随机变量的分布函数共21页文档

解 : X U(0,1), Y 2ln X 0
y 0, FY ( y) 0 fY ( y) 0
FY ( y) P{Y y} P{2ln X y} P{ X e y/ 2 }
1 P{ X e y / 2 } 1 FX (e y / 2 )
fY ( y) FY( y) f X (e y/ 2 )(e y/ 2 ) 1 e y / 2
W X Y 0 -2 -3 3 1 0 M max( X ,Y ) 1 1 2 2 2 2 N min( X ,Y ) 1 -1 -1 -1 1 2
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合并后可得各变量的分布律如下：
Z=X+Y P
-2 0
134
5/20 2/20 9/20 3/20 1/20
W=X-Y P
- 3 -2 0 1 3 6/20 2/20 6/20 3/20 3/20
X\Y
-1 2
解: 将(X,Y)及各函数值列表如下：
-1 5/20 3/20
12 2/20 6/20 3/20 1/20
（X，Y）
(-1,-1) (-1,1) (-1,2) (2,-1) (2,1) (2,2)
P
5/20 2/20 6/20 3/20 3/20 1/20
Z X Y 2 0 1 1 3 4
FM(z) =P(M≤z)=P(max(X,Y) ≤z) =P(X≤z,Y≤z) =P(X≤z)P(Y≤z) = FX(z)FY(z)
即 FM(z)= FX(z)FY(z)
FN(z) =P(N≤z)=P(min(X,Y) ≤z) =1-P(min(X,Y) >z) =1-P(X>z,Y>z) =1- P(X>z)P(Y>z)

F(x)
1
e dt
(t )2 2 2
,
2
x .
F(x)
0
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x
x
结束
⑵ 概率密度的特点
① 曲线关于x =对称.
f(x)
1
2
② 当 x =时，函数f(x)达到
最大值，最大值为
0 μ h μ μ h
-h +h
x
f () 1 . 2
概率密度或密度函数或密度.
y
二、性质
f (x)
(1) 非负性：f (x) 0 ;
几何意义：
f(x)下方x轴
上方所围面积为1
(2) 规范性： f (x)dx 1.
0
x
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结束
b
(3) P{a X b} a f (x)dx .
y
f(x)
(4) 在f(x)的连续点处有
.
1,
xb
由P{c X d}
d
f (x)dx
d
1
dx d c
,
c
c ba ba
得X 落在[a,b]内任一小区间[c,d]内的概率与该小区间的长度成
正比，而与该小区间的位置无关．
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例3. 设随机变量X在[2, 8]上服从均匀分布，求二次方程 y2+2Xy+9=0 有实根的概率.
③ 拐点 ( ± ，f( ± ));
水平渐近线为 ox 轴.
《概率统计》
f (x)
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1
(x)2

x
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三、分布函数的性质
1 单调不减 即 若 x1< x2，则F(x1) ≤F(x2)；
2.非负有界 0 F(x) 1, ( x ),且
3.右连续
lim F(x) F() 0,
x
lim F(x) F() 1
x
F(x+0)=F(x)
性质1--3是鉴别一个函数是否是某随机变量的 分布函数的充分必要条件.
3e 3
x
x0
0 x0
x
(2)从而 F (x) f (t)dt
x 3e3tdt 1 e3x
0
x0
0
x0
即F
(
x)
1
e 3
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x0
0 x0
（3）PX 0.1
f (x)dx
0.1
3e3xdx e0.3
0.1
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例2: 连续型随机变量X的分布函数
F
(
x)
A B
其概率密度与分布函数分别用 (x),(x)表示.即
(x)
1
x2
e2
2
( x) 1
x t2
e 2 dt
2
(x)
(x)
1 2
-1 O 1 x
O
x
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例1 一袋中有6个球，其中2个标号为1，3个标号为 2，1个标号为3, 任取1个球，以X表示取出的球的 标号，求X的分布函数；并求 P｛2 ≤ X ≤3｝
解：由已知X的可能值为1, 2, 3．
P{X=1}= 2/6, P{X=2}=3/6, P{X=3}=1/6.

得 A
1 1 ，B ． 2
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随机变量分布函数
本节小结：
1）分布函数的定义及性质； 2）用分布函数计算某些事件的概率，特别是 P{X=a}=F(a)-F(a-0)
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Pa X b PX b PX a F b F a 0
Pa X b PX b PX a F b 0 F a
Pa X b PX b PX a F b 0 F a 0
0, 0.1, F ( x) 0.7, 1, x 2, 2 x 1, 1 x 2, x 2.
1
-2
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0
1
2
4
x
随机变量分布函数
说 明： 分布函数 F (x) 在 x = xk (k =1, 2 ,…) 处有跳跃，其跳 跃值为 pk=P{X= xk}.
X
pk
-2 0.1
1 0.6
2 0.3
解： 当 x <-2 时，{ X x}是不可能事件，
F ( x ) P{ X x } P{} 0.
当 2 x 1 时, 满足 X
x
的 X 取值为 X = -2, 0 2 1 2
F ( x ) XP{ X x } P{ X 2} 0.1.
X
x
-2 x
-2 1
x
x3ຫໍສະໝຸດ 2016/11/20随机变量分布函数
X
x
-2
1
0.6
2
0.3
pk 0.1
当1 x 2 时, 满足 X
的 X 取值为 X = -2, 或1

解：设X表示被盗索赔的人数，则X～B（90，0.1） 由于p 相对n 较小，用泊松定理计算
n p9 00.19
P (X 5 ) 1 P ( 0 X 5 )
1 P ( X 0 ) P ( X 1 ) P ( X 2 ) P (X 3 ) P (X 4 )查泊松分布表
1 0 .00 0 .0 01 0 0 2 .1 03 1 0 0 1 .4 11 9 4 0 .0 9 93 8 9
0.5065
4. 超几何分布
离散型随机变量X的概率分布为：
P (Xk)C M kC C N n N n k M (k0,1,,n)
则称X服从参数为N，M，n的超几何分布。
[注]（1）当 nM或 nNM时，随机变量X
取值另论； (2)组合的性质
n
C C k nk M NM
CNn
k0Βιβλιοθήκη （3） kn 0P (Xk)kn 0C M kC C N n N n k MC C N N n n1
定理2 超几何分布以二项分布为极限。
即，固定 n，当N, Mp 时，有 N CM kC C N n N n kM N Cn kpk(1p)nk
[注] 对于超几何分布，当N较大，而 n相对于
N较小时，常用二项分布来逼近超几何分布。
例3 一大批种子的发芽率为90%，从中任取 10粒，求播种后恰好有8粒种子发芽的概率。
解：设X表示发芽的种子数， 则X服从超几何分布。
由于大批种子N相对抽取的种子数n较大，则 X 近似服从二项分布B（10，0.9），
P (X 8 )C 1 80 0 .9 8 0 .1 2 0.1937
§2.3 随机变量的分布函数
一、基本概念
定义1 设 X 是一个 随机变量，如果对于xR

推论
若X ~ N ( µ , σ ), 则
2
X −µ
σ
~ N (0, 1)
正态分布的标准化
2010年12月16日星期四 中央财经大学《概率统计》课件--孙 博 第二章 第五节 --第18页--
设X ~ N（0，1），其概率密度为 （ ， ） 其概率密度为：
1 ϕ ( x) = e −∞ < x < +∞ 2π 则 Y = X 2 概率密度函数为： 概率密度函数为 1 y − − 1 y 2e 2 , y > 0 fY ( y ) = 2π 0, y ≤ 0
1, 0 < x < 1 fX ( x) = 其它 0,
d(e− y/ 2 ) − y/ 2 − y/ 2 , 0< e <1 fX (e ) fY ( y) = dy 0, 其它 1 − y / 2 得 e , y>0 fY ( y) = 2 0, 其它
服从[19 21]上的均匀分布 [19， 上的均匀分布． 即 Y 服从[19，21]上的均匀分布
2010年12月16日星期四 中央财经大学《概率统计》课件--孙 博 第二章 第五节 --第26页--
设球的半径X 例 设球的半径X的概率密度为 6 x(1 − x), x ∈ (0,1) f ( x) = 试求体积的概率密度。 试求体积的概率密度。 其它 0, 4 Y = π X 3 的分布函数为 解 体积 3 3y 3y 4 3 FY ( y ) = P π X < y = P X < 3 = FX 3 4π 4π 3 − 2 3 3y 1 3y 3 y 3 y ′ 3 3 3 fY ( y ) = f X ⋅ = fX 3 ⋅ ⋅ ⋅ 4π 4π 4π 3 4π 4π

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x0 0 x2 x2
结束
引例.靶子是半径2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点与
该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶.以X表示弹着点与圆心 的距离，求X的分布函数. 易证，F(x)是一个连续函数，可表示为
F ( x)
其中
x
-
f (t )dt
x , f ( x) 2 0,
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例 2.
随机变量 X 的概率分布为 2 1/2
X 0 1 P 1/3 1/6 试求（1）X 的分布函数 F(x)，并作出 F(x)的图形； （2） P{ X },
1 2
3 P{1 X }, 2
3 P{1 X } 2
(2)
1 1 1 P{ X } F 2 2 3 3 3 1 1 P{1 X } F - F (1) - 0 2 2 2 2 3 3 1 P{1 X } F - F (1) P{ X 1} 2 6 2
x
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§2.3
随机变量的分布函数
一、定义 设X为随机变量，对于任意实数x，称函数
F ( x) P{X x} (- x )
为随机变量X的分布函数. 重要公式
(1) P{ X a} 1 - F (a).
(2) P{a X b} P{ X b} - P{ X a} F (b) - F (a)
pk P{X xk }.
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§2.４
连续型随机变量
引例.靶子是半径2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点与
该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶.以X表示弹着点与圆心 的距离，求X的分布函数.

第2章 随机变量与分布函数
【要点详解】
§2.1 随机变量与分布函数
1．随机变量
（1）定义
①设E为随机试验， {} 为其样本空间，若对任意 ，有唯一实数X（ω）与之对应，则称X（ω）为随
机变量。
②设X为一个随机变量，对任意实数x，事件“X≤x”的概率是x的函数，记为F（x）=P(X≤x），这个函数称为X
X
x1
x2
…
xi
…
P
p1
p2
…
pi
…
说明：随机变量的分布列与随机变量的分布函数不是同一个概念，但它们可相互确定。
③离散型随机变量X的分布函数的计算公式：F (x ) P (X x )p i, x x i x
【例题2.3】设离散型随机变量X的概率分布列如下所示。
X
பைடு நூலகம்
0
1
2
3
P
0.3
0.1
a
正态密度函数式的性质：
☞f（x）关于x=μ对称；
☞
。
☞对任何a<b，当X～N（μ，σ2），有
④伽马（Gamma）分布 设α，β是正常数，由积分
定义，它有如下性质：
☞ (1)1,(12)； ☞ (1)()（用分布积分法可得），当α取整数n时， (n 1 )n (n )n ! ；
☞ x 1exdx ()/ （用变量替换法可得）。 0
x 1
x 1
P ( 0 . 3 X 0 . 7 ) F ( 0 . 7 ) F ( 0 . 3 ) 0 . 7 2 0 . 3 2 0 . 4 0
（
【 例 题 2.7】 已 知 连 续 型 随 机 变 量 X 的 密 度 函 数 为 ）。

及
其
y
由 FY ( y) F (x, )
[

f (x, y)dx]dy

知Y是连续型随机变量,其概率密度为
分 布

称为(X,fYY)(关y)于 Y的 f边(x缘, y)概dx率密度.
例3 求例1中二维随机变量（X、Y）关于X
和关于Y的边缘分布律。
例4 设随机变量X和Y具有联合概率密度 求
已知 分布函数F(x)
函 则f(x)在连续点处: f ( x) F `( x)
数
§2.5 多维随机变量及其分布
(一)二维随机变量
1.二维随机变量
引例1 E：火炮射击观察“弹着点”的位置；
例2 E：抽查学龄前儿童，观察身体素质。
定义：
随机试验E,样本空间为S=｛e｝,设X=X(e) 和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量,由它们构 成的向量(X,Y),称为二维随机变量。
其 且F(-∞,-∞)=0,F(+∞,+∞)=1.
分 (3)F(x,y)关于x或y右连续.
布
多 • 2.离散型随机变量的联合分布律
维 设二维随机变量(X,Y)所有可能取值为
随 (xi,yj),记P｛X=xi,Y=yj｝=pij,称为二维
机
离散型随机变量(X,Y)的概率分布或分布 律,或称为随机变量X,Y的联合分布律.
机 F(x,y),如存在非负的函数f(x,y),
变 使对于任意x,y，都有：
量 则称(X,Y)是连续型的二维随机变量,
及 函数f(x,y)称为(X,Y)的概率密度,
其 或称为X和Y的联合概率密度.
分
布
多 概率密度f(x,y)的性质
维 1 f (x, y) 0;

P( x1 X x2 ) F (x2) F (x1). 证 对任意实数 x1, x2, x1 x2, 由分布函数定义知，
F (x1) P( X x1), F (x2 ) P( X x2 ). 事件X x2 是互不相容事件X x1与x1 X x2 的并： 由概率加法定理得
P( X x2 ) P( X x1) P(x1 X x2 ), 所以
6
66
F(π ) F( π ) 1.
6
62
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§2.5 随机事件的分布函数
[例3] 使用了t小时的电子元件在以后的t小时内损 坏的概率为t o(t),其中 是常数,o(t)表示当t 0时较t高阶的无穷小. 求电子元件的寿命(电子元
件损坏前已使用的时数)的分布函数.
解 : 设 X 表示电子元件的寿命, 则 X 的分布函数为 F(t) P(X t).
P(X t t X t) t o(t),
所以有
F(t t) F(t) [1 F(t)][t o(t)].
整理得
F (t t) F (t) [1 F (t)][ o(t)].
t
t
令 t 0 得 dF (t) [1 F (t)].
dt
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§2.5 随机事件的分布函数
X
1
1
3
P( X xi ) 0.4
0.4
0.2
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解：显然, X是离散型随机变量,且 X 的可能值为1, 1, 3. 易知
P(X 1) F(1) F(1 0) 0.4 0 0.4, P(X 1) F(1) F(1 0) 0.8 0.4 0.4, P(X 3) F(3) F(3 0) 1 0.8 0.2.

1 1 x arcsin x 2
2
x
1
对 x>1， F (x) = 1
即
x 1 0, x 1 1 2 F ( x) 1 x arcsin x , 1 x 1 2 1, x 1 (3).
1 1 2 2 P( X ) 1 x dx 2 2 sin 2t 6 1 1 1 3 (t ) F( ) F( ) . 2 6 2 2 3 2 1
分布函数是一个普通的函数，正是 通过它，我们可以用数学分析的工具来 研究 随机变量.
二、离散型 r.v的分布函数
设离散型r.vX 的概率分布列是 P{ X=xk } = pk , 则 F(x) = P(X x) = k =1,2,3,…
xk x
p
k
由于F(x) 是 X 取 x 的诸值 xk 的概率之和， 故又称 F(x) 为累积概率函数.
• 例3.2.4
设§是某台仪器从时刻零开始持 续工作的时间。假设在时刻t以前没有损坏， 而在时间间隔（t，t+△t）中损坏的条件概 率为 (t )t (t ), (t )是与t有关的正值函数， 求 §的分布函数为。
3.4
连续型随机变量
连续型随机变量X所有可能取值充满 一个区间, 对这种类型的随机变量, 不能 象离散型随机变量那样, 以指定它取每个 值概率的方式, 去给出其概率分布, 而是 通过给出所谓“概率密度函数”的方式. 下面我们就来介绍对连续型随机变量 的描述方法.
x1 x2
y
f (x)
o x1
x2
x
4. 对 f(x)的进一步理解:P79中
若x是 f(x)的连续点，则： x x f ( t )dt P ( x X x x ) lim lim x x 0 x 0 x x =f(x) 故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是 X落在区间 ( x, x x ]上的概率与区间长度 x 之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量， f (x)相当于线密度.