沪教版 九年级(上)数学 秋季课程 第2讲 相似三角形(解析版)

DABCE相似三角形是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三角形的判定和相似三角形的性质；重点是根据已知条件灵活运用不同的判定定理对三角形相似进行判定，并结合相似三角形的性质进行相关的证明，难点是相似三角形的性质与判定的互相结合，以及相似三角形与分类讨论及函数思想的互相结合．1、相似三角形的定义如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．如图，DE 是ABC ∆的中位线，那么在ADE ∆与ABC ∆中，A A ∠=∠， ADEB ∠=∠，AEDC ∠=∠；12AD DE AE AB BC AC ===． 由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作ADE ∆∽ABC ∆，其中点A 与点A 、点D 与点B 、点E 与点C 分别是对应顶点；符号“∽”读作“相似于”．用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“∆”后相应的位置上．相似三角形内容分析知识结构模块一：相似三角形的判定知识精讲2 / 31ABCA 1B 1C 1根据相似三角形的定义，可以得出：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）．（2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 2、相似三角形的预备定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． 如图，已知直线l 与ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线分别交于点D 和点E ，则ADE ∆∽ABC ∆．3、相似三角形判定定理1如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两角对应相等，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果1A A ∠=∠、1B B ∠=∠，那么ABC ∆∽111A B C ∆．常见模型如下：A BCDEABCDEABCDEABCA 1B 1C 1ABCA 1B 1C 14、相似三角形判定定理2如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，1A A ∠=∠，1111AB ACA B AC =，那么ABC ∆∽111A B C ∆．5、相似三角形判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果111111AB BC CAA B B C C A ==，那么ABC ∆∽111A B C ∆．6、直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．如图，在Rt ABC ∆和111Rt A B C ∆中，如果190C C ∠=∠=︒，1111AB BCA B B C =，那么ABC ∆∽111A B C ∆．ABCA 1B 1C 14 / 31【例1】如图，已知点P 是ABC ∆中边AC 上一点，联结BP ，要使ABP ∆∽ACB ∆，那么应 添加的一个条件为____________，或____________，或____________．【答案】C ABP ∠=∠，ABC APB ∠=∠，AB APAC AB=． 【解析】根据相似三角形的判定定理1和判定定理2，题 目中有公共角，只需要加上一个等角或夹这个角的两边对应成比例的条件即可．【总结】考查相似三角形判定定理的应用，注意对定理内容的把握，判定定理2一定是夹等角的两条边对应成比例．【例2】下列命题正确的是（ ） A ．有一个角是40°的两个等腰三角形相似 B ．有一个角是106°的两个等腰三角形相似 C ．面积相等的两个直角三角形相似D ．两边之比为3 : 5的两个直角三角形相似【答案】B【解析】有一个角是40°的等腰三角形，不能确定这个角是顶角还是底角，即不能确定三 角形形状，A 错误；有一个角是106°的等腰三角形，可以确定这个角一定是等腰三角 形的顶角，则底角大小也必相同，根据相似三角形判定定理1，B 正确；面积相等的直 角三角形，底边长和高长都不能确定，形状不确定，C 错误；两边之比为3:5，不能确 定这两条边是否同为两直角边或者一斜边一直角边，即不能确定直角三角形形状相同，D 错误．【总结】考查相似三角形判定定理的应用，注意一定要对题目提供的条件进行分析的基础上再确定是否能用判定定理证明相似．【例3】下列4⨯4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则例题解析ABCPAB C与ABC ∆相似的三角形所在的网格图形是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据已知ABC ∆，得对应两直角边之比2ABBC=，三角形与ABC ∆相似，则两条直角边之比也为2，只有C 选项满足．【总结】相似三角形判定定理2可转化为一个三角形中的夹等角的两条边对应成比例．【例4】如图，ABC ∆中，AE 交BC 于点D ，C E ∠=∠，:3:5AD DE =，AE = 8，BD = 4，则DC 的长等于（ ）A ．415B ．125C ．174D ．154【答案】D【解析】由:3:5AD DE =，AE = 8，可得3AD =，5DE =， 由C E ∠=∠，结合一对对顶角BDE ADC ∠=∠，可得BDE ∆∽ADC ∆，由此则有BD DE AD CD =，代入即为453CD =，即得:154CD =，故选D ． 【总结】考查相似三角形的判定和性质的综合应用，注意题目中相似图形的对应关系，对应成比例的线段和点一定要准确．【例5】在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似；A BCDE6 / 31乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（ ） A ．两人多对 B ．两人都不对C ．甲对乙不对D ．甲不对，乙对【答案】C【解析】直角三角形扩张以后得到的三角形三边分别与原三角形平行，得到两三角形三个内 角都相等，根据相似三角形判定定理1，可知相似，甲对；乙向外扩张后，矩形两邻边分别变为5和7，3557≠，两矩形的边不对应成比例，可知两矩形不相似，乙不对，故选C ．【总结】对于三角形来讲，三角形个内角相等则各对应边比例相等，可以得到两三角形相似，对于其它的多边形来说，角相等不能保证相似，必须再确定两图形的对应边对应成比例才能判定相似，注意相似成立的条件．【例6】如图，ABC ∆中，AB = AC = 5，BC = 6，点M 为BC 中点，MN ⊥AC 于点N ，则 MN =______．【答案】125． 【解析】连结AM ．由AB = AC = 5，M 为BC 中点， 可知AM BC ⊥，3BM CM ==，由勾股定理可得：224AM AC CM =-=．由面积法，可得：AM MC MN AC ⋅=⋅，即得431255AM MC MN AC ⋅⨯===． 【总结】考查图形性质的综合应用，本题中也可用“子母三角形”通过相似解题．【例7】如图，在平行四边形ABCD 中，F 是BC 上的一点，直线DF 与AB 的延长线相交于点E ，BP // DF ，且与AD 相交于点P ，则图中有______对相似的三角形．【答案】6．【解析】////AB CD AD BC ，，结合BP // DF ，由相图1图2 11 1 1111 ABCD EFPABCNMABCDEF似三角形预备定理，知CDF ∆、BEF ∆、ABP ∆、AED ∆四三角形两两相似，即共有6对相似三角形．【总结】考查相似三角形的预备定理，由平行可证相似，同时考查相似三角形的传递性．【例8】如图，在直角梯形ABCD 中，AD // BC ，90ABC ∠=︒，AB = 8，AD = 3，BC = 4， 点P 为AB 边上一动点，若PAD ∆与PBC ∆是相似三角形，则满足条件的点P 的个数是（ ）． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】与是相似三角形，根据相似三角形判定定理2，首先易得 90A B ∠=∠=︒，则只需要两三角形夹直角的两边对应成比例即可，分成两种情况讨论，即AD AP BP BC =或AD APBC BP=，可分别得到2AP =或6AP =或247AP =，即满足条件的P 点有3个，故选C ． 【总结】考查相似三角形判定定理2的应用，注意进行分类讨论，要经过准确计算，不能直接分两种情况得出两种结果．【例9】如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，BC = 3，AC = 4，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为（ ）A ．32B ．76C ．256D ．2【答案】B【解析】根据勾股定理，可得225AB BC AC =+=，则有 1522BD AB ==，由90BDE ACB ∠=∠=︒，A ∠为公共角， 根据相似三角形判定定理1，可证ABC ∆∽EBD ∆，则有AB BD BE BC =，代入线段可求得256BE =，则76CE BE BC =-=． 【总结】考查相似三角形判定定理和性质的综合应用，先判定再应用性质．【例10】如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线 段DE 上一点，且AFE B ∠=∠． （1）求证：ADF ∆∽DEC ∆；（2）若AB = 8，AD =63，AF =43，求AE 的长．【答案】（1）略；（2）6ABCD PABCDE8 / 31AB CDEF【解析】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，////AB CD AD BC ∴，．180ADF DEC B C ∴∠=∠∠+∠=︒，． 180AFE AFD AFE B ∠+∠=︒∠=∠，， AFD C ∴∠=∠，∴ADF ∆∽DEC ∆．（2）解：由（1）ADF ∆∽DEC ∆，∴AF AD CD DE=， 即43638DE=，解得：12DE =． AE BC ⊥，∴90EAD ∠=︒，根据勾股定理，即得：226AE DE AD =-=．【总结】考查相似三角形判定定理1，和相似三角形的相关性质的结合应用，先判定再应用性质，过程中注意对相关图形及性质的应用．【例11】如图，梯形ABCD 中，AD // BC ，AB = DC ，对角线AC 、BD 相交于点F ，点E 是 边BC 延长线上一点，且CDE ABD ∠=∠． （1）求证：四边形ACED 是平行四边形；（2）联结AE ，交BD 于点G ，求证：DG DFGB DB=． 【答案】略．【解析】证明：（1）AD // BC ，AB = DC ，GBAD CDA∴∠=∠．AB DC AD AD==，，ABD DCA∴∆≅∆．ACD ABD∴∠=∠．CDE ABD∠=∠，ACD CDE∴∠=∠．//AC DE∴．AD // BC，∴四边形ACED是平行四边形．（2）//AD BC，∴AD DFBC FB=．AD DFBC AD DF FB∴=++．四边形ACED是平行四边形，∴AD CE=，∴AD DFBC CE DF FB=++，即AD DFBE DB=．//AD BE，∴DG ADGB BE=，∴DG DFGB DB=．【总结】考查相似中有平行线的情况，即可直接利用图形中的“A”字型和“8”字型等基本图形进行等比例转化．【例12】如图，在ABC∆中，AB = AC，点D、E分别是边AC、AB的中点，DF⊥AC，DF 与CE相交于点F，AF的延长线与BD相交于点G．（1）求证：2AD DG BD=；（2）联结CG，求证：ECB DCG∠=∠．【答案】略【解析】证明：（1）1122AB AC AE AB AD AC===，，，AD AE∴=．AB CDEFG10 / 31BAD CAE ∠=∠， BAD CAE ∴∆≅∆， ABD ACE ∴∠=∠．AD CD DF AC =⊥，， AF CF ∴=． GAC ACE ∴∠=∠．ABD GAD ∴∠=∠． ADB GDA ∠=∠， ADG ∴∆∽BDA ∆．AD DGBD AD∴=，即证2AD DG BD =． （2）AD CD =，2AD DG BD =，2CD DG GB ∴=⋅． 即CD GB DG CD=． GDC BDC ∠=∠， GDC ∴∆∽CDB ∆． DBC DCG ∴∠=∠． AB AC =，同（1）易证ECB DBC ∠=∠，ECB DCG ∴∠=∠．【总结】本题综合性较强，一方面考查了等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，另一方面考查了相似三角形的判定及性质，解题时注意对条件认真分析以及灵活运用．【例13】在ABC ∆中，AB = 40，AC = 24，BC = 32，点D 是射线BC 上的一点（不与端点重合），联结AD ，如果ACD ∆与ABC ∆相似，求BD 的值．【答案】14或50或64．【解析】由AB = 40，AC = 24，BC = 32，三角形三边满足222AC BC AB +=，即ABC ∆为直 角三角形，其中90ACB ∠=︒，D 在射线BC 上，相似三角形对应关系不确定，可知存 在以下几种情形：（1）D 在线段BC 上，此时ADC ∆∽BAC ∆，则有AC DCBC AC=，可得18DC =，则321814BD BC DC =-=-=；（2）D 在线段BC 延长线上，ADC ∆∽BAC ∆时，同（1）可得50BD BC DC =+=； （3）D 在线段BC 延长线上，DAC ∆∽BAC ∆时，则有DAC ∆≌BAC ∆，264BD BC ==．【总结】相似三角形的存在性问题，题目未给明对应关系，一定要注意进行分类讨论，本题中的点在射线上则更需要注意在线段延长线上时的情况．【例14】正方形ABCD 的边长为1，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，且始终保持AM ⊥MN ，求当BM 为多少时，四边形ABCN 的面积最大，最大面积为多少？【答案】12BM =时四边形ABCN 有最大面积58． 【解析】由90B ∠=︒，则有90BAM AMB ∠+∠=︒，AM ⊥MN ，则90NMC AMB ∠+∠=︒，NMC BAM ∠=∠，由90B C ∠=∠=︒，可证ABM ∆∽MCN ∆．则AB BMMC CN =，设BM x =，则1MC x =-，2CN x x =-， 则有()()2211115122228ABCNS CN AB BC x x x ⎛⎫=+⋅=-++=--+ ⎪⎝⎭． 由此可知当12x =，即12BM =时，四边形ABCN 有面积最大值58．【总结】考查“一线三直角”得到相似的基本模型，综合二次函数的最值问题．【例15】如图，将边长为6 cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 边的中点E 处，折痕为FH ，点C 落在Q 处，EQ 与BC 交于点G ，则EBG ∆的周长为______cm ．【答案】12．【解析】设DF x =，根据翻折的性质，则有EF x =， 6AF x =-，在Rt AEF ∆中，用勾股定理，则有222AE AF EF +=，即()22236x x +-=，解得154x =， 则94AF =，由90A ∠=︒，则有90AFE AEF ∠+∠=︒， 同时90FEG D ∠=∠=︒，则90AEF EBG ∠+∠=︒，ABCDE FGH QA BCDNM12 / 31K MNHG FEDC BA得：AFE BEG ∠=∠，由90A B ∠=∠=︒，可证AEF ∆∽BGE ∆．则AE AF EFBG BE GE==，即9153443BG GE ==，解得4BG =，5EG =，故12EBG C cm ∆=． 【总结】考查“一线三直角”得到相似的基本模型．【例16】如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC = 4 cm ，BC = 2 cm ，D 为BC 的中点，若动 点E 以1 cm /s 的速度从A 点出发，沿着A B A →→的方向运动，设点E 的运动时间为t 秒，联结DE ，当t 为何值时，BDE ∆是直角三角形？【答案】955t =或5t =或35t =或1155t =． 【解析】根据勾股定理，可得2225AB AC BC =+=，点E 沿 A B A →→运动时，B ∠大小固定不变，可能存在90DEB ∠=︒和 90EDB ∠=︒两种情形：（1）当90DEB ∠=︒时，由B B ∠=∠，90DEB C ∠=∠=︒，得DEB ∆∽ACB ∆，则有DB EBAB BC =，即1225EB =，得55EB =，此时存在两种情形，即955t =或1155t =； （2）当90EDB ∠=︒时，由B B ∠=∠，90EDB C ∠=∠=︒，得EDB ∆∽ACB ∆，则有EB DBAB BC =，即1225EB =，得5EB =，此时存在两种情形，即5t =或35t =． 【总结】本题主要考查动点的分类讨论问题，注意运动过程中的不变量．【例17】如图，ABC ∆中，4AB = 5AC ，AD 为ABC ∆的角平分线，点E 在BC 的延长线上， EF ⊥AD 于点F ，点G 在AF 上，FG = FD ，联结EG 交AC 于点H ，若点H 是AC 的中点，求AGFD的值．【答案】43． 【解析】延长AC 到M ，使AM AB =，连结DM ，过点M 作//MN AD 交GE 于点N ，交BE 于K ．∵AD 为ABC ∆的角平分线， ∴点D 到AB 、AC 的距离相等． 则54ABD ACD S BD AB CD S AC ∆∆===．ABCDEAB AM BAD MAD AD AD =∠=∠=，，，BAD MAD∴∆≅∆，54DM BD DC∴==．//MN AD，4DC ACCK CM∴==．54DK DC DM∴==，即M DK∆是等腰三角形．EF AD FG FD⊥=，，DEG∴∆是等腰三角形．∵//MN AD，GDE DKM∴∠=∠．∵DK DM DE GE==，，KDM DEG∴∠=∠．//GE DM∴．∴四边形DMNG是平行四边形．2MN GD FD∴==，又H是AC中点，22AG AG AHFD MN HM∴==．∵12211342ACAHHM AC AC==+,∴43AGFD=．【总结】考查角平分线，等腰三角形，全等，相似，平行四边形知识的综合应用，难度大，主要在于添加正确的辅助线．1、相似三角形性质定理1相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．2、相似三角形性质定理2相似三角形周长的比等于相似比．模块二：相似三角形的性质知识精讲14 / 313、相似三角形性质定理3相似三角形的面积的比等于相似比的平方．【例18】如果两个相似三角形的面积之比是9 : 25，其中小三角形一边上的中线长是12 cm ，那么大三角形对应边上的中线长是______cm ．【答案】20【解析】根据相似三角形面积比等于相似比平方，可知两三角形相似比3:5k =，两三角形对应中线长之比也等于3:5k =，即得大三角形对应边上中线长为312205cm ÷=．【总结】考查相似三角形的面积比和对应中线比与相似比的关系．【例19】在ABC ∆中，DE // BC ，且D 在AB 边上，E 在AC 边上，若:1:4ADE BCED S S ∆=，则:ADE ABC C C ∆∆=______，:AD DB =______．【答案】5:5，()51:4+【解析】:1:4ADE BCED S S ∆=，得:1:5ADE ABC S S ∆∆=，可得相应相似比1:55:5k ==，则:5:5ADE ABC C C k ∆∆==，:5:5AD AB k ==，()():5:5551:4AD DB =-=+．【总结】考查相似三角形的面积比和对应边长比和周长比与相似比的关系．【例20】如图，梯形ABCD 中，AD // BC ，90B ACD ∠=∠=︒，AB = 2，DC = 3，则ABC ∆ 与DCA ∆的面积比为（ ）A ．2 : 3B ．2 : 5C ．4 : 9D ．2:3【答案】C【解析】由AD // BC ，可得BCA CAD ∠=∠，结合 90B ACD ∠=∠=︒，可证ABC ∆∽DCA ∆，则有23AB k DC ==，则222439ABC DCA S k S ∆∆⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故选C ．【总结】考查相似三角形的面积比与相似比的关系．例题解析ABCDAB CDE 【例21】如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长 分别是3、4及x ，那么x 的值为（ ）A ．只有1个B ．可以有2个C ．可以有3个D ．有无数个【答案】B 【解析】由6834=，可知这两条边分别为对应边，相似比2k =，第一个直角三角形中第三 边长有两种情况，即226810+=或228627-=，由此得102x=或272x =，解得5x =或7x =，故选B ．【总结】考虑相似三角形的相似比，一定要确立好对应关系．【例22】如图，D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，23AD AE DE AB AC BC ===，且ABC ∆与ADE ∆的周长之差为15 cm ，求ABC ∆与ADE ∆的周长．【答案】45ABC C cm ∆=，30ADE C cm ∆=． 【解析】23AD AE DE AB AC BC ===，可知ADE ∆∽ABC ∆，其相似比23k =，则23ADE ABC C k C ∆∆==，又15ABC ADE C C ∆∆-=，可得：45ABC C cm ∆=，30ADE C cm ∆=．【总结】考查相似三角形的判定和性质的结合应用．【例23】如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、BC 上的点，且DE // AC ，若:1:4BDE CDE S S ∆∆=，则:BDE ACD S S ∆∆=______．【答案】1:20．【解析】由:1:4BDE CDE S S ∆∆=，即得:1:4BE CE =，由DE // AC ，即得：14BD BE AD CE ==，可得：14BCD ACD S BD S AD ∆∆==，则有120BDE ACD S S ∆∆=． 【总结】等高三角形面积比等于底边长之比，结合三角形的相似性质即可．AB CD E16 / 31MNDCBA【例24】如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，将ABC ∆沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB边上的点D 处，已知MN // AB ，MC = 6，23NC =，那么四边形MABN 的面积是______． 【答案】183．【解析】连结CD ，即得MN 垂直平分CD ，由MN // AB ， 即得M 是AC 的中点，CMN ∆∽CAB ∆，则221124CMN CAB S CM S AC ∆∆⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由此可得：133362318322MABN CMN S S MC NC ∆==⨯⋅=⨯⨯=．【总结】考查翻折与相似性质的结合应用．【例25】如图，在平行四边形ABCD 中，AB = 6，AD = 9，BAD ∠的平分线交BC 于E ，交DC 的延长线与F ，BG AE ⊥于G ，42BG =，则EFC ∆的周长为______．【答案】8．【解析】由//AD BC ，得DAE AEB ∠=∠，由AE平分BAD ∠，得BAE DAE AEB ∠=∠=∠， 可得6AB BE ==，由BG AE ⊥，42BG =， 根据勾股定理可得222GE BE BG =-=，则有24AE GE ==，3EC BC BE =-=，由//AB CF ，得EAB ∆∽EFC ∆，由此即得623ABE EFC C BE C EC ∆∆===，由16ABE C AB BE EC ∆=++=，得8EFC C ∆=．【总结】考查相似三角形结合平行四边形特殊图形性质，构造“A ”“8”字型等相关基本图形的应用，本题中注意运用“角平分线与平行线相结合得到等腰”的基本模型．【例26】如图，在ABC ∆中，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，ABC DEFGABCDE过点E 作ED // BC 交AB 于点 D ． （1）求证：AE BC BD AC =；（2）如果3ADE S ∆=，2BDE S ∆=，DE = 6，求BC 的长．【答案】（1）略；（2）10． 【解析】（1）证明：//ED BCDE AEDEB EBC BC AC∴∠=∠=， DBE EBC ∠=∠ DEB DBE ∴∠=∠ DE BD ∴= BD AEBC AC∴=即证AE BC BD AC = （2）解：由3ADE S ∆=，2BDE S ∆=，即得32ADE BDE S AD BD S ∆∆==，则有35AD AB =，由ED // BC ，可得：35DE AD BC AB ==，代入求得10BC =． 【总结】考查相似三角形面积比与等高三角形面积比的结合应用以及“角平分线与平行线相结合得到等腰”的基本模型的应用．【例27】如图，直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，AB = 10，BC = 6，在线段AB 上取一点 D ，作DF AB ⊥交AC 于点F ，现将ADF ∆沿DF 折叠，使点A 落在线段DB 上，对应点记为1A ，AD 的中点E 的对应点记为1E ，若11E FA ∆∽1E BF ∆，则AD =______．【答案】165． 【解析】由90ACB ∠=︒，AB = 10，BC = 6，根据勾股定理得 228AC AB BC =-=，由90C EDA ∠=∠=︒，A A ∠=∠，可证ADE ∆∽ACB ∆，则有AF AD DFAB AC BC ==，可设3DE a =，则45AD a AE a ==，，122DE AD a ==，则13EF a =，根据翻折性质，得111213A E AE a E F EF a ====，， 1106BE a =-，11E FA ∆∽1E BF ∆，则有11111E F E AE B EF =，即13210613a a a a=-，解得45a =，由此即得1645AD a ==． 【总结】考查翻折的性质与相似结合，可以把对应边之比转化为同一个三角形的边长之比．【例28】如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = 5，BC = 3，点D 、E 分别在BC 、AC 上，且BD = CE ，设点C 关于DE 的对称点为F ，若DF // AB ，则BD 的长为______．ABCD E F A 1E 118 / 31MFEDCBA【答案】1．【解析】延长DF 交AC 于M ， 由勾股定理，可得224AC AB BC =-=，90DFE C DMC A ∠=∠=︒∠=∠，，EFM ∴∆∽DCM ∆∽BCA ∆．3345EF DC BC EF BC EM MC AC EM AB ∴=====，． 设BD x =，则有CE EF x ==，53EM x =，3DC x =-，83MC x =，即有33843x x -=，解得：1x =，即1BD =． 【总结】相似三角形的性质可将两个相似三角形对应边之比转化为一个三角形中对应边长之比，便于计算．【例29】如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC = 8，BC = 6，CD AB ⊥于点D ．点P 从 点D 出发，沿线段CD 向点C 运动，点Q 从点C 出发，沿线段CA 向点A 运动，两点 同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P 运动到点C 时，两点都停止．设运动 时间为t 秒．（1）求线段CD 的长；（2）设CPQ ∆的面积为S ，求S 与t 之间的关系式，并确定运动过程中是否存在某一时 刻t ，使得:9:100CPQ ABC S S ∆∆=？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（3）当t 为何值时，CPQ ∆为等腰三角形？【答案】（1）245；（2）2248525S t t =-+， 1.8t =或3t =时，:9:100CPQ ABC S S ∆∆=；（3）125t =或14455t =或2411t =． 【解析】（1）根据勾股定理，可得2210AB AC BC =+=， 由直角三角形面积法，则有CD AB AC BC ⋅=⋅，解得：245CD =；（2）过点P 作PH AC ⊥交AC 于H ， 90PHC ACB ∠=∠=︒，CPH A ∠=∠， PHC ∴∆∽ACB ∆，PH PCAC AB∴=． ABCDPQH依题意可得CQ PD t ==，则245CP t =-， 代入即为：245810tPH -=， 解得：42449655525PH t t ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭．21149624822525525S QC PH t t t t ⎛⎫∴=⋅=-+=-+ ⎪⎝⎭，其中2405t ≤≤； 若存在某一时刻，使得:9:100CPQ ABC S S ∆∆=，则有224891685251002S t t =-+=⨯⨯⨯，整理得：2524270t t -+=，解得：12935t t ==，，均符合题意；（3）分类讨论：①CQ CP =，即245t t =-，解得：125t =； ②PQ CP =，根据等腰三角形的性质可得625QC CH CP ==，即得62455t t =-，解得：14455t =； ③CQ PQ =，同理②，可得52465t t =-， 解得：2411t =． 综上：当CPQ ∆为等腰三角形时，t 的值为125或14455或2411． 【总结】本题综合性较强，考查的知识点比较多，特别是由动点引起的等腰三角形的问题要注意分类讨论，解题方法比较多样，主要是抓住题目中的条件认真分析．20 / 31A B C【习题1】如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中ABC ∆ 相似的是（ ）A ．B ．C ．D ． 【难度】★ 【答案】B【解析】由已知ABC ∆，可得一钝角135ABC ∠=︒，夹这个钝角两边之比22AB BC =，三角形与ABC ∆相似，则必有一角135︒，且夹这个角两边长之比为22，只有B 选项满足． 【总结】相似三角形判定定理2可转化为一个三角形中的夹等角的两条边对应成比例．【习题2】如图，D 是ABC ∆的边AC 上一点，CBD ∠的平分线交AC 于点E ，AE = AB ，则长度为线段AD 、AC 长度比例中项的线段是______．【答案】AE 和AB ．【解析】AE = AB ，得ABE AEB ∠=∠，AEB C EBC ∠=∠+∠， 即得ABD DBE C EBC ∠+∠=∠+∠，BE 平分CBD ∠，即为DBE EBC ∠=∠，由此可得ABD C ∠=∠，又A A ∠=∠，即证ABD ∆∽ACB ∆，则有AD ABAB AC=，又AE = AB ，即得． 【总结】考查相似三角形的判定和性质的综合应用，先判定相似再应用性质，注意题目中一个条件的多种用途．【习题3】如图，在ABC ∆中，D 、F 是AB 的三等分点，DE // FG // BC ，分别交AC 于E 、随堂检测ABCDEG ．记ADE ∆、四边形DFGE 、四边形FBCG 的面积分别为1S 、2S 、3S ，则123::S S S =______．【答案】1:3:5．【解析】D 、F 是AB 的三等分点，即::1:2:3AD AF AB =， 由DE // FG // BC ，即可得222::1:2:3ADE AFG ABC S S S ∆∆∆=， 即()()112123::1:4:9S S S S S S +++=，得123::1:3:5S S S =． 【总结】考查相似三角形的面积比等于相似比的平方，再进行比例转化即可．【习题4】如图，D 是ABC ∆的边BC 上一点，已知AB = 4，AD = 2，DAC B ∠=∠，若ABD ∆的面积为a ，则ACD ∆的面积为______．【答案】13a ．【解析】由DAC B ∠=∠，C C ∠=∠，可得：BAC ∆∽ADC ∆，其相似比422AB k AD ===，由此可得：24BAC ADC S k S ∆∆==，则有3ABD ACD S S ∆∆=，即得：3ACD aS ∆=．【总结】考查相似三角形的面积比等于相似比的平方，再进行比例转化即可．【习题5】如图，矩形ABCD 中，AB = 3，BC = 4，动点P 从A 点出发，按A B C →→的方向在AB 和BC 上移动，记P A = x ，点D 到直线P A 的距离为y ，则y 关于x 的函数图像ABCDA BCD E FG22 / 31xy xy xy xy OOOO3 4 5 3 4 5 3 4 5 3 45 MEDC BA大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由运动轨迹可知，动点从A B →的过程中，D 到直线P A 的距离即为AD ，是一条与x 轴平行的直线，D 错误；动点从B C →的过程中，162APD ABCD S S ∆==矩形，即得162xy =，由此可得12y x=，D 直线的距离P A 函数是一段双曲线，可知正确答案是B ．【总结】动点问题，进行准确分段分解，化作一段线段上的运动情况即可．【习题6】如图，已知点D 是等腰直角三角形ABC 斜边BC 上的一点，BC = 3BD ，CE ⊥AD ， 则AECE=______．【答案】12．【解析】过点D 作DM AC ⊥交AC 于点M ， 则有//DM AB ，则CMD ∆为等腰直角三角形， 由CE AC ⊥，可得：ADM ∆∽ACE ∆．12AE AM AM BD CE DM CM CD ∴====． 【总结】考查相似三角形性质的应用，构造平行线即可得到相似．【习题7】在同一时刻，两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB = 2 m ，它的影 子BC = 1.6 m ，木竿PQ 的影子有一部分落在了墙上，PM = 1.2 m ，MN = 0.8 m ，则木竿PQ 的长度为______m ．【答案】2.3．A B CDPx yAB CPN MQHMNH G FED C BA【解析】如图有 1.2HN PM ==， 0.8PH MN ==，同一时刻影子与木杆长度所成比例相同，则有AB QHBC HN=，得： 1.5QH =，则 2.3PQ QH HP m =+=．【总结】影长问题转化为相似，同一时刻下相似比相同．【习题8】如图，点E 是矩形ABCD 的边BC 上一点，EF ⊥AE ，EF 分别交AC 、CD 于点M 、 F ，BG ⊥AC ，垂足为点G ，BG 交AE 于点H ． （1）求证：ABE ∆∽ECF ∆；（2）找出与ABH ∆相似的三角形，并证明；（3）若E 是BC 的中点，BC = 2AB ，AB = 2，求EM 的长．【答案】（1）略；（2）ECM ∆；（3）223． 【解析】（1）证明：EF AE ⊥，90AEB FEC ∴∠+∠=︒．90ABC ∠=︒ 90AEB BAE ∴∠+∠=︒ BAE FEC ∴∠=∠90ABE ECF ∠=∠=︒ ∴ABE ∆∽ECF ∆（2）由（1）BAE FEC ∠=∠，又90ABG GBC GBC BCG ∠+∠=∠+∠=︒ABG ECM ∴∠=∠ ∴ABH ∆∽ECM ∆（3）作MN BC ⊥交BC 于点N ， 则有//MN AB ，由BC = 2AB ，得2CN MN =，2BC AB BE CE ==，45AB BE AEB FEC ∴=∠=∠=︒，12EN MN CN ∴==，得1233EN EC ==，则2223EM EN ==． 【总结】考查“子母三角形”中相似的应用．【习题9】如图，在矩形ABCD 中，AB = 2，BC = 3，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 的各边上，EF // AC // HG ，EH // BD // FG ，求四边形EFGH 的周长．【答案】213．【解析】由EF // AC // HG ，EH // BD // FG ，可知四边形EFGH 是平行四边形，且EH AHBD AD=，ABCDEFGH24 / 31HG DH AC AD =，即得：1EH HGBD AC+=，由四边形是矩形，根据勾股定理可得2213AC BD AB BC ==+=，即有113EH HG+=，由此可得：13EH HG +=，故()2213EFGH C EH HG =+=．【总结】考查图形中的“A ”字型等基本图形的叠合应用，可进行比例转化得到一些特定的等量关系即可进行计算．【习题10】如图，在ABC ∆中，AB = AC ，AD ⊥BC 于点D ，BC = 10 cm ，AD = 8 cm ．点P 从点B 出发，在线段BC 上以每秒3 cm 的速度向点C 匀速运动，与此同时，垂直于AD 的直线m 从底边BC 出发，以每秒2 cm 的速度沿DA 方向匀速平移，分别交AB 、AC 、 AD 于E 、F 、H ，当点P 到达点C 时，点P 与直线m 同时停止运动，设运动时间为t 秒（t > 0）．（1）当t = 2时，连接DE 、DF ，求证：四边形AEDF 为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的PEF ∆的面积存在最大值，当PEF ∆的面积最大时， 求线段BP 的长；（3）是否存在某一时刻t ，使PEF ∆为直角三角形？若存在，请求出此时刻t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）略；（2）6；（3）280183t =或4017t =．【解析】（1）证明：当2t =时，24DH t AH ===．AB AC AD BC =⊥，， BD CD ∴=． //EF BC ，EH FH ∴=，∴四边形AEDF 是平行四边形，∵AD EF ⊥，∴四边形AEDF 是菱形． （2）//EF BC ，EF AE AHBC AB AD∴==． 由题意，可得：2DH t =，则有82AH t =-，即得：82108EF t-=． 5102EF t ∴=-+1003t ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭．()22115551021021022222PEF S EF DH t t t t t ∆⎛⎫∴=⋅=-+⋅=-+=--+ ⎪⎝⎭． A BCDEFmH由此可知2t =时，PEF ∆的面积有最大值，此时36BP t ==； （3）①90EPF ∠=︒，分别通过E 、F 向BC 作高，易得两个三角形相似，即有5324521034t tt t t t -=--，解得：280183t =； ②90EFP ∠=︒，过点F 向BC 作高，则有281035t t =-，解得：4017t =； ③90PEF ∠=︒，过点E 向BC 作高， 则有2835t t =，此时不存在；综上所述，280183t =或4017t =时，PEF ∆是直角三角形．【总结】本题是一道考查动点问题的综合题，难度较大，第（2）问中求面积最大值时，要运用配方的思想，第（3）问的直角三角形问题要注意分类讨论，求解时通过作高即可转化为“一线三直角”的基本模型进行求解．26 / 31ABCDE【作业1】如图，在ABC ∆中，DE // BC ，12AD DB =，则下列结论正确的是（ ） A ．12AE AC =B ．12DE BC =C ．13ADE ABC ∆=∆的周长的周长D ．13ADE ABC ∆=∆的面积的面积【答案】C【解析】12AD DB =，DE // BC ，可得两三角形相似，相似比13AD k AC ==，则其对应边、对应周长之比应为13，对应面积比为21139⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选C ．【总结】考查相似图形的性质，各个量之比与相似比的关系．【作业2】如图，在ABC ∆中，点D 和点E 分别在边AB 、AC 上，下列条件不能判定ABC ∆ ∽AED ∆的是（ ） A ．AED B ∠=∠ B ．ADE C ∠=∠C ．AD AC AE AB=D ．AD AE AB AC=【答案】D【解析】根据相似三角形判定定理1和判定定理2，可知ABC 都正确，故选D ． 【总结】考查相似三角形判定定理的应用，可将相似比转化为一个图形中对应边之比．【作业3】一副三角尺按如图所示的方式叠放，则AOB ∆与DOC ∆的面积之比课后作业A BCDEABCDO为____________．【答案】13．【解析】由90ABC BCD ∠=∠=︒，可得//AB DC ，则有AOB ∆∽COD ∆，由30D ∠=︒，可得3DC BC =，由AB BC =，可得：1333AB k BC ===，则有213AOB COD S k S ∆∆==． 【总结】考查特殊的直角三角形中的边角关系的转化．【作业4】如图，点D 、E 分别在ABC ∆两边AB 、AC 上，且AD = 31，DB = 29，AE = 30， EC = 32．若50A ∠=︒，则关系式“1ADE B ∠>∠；2AED C ∠=∠；3ADE C ∠>∠；4AED B ∠=∠”中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】由AD = 31，DB = 29，可得60AB AD DB =+=，由AE = 30，EC = 32，可得62AC AE EC =+=，则有AE ADAB AC =，又A A ∠=∠， 即得ADE ∆∽ACB ∆，则有ADE C ∠=∠，AED B ∠=∠，可知②③错误，④正确，同时根据“大边对大角”，可知ADE AED ∠<∠，可知①错误，即正确的只有④，故选A ．【总结】考查相似三角形的判定定理2和相关相似性质的结合应用，先判定再应用性质，结合“大边对大角”性质即可解决问题．【作业5】在ABC ∆中，P 是AB 上的动点（P 异于A 、B ），过点P 的一条直线截ABC ∆，使截得的三角形与ABC ∆相似，我们不妨称这种直线为过点P 的相似线．ABCDE。

相似三角形的判定压轴题型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一 相似三角形判定定理的识别】 (1)【考点二 相似三角形中有关直线个数的判断】 (2)【考点三 相似三角形判定定理的应用】 (2)【考点四 相似三角形的拓展提高】 (3)【过关检测】 (4)【典型例题】【考点一 相似三角形判定定理的识别】 ，那么添加一个条件后，仍不能判定ABC 与V A ．C ADE ∠=∠ B ．B D ∠=∠C ． AD DE = D ． AD AE = 【答案】C【分析】根据12∠=∠得到DAE BAC ∠=∠，结合选项根据三角形相似的判定逐个判断即可得到答案；【详解】解：∵12∠=∠，∴DAE BAC ∠=∠，若添加C AED ∠=∠或B D ∠=∠或AB AC AD AE =都可以得到ABC 与ADE V 相似，故A 、B 、D 不符合题意，若添加AB BC AD DE =，不能得到ABC 与ADE V 相似， 故选：C ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．【变式1】下列命题中假命题是（ ） A ．任意两个等腰直角三角形都相似B ．任意两个含36°内角的等腰三角形相似C ．任意两个等边三角形都相似D ．任意两个直角边之比为1:2的直角三角形相似【答案】B【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．【详解】解：A.任意两个等腰直角三角形中三组对应角均相等，符合相似三角形的判定条件，故相似，都相似B. 任意两个含36°内角的等腰三角形中没有确定顶角或底角，故不一定相似C. 等边三个角都相等，故两三角形相似；D. 任意两个直角边之比为1:2的直角三角形，符合相似三角形判定的条件，故相似故选：B【点睛】本题考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和 【变式2】如图，在ABC 中，72ABC C BDC AED ∠=∠=∠=∠=.则图中相似三角形共有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对【答案】C 【分析】首先算出三角形中角的度数，即可得到答案．【详解】解：72ABC C BDC AED ∠=∠=∠=∠=，180180727236ABC C A =︒−∠−∠=︒−︒−︒=︒∴∠，180180367272ADE A AED =︒∴∠=︒−∠−∠=︒−︒−︒，180180727236DBC C BDC ∴∠=︒−∠−∠=︒−︒−︒=︒，AED ABC ∠=∠，//ED BC ∴，36EDB DBC ∴∠=∠=︒，1801803636108BED EBD EDB ∴∠=−∠−∠=−︒−︒=︒，180180727236DBC C BDC ∴∠=︒−∠−∠=︒−︒−︒=︒，7236108ADB ADE EDB ∠=∠+∠=︒+︒=︒， AED ABD ∠=∠，ADE ACB ∠=∠，AED ABC \，AED C ∠=∠，ADE BDC ∠=∠，AED BCD ∴，ABD C ∠=∠，ACB BDC ∠=∠，BCD ABC ∴，A EBD ∠=∠，ADB BED ∠=∠，EBD DAB ∴．故相似的三角形对数为4对：故选：C ．【考点二 相似三角形中有关直线个数的判断】 【例题2】如图，P 是Rt ABC △的斜边BC 上异于B 、C 的一点，过点P 作直线截Rt ABC △，使截得的三角形与Rt ABC △相似，则过点P 满足这样条件的直线最多有条（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】过点P 作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．【详解】解：由于ABC 是直角三角形，过P 点作直线截ABC ，则截得的三角形与ABC 有一公共角，所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt ABC △相似，如图，过点P 可作AB 的垂线、AC 的垂线、BC 的垂线，共3条直线．故选：C ．【点睛】本题主要考查三角形相似判定定理及其运用，运用两角法(有两组角对应相等的两个三角形相似)来判定两个三角形相似是解题关键． 【变式1】ABC 中，D 是AB 上的一点，再在AC 上取一点E ，使得ADE V 与ABC 相似，则满足这样条件的E 点共有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个【答案】C【分析】ADE V 与ABC 中，有公共角A ∠，因此只要作ADE B ∠=∠或ADE C ∠=∠，即可得出两三角形相似．【详解】解：根据题意得：当DE BC ∥时，ADE ABC △△∽；当ADE C ∠=∠时，由A A ∠=∠，可得ADE ACB ∽．所以有2个．故选：C ．【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 【变式2】在三边都不相等的ABC 的边AB 上有一点D ，过点D 画一条直线，与三角形的另一边相交所截得的三角形与ABC 相似，这样的直线最多可以画（ ）A ．5条B ．4条C ．3条D ．2条【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定定理，即可求解．【详解】解：如图，画直线DE BC ∥交AC 于点E ，则ADE ABC △△∽；如图，画直线DE 交AC 于点E ，使AED B ∠=∠，∵A A ∠=∠，∴AED ABC ∽△△； 如图，画直线∥DE A C 交BC 于点E ，则BDE BAC △△∽；如图，画直线DE 交BC 于点E ，使BED A ∠=∠，∵B B ∠=∠，∴BDE BCA ∽；∴这样的直线最多可以画4条．故选：B【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．【考点三 相似三角形判定定理的应用】 【例题3】在ABC 中，90ACB ∠︒＝，用直尺和圆规在AB 上确定点D ，使ACD CBD △∽△，根据作图痕迹判断，正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据ACD CBD △∽△，可得90CDA BDC ∠=∠=︒，即CD 是AB 的垂线，根据作图痕迹判断即可．【详解】解：当CD 是AB 的垂线时，ACD CBD △∽△．CD AB ⊥，90CDA BDC ∴∠=∠=︒，90ACB ∠=︒，90A ACD ACD BCD ∴∠+∠=∠+∠=︒，A BCD ∴∠=∠，ACD CBD ∴△∽△．根据作图痕迹可知，A 选项中，CD 是ACB ∠的角平分线，不符合题意；B 选项中，CD 不与AB 垂直，不符合题意；C 选项中，CD 是AB 的垂线，符合题意；D 选项中，CD 不与AB 垂直，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．【变式1】如图，在ABC 中，78,6,9A AB AC ∠=︒==．将ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据相似三角形的判定定理：有两角对应相等的两个三角形相似；有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可．【详解】A 、有两边对应边成比例但是夹角不相等，故两三角形不相似，符合题意，B 、633972−=−，9362=，A A ∠=∠，两三角形有两边对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意，C 、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意，D 、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，，故两三角形相似，不符合题意，故选：A ．【点睛】本题考查相似三角形的判定，两组角对应相等，两个三角形相似；两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似；三组边对应成比例，两个三角形相似．【变式2】如图，在ABC 中，AB AC =，点D 为线段BC 上一动点（不与点B ，C 重合），连接AD ，作40ADE B ∠=∠=︒，DE 交线段AC 于点E ．下面是某学习小组根据题意得到的结论：甲同学：ABD DCE △△；乙同学：若AD DE =，则BD CE =；丙同学：当DE AC ⊥时，D 为BC 的中点．则下列说法正确的是（ ）A ．只有甲同学正确B ．乙和丙同学都正确C ．甲和丙同学正确D ．三个同学都正确【答案】D 【分析】在ABC 中，依据三角形外角及已知可得BAD CDE ∠=∠，结合等腰三角形易证ABD DCE △△；结合AD DE =，易证ABD DCE ≌△△，得到BD CE =；当DE AC ⊥时，结合已知求得50EDC ∠=︒，易证AD BC ⊥，依据等腰三角形“三线合一”得BD CD =【详解】解：在ABC 中，AB AC =，40C B ∴∠=∠=︒，B BAD CDE ADE ∠+∠=∠+∠，40ADE B ∠=∠=︒，BAD CDE ∴∠=∠，ABD DCE ∴~，甲同学正确；C B ∠=∠，BAD CDE ∠=∠，AD DE =，ABD DCE ∴≌，BD CE ∴=，乙同学正确；当DE AC ⊥时，90DEC ∴∠=︒，9050EDC C ∴∠=︒−∠=︒，90ADC ADE EDC ∴∠=∠+∠=︒，AD BC ∴⊥，AB AC =，BD CD ∴=，D 为BC 的中点，丙同学正确；综上所述：三个同学都正确故选：D ．【点睛】本题考查了三角形外角、相似三角形的判定、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质；解题的关键是通过“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”得到BAD CDE ∠=∠．【考点四 相似三角形的拓展提高】【答案】3【分析】根据矩形性质得到OA OB OC ==，利用三角形的三线合一得AE EB =，过O 作OQ AB 交EF 于点Q ，则有OQF AEF ∽，OQP BEP ∽，计算即可．【详解】解：∵ABCD 是矩形，∴OA OB OC ==，∵F 是OC 的中点，∴1122OF OC OA ==，又∵OA OB =，OE AB ⊥∴AE EB =，过O 作OQ AB 交EF 于点Q ，∴OQF AEF ∽，OQP BEP ∽， ∴13OP OQ OQ OF PB BE AE OA ====， 故答案为：13．【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，作辅助线构造三角形相似是解题的关键． A ．22B ．【答案】C 【分析】如图，连接CA '，过点G 作GT AD ⊥于点T ，然后设=AB x ，AD y =， =BF k ， =2GC k ，得出1==2AE DE y ，由翻折的性质知1==2AE EA y '，==BF FB k '，=AEF GEF ∠∠，求出==EG FG y k −3，接着推出CG GA CF FB =''，求出1=2ET k ，532EG k k k ＝﹣＝，最后利用勾股定理求出AB ，即可得出结果． 【详解】如图，连接CA '，过点G 作GT AD ⊥于点T ，设=AB x ，AD y =，12BF GC =，设=BF k ，则=2GC k ，点E 是AD 中点，∴1==2AE DE y ，由翻折的性质知1==2AE EA y'，==BF FB k'，=AEF GEF∠∠，//AD CB，∴=AEF EFG∠∠，∴=GEF GFE∠∠，∴==EG FG y k−3，∴()11=3322GA y y k k y'−−=−，C，A'，B'共线，//GA FB''，∴CG GACF FB=''，∴1322k yky k k−=−，∴227100y y k−+=，∴2y k=（舍去）或=5y k，∴5==2AE DE k，四边形CDTG是矩形，∴==2CG DT k，1=2ET k，∴532EG k k k＝﹣＝，∴==AB CD GT=，∴ADAB=．故答案为：C．【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、平行线分段成比例及勾股定理等知识，学会利用参数构建方程解决问题是解题的关键．【变式2】30．已知：如图，ABC是以AB，BC为腰的等腰直角三角形，现将ABC绕点A逆时针旋一个角度α得到Rt ADE△，连接BD，CE．(1)如图1，当045α︒<<︒时，求证：ABD ACE ∽．(2)如图2，当45α=︒时，点E 在AB 的延长线上，延长DB 交CE 于点F ，求证：BCF FBC ∠=∠．(3)如图3，当4590α︒<<︒时，延长DB 交CE 于点F ，求证：F 是CE 的中点．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据旋转的性质得到AD AB =，AE AC =，BAD CAE ∠=∠，进而得到AD AB AE AC =，问题得证； （2）如图，根据等腰直角三角形性质得到45BAC BCA ∠=∠=︒，根据旋转的性质得到AD AB =，AE AC =，45DAE BAC ∠=∠=︒，进而得到4267.5∠=∠=︒，即可求出45BFE ∠=︒，再求得22.5BCF ∠=︒，22.5FBC ∠=︒即可得证；（3）如图，过点E 作EM DF ⊥于点M ，过点C 作CN DF ⊥，交DF 的延长线于点N ，先证明DEM BCN △≌△，由全等三角形的性质得到EM CN =，进而证明FEM FCN △≌△，即可证明EF CF =．【详解】（1）证明：∵将ABC 绕点A 逆时针旋一个角度α得到Rt ADE △，∴AD AB =，AE AC =，BAD CAE ∠=∠，∴AD AB AE AC =， ∴ABD ACE ∽．（2）证明：如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，AB BC =，则45BAC BCA ∠=∠=︒，由旋转的性质可知：AD AB =，AE AC =，45DAE BAC ∠=∠=︒，∴1267.5∠=∠=︒，367.5ACE ∠=∠=︒，∴2467.5∠=∠=︒，∴1803445BFE ∠=︒−∠−∠=︒，∴135BFC ∠=︒．∵67.54522.5BCF ACE ACB ∠=∠−∠=︒−︒=︒，∴在BFC △中，180********.522.5FBC BFC FCB ∠=︒−∠−∠=︒−︒−︒=︒，∴BCF FBC ∠=∠．（3）证明：如图，过点E 作EM DF ⊥于点M ，过点C 作CN DF ⊥，交DF 的延长线于点N ，∴90DME EMF BNC ∠=∠=∠=︒．由旋转的性质可知：DE BC =，AD AB =，90ADE ABC ∠=∠=︒，∴12∠=∠，1490∠+∠=︒，2318090ABC ∠+∠=︒−∠=︒，∴3=4∠∠，∴()AAS DEM BCN ≌△△，∴EM CN =，又∵56∠=∠，90EMF CNF ∠=∠=︒，∴()AAS FEM FCN ≌△△，∴EF CF =，即F 是CE 的中点．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定等知识，综合性较强，熟知相关知识并根据题意添加辅助线是解题关键．【过关检测】 1.如图，根据图中给出的数据，一定能得到（ ）AED CED ∽ B ．ABE ACB ∽ C ．ABC EDC ∽ D ．AED CBA ∽【答案】C【分析】先根据题意，推出BC AC CD CE =，再根据相似三角形的判定条件即可得到答案． 【详解】解：4BE =，18CE = ，21AD =，12CD =，22BC BE CE ∴=+=，33AC AD CD =+=，2211126BC CD ==，3311186AC CE ==，BC AC CD CE ∴=，ACB ECD ∠=∠，ABC EDC ∴∽，故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定条件是解题关键．2.如图，在ABC 中，AG 平分BAC ∠，点D 在边AB 上，线段CD 与AG 交于点E ，且ACD B ∠=∠，下列结论中，错误的是（ ）A ．ACD ABC △△∽B ．ADE ACG ∽C ．ACE ABG ∽△△ D ．ADE CGE ∽△△【答案】D【分析】由ACD B ∠=∠，DAC CAB ∠=∠，可直接证明ACD ABC △△∽，即可判断A ；由角平分线的定义得出DAE CAG ∠=∠，再结合三角形外角的性质即可得出AED AGC ∠=∠，从而可证ADE ACG ∽，即可判断B ；由CAE BAG ∠=∠，ACD B ∠=∠，可直接证明ACE ABG ∽△△，即可判断C ；没有条件证明ADE CGE ∽△△，即可判断D ．【详解】∵ACD B ∠=∠，DAC CAB ∠=∠，∴ACD ABC △△∽，故A 正确，不符合题意；∵AG 平分BAC ∠，∴DAE CAG ∠=∠．∵AED CAG ACD ∠=∠+∠，AGC DAE B ∠=∠+∠，∴AED AGC ∠=∠，∴ADE ACG ∽，故B 正确，不符合题意；∵CAE BAG ∠=∠，ACD B ∠=∠，∴ACE ABG ∽△△， 故C 正确，不符合题意； 在ADE V 和CGE 中只有AED CEG ∠=∠，不能证明ADE CGE ∽△△，故D 错误，符合题意． 故选D ．【点睛】本题考查三角形相似的判定，角平分线的定义，三角形外角的性质．掌握三角形相似的判定定理是解题关键． 3. 如图，ABC 的高AD ，BE 相交于点O ，写出一个与ACD 相似的三角形，这个三角形可以是 ．【答案】AOE △（答案不唯一）【分析】根据已知条件得90ADC AEO ∠=∠=︒，CAD OAE ∠=∠，推出ACD AOE ∼，其他同理.【详解】解： ACD AOE ∼；证明：∵ABC 的高AD ，BE 相交于点O ，∴90ADC AEO ∠=∠=︒，∵CAD OAE ∠=∠，∴ACD AOE ∼；故答案为：AOE △（答案不唯一）.【点睛】本题考查相似三角形的判定，三角形的高的定义，解题的关键是掌握有两角对应的两个三角形相似. 4．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，中线AD BE 、相交于点O ．若4AC =，3CB =，则OB 的长为 ．【分析】先运用勾股定理求出BE ，再根据三角形的中位线得到12DE AB DE AB =，，进而得到ODE OAB ∽解题即可．【详解】解：∵E 为AC 的中点，∴122CE AC ==∴BE =连接ED ，则ED 是ABC 的中位线，∴12DE AB DE AB =，， ∴OED EBA ∠=∠，ODE DAB ∠=∠，∴ODE OAB ∽∴12OE DE OB AB ==，∴23OB BE ==【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 5. 如图，在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的高，DE BC ⊥于点E ．除Rt ABC △自身外，图中与Rt ABC △相似的三角形的个数是 ．【答案】4【分析】根据CD 是斜边AB 上的高，DE BC ⊥于点E ，得90CDA CDB ∠=∠=︒，90CED BED ∠=∠=︒，再根据相似三角形的判定，即可．【详解】∵CD 是斜边AB 上的高，DE BC ⊥于点E ，∴90CDA CDB ∠=∠=︒，90CED BED ∠=∠=︒，在Rt ABC △和Rt ACD △中，∵90A A ADC ACB ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩，∴Rt Rt ABC ACD ；在Rt ABC △和Rt CBD △中，∵B B CDB ACB ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，∴Rt Rt ABC CBD ；∵DE BC ⊥，∴AC DE ∥，∴Rt Rt ABC DBE ；∵A B ∠∠=︒+90，90B DCB ∠+∠=︒，∴A DCB ∠=∠，在Rt ABC △和Rt CDE △中，A DCB ACB CED ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，∴Rt Rt ABC CDE ；∴图中与Rt ABC △相似的三角形有4个．故答案为：4．【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 6．在如图所示的格点图中有5个格点三角形，分别是：①ABC ，②ACD ，③ADE V ，④AEF △，⑤AGH ，其中与⑤相似的三角形是 （只填序号）．【答案】①③/③①【详解】解：设每个小正方形的边长为1，则①ABC 的各边长分别为1②ACD 的各边长分别为1③ADE V 的各边长分别为2、④AEF △的各边长分别为6；⑤AGH 2∴ABC AGH V V ∽，ADE AGH V V ∽， 故答案为：①③．【点睛】此题主要考查学生对三组对应边的比相等的两个三角形相似的运用．正确掌握网格中求线段长度的方法及掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．7．如图，在ABC 中，AB AC >，过AC 边上一点D 作直线DE 交AB 边于点E ，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可以作 条．【答案】2【分析】本题可分2种情况：①作ADE ABC =∠∠，则ADE ABC △△∽，因此DE 符合所求直线的要求；②依据预备定理，过D 作DE BC '∥，那么DE '符合所求直线的要求．【详解】解：如图；①作ADE ABC =∠∠；∵ADE ABC =∠∠，A A ∠=∠，∴ADE ABC △△∽； ②作DE BC '∥．∵DE BC '∥，∵AE D ABC '∠=∠，A A ∠=∠∴AE D ABC '∽因此共有2种作法，故答案为：2．【点睛】此题考查了相似三角形的判定．①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．与CMN 相似【答案】2或4/4或2【分析】根据AE EB =，AED △中2AD AE =，所以在MNC 中，分CM 与AE 和AD 是对应边两种情况利用相似三角形对应边成比例求出CM 与CN 的关系，然后利用勾股定理列式计算即可．【详解】解：AE EB =，2AD AE ∴=，又AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似，∴分两种情况：①CM 与AD 是对应边时，2CM CN =，22220CM CN MN ∴+==，即221204CM CM +=，解得：4CM =；②CM 与AE 是对应边时，1CM CN ，22220CM CN MN ∴+==，即22420CM CM +=，解得：2CM =．综上所述：当CM 为4或2时，AED △与CMN 相似．故答案是：4或2．【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定；利用相似三角形对应边成比例的性质和直角三角形勾股定理求解是解题的关键．9．如图，在ABC 中，P 为AB 上的一点，补充条件，能使APC ACB V :V ，这个条件可以是 ．（写出一个即可）【答案】ACP B ∠=∠（答案不唯一）【分析】APC 和ACB 有公共角A ∠，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似解答即可．【详解】解：PAC CAB ∠=∠，∴当ACP B ∠=∠时，APC ACB V :V ，故答案为：ACP B ∠=∠（答案不唯一）【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．充分利用APC ∆和ACB ∆的公共角是关键．．如图，在ABC 中，点中的一个，不能得出ABC 和△【答案】③【分析】根据相似三角形的判定定理可得结论．【详解】解：①2A ∠=∠，C C ∠=∠时，ABC BDC ∆∆∽，故①不符合题意；②1CBA ∠=∠，C C ∠=∠时，ABC BDC ∆∆∽，故②不符合题意；③BC CD AC AB =，C C ∠=∠时，不能推出ABC BDC ∆∆∽，故③符合题意； ④BC CD DB AC BC AB ==，C C ∠=∠时，ABC BDC ∆∆∽，故④不符合题意， 故答案为：③【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握两组对应边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；有两角对应相等的两个三角形相似．11．如图，点E 在▱ABCD 的边CD 的延长线上，连接BE 分别交AD 、AC 于F 、G ．图中相似的两个三角形共有 对．答案】6 【分析】根据平行四边形的性质及相似三角形的判定方法进行分析即可．【详解】解：∵ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC ，AB ∥DC∵△ABG ∽△CEG ，△AGF ∽△CGB ，△EFD ∽△EBC ，△ABF ∽△DEF ，△ABF ∽△EBC 五对，还有一对特殊的相似即△ABC ≌△ADC ，∴共6对．故答案为：6．【点睛】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握三角形的判断方法，属于中考常考题型．在ABC 中，【答案】见解析【分析】作BAC ∠的平分线，交BC 边于点M ，此时CMA CAB ∠=∠．【详解】解：点M 即为所作，∵AM 平分BAC ∠，∴BAM CAM ∠=∠，∵2BAC B ∠=∠，∴B CAM ∠=∠，∵MCA ACB ∠=∠，∴~CMA CAB ．【点睛】本题考查了作角平分线，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键． 13．如图，已知正方形ABCD 中，BE 平分DBC ∠且交CD 边于点E ，将BCE 绕点C 顺时针旋转到DCF 的位置，并延长BE 交DF 于点G ．求证：(1)BDG DEG ∽；(2)BG DF ⊥．【分析】（1）先判断出FDC EBC ∠=∠，再利用角平分线判断出FDC EBC ∠=∠，即可得出结论；（2）由三角形的内角和定理可求90DGE BCE ∠=∠=︒，可得结论．【详解】（1）证明：由旋转可知：BCE DCF ≅，FDC EBC ∴∠=∠．BE 平分DBC ∠，DBE EBC ∠=∠∴，FDC DBE ∴∠=∠，DGE DGB ∠=∠，BDG DEG ∴∽；（2）证明：EBC GDE ∠=∠，BEC DEG ∠=∠，90DGE BCE ∴∠=∠=︒．BG DF ∴⊥．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．14．如图，在AEC △中，B 为EC 上一点，且满足ABD C E ∠=∠=∠．(1)求证：AEB BCD ；(2)当AE BD ∥时，30C ∠=︒，10CD =，求AD 的长．【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）由三角形外角的性质和角的和差可得ABC ABD DBC E EAB ∠=∠+∠=∠+∠，再结合ABD E ∠=∠可得DBC EAB ∠=∠，然后结合C E ∠=∠运用两组对应角相等的三角形是相似三角形即可证明结论；（2）先根据直角三角形的性质可得152DH CD ==，再根据平行线的性质、等量代换可得30DBC C ABD ∠=∠=∠=︒，即BD 是ABC ∠的角平分线、60C ABD DBC ︒=+∠=∠∠，进而说明90BAD ∠=︒，最后根据角平分线的判定定理即可解答．【详解】（1）解：∵ABC ABD DBC E EAB ∠=∠+∠=∠+∠，ABD E ∠=∠，∴DBC EAB ∠=∠，∵C E ∠=∠，∴AEB BCD ．（2）解：作 DH BC ⊥ 于 H ．∵30C ∠=︒，10CD =，∴152DH CD ==，∵AE BD ∥，∴ CBD E ∠=∠，∵C E ∠=∠∴30DBC C ABD ∠=∠=∠=︒，即BD 是ABC ∠的角平分线，∴60C ADB DBC ︒=+∠=∠∠，∵30ABD ∠=︒∴90BAD ∠=︒,∵BD 是ABC ∠的角平分线，DA BA ⊥，DH BC ⊥，∴5DA DH ==．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定、三角形外角的性质、平行线的性质、角平分线的判定定理、30度所对的直角边等于斜边的一半等知识点，灵活运用相关判定、性质定理是解答本题的关键． ，ABC 为等边三角形， (1)求证：ABD DCE ∽△△； (2)如图2，当D 运动到BC 的中点时，求线段CE 的值；【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得到BAD CDE ∠=∠，再利用两角相等的三角形相似求解．（2）由题意易得AD BC ⊥，1102BD CD BC ===，然后可得30∠=︒CDE ，进而根据含30度直角三角形的性质可进行求解．【详解】（1）证明：三角形ABC 是等边三角形， 60B C ∠=∠=︒∴，ADC B BAD ∠=∠+∠，ADC ADE CDE ∠=∠+∠，B BAD ADE CDE ∴∠+∠=∠+∠，ADE B ∠=∠，BAD CDE ∴∠=∠，B C ∠=∠，ABD DCE ∴∽；（2）解：ABC 是等边三角形，点D 是BC 中点，AD BC ∴⊥，1102BD CD BC ===， 90ADC ∴∠=︒，60ADE ∠=︒，30CDE ∴∠=︒，60C ∠=︒，90DEC ∴∠=︒，152CE CD ∴==．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定、等边三角形的性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定、等边三角形的性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键． 边上一点，BCE 沿BE (1)求证：ABFDFE ； (2)若2sin 3DFE ∠=，6AF =【答案】(1)见解析(2)9【分析】（1）根据矩形的性质可知90A D ∠=∠=︒，在ABF △中可得90ABF AFB ∠+∠=︒，再由90BFE ∠=︒可得90AFB DFE ∠+∠=︒，进而可得ABF DFE =∠∠即可证明结论；（2）由ABFDFE 可得DFE ABF ∠=∠，然后说明2sin sin 3ABF DFE ∠=∠=可得23AF BF =，然后将6AF =代入计算即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴90A D ∠=∠=︒．在ABF △中，90ABF AFB ∠+∠=︒，∵90BFE ∠=︒，∴90AFB DFE ∠+∠=︒，∴ABF DFE =∠∠，∴ABF DFE ．（2）解：∵ABF DFE ， ∴DFE ABF ∠=∠， ∵2sin 3DFE ∠=，6AF =， ∴2sin sin 3ABF DFE ∠=∠=， ∴23AF BF =， ∴623BF =，∴9BF =．【点睛】本题主要考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的概念等知识点，掌握有两个角相等的两个三角形相似是解题的关键． 18．如图1，在ABC 中，AC BC =，将线段CB 绕点C 逆时针旋转90︒，得到线段CD ，连接AD ，BD ．(1)求BAD ∠的度数；【答案】(1)45︒(2)①见解析；②见解析【分析】（1）由等腰三角形的性质及旋转的性质得902BAC α∠=︒−，452CAD α∠=︒−，即可得BAD ∠的度数；（2）①由题意可得45CBD BAD ∠=∠=︒，由等腰三角形的性质可得∠=∠ACE DCE ，CE AD ⊥，进而可得45AEC ∠=︒，可证()SAS ACE DCE △≌△，易得45DEC AEC ∠=∠=︒，可得90AED BCD ∠=∠=︒，可证结论；②延长ED 至G ，使得DG BC =，先证CBE CDG ∠=∠，进而可证()SAS CBE CDG △≌△，可得45BEC G ∠=∠=︒，CEG 是等腰直角三角形，可得结论．【详解】（1）解：设ACB α∠=，∵AC BC =，∴180********ACB BAC ABC αα︒−∠︒−∠=∠===︒−， 由旋转可知，90BCD ∠=︒，AC BC DC ==，∴90ACD α∠=︒+∴1804522DCA CAD CDA α︒−∠∠=∠==︒−，∴45BAD BAC CAD ∠=∠−∠=︒；（2）①证明：∵AC BC DC ==，90BCD ∠=︒，∴45CBD BAD ∠=∠=︒，又∵CE 平分ACD ∠，∴∠=∠ACE DCE ，CE AD ⊥，则90AFE ∠=︒∴45AEC ∠=︒，又∵CE CE =，∴()SAS ACE DCE △≌△，∴45DEC AEC ∠=∠=︒，∴90AED BCD ∠=∠=︒，∴BCD AED ∽；②证明：延长ED 至G ，使得DG BE =，∵AC BC DC ==，∴BAC ABC ∠=∠，由①知ACE DCE ≌，∴EAC EDC ∠=∠，∴ABC EDC ∠=∠，∴CBE CDG ∠=∠，∴()SAS CBE CDG △≌△，∴45BEC G ∠=∠=︒，∴CEG 是等腰直角三角形，∴EG DE DG DE BE =+=+，DE BE =+．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，等腰三角形的性质，旋转的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．。

1．如图，在△ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，AE＝AB，连接EM并延长，交BC的延长线于D，则＝（）A．B．2C．D．【解答】解：如图，过C点作CP∥AB，交DE于P，∵PC∥AE，∴△AEM∽△CPM，∴＝，∵M是AC的中点，∴AM＝CM，∴PC＝AE，∵AE＝AB，∴CP＝AB，∴CP＝BE，∵CP∥BE，∴△DCP∽△DBE，∴＝＝，∴BD＝3CD，∴BC＝2CD，即＝2．故选：B．2．如图，在△ABC中，点D在线段BC上，∠B＝∠DAC，AC＝8，BC＝16，那么CD（）A．4B．6C．8D．10【解答】解：∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C，∴△ABC∽△DAC，∴＝，∴AC2＝CD×BC，即82＝CD×16，解得：CD＝4；故选：A．【知识梳理1】比例线段平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。

推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。

定理推论：①平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。

②平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

【例题精讲】1．如图，用图中的数据不能组成的比例是（）A．2：4＝1.5：3B．3：1.5＝4：2C．2：3＝1.5：4D．1.5：2＝3：4【解答】解：A、2：4＝1：2＝1.5：3，能组成比例，错误；B、3：1.5＝2：1＝4：2，能组成比例，错误；C、2：3≠1.5：4；不能组成比例，正确；D、1.5：2＝3：4，能组成比例，错误；故选：C．2．如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若AB＝4.5，BC ＝3，EF＝2，则DE的长度是（）A．2B．3C．5D．6【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴＝，∵AB＝4.5，BC＝3，EF＝2，∴＝，解得：DE＝3，故选：B．3．如图，AB∥CD∥EF，则下列结论正确的是（）A．B．C．＝D．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，＝，∴选项A、C、D不正确，选项B正确；故选：B．4．如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD ＝3，DF＝（）A．7B．7.5C．8D．4.5【解答】解：∵直线a∥b∥c，∴＝，即＝，∴DF＝．故选：D．5．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交直线l1、l2、l3于点A、B、C，直线DF分别交直线l1、l2、l3于点D、E、F，直线AC、DF交于点P，则下列结论错误的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，A正确，不符合题意；＝，B正确，不符合题意；＝，C错误，符合题意；＝＝，∴＝，D正确，不符合题意；故选：C．6．如图，在△ABC中，AD∥BC，点E在AB边上，EF∥BC，交AC边于点F，DE交AC边于点G，则下列结论中错误的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵EF∥BC∴，∴答案A正确；根据合比性质，则有即：，∴答案D正确；又∵AD∥EF∴，∴答案B正确；而，∴答案C错误．故选：C．7．如图，如果l1∥l2∥l3，那么下列比例式中，错误的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，＝，∴＝，故选：D．8．已知，在△ABC中，点D为AB上一点，过点D作DE∥BC，DH∥AC分别交AC、BC于点E、H，点F 是BC延长线上一点，连接FD交AC于点G，则下列结论中错误的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【解答】解：∵DE∥BC，DH∥AC，∴四边形DECH是平行四边形，∴DH＝CE，DE＝CH，∵DE∥BC，∴＝＝，故选项A正确，不符合题意，∵DH∥CG，∴＝＝，故C正确，不符合题意，∵DE∥BC，∴＝，∴＝，故D正确，不符合题意，故选：B．【课堂练习】1．如图，已知l3∥l4∥l5，它们依次交直线l1、l2于点E、A、C和点D、A、B，如果AD＝2，AE＝3，AB＝4，那么CE＝（）A．6B．C．9D．【解答】解：∵l3∥l4∥l5，∴＝，即＝，解得，AC＝6，则CE＝AE+AC＝9，故选：C．2．如图．AB∥CD∥EF，AF、BE交于点G，下列比例式错误的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、由AB∥CD∥EF，则，所以A选项的结论正确；B、由AB∥CD∥EF，则，所以B选项的结论正确；C、由AB∥CD∥EF，则，所以C选项的结论正确；D、由AB∥CD∥EF，则，所以D选项的结论错误；故选：D．3．如图所示，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴，∴A选项正确，故选：A．4．如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：5，那么CF：FB＝（）A．5：8B．3：8C．3：5D．5：3【解答】解：∵AD：DB＝3：5，∴BD：AB＝5：8，∵DE∥BC，∴CE：AC＝BD：AB＝5：8，∵EF∥AB，∴CF：CB＝CE：AC＝5：8．∴CF：FB＝5：3，故选：D．5．如图，l1∥l2，AF：FB＝3：5，BC：CD＝3：2，则AE：EC＝（）A．5：2B．4：3C．2：1D．3：2【解答】解：∵l1∥l2，∴＝＝，设AG＝3x，BD＝5x，∵BC：CD＝3：2，∴CD＝BD＝2x，∵AG∥CD，∴＝＝＝．故选：D．6．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【解答】解：∵GE∥BD，GF∥AC，∴＝，＝，∴＝．故选：D．7．如图，l1∥l2∥l3，AC、DF交于点O，则下列比例中成立的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、∵l1∥l2∥l3，∴，正确；B、∵l1∥l2∥l3，∴，错误；C、∵l1∥l2∥l3，∴，错误；D、∵l1∥l2∥l3，∴，错误；故选：A．8．如图，若l1∥l2∥l3，则下列各式错误的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴，，，故选：D．【知识梳理2】相似三角形的性质和判定相似三角形的性质：(1)对应角相等；(2)对应边成比例；(3)相似三角形的周长比等于相似比；(4)相似三角形的面积比等于相似比的平方。