =，即可利用平移求解()πcos 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合选项即可逐一求解.【详解】()22cos sin cos 2f x x x x =-=，()ππcos 263g x f x x ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-=， 故数()g x 的周期为2ππ2=，A 正确， 对于B. 函数ππcos 133g ⎛⎫≠±⎪⎝⎭=，故()g x 不关于直线π3x =对称，B 错误， 对C. 当π0,,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则[]ππ2π2,0,π333x ⎡⎤∈⊄⎢⎥⎣⎦--，故函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦不是单调递减，C 错误，对于D. π0,,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则ππ2π2,333x ⎡⎤∈⎢⎣⎦--，故当π2π233x -=时，()g x 取最小值2π1cos32=-故D 正确， 故选：AD11. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()f x y f x y f x f y ++-=，()11f =，则（ ） A. ()02f = B. ()()33f x f x -=+C. ()f x 是周期函数D. ()f x 的解析式可能为()π2sin6f x x = 【答案】ABC 【解析】【分析】利用赋值法求()02f =判断A ；赋值法可得函数奇偶性即可判断D ；利用赋值法求得(1)()(1)f x f x f x +=--，化简得()(3)(6)f x f x f x =--=-，即可判断C,由周期性和奇偶性即可求解B.【详解】由()()()()++-=f x y f x y f x f y ，令1x =，0y =，有(1)(1)(1)(0)f f f f +=，可得()02f =,故A 正确； 令0x =，则()()()(0)()2f y f y f f y f y +-==，则()()f y f y =-， 函数()f x 是偶函数， 而()π2sin6f x x =为奇函数，故D 错误， ()11f =，令1y =，则()()(1)(1)()1f x f x f x f f x ++-==， 所以(1)()(1)f x f x f x +=--， 则()(1)(2)f x f x f x =---，(1)[(1)(2)](1)(2)f x f x f x f x f x +=-----=--，所以()(3)(6)f x f x f x =--=-，则()f x 周期为6，C 正确．由于()f x 为偶函数且周期为6，故()()()333f x f x f x ==-+-，B 正确， 故选：ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若18a =，460a a +=，则8S =________ 【答案】8【解析】【分析】利用等差数列的通项公式列方程求解公差，进而可以求出8S【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,∵18a =，460a a +=，∴2×8+8d =0，解得d =−2.则S 8=8×8−2×872⨯=8. 故答案为8.13. 已知函数 ()1f x x x=-的值域为[0,)+∞，则()f x 的定义域可以是______ 【答案】[1,0)[1,)-+∞ （答案不唯一）【解析】【分析】解分式不等式得到x 范围，写出符合题意的定义域即可. 【详解】令10x x-≥，解得10x -≤<或1x ≥， 则()f x 的定义域可以是[1,0)[1,)-+∞ ， 故答案为：[1,0)[1,)-+∞ （答案不唯一）.14. 在矩形ABCD 中，2AB =，AD =AC 将矩形折成一个大小为θ的二面角B AC D --，当点B 与点D 之间的距离为3时cos θ=______． 【答案】16【解析】【分析】根据向量的线性运算可得BD BE EF FD =++ ，利用模长公式，结合数量积的运算即可求解. 详解】分别作BE AC ⊥，DF AC ⊥，垂足为E ，F ，则,EB FD θ=〈〉 ．由2AB =，AD =4AC =，所以1,2AD DC EB FD AE CF EF AC⋅======． 因为BD BE EF FD =++ ，则 222222||()2BD BD BE EF FD BE EF FD BE FD ==++=+++⋅9343π)θ=+++-， 故1cos 6θ=， 故答案为：16． 【四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 某学校有A，B两家餐厅，A餐厅有2种套餐选择，B餐厅有4种套餐选择，且这6种套餐各不相同．A餐厅距离教学楼相比于B餐厅要近很多，经调查发现，100名不同性别的学生选择餐厅用餐的情况如下：男女在A餐厅用餐40 20在B餐厅用餐15 25（1）求某天甲、乙两名同学选择同一套餐用餐的概率；（2）依据0.005α=的独立性检验，能否认为性别与选择餐厅之间有关联?附：()()()()()22n ad bca b c d a c b dχ-=++++．α0.05 0.01 0.005 0.001xα3.841 6.635 7.879 10.828【答案】（1）11 50（2）依据0.005α=的独立性检验，认为性别与选择餐厅之间有关联【解析】【分析】（1）分别求解221132(),()55P A P B⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,212111(),()24P A A P A B==，利用全概率公式可求得所求事件的概率；（2）完善二联表，即可计算卡方，与临界值比较作答.【小问1详解】由表中数据可得，选择A 餐厅的概率为6031005=，选择B 餐厅的概率为4021005=， 设事件1A ：甲乙去A 餐厅用餐，事件1B ：甲乙去B 餐厅用餐，事件2A ：甲乙选择同一种套餐， 事件A: 甲、乙两名同学选择同一套餐用餐,221132(),()55P A P B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,212111(),()24P A A P A B == 则22121121312111()()()()()525450P A P A P A A P B P A B ⎛⎫⎛⎫=+=⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 故甲乙两人选择同一家餐厅的概率为1150 【小问2详解】根据数据可得方案一的列联表：男 女合计 在A 餐厅用餐40 2060B 餐厅用餐15 2540 合计 55 45 100零假设为0H ：认为性别与选择餐厅之间无关，根据列联表中的数据，经计算得到220.005100(20152540)8.2497.87955454060K x ⨯⨯-⨯=≈>=⨯⨯⨯， 依据小概率值0.005α=的独立性检验，可以推断0H 不成立，即性别与选择餐厅之间有关，此推断犯错误的概率不大于0.005．16. 已知函数()33ln f x x x =-，()f x '为()f x 的导函数．（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； 在（2）求函数()()()9g x f x f x x '=--的单调区间和极值．【答案】（1）1y =（2）见解析【解析】【分析】（1）利用导数求出()11f =，()10f '=，，代入直线的点斜式方程即可求出切线方程； （2）求出导函数，用列表法求出极值即可．【小问1详解】因为()33ln f x x x =-的定义域为(0,)+∞，23()3f x x x '=-，所以()11f =，()10f '=，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为1y =．【小问2详解】依题意，()()()32963ln 3g x f x f x x x x x x '=--=---，则()()()()322223123236()3632x x x g x x x x x x x x x ---=--+=-='+， 令()0g x '=，解得1x =或2x =．当x 变化时，()g x '，()g x 的变化情况如表所示： x (0,1) 1 ()1,2 2 (2,)+∞()g x ' ＋ 0 － 0 ＋()g x 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增∴函数()g x 单调递减区间为()1,2，单调递增区间为(0,1)，(2,)+∞．故()g x 的极小值为()273ln 2g =--，()g x 的极大值为()18g =-．17. 已知()1,0A -，()10B ,，对于平面内一动点()(),1P x y x ≠±，PM x ⊥轴于点M ，且AM ，PM ，BM 成等比数列．（1）求点P 的轨迹C 的方程； 的（2）已知过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点，若8AM AN ⋅= ，求直线l 的方程．【答案】（1）221y x =-()1x ≠±（2）)1y x =+ 【解析】 【分析】（1）根据点点距离，结合等比中项即可化简求解，（2）联立直线与曲线的方程，根据韦达定理可得22212,11k k M k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭22212,11k k N k k ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，即可利用向量数量积的坐标运算求解.【小问1详解】由题意可得(),0M x ，则1AM x =+，PM y =，1BM x =-，由于AM ，PM ，BM 成等比数列，所以2PMAM BM =， 即222111y x x y x =+-⇒=-， 故点P 的轨迹C 的方程为221y x =-()1x ≠± 【小问2详解】由（1）知点P 的轨迹C 的方程为：当1x >或221,1x x y <--=，当11x -<<时，221x y +=，如图；由题意可知直线l 有斜率，设l 方程为()1y k x =+，联立()()()2222221121011,y k x k x k x k x y x ⎧=+⎪⇒----=⎨-=<-⎪⎩， 则222211,1,11A M A M k k x x x x k k --+==-∴=-- ，故22222212121,,1111M k k k k y k M k k k k ⎛⎫⎛⎫++=+=∴ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭, 联立()()()22222211210111,y k x k x k x k x y x ⎧=+⎪⇒+++-=⎨+=-<<⎪⎩， 则222211,1,11A N A N k k x x x x k k --+==-∴=++ ，故22222212121,,1111N k k k k y k N k k k k ⎛⎫⎛⎫-+-+=+=∴ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭,22222211221181111k k k k AM AN k k k k⎛⎫⎛⎫+-+⋅=+++= ⎪⎪-+-+⎝⎭⎝⎭ ,解得212k k =⇒=，故直线方程为)1y x =+18. 已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，给出下列三个论断：①PC PD =；②AC PD ⊥；③BD ⊥平面PAC ．（1）以其中的两个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题，并证明；（2）在（1）的条件下，若1PA =，求四棱锥P ABCD -体积的最大值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）①②⇒③,根据AC ⊥平面PBD 以及三角形全等可证明PO ⊥平面ABCD ，即可由线面垂直的判定求解，③②⇒①,根据线面垂直可得四棱锥ABCD 是正四棱锥，即可求证，①③⇒②,根据线面垂直，结合三角形全等，可证明四棱锥ABCD 是正四棱锥，即可根据线面垂直得线线垂直，（2）根据正四棱锥性质，由体积公式得体积表达式，即可利用不等式求解最值.【小问1详解】①②⇒③,连接,AC BD 相交于O ，连接OP ，的由于底面ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，又AC PD ⊥，,,PD BD D PD BD =⊂ 平面PBD ，故AC ⊥平面PBD ，OP ⊂平面PBD ,故AC OP ⊥,由于,,OP OP OD OC PD PC ===，故POD POC ≅ ,因此OD OP ⊥,OC OD O,OC,OD =⊂ 平面ABCD ，故PO ⊥平面ABCD ，（可得四棱锥ABCD 是正四棱锥）BD ⊂平面ABCD ，故PO BD ⊥,又,,,AC BD AC PO O AC PO ⊥⋂=⊂平面PAC ,故BD ⊥平面PAC ．②③⇒①,连接,AC BD 相交于O ，连接OP ,由于底面ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，又AC PD ⊥，,,PD BD D PD BD =⊂ 平面PBD ，故AC ⊥平面PBD ，OP ⊂平面PBD ，故AC OP ⊥,又BD ⊥平面PAC ，OP ⊂平面PAC ，故BD OP ⊥,,,⋂=⊂AC BD O AC BD 平面ABCD ,故OP ⊥平面ABCD ,结合底面ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，所以四棱锥ABCD 是正四棱锥，故PC PD =，①③⇒②,连接,AC BD 相交于O ，连接OP ,BD ⊥平面PAC ，OP ⊂平面PAC ，故BD OP ⊥,由于,,OP OP OD OB ==故POD POB ≅ ,又,,OP OP OD OC PD PC ===,故POD POC ≅ , 故π2POD POC POB ∠=∠=∠=, 因此,PO OB PO OC ⊥⊥，,,OC OB O OC OB ⋂=⊂平面ABCD ，故OP ⊥平面ABCD , 故四棱锥ABCD 是正四棱锥，由于AC BD ⊥，又AC OP ⊥，,,OP BD D OP BD ⋂=⊂平面PBD ，故AC ⊥平面PBD ，PD ⊂平面PBD ,故AC PD ⊥,【小问2详解】无论选择哪两个条件，都可以推出四棱锥ABCD是正四棱锥，设四棱锥的底边边长为a，则四AO=，所以PO===，故1133P ABCD ABCDV S PO a-=⋅===，由于3222222111111114421442327a a aa a a⎡⎤⎛⎫++-⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎢⎥⋅-≤=⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦，当且仅当2211142a a⎛⎫=-⎪⎝⎭，即243a=时取等号，故13P ABCD ABCDV S PO-=⋅=≤=故四棱棱锥P ABCD-.19. 点S是直线PQ外一点，点M，N在直线PQ上（点M，N与点P，Q任一点不重合）．若点M在线段PQ上，记()sin,;sinSP PSMP Q MSQ MSQ∠=∠；若点M在线段PQ外，记()sin,;sinSP PSMP Q MSQ MSQ∠=-⋅∠．记()()(),;,;,,;P Q MP Q M NP Q N=．记ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知2b=，60A=︒，点D是射线BC上一点，且(),;2cB C D=．（1）若1AD=，求ADC∠；（2）射线BC上的点0M，1M，2M，…满足(),;,nB C M D=，Nn∈，（i ）当0n =时，求08AM AD +的最小值；（ii ）当0n ≠时，过点C 作n n CP AM ⊥于n P ，记n n CP a n=，求证：数列{}n a 的前n项和2n S <+．【答案】（1）π4CDA ∠=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据定义可得sin sin BAD CAD ∠=∠，即可根据余弦定理求解，（2）（i）根据等面积法可得012AM AD +=，即可利用不等式乘“1”法即可求解， （ii）由sin n n CP AC a α==.【小问1详解】 因为(),;0,2c B C D =>D 是线段BC 上一点，2b =， 所以()sin sin ,;,sin 2sin 2c BAD c BAD c B C D b CAD CAD ∠∠===∠∠故sin sin BAD CAD ∠=∠， 所以AD 为BAC ∠的角平分线，又π3A =,所以30BAD CAD ∠=∠= ,若1AD =+，在ACD中，由余弦定理可得))2222π2cos 4141cos 26CD AC AD AC AD CAD =+-⋅∠=+-⨯+=,故CD = 由正弦定理可得sin sin CD AC CAD CDA =∠∠,2sin CDA ∠=，解得sin CDA ∠=, 由于AD 是最大的边，所以π4CDA ∠=， 【小问2详解】设n CAM α∠=，（i ）当0n =时，因为()01,;,02B C M D =-<,所以0M 在线段BC 的延长线上， 所以πsin 1ππ32sin sin 2sin 2232c c ααααα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭=⇒+=⇒= ⎪⎝⎭， 因为00002ππsin sin 36ADM ADC ACM S S S AD AM AD AC AC AM =+⇒⋅=⋅+⋅, 012AM AD +=所以)001288AD AM AD AM AM AD ⎫⎛⎫⎫⎪+++= ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭当且仅当0082AD AM AM AD =,即02AM AD =取等号，此时0AM AD ==，由于0tan ACM ∠=>,0π3ACM ∠>，等号可以取到，故08AM AD +的最小值为 （ii ）当0n ≠，(),;,0n B C M D =<,所以n M 在线段BC 的延长线上，所以()πsin π132sin 1sin tan 2sin 3c n ααααα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭=⇒+=+⇒= ⎪⎝⎭，所以sin n n CP AC a α===,1n =时，所以112S a <+=2n ≥,221121n a n n n ⎛⎫=<<- ⎪-⎝⎭，所以12111111212122231n n S a a a n n n ⎛⎫⎛⎫=+++<-+-++-=-<+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 综上2n S <+【点睛】方法点睛：根据数列的递推关系，利用累加法求出数列的通项公式以及，利用裂项法进行求和是解决本题的关键；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于n n n c a b =+，其中{}n a 和{}n b 分别为特殊数列，裂项相消法类似于()11n a n n =+，错位相减法类似于n n n c a b =⋅，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列等.。

河南省开封高级中学2022-2023学年高三下学期核心模拟卷（中）理科数学（三）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}31A x x =-<<，集合{}220B x x x =-+<，则()U A B = ð（）A ．[0,1)B ．(3,0]-C ．(3,2]-D ．(,1)[2,)-∞+∞ 2．已知复数z 满足(23i)3i z +=-（i 是虚数单位），则在复平面上z 所对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知向量(2,cos )a α=- ，(1,sin )b α= ，且//a b，则2sin 22cos 3αα=+（）A ．423-B ．417-C ．417D ．4234．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，116a =-，()13n n a a n *+=+∈N ，则n S 取最小值时，n 的值是（）A ．5B ．6C ．7D ．85．在中国农历中，一年有24个节气，“立春”居首．北京2022年冬奥会开幕正逢立春，开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧．小张同学要从24个节气中随机选取4个介绍给外国的朋友，则这4个节气中含有“立春”的概率为（）A ．322B ．323C ．16D ．1126．已知2log 3.42022a =，4log 3.32022b =，2log 0.312022c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．a b c>>B ．b a c >>C ．c a b>>D ．a c b>>7．将函数21()cos sin 2f x x x x =-+的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（）①函数()g x 的图象关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称②函数()g x 在(π,π)-上有8个极值点③函数()g x 在区间ππ,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，最小值为12-④函数()g x 在区间ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增8．如图，已知正四棱锥P ABCD -的底面边长和高的比值为3，若点E 是棱PD 的中点，则异面直线PB 与CE 所成角的正切值为（）A B ．19C ．11D 9．在菱形ABCD 中，460AB A =∠=︒，，点P 是菱形ABCD 内部一点，且230PA PC PB ++= ，则PD PC ⋅=（）A ．43-B ．23-C ．23D ．4310．已知点(4,2)P -在抛物线2:2(0)C x py p =>的准线上，过点P 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（）A ．20x y -+=B ．220x y -+=C ．320x y -+=D ．240x y -+=11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，132a =，且12342n n n a a n ++=+，若不等式1(1)2nn n n S λ--<+对一切n *∈N 恒成立，则λ的取值范围为（）A ．313,24⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．515,24⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．717,24⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．919,24⎛⎫- ⎪⎝⎭12．已知函数()243,0ln ,0x x x f x x a x x ⎧-≤=⎨->⎩，若120,0x x ∀≤∃>，使得()()12f x f x =成立，则a的取值范围为（）A ．()[),01,-∞⋃+∞B ．()[),0e,-∞⋃+∞C ．(]0,1D ．(]0,e 二、填空题13．若52345012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则12345a a a a a ++++=______．14．已知函数1()51xf x a =++是奇函数，则不等式1(21)3f x ->-的解集为______．15．在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，14AB AC PA AB AC ⊥=+=，，，当三棱锥的体积最大时，三棱锥-P ABC 外接球的体积为______．16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 右支上的一点，124cos 5PF F ∠=，12F PF ∠的平分线与x 轴交于点M ，且1F M PM =，则C 的离心率为______．三、解答题17．设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin cos 0b C B =，且(sin sin )sin 1cos2A B C C +=-．(1)求证：53a c =；(2)若ABC 的面积为，求ABC 内切圆的半径．18．随着社会的进步，科技的发展，越来越多的大学本科生希望通过保研或者考研进入更理想的大学进行研究生阶段的学习．某大学为了解准备保研或者考研的本科生每天课余学习时间，随机抽取了400名大学生进行调查，将收集到的学习时间（单位：小时）数据分成5组：[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12]（学习时间均在[2,12]内），得到如图所示的频率分布直方图．(1)求m 的值，并估计这400名大学生每天课余学习时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)按分层抽样的方法从学习时间在[6,8)和[10,12]组中抽出8人，再从这8人中随机抽取3人，记X 表示抽到的3人中学习时间在[10,12]组中的人数，求X 的分布列和数学期望．19．在如图所示的多面体中，四边形ABEF 为正方形，平面ABEF ⊥平面CDFE ，//CD EF ，EF =2CD =2，且DF ⊥AE ．(1)求证：平面ADF ⊥平面ABEF ；(2)若二面角C -AE -F的余弦值为11，求该多面体的体积．20．如图，已知椭圆222:1(1)x C y a a+=>的左、右顶点分别为1A ，2A ，点P 是C 上的一点（不同于左、右顶点），且直线1PA 的斜率与直线2PA 的斜率之积为14-．(1)求C 的方程；(2)过点1A 作直线1PA 的垂线交C 于另外一点Q ，求2PQA △面积的最大值．21．已知函数()[ln(1)]e 1(R)x f x a x x x a =+-+--∈．(1)若1a =-，求()f x 的极值；(2)若()0f x ≥对任意的[0,)x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围．22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为5,12x y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（1）求C 的直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为(，l 与曲线C 的交点为,A B ，求11MA MB+的值．23．已知函数2()|31|3f x x x =-++．(1)求不等式25()33f x x x ≥-++的解集；(2)若0,0,0a b c >>>，函数()f x 的最小值为m ，且a b c m ++=，证明：22214914b c a ++≥．参考答案：1．C【分析】化简集合B ，然后利用集合的运算即可求解.【详解】由题意知(,0)(2,)B =-∞+∞ ，所以[]0,2U B =ð，所以()(3,2]U A B =- ð.故选：C.2．A【分析】由复数的乘法和除法运算化简复数，再结合共轭复数的定义即可得出答案.【详解】因为复数z 满足(23i)3i z +=-（i 是虚数单位），所以()()()()3i 23i 3i311i 311=i 23i 23i 23i 131313z ----===-++-，则311+i 1313z =，所以在复平面上z 所对应的点为3111313⎛⎫⎪⎝⎭，，位于一象限.故选：A.3．A【分析】由平行向量的坐标表示求出1tan 2α=-，再将所求表达式化为22sin 22tan 2cos 353tan αααα=++，代入即可得出答案.【详解】因为向量(2,cos )a α=- ，(1,sin )b α= ，且//a b，所以2sin cos 0αα--=，则1tan 2α=-，而222212sin 22sin cos 2tan 4232cos 35cos 3sin 53tan 2354αααααααα⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭====-++++.故选：A.4．B【分析】根据已知条件求出等差数列{}n a 的通项公式，，再利用0n a ≤，从而可得当6n =时，n S 取最小值.【详解】在数列{}n a 中，由13n n a a +=+，得()*13N n n a a n +-=∈，∴数列{}n a 是公差为3的等差数列，又116a =-，∴数列{}n a 是公差为3的递增等差数列，由()()1116313190n a a n d n n =+-=-+-=-≤，解得193n ≤，∵*N n ∈，∴当6n =时，n S 取最小值，故选：B ．5．C【分析】求出从24个节气中选择4个节气的情况，和4个节气中含有“立春”的情况，利用古典概型求概率公式进行求解.【详解】从24个节气中选择4个节气，共有424C 种情况，这四个节气中含有“立春”的情况有323C 种情况，故这4个节气中含有“立春”的概率为323424C 1C 6=.故选：C.6．D【分析】利用对数换底公式及对数运算性质变形，再利用对数函数和指数函数的单调性即得.【详解】依题意，()222log 0.310log log 0.331202220222022c -===，42log 3.3log =显然函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增，而103.43>>即22210log 3.4log log 3>>又2022x y =在R上单调递增，于是得2210log log 3.4log 3202220222022>>224log 0.3log 3.4log 3.31202220222022⎛⎫>> ⎪⎝⎭，所以有a c b >>.故选：D 7．B【分析】根据正弦的二倍角公式、降幂公式、辅助角公式，结合正弦型函数图象变换性质、对称性、最值的性质、极值的定义逐一判断即可.【详解】211cos 21π()cos sin sin 2sin 222226x f x x x x x x -⎛⎫=-+=-+=+ ⎪⎝⎭，因为将函数21()cos sin 2f x x x x =-+的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，所以()πsin 46g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.①：因为πππsin 41336g ⎛⎫⎛⎫=⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()g x 的图象关于直线π3x =对称，因此本说法不正确；②：()()()ππππ4cos 404πZ πZ 662412k g x x x k k x k ⎛⎫'=+=⇒++∈⇒=+∈ ⎪⎝⎭，因为(π,π)x ∈-，所以令4,3,2,1,0,1,2,3k =----，因此函数()g x 在(π,π)-上有8个极值点，所以本说法正确；③：因为ππ,24x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，所以π11π5π4666x ⎡⎤+∈--⎢⎥⎣⎦，()max min 5π1()π1,1242g x g g x g ⎛⎫⎛⎫=-==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此本说法正确；④：因为ππ,44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以令π5π7π4,666t x ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，显然当5ππ,62t ⎛⎫∈-- ⎝⎭时，函数sin 4y t =单调递减，因此本说法不正确，故选：B 8．C【分析】先根据正四棱锥的结构特征找到异面直线PB 与CE 所成的角，然后通过解三角形即可得解.【详解】如图，连接,BD AC 交于点O ，连接,OE OP ，则O 为,BD AC 的中点，且OP ⊥平面ABCD ，因为E 是棱PD 的中点，所以OE BP ∥，所以异面直线PB 与CE 所成的角为OEC ∠或其补角，因为AC ⊂平面ABCD ，所以OP AC ⊥，又,AC BD BD OP O ⊥⋂=，所以AC ⊥面PBD ，又OE ⊂面PBD ，所以OC OE ⊥，设AB a =，OP h =，则由题意得3ah =，2OB OC a ==，12OE BP ===所以在Rt OEC △中，2tan a OC h OEC OE ⋅∠=即异面直线PB 与CE所成角的正切值为11.故选：C.9．D【分析】建立平面直角坐标系，由230PA PC PB ++=，可得3P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，然后根据数量积的坐标表示即得.【详解】以菱形ABCD 的对角线AC 方向为x 轴方向，DB 方向为y 轴方向建立平面直角坐标系，则()()(0,2,0,2A B C D --，设(),P x y ，所以()()(),,,,2,PA x y PC x y PB x y ==---=-- ，又230PA PC PB ++= ，所以()()()(),,3,022,0x y x y x y ++------=，所以60,660x y =-=，即1x y ==，所以,13P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,13PC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，3PD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，所以PD PC ⋅=()4,313133333⎛⎫⎛⎫--⋅-=-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D ．10．A【分析】根据条件可得抛物线方程，然后求导可得过()11,A x y ，()22,B x y 两点的切线的斜率，写出切线方程，代入点(4,2)P -，由两点确定一条直线，即得.【详解】因为抛物线2:2(0)C x py p =>的准线为2p y =-，所以22p-=-，4p =，故抛物线2:8C x y =，28x y =，设切点为()11,A x y ，()22,B x y ，又14y x '=，则切线PA 的方程为：()11114y y x x x -=-，即1114y x x y =-，切线PB 的方程为：()22214y y x x x -=-，即2214y x x y =-，由(4,2)P -是PA 、PB 交点可知：112x y -=-，222x y -=-，由两点确定一条直线，可得过A 、B 的直线方程为2x y -=-，即20x y -+=故选：A.11．B【分析】由题可得1123221n n a a n n +=⋅++，利用等比数列的定义结合条件可得212n nn a +=，然后利用错位相减法可得()15252⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭nn S n ，再分类讨论可得λ的取值范围.【详解】因为12342n n n a a n ++=+，132a =，所以1123221n n a a n n +=⋅++，而11212a =+，所以21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以12为首项，公比为12的等比数列，所以1212n n a n =+，即212n n n a +=，所以23357212222n nn S +=++++L ，234113572122222n n n S ++=++++L ，所以1231111113222213212212222222212n n n n n n n S -++⎛⎫- ⎪++⎝⎭=++++-=+--L ，所以()15252⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭nn S n 由1(1)2nn n n S λ--<+，得()115252(1)2λ-⎛⎫-+ -<+⎪⎝⎭nn n n n ，则151(1)2λ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎣-<⎥⎦n n当n 为奇数时，有1512n λ⎛-⎫<- ⎪⎝⎭，所以52λ>-，当n 为偶数时，有1512n λ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，所以154λ<，综上，λ的取值范围为515,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：B.【点睛】关键点点睛：结合错位相减法求和，并讨论n 是奇数与偶数判断λ的取值范围是关键．12．B【分析】由120,0x x ∀≤∃>，使得()()12f x f x =成立，可得函数()2f x 的值域包含()1f x 的值域.利用二次函数的性质与导数分析0x ≤和0x >时，函数()f x 的单调性，进而求得()1f x 的值域和()2f x 的值域，从而求解.【详解】由120,0x x ∀≤∃>，使得()()12f x f x =成立，则函数()2f x 的值域包含()1f x 的值域.当0x ≤时，函数()243f x x x =-开口向上，对称轴38x =，所以()f x 在(],0-∞上单调递减，且()00f =，所以()[)10,f x ∈+∞；当0x >时，()ln f x x a x =-，则()1a x a f x x x'-=-=，①若0a >，当()0,x a ∈时()0f x '<，当(),x a ∈+∞时()0f x ¢>，所以()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增，所以()()min ln f x f a a a a ==-，即()[)2ln ,f x a a a ∞∈-+，所以ln 0a a a -≤，即1ln 0a -≤，解得e a ≥；②若0a <，则()0x af x x-'=>，()f x 在()0,∞+上单调递增，此时()ln f x x a x =-()0x >值域为R ，符合题意.③当0a =时，()f x x =()0x >的值域为()0,∞+，不符合题意.综上所述，实数a 的取值范围为()[),0e,-∞⋃+∞.故选：B.13．-33【分析】利用赋值法，分别代入1x =和0x =进行求解即可【详解】令1x =可得5(23)-=012345a a a a a a +++++=1-，令0x =可得05232a ==，即032a =，则12345a a a a a ++++=13233--=-故答案为：33-【点睛】本题考查赋值法研究二项式的系数和问题，属于基础题.“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如2(),()(,)n n ax b ax bx c a b R +++∈的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令1x =即可；对形如()(,)n ax by a b +∈R 的式子求其展开式各项系数之和，只需令1x y ==即可.14．(),1-∞【分析】由1()51x f x a =++为奇函数，求得12a =-，得到11()512x f x =-+，结合()f x 为减函数，且1(1)3f =-，把不等式转化为()(21)1f x f ->，即可求解.【详解】由题意，函数1()51x f x a =++为奇函数，可得011(0)0512f a a =+=+=+，解得12a =-，即11()512xf x =-+，其定义域为x ∈R ，经检验满足题意；因为11()512x f x =-+为减函数，且111(1)5123f =-=-+，所以不等式1(21)3f x ->-等价于()(21)1f x f ->，即211x -<，解得1x <，所以不等式1(21)3f x ->-的解集为(),1-∞.故答案为：(),1-∞.15．9π2【分析】根据棱锥体积公式及基本不等式可得2AB AC ==体积最大，然后利用长方体的性质及球的体积公式即得.【详解】由题可知三棱锥-P ABC 的体积为：211112326623P ABCAB AC V AB AC AP AB AC -+⎛⎫=⨯⋅⋅⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2AB AC ==时等号成立，此时，12PA AB AC ===，，将三棱锥-P ABC 补成长方体PEFG ABDC -，则三棱锥-P ABC 外接球的直径为23R ==，则32R =，因此，三棱锥-P ABC 外接球的体积为349ππ32R =.故答案为：9π2.16．207【分析】设12F PF θ∠=，可得4cos 5θ=，3sin 5θ=.结合1F M PM =，可得7cos 225θ=，24sin 225θ=，17cos 25PMF ∠=-.在1F PM 中，结合余弦定理可得185PF m =，在2F PM 中，由正弦定理可得()2825PF c m =-，进而得到58m a c =+.在12PF F △中，结合余弦定理可得3932m c =，进而得到395328c a c =+，可得720c a =，进而求解.【详解】如图，设12F PF θ∠=，则4cos 5θ=，即3sin 5θ=.因为PM 为12F PF ∠的平分线，且1F M PM =，所以12F PM MPF θ∠=∠=，所以227cos cos 22cos 125PMF θθ∠==-=，即17cos 25PMF ∠=-，24sin 22sin cos 25θθθ==.设1F M m =，则22F M c m =-，在1F PM中，1PF =，即185PF m =，在2F PM 中，由正弦定理得22sin sin 2F M PF θθ=，所以22324525PF c m -=，即()2825PF c m =-，又因为122PF PF a -=，所以()882255m c m a --=，即58m a c =+，在12PF F △中，2222112112122cos PF PF F F PF F F PF F =+-⋅⋅∠，所以()2226464842422252555c m m c m c -=+-⨯⨯⨯，解得3932m c =，所以395328c a c =+，即720c a =，所以207c e a ==.故答案为：207.17．(1)证明见解析；(2)1.【分析】（1）根据正弦定理边角互化结合条件可得2π3B =，然后利用二倍角公式和正弦定理得到20a b c +-=，使用余弦定理得到222a c b ac +-=-，两式联立即得；（2）利用面积公式得到20ac =，结合条件可得,,a b c ，然后利用三角形内切圆的性质j 结合条件即得.【详解】（1）由sin cos 0b C B +=，可得sin sin sin cos 0B C C B =，因为()0,πC ∈，sin 0C ≠，所以sin 0B B =，即tan B =()0,πB ∈，所以2π3B =，因为2(sin sin )sin 1cos 22sin A B C C C +=-=，又()0,πC ∈，sin 0C ≠，所以sin sin 2sin A B C +=，由正弦定理得：2a b c +=，由余弦定理得：2221cos 22a cb B ac +-==-，即222a c b ac+-=-将2b c a =-代入上式，()2222c a c ac a +-=--，化简可得：53a c =；（2）由面积公式得：1sin 2ac B ==，所以20ac =，又53a c =，可得：21003c =，因为0c >，所以3c =，a =，233b c a =-=-=，所以a b c ++=ABC 内切圆的半径为r ，则()12a b c r ++==所以1r =，即ABC 内切圆的半径为1.18．(1)0.09m =；8.12小时；(2)分布列见解析，()98E X =.【分析】（1）根据各组数据频率之和为1即可求出图中m 的值，利用平均数计算公式即可求出结果；（2）根据题意分析X 的可能取值为0，1，2，3，进而列出分布列求出结果.【详解】（1）由于各组数据频率之和为1，即()0.020.050.150.1921m ++++⨯=，则0.09m =，这400名大学生每天课余学习时间的平均值为：30.0450.170.390.38110.188.12⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(小时)；（2）由题可知学习时间在[6,8)和[10,12]组的频率分别为0.3,0.18，按分层抽样的方法从学习时间在[6,8)和[10,12]组中抽出8人，有5名在[6,8)内，3名在[10,12]内，则X 的可能取值为0，1，2，3，则()033538C C 50C 28P X ===，()123538C C 151C 28P X ===，()213538C C 152C 56P X ===，()3035381356C C C P X ===，即X 的分布列为X0123P52815281556156所以()51515190123282856568E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．19．(1)见解析(2)52【分析】（1）根据面面垂直的性质可得DF ⊥平面ABEF ，结合面面垂直的判定定理即可证明；（2）以F 为原点，FA FE FD ，，分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图，设FD h =，平面AEF 的法向是1n 和平面AEC 的法向量2n ，由二面角的公式求出32h =，该多面体的体积ADF PCG C PBEG V V V --=+，由椎体和柱体的体积公式求解即可.【详解】（1）因为平面ABEF ⊥平面CDFE ，平面ABEF ⋂平面CDFE EF =，DF EF ^，又EF ⊂平面ABEF ，所以DF ⊥平面ABEF ，DF ⊂平面ADF ，平面ADF ⊥平面ABEF.（2）因为AF EF ⊥，以F 为原点，FA FE FD ，，分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，设FD h =，可得()()()()()2,0,0,0,0,0,0,1,,2,2,0,0,2,0A F C h B E ，平面AEF 的法向是()10,0,1n =，设平面AEC 的法向是()2,,n x y z =u u r，则()()2,2,0,0,1,AE EC h =-=- ，可得22022000n AE x y y hz n EC ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩ ，令,1,x h z y h ===，所以平面AEC 的法向量()2,,1n h h =，设二面角C -AE -F 所成角为θ，所以121212cos cos,11n nn nn nθ⋅===，解得：32h=.分别取,AB EF的中点,P G，连接,,CG GP CP，因为//,CD FG CD FG=，所以四边形DFGC是平行四边形，所以//DF CG，由（1）知，DF⊥平面ABEF，所以CG⊥平面ABEF，113211332C PBEG PBEGV S CG-=⋅⨯=⨯⨯⨯=，因为DF⊥平面ABEF，EF⊂平面ABEF，所以DF EF^，又因为四边形ABEF为正方形，所以AF EF⊥，AF DF F⋂=，,AF DF⊂平面AFD，所以EF⊥平面AFD，所以13321222ADF PCG ADFV S CD-=⨯=⨯⨯⨯=该多面体的体积为52ADF PCG C PBEGV V V--=+=.20．(1)2214x y+=；(2)6425.【分析】（1）根据斜率之积为定值可求出a，进而可得椭圆方程；（2）设直线1A P的方程为()2y k x=+，联立椭圆方程求出222284,1414k kPk k⎛⎫-⎪++⎝⎭，进而得到Q，然后结合条件表示出2PQA△面积，再利用导数求函数的最值即可.【详解】（1）由椭圆，可得()()12,0,,0A a A a-，设()11,P x y，则221121x ya+=，所以2222111221x a xya a-=-=，又直线1PA 的斜率与直线2PA 的斜率之积为14-，所以2122112111114y y x a x a x a a y ⋅==--=-+-，所以24a =，所以椭圆的方程为2214x y +=；（2）不妨设直线1A P 的斜率为()0k k >，则直线1A P 的方程为()2y k x =+，代入椭圆得2214x y +=，可得()222214161640k x k x k +++-=，所以212164214k x k --=+，所以2122814k x k -=+，所以()1124214ky k x k =+=+，即222284,1414k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，设()22,Q x y ，由题可得()1:2AQ y x k=-+，同理可得2244ky k =-+，所以1A P =同理可得1A Q =所以2PQA △的面积为1211212111122A PA Q PQA S S S A A y y A P A Q =-=⋅--()()()222221144142144244132k k k k k k k k +=⨯⨯+-⋅++++，令()()()222114342k k k y k +++=，0k >，则()()()()()()()22222322213144132321631444k k k k k kk kk y +-++'+++=+()()()()222242214142443k k k k k -+++--=，由0'>y ，可得01k <<，函数单调递增；由0'<y ，可得1k >，函数单调递减，所以当1k =时，2PQA △的面积最大，最大值为6425.21．(1)极小值为0，无极大值；(2)(],1-∞．【分析】（1）对()f x 求导，然后构造()1e ()1,1xx x x g +->-=，对()g x 求导，从而确实'()f x的正负，进而即得；（2）由题可得()()1e ()11x x axf x x +-=-'+，然后通过构造函数，分1a ≤和1a >讨论，利用导数研究性质进而即得.【详解】（1）当1a =-时，()[ln(1)]e 1e ln(1)1x x f x x x x x =-+-+--=-+-，1x >-，所以()1e 11()e 11x xx f x x x +-'=-=++，设()1e ()1,1x x x x g +->-=，则()2(0e )xx g x +'=>，所以()g x 在()1,-+∞单调递增，又(0)0g =，∴()1,0x ∈-时，()()0,0g x f x '<<，()f x 单调递减；()0,x ∈+∞时，()()0,0g x f x '>>，()f x 单调递增；∴()f x 在0x =处有极小值，极小值为(0)0f =，无极大值；（2）因为()[ln(1)]e 1(R)x f x a x x x a =+-+--∈，所以()()1e ()e 1111x xx ax ax f x x x +-'=-=--++，设()()()1e ,01xh x x ax x -=+-≥，则()()()e 12e 11e x x x h x x a x a -+'=+-=+--，令()()2e 1,0xH x x a x =+--≥，则()()3e 0x H x x =+>'，所以()H x 在[)0,∞+上单调递增，即()h x '在[)0,∞+上单调递增，故()()01h x h a ''≥=-，当1a ≤时，()0h x '≥且不恒等于零，()h x 在[)0,∞+上单调递增，所以()()00h x h ≥=，即()0f x '≥，()f x 在[)0,∞+上单调递增，所以()()00f x f ≥=，即()0f x ≥对任意的[0,)x ∈+∞恒成立；当1a >时，则()010h a '=-<，()()()2e 1e 12e 10a a ah a a a a '=+--=-+->，所以存在()()000,,0x a h x '∈=，∴()00,x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，此时()()00h x h <=，()0f x '<，所以()00,x x ∈时，()f x 单调递减，()()00f x f <=，不满足题意；综上，实数a 的取值范围(],1-∞．【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则（1）恒成立：()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；（2）能成立：()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>；()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<.若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则（1）恒成立：()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<；（2）能成立：()()min a f x a f x >⇔>；()()max a f x a f x <⇔<.22．（1）22(1)1x y -+=（2）18【解析】(1)根据极坐标与直角坐标的互化求解即可.(2)设,A B 所对应的参数分别为12,t t ,再联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程,利用参数的几何意义与韦达定理求解即可.【详解】（1）由2cos ρθ=,得22cos ρρθ=．将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得,222x y x +=,所以C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=．（2）设,A B 所对应的参数分别为12,t t ,因为直线l的参数方程为5,2(12x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数所以M 在l 上把l 的参数方程代入22(1)1x y -+=可得2180,t ++=所以241830∆=-⨯=>,所以1212180t t t t +=-=＞,故11MA MB +=12121212||||||||||||||||||||t t t t MA MB MA MB t t t t +++==⋅【点睛】本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化,直线和圆的位置关系,以及直线的参数方程的参数的几何意义等基础知识,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力．考查的核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算.23．(1)(][),02,-∞⋃+∞(2)见解析【分析】（1）将函数()f x 化为分段函数的形式，再求解不等式25()33f x x x ≥-++的解集；（2）由()f x 的解析式易知1m =，再结合柯西不等式证明即可.【详解】（1）114,233()315132,33x x f x x x x x ⎧-≥⎪⎪=-++=⎨⎪-+<⎪⎩，当13x ≥时，2154333x x x -≥-++，则()()120x x +-≥，解得：2x ≥或1x ≤-，因为13x ≥，所以2x ≥，当13x <时，2552333x x x -+≥-++，解得：5x ≥或0x ≤，因为13x <，所以0x ≤.故不等式25()33f x x x ≥-++的解集为(][),02,-∞⋃+∞.（2）因为114,233()315132,33x x f x x x x x ⎧-≥⎪⎪=-++=⎨⎪-+<⎪⎩，所以可知()f x 在1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，所以当13x =时，函数()f x 有最小值为11141333f ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，即1m =，则1a b c ++=，利用柯西不等式可得：()()2222149149b c a a b c ⎛⎫++++≥++= ⎪⎝⎭，所以22214914b ca++≥，当且仅当32123cba==时等号成立，所以当129,,14714a b c===时，22214914b ca++≥.。

一、单选题1. 复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 关于函数有下述四个结论：①若，则②的图象关于点对称；③函数在上单调递增；④的图象向右平移个单位长度后所得图象关于y 轴对称．其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．③④D ．②④3. 已知a ，b ，，且，，，则（ ）A．B．C．D．4. 2020年12月31日，国务院联防联控机制发布，国药集团中国生物的新冠病毒灭活疫苗已获药监局批准附条件上市，其保护效力达到世界卫生组织及药监局相关标准要求，现已对18至59岁的人提供.根据某地接种年龄样本的频率分布直方图（如图）估计该地接种年龄的中位数为（）A ．40B ．39C ．38D ．375.若，则（ ）A．B．C．D．6. 已知，，，则（ ）A．B．C．D ．47. 已知函数是定义域为R的函数，，对任意，，均有，已知a ，b为关于x的方程的两个解，则关于t 的不等式的解集为（ ）A．B．C．D．8.设，，，则（ ）A．B．C．D．9. 已知i 为虚数单位，且复数z 满足，则的虚部为（ ）A．B．C．D．10.已知全集，集合，则（ ）A．B．C．D．河南省开封高级中学2022-2023学年高三下学期核心模拟卷（中）理科数学（三）试题二、多选题11. 若直线：经过第一象限内的点，则的最大值为A．B．C．D．12.若函数的图象总在直线的上方，则实数的取值范围是A．B．C．D．13.设数列的前项的和为，若是首项为正数、公比为的等比数列，则“”是“对任意的，都有”的（ ）A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分又不必要条件14. 某地区某村的前三年的经济收入分别为万元，其统计数据的中位数为，平均数为；经过今年政府新农村建设后，该村经济收入在上年基础上翻番，则在这年里收入的统计数据中，下列说法正确的是A ．中位数为，平均数为B ．中位数为，平均数为C．中位数为，平均数为D ．中位数为，平均数为15. 已知平面外不共线的三点到平面的距离都相等，则正确的结论是（ ）A．平面必平行于平面B ．平面必与平面相交C．平面必不垂直于平面D ．存在的一条中位线平行于平面或在平面内16. 涪江三桥又名绵阳富乐大桥，跨越了涪江和芙蓉溪，是继东方红大桥、涪江二桥之后在涪江上修建的第三座大桥，于2004年国庆全线通车．大桥的拱顶可近似地看作抛物线的一段，若有一只鸽子站在拱顶的某个位置，它到抛物线焦点的距离为10米，则鸽子到拱顶的最高点的距离为（ ）A ．6B．C．D．17. 下列化简正确的是（ ）A．B．C．D．18. 已知棱长为的正方体的所有顶点均在体积为的球上，动点在正方形内运动（包含边界），若直线与直线所成角的正弦值为，则（ ）A．B．点运动轨迹的长度为C．三棱锥体积的取值范围为D．线段长度的最小值为19.数列满足，为数列的前n 项和，则（ ）A．B．C．D．20.已知函数，现给出下列结论，其中正确的是（ ）A．函数有极小值，但无最小值B．函数有极大值，但无最大值C．若方程恰有一个实数根，则D．若方程恰有三个不同实数根，则三、填空题四、解答题21.已知奇函数的定义域为，且在上单调递减，若，则下列命题中正确的是（ ）A．有两个零点B．C．D．22. 已知，，，，则有（ ）A．B．C．D．23. 已知函数在上单调，且，则的取值可能为（ ）A．B．C．D．24. 一简谐运动的图象如图所示，则下列判断错误的是（）A．该质点的振动周期为B．该质点的振幅为C ．该质点在和时速度最大D ．该质点在和时加速度最大25. 若二项式展开式的常数项为60，则实数的值为_________．26.函数，且，，若的图像在内与轴无交点，则的取值范围是__________.27.已知复数是纯虚数（为虚数单位），则实数的值为_______．28. 已知双曲线过左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于P ，Q 两点，以P ，Q 为圆心的两圆与双曲线的同一条渐近线相切，若两圆的半径之和为，则双曲线的离心率为________.29.已知圆.圆与圆关于直线对称，则圆的方程是__________．30. 已知，与的夹角为，则向量在向量方向上的投影是________．31. ______.32.记数列的前项和为，若，，则______.33. 已知F 是抛物线C ：（）的焦点，过点F 作斜率为k 的直线交C 于M ，N两点，且.(1)求C 的标准方程；五、解答题(2)若P 为C 上一点（与点M 位于y 轴的同侧），直线与直线的斜率之和为0，的面积为4，求直线的方程.34.已知，．记．（1）求的值；（2）化简的表达式，并证明：对任意的，都能被整除．35. （1）求曲线和曲线围成图形的面积；（2）化简求值：．36. （1）求值：；（2）已知，求的值.37. 已知圆．(1)证明：圆C 过定点；(2)当时，点P 为直线上的动点，过P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B，求四边形面积最小值，并写出此时直线AB 的方程．38.在数列中，，且.(1)求的通项公式；(2)若，数列的前项和为，求39. 已知方程，其中为实数．对于不同范围的值，分别指出方程所代表图形的类型，并画出显示其数量特征的草图．40. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，后画出如图的频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：（1）估计这次考试成绩的众数；（2）估计这次考试成绩的及格率（分及以上及格）.41. 2015年7月31日，在吉隆坡举行的国际奥委会第128次全会上，北京获得2022年冬奥会举办权.在申冬奥过程中，中国正式向国际社会作出“带动三亿人参与冰雪运动”的庄严承诺.这一承诺，既是我国为国际奥林匹克运动做出重大贡献的大国担当展现，也是根据我国经济水平和全民健身需求做出的群众性运动的战略部署.从北京冬奥会申办成功到2021年10月，全国参与冰雪运动人数累计达到3.46亿，实现了“带动三亿人参与冰雪运动”的目标，这是北京冬奥会给予全球冬季体育运动和奥林匹克运动的最为重要的遗产，可以说是2022年北京冬奥会的第一块金牌.“冬奥热”带动“冰雪热”，也带动了冰雪经济，以冰雪运动为主要内容的冰雪旅游近年来发展迅速，2016至2022六个冰雪季的旅游人次y （单位亿）的数据如下表：年度2016—20172017—20182018—20192019—20202020—20212021—2022年度代号t123456旅游人次y1.7 1.972.240.94 2.543.15(1)求y与t的相关系数（精确到0.01），并回答y与t的线性相关关系的强弱；(2)因受疫情影响，现将2019—2020年度的异常数据剔除，用剩下的5个年度数据（年度代号不变），求y关于t的线性回归方程（系数精确到0.01），并推测没有疫情情况下，2019—2020年度冰雪旅游人次的估计值.附注：参考数据：，，，，.参考公式：相关系数，回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，42. 下表是某学生在4月份开始进入冲刺复习至高考前的5次大型联考数学成绩(分)；(1)请画出上表数据的散点图；(2)①请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；②若在4月份开始进入冲刺复习前，该生的数学分数最好为116分，并以此作为初始分数，利用上述回归方程预测高考的数学成绩，并以预测高考成绩作为最终成绩，求该生4月份后复习提高率.(复习提高率=，分数取整数)附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.43. 某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制.各等制划分标准为：85分及以上，记为等；分数在内，记为等；分数在内，记为等；60分以下，记为等.同时认定为合格，为不合格.已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为的所有数据茎叶图如图2所示.六、解答题(1)求图1中的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；(2)在选取的样本中，从甲，乙两校等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量的分布列和数学期望．44.已知四棱锥的底面为平行四边形，平面，，，，，分别为中点，过作平面分别与线段相交于点．(1)在图中作出平面，使平面//平面，并指出P 、Q 的位置（不要求证明）；(2)若，求二面角的平面角大小.45. 已知双曲线，双曲线的右焦点为F ，圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且经过坐标原点O ，圆C 与双曲线Γ的右支交于A 、B 两点．(1)当△OFA 是以F 为直角顶点的直角三角形，求△OFA 的面积；(2)若点A的坐标是，求直线AB 的方程；(3)求证：直线AB 与圆x 2+y 2＝2相切．46. 在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，，为中点．（1）求证：；（2）求异面直线与所成角的余弦值．47. 如图，四棱锥底面是矩形，平面，，，是的中点．（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离．48. 已知函数,.（1）求证：；（2）当时，若恒成立，求的取值范围.七、解答题49. 已知函数.(1)若在区间上有极小值，求实数的取值范围；(2)求证：.50. 锐角中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，.(1)求证：；(2)求的取值范围.51. 下围棋既锻炼思维又愉悦身心，有益培养人的耐心和细心，舒缓大脑并让其得到充分休息.现某学校象棋社团为丰富学生的课余生活，举行象棋大赛，要求每班选派一名象棋爱好者参赛.现某班有位象棋爱好者，经商议决定采取单循环方式进行比赛，(规则采用“中国数目法”，没有和棋.)即每人进行轮比赛，最后靠积分选出第一名去参加校级比赛.积分规则如下(每轮比赛采取局胜制，比赛结束时，取胜者可能会出现.三种赛式).或3:1胜者积分分分负者积分分分轮过后，积分榜上的前两名分别为甲和乙，甲累计积分分，乙累计积分分.第轮甲和丙比赛，设每局比赛甲取胜的概率均为，丙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.（1）①在第轮比赛中，甲所得积分为，求的分布列;②求第轮结束后，甲的累计积分的期望;（2）已知第轮乙得分，判断甲能否提前一轮获得累计积分第一，结束比赛.(“提前一轮”即比赛进行轮就结束，最后一轮即第轮无论乙得分结果如何，甲累计积分最多)?若能，求出相应的概率;若不能，请说明理由.52. 新郑大枣又名鸡心枣，是河南省郑州市新郑的特产，其以皮薄、肉厚、核小、味甜备受人们青睐，素有“新郑大枣甜似蜜”的盛赞，大枣根据颗粒、质地、色泽、甜度等评分指标打分，得分在区间内分别被评定为四级大枣、三级大枣、二级大枣、一级大枣．某经销商从新郑市大枣种植户中收购一批大枣，共400袋（每袋），并随机抽取20袋分别进行检测评级，得分数据的频率分布直方图如图所示：(1)求a 的值，并用样本估计，该经销商采购的这批大枣中，一级大枣和二级大枣的总量能否达到采购总量一半以上；(2)该经销商计划在下面两个方案中选择一个作为销售方案：方案1：将采购的400袋大枣不经检测，统一按每袋60元直接售出；方案2：将采购的400袋大枣逐袋检测分级，并将每袋大枣重新包装成5包（每包），检测分级所需费用和人工费共1600元，各等级大枣每包的售价和包装材料成本如下表所示：大枣等级四级三级二组一级售价（元/包）1113.61721.6包装材料成本（元/包）2234该经销商采用哪种销售方案所得利润更大？通过计算说明理由．53. 10月1日，某品牌的两款最新手机（记为型号，型号）同时投放市场，手机厂商为了解这两款手机的销售情况，在10月1日当天，随机调查了5个手机店中这两款手机的销量（单位：部），得到下表：手机店型号手机销量6613811型号手机销量1291364（Ⅰ）若在10月1日当天，从，这两个手机店售出的新款手机中各随机抽取1部，求抽取的2部手机中至少有一部为型号手机的概率；（Ⅱ）现从这5个手机店中任选3个举行促销活动，用表示其中型号手机销量超过型号手机销量的手机店的个数，求随机变量的分布列和数学期望；（III）经测算，型号手机的销售成本（百元）与销量（部）满足关系.若表中型号手机销量的方差，试给出表中5个手机店的型号手机销售成本的方差的值.（用表示，结论不要求证明）54. 甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得分，负者得分，比赛进行到有一人比对方多分或打满局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为．（1）求的值；（2）设表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望．55. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费对年销售量（单位：）的影响.该公司对近5年的年宣传费和年销售量数据进行了研究，发现年宣传费（万元）和年销售量（单位：）具有线性相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.（万元）24536（单位：） 2.54 4.536（1）根据表中数据建立年销售量关于年宣传费的回归方程；（2）已知这种产品的年利润与，的关系为，根据（1）中的结果回答下列问题：①当年宣传费为10万元时，年销售量及年利润的预报值是多少？②估算该公司应该投入多少宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大.附：问归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.参考数据：，.56. 羽毛球运动具有拼搏、进步、积极向上的意义，同时还要求运动员具备细心和迅速的敏锐性.某大学羽毛球运动协会为了了解本校学生对羽毛球运动是否有兴趣，从该校学生中随机抽取了300人进行调查，男女人数之比是2：1，其中女生对羽毛球运动有兴趣的占80%，而男生有30人表示对羽毛球运动没有兴趣.(1)完成2×2列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为“对羽毛球运动是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没兴趣合计男女合计(2)为了提高同学们对羽毛球运动的参与度，该校举行一次羽毛球比赛.比赛分两个阶段进行，第一阶段的比赛赛制采取单循环方式，每场比赛采取三局二胜制，然后由积分的多少选出进入第二阶段比赛的同学，每场积分规则如下：比赛中以2：0取胜的同学积3分，负的同学积0八、解答题分；以2：1取胜的同学积2分，负的同学积1分.其中，小强同学和小明同学的比赛倍受关注，设每局小强同学取胜的概率为，记小强同学所得积分为X ，求X 的分布列和期望.附表：，其中.a 0.500.400.250.1500.1000.0500.4550.7801.3232.0722.7063.84157. 已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若在区间内存在，，使得，求实数的取值范围．58. 已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.(1)求的解析式与单调递减区间；(2)已知在时，求方程的所有根的和.59. 《营造法式》是中国北宋时期官方颁布的一部建筑设计与施工的书籍，标志着我国古代建筑技术和工艺发展到了较高水平.中国近代建筑之父梁思成用现代语言和制图方法对该书进行了注释，著有《营造法式注释》.为了让建筑类学生了解古建筑设计与构造的原理，某建筑大学为大三和大四的学生开设了一门选修课程《营造法式及其注释》.为检测学生学习效果，要求所有选修该门课程的学生完成“应用营造法式独立制作一件古建筑模型”的作业.已知选修该门课程的大三与大四学生的人数之比为，现用分层抽样的方法从所有作业中随机抽取份（每位学生均上交一份作业），并评出成绩，得到如下频数分布表.成绩（单位：分）频数（不分年级）频数（大三年级）（1）求，的值；若以频率作为概率，从选修该门课程的大四学生中随机选取名，试估计该学生的作业成绩在的概率；（2）估计这份作业中大三学生作业的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.60. 在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，离心率．(1)求椭圆C 的方程；(2)若点为椭圆外一点，过点D 作两条斜率之和为1的直线，分别交椭圆于A ，B 两点和P ，Q 两点，线段的中点分别为M ，N ，试证直线过定点．61. 如图，在四边形中，．(1)证明：为直角三角形；(2)若，求四边形面积S 的最大值．62. 已知函数.（1）若在处取得极值，求实数的值；（2）讨论在上的单调性；（3）证明：在（1）的条件下.。

本试卷共4页，分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第I卷（选择题共60分）注意事项：1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2.每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在改涂在其他答案标号。

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合P=，Q=，则=A. B. C. D.2.设复数z满足（1+z）z=||,则z=A.1-iB.1+iC.-1+iD.-1-i3. 从1，2，3，4这四个数中，随机抽取两个数字，剩下两个数字的和是奇数的概率是A. B. C. D.4. 已知，则=A. B.- C. 2 D.-5．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是A. B. C. 2 D.6.函数=的零点包含于区间A.（1,2）B. （2,3）C.（3,4）D. （4，）7. 执行右边的程序框图，如果输入a=4，那么输出的值为A.3B. 4C. 5D. 68.同时具有性质“最小正周期是4；是图像的一条对称轴；在区间（）上是减函数”的一个函数是A. B. C. D.9.下列说法正确的是A.“若，则”的否命题是“若，则”B.为等比数列，则“”是“”的既不充分也不必要条件C.，是成立D.“”必要不充分条件是“”10.已知点P 的坐标（x ，y ）满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+14x x y y x ，过点P 的直线l 与圆C ：相交于A,B两点，则的最小值为A. B. C. D.11.已知内角的对边分别是，若，，则=A. B. C.- D. -12. 方程=1有两个不等的实根，则A. B. C. D.第II卷（非选择题共90分）注意事项：第II卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在“数学”答题卡指定的位置。

二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

开封市2023届高三年级第三次模拟考试理科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名㊁考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一㊁选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知z (2+i )=1,则复数z 的虚部为A .-15B .15C .-15iD.15i 2.已知集合A ={x |x =s i n n π2,n ɪZ },B ={x |x =a b ,a ,b ɪA },则集合B 的真子集个数是A.3B .4C .7D.83.设α是第二象限角,P (x ,1)为其终边上一点,且c o s α=13x ,则t a n α=A.-22B .-24C .22 D.244.记S n 为等比数列{a n }的前n 项和,已知2(a 1+a 2)=a 2+a 3=12,则S 5=A.30B .31C .61D.625.已知双曲线x 2-m y 2=1(m >0)的左㊁右焦点分别为F 1,F 2,直线l 经过F 2且与双曲线右支相交于A ,B 两点,若|A B |=2,则三角形A B F 1的周长为A.6B .7C .8 D.不能确定6.函数f (x )=x -1xc o s x 在-3π2,0ɣ0,3π2上的图象大致为7.将5名学生分配到3个社区当志愿者,每个社区至少分配1名学生,则不同的分配方法种数是A.24BD.1508.已知a >0,b >0,且a +b =1,a ʂb ,则下列不等式成立的是A.a +b <2<12a +12bB .a +b <12a +12b <2C .12a +12b <2<a +b D.12a +12b <a +b<29.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为A .2π9B .2π3C .16π3D .16π910.已知函数f (x )的定义域为R ,f (x )为奇函数,f (x +1)为偶函数,且ð22k =1f (k )=1,则f (l n e )=A.-1B .0C .1D.211.已知正方体A B C D -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,P 为棱A 1D 1的中点,则四棱锥P -A B C D的外接球表面积为A.3π2B .3πC .41π16D.41π6412.等腰直角三角形A B C 的直角顶点A 在x 轴的正半轴上,点B 在y 轴的正半轴上,点C 在第一象限,且|A B |=1,O 为坐标原点,则O C ң•O A ң的取值范围是A.0,12-24B .0,12+22C .12-24,1D.12+22,1二㊁填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量a =(1,-2),写出一个与a 垂直的向量的坐标.14.两条直线y =k x 和y =-k x 分别与抛物线y 2=2p x (p >0)相交于不同于原点的A ,B 两点,若直线A B 经过抛物线的焦点,则|k |=.15.已知点P 在圆(x -3)2+(y -2)2=5上,点A (1,0),B (0,1),当øP B A 最小时,t a n øP B A =.16.若数列{a n }满足a 2n -a 2n -1=p ,(n ȡ2,n ɪN *,p 为常数),则称{a n }为 等方差数列 .记S n为正项数列{a n }的前n 项和,已知{S n }为 等方差数列 ,且S 2+S 4=2+2,a 3+a 4=2-2,则a n +S n 的最小值是.三㊁解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22㊁23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.某校为了解学生每天的校内体育锻炼情况,随机选取了100名学生进行调查,其中男生有50人.下面是根据调查结果绘制的学生日均校内体育锻炼时间(单位:分钟)的频率分布直方图.将日均校内体育锻炼时间在[60,80]内的学生评价为 锻炼时间达标 ,已知样本中 锻炼时间达标 的学生中有5名女生.(1)若该校共有1000名学生,请估计该校 锻炼时间达标 的学生人数;(2)根据样本数据完成下面的2ˑ2列联表,并据此判断是否有90%的把握认为锻炼时间达标 与性别有关?是否达标性别锻炼时间达标锻炼时间未达标合计男女合计附:K 2=n (a d -b c )2(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )P (K 2ȡk 0)0.100.0500.0100.001k 02.7063.8416.63510.82818.(12分)记әA B C 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a ,b ,c 成等差数列,且7s i n A =3s i n C .(1)求c o s B ;(2)若әA B C 的面积为1534,求b .19.(12分)如图,四边形A B C D 是圆柱O O 1的轴截面,E F 是圆柱的母线,P是线段A D 的中点,已知A B =4,B C =6.(1)证明:平面E P F ʅ平面B E F ;(2)若直线A B 与平面E P F 所成角为60ʎ,求二面角F -P E -B的余弦值.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左㊁右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上一点(除左㊁右顶点),直线P F1,P F2与椭圆C的另一个交点分别为A,B,且P F1ң=m F1Aң,P F2ң=n F2Bң,当m=1时,|P A|=3.(1)若椭圆C的离心率为12,求椭圆C的标准方程;(2)若m+n=103,求椭圆C的标准方程.21.(12分)已知函数f(x)=l n x+a x(aɪR).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若aȡ0,且存在0<m<n,使得f(x)与f(f(x))的定义域均为m,n,求实数a的取值范围.(二)选考题:共10分.请考生在22㊁23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)以等边三角形的每个顶点为圆心,以其边长为半径,在另两个顶点间作一段圆弧,三段圆弧围成的曲边三角形被称为勒洛三角形.如图,在极坐标系O x中,曲边三角形O P Q为勒洛三角形,且P2,π3,Q在极轴上,C为O P︵的中点.以极点O为直角坐标原点,极轴O x为x轴正半轴建立平面直角坐标系x O y.(1)求O Q︵所在圆P的直角坐标方程与直线C Q的极坐标方程;(2)过O引一条射线,分别交圆P,直线C Q于A,B两点,证明:|O A|㊃|O B|为定值.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)已知函数f(x)=|x-a|+|x-b|.(1)若|a-b|>c,解不等式f(x)>c;(2)若b=1,且不等式f(x)<2-|a-2|的解集非空,求a的取值范围.开封市2023届高三年级第三次模拟考试数学（理科）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）题号123456789101112答案A C B DC ADADCCB二、填空题（每小题5分，共20分）13.()()2,1答案不唯一14.215.1316.1-三、解答题（共70分）17.（1）由频率分布直方图得：“锻炼时间达标”的学生的概率估计为()0.0100.005100.15+⨯=，……2分所以该校“锻炼时间达标”的学生人数估计为10000.15150⨯=（人）.……4分（2）样本数据中：“锻炼时间达标”的学生人数为1000.1515⨯=（人），其中女生有5人，男生有10人，“锻炼时间未达标”的女生人数为50545-=（人），男生人数为501040-=（人），所以2×2列联表为：锻炼时间达标锻炼时间未达标合计……8分男104050女54550合计1585100()21001045540 1.96150501585k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯＜2.706，……10分所以没有90％的把握认为“锻炼时间达标”与性别有关.……12分18.（1）记等差数列a b c ，，的公差为d ，设a b d c b d =-=+，，由7sin 3sin A C =得：73a c =，即()()73b d b d -=+，可得：25d b =，……3分()()()()()2222222222223321125cos .422214225b bd b d b a c b b d B ac b d b d b d b -++-+-+=====-+-……6分（2）由11cos 14B =得sin 14B =，……8分()()11sin 22144ABC S ac B b d b d ∆==-+⨯=，……10分将25d b =代入解之可得5b =.……12分19.（1）证明：连接AF ，∵四边形ABCD 是圆柱1OO 的轴截面，∴AB 为圆O 的直径，∴AF BF ⊥，又EF 是圆柱的母线，∴EF ABF ⊥平面，∵BF ABF ⊂平面，∴EF BF ⊥，……3分又∵AF EF F = ，AD EF ∥，∴BF ADEF ⊥平面，又∵P 是线段AD 的中点，∴平面ADEF 即为平面EPF ，∴BF EPF ⊥平面,……5分∵BF BEF ⊂平面，∴EPF BEF ⊥平面平面.……6分（2）由（1）知BF EPF ⊥平面，∴AF 为AB 在平面EPF 内的射影，∴AB 与平面EPF 所成角为BAF ∠，由已知60BAF ∠=︒，4AB =，6BC =，∴sin 60cos602BF AB AF AB =︒==︒=，……7分以F 为坐标原点，,,FB FA FE 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,0,6,0,2,3,F E P B，()()0,2,3,6EP EB =-=-，……8分∵BF EPF ⊥平面，所以()FB EPF=是平面的一个法向量，……9分设(),,x y z =n 是平面EPB 的一个法向量，则0,0,EP EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n即230,60,y z z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩令1x =得1,,23⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭n ，……10分∴cos 5FB FB FB ⋅===⋅ n ,n n，……11分所以二面角F PE B --的余弦值为5.……12分20.（1）当1m =时，1PF x ⊥轴，设P 点坐标为()0c y ，代入椭圆方程得：220221y c a b +=，所以4202b y a =，即223b PA a==，……1分又因为2221,2c e a b c a ===+，……2分解得：2,1a b c ===，所以椭圆C 的标准方程为：22143x y +=.……4分（2）设()()()00112212,,,:,:.P x y A x y B x y PA x t y c PB x t y c =-=+，，，……5分由222211x y a b x t y c ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得：()2222241120b t a y b ct y b +--=，所以4102221b y y b t a =-+，同理可得：4202222b y y b t a =-+，……7分由1122,,PF mF A PF nF B ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 可得10200,0,my y ny y +=⎧⎨+=⎩ (8)分22220000004412010222222212222222222222222220000120044400=()1(2)(()()2)(222)y y y y y y m n b b y y y y y y b t a b t a y y x c x c b t b t a b b a b x a y b b b y y b ⎛⎫⎛⎫+=-+=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--+++-=++=++=++所以，()22224221110(22)3a ab b b b +=+==，……10分所以22335a b +=，又223b a =，解得：22122334a ab b ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩或（舍），所以椭圆C 的标准方程为：22143x y +=.……12分21.（1）函数()x f 的定义域为()∞+，0，1()f x a x'=+，……1分当0≥a 时，()0f x '>，此时()x f 在()∞+，0上单调递增；……2分当0<a 时，1()00f x x a'>⇒<<-，1()0f x x a '<⇒>-，此时()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 10，上单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛∞+-，a 1上单调递减.……3分综上可知：当0≥a 时，()x f 在()∞+，0上单调递增；当0<a 时，()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 10，上单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛∞+-，a 1上单调递减.……4分（2）由（1）知：当0≥a 时，()x f 在()∞+，0上单调递增，存在0m n <<，使得()x f 的定义域为[]n m ,，所以()[]na n ma m x f ++∈ln ,ln ，()()x f f 的定义域也为[]n m ,，需满足：[][]n m na n ma m ,ln ,ln ⊆++，……6分即()()ln 10,ln 10m a m n a n +-≥⎧⎪⎨+-≤⎪⎩,设函数()()x a x x h 1ln -+=，则上式转化为()()00h m h n ≥≤且，由1()+1h'x a x=-可知：……8分①当1a ≥时，()0h'x >，函数()x h 在()∞+，0上单调递增，不成立；……9分②当01a ≤<时，函数()x h 在10,1a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调递增，在1,1a ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭上单调递减，因为()0h m ≥，所以()011max ≥⎪⎭⎫⎝⎛-=a h x h ，得11e a ≥-，取()211n a =-，则()a a a h ---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1111ln 2112，设()()2ln e g x x x x =-≥，2()10g'x x=-<，所以()g x 在[)e,+∞上单调递减，所以()()e 2e 0g x g ≤=-<，所以()0h n <，成立 (11)分综上可知：a 的取值范围为11,1e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.……12分22.（1）⎪⎭⎫⎝⎛3,2πP ，P ∴的直角坐标为()31，，又等边OPQ ∆的边长为2，∴圆P 的直角坐标方程为：()()43122=-+-y x ，……2分CQ 的直角坐标方程为：()233--=x y ，即023=-+y x ，CQ ∴的极坐标方程为：02sin 3cos =-+θρθρ；……4分（2）设A B ，两点的极坐标分别为()()θρθρ,,,21B A ， 圆P 的直角坐标方程为：()()43122=-+-y x ，∴圆P 的极坐标方程为：()()43sin 1cos 22=-+-θρθρ，……6分即)22cos 0ρθθρ-+=，∴()θθρcos sin 321+=，直线CQ 的极坐标方程为02sin 3cos =-+θρθρ，∴θθρcos sin 322+=，……8分∴)12=2cos 4OA OB ρρθθ⋅==+⋅.综上所述：OA OB ⋅为定值4.……10分23.（1）根据三角形不等式得，()()b a b x a x b x a x x f -=---≥-+-=，……2分a b c ->，∴()f x c >恒成立，不等式()f x c >的解集为R .……4分（2）当1b =时，不等式()22f x a <--的解集非空，即存在x 使不等式()221--<-+-=a x a x x f 成立，即()22min --<a x f 成立，……6分()()()11-=---≥a x a x x f ，()1min -=a x f ，∴221--<-a a ，即221<-+-a a ，……8分当,1≤a ,121,21,22321≤<∴><-=-+-a a a a a 当,21<<a ,21,2121<<∴<=-+-a a a 当,2≥a ,252,25,23221<≤∴<<-=-+-a a a a a 综上所述：a 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛25,21.……10分。

河南省开封市肖寨中学2021-2022学年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若是偶函数,且当时,,则不等式的解集是 ( )A. B.C. D参考答案：答案：C2. 在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( )A．B． C. D．参考答案：D3. 已知向量，则与垂直的单位向量的坐标是（）A、或B、或C、D、参考答案：B4. 一个袋子里装有红、黄、绿三种颜色的球各2个，这6个球除颜色外完全相同，从中摸出2个球，则这2个球中至少有1个是红球的概率是（）A．B．C． D．参考答案：D【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n=，这2个球中至少有1个是红球的对立事件是这2个球都不是红球，由此能求出这2个球中至少有1个是红球的概率．【解答】解：一个袋子里装有红、黄、绿三种颜色的球各2个，这6个球除颜色外完全相同，从中摸出2个球，基本事件总数n=，这2个球中至少有1个是红球的对立事件是这2个球都不是红球，这2个球中至少有1个是红球的概率是p=1﹣=1﹣=．故选：D．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．5. 把函数（x∈R）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是A．，x∈R B．，x∈RC．，x∈R D．，x∈R参考答案：D6. 已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且，（其中为的前项和）。

则（）A、 B、C、D、参考答案：D7. 已知椭圆C：的一个焦点为(2,0)，则C的离心率（）A．B．C．D．参考答案：C解答：根据题意，可知，∴，，∴离心率.8. 已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a=( ) A．B．C．1 D．2参考答案：B考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y 过可行域内的点B时，从而得到a值即可．解答：解：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=2x+y经过点B时，z最小，由得：，代入直线y=a（x﹣3）得，a=故选：B．点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定9. 随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加.抽样发现赤峰市某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番.同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下折线图：则下列结论中正确的是（）A. 该家庭2019年食品的消费额是2015年食品的消费额的一半B. 该家庭2019年教育医疗的消费额是2015年教育医疗的消费额的1.5倍C. 该家庭2019年休闲旅游的消费额是2015年休闲旅游的消费额的六倍D. 该家庭2019年生活用品的消费额与2015年生活用品的消费额相当参考答案：C【分析】先对折线图信息的理解及处理，再结合数据进行简单的合情推理逐一检验即可得解.【详解】由折线图可知：不妨设2015年全年的收入为t，则2019年全年的收入为2t，对于A，该家庭2019年食品的消费额为0.2×2t=0.4t，2015年食品的消费额为0.4×t=0.4t，故A错误，对于B，该家庭2019年教育医疗的消费额为0.2×2t=0.4t，2015年教育医疗的消费额为0.3×t=0.3t，故B错误，对于C，该家庭2019年休闲旅游的消费额是0.3×2t=0.6t，2015年休闲旅游的消费额是0.1×t=0.1t，故C正确，对于D，该家庭2019年生活用品的消费额是0.15×2t=0.3t，该家庭2015年生活用品的消费额是0.15×t=0.15t，故D错误，故选：C.【点睛】本题解题关键是掌握折线图基础知识，结合所给数据进行简单的合情推理，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.10. 抛物线的准线与双曲线等的两条渐近线所围成的三角形面积等于A． B． C．2 D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图所示，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等腰梯形，等腰直角三角形和长方形，则该几何体表面积为．参考答案：+6+【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，分别经过点E，F，作EG⊥AB，EH⊥CD，EK⊥AB，EL⊥CD，垂足分别为：G，H，K，L．则EH=EG=1，EF=2，AB=4．EG⊥EH，EF∥平面ABCD，四边形ABFE，CDEF为等腰梯形，ABCD为矩形，△ADE与△BCF是边长为的等边三角形．即可得出．【解答】解：如图所示，分别经过点E，F，作EG⊥AB，EH⊥CD，EK⊥AB，EL⊥CD，垂足分别为：G，H，K，L．则EH=EG=1，EF=2，AB=4．EG⊥EH，EF∥平面ABCD，四边形ABFE，CDEF为等腰梯形，ABCD为矩形，△ADE与△BCF是边长为的等边三角形．∴该几何体表面积=+2×+=+6+．故答案为： +6+．12. 数列{a n}满足a n＋a n＋1＝(n∈N*)，a2＝2，S n是数列{a n}的前n项和，则S21＝________．参考答案：略13. P是三角形ABC所在平面上的一点，满足,若三角形ABC的面积为1，则三角形ABP的面积为____________参考答案：14. 已知函数为偶函数,且函数关于点中心对称,当时,,则_______________参考答案：15. 如图，是圆的直径，是圆的切线，切点为，平行于弦，若，，则.参考答案：4由于，，而，因此，，，，，，，，故，由于切圆于点，易知，由勾股定理可得，因此.16. 一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则=.参考答案：略17. .若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 .参考答案：由，得，当，得，由图象可知，要使函数有三个不同的零点，则有，即，所以实数的取值范围是。

2021-2022学年河南省开封市通许第三高级中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若是等比数列,前n项和,则( )A．B． C． D．参考答案：D2. 设与是定义在同一区间上的两个函数，若对任意的，都有，则称和在上是“密切函数”，称为“密切区间”，设与在上是“密切函数”，则它的“密切区间”可以是（）A． B． C．D．参考答案：C略3. 已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1 ,a3,2a2成等差数列，则=A. 1+B. 1-C. 3+2D. 3-2参考答案：C4. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．16 B．26 C．32 D．20+参考答案：C【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】几何体是三棱锥，根据三视图可得三棱锥的一侧棱与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，把数据代入棱锥的表面积公式计算即可．【解答】解：根据三视图知：该几何体是三棱锥，且三棱锥的一个侧棱与底面垂直，高为4，如图所示：其中SC⊥平面ABC，SC=3，AB=4，BC=3，AC=5，SC=4，∴AB⊥BC，由三垂线定理得：AB⊥BC，S△ABC=×3×4=6，S△SBC=×3×4=6，S△SAC=×4×5=10，S△SAB=×AB×SB=×4×5=10，∴该几何体的表面积S=6+6+10+10=32．故选：C．5. 集合A={﹣1，0，1，3}，集合B={x|x2﹣x﹣2≤0，x∈N}，全集U={x||x﹣1|≤4，x∈Z}，则A∩（?U B）=（）A．{3} B．{﹣1，3} C．{﹣1，0，3} D．{﹣1，1，3}参考答案：B【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】解不等式求出集合B和全集U，结合集合的补集及交集运算的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1，3}，集合B={x|x2﹣x﹣2≤0，x∈N}={0，1，2}，全集U={x||x﹣1|≤4，x∈Z}={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}，∴?U B={﹣3，﹣2，﹣1，3，4，5}，∴A∩（?U B）={﹣1，3}，故选：B6. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，若a=，b=，B=45°，则角A=（）D略7. 下列函数中，对于任意，同时满足条件和的函数是（）A． B． C． D．参考答案：8. 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（）A．B．C．D．参考答案：D略9. 如图，△与△都是边长为2的正三角形，平面⊥平面，⊥平面，，则点到平面的距离为A．B．C．D．参考答案：A10. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的主视图时，以平面为投影面，则得到主视图可以为（☆ ）A. B. C. D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知f（x）=alnx+，若对于?x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2都有＞4，则a的取值范围是．参考答案：（4，+∞）【考点】导数的几何意义；导数的运算．【专题】函数思想；导数的概念及应用．【分析】解法一，假设x1＜x2，把＞4化为f（x1）﹣f（x2）＜4（x1﹣x2），构造函数g（x）=f（x）﹣4x，利用g（x）的导数g'（x）＞0，求出a的取值范围．解法二：根据题意，得出f（x）的导数f′（x）＞4，求出a的取值范围．【解答】解：解法一，任取x1、x2∈（0，+∞），且x1＜x2，∵＞4，f（x1）﹣f（x2）＜4（x1﹣x2），构造函数g（x）=f（x）﹣4x，∴g（x）在（0，+∞）是单调递增函数，∴g'（x）=f′（x）﹣4=﹣4＞0；即+x﹣4＞0；∴a＞（4﹣x）x，设函数t=4x﹣x2=﹣（x﹣2）2+4≤4，∴a＞4；∴a的取值范围是（4，+∞）．解法二：根据题意，f（x）=alnx+，其中x＞0，∴f′（x）=+x=＞4，∴a+x2＞4x，即a＞4x﹣x2=4﹣（x﹣2）2；∵4﹣（x﹣2）2≤4，当且仅当x=2时，取“=”，∴a＞4；∴a的取值范围是（4，+∞）．故答案为：（4，+∞）．【点评】本题考查了导数的概念以及不等式恒成立问题，解题时应根据导数的概念，化为f′（x）＞4，从而使问题得以解答．12. 在△ABC中，若a=3，b=，∠A=，则∠C的大小为_________参考答案：13. 执行如图所示的程序框图，输出结果S的值是．．参考答案：考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s的值，当i=100时，不满足条件i＜100，退出循环，输出s为．解答：解：模拟执行程序框图，可得i=1，s=0a1=，s=满足条件i＜100，i=2，a2=，s=+满足条件i＜100，i=3，a3=，s=++…满足条件i＜100，i=100，a100=，s=+++…+不满足条件i＜100，退出循环，输出s=+++…+=+（﹣+﹣…﹣+﹣）=+（）=．故答案为：．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，其中用裂项法求s的值是解题的关键，属于基本知识的考查．14. .命题1）若是偶函数，其定义域是，则在区间是减函数。

2021-2022学年河南省开封市振兴中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知关于X的方程的解集为P，则P中所有元素的和可能是（）A. 3,6,9B. 6,9,12C. 9,12,15D. 6,12,15参考答案：B略2. 三棱锥中，平面，则该三棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．参考答案：A【知识点】球的体积和表面积．G8解析：取PC的中点O，连结OA、OB∵PA⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴PA⊥AC，可得Rt△APC中，中线OA=PC又∵PA⊥BC，AB⊥BC，PA、AB是平PSAB内的相交直线∴BC⊥平面PAB，可得BC⊥PB，因此Rt△BSC中，中线OB=PC，∴O是三棱锥P﹣ABC的外接球心，∵Rt△PCA中，AC=，PA=∴PC=，可得外接球半径R=PC=，∴外接球的表面积S=4πR2=5π故选A．【思路点拨】根据题意，证出BC⊥平面SAB，可得BC⊥PB，得Rt△BPC的中线OB=PC，同理得到OA=PC，因此O是三棱锥S﹣ABC的外接球心．利用勾股定理结合题中数据算出PC=，得外接球半径R=，从而得到所求外接球的表面积。

3. 已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】记“三人中至少有两人解答正确”为事件；“甲解答不正确”为事件，利用二项分布的知识计算出，再计算出，结合条件概率公式求得结果.【详解】记“三人中至少有两人解答正确”为事件；“甲解答不正确”为事件则；本题正确选项：【点睛】本题考查条件概率的求解问题，涉及到利用二项分布公式求解概率的问题.4. 实数满足，则的最大值是A．6 B．9 C．12 D．15参考答案：B5. 曲线的极坐标方程化为直角坐标为（）.A. B.C. D.参考答案：B略6. 已知集合A={x|x2－x－2<0}，B={x|－1<x<1}，则（A）AB （B）BA （C）A=B （D）A∩B=参考答案：B7. 2015年某企业员工有500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50），得到的频率分布直方图如图所示．现在要从年龄较小的第1，3，4组中用分层抽样的方法抽取16人，则在第4组抽取的人数为（）A．3 B．6 C．4 D．8参考答案：B【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图，结合分层抽样原理，计算第4组应抽取的人数即可．【解答】解：根据频率分布直方图，得；第1，3，4组的频率之比为0.02：0.08：0.06=1：4：3，所以用分层抽样的方法抽取16人时，在第4组应抽取的人数为16×=6．故选：B．8. 复数=( )A. B. C.D.参考答案：C略9. 三角形ABC中，A，B，C的对边分别为a,b,c,已知下列条件：①b=3,c=4,; ②a=5,b=8,;③c=6,b=,; ④c=9,b=12,其中满足上述条件的三角形有两解的是：（）A.①②B.①④C.①②③D.③④参考答案：A略10. 复数在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 数列{14－2n}的前n项和为S n，数列{︱14－2n︱}的前n项和为S n′，若S n的最大值为S m，则n≥m时，S n′＝参考答案：12. 已知数列与的前项和分别为，且，，若恒成立，则k的最小值是A. 7B.C. 49D.参考答案：B13. 若函数的图象关于点（1，1）对称，则实数= ．参考答案：1略14. 在同一平面直角坐标系中，函数的图像与的图像关于直线y=x对称，函数f(x)的图像与g(x)的图像关于y 轴对称，若f(m)=-1，则m的值为___参考答案：－1/e15. 已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)．则|PA|＋|PF|的最小值是，取最小值时P点的坐标．参考答案：，抛物线的准线为。