高二数学随机变量的期望与方差试题答案及解析

二、期望与方差的实际应用1、离散型随机变量的期望：（1）若离散型随机变量的概率分布为ξξ1x 2x --- n x --- P1p 2p ---np ---则称为的数学期望（平均值、均值）简称为期望。

++++=n n p x p x p x E 2211ξξ1）求）现从甲、乙两盒各随机抽取的分布列；是服从正态分布名学生的成绩统计如表，规定分以下为一般，大于等于2 718 C ．3 413 D 附：若X~N )(0.682 6,2X P μσμ<≤+=-】每个国家身高正常的标准是不一样的，不同年龄、不同种族、不同地区身高都是有差异的，我的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计为了了解某地区高三男生的身体发育状况抽查结果表明他们的体重3.某车间在三天内，每天生产10件某产品，其中第一天，第二天分别生产出了1件、2件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过. （I ）求第一天通过检查的概率； （II ）求前两天全部通过检查的概率；（III ）若厂内对车间生产的产品采用记分制：两天全不通过检查得0分，通过1天、2天分别得1分、2分.求该车间在这两天内得分的数学期望.4.两个排球队进行比赛采用五局三胜的规则，即先胜三局的队获胜，比赛到此也就结束，假设按原定队员 组合，较强队每局取胜的概率为0.6，若前四局出现2比2的平局情况，较强队就换人重新组合队员，则其在决赛局中获胜的概率为0.7，设比赛结束时的局数为. ξ （Ⅰ）求的概率分布； ξ （Ⅱ）求E . ξ5.某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响. 已知某学生只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用表示该学生选修的课程门数和没有选修ξ的课程门数的乘积.（Ⅰ）记“函数为上的偶函数”为事件，求事件的概率；x x x f ξ+=2)(R A A（Ⅱ）求的分布列和数学期望.ξ6.某小组有7个同学，其中4个同学从来没有参加过天文研究性学习活动，3个同学曾经参加过天文研究性学习活动.（1）现从该小组中随机选2个同学参加天文研究性学习活动，求恰好选到1个曾经参加过天文研究性学习活动的同学的概率；（2）若从该小组随机选2个同学参加天文研究性学习活动，则活动结束后，该小组没有参加过天文ξξξ研究性学习活动的同学个数是一个随机变量，求随机变量的分布列及数学期望E.7.旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条.（1）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率（2）求恰有2条线路没有被选择的概率.（3）求选择甲线路旅游团数的期望.8.一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球。

随机变量及其期望和方差练习题1. 问题描述：设随机变量X的概率密度函数为：f(x) = {k/x^2 (1, 若 x > 1)0 (其他情况)}求k的值，并计算随机变量X的期望和方差。

2. 解答过程：根据概率密度函数的性质，概率密度函数f(x)满足以下条件：(1) f(x) >= 0，对于所有的x，(2) 在整个样本空间内，概率的积分等于1。

首先，根据条件(2)，我们可以得到：∫[1, ∞] (k/x^2) dx = 1对概率密度函数f(x)进行积分，得到：-k * ∫[1, ∞] x^(-2) dx = 1积分x^(-2)得到：-k * [-1/x] |[1, ∞] = 1代入上下限计算，得到：-k * [-1/(∞) - (-1/1)] = 1由于∞的倒数为0，化简方程，得到：k = 1因此，已经确定k的值为1。

接下来，我们可以计算随机变量X的期望和方差。

随机变量的期望E(X)定义为：E(X) = ∫[-∞, ∞] x * f(x) dx根据概率密度函数f(x)的定义，已知f(x)在x <= 1的情况下为0，因此积分的上限可以改为∞，得到：E(X) = ∫[1, ∞] x * (k/x^2) dx化简后，可以计算出期望E(X)的值：E(X) = ∫[1, ∞] k/x dx = k * [ln(x)] |[1, ∞]代入上下限计算，得到：E(X) = k * [ln(∞) - ln(1)] = k * ∞ = ∞由于期望的值为无穷大，说明此随机变量的期望不存在。

随机变量的方差Var(X)定义为：Var(X) = E[(X - E(X))^2]由于已经确定期望E(X)不存在，因此无法计算方差Var(X)的值。

综上所述，随机变量X的期望不存在，方差也无法计算。

高考数学基础题训练：随机变量的期望与方差一、单选题 1．已知()1,4N η，若()()21P a P a ηη>=<-，则=a （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．22．天气预报，在假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为 A ．0.2B ．0.3C ．0.38D ．0.563．随机变量X 的分布列如下表，其中2b a c =+，且1c ab =，则(2)P X ==（ ）A ．47B ．45C ．14D ．2214．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14．从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是（假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响）（ ） A ．1320B ．25C ．14D ．155．某市为弘扬我国优秀的传统文化，组织全市10万中小学生参加网络古诗词知识答题比赛，总分100分，经过分析比赛成绩，发现成绩X 服从正态分布()82,16N ，请估计比赛成绩不小于90分的学生人数约为（ ）〖参考数据〗：()0.683P X μσμσ-<≤+=，()220.954P X μσμσ-<≤+=，()330.997P X μσμσ-<≤+=A ．2300B ．3170C ．3415D ．4606．小明参加某项测试，该测试一共3道试题，每道试题做对得5分，做错得0分，没有中间分，小明答对第1，2题的概率都是12，答对第3题的概率是13，则小明答完这3道题的得分期望为（ ） A ．2512B ．6512C ．203D ．2537．A 同学和B 同学参加某市青少年围棋比赛并进入决赛，决赛采取“3局2胜”制，若A 同学每局获胜的概率均为23，且每局比赛相互独立，则在A 先胜一局的条件下，A 最终能获胜的概率是（ ）A ．34B ．89C ．79D ．568．从区间()0,3和()1,5内分别选取一个实数x ，y ，得到一个实数对(),x y ，称为完成一次试验．若独立重复做3次试验，则x y <的次数T 的数学期望为（ ） A ．12B ．13C ．53D ．52二、多选题9．设离散型随机变量X 的分布列如下表：若离散型随机变量23Y X =-+，且() 3.2E X =，则正确的是（ ）.A ．0.2m =B ．0.2n =C ．() 3.4E Y =-D ．()()33P X P X ≤=>10．“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给作出了杰出贡献.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高ξ（单位：cm ）近似服从正态分布()2100,10N .已知()2~,X N μσ时，有(||)0.6827P X μσ-≤≈，(||2)0.9545P X μσ-≤≈，(||3)0.9973P X μσ-≤≈.下列说法正确的是（ ） A ．该地水稻的平均株高约为100cmB ．该地水稻株高的方差约为100C ．该地株高超过110cm 的水稻约占68.27％D ．该地株高低于130cm 的水稻约占99.87％11．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，…，6，用X 表示小球落入格子的号码，则（ ）A ．1(1)(0)64P X P X ==== B ．5(2)(5)32P X P X ==== C ．5(3)(4)16P X P X ==== D ．3()2D X =12．一口袋中有大小和质地相同的5个红球和2个白球，则下列结论正确的是（ ）A ．从中任取3球，恰有一个红球的概率是17B ．从中有放回的取球3次，每次任取一球，恰好有两个白球的概率为20343C ．从中不放回的取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了红球，则第二次再次取1到红球的概率为13D ．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率为218343第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 三、填空题13．已知随机变量2~(0,)X N σ，且(),0P X a m a >=>，则()P a X a -<<=___________.14．已知某种疾病的患病率为0.5%，在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为99%，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为______.15．一项过关游戏规则规定:在第n 关要抛掷一颗质地均匀的骰子n 次，如果这n 次抛掷所出现的点数之和大于2n ，则算过关.甲同学参加了该游戏，他连过前二关的概率是_____．四、双空题16．在是否接种疫苗的调查中调查了7人，7人中有4人未接种疫苗，3人接种了疫苗，从这7人中随机抽取3人进行身体检查，用X 表示抽取的3人中未接种疫苗的人数，则随机变量X 的数学期望为______；设A 为事件“抽取的3人中，既有接种疫苗的人，也有未接种疫苗的人”，则事件A 发生的概率为______. 17．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率是215，既刮风又下雨的概率是110．设事件A 为“该地区刮风”，事件B 为“该地区下雨”，则()P B A =______，()P A B =______．18．随机变量X 的分布列为()()1,2,3,,15kP X k k k N *===∈，则正整数k的最大值为__________，1522P X ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的值为__________．19．立德中学开展学生数学素养测评活动，高一年级测评分值（满分100分）X 近似服从正态分布，正态曲线如图①所示.为了调查参加测评的学生数学学习的方法与习惯差异，决定在分数段[),m n 内抽取学生，并确定m ＝67，且()0.8186P m X n <<=.在某班随机抽样得到20名学生的分值分布茎叶图如图①所示.若该班抽取学生分数在分数段[),m n 内的人数为k ，则k 等于______；这k 名学生的人均分为______.（附：()0.6827P X μσμσ-<<+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=，()330.9973P X μσμσ-<<+=）五、解答题20．在某校开展的知识竞赛活动中，共有A B C ､､三道题，答对A B C ､､分别得2分､2分､4分，答错不得分.已知甲同学答对问题A B C ､､的概率分别为422,,535，乙同学答对问题A B C ､､的概率均为35，甲､乙两位同学都需回答这三道题，且各题回答正确与否相互独立.(1)求甲同学至少有一道题不能答对的概率；(2)运用你学过的统计学知识判断，谁的得分能力更强.21．第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京和张家口举办，为了普及冬奥知识，京西某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了20名学生作为样本，得到他们的分数统计如下：我们规定60分以下为不及格；60分及以上至70分以下为及格；70分及以上至80分以下为良好；80分及以上为优秀.（I）从这20名学生中随机抽取2名学生，恰好2名学生都是优秀的概率是多少？（II）将上述样本统计中的频率视为概率，从全校学生中随机抽取2人，以X表示这2人中优秀人数，求X的分布列与期望.22．某校高一年级组织“知识竞答”活动．每位参赛者第一关需回答三个问题，第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得20分，回答错误得10-分；第三个问题回答正确得30分，回答错误得20-分．规定，每位参赛者回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功．若某位参赛者回答前两个问题正确的概率都是23，回答第三个问题正确的概率是12，且各题回答正确与否相互之间没有影响．（1）求这位参赛者仅回答正确两个问题的概率；（2）求这位参赛者回答这三个问题的总得分ξ的分布列和期望；（3）求这位参赛者闯关成功的概率．参考答案：1．C 【解析】 【分析】首先可通过题意求出正态分布曲线的对称轴，然后根据()()21P a P a ηη>=<-得出2112a a +-=，最后通过计算即可得出结果. 【详解】 因为()1,4N η，所以对称轴方程为1x η==，因为()()21P a P a ηη>=<-， 所以2112a a +-=，解得1a =， 故选：C. 【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查正态分布曲线的对称性，考查计算能力，是简单题. 2．C 【解析】两地中恰有一个地方降雨分为两种情况：甲地降雨乙地不降雨，乙地降雨甲地不降雨，分别求解然后求和可得结果. 【详解】因为甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，所以这两地中恰有一个地方降雨的概率为0.2(10.3)(10.2)0.30.38⨯-+-⨯=. 故选：C. 【点睛】本题主要考查事件的独立性，把事件分解为独立事件的积、互斥事件的和，是求解的关键，侧重考查数学建模的核心素养. 3．A 【解析】由概率的性质可得1a b c ++=，结合已知条件求出a 的值，即可求解.【详解】由概率的性质可得1a b c ++=， 由2,1,21b a c c ab a b c =+⎧⎪⎪=⎨⎪++=⎪⎩得4,71,32,21a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩则4(2)7P X ==，故选：A 4．B 【解析】先写出事件“从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格”的对立事件，然后再根据相互独立事件同时发生的概率公式求出其概率，最后根据对立事件的概率公式即可算出． 【详解】设事件A ：“从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格”，则其对立事件B ：“从中任挑一儿童，这两项都不合格”，由题可知，儿童体型不合格的概率为45，身体关节构造不合格的概率为34，所以()433545P B =⨯=，故()()321155P A P B =-=-=．故选：B ． 【点睛】本题主要考查对立事件的概率公式和相互独立事件同时发生的概率公式的应用，属于基础题． 5．A 【解析】根据正态分布定义，求得比赛成绩不小于90分的学生人数所占比例，即可得结果. 【详解】依题意知，82,4μδ==所以()74900.954P x <≤= 则()()19010.9540.0232P x ≥=-⨯=，所以比赛成绩不小于90分的学生人数约为 1000000.0232300⨯=故选：A6．C 【解析】 【分析】设小明的得分为ξ，则ξ的可能取值为0、5、10、15，求出所对应的概率，即可得到得分ξ的分布列，从而求出数学期望；【详解】解：设小明的得分为ξ，则ξ的可能取值为0、5、10、15， 所以()111101112236P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()21211111551112232312P C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-⨯-+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2121111111011232233P C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-+⨯⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2111152312P ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭；所以小明得分ξ的分布列为：所以小明答完这3道题的得分期望为1511200510156123123⨯+⨯+⨯+⨯=，故选：C. 7．B 【解析】 【分析】先分析A 最终能获胜有两种情况，分别计算概率，再相加即得结果. 【详解】在A 先胜一局的条件下，A 最终能获胜有两种情况： （1）第二局甲再次取胜，概率为23；（2）第二局甲败，第三局甲胜，概率为122339⨯=，故A 最终能获胜的概率为228399+=.故选：B. 【点睛】 方法点睛:计算条件概率通常有两种方法; (1)利用条件概率公式()()()P AB P A B P B =；(2)在事件B 已经发生的前提下，相当于缩小了总事件的空间容量，再计算()()()n AB P A B n B =，或利用独立关系直接计算事件B 发生后的概率情况. 8．D 【解析】 【分析】先根据几何概型求出一次试验中x y <发生的概率，再由二项分布的期望公式即可求数学期望． 【详解】从区间()0,3和()1,5内分别选取一个实数x ，y ，则03,15x y <<⎧⎨<<⎩表示的可行域为矩形ABCD 区域（不含边界），如图所示，0315x y x y <<⎧⎪<<⎨⎪<⎩表示的可行域为图中的阴影部分（不含边界）．因为BEF 的面积为12222⨯⨯=，矩形ABCD 的面积为12，所以由几何概型可知，每次试验x y <发生的概率251126P =-=， 由题意知，53,6TB ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 所以x y <的次数T 的数学期望为55362⨯=． 故选：D ． 9．AC 【解析】 【分析】先由() 3.2E X =可得40.6m n +=，再由概率和为1得0.3m n +=，从而可求出,m n 的值，再利用期望公式求()E Y 即可，从而可得答案. 【详解】()120.130.3450.3 3.2E X m n =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以40.6m n +=，又因为0.10.30.31m n ++++=，所以0.3m n +=，从而得0.2m =，0.1n =，故A 选项正确，B 选项错误；()()23 3.4E Y E X =-+=-，故C 选项正确；()()()()3=3=2=++=0.3+0.1+0.2=01.6P X P X P X P X ≤=， ()()()=+3=4=0.4=5P X P X P X >，故D 选项不正确. 故选：AC. 10．ABD 【解析】 【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解. 【详解】由题意可知，100μ=，2100σ=，故A ，B 正确； 由题意得110μσ+=，3130μσ+=所以()()()()1110.317315.87%22P X P X μσμσμσ>+=--<<+≈⨯=⎡⎤⎣⎦，故C 错误； 所以()()()()13113310.0013599.87%2P X P X μσμσμσ<+=---<<+≈-=⎡⎤⎣⎦，故D 正确； 故选：ABD. 11．BC 【解析】 【分析】结合独立重复试验概率计算公式，计算出概率并求得方差，从而确定正确选项. 【详解】已知X 表示小球落入格子的号码，则X 的所有取值范围为1，2，3，4，5，6， 则()5111()232P X ===，由对称性可知()()16132P X P X ====，而()()14511525()2232P X P X C ====⋅⋅=，()()232511534()()2216P X P X C ====⋅⋅=，所以()()()()15571625343232162E X =+⨯++⨯++⨯=， ()22222271717575757551625342322322322322162164D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，综上得选项BC 正确． 故选：BC 12．AD 【解析】 【分析】利用超几何分布的概率公式可判断A 选项；利用独立重复试验的概率公式可判断B 选项；利用条件概率公式可判断C 选项；利用对立事件的概率公式可判断D 选项. 【详解】对于A 选项，从中任取3球，恰有一个红球的概率是125237C C 1C 7=，A 对；对于B 选项，从中有放回的取球3次，每次任取一球，每次抽到白球的概率为27，则3次取球中恰好有两个白球的概率为2232560C 77343⎛⎫⋅⋅= ⎪⎝⎭，B错；对于C 选项，从中不放回的取球2次，每次任取1球， 记事件:A 第一次取到红球，记事件:B 第二次取到红球，则()()()2527C C 2537P AB P B A P A ===，C 错；对于D 选项，从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率3521817343⎛⎫-=⎪⎝⎭，D 对. 故选：AD. 13．12m - 【解析】 【分析】根据正态分布区间的对称性直接计算即可. 【详解】由2~(0,)X N σ，且(),0P X a m a >=> 则()P X a m <-=，所以()12P a X a m -<<=- 故答案为：12m - 14．0.495% 【解析】 【分析】根据条件概率公式计算． 【详解】设事件A 表示“血检呈阳性”，事件B 表示“患该种疾病”.依题意知()0.005P B =，()0.99P A B =，由条件概率公式()()()P AB P A B P B =，得()()()0.0050.990.004950.495%P AB P B P A B ==⨯==.故答案为：0.495%． 15．59【解析】 【分析】由题可求过第一、二关的概率，再利用独立事件的概率公式即求. 【详解】由于骰子是均匀正方体，所以，抛掷后各点数出现的可能性是相等的.设事件An ，为“第n 次过关失败”，则对立事件n B 为“第n 次过关成功”，第n 次游戏中，基本事件总数为6n .第1关：事件1A 所含基本事件数为2（即出现点数1和2两种情况）. 所以，过此关的概率为 11221163B A P P =-=-=. 第2关：事件2A 所含基本事件数为方程x y a +=当a 分别取2、3、4时的正整数解组数之和，即6个.所以，过此关的概率为 222651166B A P P =-=-=. 故连过两关的概率为1259B B P P ⨯=.故答案为：59.16．12767【解析】 【分析】分别求出，0,1,2,3X =的概率，进一步求出所以()E X 和()P A . 【详解】由题意可知，随机变量X 的取值范围为{0，1，2，3}，()33371035C P X C ===，()12433712135C C P X C ===， ()21433718235C C P X C ===，()34374335C P X C ===，所以()112184120123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 由已知条件可得()()()121861235357P A P X P X ==+==+=. 故答案为：127；67. 17．3438【解析】 【分析】根据条件概率公式即求. 【详解】()215P A =，()415P B =，()110P AB =，()()()34P BA P B A P A ∴==，()()()38P AB P A B P B ==． 故答案为：34；38.18． 5 15【解析】 【分析】由概率和为1，可求出k 的值，由()()1,2,3,,15kP X k k k N *===∈可得15(1)(2)22P X P X P X ⎛⎫<<==+= ⎪⎝⎭【详解】 解：由题意得121151515k++⋅⋅⋅+=，得12315k +++⋅⋅⋅+=，解得5k =， 因为()()1,2,3,,15kP X k k k N *===∈，所以15121(1)(2)2215155P X P X P X ⎛⎫<<==+==+= ⎪⎝⎭，故答案为：5，1519． 10 74分 【解析】 【分析】由已知，测评分值X 服从正态分布2(,)N μσ，根据图像，分别求解出μ，σ，根据给的参考数据，结合给定的范围，即可确定n 的值，然后根据区间[),m n 的范围，在图①输出满足条件的数据，即可确定k 的值，并根据k 的取值再去计算平均数即可. 【详解】有图像可知，X 服从正态分布2(,)N μσ，其中72μ=，5σ=，所以随机变量X ~(7225)N ，，()67770.6827P X <<=，()62820.9545P X <<=，由0.95450.6827(67)0.81860.95452P X n -<<==-，可得82n =.由图①可知，该班在[)67,82内抽取了10人； 所以，人均分为687073757271767876817410+++++++++=分.故答案为：10，74分. 20．(1)5975(2)乙 【解析】 【分析】（1）先求其对立事件的概率即可.（2）分别求甲乙两同学得分的概率分布及均值，比较甲乙两同学得分的均值的大小即可. (1)设甲同学三道题都答对的事件为A ,则()4221653575P A =⨯⨯=， 所以甲同学至少有一道题不能答对的概率为()1659117575P P A =-=-=. (2)设甲同学本次竞赛中得分为X ，则X 的可能取值为0,2,4,6,8分，则()1133053575P X ==⨯⨯=, ()41312318253553575P X ==⨯⨯+⨯⨯=,()42311226453553575P X ==⨯⨯+⨯⨯=,()41212212653553575P X ==⨯⨯+⨯⨯=,()42216853575P X ==⨯⨯=,所以X 的概率分布列为：所以()318261216340680246875757575757515E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯== 设乙同学本次竞赛中得分为Y ，由Y 的可能取值为0,2,4,6,8分 ()32805125P Y ⎛⎫===⎪⎝⎭, ()2123224255125P Y C ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭, ()2232323045555125P Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ()2122336655125P Y C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()332785125P Y ⎛⎫===⎪⎝⎭, 所以Y 的概率分布列为：所以()82430362724024681251251251251255E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=, 所以6824155<，所以乙的得分能力更强. 21．（1）395；（2）分布列见详解；()25E X =.【解析】 【分析】（1）利用组合数以及古典概型的概率计算公式即可求解.（2）由题意可得0,1,2x =，再利用二项分布的概率计算公式列出分布列，从而求出数学期望. 【详解】（1）记恰好2名学生都是优秀的事件为A ，则()242206319095C P A C ===. （2）抽到一名优秀学生的概率为41205p ==， X 的取值为0,1,2，()20024********P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()111241815525P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, ()022241125525P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故X 的分布列为：()168120122525255E X =⨯+⨯+⨯=22．（1）49；（2）分布列见解析，195()9E ξ=；（3）49.【解析】（1）设事件i A 这位参赛者回答对第i 个问题()1,2,3i =，则这位参赛者仅回答正确两个问题的情况有123A A A ，123A A A ，123A A A ，然后利用互斥事件的概率和公式求解即可； （2）由题意可得30,20,0,10,20,30,50,60ξ=--，然后依次求出各个的概率，列出分布列即可，从而可求出数学期望；（3）由（2）可得这位参赛者闯关成功的概率为(30)(50)(60)P P P P ξξξ==+=+= 【详解】（1）设事件i A 这位参赛者回答对第i 个问题()1,2,3i =， ①()()()123123123P P A A A P A A A P A A A =++ 22121112143323323329=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= （2）30,20,0,10,20,30,50,60ξ=-- ()1231(30)18P P A A A ξ=-==，()1231(20)9P P A A A ξ=-==，()1231(0)9P P A A A ξ===，()1232(10)9P P A A A ξ===，()1231(20)18P P A A A ξ===，()1231(30)9P P A A A ξ===， ()1231(50)9P P A A A ξ===，()1232(60)9P P A A A ξ===， ①ξ的分布列为：11121112195()30200102030506018999189999E ξ=-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． （3）由（2）得这位参赛者闯关成功的概率为4(30)(50)(60)9P P P P ξξξ==+=+==． 【点睛】关键点点睛：此题考查互斥事件和独立事件的概率的求法，考查离散型随机变量的分布列，考查运算求解能力，解题的关键是正确理解题意，正确利用互斥事件和独立事件的概率公式，属于中档题。

高中数学离散型随机变量的期望与方差练习(含答案)1.事件A为“三个点数都不同”，事件B为“至少出现一个6点”，求条件概率P(A|B)和P(B|A)。

2.已知随机变量ξ服从正态分布N(1,1)，若P(ξ<3)=0.977，则求P(-1<ξ<3)。

3.随机变量X的取值为1和2，若P(X=0)=0，E(X)=1，则求D(X)。

4.已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(X≥4)=0.1587，则求P(2<X<4)。

5.甲乙等人参加米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是多少？6.不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球，现从中逐个不放回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则摸取次数的数学期望是多少？7.下面说法中正确的是：A.离散型随机变量ξ的均值E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值；B.离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平；C.离散型随机变量ξ的均值E(ξ)反映了ξ取值的平均水平；D.离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值。

8.每次试验的成功率为p，重复进行10次试验，其中前7次都未成功，后3次都成功的概率是多少？9.设随机变量X服从二项分布B(n,p)，则P(X=k)的分布列为多少。

10.现在有10张奖券，其中7张未中奖，3张中奖，某人从中随机无放回地抽取1张奖券，则此人得奖金额的数学期望为多少？11.已知X～B(n,p)，E(X)=2，D(X)=1.6，则n和p的值分别为多少？12.袋中有大小相同的5个球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，则它们的和的数学期望为多少？1.一个球，设两个球号码之和为随机变量，则所有可能取值的个数是（）A。

5B。

9C。

10D。

25.答案：C。

10.2.电灯泡使用时数在1 000小时以上的概率为0.2，则三个灯泡在1 000小时以后最多有一个坏了的概率是（）A。

开锁次数的数学期望和方差例 有n 把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开．用它们去试开门上的锁．设抽取钥匙是相互独立且等可能的．每把钥匙试开后不能放回．求试开次数ξ的数学期望和方差．分析：求)(k P =ξ时，由题知前1-k 次没打开，恰第k 次打开．不过，一般我们应从简单的地方入手，如3,2,1=ξ，发现规律后，推广到一般．解：ξ的可能取值为1，2，3，…，n ．;12112121)111()11()3(;111111)11()2(,1)1(nn n n n n n n n P nn n n n n P nP =-⋅--⋅-=-⋅--⋅-===-⋅-=-⋅-====ξξξ nk n k n k n n n n n n n k n k n n n n k P 111212312111)211()211()111()11()(=+-⋅+-+---⋅--⋅-=+-⋅+----⋅--⋅-== ξ；所以ξ的分布列为：231211=⋅++⋅+⋅+⋅=n n n n n E ξ； n n n n n k n n n n n n D 1)21(1)21(1)213(1)212(1)211(22222⋅+-++⋅+-++⋅+-+⋅+-+⋅+-= ξ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+++++++-++++=n n n n n n 22222)21()321)(1()321(1 1214)1(2)1()12)(1(611222-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-++=n n n n n n n n n 说明：复杂问题的简化处理，即从个数较小的看起，找出规律所在，进而推广到一般，方差的公式正确使用后，涉及一个数列求和问题，合理拆项，转化成熟悉的公式，是解决的关键．次品个数的期望例 某批数量较大的商品的次品率是5％，从中任意地连续取出10件，ξ为所含次品的个数，求ξE ．分析：数量较大，意味着每次抽取时出现次品的概率都是0.05，ξ可能取值是：0，1，2，…，10．10次抽取看成10次独立重复试验，所以抽到次品数ξ服从二项分布，由公式np E =ξ可得解．解：由题，()05.0,10~B ξ，所以5.005.010=⨯=ξE ．说明：随机变量ξ的概率分布，是求其数学期望的关键．因此，入手时，决定ξ取哪些值及其相应的概率，是重要的突破点．此题k k k C k P --⋅==1010)05.01()05.0()(ξ，应觉察到这是()05.0,10~B ξ．根据分布列求期望和方差例 设ξ 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，求q 值，并求ξ ξ D E、．分析：根据分布列的两个性质，先确定q 的值，当分布列确定时，ξ ξ D E、只须按定义代公式即可．解： 离散型随机变量的分布满足（1）,,3,2,1,0 =≥i P i （2）.1321=+++P P P 所以有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤=+-+.1,1210,1212122q q q q 解得 .211-=q 故ξ 的分布列为⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+-⨯+⨯-=∴2231)12(021)1(ξ E .2122321 -=-+-= ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯--+-⨯-+⨯---=223)]21(1[)12()21(21)]21(1[ 222ξ D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⨯-=2232)12(21)22( 32 .12223123622223 -=-+-+-+-=小结：解题时不能忽视条件i i p k P ==)(ξ时，10≤≤i p ，⋅⋅⋅=,2,1i 否则取了1>q 的值后，辛辛苦苦计算得到的是两个毫无用处的计算．产品中次品数分布列与期望值例 一批产品共100件，其中有10件是次品，为了检验其质量，从中以随机的方式选取5件，求在抽取的这5件产品中次品数分布列与期望值，并说明5件中有3件以上（包括3件）为次品的概率．（精确到0．001）分析：根据题意确定随机变量及其取值，对于次品在3件以上的概率是3，4，5三种情况的和．解：抽取的次品数是一个随机变量，设为ξ ，显然ξ 可以取从0到5的6个整数． 抽样中，如果恰巧有k 个（5,4,3,2,1,0=k ）次品，则其概率为510059010)(C C C k P k k -⋅==ξ按照这个公式计算，并要求精确到0．001，则有.0)5( ,0)4( ,07.0)3( ,070.0)2( ,340.0)1( ,583.0)0(============ξ ξ ξ ξ ξ ξ P P P P P P 故ξ 的分布列为.501.00504007.03070.02340.01583.00=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξ E由分布列可知，.007.0)3( ,00007.0)3( =≥∴++=≥ξ ξ P P这就是说，所抽取的5件品中3件以上为次品的可能性很小，只有7％．评定两保护区的管理水平例 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：甲保护区：乙保护区：分析：一是要比较一下甲、乙两个保护区内每季度发生的违规事件的次数的均值，即数学期望；二是要看发生违规事件次数的波动情况，即方差值的大小．（当然，亦可计算其标准差，同样说明道理．）解：甲保护区的违规次数1ξ的数学期望和方差为：;3.12.032.023.013.001=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE;21.12.0)3.13(2.0)3.12(3.0)3.11(3.0)3.10(22221=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=ξD 乙保护区的违规次数2ξ的数学期望和方差为：;3.14.025.011.002=⨯+⨯+⨯=ξE41.04.0)3.12(5.0)3.11(1.0)3.10(2222=⨯-+⨯-+⨯-=ξD ；因为2121,ξξξξD D E E >=，所以两个保护区内每季度发生的违规平均次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散和波动．（标准差64.0,1.12211≈===ξσξξσξD D 这两个值在科学计算器上容易获得，显然，σξσξ>1）说明：数学期望仅体现了随机变量取值的平均大小，但有时仅知道均值大小还是不够的，比如：两个随机变量的均值相等了（即数学期望值相等），这就还需要知道随机变量的取值如何在均值周期变化，即计算其方差（或是标准差）．方差大说明随机变量取值分散性大；方差小说明取值分散性小或者说取值比较集中、稳定．射击练习中耗用子弹数的分布列、期望及方差例 某射手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进入下一组的练习，否则一直打完5发子弹后才能进入下一组练习，若该射手在某组练习中射击命中一次，并且已知他射击一次的命中率为0.8，求在这一组练习中耗用子弹数ξ 的分布列，并求出ξ 的期望ξ E 与方差ξ D （保留两位小数）． 分析：根据随机变量不同的取值确定对应的概率，在利用期望和方差的定义求解． 解： 该组练习耗用的子弹数ξ 为随机变量，ξ 可以取值为1，2，3，4，5．ξ ＝1，表示一发即中，故概率为;8.0)1(==ξ Pξ ＝2，表示第一发未中，第二发命中，故;16.08.02.08.0)8.01()2(=⨯=⨯-==ξ Pξ ＝3，表示第一、二发未中，第三发命中，故;032.08.02.08.0)8.01()3(22=⨯=⨯-==ξ Pξ ＝4，表示第一、二、三发未中，第四发命中，故0064.08.02.08.0)8.01()4(33=⨯=⨯-==ξ Pξ ＝5，表示第五发命中，故.0016.02.01)8.01()5(44==⋅-==ξ P因此，ξ 的分布列为0016.050064.04032.0316.028.01⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξ E,25.1008.00256.0096.032.08.0 =++++=0016.0)25.15(0064.0)25.14(032.0)25.13(16.0)25.12(8.0)25.11(22222⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=ξ D .31.00225.00484.0098.009.005.0 =++++=说明：解决这类问题首先要确定随机变量的所有可能取值，然后再根据概率的知识求解对应的概率．准备礼品的个数例 某寻呼台共有客户3000人，若寻呼台准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客户去领奖的概率为4％．问：寻呼台能否向每一位顾客都发出奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少礼品？分析：可能来多少人，是一个随机变量ξ．而ξ显然是服从二项分布的，用数学期望来反映平均来领奖人数，即能说明是否可行．解：设来领奖的人数)3000,,2,1,0(, ==k k ξ，所以k k k C k P --⋅==300003000)04.01()04.0()(ξ，可见()04.0,30000~B ξ，所以，12004.03000=⨯=ξE （人）100>（人）．答：不能，寻呼台至少应准备120份礼品．说明：“能”与“不能”是实际问题转到数学中来，即用数字来说明问题．数字期望反映了随机变量取值的平均水平．用它来刻画、比较和描述取值的平均情况，在一些实际问题中有重要的价值．因此，要想到用期望来解决这一问题．。

高二数学随机变量的期望与方差试题答案及解析1.已知某一随机变量X的分布列如下：且，则a＝__________；b＝__________。

【答案】，【解析】由得，又由得。

【考点】随机变量的期望2.马老师从课本上抄录一个随机变量X的概率分布律如下表x123请小牛同学计算ε的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ε)＝________.【答案】2【解析】令“？”为a，“！”为b，则2a＋b＝1，又E(X)＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2.3.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数是一个随机变量，其分布列为，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，当盒中旧球的个数为时，相当于旧球的个数在原来3个的基础上增加了一个，所以取出的3个球中只有一个新球即取出的3个球中有2个是旧球1个新球，所以，故选C.【考点】离散型随机变量及其分布列.4.一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，射击停止后尚余子弹的数目X的数学期望值为________．【答案】2.376【解析】X的所有可能取值为3,2,1,0，其分布列为5.已知离散型随机变量X的分布列如表，若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.【答案】【解析】由题意知解得6.若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1＜x2，又已知E(X)＝，V(X)＝，则x1＋x2的值为________．【答案】3【解析】由题意知，X的所有可能取值为x1，x2，则有解得或 (舍去)，∴x1＋x2＝3.7.A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别为12A和B所获得的利润，求方差V(Y1)、V(Y2)；(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，100－x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值．【答案】(1)4 12 (2) x＝75时，f(x)＝3为最小值【解析】解：(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，V(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4；E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，V(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.(2)f(x)＝V＋V＝2V(Y1)＋2V(Y2)＝[x2＋3(100－x)2]＝(4x2－600x＋3×1002)，当x＝＝75时，f(x)＝3为最小值.8.已知某离散型随机变量服从的分布列如图，则随机变量的方差等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由分布列可知【考点】分布列期望方差点评：分布列中各随机变量概率和为1，求期望方差只需将数据代入相应的公式即可，需要学生熟记公式9.设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且取出不再放回，若以表示取出次品的个数,则的期望值=．【答案】【解析】由题意，相当于从有2个次品的12个同类型的零件中取3个，取出次品的个数可能为0、1、2．套公式即可． , ，则根据期望公式可知其值的期望值=，故答案为。

高考数学拔高题训练：离散型随机变量的期望与方差学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．对任意实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则2a 的值为（）A ．6B ．9C ．12D ．212．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343，12521等.两位数的回文数有11，22，3，……，99共9个，则在三位数的回文数中偶数的个数是（）A ．40B ．30C ．20D ．103．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．11164．某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为（）A ．85B ．86C ．91D ．905．已知甲口袋中有3个红球和2个白球，乙口袋中有2个红球和3个白球，现从甲，乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为ξ，则E ξ=A ．145B ．135C ．73D ．836．某科技公司生产一批同型号的光纤通信仪器，每台仪器的某个部件由三个电子元件按如图方式连接而成，若元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则该部件正常工作.由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：时）均服从正态分布()210000,10N ，且各个元件能否正常工作相互独立.现从这批仪器中随机抽取1000台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独立），那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的台数的均值为（）A ．600B ．420C ．375D ．2707．安排A ，B ，C ，D ，E ，F ，共6名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A 不安排照顾老人甲，义工B 不安排照顾老人乙，则安排方法共有A ．30种B ．40种C ．42种D ．48种8．2020年12月1日，大连市开始实行生活垃圾分类管理.某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶､一个有害垃圾桶､一个厨余垃圾桶､一个其它垃圾桶.因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有(如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们的前后左右位置关系不作考虑)（）A ．18种B ．24种C ．36种D ．72种二、填空题9．已知随机变量()~,B n p ξ，且6E ξ=，3D ξ=，则n =______.10．在MON ∠的边OM 上有5个异于O 点的点，边ON 上有4个异于O 点的点，以这10个点（含O 点）中的3个点为顶点，可以得到___________个三角形.11．某校周五的课程表设计中，要求安排8节课（上午4节、下午4节），分别安排语文、数学、英语、物理、化学、生物、政治、历史各一节，其中生物只能安排在第一节或最后一节，数学和英语在安排时必须相邻（注：上午的最后一节与下午的第一节不记作相邻），则周五的课程顺序的编排方法共有______．12．一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取1只，每一次取后不放回．若已知第1只是好的，则第2只也是好的的概率是______．三、解答题13．212nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式一共有16项.（1）求展开式中二项式系数之和；（2）求展开式中的常数项.14．10张奖券中有3张有奖，甲，乙两人不放回的各从中抽1张，甲先抽，乙后抽.求：（1）甲中奖的概率.（2）乙中奖的概率.（3）在甲未中奖的情况下，乙中奖的概率.15．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列；②设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率．16．某超市每年10月份都销售某种桃子，在10月份的每天计划进货量都相同，进货成本为每千克16元，销售价为每千克24元；当天超出需求量的部分，以每千克10元全部卖出．根据往年销售经验，每天的需求量与当天最高气温（单位：℃）有一定关系：最高气温低于25，需求量为1000千克；最高气温位于[25，30）内，需求量为2000千克；最高气温不低于30，需求量为3000千克．为了制订2020年10月份的订购计划，超市工作人员统计了近三年10月份的气温数据，得到下面的频率分布直方图．以气温位于各区间的频率代替气温位于该区间的概率．（1）求2020年10月份桃子一天的需求量X的分布列；（2）设2020年10月份桃子一天的销售利润为Y元，当一天的进货量为多少千克时，E （Y）取到最大值？17．7本不同的书分给5人，每人至少1本，共有多少种不同的分法？18．随着国家对体育、美育的高度重视，不少省份已经宣布将体育、美育纳入中考范畴．某学校为了提升学生的体育水平，决定本学期开设足球课，某次体育课上，体育器材室的袋子里有大小、形状相同的2个黄色足球和3个白色足球，现从袋子里依次随机取球．（1）若连续抽取3次，每次取1个球，求取出1个黄色足球、2个白色足球的概率；（2）若无放回地取3次，每次取1个球，取出黄色足球得1分，取出白色足球不得分，求总得分X的分布列．参考答案：1．A 【解析】【分析】由33[(2)2]x x =-+，根据二项式定理可得特定项系数.【详解】因为33[(2)2]x x =-+，所以123C 26a =⨯=，故选：A.2．A 【解析】【分析】根据回文数定义，确定首位，再确定中间数，最后根据分步乘法计数原理得结果.【详解】由题意，若三位数的回文数是偶数，则末（首）位可能为2，4，6，8.如果末（首）位为2，中间一位数有10种可能，同理可得，如果末（首）位为4或6或8，中间一位数均有10种可能，所以有41040⨯=个，故选：A 【点睛】本题考查分步计数原理实际应用，考查基本分析求解能力，属基础题.3．A 【解析】【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ．【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．4．B 【解析】【分析】根据题意，分三类，第1类，男生甲入选，女生乙不入选，第2类，男生甲不入选，女生乙入选，第3类，男生甲入选，女生乙入选，分别求得其方法数，然后利用分类计数原理求解.【详解】由题意，可分三类：第1类，男生甲入选，女生乙不入选，则方法种数为122133434331C C C C C ++=；第2类，男生甲不入选，女生乙入选，则方法种数为122134343434C C C C C ++=；第3类，男生甲入选，女生乙入选，则方法种数为2112343421C C C C ++=．所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为31＋34＋21＝86．故选：B 5．A 【解析】【分析】先求出ξ的可能取值及取各个可能取值时的概率，再利用1122i i E p p p ξξξξ=+++ +可求得数学期望.【详解】ξ的可能取值为2,3,4.2ξ=表示从甲口袋中取出一个红球，从乙口袋中取出一个白球，故()33925525P ξ==⨯=.3ξ=表示从甲、乙口袋中各取出一个红球，或从甲、乙口袋中各取出一个白球，故()3223123555525P ξ==⨯+=.4ξ=表示从甲口袋中取出一个白球，从乙口袋中取出一个红球，故()22445525P ξ==⨯=.所以9124142342525255E ξ=⨯+⨯+⨯=.故选A.【点睛】求离散型随机变量期望的一般方法是先求分布列，再求期望.如果离散型随机变量服从二项分布(),B n p ，也可以直接利用公式E np ξ=求期望.6．C 【解析】【分析】计算得出1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的台数服从二项分布31000,8B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用二项分布的期望公式可求得结果.【详解】由题意可知，该部件每个元件正常工作超过10000小时的概率均为12，则该部件正常工作超过10000小时的概率为21131228⎡⎤⎛⎫-⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的台数服从二项分布31000,8B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故所求均值为310003758⨯=.故选：C.7．C 【解析】利用间接法求解，首先计算出所有的安排方法，减掉A 照顾老人甲的情况和B 照顾老人乙的情况，再加回来多减一次的A 照顾老人甲的同时B 照顾老人乙的情况，从而得到结果.【详解】6名义工照顾三位老人，每两位义工照顾一位老人共有：2264C C 90=种安排方法其中A 照顾老人甲的情况有：1254C C 30=种B 照顾老人乙的情况有：1254C C 30=种A 照顾老人甲，同时B 照顾老人乙的情况有：1143C C 12=种∴符合题意的安排方法有：9030301242--+=种本题正确选项：C 【点睛】本题考查利用排列组合解决实际问题，对于限制条件较多的问题，通常采用间接法来进行求解.8．C 【解析】分析题意，得到有一个固定点放着两个垃圾桶，先选出两个垃圾桶，之后相当于三个元素分配到三个地方，最后利用分步乘法计数原理，求得结果.【详解】根据题意，有四个垃圾桶放到三个固定角落，其中有一个角落放两个垃圾桶，先选出两个垃圾桶，有246C =种选法，之后与另两个垃圾桶分别放在三个不同的地方有33A 种放法；所以不同的摆放方法共有23436636C A ⋅=⨯=种，故选：C.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关排列组合综合题，解题方法如下：（1）首先根据题意，分析出有两个垃圾桶分到同一个地方，有246C =种选法；（2）之后就相当于三个元素的一个全排；（3）利用分步乘法计数原理求得结果.9．12【解析】根据二项分布的期望和方差公式可得出关于n 、p 的方程组，即可求得n 的值.【详解】()~,B n p ξ ，由二项分布的期望和方差公式得()613E np D np p ξξ==⎧⎨=-=⎩，解得1212n p =⎧⎪⎨=⎪⎩.故答案为：12.【点睛】本题考查利用二项分布的期望和方差公式求参数，解答的关键就是得出关于n 和p 的方程组，考查运算求解能力，属于基础题.10．90【解析】【分析】从10个点中任取3个点有310C 种情况，然后减去三点共线的情况即可得答案【详解】先不考虑共线点的问题，从10个点中任取3个点有310C 种情况.其中从边OM 上的6个点（含O 点）中任取3个点为顶点，不能得到三角形，有36C 种情况；从边ON 上的5个点（含O 点）中任取3个点为顶点，也不能得到三角形，有35C 种情况.所以共可以得到3331065C C C 12020--=--1090=个三角形.故答案为：9011．2400种【解析】【分析】分三步，第一步：根据题意从第一个位置和最后一个位置选一个位置安排生物，第二步：将数学和英语捆绑排列，第三步：将剩下的5节课全排列，最后利用分步乘法计数原理求解.【详解】分步排列，第一步：因为由题意知生物只能出现在第一节或最后一节，所以从第一个位置和最后一个位置选一个位置安排生物，有122A =（种）编排方法；第二步：因为数学和英语在安排时必须相邻，注意数学和英语之间还有一个排列，所以有225A 10=（种）编排方法；第三步：剩下的5节课安排5科课程，有55A 120=（种）编排方法．根据分步乘法计数原理知共有2101202400⨯⨯=（种）编排方法．故答案为：2400种12．59【解析】【分析】令A ={第1只是好的}，B ={第2只是好的}，在A 发生的条件下，盒中仅剩9只晶体管，其中5只是好的，由()1519C C P B A =可求得答案.【详解】解：令A ={第1只是好的}，B ={第2只是好的}，因为事件A 已发生，所以我们只研究事件B 即可，在A 发生的条件下，盒中仅剩9只晶体管，其中5只是好的，所以()1519C 5C 9P B A ==．故答案为：59.13．（1）152；（2）96096.【解析】【分析】（1）先由21(2n x x+的展开式一共有16项得15n =，即可求得展开式中二项式系数之和；（2）根据展开式的通项153031152r rr r T C x --+=⋅⋅，令3030r -=，即可求出常数项.【详解】（1）由21(2)n x x+的展开式一共有16项得15n =，∴2151(2)x x +得展开式中二项式系数之和为：152；（2）由2151(2x x+得展开式的通项为：()152********15122rrr r r r r T C x C x x ---+⎛⎫=⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，令3030r -=，得10r =，∴展开式中的常数项为10151015230033296096C -⋅=⨯=.【点睛】本题考查二项式定理及其应用，其中()na b +的展开式通项1C r n rr r n T a b -+=的熟练运用是关键，是基础题.14．（1）310；（2）310；（3）13【解析】【分析】（1）设“甲中奖”为事件A ，根据古典概型的概率公式计算可得；（2）设“乙中奖”为事件B ，则()()()()P B P AB AB P AB P AB =+=+，再求出()P AB ，()P AB ，即可得解；（3）根据条件事件的概率公式计算可得；【详解】解：（1）设“甲中奖”为事件A ，则()310P A =（2）设“乙中奖”为事件B ，则()()()()P B P AB AB P AB P AB=+=+又()32110915P AB =⨯=，()73710930P AB =⨯=所以()()()179315303010P B P AB P AB =+=+==（3）因为()710P A =，()730P AB =所以()()()7130|7310P AB P B A P A ===【点睛】本题考查古典概型的概率公式，条件概率的概率公式的应用，属于基础题.15．(1)3人，2人，2人；(2)①答案见解析；②67．【解析】【详解】（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（2）①随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．P （X =k ）=34337C C C k k -⋅（k =0，1，2，3）．所以，随机变量X 的分布列为X0123P 13512351835435②设事件B 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=B∪C，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=67．所以，事件A发生的概率为67．16．（1）答案见解析；（2）2000千克．【解析】【分析】（1）由题意知X的可能取值为1000，2000，3000，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（2）设一天的进货量为n千克，则1000≤n≤3000，当100≤n＜2000时，求出E（Y）＝5.2n+2800＜13200；当2000≤n≤3000时，求出EY＝14000﹣0.4n≤13200，由此能求出当一天的进货量为2000千克时，E（Y）取到最大值．【详解】（1）由题意知X的可能取值为1000，2000，3000，P（X＝1000）＝（0.0089+0.0311）×5＝0.2，P（X＝2000）＝0.0800×5＝0.4，P（X＝3000）＝（0.0467+0.0333）×5＝0.4，∴X的分布列为：X100020003000P0.20.40.4（2）设一天的进货量为n千克，则1000≤n≤3000，①当1000≤n＜2000时，若最高气温不低于25，则Y＝8n，若最高气温低于25，则Y＝1000×8﹣（n﹣1000）×6＝14000﹣6n，此时E（Y）＝0.8×8n+0.2×（14000﹣6n）＝5.2n+2800＜13200．②当2000≤n≤3000时，若最高气温不低于30，则Y＝8n，若最高气温位于[25，30）内，则Y＝2000×8﹣（n﹣2000）×6＝28000﹣6n，若最高气温低于25，则Y＝1000×8﹣（n﹣1000）×6＝14000﹣6n，此时，EY ＝0.4×8n +0.4×（28000﹣6n ）+0.2×（14000﹣6n ）＝14000﹣0.4n ≤13200，当且仅当n ＝2000时，取等号，综上，当一天的进货量为2000千克时，E （Y ）取到最大值．17．16800(种)【解析】【分析】先将7本不同的书分成5组，每组有1、1、1、1、3本或1、1、1、2、2两种情况，再把这五组分配给5人，运用分步乘法原理可得结果.【详解】解:第一步，先把7本不同的书分成5组，每组有1、1、1、1、3本或1、1、1、2、2两种情况，有31111221117432175321423423140C C C C C C C C C C A A A +=⋅(种)方法.第二步，再把这五组分配给5人有55120A =(种)方法.故共有14012016800⨯=(种)不同的分法.18．（1）35；（2）分布列见解析.【解析】【分析】（1）利用古典概型概率公式即求；（2）由题知X 的取值范围为{}0,1,2，分别求概率，即得.【详解】（1）从袋子里连续抽取3次，每次取1个球，设事件A 为“取出1个黄色足球、2个白色足球”，则()122335C C 3C 5P A ==．（连续抽取3次，每次取1个球，求取出1个黄色足球、2个白色足球的概率问题可转化为从5个足球中选出3个足球，其中有1个黄色足球、2个白色足球的概率问题）（2）X 的取值范围为{}0,1,2，则()33351010===A P X A ，()11232335315C A A P X A ===，()221323353210===C A A P X A ．所以总得分X的分布列为：X012P 11035310。

高三数学随机变量的期望与方差试题答案及解析1.已知随机变量X的分布列为则E(6X＋8)＝()A．13.2 B．21.2 C．20.2 D．22.2【答案】B【解析】由题意知，E(X)＝1×0.2＋2×0.4＋3×0.4＝2.2，∴E(6X＋8)＝6E(X)＋8＝6×2.2＋8＝21.2.2.小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1000元，3000元，6000元的奖品(不重复得奖)，小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为，，，且每个问题回答正确与否相互独立．(1)求小王过第一关但未过第二关的概率；(2)用X表示小王所获得奖品的价值，写出X的概率分布列，并求X的数学期望．【答案】（1）（2）X的分布列为X0100030006000∴X的数学期望E(X)＝2160，【解析】(1)设小王过第一关但未过第二关的概率为P1＝()2×(＋×)＝．则P1(2)X的所有可能取值为0,1000,3000,6000，则P(X＝0)＝＋×＝，P(X＝1000)＝()2×(＋×)＝，P(X＝3000)＝()2×()2×[()2＋×()2×2]＝，P(X＝6000)＝()2×()2×[()2＋ ()2×]＝，∴X的分布列为∴X的数学期望E(X)＝0×＋1000×＋3000×＋6000×＝2160．3.甲乙两人分别独立参加某高校自主招生面试，若甲、乙能通过面试的概率都是，则面试结束后通过的人数X的数学期望是()A．B．C．1D．【答案】A【解析】依题意，X的取值为0,1,2，且P(X＝0)＝(1－)×(1－)＝，P(X＝1)＝×(1－)＋(1－)×＝，P(X＝2)＝×＝．故X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝＝，故选A．4.某学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中，取得A等级的概率分别为、、，且三门课程的成绩是否取得A等级相互独立．记ξ为该生取得A等级的课程数，其分布列如表所示，则数学期望E(ξ)的值为________．0123【答案】【解析】∵a＝××＋××＋××＝，b＝××＋××＋××＝，∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．5.某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间的有8人．（1）求直方图中的值及甲班学生每天平均学习时间在区间的人数；（2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为，求的分布列和数学期望．【答案】（1）；3（2）详见解析【解析】（1）频率分布直方图中每个小矩形的面积表示概率，概率和为1，则可求得。

高三数学随机变量的期望与方差试题答案及解析1.某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，这2人中成绩在90分以上(含90分)的人数为ξ，则ξ的数学期望为()A．B．C．D．【答案】B【解析】由频率分布直方图知，3×0.006×10＋0.01×10＋0.054×10＋10x＝1，解得x＝0.018，∴成绩不低于80分的学生有(0.018＋0.006)×10×50＝12人，成绩在90分以上(含90分)的学生有0.006×10×50＝3人．ξ的可能取值为0,1,2，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，∴ξ的分布列为ξ012∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.选B.2.某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量表示小白玩游戏的得分.若=4.2，则小白得5分的概率至少为 .【答案】【解析】设＝1,2,3,4,5的概率分别为，则由题意有，，对于，当越大时，其值越大，又，因此，所以，解得．【考点】随机变量的均值（数学期望），排序不等式．3.（2011•浙江）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为P，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P（X=0）=，则随机变量X的数学期望E（X）=_________．【答案】【解析】由题意知X为该毕业生得到面试的公司个数，则X的可能取值是0，1，2，3，∵P（X=0）=，∴，∴p=，P（X=1）=+=P（X=2）==，P（X=3）=1﹣=，∴E（X）==，故答案为：4.已知离散型随机变量ξ1的概率分布为离散型随机变量ξ2的概率分布为求这两个随机变量数学期望、方差与标准差．【答案】4；4；0.2.【解析】E(ξ1)＝1×＋2×＋…＋7×＝4；V(ξ1)＝(1－4)2×＋(2－4)2×＋…＋(7－4)2×＝4，σ1＝＝2.E(ξ2)＝3.7×＋3.8×＋…＋4.3×＝4；V(ξ2)＝0.04，σ2＝)＝0.2.5.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X，则X的均值为E(X)＝________．【答案】【解析】用分布列解决这个问题，根据题意易知X＝0，1，2，3.列表如下：X0123所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.6.为防止山体滑坡，某地决定建设既美化又防护的绿化带，种植松树、柳树等植物．某人一次种植了n株柳树，各株柳树成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活柳树的株数，数学期望E(ξ)＝3，标准差σ(ξ)为.(1)求n、p的值并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的柳树未成活，则需要补种，求需要补种柳树的概率．【答案】（1）n＝6，p＝，（2）【解析】(1)由E(ξ)＝np＝3，(σ(ξ))2＝np(1－p)＝，得1－p＝，从而n＝6，p＝，ξ的分布列为(2)记“需要补种柳树”为事件A,则P(A)＝P(ξ≤3)，得P(A)＝.7.甲向靶子A射击两次，乙向靶子射击一次.甲每次射击命中靶子的概率为0.8，命中得5分；乙命中靶子的概率为0.5，命中得10分.（1）求甲、乙二人共命中一次目标的概率；（2）设X为二人得分之和，求X的分布列和期望.【答案】（1）0.18；（2）详见解析.【解析】本题主要考查二项分布、独立事件、随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，由题意分析，“甲乙二人共命中”共有2种情况：一种是甲射击2次中一次、乙没中，一种情况是甲射击2次都没中、乙中一次；第二问，由题意分析：甲乙射击是否命中有以下几种情况：1.甲2次都没中、乙没中，2.甲2次都没中、乙中一次，3.甲2次中一次、乙没中，4.甲2次中1次、乙中1次，5.甲2次都中、乙没中，6.甲2次都中、乙中一次，共6种情况，所以得分情况分别为0分、5分、10分、15分、20分，共5种情况，分别与上述情况相对应，求出每一种情况的概率，列出分布列，再利用计算数学期望.试题解析：（1）记事件“甲、乙二人共命中一次”为A，则P(A)＝0.8×0.2×0.5＋0.22×0.5＝0.18． 4分（2）X的可能取值为0，5，10，15，20．P(X＝0)＝0.22×0.5＝0.02，P(X＝5)＝0.8×0.2×0.5＝0.16，P(X＝10)＝0.82×0.5＋0.22×0.5＝0.34，P(X＝15)＝0.8×0.2×0.5＝0.16，P(X＝20)＝0.82×0.5＝0.32．X的分布列为X05101520X的期望为E(X)＝0×0.02＋5×0.16＋10×0.34＋15×0.16＋20×0.32＝13． 12分【考点】二项分布、独立事件、随机变量的分布列和数学期望.8.现有甲、乙、丙三人参加某电视台的应聘节目《非你莫属》，若甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为，（0<t<2），且三个人是否应聘成功是相互独立的.（1）若乙、丙有且只有一个人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率，求t的值；（2）记应聘成功的人数为，若当且仅当为=2时概率最大，求E（）的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）乙、丙有且只有一个人应聘成功分为乙成功且丙不成功和乙不成功且丙成功两种情况，根据相互独立事件有一个发生的概率公式列出关于t的方程，解之即可.（2）写出随机变量的所有可能取值，然后计算出相应的概率，列出分布列，求出E（）的表达式，由于=2时概率最大，可得，，，而0<t<2，解得，即得E（）的取值范围..试题解析：（1）由题意得，解得. 3分（2）的所有可能取值为0，1，2，3；；；.故的分布列为：7分. 8分由题意得：，，，又因为所以解得的取值范围是. 11分. 12分【考点】1.相互独立事件的概率；2.随机变量的分布列和数学期望.9.甲、乙两人将参加某项测试，他们能达标的概率都是0.8，设随机变量为两人中能达标的人数，则的数学期望为．【答案】1.6【解析】甲、乙两人将参加某项测试，他们能达标的概率都是0.8.所以相当与他们是独立性重复的实验，所以=，即=.【考点】1.独立性重复试验.2.数学期望的公式.10.生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：81240328（Ⅰ）试分别估计元件A、元件B为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（Ⅰ）的前提下；（i）求生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率；（ii）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．【答案】（Ⅰ）元件A为正品的概率为，元件B为正品的概率为（Ⅱ）（i）（ii）所以的分布列为：1509030-30【解析】（Ⅰ）用频率估计概率值;（Ⅱ）设出随机变量,确定随机变量的所有可能取值,求出各个取值的概率,列出概率分布表,从而得出答案.试题解析：（Ⅰ）由题可知元件A为正品的概率为，元件B为正品的概率为。

高考数学离散型随机变量的期望与方差解答题【例1】已知：甲盒子内有3个正品元件和4个次品元件，乙盒子内有5个正品元件和4个次品元件，现从两个盒子内各取出2个元件，试求（Ⅰ）取得的4个元件均为正品的概率；（Ⅱ）取得正品元件个数ε的数学期望.【例2】 某车间在三天内，每天生产10件某产品，其中第一天，第二天分别生产出了1件、2件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过. （I ）求第一天通过检查的概率；（II ）求前两天全部通过检查的概率；（III ）若厂内对车间生产的产品采用记分制：两天全不通过检查得0分，通过1天、2天分别得1分、2分.求该车间在这两天内得分的数学期望.【例3】A 、B 两队进行篮球决赛，共五局比赛，先胜三局者夺冠，且比赛结束。

根据以往成绩，每场中A 队胜的概率为32，设各场比赛的胜负相互独立. （1）求A 队夺冠的概率；（2）设随机变量ξ表示比赛结束时的场数，求E ξ.【例4】两个排球队进行比赛采用五局三胜的规则，即先胜三局的队获胜，比赛到此也就结束，假设按原定队员组合，较强队每局取胜的概率为0.6，若前四局出现2比2的平局情况，较强队就换人重新组合队员，则其在决赛局中获胜的概率为0.7，设比赛结束时的局数为ξ.（Ⅰ）求ξ的概率分布；（Ⅱ）求E ξ.【例5】甲、乙两人各射击1次，击中目标的概率分别是32和43，假设两人射击是否击中标， 相互之间没有影响. 每人各次射击是否击中目标，相互之间没有影响.（1）甲射击4次，至少有一次未击中目标的概率；（2）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；（3）假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击，问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？【例6】甲、乙两人玩投篮游戏，规则如下：两人轮流投篮，每人至多投2次，甲先投，若有人投中即停止投篮，结束游戏，已知甲每次投中的概率为41，乙每次投中的概率为.31求： （1）乙投篮次数不超过1次的概率；（2）记甲、乙两人投篮次数和为ξ，求ξ的分布列和数学期望.【例7】甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92。

高三数学随机变量的期望与方差试题1.某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元．设在一年内E发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的百分之十，公司应要求顾客交保险金为________元．【答案】(0.1＋p)a【解析】设保险公司要求顾客交x元保险金，若以ξ表示公司每年的收益额，则ξ是一个随机变量，其分布列为：因此，公司每年收益的期望值为E(ξ)＝x(1－p)＋(x－a)p＝x－ap.为使公司收益的期望值等于a 的百分之十，只需E(ξ)＝0.1a，即x－ap＝0.1a，解得x＝(0.1＋p)a.即顾客交的保险金为(0.1＋p)a时，可使公司期望获益10%a.2.某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量表示小白玩游戏的得分.若=4.2，则小白得5分的概率至少为 .【答案】【解析】设＝1,2,3,4,5的概率分别为，则由题意有，，对于，当越大时，其值越大，又，因此，所以，解得．【考点】随机变量的均值（数学期望），排序不等式．3.甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2，0.6，0.2；射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4，0.2，0.4.用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平．【答案】在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环的次数多些．【解析】Eξ1＝8×0.2＋9×0.6＋10×0.2＝9，V(ξ1)＝(8－9)2×0.2＋(9－9)2×0.6＋(10－9)2×0.2＝0.4；同理有E(ξ2)＝9，V(ξ2)＝0.8.由上可知，E(ξ1)＝E(ξ2)，V(ξ1)<V(ξ2)．所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环的次数多些．4.某工艺厂开发一种新工艺品，头两天试制中，该厂要求每位师傅每天制作10件，该厂质检部每天从每位师傅制作的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天该师傅的产品不能通过．已知李师傅第一天、第二天制作的工艺品中分别有2件、1件次品．(1)求两天中李师傅的产品全部通过检查的概率；(2)若厂内对师傅们制作的工艺品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过1天、2天分别得1分、2分，求李师傅在这两天内得分的数学期望．【答案】（1）（2）【解析】(1)设李师傅产品第一天通过检查为事件A；第二天产品通过检查为事件B.则有P(A)＝＝，P(B)＝＝，由事件A、B独立，∴P(AB)＝P(A)P(B)＝.答：李师傅这两天产品全部通过检查的概率为.(2)记得分为ξ，则ξ的可能值为0，1，2.∵P(ξ＝0)＝×＝；P(ξ＝1)＝×＋×＝；P(ξ＝2)＝×＝.∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.答：李师傅在这两天内得分的数学期望为.5.甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ和η，且ξ、η分布列为ξ123(2)计算ξ、η的期望和方差，并以此分析甲、乙的技术状况．【答案】（1）a＝0.3，b＝0.4.（2）甲、乙两人技术都不够全面【解析】(1)由离散型随机变量的分布列性质可知a＋0.1＋0.6＝1，即a＝0.3，同理0.3＋b＋0.3＝1，b＝0.4.(2)E(ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E(η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2.V(ξ)＝0.81，V(η)＝0.6.由计算结果E(ξ)>E(η)，说明在一次射击中甲的平均得分比乙高，但V(ξ)>V(η)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术都不够全面．6.某校举行中学生“日常生活小常识”知识比赛,比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行；每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的概率均为，且相互间没有影响.(1）求选手甲进入复赛的概率；(2)设选手甲在初赛中答题的个数为，试求的分布列和数学期望.【答案】(1）；(2)【解析】(1）选手甲进入复赛分为三类：①回答了三个题且都对，概率为；②回答了四个题答对三个，概率为；③回答了五个题答对三个，概率为，故选手进入复赛的概率为；(2)依题意，的可能取值为3,4,5，每个取值都分为两种情况，即因淘汰而离开初赛，或者进入复赛．试题解析：(1）设选手甲答对每个题的概率为，则，设“选手甲进入复赛”为事件，则选手甲答了3题都对进入复赛概率为：；或选手甲答了4个题，前3个2对1错，第4次对进入复赛， 4分或选手甲答了5个题，前4个2对2错，第5次对进入复赛6分选手甲进入复赛的概率 7分(2)的可能取值为3,4,5，对应的每个取值，选手甲被淘汰或进入复赛的概率的分布列为：13分【考点】1、n次独立重复试验中事件A发生K次的概率；2、离散型随机变量的分布列和期望.7.某高校在2012年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．(1)分别求第3，4，5组的频率；(2)若该校决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，(ⅰ)已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试的概率；(ⅱ)学校决定在这已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生接受考官L的面试，设第4组中有名学生被考官L面试，求的分布列和数学期望．【答案】(1)0.3 0.2 0.1 (2)(ⅰ) (ⅱ)【解析】(1)由频率分布直方图的横坐标得到组距,纵坐标得到每组的频率/组距,故而每组的频率即为纵坐标与组距的乘积.(2)分层抽样就是在保持每个个体入样的可能性相等的条件下把样本容量分摊到每一层,即样本容量与总体数量之比与某层抽样个数与该层总数之比相等,进而得到每层抽样的人数(i)第三组要抽样3人,在30人中抽样三人,无序即为组合数,即中抽样情况,根据题目要求“学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试”的事件分为两种情况①甲乙中只有甲入选,即还需要在28人中无序抽样2人,即,②甲乙中只有乙入选,即还需要在28人中无序抽样2人,即.在利用古典概型概率计算公式即可得到相应的概率(ii)由分层抽样的结果可知6人中有两人是第四组的,即,再利用组合数算得从6人中无序抽样两人的情况数和分别有0，1，2人是第四组的情况数，即可得到相应的概率，进而得到分布列，在把三种情况的概率与其分别相乘再相加即可得到期望.试题解析：(1) 第三组的频率为0．065="0．3；" 第四组的频率为0．045=0．2；第五组的频率为0．025=0．1． 3分(2)(ⅰ)设“学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试”为事件A,第三组应有3人进入面试则: P(A)== 6分(ⅱ)第四组应有2人进入面试，则随机变量可能的取值为0,1,2． 7分且，则随机变量的分布列为:012P12分【考点】分布列期望排列组合频率分布直方图8.某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假定该毕业生得到甲公司面试的概率为,得到乙、丙两公司面试的概率均为p,且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数.若P(X=0)=,则随机变量X的数学期望E(X)=.【答案】【解析】1-=.∵P(X=0)==(1-p)2×,∴p=.1-=.随机变量X的可能取值为0,1,2,3,因此P(X=0)=,P(X=1)=×()2+×()2×2=,P(X=2)=×()2×2+×()2=,P(X=3)=×()2=,因此E(X)=0×+1×+2×+3×=.9.甲、乙、丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是，甲、丙两人同时不能被聘用的概率是，乙、丙两人同时能被聘用的概率为，且三人各自能否被聘用相互独立.（1）求乙、丙两人各自被聘用的概率；（2）设为甲、乙、丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求的分布列与均值（数学期望）.【答案】（1）乙、丙两人各自被聘用的概率分别为、；（2）详见解析.【解析】（1）分别设乙、丙两人各自被聘用的概率为、，利用事件的独立性列出相应的方程进行求解，从而得出乙、丙两人各自被聘用的概率；（2）先列举出随机变量的可能取值，并根据事件的独立性求出在相应条件的概率，列出分布列并求出随机变量的均值（即数学期望）. 试题解析：（1）设乙、丙两人各自被聘用的概率分别为、，则甲、丙两人同时不能被聘用的概率是，解得，乙、丙两人同时能被聘用的概率为，因此乙、丙两人各自被聘用的概率分别为、；（2）的可能取值有、，则，，因此随机变量的分布列如下表所示所以随机变量的均值（即数学期望）.【考点】1.独立事件概率的计算；2.离散型随机变量的概率分布列与数学期望10.生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：81240328（Ⅰ）试分别估计元件A、元件B为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（Ⅰ）的前提下；（i）求生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率；（ii）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．【答案】（Ⅰ）元件A为正品的概率为，元件B为正品的概率为（Ⅱ）（i）（ii）所以的分布列为：【解析】（Ⅰ）用频率估计概率值;（Ⅱ）设出随机变量,确定随机变量的所有可能取值,求出各个取值的概率,列出概率分布表,从而得出答案.试题解析：（Ⅰ）由题可知元件A为正品的概率为，元件B为正品的概率为。

(第一次作业)1．随机变量X 的分布列为则E(5X ＋4)等于( ) A ．15 B ．11 C ．2.2 D ．2.3答案 A解析 ∵E(X)＝1×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝2.2，∴E(5X ＋4)＝5E(X)＋4＝11＋4＝15. 2．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X 表示取到次品的个数，则E(X)等于( ) A.35 B.815 C.1415 D ．1 答案 A解析 离散型随机变量X 服从N ＝10，M ＝3，n ＝2的超几何分布，∴E(X)＝nM N ＝2×310＝35.3．一套重要资料锁在一个保险柜中，现有n 把钥匙依次分给n 名学生依次开柜，但其中只有一把真的可以打开柜门，平均来说打开柜门需要试开的次数为( ) A ．1 B ．n C.n ＋12D.n －12答案 C解析 已知每一位学生打开柜门的概率为1n ，∴打开柜门需要试开的次数的平均数(即数学期望)为1×1n ＋2×1n ＋…＋n ×1n ＝n ＋12，故选C.4．某运动员投篮命中率为0.6，他重复投篮5次，若他命中一次得10分，没命中不得分；命中次数为X ，得分为Y ，则E(X)，D(Y)分别为( ) A ．0.6，60 B ．3，12 C ．3，120 D ．3，1.2 答案 C解析 X ～B(5，0.6)，Y ＝10X ，∴E(X)＝5×0.6＝3，D(X)＝5×0.6×0.4＝1.2.D(Y)＝100D(X)＝120.5．(2019·银川一模)已知随机变量X 的分布列如表所示，其中α∈(0，π2)，则E(X)＝( )A.2 C ．0 D ．1答案 D解析 由随机变量的分布列的性质，得sinα4＋sinα4＋cosα＝1，即sinα＋2cosα＝2，由⎩⎪⎨⎪⎧sinα＝2－2cosα，sin 2α＋cos 2α＝1，得5cos 2α－8cosα＋3＝0，解得cosα＝35或cosα＝1(舍去)，则sinα＝45，则E(X)＝－sinα4＋2cosα＝－14×45＋2×35＝1.故选D.6．(2018·浙江)设0<p<1，随机变量ξ的分布列是则当p 在(0，1)内增大时，A ．D (ξ)减小 B ．D(ξ)增大C ．D (ξ)先减小后增大 D ．D(ξ)先增大后减小答案 D解析 由题可得E(ξ)＝12＋p ，所以D(ξ)＝－p 2＋p ＋14＝－(p －12)2＋12，所以当p 在(0，1)内增大时，D (ξ)先增大后减小．故选D.7．(2019·衡水中学调研卷)已知一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当成功次数的标准差的值最大时，p 及标准差的最大值分别为( ) A.12，5 B.45，25 C.45，5 D.12，25 答案 A解析 记ξ为成功次数，由独立重复试验的方差公式可以得到D(ξ)＝np(1－p)≤n(p ＋1－p 2)2＝n 4，当且仅当p ＝1－p ＝12时等号成立，所以D(ξ)max ＝100×12×12＝25，D （ξ）max ＝25＝5.8．(2019·山东潍坊模拟)已知甲、乙两台自动车床生产同种标准件，X 表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，Y 表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经考察一段时间，X ，Y 的分布列分别是：X 0 1 2 3 P0.70.10.10.1Y 0 1 2 P0.50.30.2据此判定( )A ．甲比乙质量好B ．乙比甲质量好C ．甲与乙质量相同D ．无法判定 答案 A解析 E(X)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，E(Y)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＝0.7.由于E(Y)>E(X)，故甲比乙质量好．9.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X ，则X 的均值E(X)＝( )A.126125B.65 C.168125 D.75答案 B解析 由题意知X ＝0，1，2，3，P(X ＝0)＝27125，P(X ＝1)＝54125，P(X ＝2)＝36125，P(X ＝3)＝8125，∴E(X)＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝150125＝65. 10．(2019·合肥一模)已知袋中有3个白球，2个红球，现从中随机取出3个球，其中每个白球计1分，每个红球计2分，记X 为取出3个球的总分值，则E(X)＝( ) A.185 B.215 C ．4 D.245答案 B解析 由题意知，X 的所有可能取值为3，4，5，且P(X ＝3)＝C 33C 53＝110，P(X ＝4)＝C 32·C 21C 53＝35，P(X ＝5)＝C 31·C 22C 53＝310，所以E(X)＝3×110＋4×35＋5×310＝215. 11．(2019·山东潍坊期末)某篮球队对队员进行考核，规则是①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过．已知队员甲投篮1次投中的概率为23，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X 的期望是( ) A ．3 B.83 C ．2 D.53答案 B解析 在一轮投篮中，甲通过的概率为P ＝89，未通过的概率为19.由题意可知，甲3个轮次通过的次数X 的可能取值为0，1，2，3，则P(X ＝0)＝(19)3＝1729，P(X ＝1)＝C 31×89×(19)2＝24729，P(X ＝2)＝C 32×(89)2×19＝192729，P(X ＝3)＝(89)3＝512729. ∴随机变量X 分布列为数学期望E(X)＝0×1729＋1×24729＋2×192729＋3×512729＝83. 12．(2017·课标全国Ⅱ，理)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________． 答案 1.96解析 依题意，X ～B(100，0.02)，所以D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.13．(2015·重庆，理)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个． (1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望． 答案 (1)14 (2)35解析 (1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝C 21C 31C 51C 103＝14. (2)X 的所有可能值为0，1，2，且P(X ＝0)＝C 83C 103＝715，P(X ＝1)＝C 21C 82C 103＝715，P(X ＝2)＝C 22C 81C 103＝115.综上可知，X 的分布列为X 0 1 2 P715715115故E(X)＝0×715＋1×715＋2×115＝35(个)．14．(2019·《高考调研》原创题)为了评估天气对某市运动会的影响，制定相应预案，衡水市气象局通过对最近50多年的气象数据资料的统计分析，发现8月份是该市雷电天气高峰期，在31天中平均发生雷电14.57天(如图)．如果用频率作为概率的估计值，并假定每一天发生雷电的概率均相等，且相互独立．(1)求在该市运动会开幕(8月12日)后的前3天比赛中，恰好有2天发生雷电天气的概率(精确到0.01)；(2)设运动会期间(8月12日至23日，共12天)，发生雷电天气的天数为X ，求X 的数学期望和方差．答案 (1)0.35 (2)5.64，2.989 2解析 (1)设8月份一天中发生雷电天气的概率为p ，由已知，得p ＝14.5731＝0.47.因为每一天发生雷电天气的概率均相等，且相互独立，所以在运动会开幕后的前3天比赛中，恰好有2天发生雷电天气的概率P ＝C 32×0.472×(1－0.47)＝0.351 231≈0.35. (2)由题意，知X ～B(12，0.47)．所以X 的数学期望E(X)＝12×0.47＝5.64， X 的方差D(X)＝12×0.47×(1－0.47)＝2.989 2.15．(2019·福建龙海二中摸底)某校要用三辆汽车从新校区把教职工接到老校区，已知从新校区到老校区有两条公路，汽车走公路①堵车的概率为14，不堵车的概率为34；汽车走公路②堵车的概率为p ，不堵车的概率为1－p 若甲、乙两辆汽车走公路①，丙汽车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响．(1)若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为716，求走公路②堵车的概率；(2)在(1)的条件下，求三辆汽车中被堵车辆的个数X 的分布列和数学期望．答案 (1)13 (2)56解析 (1)依题意，“三辆汽车中恰有一辆汽车被堵”包含只有甲被堵，只有乙被堵和只有丙被堵三种情形．∴C 21×14×34×(1－p)＋(34)2×p ＝716，即3p ＝1，∴p ＝13.(2)X 的所有可能取值为0，1，2，3.P(X ＝0)＝34×34×23＝38，P(X ＝1)＝716，P(X ＝2)＝14×14×23＋C 21×14×34×13＝16，P(X ＝3)＝14×14×13＝148，∴X 的分布列为∴E(X)＝0×38＋1×716＋2×16＋3×148＝56.16．(2019·湖北潜江二模)现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表： 投资股市：购买基金：(1)当p ＝14时，求q 的值；(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于45，求p 的取值范围；(3)丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知p ＝12，q ＝16，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？结合结果并说明理由．答案 (1)512 (2)35<p ≤23(3)丙选择“投资股市”，理由略解析 (1)因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，所以p ＋13＋q ＝1.又因为p ＝14，所以q ＝512.(2)记事件A 为“甲投资股市且盈利”，事件B 为“乙购买基金且盈利”，事件C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”． 则C ＝AB ∪AB ∪AB ，且A ，B 独立． 由题表可知，P(A)＝12，P(B)＝p.所以P(C)＝P(AB)＋P(AB)＋P(AB)＝12·(1－p)＋12p ＋12p ＝12＋12p.因为P(C)＝12＋12p>45，所以p>35.又因为p ＋13＋q ＝1，q ≥0，所以p ≤23，所以35<p ≤23.(3)假设丙选择“投资股市”方案进行投资，且记X 为丙投资股市的获利金额(单位：万元)， 所以随机变量X 的分布列为则E(X)＝4×12＋0×18＋(－2)×38＝54.假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y 为丙购买基金的获利金额(单位：万元)， 所以随机变量Y 的分布列为则E(Y)＝2×12＋0×13＋(－1)×16＝56.因为E(X)>E(Y)，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．(第二次作业)1．(2019·广东七校联考)某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘，下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：万元；有雨时收益为10万元．额外聘请工人的成本为a万元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36.(1)若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益；(2)该基地是否应该额外聘请工人，请说明理由．答案(1)预期收益为14.4万元．(2)当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不额外聘请工人；成本低于1.6万元时，额外聘请工人；成本恰为1.6万元时，额外聘请或不聘请工人均可以．解析(1)设下周一无雨的概率为p，由题意得，p2＝0.36，解得p＝0.6，基地收益X的可能取值为20，15，10，7.5，则P(X＝15)＝0.24，P(X＝10)＝0.24，P(X＝7.5)＝0.16.∴基地收益X的分布列为E(X)＝20×0.36＋15×∴基地的预期收益为14.4万元．(2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，则其预期收益E(Y)＝20×0.6＋10×0.4－a＝16－a(万元)，E(Y)－E(X)＝1.6－a(万元)，综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不额外聘请工人；成本低于1.6万元时，额外聘请工人；成本恰为1.6万元时，额外聘请或不聘请工人均可以．2．某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1，2，…，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件．假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．(1)已知甲厂产品的等级系数X 1的概率分布列如下表所示：且X 1的数学期望E(X 1)＝6(2)为分析乙厂产品的等级系数X 2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X 2的数学期望； (3)在(1)，(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：①产品的“性价比”＝产品的等级系数的数学期望/产品的零售价； ②“性价比”大的产品更具可购买性．答案 (1)a ＝0.3，b ＝0.2 (2)4.8 (3)乙厂的产品更具可购买性，理由略．解析 (1)∵E(X 1)＝6，∴5×0.4＋6a ＋7b ＋8×0.1＝6，即6a ＋7b ＝3.2，又0.4＋a ＋b ＋0.1＝1，即a ＋b ＝0.5，由⎩⎪⎨⎪⎧6a ＋7b ＝3.2，a ＋b ＝0.5，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.3，b ＝0.2.(2)由已知，用这个样本的分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X 2的概率分布列如下：∴E(X 2)＝3×0.3＋X 2的数学期望等于4.8.(3)乙厂的产品更具可购买性，理由如下：∵甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，∴其性价比为66＝1，∵乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，∴其性价比为4.84＝1.2，又1.2>1，∴乙厂的产品更具可购买性．3．(2019·武昌调研)某机构随机询问了72名不同性别的大学生，调查其在购买食物时是否看营养说明，得到如下列联表：(1)有关系？(2)从被询问的28名不看营养说明的大学生中，随机抽取2名学生，求抽到女生的人数ξ的分布列及数学期望． 附：K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）.答案 (1)能 (2)分布列为期望值为47解析 (1)由计算可得K 2的观测值k ＝72×（16×8－28×20）244×28×36×36≈8.416.因为8.416>7.879，所以能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为性别与看营说明有关系． (2)ξ的所有可能取值为0，1，2.P (ξ＝0)＝C 202C 282＝95189，P (ξ＝1)＝C 81C 201C 282＝80189，P (ξ＝2)＝C 82C 282＝227.ξ的分布列为ξ的数学期望E(ξ)＝0×95189＋1×80189＋2×227＝47.4．某中学共开设了A ，B ，C ，D 四门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲、乙、丙3名学生．(1)求这3名学生选修课所有选法的总数；(2)求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；(3)求A 选修课被这3名学生选择的人数X 的分布列和数学期望． 答案 (1)64 (2)916 (3)E(X)＝34解析 (1)每个学生有四个不同选择，根据分步计数原理，选法总数N ＝4×4×4＝64. (2)设“恰有2门选修课没有被这3名学生选择”为事件E ，则P(E)＝C 42C 32A 2243＝916，所以恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率为916.(3)方法一：X 的所有可能取值为0，1，2，3，且P(X ＝0)＝3343＝2764，P(X ＝1)＝C 31×3243＝2764，P(X ＝2)＝C 32×343＝964，P(X ＝3)＝C 3343＝164，所以X 的分布列为X 0 1 2 3 P27642764964164所以X 的数学期望E(X)＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝34.方法二：因为A 选修课被每位学生选中的概率均为14，没被选中的概率均为34.所以X 的所有可能取值为0，1，2，3，且X ～B(3，14)，P(X ＝0)＝(34)3＝2764，P(X ＝1)＝C 31×14×(34)2＝2764，P(X ＝2)＝C 32×(14)2×34＝964，P(X ＝3)＝(14)3＝164，所以X 的分布列为X 0 1 2 3 P27642764964164所以X 的数学期望E(X)＝3×14＝34.5．某手机游戏研发公司为进行产品改进，对游戏用户每天在线的时间进行调查，随机抽取50名用户对其每天在线的时间进行了调查统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图，其中每天的在线时间4 h 以上(包括4 h)的用户被称为“资深玩家”，根据频率分布直方图回答下列问题：(1)从所调查的“资深玩家”中任取3人再进行每天连续在线时间的调查，求抽取的3人中至少有2人的在线时间在[5，6]内的概率；(2)为响应社会要求，公司拟对“资深玩家”进行防沉迷限时，使其每天的在线时间小于4 h ，而公司每天对一个玩家限时0.5 h 就会损失1元，在频率分布直方图中以各组区间的中点值代表该组的数据，以游戏用户在线时间的频率作为在线时间的概率，现从所有“资深玩家”中任取3人进行一天的限时试验，记该公司因限时试验损失的钱数为X ，求X 的分布列和数学期望．答案 (1)13(2)分布列为期望值E(X)＝275解析 (1)由题易知a ＝1－0.10－0.20－0.30－0.20－0.08＝0.12，所以50名用户中，在线时间是[4，5)内的人数为0.12×50＝6，在线时间在[5，6]内的人数为0.08×50＝4，所以在所调查的50人中有10人是“资深玩家”．从“资深玩家”中任取3人共有C 103＝120种情况，其中抽取的3人中至少有2人的在线时间在[5，6]内的共有C 42C 61＋C 43＝40种情况，记在所调查的“资深玩家”中任取3人，至少有2人的在线时间在[5，6]内为事件A ，则P(A)＝40120＝13. (2)“资深玩家”中每天的在线时间在[4，5)内的概率P 1＝0.120.08＋0.12＝35，公司限时一天损失4.5－40.5×1＝1(元)； “资深玩家”中每天的在线时间在[5，6]内的概率P 2＝0.080.08＋0.12＝25，公司限时一天损失5.5－40.5×1＝3(元)． 所以从“资深玩家”中任取3人进行一天的限时试验，X 的所有可能取值为3，5，7，9，则P(X ＝3)＝C 33(35)3＝27125，P(X ＝5)＝C 32(35)2×25＝54125，P(X ＝7)＝C 31×35×(25)2＝36125，P(X ＝9)＝C 30(25)3＝8125.X 的分布列是所以X 的数学期望E(X)＝3×27125＋5×54125＋7×36125＋9×8125＝275.。

离散型随机变量的期望、方差、正态分布[基础训练]1．已知随机变量X 服从正态分布N (3，σ2)，且P (X <5)＝0.8，则P (1<X <3)＝ ( )A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.2答案：C 解析：由正态曲线的对称性可知，P (X <3)＝P (X >3)＝0.5， 故P (X >1)＝P (X <5)＝0.8， 所以P (X ≤1)＝1－P (X >1)＝0.2，P (1<X <3)＝P (X <3)－P (X ≤1)＝0.5－0.2＝0.3.2．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X 表示取到次品的个数，则E (X )＝( )A.35B.815C.1415 D ．1答案：A 解析：离散型随机变量X 服从N ＝10，M ＝3，n ＝2的超几何分布，E (X )＝nM N ＝2×310＝35.3．某班有14名学生数学成绩优秀，如果从该班随机找出5名学生，其中数学成绩优秀的学生数X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，14，则E (2X ＋1)＝( )A.54 B.52 C ．3D.72答案：D 解析：因为X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫5，14，所以E (X )＝54， 所以E (2X ＋1)＝2E (X )＋1＝2×54＋1＝72.4．[2019山东淄博一模]设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X ，且X ～N (800,502)，则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为( )(参考数据：若X ～N (μ，σ2)，有P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4)A ．0.977 2B ．0.682 6C ．0.997 4D ．0.954 4答案：A 解析：P (X ≤900)＝P (X ≤700)＋P (700<X ≤900)＝12×(1－0.954 4)＋0.954 4＝0.977 2.5．已知离散型随机变量X 的分布列为则E (X )A.23 B.43 C ．2 D.83答案：C 解析：由13＋2－3q3＋q 2＝1，得 3q 2－3q ＝0，解得q ＝33或q ＝0(舍去)，故X 的分布列为E (X )＝1×13＋2×13＋3×3＝2.6．[2019新乡模拟]某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗亭，假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯的次数的数学期望为 ( )A ．0.4B ．1.2C ．0.43D ．0.6答案：B 解析：因为途中遇到红灯的次数X 服从二项分布，即X ～B (3,0.4)，所以E (X )＝3×0.4＝1.2.7．[2019安徽合肥第一次教学质量检测]已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品，记检测的次数为ξ，则E (ξ)＝( )A ．3 B.72 C.185D ．4答案：B 解析：由题意知，ξ的所有可能取值为2,3,4， 若将5件产品看作两类相同的元素(3个相同的白球，2个相同的黑球)，则P (ξ＝2)＝C 22C 25＝110，P (ξ＝3)＝C 33＋C 12C 25＝310，P (ξ＝4)＝C 13C 12C 25＝35，∴E (ξ)＝2×110＋3×310＋4×35＝72. 故选B.8．[2019山东济南期末]在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (0，σ2)，若ξ在(－∞，－1)内取值的概率为0.1，则ξ在(0,1)内取值的概率为 ( )A ．0.8B ．0.4C ．0.2D ．0.1答案：B 解析：∵ξ服从正态分布N (0，σ2)，∴曲线的对称轴是直线x ＝0. ∵P (ξ<－1)＝0.1，∴P (ξ>1)＝0.1，∴ξ在(0,1)内取值的概率为0.5－0.1＝0.4，故选B.9．[2019江西高安中学等3月联考]在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (－1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954 4.A ．1 193B ．1 359C ．2 718D ．3 413答案：B 解析：对于正态分布N (－1,1)可知，μ＝－1，σ＝1， 正态曲线关于直线x ＝－1对称， 故题图中阴影部分的面积为 12×[P (－3<X <1)－P (－2<X <0)]＝12×[P (μ－2σ<X <μ＋2σ)－P (μ－σ<X <μ＋σ)] ＝12×(0.954 4－0.682 6) ＝0.135 9，所以点落入题图中阴影部分的概率 P ＝0.135 91＝0.135 9，投入10 000个点，落入阴影部分的个数约为10 000×0.135 9＝1 359.故选B.10．一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分．某人每次击中目标的概率为23，则此人得分的均值与方差分别为________．答案：20，2003 解析：记此人三次射击击中目标X 次，得分为Y分，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，Y ＝10X ，∴E (Y )＝10E (X )＝10×3×23＝20， D (Y )＝100D (X )＝100×3×23×13＝2003.11．[2019中山模拟]已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )．若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝________.答案：13 解析：由于X ～B (n ，p )，且E (X )＝30，D (X )＝20，所以⎩⎪⎨⎪⎧np ＝30，np (1－p )＝20，解得p ＝13.[强化训练]1．某射击运动员在一次射击比赛中所得环数X 的分布列如下：已知X A ．1.38 B ．1.41 C ．1.42D ．1.56答案：B 解析：由题意知，x ＋0.1＋0.3＋y ＝1， 又E (X )＝3x ＋4×0.1＋5×0.3＋6y ＝4.3， 两式联立解得x ＝0.4，y ＝0.2.所以D (X )＝(3－4.3)2×0.4＋(4－4.3)2×0.1＋(5－ 4．3)2×0.3＋(6－4.3)2×0.2 ＝0.676＋0.009＋0.147＋0.578 ＝1.41.2．[2019福州模拟]甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X 的期望E (X )为( )A.24181B.26681C.27481D.670243答案：B 解析：依题意知，X 的所有可能值为2,4,6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝59.若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分， 此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响． 从而有P (X ＝2)＝59， P (X ＝4)＝49×59＝2081，P (X ＝6)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫492＝1681，故E (X )＝2×59＋4×2081＋6×1681＝26681.3.[2019安徽合肥一模]已知某公司生产的一种产品的质量X (单位：克)服从正态分布N (100,4)，现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其中质量在[98,104]内的产品估计有( )(附：若X 服从N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X <μ＋σ) ＝0.682 7，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954 5)A ．4 093件B ．4 772件C ．6 827件D ．8 186件答案：D 解析：由题意可得，该正态分布的对称轴为x ＝100，且σ＝2，则质量在[96,104]内的产品的概率为P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954 5，而质量在[98,102]内的产品的概率为P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.682 7.结合对称性可知，质量在[98,104]内的产品的概率为0．682 7＋0.954 5－0.682 72＝0.818 6. 据此估计质量在[98,104]内的产品的数量为 10 000×0.818 6＝8 186(件)．4．[2019河北石家庄一模]设X ～N (1，σ2)，其正态分布密度曲线如图所示，且P (X ≥3)＝0.022 8，那么向正方形OABC 中随机投掷20 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为( )附：随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 4.A ．12 076B ．13 174C ．14 056D ．7 539答案：B 解析：由题意，得 P (X ≤－1)＝P (X ≥3)＝0.022 8.∴P (－1<X <3)＝1－0.022 8×2＝0.954 4. ∵P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 4， ∴1－2σ＝－1，故σ＝1，∴P (0<X <1)＝12P (0<X <2)＝0.341 3，故估计落入阴影部分的点的个数为20 000×(1－0.341 3)＝13 174.故选B.5．[2019吉林长春质检]据统计，某城市的火车站春运期间日接送旅客人数X (单位：万)服从正态分布X ～N (6,0.82)，则日接送人数在6万到6.8万之间的概率为(P (|X －μ|<σ)＝0.682 6，P (|X －μ|<2σ)＝0.954 4，P (|X －μ|<3σ)＝0.997 4)( )A ．0.682 6B ．0.954 4C ．0.997 4D ．0.341 3答案：D 解析：因为μ＝6，σ＝0.8， 所以P (6<X <6.8)＝P (5.2<X <6.8)2＝0.682 62 ＝0.341 3. 故选D.6．[2019河南洛阳联考]已知随机变量X ～B (2，p )，Y ～N (2，σ2)，若P (X ≥1)＝0.64，P (0<Y <2)＝p ，则P (Y >4)＝________.答案：0.1 解析：因为随机变量X ～B (2，p )，Y ～N (2，σ2)，P (X ≥1)＝0.64，所以P (X ≥1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 12p (1－p )＋C 22p 2＝0.64，解得p ＝0.4或p ＝1.6(舍去)， 所以P (0<Y <2)＝p ＝0.4， P (Y >4)＝12×(1－0.4×2)＝0.1.7．[2019湖北鄂南高中期末]设随机变量X 的概率分布列为则P (|X －3|＝1)＝答案：512 解析：由13＋m ＋14＋16＝1， 解得m ＝14，P (|X －3|＝3)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝14＋16＝512.8．为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或由标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励总额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．解：(1)设顾客所获的奖励额为X .①依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12.即顾客所获的奖励额为60元的概率为12. ②依题意，得X 的所有可能取值为20,60. P (X ＝60)＝12，P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，故X 的分布列为E (X )＝20×12＋60×12＝40(元)．(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元． 所以，先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X 1，则X 1的分布列为X 1的期望为E (X 1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60，X 1的方差为D (X 1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003.对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为X 2，则X 2的分布列为X 2的期望为E (X 2)＝40×6＋60×3＋80×16＝60，X 2的方差为D (X 2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.。

高二数学随机变量的期望与方差试题答案及解析1.设X为随机变量，X～B ，若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则P(X＝2)等于( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】由二项分布X～B 的数学期望E(X)=,知，得，即X～B ，那么P(X＝2)=.【考点】服从二项分布的离散型随机变量的均值与方差.2.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是________．【答案】【解析】法一同时取出的2个球中含红球数X的概率分布为P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.E(X)＝0×＋1×＋2×＝.法二同时取出的2个球中含红球数X服从参数N＝5，M＝3，n＝2的超几何分布，所以E(X)＝＝.3.马老师从课本上抄录一个随机变量X的概率分布律如下表请小牛同学计算ε的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ε)＝________.【答案】2【解析】令“？”为a，“！”为b，则2a＋b＝1，又E(X)＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2.4.若X是离散型随机变量，，且，又已知，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】本题考查期望与方差的公式，利用期望及方差的公式，建立方程，即可求得结论．【考点】离散型随机变量的期望方差.5.在个同样型号的产品中，有个是正品，个是次品，从中任取个，求（1）其中所含次品数的期望、方差；（2）事件“含有次品”的概率。

【答案】(1)E(x)=，D（x）=；（2）P(A)=.【解析】（1）依题意可知随机变量ξ的一切可取值为0，1，2，求出相应的概率，可求所含次品数ξ的期望、方差；（2）事件“含有次品”，则随机变量ξ取1，2，从而可求概率．试题解析：（1）依题意可知随机变量的一切可取值为，则，（2）设集合A为抽取的3件产品中含有次品则.【考点】离散型随机变量的期望与方差．6.某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为，科目B每次考试成绩合格的概率均为.假设各次考试成绩合格与否均互不影响.（1）求他不需要补考就可获得证书的概率；（2）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的分布列及数学期望E.【答案】(1) ;(2) E=【解析】（1）不需要补考就获得证书的事件表示科目第一次考试合格且科目第一次考试合格，这两次考试合格是相互独立的，根据相互独立事件同时发生的概率，得到结果．（2）参加考试的次数为，由已知得，注意到各事件之间的独立性与互斥性，根据相互独立事件同时发生的概率写出概率，得到的分布列并求出期望．试题解析：解:设“科目A第一次考试合格”为事件A1，“科目A补考合格”为事件A2；“科目B第一次考试合格”为事件B1，“科目B补考合格”为事件B2..............1分(1)不需要补考就获得证书的事件为A1·B1,注意到A1与B1相互独立，则.该考生不需要补考就获得证书的概率为..............4分(2)由已知得，＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得.............6分8分10分234故答：该考生参加考试次数的数学期望为 12分【考点】1、互相独立事件的概率乘法公式；2、离散型随机变量的分布列与数学期望.7.2012年3月2日，江苏卫视推出全新益智答题类节目《一站到底》，甲、乙两人报名参加《一站到底》面试的初试选拔，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次抢答都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题初试才能通过．（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人初试通过的概率．【答案】（Ⅰ）分布列如下：0123甲答对试题数ξ的数学期望Eξ=．（Ⅱ）甲、乙两人至少有一人通过的概率为。

高二数学随机变量的期望与方差试题答案及解析1.小李练习射击，每次击中目标的概率为，用表示小李射击次击中目标的次数，则的均值与方差的值分别是______________________．【答案】【解析】的可能取值是0,1,2,3,4,5,．【考点】期望、方差的计算．2.如图所示，旋转一次的圆盘，指针落在圆盘中3分处的概率为，落在圆盘中2分处的概率为，落在圆盘中0分处的概率为，（），已知旋转一次圆盘得分的数学期望为1分，则的最小值为A．B．C．D．【答案】A【解析】由分布列知：，∴.【考点】随机变量的分布列与数学期望.3.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数是一个随机变量，其分布列为，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，当盒中旧球的个数为时，相当于旧球的个数在原来3个的基础上增加了一个，所以取出的3个球中只有一个新球即取出的3个球中有2个是旧球1个新球，所以，故选C.【考点】离散型随机变量及其分布列.4.生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：（2）生产一件元件A，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（1）的前提下：（i）求生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率；（ii）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．【答案】（1）元件A为正品的概率为，元件B为正品的概率为；（2）（i）；（ii）的分布列为：.【解析】（1）用指标大于或等于82所对应的的元件的个数除以总的元件个数即是正品的概率；（2）（i）先设生产的5件元件中正品件数为，次品件，由题意列出不等式，求解并确定的取值是4或5，然后再由次独立重复试验某事件恰好发生次的概率公式即可得到“生产5件元件B所获得的利润不少于300元”的概率；（ii）根据题意分别求出一件A正品和一件B正品，一件A次品和一件B正品，一件A正品和一件B次品，一件A次品和一件B次品的概率，列出分布列，由公式求出数学期望即可.试题解析：（1）由题可知元件A为正品的概率为，元件B为正品的概率为．（2）（i）设生产的5件元件中正品件数为，则有次品件，由题意知得到，设“生产5件元件B所获得的利润不少于300元”为事件，则（ii）随机变量的所有取值为150,90,30，则，，所以的分布列为：.【考点】1.次独立重复试验某事件恰好发生次的概率；2.随机变量的分布列；3.数学期望.5.多选题是标准化考试的一种题型，一般是从A、B、C、D四个选项中选出所有正确的答案.在一次考试中有5道多选题，某同学一道都不会，他随机的猜测，则他答对题数的期望值为．【答案】【解析】答对每道题的概率为,设答对的题数为，则，所以.【考点】二项分布的数学期望.6.袋子里有完全相同的3只红球和4只黑球，今从袋子里随机取球.（Ⅰ）若有放回地取3次，每次取一个球，求取出2个红球1个黑球的概率；（Ⅱ）若无放回地取3次，每次取一个球，若取出每只红球得2分，取出每只黑球得1分，求得分的分布列和数学期望.【答案】（1）108:343（2）3456【解析】解：（Ⅰ）从袋子里有放回地取3次球，相当于做了3次独立重复试验，每次试验取出红球的概率为，取出黑球的概率为，设事件“取出2个红球1个黑球”，则6分（Ⅱ）的取值有四个:3、4、5、6，分布列为：，,，.345610分从而得分的数学期望.0 12分【考点】分布列和期望点评：主要是考查了分布列的求解以及期望值的运用，属于基础题。

新高考 离散型随机变量的期望与方差 专题训练一、单选题1．（2021·四川雅安·模拟预测（文））按照四川省疫情防控的统一安排部署，2021年国庆前后继续对某区12周岁及以上人群全面开展免费新冠疫苗接种工作.该区设置有A ，B ，C 三个接种点位，每个市民需间隔28天左右完成两针的疫苗接种，每一针都可以随机选择去任何一个点位接种.则该区有接种意愿的人，在同一接种点位完成两针疫苗接种的概率是（ ）A ．15B ．13C ．12D ．23【答案】B 【分析】结合独立事件乘法公式即可求解. 【详解】设事件A 为两针疫苗都在A 点位接种，则()111339P A =⨯=，同理在B ，C 点位接种的概率也为19，所以在同一接种点位完成两针疫苗接种的概率是11393P =⨯=.故选：B2．（2021·广东·石门中学模拟预测）在一个抛硬币的游戏里，抛出的前2个硬币都是正面朝上，则在抛第3个硬币时，正面朝上的概率为（ ）A ．18B ．14C ．12D ．38【答案】C 【分析】由于抛第3个硬币出现的结果与前2个硬币出现的结果没有关系，进而可得结果. 【详解】因为抛每一个硬币正面朝上的概率均为12，且抛第3个硬币出现的结果与前2个硬币出现的结果没有关系，所以在抛第3个硬币时，正面朝上的概率为12. 故选：C.3．（2021·全国·高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布()210,N σ，下列结论中不正确的是（ ）A ．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B ．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C ．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D ．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等 【答案】D 【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解. 【详解】对于A ，2σ为数据的方差，所以σ越小，数据在10μ=附近越集中，所以测量结果落在()9.9,10.1内的概率越大，故A 正确；对于B ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B 正确；对于C ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C 正确；对于D ，因为该物理量一次测量结果落在()9.9,10.0的概率与落在()10.2,10.3的概率不同，所以一次测量结果落在()9.9,10.2的概率与落在()10,10.3的概率不同，故D 错误. 故选：D.4．（2019·浙江·高考真题）设01a <<，则随机变量X 的分布列是：则当a 在()0,1内增大时 A ．()D X 增大 B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小 D ．()D X 先减小后增大【答案】D 【分析】研究方差随a 变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数a 表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为a 的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查. 【详解】方法1：由分布列得1()3aE X +=，则 2222111111211()01333333926a a a D X a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大.方法2：则()222221(1)222213()()03399924a a a a D X E X E X a ⎡⎤+-+⎛⎫=-=++-==-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 故选D. 【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.5．（2018·全国·高考真题（理））某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p =A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3【答案】B 【详解】分析：判断出为二项分布，利用公式()()D X np 1p =-进行计算即可．()()D X np 1p =-p 0.4∴=或p 0.6=()()()()6444661010P X 41P X 61C p p C p p ==-<==-，()221p p ∴-<,可知p 0.5>故答案选B.点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题．6．（2021·全国·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A ．甲与丙相互独立 B ．甲与丁相互独立 C ．乙与丙相互独立 D ．丙与丁相互独立【答案】B 【分析】根据独立事件概率关系逐一判断 【详解】11561()()()()6636366P P P P =====甲，乙，丙，丁， ，1()0()()()()()36P P P P P P =≠==甲丙甲丙，甲丁甲丁， 1()()()()0()()36P P P P P P =≠=≠乙丙乙丙，丙丁丁丙， 故选：B 【点睛】判断事件,A B 是否独立，先计算对应概率，再判断()()()P A P B P AB =是否成立7．（2017·浙江·高考真题）已知随机变量i ξ满足P （i ξ=1）=p i ，P （i ξ=0）=1—p i ，i =1，2.若0<p 1<p 2<12，则A ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ<2D()ξB ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ>2D()ξC ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ<2D()ξD ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ【答案】A 【详解】∵1122(),()E p E p ξξ==，∴12()()E E ξξ<，∵111222()(1),()(1)D p p D p p ξξ=-=-，∴121212()()()(1)0D D p p p p ξξ-=---<，故选A ． 【名师点睛】求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列，组合与概率知识求出X 取各个值时的概率．对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．由已知本题随机变量i ξ服从两点分布，由两点分布数学期望与方差的公式可得A正确．8．（2021·全国·模拟预测）世界读书日全称为世界图书与版权日，又称“世界图书日”，最初的创意来自于国际出版商协会.1995年正式确定每年4月23日为“世界图书与版权日”，设立目的是推动更多的人去阅读和写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科学、思想大师们，保护知识产权．每年的这一天，世界100多个国家都会举办各种各样的庆祝和图书宣传活动．在2021年4月23日这一天，某高校中文系为了解本校学生每天的课外阅读情况，随机选取了200名学生进行调查，其中女生有120人．根据调查结果绘制了如下学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频数分布表．将日均课外阅读时间在[]30,60内的学生评价为“课外阅读时间合格”，已知样本中“课外阅读时间合格”的学生中有20男生．那么下列说法正确的是（）A．该校学生“课外阅读时间”的平均值约为26分钟B．按分层抽样的方法，从样本中“课外阅读时间不合格”的学生抽取10人，再从这10人中随机抽取2人，则这2人恰好是一男一女的概率为5 9C．样本学生“课外阅读时间”的中位数为24分钟D．若该校有10000名学生，估计“课外阅读时间合格”的女生有3500人【答案】B【分析】利用组中值乘以频率最后作和，求得平均值，可以判断A 项是错误的；根据题中所给的条件，可以判断出合格的同学有80人，根据男生20人，得到女生60人，从而求得不合格男女生人数，利用分层抽样方法，结合概率公式求得B 项是正确的；利用中位数满足的条件，可以确定其为26，可得C 项错误；利用所占比例可求得其人数为3000，得到D 项错误，最终选出正确结果. 【详解】50.25150.1250.25350.3450.06550.0426x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≠，A 错；合格的同学有80人，其中男生20人，女生60人 不合格的同学有120人，其中男生60人，女生60人 在不合格的同学中分层抽样抽10人，则男生5人，女生5人10人中任取两人为一男一女的概率为1155210C C 5C 9P ==，B 对；设中位数为x ，则200.250.10.250.510x -++⨯= ∴2624x =≠，C 错课外阅读合格女生所占全体学生的概率60320010P == 30100003000100⨯=人，D 错． 故选：B ．二、多选题9．（2022·湖南株洲·一模）甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．1A 表示事件“从甲罐取出的球是红球”，2A 表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B 表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ） A ．1A 、2A 为对立事件 B ．()1411P B A =C ．()310P B =D ．()()121P B A P B A +=【答案】AB 【分析】只需注意到事件B 是在事件1A 或2A 发生之后可解.【详解】因为甲罐中只有红球和白球，所以A 正确；当1A 发生时，乙罐中有4个红球，7个白球，此时B 发生的概率为411，故B 正确；当2A 发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时B 发生的概率为311，故D 不正确；14137()21121122P B =⨯+⨯=，故 C 不正确.故选：AB10．（2021·湖南·衡阳市八中模拟预测）下列说法正确的有（ ） A ．1~,3X B n ⎛⎫⎪⎝⎭，且()2D X =，则6n =B ．设有一个回归方程35y x =-，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位C ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D ．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1,)(0)N σσ>，则(1)0.5P ξ≤= 【答案】BD 【分析】A 利用二项分布的方差公式求参数即可；B 根据回归方程直接可判断x 、y 的增量间的影响；C 线性相关性强弱与|r |有关；D 根据正态分布的对称性即可判断. 【详解】A ：由1~,3XB n ⎛⎫⎪⎝⎭，()12233D X n ==⨯⨯，则，所以9n =，故不正确；B ：若有一个回归方程35y x =-，变量x 增加1个单位时，()351355y x x =-+=--，故y 平均减少5个单位，正确；C ：线性相关系数|r |越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，错误；D ：在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布()()21,0N σσ>，由于正态曲线关于1x =对称，则(1)0.5P ξ≤=，正确． 故选：BD ．11．（2021·湖南长沙·模拟预测）人民日报智慧媒体硏究院在2020智慧媒体髙峰论坛上发布重磅智能产品—人民日报创作大脑，在AI 算法的驱动下，无论是图文编辑､视频编辑，还是素材制作，所有的优质内容创作都变得更加容易.已知某数据库有视频a 个､图片b 张()*,,1a b a b ∈>>N ，从中随机选出一个视频和一张图片，记“视频甲和图片乙入选”为事件A ，“视频甲入选”为事件B ，“图片乙入选”为事件C ，则下列判断中正确的是（ ） A ．()()()P A P B P C =+ B ．()()()P A P B P C =⋅ C ．()()()P A P BC P BC >+D ．()()P BC P BC < 【答案】BC 【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由相互独立事件的概率的乘法计算公式，可得A 错误，B 正确；事件A 包含“视频甲未入选，图片乙入选”、“视频甲入选，图片乙未入选”、“视频甲､图片乙都未入选”三种情况，所以()()()()P A P BC P BC P BC =++，则()()()P A P BC P BC >+，所以C 正确；由题可知，111()1a P BC a b ab -⎛⎫=-⋅= ⎪⎝⎭，111()1b P BC a b ab -⎛⎫=⋅-= ⎪⎝⎭，因为a ，*b N ∈，1a b >>，所以11a b ab ab-->，即()()P BC P BC >，故D 错误. 故选:BC .12．（2021·全国·模拟预测）假定某射手每次射击命中的概率为34，且只有3发子弹.该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直射击到子弹用完.设耗用子弹数为X ，则（ ） A ．目标被击中的概率为3132B ．()314P X == C ．()2316E X =D ．()87256D X =【答案】BD 【分析】求随机变量X 的分布列，由期望，方差公式求其期望，方差，由此判断各选项对错. 【详解】由题意可得，目标没有被击中的概率为30311464C ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以目标被击中的概率为16316464-=，A 错误.易知该射手每次射击命中失败的概率为14，X 的取值范围为{1，2，3}，所以()314P X ==，()13324416P X ==⨯=，()11134416P X ==⨯=，所以X 的分布列为：()331211234161616E X =⨯+⨯+⨯=，()2222132132118712316416161616256D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， B ，D 正确，C 错误， 故选：BD.三、填空题13．（2011·广东·一模（理））在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1,)(0)N σσ>.若ξ在(0，1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0，2)内取值的概率为_______________. 【答案】0.8 【分析】利用正态分布的对称性求解即可 【详解】因为正态分布的平均数为1， 所以(12)(01)0.4P P ξξ<<=<<=所以(02)(01)(12)0.8P P P ξξξ<<=<<+<<= 故答案为： 0.814．（2019·全国·高考真题（理））甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．【答案】0.18 【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查． 【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是30.60.50.520.108,⨯⨯⨯= 前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是220.40.60.520.072,⨯⨯⨯= 综上所述，甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.q =+= 【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算．15．（2022·全国·模拟预测）2021年5月15日，天问一号探测器在火星乌托邦平原南部预选着陆区着陆，我国首次火星探测任务着陆火星取得成功，极大地鼓舞了天文爱好者探索宇宙奥秘的热情.某校航天科技小组决定从甲、乙等6名同学中选出4名同学参加A 市举行的“我爱火星”知识竞赛，已知甲被选出，则乙也被选出的概率为______.【答案】35【分析】利用条件概率公式即可得到结果. 【详解】设“甲同学被选出”记为事件A ，“乙同学被选出”记为事件B ，则在甲同学被选出的情况下，乙同学也被选出的概率()2435C ()3()|C 5n AB P B A n A ===. 故答案为：3516．（2022·重庆·模拟预测）已知随机变量X 的概率分布为()()()1,2,3,,101aP X n n n n ===⋅⋅⋅+，则实数=a ______．【答案】1110【分析】根据给定条件利用随机变量分布列的性质列式计算作答.【详解】依题意，()11()1P X n a n n ==-+， 由分布列的性质得1011111110()[(1)()()]1223101111n a P X n a ===-+-++-==∑，解得1110a =， 所以实数1110a =. 故答案为：1110。

数学随机变量的期望与方差试题1.抽样统计甲，乙两个城市连续5天的空气质量指数(AQI)，数据如下：则空气质量指数(AQI)较为稳定(方差较小)的城市为（填甲或乙）．【答案】乙【解析】根据题意和平均数公式可得：，，由方差公式可得：，，由，得乙的方差更小．2.（本小题满分12分）有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排列组成．明文字符A B C D设随机变量ξ表示密码中不同数字的个数．（Ⅰ）求P(ξ＝2)；（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）ξ234【解析】解：（Ⅰ）密码中不同数字的个数为2的事件为密码中只有两个数字，注意到密码的第1,2列分别总是1,2，即只能取表格第1,2列中的数字作为密码．∴P(ξ＝2)＝＝.（Ⅱ）由题意可知ξ的取值为2,3,4三种情形．若ξ＝3，注意表格的第一排总含有数字1，第二排总含有数字2，则密码中只可能取数字1,2,3或1,2,4.∴P(ξ＝3)＝＝.若ξ＝4，则P(ξ＝4)＝＝或P(ξ＝4)＝1－－＝，∴ξ的分布列为：ξ234∴E(ξ)＝2×＋3×＋4×＝【考点】本题考查随机变量的分布列及其期望的求法等统计与概率方面基本概念、基本原理，意在考查考生的阅读理解、提取信息及运算求解的能力.3.（本小题满分12分）为了解高一年级学生的基本数学素养，某中学特地组织了一次数学基础知识竞赛，随机抽取统测成绩得到一样本.其分组区间和频数是：，；，；，；，； [90，100]，. 其频率分布直方图受到破坏，可见部分如下图所示，据此解答如下问题.（1）求样本的人数及x的值；（2）估计样本的众数，并计算频率分布直方图中的矩形的高；（3）从成绩不低于分的样本中随机选取人，该人中成绩在分以上（含分）的人数记为，求的分布列及其数学期望.【答案】（1）4（2）样本众数的估计值为矩形的高为（3）见解析【解析】（1）由题意得，分数在之间的频数为，频率为，（1分）所以样本人数为（人）（2分）的值为（人）. （4分）（2）从分组区间和频数可知，样本众数的估计值为. （6分）由（1）知分数在之间的频数为，频率为（7分）所以频率分布直方图中的矩形的高为（8分）（3）成绩不低于分的样本人数为（人），成绩在分以上(含分)的人数为人，所以的取值为（9分），，，（10分）所以的分布列为：012（11分）所以的数学期望为（12分）【考点】本题主要考查频率分布表、频率分布直方图、组合数、概率计算、离散型随机变量的分布列以及数学期望等基础知识，意在考查考生读图视图的能力、数据处理能力、运算求解能力以及运用概率统计知识解决简单实际问题的能力．4.某高校在2012年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．(1)分别求第3，4，5组的频率；(2)若该校决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，(ⅰ)已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试的概率；(ⅱ)学校决定在这已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生接受考官L的面试，设第4组中有名学生被考官L面试，求的分布列和数学期望．【答案】(1)0.3 0.2 0.1 (2) (ⅰ) (ⅱ)【解析】(1)由频率分布直方图的横坐标得到组距,纵坐标得到每组的频率/组距,故而每组的频率即为纵坐标与组距的乘积.(2)分层抽样就是在保持每个个体入样的可能性相等的条件下把样本容量分摊到每一层,即样本容量与总体数量之比与某层抽样个数与该层总数之比相等,进而得到每层抽样的人数(i)第三组要抽样3人,在30人中抽样三人,无序即为组合数,即中抽样情况,根据题目要求“学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试”的事件分为两种情况①甲乙中只有甲入选,即还需要在28人中无序抽样2人,即,②甲乙中只有乙入选,即还需要在28人中无序抽样2人,即.在利用古典概型概率计算公式即可得到相应的概率(ii)由分层抽样的结果可知6人中有两人是第四组的,即,再利用组合数算得从6人中无序抽样两人的情况数和分别有0，1，2人是第四组的情况数，即可得到相应的概率，进而得到分布列，在把三种情况的概率与其分别相乘再相加即可得到期望.试题解析：(1) 第三组的频率为0．065="0．3；" 第四组的频率为0．045=0．2；第五组的频率为0．025=0．1． 3分(2)(ⅰ)设“学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试”为事件A,第三组应有3人进入面试则: P(A)== 6分(ⅱ)第四组应有2人进入面试，则随机变量可能的取值为0,1,2． 7分且，则随机变量的分布列为:P5.已知离散型随机变量的分布列为则的数学期望 ( )A． B． C． D．【答案】A【解析】,故选A．点评：离散型随机变量的期望6.在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名选手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号,不选2号, 另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手．（1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;（2）X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X的分布列和数学期望．【答案】（1）（2）X0123【解析】本题考查涉及排列组合、概率、随机变量分布列和期望问题，（1）问中考查了“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”互斥事件同时发生的概率，也可以利用树形图解决。

高三数学随机变量的期望与方差试题1.袋中有大小、质地均相同的4个红球与2个白球．若从中有放回地依次取出一个球，记6次取球中取出红球的次数为ξ，则ξ的期望E(ξ)＝________.【答案】4【解析】依题意得，ξ的可能取值分别是0,1,2,3,4,5,6，且每次取球取出红球的概率均是＝，故ξ～B(6，)，因此E(ξ)＝6×＝4.2.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)＝________．【答案】【解析】∵P(X＝0)＝＝(1－p)2×，∴p＝，随机变量X的可能值为0,1,2,3，因此P(X＝0)＝，P(X＝1)＝×()2＋2××()2＝，P(X＝2)＝×()2×2＋×()2＝，P(X＝3)＝×()2＝，因此E(X)＝1×＋2×＋3×＝．3.某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量表示小白玩游戏的得分.若=4.2，则小白得5分的概率至少为 .【答案】【解析】设＝1,2,3,4,5的概率分别为，则由题意有，，对于，当越大时，其值越大，又，因此，所以，解得．【考点】随机变量的均值（数学期望），排序不等式．4.（2012•广东）某班50位学生期中考试数学成绩的频率直方分布图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中x的值；（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的数学期望．【答案】（1）0.018 （2）见解析【解析】（1）由30×0.006+10×0.01+10×0.054+10x=1，得x=0.018（2）由题意知道：不低于8（0分）的学生有12人，9（0分）以上的学生有3人随机变量ξ的可能取值有0，1，2∴5.甲、乙两人将参加某项测试，他们能达标的概率都是0.8，设随机变量为两人中能达标的人数，则的数学期望为．【答案】1.6【解析】甲、乙两人将参加某项测试，他们能达标的概率都是0.8.所以相当与他们是独立性重复的实验，所以=，即=.【考点】1.独立性重复试验.2.数学期望的公式.6.一中食堂有一个面食窗口,假设学生买饭所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往学生买饭所需的时间统计结果如下:（Ⅰ）估计第三个学生恰好等待4分钟开始买饭的概率;（Ⅱ）表示至第2分钟末已买完饭的人数,求的分布列及数学期望【答案】（Ⅰ）第2分钟末没有人买晚饭的概率；（Ⅱ）第三个学生恰好等待4分钟开始买饭的概率．【解析】（Ⅰ）估计第三个学生恰好等待4分钟开始买饭的概率，包括①第一个学生买饭所需的时间为1分钟,且第二个学生买饭所需的时间为3分钟;②第一个学生买饭所需的时间为3分钟,且第二个学生买饭所需的时间为1分钟;③第一个和第二个学生买饭所需的时间均为2分钟.这三个事件，根据互斥事件的概率求法，即可求出概率;（Ⅱ）表示至第2分钟末已买完饭的人数,包括三种情况, 第2分钟末没有人买晚饭,第2分钟末有一人买饭,它包括:第一个学生买饭所需的时间为1分钟且第二个学生买饭所需的时间超过1分钟,或第一个学生买饭所需的时间为2分钟,第2分钟末,有两人买饭,故所有可能的取值为,分别求出概率,从而写出的分布列,求出数学期望.试题解析：（Ⅰ）设表示学生买饭所需的时间,用频率估计概率,得的分布列如下:(1)表示事件①第一个学生买饭所需的时间为1分钟,且第二个学生买饭所需的时间为3分钟;②第一个学生买饭所需的时间为3分钟,且第二个学生买饭所需的时间为1分钟;③第一个和第二个学生买饭所需的时间均为2分钟.所以(6分)（Ⅱ）所有可能的取值为对应第一个学生买饭所需的时间超过2分钟,所以对应第一个学生买饭所需的时间为1分钟且第二个学生买饭所需的时间超过1分钟,或第一个学生买饭所需的时间为2分钟.所以对应两个学生买饭所需时间均为1分钟,所以所以的分布列为012(12分)【考点】互斥事件的概率,分布列及数学期望.7.某市职教中心组织厨师技能大赛，大赛依次设基本功（初赛）、面点制作（复赛）、热菜烹制（决赛）三个轮次的比赛，已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是，，且各轮次通过与否相互独立．（I）设该选手参赛的轮次为，求的分布列和数学期望；（Ⅱ）对于（I）中的，设“函数是偶函数”为事件D，求事件D发生的概率．【答案】（I）的分布列为：123P的数学期望（Ⅱ）事件D发生的概率是.【解析】（I）是否可以取0？每一选手必然能参加初赛，最多参加3场比赛，所以的取值为1，2，3．由于各轮次通过与否相互独立，所以用独立事件同时发生的概率公式便求得每个取值的概率，从而得分布列和期望.（Ⅱ）可以取1、2、3三个值，将这三个值代入函数式可知，．当和时，为偶函数. 和表示的事件是互斥的，所以由互斥事件的概率公式知，将这两个事件的概率相加，即得事件D发生的概率是.试题解析：（I）可能取值为1，2，3． 2分记“该选手通过初赛”为事件A，“该选手通过复赛”为事件B，5分的分布列为：P的数学期望 7分（Ⅱ）当时，为偶函数；当时，为奇函数；当时，为偶函数；∴事件D发生的概率是. 12分【考点】随机变量的分布列及期望.8.甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为，乙，丙做对的概率分别为，(＞)，且三位学生是否做对相互独立.记为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：(Ⅰ)求至少有一位学生做对该题的概率；(Ⅱ)求，的值；(Ⅲ)求的数学期望.【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）；(Ⅲ) .【解析】(Ⅰ) 至少有一位学生做对该题,它的对立事件是一个也没做对,故可利用对立事件来求；（Ⅱ）根据与列方程求出的值；(Ⅲ)由的值，可求出，的值，从而求出的数学期望.试题解析：设“甲做对”为事件，“乙做对”为事件，“丙做对”为事件，由题意知，.(Ⅰ)由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“”是对立的，所以至少有一位学生做对该题的概率是；(Ⅱ)由题意知，，整理得，,由，解得；（Ⅲ）由题意知，，所以的数学期望为.【考点】1、独立事件的概率, 2、随机变量的数学期望.9.甲、乙两人进行围棋比赛，规定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一方比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解析】（Ⅰ）根据题意将第二局比赛结束时比赛停止的两种情况分析得到，然后利用互斥事件的概率公式求解; （Ⅱ）依题意知X的所有可能取值,然后利用独立事件的概率公式求解概率.试题解析：（Ⅰ）当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，故， 3分解得或.又，所以. 5分（Ⅱ）依题意知X的所有可能取值为2,4,6。