概率论

第一章 随机事件及其概率§1.1 随机事件及其运算随机现象：概率论的基本概念之一。

是人们通常说的偶然现象。

其特点是,在相同的条件下重复观察时,可能出现这样的结果,也可能出现那样的结果,预先不能断言将出现哪种结果.例如,投掷一枚五分硬币,可能“国徽”向上,也可能“伍分”向上;从含有5件次品的一批产品中任意取出3件,取到次品的件数可能是0,1,2或3.随机试验：概率论的基本概念之一.指在科学研究或工程技术中,对随机现象在相同条件下的观察。

对随机现象的一次观察(包括试验、实验、测量和观测等),事先不能精确地断定其结果,而且在相同条件下可以重复进行,这种试验就称为随机试验。

样本空间: 概率论术语。

我们将随机试验E 的一切可能结果组成的集合称为E 的样本空间,记为Ω。

样本空间的元素,即E 的每一个结果,称为样本点。

随机事件：实际中,在进行随机试验时,人们常常关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合.称试验E 的样本空间Ω的子集为E 的随机事件,简称事件.在每次试验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生.特别,由一个样本点组成的单点集,称为基本事件.样本空间Ω包含所有的样本点,它是Ω自身的子集,在每次试验中它总是发生的,称为必然事件.空集Ø不包含任何样本点,它也作为样本空间的子集,它在每次试验中都不发生,称为不可能事件.互斥事件（互不相容事件）: 若事件A 与事件B 不可能同时发生，亦即ΦB A = ，则称事件A 与事件B 是互斥(或互不相容)事件。

互逆事件: 事件A 与事件B 满足条件ΦB A = ，Ω=B A ,则称A 与B 是互逆事件，也称A 与B 是对立事件,记作A B =（或B A =）。

互不相容完备事件组：若事件组n A A A ,,21满足条件ΦA A j i = ，（n 1,2j i, =），Ω== n 1i i A,则称事件组n A A A ,,21为互不相容完备事件组(或称n A A A ,,21为样本空间Ω的一个划分)。

概率论的公式大全概率论是数学中研究随机事件的理论，它用于描述事件发生的可能性，并通过概率的计算和分析来预测、评估和决策。

下面给出一些概率论中常用的公式，帮助你更好地理解和运用概率论。

1.概率定义公式：P(A)=N(A)/N，表示事件A发生的概率，N(A)代表事件A发生的次数，N代表试验的总次数。

2.互补事件公式：P(A')=1-P(A)，表示事件A的补事件发生的概率。

3.加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，表示事件A或B发生的概率。

4.独立事件公式：P(A∩B)=P(A)*P(B)，表示事件A和事件B同时发生的概率，当事件A和事件B相互独立时成立。

5.条件概率公式：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)，表示事件B已经发生时事件A发生的概率。

6.乘法公式：P(A∩B)=P(A，B)*P(B)，也可以写作P(A∩B)=P(B，A)*P(A)，表示事件A和事件B同时发生的概率。

7.全概率公式：P(A)=ΣP(A，Bᵢ)*P(Bᵢ)，表示事件A发生的概率，Bᵢ代表一组互不相容且构成样本空间的事件。

8.贝叶斯公式：P(B，A)=P(A，B)*P(B)/P(A)，表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。

9.随机变量的概率公式：P(X=x)≥0，表示随机变量X取值为x的概率非负。

10.随机变量期望公式：E(X)=ΣxP(X=x)*x，表示随机变量X的期望或均值。

11.随机变量方差公式：Var(X) = E[(X - µ)²]，表示随机变量X的方差，其中µ为X的期望。

12.二项分布公式：P(X=k)=C(n,k)*p^k*q^(n-k)，表示n次独立重复实验中，事件发生k次的概率，其中，C(n,k)为组合数，p为事件发生的概率，q为事件不发生的概率。

13.泊松分布公式：P(X=k)=e^(-λ)*(λ^k)/k!，表示单位时间或空间中，事件发生了k次的概率，λ为事件发生率。

概率论全概率公式和贝叶斯公式概率论是数学的一门分支，主要研究以概率为基础的随机现象和数学模型，以及这些模型的性质和应用。

全概率公式和贝叶斯公式是概率论中两个重要的基本定理，本文将深入探讨这两个公式的概念、原理和应用。

一、全概率公式（Law of Total Probability）全概率公式是概率论中一个非常基本且有用的公式，它给出了一个事件的概率如何通过其他相关事件的概率来进行计算。

假设有一组互斥和完备的事件{B₁，B₂，B₃，...，Bₙ}，即这些事件是两两不重叠且一起构成了样本空间Ω，那么对于任意一个事件A，其概率可以表示为：P(A)=P(B₁)P(A，B₁)+P(B₂)P(A，B₂)+P(B₃)P(A，B₃)+...+P(Bₙ)P(A，Bₙ)其中，P(A)表示事件A的概率，P(B₁)、P(B₂)、P(B₃)、..、P(Bₙ)表示事件{B₁，B₂，B₃，...，Bₙ}的概率，P(A，B₁)、P(A，B₂)、P(A，B₃)、..、P(A，Bₙ)表示在事件{B₁，B₂，B₃，...，Bₙ}发生的条件下，事件A发生的概率。

全概率公式实际上是根据概率的加法规则推导出来的，它将事件A的概率分解为在不同条件下的概率。

通过求解这些条件概率，可以更加准确地计算事件A的概率。

全概率公式的应用非常广泛，例如在实际生活中，我们可能会遇到一些情况，我们对一些事件的概率不清楚，但是我们对一些互斥且完备的事件的概率有一些了解，利用全概率公式，我们可以通过这些已知的概率来推导出我们所关心的事件的概率。

二、贝叶斯公式（Bayes' theorem）贝叶斯公式是概率论中一个非常重要的公式，它描述了在已知事件B发生后，事件A发生的概率。

对于两个事件A和B，其中事件B发生的条件下，事件A发生的概率可以表示为：P(A，B)=P(B，A)P(A)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(B，A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率；P(A)表示事件A的概率；P(B)表示事件B的概率。

概率论的公式大全概率论是一门研究随机现象的数学分支，它使用概率来描述和解释随机事件发生的规律性。

在实际应用中，我们常常需要使用一些基本概率公式来计算和分析各种随机现象。

以下是一些常见的概率论公式：1.概率的定义公式：P(A)=N(A)/N(S)其中P(A)表示事件A的概率，N(A)表示事件A发生的次数，N(S)表示样本空间中发生的总次数。

2.加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)其中P(A∪B)表示事件A和事件B至少发生一个的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。

3.乘法公式：P(A∩B)=P(A)某P(B，A)其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。

4.条件概率公式：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)其中P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B的概率。

5.全概率公式：P(A)=ΣP(A，Bi)某P(Bi)其中P(A)表示事件A的概率，P(A，Bi)表示在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi发生的概率，Σ表示对所有可能的事件Bi求和。

6.贝叶斯公式：P(Bi，A)=P(A，Bi)某P(Bi)/ΣP(A，Bj)某P(Bj)其中P(Bi，A)表示在事件A发生的条件下事件Bi发生的概率，P(A，Bi)表示在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi发生的概率，P(A，Bj)表示在事件Bj发生的条件下事件A发生的概率，Σ表示对所有可能的事件Bj求和。

7.期望值的公式：E(X)=ΣXi某P(Xi)其中E(X)表示随机变量X的期望值，Xi表示随机变量X的可能取值，P(Xi)表示随机变量X取值为Xi的概率，Σ表示对所有可能的取值Xi求和。

8.方差的公式：Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2其中Var(X)表示随机变量X的方差，E(X^2)表示随机变量X的二阶矩，[E(X)]^2表示随机变量X的期望值的平方。

第一章随机事件与概率§1.1 随机事件一、基本概念1．随机现象：预先不能断定结果的现象（有多种结果）投掷硬币、抽取牌张、观察天气、测量潮位、射击目标、顾客到来、考试排座、交通事故2．随机试验：对随机事件进行实验或观察，简称试验。

有的是人为设置，有的是必须经历。

通常所指的试验具有以下2个特征：（1）可以重复进行；（2）事先明确所有基本结果3．随机事件：试验的某种结果，事前不能确定，事后可观察到是否发生，简称事件（是个判断句）以、、，…等表示。

例1教师任取一个学号（随机），请对应的学生回答问题，站起来的可能“是男生”，“是女生”，“是戴眼镜的学生”，“是穿红衣服的学生”，“是高个子”，“是体重在60公斤以上的”“是叫张华的学生”——这些都是随机事件。

4．基本事件：不能再分解的“最简单”的事件，试验中各种最基本的可能结果。

例2在52张扑克牌中，任取一张，=“抽到◇”，=“抽到K”都是事件，其中可分解为13个最基本的结果，可分解为4个。

5．样本点：即基本事件，记为。

随机事件是某些基本事件（样本点）构成的集合。

6．样本空间：样本点的全体，即全集，记为Ω。

如投币：Ω={正，反} 抽牌：Ω=随机事件都是样本空间的子集。

例1中抽到任何一张◇，都认为已发生，类似地，抽到任何一张牌，都认为Ω已发生。

7．必然事件：试验中必然发生的事件，即Ω。

如投币：Ω=“正面朝上或反面朝上”。

抽牌：Ω=“抽到一张牌”。

8．不可能事件：试验中不可能发生的事件，是一个空集，记为。

如投币：=“正面朝上且反面朝上”。

抽牌：=“抽到一张电影票”。

例3在一批灯泡里，任取一只测试它的寿命（1000～3000小时）：（1）试述一个事件；（2）指出一个样本点；（3）指出样本空间。

二、事件的关系与运算事件是集合，可以进行集合的运算，要求除了会用集合的语言表述外，还要会用事件的语言表述，并且着重于后者。

1．包含关系（或）集合语言：A中的样本点，全在内。

概率论的基本概念总结概率论是一门研究随机现象和随机事件发生概率的学科。

以下是概率论的一些基本概念和原理的总结：1. 随机试验：指具有随机性质的实验，可以重复进行，并且每次实验的结果不确定。

2. 样本空间：随机试验所有可能结果构成的集合，记作Ω。

3. 事件：样本空间Ω 中的子集称为事件。

通常用大写字母A、B、C 等表示事件。

4. 事件的概率：事件A 发生的可能性大小可以用概率来描述，记作 P(A)。

概率是一个介于 0 和 1 之间的实数。

5. 等可能概型：当一个随机试验的样本空间中的每个结果发生的可能性相等时，称为等可能概型。

6. 频率：进行多次独立重复的随机试验，事件 A 发生的频率近似等于其概率。

7. 概率的性质：概率具有以下性质：- 非负性：对于任何事件 A，有P(A) ≥ 0。

- 规范性：对于样本空间Ω，有P(Ω) = 1。

- 加法性：对于任何两个互斥事件 A 和 B，有 P(A ∪ B) =P(A) + P(B)。

- 完备性：对于任何事件 A，有 P(A) + P(A的补) = 1。

8. 条件概率：当已知随机试验的某些信息时，我们可以计算某一事件发生的概率，这就是条件概率。

条件概率使用 P(B|A) 表示，读作“在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率”。

9. 乘法规则：当两个事件 A 和 B 依赖于彼此时，事件 A 和 B 同时发生的概率可以通过条件概率相乘得到，即P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A)。

10. 独立事件：事件 A 和 B 是独立事件，如果 A 的发生与 B 的发生无关，即P(A ∩ B) = P(A) * P(B)。

11. 事件的互斥和独立：事件 A 和 B 互斥，如果它们不能同时发生，即P(A ∩ B) = 0。

事件 A 和 B 独立，如果它们的发生与否相互独立，即P(A ∩ B) = P(A) * P(B)。

12. 全概率公式：在条件概率已知的情况下，可以利用全概率公式求解事件的概率，即P(B) = Σ P(Ai) * P(B|Ai)，其中 Ai 是样本空间Ω 的一个划分。

概率公式整理1．随机事件及其概率吸收律：AAB A A A A =⋃=∅⋃Ω=Ω⋃)(AB A A A A A =⋃⋂∅=∅⋂=Ω⋂)()(AB A B A B A -==-反演律：BA B A =⋃BA AB ⋃=n i ini iA A11===ni ini iA A11===2．概率的定义及其计算：)(1)(A P A P -= 若B A ⊂ )()()(A P B P A B P -=-⇒ 对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=-加法公式：对任意两个事件A , B , 有 )()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃ )()()(B P A P B A P +≤⋃)()1()()()()(2111111n n nnk j i k j inj i j ini ini i A A A P A A AP A AP AP A P -≤<<≤≤<≤==-+++-=∑∑∑3．条件概率 ()=A B P)()(A P AB P 乘法公式())0)(()()(>=A P A B P A P AB P()())0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P全概率公式∑==ni i AB P A P 1)()()()(1i ni i B A P B P ⋅=∑=Bayes 公式)(A B P k )()(A P AB P k =∑==ni i ik k B AP B P B A P B P 1)()()()(4．随机变量及其分布 分布函数计算)()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<5．离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布1,0,)1()(1=-==-k p p k X P kk (2) 二项分布 ),(p n B 若P ( A ) = p nk p pC k X P kn kk n,,1,0,)1()( =-==-*Possion 定理 0lim >=∞→λn n np有,2,1,0!)1(lim ==---∞→k k ep p C kkn n k nk n n λλ(3) Poisson 分布)(λP,2,1,0,!)(===-k k ek X P kλλ6．连续型随机变量 (1) 均匀分布),(b a U ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(b x a ab x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=1,,0)(a b ax x F(2) 指数分布 )(λE⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f xλλ⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(x e x x F xλ(3) 正态分布 N (μ , σ 2 )+∞<<∞-=--x e x f x 222)(21)(σμσπ⎰∞---=x t t ex F d 21)(222)(σμσπ*N (0,1) — 标准正态分布+∞<<∞-=-x ex x2221)(πϕ+∞<<∞-=Φ⎰∞--x t ex xtd 21)(22π7.多维随机变量及其分布 二维随机变量( X ,Y )的分布函数 ⎰⎰∞-∞-=x ydvdu v u f y x F ),(),(边缘分布函数与边缘密度函数⎰⎰∞-+∞∞-=x X dvdu v u f x F ),()( ⎰+∞∞-=dv v x f x f X),()(⎰⎰∞-+∞∞-=yYdudv v u f y F ),()( ⎰+∞∞-=du y u f y f Y),()(8. 连续型二维随机变量 (1) 区域G 上的均匀分布，U( G )⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,0),(,1),(G y x Ay x f(2)二维正态分布+∞<<-∞+∞<<∞-⨯-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+------y x ey x f y y x x ,121),(2222212121212)())((2)()1(21221σμσσμμρσμρρσπσ9. 二维随机变量的 条件分布0)()()(),(>=x f x y f x f y x f X XYX0)()()(>=y f y x f y f YYX Y⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dyy f y x f dy y x f x f Y Y X X )()(),()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dxx f x y f dx y x f y f X XYY )()(),()()(y x f Y X )(),(y f y x f Y =)()()(y f x f x y f Y X XY =)(x y f XY)(),(x f y x f X =)()()(x f y f y x f X Y Y X =10.随机变量的数字特征 数学期望∑+∞==1)(k kkp xX E⎰+∞∞-=dxx xf X E )()(随机变量函数的数学期望 X 的 k 阶原点矩 )(kX E X 的 k 阶绝对原点矩 )|(|kX EX 的 k 阶中心矩 )))(((kX E X E - X 的 方差 )()))(((2X D X E X E =-X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩 )(lkY X E X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩 ()lkY E Y X E X E ))(())((--X ,Y 的 二阶混合原点矩 )(XY E X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差()))())(((Y E Y X E X E --X ,Y 的相关系数XY Y D X D Y E Y X E X E ρ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--)()())())(((X 的方差D (X ) = E ((X - E (X ))2) )()()(22X E X E X D -=协方差 ()))())(((),cov(Y E Y X E X E Y X --= )()()(Y E X E XY E -=())()()(21Y D X D Y X D --±±=相关系数)()(),cov(Y D X D Y X XY =ρ。

概率论的公式大全概率论是数学的一个分支，研究随机事件发生的概率。

以下是概率论中常用的公式。

1.基本概率公式：P(A)=n(A)/n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A的样本空间中的有利结果数量，n(S)表示样本空间中的总结果数量。

2.加法公式：P(A或B)=P(A)+P(B)-P(A且B)其中，P(A或B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A且B)表示事件A和事件B同时发生的概率。

3.乘法公式：P(A且B)=P(A)×P(B，A)其中，P(B，A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。

4.条件概率公式:P(A，B)=P(A且B)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

5.全概率公式：P(A)=Σ(P(A，Bi)×P(Bi))其中，P(A)表示事件A的概率，Bi表示S的一个划分，P(A，Bi)表示在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi的概率。

6.贝叶斯公式：P(Bi，A)=(P(A，Bi)×P(Bi))/Σ(P(A，Bj)×P(Bj))其中，P(Bi，A)表示在事件A发生的条件下，事件Bi发生的概率，P(A，Bi)表示在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi的概率。

7.期望值公式：E(X)=Σ(Xi×P(Xi))其中，E(X)表示随机变量X的期望值，Xi表示X的取值，P(Xi)表示X取值为Xi的概率。

8.方差公式：Var(X) = Σ((Xi - E(X))^2 × P(Xi))其中，Var(X)表示随机变量X的方差，Xi表示X的取值，E(X)表示X 的期望值，P(Xi)表示X取值为Xi的概率。

9.标准差公式：SD(X) = √Var(X)其中，SD(X)表示随机变量X的标准差，Var(X)表示X的方差。

10.二项分布的概率公式：P(X=k)=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示X取值为k的概率，C(n,k)表示组合数，p表示单次实验成功的概率，n表示试验重复的次数，k表示成功发生的次数。

概率论知识点总结
概率论是有关概率事件发生及其后果的数学理论，是数理统计学的分支，也是概率统计理论基础。

概率论是一种统计理论，它是以定义、描述随机现象为主要内容的数学理论。

概率论可以用来处理日常生活中的各种问题，比如投骰子、抛硬币、抽奖等。

概率论的知识点总结可以分为以下几个方面：
1、定义和性质：概率是对某种情况发生或事件发生的可能性的衡量，它常用来表示出现某种特定结果的可能性。

概率的值介于0和1之间，当概率为1时，表示确定会发生，而概率为0时表示绝不会发生。

2、概率的组成：概率的三要素有性质空间、计数原理和独立性。

性质空间指的是一个事件发生的空间，它可以包含任意多个事件，称为概率空间。

计数原理指的是，在一个概率空间中，相关事件发生的次数可以被分为不同类别，比如有发生次数和未发生次数。

独立性是指，在一个概率空间中，某个事件发生或不发生，不影响另一个事件的发生或不发生。

3、概率的计算方法：概率的计算要综合考虑概率的三个要素，可以分为定义法，乘积法，加法法和条件概率法等。

定义法是从概率定义准备计算概率。

乘积法是将要计算概率的两个相关事件用乘法运算相乘，即概率乘积。

加法法是把概率的两个相关事件用加法运算相加，即概率和。

条件概率法是从已知条件概率出发，计算某一事件的发生概率。

4、概率的应用：概率论在现实生活中广泛应用，比如保险业、教育领域、决策科学等，它可以帮助人们做出更合理的决策，从而提高生活水平。

总之，概率论是一门基础而重要的理论，它不仅可以帮助我们理解许多自然现象，而且还可以为我们提供一个有力的工具，帮助我们进行正确的决策。

概率论是数学中的一个重要分支，研究随机事件发生的规律。

它是应用数学的一个重要工具，广泛应用于统计学、物理学、生物学等领域。

概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性的数值。

对于一个随机试验，试验的每一个结果都称为样本点。

样本空间是所有可能的样本点的集合。

而事件是样本空间的一个子集。

概率的基本公理有三个：非负性、规范性和可列加性。

非负性指概率必须是非负的数值，即大于等于0。

规范性指样本空间的概率为1，即必然事件的概率为1。

可列加性指如果两个事件互斥，则它们的概率可以相加。

概率的计算方法在概率论中，有三种常见的计算方法：古典概型、几何概型和统计概型。

古典概型适用于样本空间中的每个样本点发生的概率相等的情况。

例如，掷一枚公正的硬币，正面和反面出现的概率都是1/2。

几何概型适用于样本空间是一个连续的区间的情况。

例如，从一个范围为0到1的均匀分布随机选择一个数，落在某个子区间的概率可以用该子区间的长度表示。

统计概型适用于实际问题中，根据历史数据或样本数据进行估计的情况。

例如，根据过去的天气数据，预测明天下雨的概率。

条件概率和独立性条件概率是指在已知某个事件发生的前提下，另一个事件发生的概率。

条件概率可以用P(A|B)表示，读作“A在B发生的条件下的概率”。

独立性指两个事件的发生与否是相互独立的。

如果两个事件A和B是独立的，那么P(A|B) = P(A)，即B的发生对A的发生没有影响。

条件概率和独立性是概率论中的重要概念，它们在实际问题的建模和分析中有着广泛的应用。

例如，在医学诊断中，根据症状来计算各种疾病的概率，可以通过条件概率来实现。

期望值和方差期望值是随机变量的平均值，用E(X)表示。

对于离散型随机变量，期望值可以通过每个取值与其对应的概率相乘再求和来计算；对于连续型随机变量，期望值可以通过对密度函数进行积分来计算。

方差是随机变量偏离其期望值的程度的度量，用Var(X)表示。

它等于随机变量与其期望值之差的平方的均值。

1第一章 随机事件及其概率第一节 随机事件一. 必然现象与随机现象在自然界里，在生产实践和科学实验中，人们观察到的现象大体可归结为两种类型。

一类是可事前预言的，即在准确地重复某些条件下，它的结果总是肯定的，或是根据它过去的状态，在相同条件下完全可以预言将来的发展。

我们把这一类型现象称之为确定性现象或必然现象。

如在一个大气压下，水在100度时会沸腾等。

一类是事前不可预言的，即在相同条件下重复进行试验，每次结果未必相同；或是知道它过去状况，在相同条件下，未来的发展事前却不能完全肯定。

这一类型的现象我们称之为偶然性现象或随机现象。

如掷一个质地均匀的硬币，结果可能是正面向上，或是背面向上。

二. 样本空间尽管一个随机试验将要出现的结果是不确定的, 但其所有可能结果是明确的, 我们把随机试验的每一种可能的结果称为一个样本点, 记为ω；它们的全体称为样本空间, 记为Ω.事件 是指某一可观察特征的随机试验的结果。

基本事件是相对观察目的而言不可再分解的、最基本的事件，其它事件均可由它们复合而成，一般地，我们称由基本事件复合而成的事件为复合事件.如掷一枚骰子，向上的一面会出现1点，2点，3点，4点，5点，6点。

则样本点有6个。

若记,16i i i ω=≤≤，i ω即为样本点。

样本空间为123456{,,,,,}ωωωωωωΩ=。

记{}i i A ω=，i A 为一个基本事件，把“出现偶数点”这样一个事件记为B ，则246{,,}B ωωω=。

B 为一个复合事件。

三. 事件的运算规律事件间的关系及运算与集合的关系及运算是一致的，为了方便，给出下列对照表：表1.1没有相同的元素与互不相容和事件事件的差集与不发生发生而事件事件的交集与同时发生与事件事件的和集与至少有一个发生与事件事件的相等与相等与事件事件的子集是发生发生导致事件的余集的对立事件子集事件元素基本事件空集不可能事件全集必然事件样本空间集合论概率论记号B A B A AB B A B A B A B A B A AB B A B A B A B A B A B A B A B A B A A A A A ∅=-=⊂∅Ω ω,第二节 随机事件的概率一. 概率的定义定义1 设E 是随机试验, Ω是它的样本空间,对于E 的每一个事件A 赋于一个实数, 记为)(A P , 若)(A P 满足下列三个条件:1. 非负性：对每一个事件A ,有 0)(≥A P ;2. 完备性：()1P Ω=;3. 可列可加性：设 ,,21A A 是两两互不相容的事件，则有.)()(11∑∞=∞==i ii i AP A P2则称)(A P 为事件A 的概率.二. 概率的性质性质1：()0P ∅=。

概率论公式
概率论中常用的公式有：
1. 总概率公式：对于事件A和B，如果A和B构成一个完备事件组，则P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|B')P(B')，其中B'
表示事件B的补集。

（该公式可以推广到多个事件的情况）
2. 乘法公式：对于事件A和B，P(A∩B) = P(A|B)P(B) =
P(B|A)P(A)。

3. 加法公式：对于不互斥的事件A和B，P(A∪B) = P(A)
+ P(B) - P(A∩B)。

4. 条件概率公式：对于事件A和B，如果P(B) > 0，则
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。

5. 贝叶斯公式：对于事件A和B，如果P(A) > 0和P(B) > 0，则P(A|B) = P(A)P(B|A) / P(B)。

6. 期望值公式：对于一个离散型随机变量X，其期望值E(X) = ΣxP(X=x)，其中x为X的所有可能取值。

7. 方差公式：对于一个离散型随机变量X，其方差Var(X) = E[(X-E(X))^2] = Σ(x-E(X))^2P(X=x)，其中E(X)为X的期望值。

请注意，以上公式只是概率论中的一部分常用公式，还有
许多其他公式可根据具体概率问题的性质和假设来使用。

概率论公式概率论是一种重要的数学理论，它分析和研究概率事件的可能结果以及它们的概率本质。

概率论的基本思想是：概率事件的发生频率有可能在一定的数量级上出现明显的变化，但是无法判断确切的发生率。

因此，在概率论中，人们通常使用概率公式来说明概率事件的可能结果。

概率论公式是概率论中最重要的数学工具，它们可以帮助人们更好地理解概率事件的发生率以及该事件的可能结果。

下面就来讨论概率论中一些常见的概率公式。

1. 伯努利定理：它是独立事件的基本理论，描述的是同一个概率事件的两种可能结果的概率和关系：P（A）= P（A）× P（B），其中，P（A）和P（B）分别表示概率事件A和B的概率。

2.叶斯定理：它可以明确描述两个概率事件的条件概率，即：P （AB）= P（A）×P（BA）/ P（B），其中，P（A）表示事件A发生的概率，P（BA）表示事件B在事件A发生的条件下发生的概率，P（B）表示事件B发生的概率。

3.律定理：它用于描述一系列的概率事件发生的节律性，即，当概率事件A发生n次后，下一次概率事件A发生的概率为：P（N+1）=P（N）/（1- P（N）），其中，P（N）表示概率事件A发生n次的概率。

4.合概率计算公式：它用于计算两个或多个概率事件发生概率的总和，即：P（A∪B）=P（A）+ P（B）- P（A∩B），其中，P（A∪B）表示概率事件A和B发生的概率之和，P（A）表示概率事件A发生的概率，P（B）表示概率事件B发生的概率，P（A∩B）表示概率事件A和B同时发生的概率。

5.体概率计算公式：它用于计算一组概率事件的概率总和，即：P（T） =∑i =1n（P（Ai）），其中，P（T）表示被考虑的概率事件T 的概率总和，P（Ai）表示概率事件Ai发生的概率。

6.概率公式：它用于计算某一事件发生的概率，即：P（A）=∑i=1n（P（Ai）×P（AAi）），其中，P（A）表示概率事件A发生的概率，P（Ai）表示概率事件Ai发生的概率，P（AAi）表示概率事件A 在Ai发生的条件下发生的概率。