沪教版 九年级数学 暑假同步讲义 第9讲 相似三角形的章节复习(解析版)

相似三角形·基本知识讲义知识点一：放缩与相似1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。

2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。

注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。

⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。

⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。

注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1.比：选用同一长度单位量得两条线段。

a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或nm b a =） 2.比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。

a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。

说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。

3.比例：两个比相等的式子叫做比例，如d c b a = 4.比例外项：在比例dc b a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。

5.比例内项：在比例dc b a =（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。

6.第四比例项：在比例dc b a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。

7.比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为ab b a =（或a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。

8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dc b a =（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）（2）比例性质1.基本性质:bc ad d c b a =⇔= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质： cd a b d c b a =⇒= (把比的前项、后项交换) 3.更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a b c d a c d c b d ba dbc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项4.合比性质：d d c b b a d c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变）． 注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ，那么b a n f d b m e c a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．知识点三：黄金分割1）定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果AC BC AB AC =即AC 2=AB ×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。

沪科版九上数学图形的相似 知识点总结知识点一1.相似图形：把具有相同形状的图形称为相似图形。

2.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边成比例。

知识点二：比例线段1.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dc b a =（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）2.比例性质的基本性质: bc ad d c b a =⇔= （两外项的积等于两内项积）3.更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a b c d a c d c b d b ad b c a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项4.合比性质：dd c b b a d c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变） 5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果)0(≠++++====n f d b n m fe d c b a ，那么ba n f db m ec a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．知识点三：黄金分割1. 定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果AC BC AB AC =，即AC 2=AB×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。

其中AB AC 215-=≈0.618AB 。

知识点四：相似三角形1.相似三角形：两个三角形中，如果三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。

如△ABC 与△DEF 相似，记作△ABC ∽△DEF 。

专题04 相似三角形的判定（基础）【目标导向】1、了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法及判定方法；2、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.【知识点梳理】要点一、相似三角形在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.要点诠释：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.要点二、相似三角形的判定定理1．判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.3．判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.4．判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.要点三、相似三角形的常见图形及其变换：【精讲例题】类型一、相似三角形1. 下列能够相似的一组三角形为( ).A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形D.所有的一边和这边上的高相等的三角形【答案】C【解析】A中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知；B中什么条件都不满足；D中只有一条对应边的比相等；C中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且对应边的比也相等.答案选C.【总结升华】根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等.举一反三：【变式】给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的有（填序号）．【答案】①②④⑤.类型二、相似三角形的判定2. 如图所示，已知中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.【思路点拨】充分利用平行寻找等角，以确定相似三角形的个数.【答案与解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC，∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED.∴△BEF∽△CDF∽△AED.∴当△BEF∽△CDF时，相似比；当△BEF∽△AED时，相似比；当△CDF∽△AED时，相似比.【总结升华】此题考查了相似三角形的判定（有两角对应相等的两三角形相似）与性质（相似三角形的对应边成比例）.解题的关键是要仔细识图，灵活应用数形结合思想.举一反三：【变式】如图，AD、CE是△ABC的高，AD和CE相交于点F，求证：AF·FD=CF·FE．【答案】∵ AD、CE是△ABC的高,∴∠AEF=∠CDF=90°, 又∵∠AFE=∠CFE,∴△AEF∽△CDF.∴AF EFCF FD, 即AF·FD=CF·FE．3.（福州）如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD的度数．【思路点拨】（1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD2与AC•CD的值，从而可得到AD2与AC•CD的关系；（2）由（1）可得到BD2=AC•CD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明△BCD∽△ABC，依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD的度数．【答案与解析】解：（1）∵AD=BC=1，BC=，∴AD=，DC=1﹣=．∴AD2==，AC•CD=1×=．∴AD2=AC•CD．（2）∵AD=BC，AD2=AC•CD，∴BC2=AC•CD，即．又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB．∴，∠DBC=∠A．∴DB=CB=AD．∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC．设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°．解得：x=36°．∴∠ABD=36°．【总结升华】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，证得△BCD∽△ABC是解题的关键．4. 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：BP2＝PE·PF．【思路点拨】从求证可以判断是运用相似，再根据BP2＝PE·PF，可以判定所给的线段不能组成相似三角形，这就需要考虑线段的等量转移了.【答案与解析】连接，，，是的中垂线，，，，．，．又，∽，，．【总结升华】根据求证确定相似三角形，是解决此类题型的捷径. 举一反三：【变式】如图，F 是△ABC 的AC 边上一点，D 为CB 延长线一点，且AF=BD,连接DF,交AB 于E. 求证：DE ACEF BC=.【答案】过点F 作FG ∥BC,交AB 于G.则△DBE ∽△FGE △AGF ∽△ABC∵DE DBEF GF=, 又∵AF=BD,∴.DE AFEF GF= ∵△AGF ∽△ABC∴AF ACGF BC =, 即DE ACEF BC=.【精练巩固】一、选择题1. 下列判断中正确的是( ).A.全等三角形不一定是相似三角形B.不全等的三角形一定不是相似三角形C.不相似的三角形一定不全等D.相似三角形一定不是全等三角形 2．已知△ABC 的三边长分别为、、 2, △A′B′C′的两边长分别是1和, 如果△ABC 与△A′B′C′ 相似, 那么△A′B′C′ 的第三边长应该是 ( ).A. B. C. D.3．（大庆校级模拟）如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．4. （盐城）如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（）A．0个B．1个C．2个D．3个5．在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF＝90°，则一定有（）.A．ΔADE∽ΔAEF B．ΔECF∽ΔAEF C．ΔADE∽ΔECF D．ΔAEF∽ΔABF 6. 如图所示在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，则CD的长为( ).A. B.8 C.10 D.16二、填空题7.（上海闵行一模）如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）8如图所示，∠C=∠E=90°，AD=10，DE=8，AB=5，则AC=________.9.如图所示，在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，如果点C在x轴上(C与A不重合)，当点C的坐标为________或________时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似(至少找出两个满足条件的点的坐标).10.如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB=__________.11.如图，CD∥AB，AC、BD相交于点O,点E、F分别在AC、BD上，且EF∥AB,则图中与△OEF相似的三角形为_________.12．如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE交CD于点F,则图中相似三角形共有_________对.三．解答题13. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝3，AE＝2，BD＝4，求的值及AC、EC的长度．14. 如图在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，且，求证：BD⊥CD．15.如图，在△ABC中，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E是AB上一点，AF⊥CE于F，AD交CE于G 点，（1）求证：AC2=CE•CF；（2）若∠B=38°，求∠CFD的度数．【精练答案与解析】一．选择题1.【答案】C.2.【答案】A.【解析】根据三边对应成比例，可以确定3==226第三边，所以第三边是3.【答案】B.【解析】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．故选B．4.【答案】C．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，∴△AEF∽△CBF，△AEF∽△DEC，∴与△AEF相似的三角形有2个．5.【答案】C.【解析】∵∠AEF＝90°, ∴∠1+∠2=90°，又∵∠D=∠C=90°，∴∠3+∠2=90°，即∠1=∠3，∴△ADE∽△ECF.6.【答案】C.【解析】∵ EF∥AB，∴，∵，∴，，∴ CD=10，故选C.二. 填空题7.【答案】AB∥DE．【解析】∵∠A=∠D，∴当∠B=∠DEF时，△ABC∽△DEF，∵AB∥DE时，∠B=∠DEF，∴添加AB∥DE时，使△ABC∽△DEF．8.【答案】 3 .【解析】∵∠C=∠E，∠CAB=∠EAD，∴△ACB∽△AED，∴，BC=4，在Rt△ABC中，.9．【答案】；.10.【答案】4.【解析】∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B=∠D=90°，又∵AC⊥CE，∴∠BCA+∠DCE=90°，∴∠BCA=∠E,∴△ABC∽△CDE.∵C是线段BD的中点，ED=1，BD=4∴BC=CD=2∴AB CDCD DE,即AB=4.11.【答案】△OAB,△OCD.12.【答案】3.【解析】∵平行四边形ABCD，∴AD∥BE.AB∥CD∴△EFC∽△EAB; △EFC∽△AFD; △AFD∽△EAB.三综合题13.【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵，，∴，∴AC＝，∴EC＝AC－AE＝．14.【解析】∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，又∵，∴△ABD∽△DCB，∴∠A＝∠BDC，∵∠A＝90°，∴∠BDC＝90°，∴BD⊥CD ．15.【解析】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠CFA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠CFA=∠BAC，∵∠ACF=∠FCA，∴△CAF∽△CEA，∴=，∴CA2=CE•CF；（2）∵∠CAB=∠CDA，∠ACD=∠BCA，∴△CAD∽△CBA，∴=，∴CA2=CB×CD，同理可得：CA2=CF×CE，∴CD•BC=CF•CE，∴=，∵∠DCF=∠ECB，∴△CDF∽△CEB，∴∠CFD=∠B，∵∠B=38°，∴∠CFD=38°．。

相似三角形复习（2）教学内容：相似三角形复习课第二节（相似三角形判定定理）教学目标： 1、进一步理解和掌握相似三角形的判定定理、灵活应用这些定理去探索问题和解决问题。

2、培养在基本图形中运用知识的能力。

体会在发现中学习，在学习中发现。

发展学生的数学思维能力。

渗透图形运动、类比、分类讨论等数学思想。

3、提倡学生主动学习、积极参与教学，用所学的知识解决问题，提高学数学的热情。

在师生互动过程中，培养团结协作的精神。

教学重点：相似三角形判定定理的应用。

教学难点：能在复杂图形背景下、识别和判定三角形的相似，并正确推理论证，关注数学的严密性。

设计思想：本节课是在学习了相似三角形判定定理后的一节复习课。

一方面，抓住基本图形的特征，将基本图形通过平移、旋转、翻折、分解、组合成各种图形。

鼓励学生联想，培养学生创新意识。

另一方面，让学生进一步形成学习的主体意识、探究意识和合作意识。

教学过程：教师活动 学生活动 教学设计意图 我们已经认识了相似三角形，学习了相似三角形的判定，这节课我们要巩固我们所学的知识，并把所学的有关判定定理应用到实际的例题中，去探索和解决一些问题。

一；相似三角形基本图形以及判定定理的回顾。

问1： 若DE//BC ，则可以判定哪两个个三角形形相似？用哪条判定定理？ 预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边,且这条直线与原三角形的两边（或其延长线）分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似。

这类基本图形我们称为平行线型生：△ADE ∽△ABC ，用预备定理生：△ADC ∽△ACB通过回忆使学生掌握相似三角形的所有的判定方法．1A BCD E 1AECBD三边对应成比例，两三角形相似。

这类网格型的题目还可以用那种判定方法。

通常网格类的相似，还可以用哪个判定定理？ 最后，我们来回顾一下直角三角形相似的判定方法：问5：若BDACBE AB =，∠C=∠D=90°则可 以判定哪两个三角形形相似？用哪条判定定理 直角三角形相似的判定定理： 斜边和一条直角边对应成比例，则这两个直角三角形相似 上面我们回顾了相似三角形判定定理及重要 的基本图形，下面我们要应用这些定理来 解决一些几何问题。

第 1 页 共 3 页 创新三维学习法，高效学习加速度知识精要一 比例的性质1. 比例的基本性质:bc ad dcb a =⇔=2. 合比性质:ddc b b ad c b a d d c b b a d c b a -=-⇒=+=+⇒=或 3.等比性质:若)0(≠+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅===n f d b nmf e d c b a 则ban f d b m e c a =+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++.4. 比例中项:若c a b c a b cbb a ,,2是则即⋅==的比例中项.二 平行线分线段成比例定理1. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.已知l 1∥l 2∥l 3,可得EFBCDE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或等. 2．三角形一边平行线的性质定理: 平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.推论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.1. 三角形一边平行线的判定定理: 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例, 那么这条直线平行于三角形的第三边.2. 推论: 如果一条直线所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例, 那么这条直线平行于三角形的第三边.如:如图（1），已知BD:CD=2:3,AE:ED=3:4 求:AF:FC辅助线当然是添加平行线. 但如图（2）, 如果过D作DG∥BF,则在FC中插入了G点,不利求结论AF:FC；如图（3）如果过F做FG∥AD交CD于G时,在CD上插入G,条件BD:DC=2:3就不好用了。

因此应过D做DG∥AC 交BF于G,此辅助线做法既不破坏BD:DC,又不破坏AE:ED,还不破坏AE:FC.解: 过D做DG∥AC交BF于G∵BD:DC=2:3 ∴BD:BC=2:5 则DG:CF=2:5 设DG=2x CF=5 xAE:ED=3:4 AF:DG=3:4 AF:2x=3:4 AF=1.5x AF:FC=1.5x:5x=3:10 三相似三角形的判定及性质1. 相似三角形的判定①两角对应相等的两个三角形相似(此定理用的最多);②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;③三边对应成比例的两个三角形相似;④直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似.2. 直角三角形斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.3. 相似三角形的性质①相似三角形对应角相等、对应边成比例.②相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比(对应边的比)第 1 页共3 页创新三维学习法，高效学习加速度第 1 页 共 3 页 创新三维学习法，高效学习加速度一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列图形一定是相似图形的是…………………………（ B ） （A ）两个矩形； （B ）两个正方形； （C ）两个直角三角形； （D ）两个等腰三角形． 2．小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为（ A ） A ．45米B ．40米C ．90米D ． 80米3．下列各组线段中，成比例线段的一组是…………………（ B ） （A ）1，2，3，4；（B ）2，3，4，6；（C ）1，3，5，7；（D ）2，4，6，8；4．如图，下列条件中不能．．判定ABC ACD △∽△的是（ C ） A ．B ACD ∠=∠； B ．ADC ACB ∠=∠； C ．AC ABCD BC=； D ．AB AD AC •=2．5．如图，已知D 是△ABC 中的边BC 上的一点，∠BAD =∠C ，∠ABC 的平分线交边AC 于E ，交AD 于F ，那么下列结论中错误的是 （ C ）（A ）△BAC ∽△BDA ； （B ）△BF A ∽△BEC ； （C ）△BDF ∽△BEC ； （D ）△BDF ∽△BAE ．B6.下列四个三角形中，与右图中△ABC 相似的是（ B ）二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．如果23x y =，那么x y y+= __ 5/3 __． 8．在比例尺为1：10000的地图上，相距4厘米的两地A 、B 的实际距离为 400 米9．已知在△A BC 中，AD 是中线，G 是重心，如果GD =3cm ，那么AG =6cm ．A C ED F第5题BAD CDCBA第4题第 1 页 共 3 页 创新三维学习法，高效学习加速度10．在ABC ∆和111C B A ∆中，已知,5001=∠=∠A A 070=∠B ，要使ABC ∆和111C B A ∆相似，只要._________1=∠B 70或者6011．在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上 ，DE ∥BC ，AD =1，AB =3， 则ABC ADE S S ∆∆:= 1:9 ．12．如图：M 为平行四边形ABCD 的BC 边的中点，AM 交BD 于点P ，若PM =4，则AP =____8_________．13．已知点D 是线段AB 的黄金分割点（AD ＞BD ），如果AB=2，那么AD 的长为 √5−1 ．14．如图，在∆Rt ABC 中，∠ACB = 90，CD ⊥AB ，垂足是D ，53=AC AD ，⊿ABC 的周长是25，那么⊿ACD 的周长是 15 ．15．如图，请在方格图中画出一个与 ABC 相似且相似比不为1的三角形（它的顶点必须在方格图的交叉点）．略16、如图,在ABC ∆中，6=BC ，G 是ABC ∆的重心，过G 作边BC 的平行线交AC 于点H ，则GH 的长为___2__.H CBGAPMDCBA第12题第 1 页 共 3 页 创新三维学习法，高效学习加速度17．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，已知AG ＝0.6cm ，BG ＝1.2cm ，CD ＝1.5cm ，CH ＝___05___cm18．已知三角形纸片（△ABC ）中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，将三角形按照如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是 40/13 ．三、（本大题共7题，满分78分）19、如图，在ABC ∆中有一个内接矩形EFGD ，边FG 在AB 上，顶点E 、D 分别在边CA 、CB 上，AB CQ ⊥于点Q ，CQ 交ED 于H ，10=AB ，6=CQ ，ED 的长比EF 多2，求ED 的长。

沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习《相似三角形》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】（1）了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段的概念；（2）通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，周长的比等于对应边的比，面积的比等于对应边比的平方；（3）了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件；（4）通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题( 如利用相似测量旗杆的高度)；（5）理解实数与向量相乘的定义及向量数乘的运算律.【知识网络】【要点梳理】要点一、比例线段及比例的性质1.比例线段：（1）线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n，或写成,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项.（2）成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．（3）比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项．（4）比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c或，那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项．要点诠释：通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a,b的单位一致，c,d的单位一致也可以.2.比例的性质(1)比例的基本性质：(2)反比性质：(3)更比性质:或(4)合比性质:(5)等比性质:且3.平行线分线段成比例定理（1）三角形一边的平行线性质定理: 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.（2）三角形一边的平行线性质定理推论:平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边的对应成比例.（3）三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（4）三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（5）平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.（6）平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.这几个定理主要提出由平行线可得到比例式；反之,有比例可得到平行线.首先要弄清三个基本图形：这三个基本图形的用途是:1.由平行线产生比例式基本图形(1): 若l1//l2//l3，则或或或基本图形(2): 若DE//BC，则或或或基本图形(3): 若AC//BD，则或或或在这里必须注意正确找出对应线段，不要弄错位置.2．由比例式产生平行线段基本图形(2):若, , , , ,之一成立，则DE//BC.基本图形(3):若, , , , ,之一成立，则AC//DB.要点诠释：（1）平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例；（2）平行线分线段成比例没有逆定理；（3）由于平行线分线段成比例定理中，平行线本身没有参与作比例，因此，有关平行线段的计算问题通常转化到“A”、“X”型中.A型 X型常用的比例式：.（4）判断平行线的条件中，只能是被截的两条直线的对应线段成比例(被判断的平行线本身不能参与作比例).4.三角形的重心三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.要点诠释：（1）重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的二倍；（2）重心的画法：两条中线的交点.要点二、黄金分割1.黄金分割是指把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB)与较小线段(BC)的比例中项(AC2＝AB·BC)，C点为黄金分割点.2.黄金分割的求法①代数求法：已知：线段AB ，求作：线段AB的黄金分割点C.分析：设C点为所求作的黄金分割点，则AC2＝AB·CB，设AB＝，AC＝x，那么CB＝－x，由AC2＝AB·CB，得：x2＝·(－x)整理后，得：x2＋x－＝0，根据求根公式，得：x＝∴ (不合题意，舍去)即AC＝AB≈0.618AB，则C点可作.②黄金分割的几何求法（尺规法）：已知：线段AB，求作：线段AB的黄金分割点C.作法：如图：(1)过B点作BD⊥AB，使BD＝AB.(2)连结AD，在AD上截取DE＝DB.(3)在AB上截取AC＝AE.则点C就是所求的黄金分割点.证明：∵AC＝AE＝AD－AB而AD＝∴AC＝∴C点是线段AB的黄金分割点.要点诠释：①一条线段有两个黄金分割点.②这种分割之所以被人们称为黄金分割，是因为黄金分割存在美学规律和具有实用价值.德国著名天文学家开普勒 (Kepler，1571—1630)把这种分割称为“神圣的比例”，说它是几何中的瑰宝，大家也可以看一下课外的阅读材料，体会一下黄金分割中所蕴含的美学.要点三、相似三角形1.相似多边形(1)相似多边形的特征：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.(2)相似多边形的识别：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似.(3)相似比：我们把相似多边形对应边的比称为相似比.(4)相似多边形的性质①相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．②相似多边形的周长比等于相似比．③相似多边形的面积比等于相似比的平方．2.相似三角形（1）相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形.（2）相似三角形的表示方法：用“∽”表示，读作相似于.如：△ABC和△DEF相似，可以写成△ABC∽△DEF，也可以写成△DEF ∽△ABC，读作△ABC相似于△DEF.（3）相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.②相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于相似比.③相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.（4）相似三角形的判定：①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；②如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；④如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.⑤如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相等，那么这两个直角三角形相似.（5）相似三角形应用举例相似三角形的知识在实际生产和生活中有着广泛的应用，可以解决一些不能直接测量的物体的长度问题，加深学生对相似三角形的理解和认识.要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.要点四、实数与向量相乘1.实数与向量相乘的意义一般的，设为正整数，为向量，我们用表示个相加；用表示个相加.又当为正整数时，表示与同向且长度为的向量.要点诠释：设P为一个正数，P就是将的长度进行放缩，而方向保持不变；—P也就是将的长度进行放缩，但方向相反.2.向量数乘的定义一般地，实数与向量的相乘所得的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（1）如果时，则：①的长度：；②的方向：当时，与同方向；当时，与反方向；（2）如果时，则：，的方向任意.实数与向量相乘，叫做向量的数乘.要点诠释：（1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量；（2）实数与向量不能进行加减运算；（3）表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面；（4）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系.3.实数与向量相乘的运算律设为实数，则：（1）（结合律）；（2）（向量的数乘对于实数加法的分配律）；（3）（向量的数乘对于向量加法的分配律）4.平行向量定理（1）单位向量：长度为1的向量叫做单位向量.要点诠释：任意非零向量与它同方向的单位向量的关系：，.（2）平行向量定理：如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使.要点诠释：（1）定理中，，的符号由与同向还是反向来确定.（2）定理中的“”不能去掉，因为若，必有，此时可以取任意实数，使得成立.（3）向量平行的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量平行.（4）向量平行的性质定理：若向量与非零向量平行，则存在一个实数，使.（5）A、B、C三点的共线若存在实数λ，使.要点五、向量的线性运算1.向量的线性运算定义向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算.要点诠释：（1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减.（2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．2.向量的分解平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得.要点诠释：（1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量叫做这一平面内所有向量的一组基底.一组基底中，必不含有零向量．(2) 一个平面向量用一组基底表示为形式，叫做向量的分解，当相互垂直时，就称为向量的正分解.(3) 以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同．3.用向量方法解决平面几何问题（1）利用已知向量表示未知向量用已知向量来表示另外一些向量，除利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．（2）用向量方法研究平面几何的问题的“三步曲”：①建立平面几何与向量的联系，将平面几何问题转化为向量问题.②通过向量运算，研究几何元素的关系.③把运算结果“翻译”成几何关系.【典型例题】类型一、比例线段1.已知线段a、b、c满足a：b：c=3：2：6，且a+2b+c=26．（1）求a、b、c的值；（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．【答案与解析】解：（1）∵a：b：c=3：2：6，∴设a=3k，b=2k，c=6k，又∵a+2b+c=26，∴3k+2×2k+6k=26，解得k=2，∴a=6，b=4，c=12；（2）∵x是a、b的比例中项，∴x2=ab，∴x2=4×6，∴x=2或x=﹣2（舍去），即x的值为．【总结升华】题目中已知三个量a,b,c的比例关系和有关a,b,c的等式,我们可以利用这个等量关系,通过设参数k, 转化成关于k的一元方程,求出k后,问题得解.举一反三：【变式】已知：，求的值.【答案】根据等比性质：由得.2．如图,在□ABCD中,E为AB中点, ,EF,AC相交于G,求.【答案与解析】分别延长FE,CB相交于H,(构造出了基本图形)在□ABCD中,ADBC,∵E为AB中点，∴AE=BE，∵AD//BC，∴∠AFE=∠H.在△AEF和△BEH中：∴△AEF≌△BEH(AAS)∴AF=BH，∵，设AF=k, 则FD=3k，AD=4k，BH=AF=k，BC=AD=4K，CH=5K，∵AD//BC，即AF//HC.∴∴【总结升华】欲求,就需要有平行线,并使已知条件得以利用,虽然题目中有平行线,但无基本图形,不能使已知条件发挥作用,需通过添加辅助线来寻找解题途径,构造基本图形.此题还有其他辅助线的作法,例如分别延长EF,CD相交于M.或取AC中点N,连结EN.请同学们思考,这两种方法构造了哪些基本图形,如何求出.举一反三：【变式】如图，在是两条中线，则（）A．1∶2 B．2∶3C．1∶3 D．1∶4【答案】由题意可知，为的中位线，则△CED∽△CAB，∴，故选D．类型二、相似三角形3．（2016•南平）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=14，AC=7，D是BC上一点，BD=8，DE⊥AB，垂足为E，求线段DE的长．【思路点拨】根据相似三角形的判定与性质，可得答案．【答案与解析】解：∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，又∠C=90°，∴∠BED=∠C．又∠B=∠B，∴△BED∽△BCA，∴=，∴DE===4【总结升华】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质得出=是解题关键．举一反三：【变式】如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2，BC=3，则△FC与△DG 的面积之比为（）A.9：4B.3：2C.4：3D.16：9【答案】D.设CF=x，则BF=3-x，由折叠得F=BF=3-x,在Rt△FC中，由由勾股定理得CF2+C2=F2，x2+12=(3-x)2,解得x=,由已知可证Rt△FC∽Rt△DG，所以S△FC与S△DG的面积比为（：1）2=.类型三、实数与向量相乘4．已知下列命题：①；②；③；④其中正确命题序号是___________.【答案】②、④.【解析】掌握平面向量数量积的含义，平面数量积的运算律不同于实数的运算律.【总结升华】应用向量的运算性质.类型四、向量的线性运算5．如图，D、E是△ABC边AB上的点，F、G分别是边AC、BC上的点，且满足AD=DE=EB，DF∥BC，EG∥AC．（1）求证：FG∥AB；（2）设=，=，请用向量、表示．【答案与解析】（1）证明：∵AD=DE=EB，∴==，∵DF∥BC，EG∥AC，∴==，，∴，∴FG∥AB；（2）解：∵DF∥BC，FG∥AB，∴，，∴FG=AB，∵与同向，∴=，∵=，=，∴=﹣，∴=．【总结升华】此题考查了平面向量的知识以及平行线分线段成比例定理．解题时注意掌握数形结合思想的应用．类型五、相似与其它知识综合问题6．如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC=a、AC=b、AB=c.（1）求线段BG的长；（2）求证：DG平分∠EDF；（3）连接CG，如图2，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥CG.【答案与解析】（1）∵D、C、F分别是△ABC三边中点，∴DE∥AB,DF∥AC，又∵△BDG与四边形ACDG周长相等，即BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG.∴BG=AC+AG，∵BG=AB－AG，∴BG==，（2）证明：BG=，FG=BG－BF=－，∴FG=DF,∴∠FDG=∠FGD，又∵DE∥AB，∴∠EDG=∠FGD，∠FDG=∠EDG，∴DG平分∠EDF ，（3）在△DFG中，∠FDG=∠FGD, △DFG是等腰三角形,∵△BDG与△DFG相似,∴△BDG是等腰三角形,∴∠B=∠BGD,∴BD=DG,则CD= BD=DG,∴B、CG、三点共圆,∴∠BGC=90°,∴BG⊥CG.【总结升华】这是一道几何综合题，在计算证明时，根据题中已知条件，结合图形性质来完成.后面的问题可以结合前面问题来做.已知三角形三边中点连线，利用三角形中位线性质计算证明.（1）已知△ABC的边长，由三角形中位线性质知，根据△BDG与四边形ACDG周长相等，可得.（2）由（1）的结论，利用等腰三角形性质和平行线性质可证. （3）利用两个三角形相似，对应角相等，从而等角对等边，BD=DG=CD，即可证明.举一反三：【变式】如图，在口ABCD中，的平分线分别与、交于点、．（1）求证：；（2）当时，求的值．【答案】（1）如图，在口ABCD中，，∴．∵是的平分线，∴．∴．∴．（2）∴△∽△，∴，∴．。

沪科版九年级数学上册 相似三角形 知识点大总结知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段的长度分别为，那么就说这两条线段的比是，或写b a ,n m ,nmb a =成．注：在求线段比时，线段单位要统一。

n m b a ::=（2）在四条线段中，如果的比等于的比，那么这四条线段叫做成比例线段，d c b a ,,,b a 和d c 和d c b a ,,,简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说是的第四比例项，那么应得比例式为：a d cb ,,．②a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，a d cb =()ac a b cd b d==在比例式：：中，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有a b b d =：：。

2b ad =（3）黄金分割：把线段分成两条线段，且使是的比例中项，即AB )(,BC AC BC AC >AC BC AB 和，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，其中2AC AB BC =⋅AB C AB ≈0.618．即简记为：AB AC 215-=AB AC BC AB AC ==长短＝＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。

黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1） 基本性质：①；②．bc ad d c b a =⇔=::2::a b b c b a c =⇔=⋅注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如，除bc ad =了可化为，还可化为，d c b a ::=d b c a ::=，，，，，．b a dc ::=c ad b ::=c d a b ::=b d a c ::=a b c d ::=a c b d ::=（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb db a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项（3）反比性质(把比的前项、后项交换)：．a cb d b da c=⇔=（4）合、分比性质：．a c a b c d b d b d±±=⇔=注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：等等．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c d c b a b a ccd a a b d c b a（5）等比性质：如果，那么．)0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ba n f db m ec a =++++++++ 注：①此性质的证明运用了“设法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例k 计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：；其中．baf d b e c a f e d c b a f e d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322032≠+-f d b 知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或注：①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.已知AD∥BE∥CF,可得等. AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。

ABCDEFG相似三角形复习课前测试【题目】课前测试已知，正方形ABCD 的边长为2，E 为BC 边的延长线上一点，CE = 2，联结AE ，与CD 交于点F ，联结BF 并延长与线段DE 交于点G ，则BG 的长为______．【答案】453BG =【解析】延长,AD BG 相交于点H ，∵正方形ABCD ，∴90ADC DCE ∠=∠=， ∵2AD CE AFD EFC ==∠=∠，，∴AFD EFC ∆≅∆，∴AF EF DF CF ==，， ∵AH ∥BE , ∴1DH DFBC CF==，∴DH BC =， ∵AH ∥BE ,∴12DH DG HG BE GE BG ===, ∴23BG BH =，∵2490AB AH BAH ==∠=，，，∴25BH =， ∴453BG =．A DB CE F P Q总结：本题考点包括平行线分线段成比例、直角三角形的性质、正方形的性质，考查学生综合运用知识的能力．【难度】3【题目】课前测试如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AD a =，BC b =，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，且AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长． 【答案】abPQ a b=+． 【解析】AD //BC ， AE PE ED EQBF BP FC QC∴==，． 又E 、F 分别是AD 、BC 的中点， AE DE BF FC ∴==，， PE EQBP QC∴=， ////PQ BC AD ∴．PQ EP PQ PF PB BC EB AD AF EB ∴===，，1PQ PQAD BC∴+=． 代入，求得：abPQ a b=+．总结：考查三角形一边平行线性质定理及其判定定理的，先应用性质证明比例线段相等再判定．由三线平行模型可得出结论．【难度】4知识定位适用范围：沪教版，初三年级，成绩中等以及中等以下知识点概述：相似三角形是初中数学九年级上学期第一章的内容，在本章中，我们学习了比例线段的相关性质，相似三角形的概念、判定及性质和平面向量的线性运算．重点是灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理，难点是利用辅助线解决相似三角形问题以及相似三角形与动点问题相结合的类型适用对象：成绩中等以及中等以下注意事项：大部分学生试听这个内容主要想听相似三角形章节复习重点选讲：①相似形与比例线段②三角形一边的平行线定理③相似三角形的判定与性质定理知识梳理知识梳理1： 相似形与比例线段1. 相似形（1）相似形的概念相似形：我们把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形． （2）相似多边形的性质如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1．2. 比例线段及性质（1）比例线段1.在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．2.如果、、、是比例线段，即（或），那么线段、是比例外项，、是比例内项．3.如果比例的两个内项（或两个外项）相同，那么这个相同的项叫做比例中项． 4. 如果点P 把线段AB 分割成AP 和PB （AP PB >）两段，其中AP 是AB 和PB 的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P 称为线段AB 的黄金分割点．其中，510.6182AP AB -=≈，称为黄金分割数，简称黄金数．（2）比例的性质1.基本性质： 如果a cb d=，那么ad bc =； 如果a cb d =，那么b d ac =，a b cd =，c d a b=．2.合比性质： 如果a c b d =，那么a b c db d ++=； 如果a cb d =，那么a bc db d --=．3.等比性质： 如果a c kb d ==，那么ac a c k bd b d +===+（b+d≠0） 等比性质可以推广到任意有限多个相等的比的情形：如果，则（b+d+f+……+n ≠0）知识梳理2：三角形一边的平行线1.三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例．如图，已知ABC∆，直线//l BC，且与AB、AC所在直线交于点D和点E，那么AD AEDB EC=．2.三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．如图，点D、E分别在ABC∆的边AB、AC上，//DE BC，那么DE AD AE BC AB AC==3.重心定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心．性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍．4. 三角形一边的平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．5、三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．6.平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例． 如图，直线1l //2l //3l ，直线m 与直线n 被直线1l 、2l 、3l 所截，那么DF EGFB GC．7.平行线等分线段定理两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也相等．知识梳理3：相似三角形的性质与判定1. 相似三角形预备定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．2、相似三角形判定定理（1）如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两角对应相等，两个三角形相似．（2）如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．（3）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个角形相似．可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似．（4）如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似3. 相似三角形性质定理（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．（2）相似三角形周长的比等于相似比．（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方例题精讲【题目】题型1：相似形与比例线段 下列各组中的两个图形一定相似的有（ ）（1）两个等腰三角形； （2）两个直角三角形； （3）两个等腰直角三角形； （4）两个等边三角形； （5）两个矩形；（6）两个菱形； （7）两个正方形；（8）两个等腰梯形；（9）两个圆．（A ）3组（B ）4组（C ）5组（D ）6组【答案】B【解析】相似的是（3）（4）（7）（9）对于三角形来说，三个角大小相等即可，对于其它多边形来说，除了考虑角的大小，还要考虑边的大小对应．总结：考查相似图形的特征，形状完全相同， 【难度】2【题目】题型1变式练习1：题型1：相似形与比例线段 （1）点P 是线段AB 的黄金分割点，求APAB的值． （2）b 是9和4的比例中项，则b =；（3）线段6a =厘米，16b =厘米，则线段a 和b 的比例中项是 ．【答案】（1512-352-．（2）6±；（3）46cm ． 【解析】（1）根据黄金分割点的定义，2AP BP AB =⋅，即()2AP AB AP AB =-⋅，两边同时除以2AB ，可解得AP AB 2BP AP BC =⋅，类似的可得AP AB ． （2）由题意可知29436b =⨯=，可解得6b =±；（3）a 、b =总结：注意线段的黄金分割点有两个．注意线段比例中项和数字比例中项的区别． 【难度】2【题目】题型1变式练习2：题型1：相似形与比例线段已知a b ck b c a c a b===+++，则一次函数3y kx =-的图像一定经过第几象限？ 【答案】三、四． 【解析】（1）a+b+c≠0时，根据比例的等比性()122a b c k a b c ++==++，此时一次函数132y x =- 经过一、三、四象限；（2）0a b c ++=时，可得b c a +=-，则1ak a==--，此时一次函数3y x =--经过二、三、四象限；综上所述，函数必经过三、四象限．总结：考查比例的等比性质，注意根据分母是否为0分类讨论，同时考查一次函数所在象限与系数的关联． 【难度】3A BCDEFM 【题目】题型2：三角形一边的平行线定理及其推论如图，M 为AB 的中点，EF //AB ，联结EM 、FM 分别交AF 、BE 于点C 和点D ． 求证：CD //AB ．【答案】见解析 【解析】 证明：EF //AB ，EF EC EF DFAMCM BM DM∴==，． M 为AB 的中点， AM BM ∴=．EC DFCM DM∴=， ∴CD //AB ． 总结：考查三角形一边平行线性质定理及其判定定理，先判定再应用 【难度】2【题目】题型2变式训练1：三角形一边的平行线定理及其推论如图，ABC ∆中，//DE BC ，3AE =，4DE =，2DF =，5CF =，求EC 的长． 【答案】92EC = 【解析】//DE BC ，25DE DF AE BC CF AC ∴===， 即3235EC =+，求得：92EC =总结：相似三角形中“A ”字型和“X ”字型的综合应用，可得到相等比例关系式． 【难度】2PNE GH F M D C BAABCDE【题目】题型2变式训练2：三角形一边的平行线性质定理及其推论如图，梯形ABCD 中，//////DC EF GH AB ，30AB cm =，10CD cm =，::2:3:4DE EG GA =，求EF 与GH 的长度．【答案】 13019099EF cm GH cm ==，． 【解析】过点C 作//CP DA 分别交EF 、GH 、AB 于 点M 、点N 、点P ，则易得四边形DAPC 为平行 四边形．则10EM GN AP DC cm ====，20PB cm =． 由//FM BP ，可得：29FM CM DE PB CP DA ===， 代入可得：409FM cm =，1309EF EM FM cm =+=． 由//NH PB ，可得：59NH CN DG PB CP DA ===，代入可得：1009NH cm =，1909GH GN NH cm =+=． 总结：夹在平行线间的线段对应成比例． 【难度】3【题目】题型3： 相似三角形性质及判定定理如图，AB AC =，2AC AD AE =，求证：BC 平分DBE ∠．【答案】见解析 【解析】证明：AB AC =，2AC AD AE =•，∴2AB AD AE =•， 即AB AEAD AB=．又A A ∠=∠， ∴ABD AEB ∆∆∽．∴ABD E ∠=∠．MPAB CDEF又AB AC =， ∴ABD DBC ACB ∠+∠=∠．又CBE E ACB ∠+∠=∠， ∴CBD CBE ∠=∠．即BC 平分DBE ∠．总结：本题考查了相似三角形的判定及三角形外角的性质． 【难度】2【题目】题型3变式练习1：相似三角形性质及判定定理如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥，BE AC ⊥，D 、E 分别为垂足．若60C ∠=︒， 1CDE S ∆=，求四边形DEAB 的面积．【答案】3 【解析】AD BC BE AC ⊥⊥，，90CDA BEC ∴∠=∠=．90CDA BEC ∴∠=∠=，CBE CAD ∴∆∆∽，CD CACE CB∴=． 90CDA BEC ∴∠=∠=，CBE CAD ∴∆∆∽，CD CACE CB∴=，DCE ACB ∴∆∆∽，2DCE ACB S CD S CA ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，又60C ∠=，30CBE CAD ∴∠=∠=，12CD CA =，14DCE ACB S S ∆∆∴=，13DCE BDEA S S ∆∴=四边形，1CDE S ∆=，3DEAB S ∴=四边形．总结：本题考查相似三角形的性质及判定，直角三角形的性质等知识．【难度】3ABCPQ 【题目】题型3变式练习2：相似三角形性质及判定定理如图，16AB =厘米，12AC =厘米，动点P 、Q 分别以2厘米/秒和1厘米/秒的 速度同时开始运动，其中点P 从点A 出发沿AC 边一直移动到点C 为止，点Q 从点B 出 发沿BA 边一直移动到点A 为止．经过多长时间后，APQ ∆与ABC ∆相似？【答案】4811s 或325s 【解析】设两动点运动时间为t ，则2AP t =，BQ t =，16AQ t =-． （1）AQP ∆∽ABC ∆时，则有AQ APAB AC=， 即1621612t t -=，解得：4811t s =． （2）APQ ∆∽ABC ∆时，则有AP AQAB AC=，即2161612t t -=，解得：325t s =． 总结：解决三角形相似问题时，一定要注意确立好对应关系，题目没有明确说明的前提下，则需要进行分类讨论，三角形比例关系不确定，且有相等夹角时，实际上只需要将相应比例关系顺序变换一下即可． 【难度】3【题目】兴趣篇1已知：P 为ABC ∆的中位线MN 上任意一点，BP 、CP 的延长线分别交AC 、AB 于点D 和点E ．求证：1AD AEDC EB+=． 【答案】HG【解析】过点A作//GH BC分别交CE 、BD的延长线于点G、H．MN是中位线，//.AM MB AN NC MN BC∴==，，////GH BC MN∴．∴AM GPMB PC=GP PC∴=//GH BC∴GH GPBC PC=GH BC∴=；//GH BC∴AD AH AE AGDC BC EB BC==，∴1AD AEDC EB+=．总结：本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线、三角形中位线的相关知识．【难度】3【题目】兴趣篇2如图，AD是ABC∆的内角平分线．求证：AB BDAC DC=【答案】见解析【解析】过点C作//CM AB交AD的延长线于点M．//CM AB∴AB BDCM DC=，BAD M∠=∠AD是角平分线∴BAD DAC∠=∠；∴M DAC∠=∠∴AC CM=AB CDEPNMAB CDMAB CDE F G H P∴AB BDAC DC=． 总结：本题考查了三角形一边的平行线、角平分线及等腰三角形的相关知识． 【难度】3【题目】备选试题1如图，D 是线段BC 上一点，且23BD DC =，CE 交AB 于点F ，:1:3AE ED =，求:AF BF 的值．【答案】2:15【解析】过点A 作//AM BC 交CF 的延长线于点M ，根据三角形一边平行线的性质定理， 则有13AM AE DC ED ==． 又23BD DC =，即()23BC DC DC -=． 可得25DC BC =， 则215AM BC =． 由//AM BC 可得：::2:15AF BF AM BC ==．总结：考查三角形一边平行线的性质，由已知和所求比例构造平行 【难度】3【题目】备选试题2如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、 A C 上，AH 是ABC ∆的高，BC = 60厘米，AH = 40厘米，求正方形DEFG 的边长．ABDCE FA B CD EF【答案】24．【解析】设正方形EFGD 的边长为x ， //DG BC ，DG AD APBC AB AH∴==． 406040x x -∴=，24x ∴=， ∴正方形EFGD 的边长为24．总结：本题考查三角形内接正方形的相关知识，主要还是通过比例相等来列式建立关系． 【难度】3【题目】备选试题3如图，梯形ABCD 中，AD //BC ，E 是腰AB 上的一点，过点E 作BC 的平行线 交CD于点F ，已知AD = 2，BC = 6． （1）如果2=3AE EB ，试求EF 的长； （2）如果2=3AEFD EBCF S S 梯形梯形，试求EF 的长【答案】（1）185EF =；（2）21055EF =． 【解析】（1）过点A 作//AN DC 交BC 于点N ，交EF 于点M ． ////AD NC FE ，∴四边形ANCD 是平行四边形，四边形AMFD 是平行四边形， 2AD MF NC ∴===，6BC =，4BN ∴=．//EF BC ，AE EM AB BN ∴=，23AE EB =，25AE AB ∴=，25ME NB ∴=，85EM ∴=，185EF ∴=． A BCD EFMNA D EFGAB CDE （2）分别延长BA 、CD 交于点G ． //AD BC ，∴219ADG GBC S AD S CB ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭, 设2AEFD S a =梯形，3EBCF S a =梯形，则5ABCD S a =梯形，∴159GDA GDA ADG ADG ABCD S S S S S a ∆∆∆∆==++梯形，∴58ADG S a ∆=，∴55852128GDA GEF a S S a a ∆∆==+，//EF AD ，∴222521ADG GEF S AD S EF EF ∆∆⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴21055EF =． 总结：本题考查梯形的相关知识，包括梯形的辅助线的添法，还有相似三角形的性质及判定等知识． 【难度】3【题目】备选试题4如图，直角梯形ABCD 中，AB // CD ，90ABC ∠=︒，点E 在边BC 上，且34AB BE EC CD ==，AD = 10，求AED ∆的面积．【答案】24 【解析】90ABC ∠=，//AB CD ，∴90DCB ABC ∠=∠=．又34AB BE EC CD ==， ABE ECD ∴∆∆∽． ∴AEB EDC ∠=∠． ∴34AE AB ED EC ==．90EDC DEC ∠+∠=，A B CDEFM∴90AEB DEC ∠+∠=． ∴90AED ∠=． 在Rt AED ∆中，10AD =，68AE ED ∴==，． 24AED S ∆∴=．总结：本题考查一线三等角模型的相似问题，还有外角知识、平行的判定等． 【难度】3【题目】备选试题5如图，直角梯形ABCD 中，90BCD ∠=︒，AD // BC ，BC = CD ，E 为梯形内一点， 且90BEC ∠=︒，将BEC ∆绕点C 旋转90°使BC 与DC 重合，得到DCF ∆，联结EF 交CD于M ．已知BC = 5，CF = 3，则DM : MC 的值为（ ） A ．53B ．35C ．43D ．34【答案】C【解析】旋转后，CEB CFD ∆≅∆．5CB CD ∴==， 3CE CF ==，BE DF =， 90BEC DFC ∠=∠=． 在Rt CBE ∆中，222BE CE BC +=， 4BE ∴=． 4DF ∴=．90ECF ∠=， 90ECD DCF ∴∠+∠=．又90DCF FDC ∠+∠=ECD FDC ∴∠=∠ //CE DF ∴43DM DF MC EC ∴==． 总结：本题考查旋转的相关知识，平行的判定、三角形一边的平行线的知识． 【难度】3。

专项训练年度：相似三角形的性质及应用--知识讲解（基础）【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.【要点梳理】要点一、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。

1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.要点诠释：1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．【典型例题】类型一、相似三角形的应用1. 如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？【答案与解析】如上图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？∵AB⊥BC，CD⊥BC,∴∠ABO=∠DCO=90°.又∵∠AOB=∠DOC,∴△AOB∽△DOC.∴.∵BO=50m，CO=10m，CD=17m,∴AB=85m.即河宽为85m．【总结升华】这是一道测量河宽的实际问题，还可以借用相似三角形的对应边的比相等，比例式中四条线段，测出了三条线段的长，必能求出第四条.2. 如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．(1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么?(2)求古塔的高度．【思路点拨】本题考查的是相似三角形的实际应用，要注意的是小明和古塔都与地面垂直，是平行的.【答案与解析】(1)△ABC∽△ADE．∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB=∠AED=90°.∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE .(2)由(1)得△ABC∽△ADE,∴.∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m，∴.∴DE=16m,即古塔的高度为16m.【总结升华】解决相似三角形的实际应用题的关键是题中相似三角形的确定.举一反三【变式】小明把一个排球打在离他2米远的地上，排球反弹后碰到墙上，如果他跳起来击排球时的高度是1.8米，排球落地点离墙的距离是7米，假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙上离地多高的地方？【答案】如图，∵AB=1.8米，AP=2米，PC=7米，作PQ ⊥AC,根据物理学原理知∠BPQ=∠QPD,则∠APB=∠CPD ，∠BAP=∠DCP=90°，∴ △ABP ∽△CDP , ∴AB AP DC PC=, 即1.827DC =, ∴DC=6.3米.即球能碰到墙上离地6.3米高的地方.要点二、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.3. 相似三角形周长的比等于相似比.∽，则由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. ∽，则分别作出与的高和，则21122=1122ABC A B C BC AD k B C k A D S k S B C A D B C A D '''''''⋅⋅⋅⋅=='''''''''⋅⋅△△要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.类型二、相似三角形的性质3. （2015•上海）已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．（1）求证：DE⊥BE；（2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE．【答案与解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=BD，∵OE=OB，∴OE=BD，∴∠BED=90°，∴DE⊥BE；（2）∵OE⊥CD∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，∴∠CEO=∠CDE，∵OB=OE，∴∠DBE=∠CDE，∵∠BED=∠BED，∴△BDE∽△DCE，∴，∴BD•CE=CD•DE．【总结升华】本题综合性较强，考查了相似三角形、直角三角形以及平行四边形相关知识，而熟记定理是解题的关键．举一反三【变式】（2015•铜仁市）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1【答案】B．提示：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=1=3：4，∴DE：AB=3：4，∴S△DFE：S△BFA=9：16．故选：B．4.如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.【思路点拨】相似三角形对应的高，中线，角分线对应成比例.【答案与解析】∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC.∵AD⊥BC，∴AD⊥EH，MD=EF.∵矩形两邻边之比为1：2，设EF=xcm，则EH=2xcm.由相似三角形对应高的比等于相似比，得，∴，∴，∴.∴EF=6cm，EH=12cm..∴.【总结升华】解决有关三角形的内接矩形、内接正方形的计算问题，经常利用相似三角形“对应高的比等于相似比”和“面积比等于相似比的平方”的性质，若图中没有高可以先作出高.举一反三：【变式】有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.【答案】设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2.∴△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2且，，∴，∴相似三角形的性质及应用--巩固练习【巩固练习】一、选择题1．（2015•酒泉）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（）A．B．C．D．2. 如图2, 在△ABC中, D、E两点分别在AB、AC边上, DE∥BC. 若AD:DB = 2:1, 则S△ADE : S△ABC为( ).A. 9:4B. 4:9C. 1:4D. 3:23．某校有两块相似的多边形草坪，其面积比为9∶4，其中一块草坪的周长是36米，则另一块草坪的周长是（）．A．24米B．54米C．24米或54米D．36米或54米4. 图为△ABC与△DEC重叠的情形，其中E在BC上，AC交DE于F点，且AB// DE.若△ABC与△DEC的面积相等，且EF=9，AB=12，则DF=( ).A．3 B．7 C．12 D．155．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是（）.A．6米B．8米C．18米D．24米6.要把一个三角形的面积扩大到原来面积的8倍，而它的形状不变，那么它的边长要增大到原来的（）倍.A.2B.4C.2D.64二、填空题7. 如图所示，为了测量一棵树AB的高度，测量者在D点立一高CD＝2m的标杆，现测量者从E处可以看到杆顶C与树顶A在同一条直线上，如果测得BD＝20m，FD＝4m，EF＝1.8m，则树AB的高度为______m．8. 已知两个相似三角形的相似比为，面积之差为25，则较大三角形的面积为______.9．（2015•吉林）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14cm ，则楼高CD 为 m ．10. 梯形ABCD 中，AD ∥BC,AC ，BD 交于点O ,若AOD S △=4， OC S △B =9，S 梯形ABCD =________.11.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 上一点，DE:CE=2:3，连接AE,BE,BD,且AE,BD 交于点F ，则::DEF EF BAF S S S △△B △________________.12.把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的21倍，那么边长应缩小到原来的________倍.三、解答题 13. 一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m 的竹竿影长0.9m ，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m ，又测得地面部分的影长2.7m ，他求得树高是多少？14.（2015•蓬溪县校级模拟）小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB 的高度：如图，在水平地面点E 处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B ．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB 的高度（注：入射角=反射角）．15. 在正方形中，是上一动点，(与不重合)，使为直角，交正方形一边所在直线于点. (1)找出与相似的三角形. (2)当位于的中点时，与相似的三角形周长为，则的周长为多少？【答案与解析】一．选择题1．【答案】D ．【解析】∵S △BDE ：S △CDE =1：3，∴BE ：EC=1：3；∴BE ：BC=1：4；∵DE ∥AC ，∴△DOE ∽△AOC ， ∴=，∴S △DOE ：S △AOC ==，故选D ．2．【答案】B ．【解析】提示：面积比等于相似比的平方．3．【答案】C.4．【答案】B.5．【答案】B.【解析】提示：入射角等于反射角，所以△ABP ∽△CDP ．6．【答案】C ．【解析】提示：面积比等于相似比的平方．二．填空题7．【答案】3.8．【答案】45cm 2.9．【答案】12．10．【答案】25.【解析】∵ AD ∥BC ，∴ △AOD ∽△COB ，∴ 2A O DB OC 49S AO CO S ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△，∴AO:CO ＝2:3， 又∵AODDOC 23S AO S OC ==△△，∴ COD 6S =△，又 C O D A O B S S =△△，∴ ABCD 492625S =++⨯=梯形．11.【答案】4:10:25【解析】∵ 平行四边形ABCD ，∴△DEF ∽△BAF,∴2DEF AEB S DE S AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△，∵DE:EC=2:3,∴DE:DC=2:5,即DE:AB=2:5，∴DEF BAFS S △△∵△DEF 与△BEF 是同高的三角形，∴DEF BEF S S △△24.510== 12．【答案】2. 三.综合题13．【解析】作CE ∥DA 交AB 于E ，设树高是xm ，∵ 长为1m 的竹竿影长0.9m∴ 1 1.20.9 2.7x -= 即 x ＝4.2m14．【解析】解：如图，∵根据反射定律知：∠FEB=∠FED ，∴∠BEA=∠DEC∵∠BAE=∠DCE=90°∴△BAE ∽△DCE ∴； ∵CE=2.5米，DC=1.6米， ∴； ∴AB=12.8答：大楼AB 的高为12.8米．15．【解析】(1)与△BPC 相似的图形可以是图(1)，(2)两种情况：△PDE ∽△BCP ，△PCE ∽△BCP ，△BPE ∽△BCP ．(2)①如图(1)，当点P 位于CD 的中点时，若另一直角边与AD 交于点E ， 则12PD BC = ∵ △PDE ∽△BCP∴ △PDE 与△BCP 的周长比是1:2∴ △BCP 的周长是2a ．②如图(2)，当点P 位于CD 的中点时，若另一直角边与BC 延长线交于点E时， 则12PC BC =， ∵ △PCE ∽△BCP∴ △PCE 与△BCP 的周长比是1:2∴ △BCP 的周长是2a ．③如图(2)，当点P 位于CD 的中点时，若另一直角边与BC 延长线交于点E时，∴ BP BC =∵ △BPE ∽△BCP∴ △BPE 与△BCP ，∴ △BCP 的周长是5．.。

相似三角形的判定课前测试【题目】课前测试如图，已知CD 是△ABC 的高，D E⊥CA，DF⊥CB，求证：△CEF ∽△CBA.【答案】见解析 【解析】证明：∵CD ⊥AB，即∠CDA=∠CDB=90°，则∠A+∠ACD=90°， 又∵DE⊥CA，∴∠ACD+∠CDE=90°， ∴∠A=∠CDE，又∠ACD=∠DCE，∴△CAD ∽△CDE ，则CECDCD CA =，即CD 2=CA ·CE 同理可得△CBD ∽△CDF ，则CFCDCD CB =，即CD 2=CD 2=CB ·CF ∴CA ·CE=CB ·CF ，又∠ECF=∠BCA ，∴△CEF ∽△CBA总结：本题考察学生是否掌握“母子三角形”相似模型，待证的两个三角形中有一组公共角，因而再找出一组对应角相等或者是其夹角的两边成比例，经过分析发现，从角度入手基本不可能找出对应角相等，因而需要从夹角的两边证明. 该题属于典型的“母子三角形”模型，给出众多垂直关系，应该想到利用角度互余找等量. 只要“心中有模型”，对于这类题型的证明还是比较容易的. 【难度】3CAEDFB【题目】课前测试已知：如图，在ABC △中，AB AC =，M 是边BC 的中点，DME B ∠=∠，MD 与射线BA相交于点D ，ME 与边AC 相交于点E . （1）求证：BD CMDM EM=； （2）如果DE ME =，求证：//ME AB ；（3）在第（2）小题的条件下，如果DM AC ⊥，求ABC ∠的度数. 【答案】（1）证明：∵∠DMC=∠B+∠BDM ，∠DMC=∠DME+∠EMC ，∠DME=∠B ， ∴∠BDM=∠EMC ，∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∴△BDM ∽△CME ，EM DM CM BD =,即EMCMDM BD = （2）证明：∵△BDM ∽△CME,∴EC EMBM DM =， ∵DE=ME ，BM=CM ，∴ECDECM DM =，∠DME=∠EDM ， ∵∠DME=∠B=∠C ，∴∠EDM=∠C ，∴△DME ∽△CME ， ∴∠EMC=∠EMD ，∴∠EMD=∠B ，∴EM//AB ； （3）30° 【解析】（1）证明：∵∠DMC=∠B+∠BDM ，∠DMC=∠DME+∠EMC ，∠DME=∠B ， ∴∠BDM=∠EMC ，∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∴△BDM ∽△CME ，EMDMCM BD =,即EMCMDM BD = （2）证明：∵△BDM ∽△CME,∴ECEMBM DM =， （第24题图）EMCBAD适用范围：各版本，初三年级知识点概述：相似三角形作为中学阶段最重要的知识点之一，既是中考重点，也是难点. 重点是灵活运用相似三角形的各个判定定理，难点是相似三角形与分类讨论及函数思想的互相结合. 本讲义主要讲解相似三角形相关的判定定理以及几个常见的基本相似模型，学生在学习过程中务必理解熟记每个相似模型，能够在已知题干中发现并证明三角形相似.适用对象：中等成绩及偏上注意事项：相似三角形判定定理的学习应该牢牢掌握不同模型之间的区别，此外，在平时的学习过程中还应该多积累不同题型的解题思路. 对于这一部分的学习，基础中等的学生应该掌握几种常见的相似模型，能够结合图形和已知条件进行分析证明，基础较好的学生应该培养分类讨论思想以及数形结合的思想，逐渐熟悉综合性大题的解题思路.重点选讲：①相似三角形之一线三等角模型；②相似三角形之母子三角形模型；③相似三角形之公共边角模型；④相似三角形的综合应用知识梳理1：相似三角形的定义如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形.说明：（1）相似三角形的定义虽然可以用来判断三角形相似，但是要求角与边的条件同时都满足的情况下才能使用；（2）相似三角形的书写具有严格的顺序性，不同的顺序代表不同的含义；（3）将两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）；（4）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似.知识梳理2：相似三角形的判定定理相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似.相似三角形判定定理1：如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似. 可简述为：两角对应相等，两个三角形相似.相似三角形的判定定理2：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似. 可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.相似三角形判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似. 可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似.直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似.强调：（1）有平行线时，用预备定理；（2）已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理1或判定定理2；（3）已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3，但是在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等.知识梳理3：全等三角形与相似三角形判定定理比较知识梳理4：相似三角形基本相似模型的认识三角形全等三角形相似两角夹一边对应相等(ASA) 两角及一对边对应相等(AAS) 两边及夹角对应相等(SAS)三边对应相等(SSS) 直角边与斜边对应相等(HL) 两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例 直角边与斜边对应成比例基本相似模型有：公共边角型（A 字型、斜A 型、8字型、斜8型）、母子型、一线三等角等例题精讲【题目】题型1：相似三角形之一线三等角模型如图，已知在梯形ABCD 中，AD // BC ，90A ∠=︒，AB = AD ．点E 在边AB 上，且DE CD ⊥，DF 平分EDC ∠，交BC 于点F ，联结CE 、EF.（1）求证：DE = DC ；（2）如果BE 2=BF ·BC ，求证：BEF CEF ∠=∠. 【答案】见解析【解析】（1）作CH AD ⊥的延长线于点H ， ∵AD // BC ，90A ∠=︒，AB = AD ，∴CH AD =，∵DE CD ⊥，∴ADE HCD ∠=∠， ∴ADE ∆≌HCD ∆，∴DE DC =； （2）∵BE 2=BF ·BC ，B B ∠=∠， ∴BEF ∆∽BCE ∆，∴BEF BCE ∠=∠， ∵DF 平分EDC ∠，DE DC =， ∴DEF ∆≌DCF ∆，∴DEF DCF ∠=∠， ∵DEC DCE ∠=∠，∴CEF BCE ∠=∠，∴BEF CEF ∠=∠.总结：本题考查了 “一线三直角”模型及相似和全等三角形的综合应用，通过已知条件构造一线三等角，可以实现快速解题的效果. 【难度】4A BCDEFA BCDEFH【题目】题型1变式练习1相似三角形之一线三等角模型等腰△ABC，AB=AC=8，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转.（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时. 求证：△BPE∽△CFP；（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC 于点E、F.①探究1：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）②探究2：连接EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由；；【答案】见解析【解析】（1）证明：∵在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°，∴∠BPE+∠BEP=150°，又∠EPF=30°，且∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，∴∠BPE+∠CPF=150°，∴∠BEP=∠CPF，∴△BPE∽△CFP（两角对应相等的两个三角形相似）．（2）解：①△BPE∽△CFP；②△BPE与△PFE相似．下面证明结论：同（1），可证△BPE∽△CFP，得CP/BE=PF/PE，又CP=BP，∴BP/PF=BE/PE,∵∠EBP=∠EPF ，∴△BPE ∽△PFE总结：“一线三等角”模型经常出现在等腰三角形、等边三角形、正方形、等腰梯形等几何图形中，因而当题干中出现以上图形时应当注意，有时候当题干给出了一条直线/线段上有两个角相等时，可以考虑构造第三个等角，利用“一线三等角”相似模型进行求解，如上题型1所示. 【难度】4【题目】题型1变式练习2相似三角形之一线三等角模型如图（1），在△ABC 中， AB=AC=5，BC=8，点P 、Q 分别在射线CB ，AC 上（点P 不与点C ，B 重合），且保持∠APQ=∠ABC.（1）若点P 在线段CB 上，且BP=6，求线段CQ 的长；（2）若BP=x ，CQ=y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）正方形ABCD 的长为5，如图（2），点P ，Q 分别在直线CB ，DC 上（点P 不与点C ，B 重合），且保持∠APQ=90°. 当CQ=1时，求出线段BP 的长. 【答案】 （1）125；（2）P 在BC 线段上：y=1(8)5x x -（0<x<8）；P 在BC 的延长线上：y=1(8)5x x +（x ≥8）； （3）当P 在线段BC 上，BP=552+或BP=552-；当P 在BC 的延长线上，PB=5352+ （2）（1）ABCDABPQ CQP【解析】（1）∵∠APQ+∠CPQ=∠B+∠BAP，∠APQ=∠ABC，∴∠BAP=∠CQP，又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△CPQ∽△BAP．∴CQ CP BP AB=，∵AB=AC=5，BC=8，BP=6，CP=8-6=2，∴265CQ=∴CQ=125（2）若点P在线段CB上，由（1）知CQ CP BP AB=，∵BP=x，BC=8，∴CP=BC-BP=8-x，又∵CQ=y，AB=5，∴85y xx-=即y=1(8)5x x-，故所求的函数关系式为y＝1(8)5x x-（0＜x＜8）．若点P在线段CB的延长线上，如图．∵∠APQ=∠APB+∠CPQ，∠ABC=∠APB+∠PAB，∠APQ=∠ABC，∴∠CPQ=∠PAB，又∵∠ABP=180°-∠ABC，∠PCQ=180°-∠ACB，∠ABC=∠ACB，∴∠ABP=∠PCQ．∴△QCP∽△PBA．∴CQ CP BP AB=，∵BP=x，CP=BC+BP=8+x，AB=5，CQ=y，∴85y xx+=∴函数解析式为y=1(8)5x x+（x≥8）.（3）①当点P在线段BC上，∵∠APQ=90°，∴∠APB+∠QPC=90°，∵∠PAB+∠APB=90°，∴∠PAB=∠QPC，∵∠B=∠C=90°，∴△ABP∽△PCQ，∴AB：PC=BP：CQ，即5：（5-BP）=BP：1，ABCDEF解得：BP ＝552+或BP=552- ②当点P 在线段BC 的延长线上，则点Q 在线段DC 的延长线上， 同理可得：△ABP ∽△PCQ ，∴AB ：PC=BP ：CQ ，∴5：（BP-5）=BP ：1， 解得：BP ＝5352+或BP=5352-（舍）总结：本题考查一线三等角模型的相似问题，注意根据点的位置关系进行相应的讨论，属于模拟题以及中考真题中的常考压轴题型，这类题型的综合性一般较强，学生在平时的学习过程中应该养成良好习惯，培养分类讨论的思想. 【难度】5【题目】题型2：相似三角形之母子三角形模型在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，E 是AC 边上的一个动点（不与A 、C 重合），CF BE ⊥于点F ，连接DF.（1）求证：CB 2=BF ·BE ； （2）求证： BF ·AE=FD ·BA【答案】见解析 【解析】ABCDE 证明：（1）90ACB ∠=，CF BE ⊥， ∴90ACB CFB ∠=∠=，又CBF CBE ∠=∠，∴CBF EBC ∆∆∽，∴CB BEBF CB=，∴CB 2=BF ·BE （2）90ACB ∠=，CD BA ⊥， ∴90ACB CDB ∠=∠=，又CBD CBA ∠=∠， ∴CBD ABC ∆∆∽， ∴CB ABBD CB=，即CB 2=BD ·BA ， ∴BF ·BE=BD ·BA ， ∴FB BDBA BE= ，又ABE FBD ∠=∠， ∴FBD ABE ∆∆∽，∴FB FDBA AE=，∴ BF ·AE=FD ·BA 总结:本题考查了三角形相似的判定定理与性质定理，当题干中出现较多垂直、直角时，可以考虑利用母子三角形模型证明三角形相似进行求解. 【难度】4【题目】题型2变式练习1：相似三角形之母子三角形模型如图，90ACB CED ∠=∠=︒，CD AB ⊥于点D ，3AC =，4BC =，求ED 的长. 【答案】3625【解析】3AC =，4BC =，=90ACB ∠︒，225AB AC BC ∴=+=，根据面积法，可知CD AB AC BC ⋅=⋅，解得125CD =， 又CD AB ⊥，=90ACB ∠︒，可得ADC ∆∽ACB ∆， AD AC AC AB ∴=， 代入可得：95AD =，90ACB CED ∠=∠=︒，//DE BC ∴，925DE AD BC AB ∴==， 代入得：3625ED =总结：考查对于“母子三角形”的认识，初步建立可将相似三角形中对应边之比转化为同一三角形中边长比的思想，实际上这个图形中包含5个直角三角形，全部都是两两相似. 【难度】3【题目】题型2变式练习2：相似三角形之母子三角形模型在矩形ABCD 中，点E 是AD 的中点，BE 垂直AC 交AC 于点F ，求证： （1）=；（2）∠EFD=∠DBC【答案】见解析 【解析】证明：（1）∵AC ⊥BE ，∴∠AFB=∠AFE=90°，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAE=90°，∴∠AFE=∠BAE ， 又∵∠AEF=∠BEA ，∴△AEF ∽△BEA ， ∴=（2）∵点E 是AD 的中点，∴AE=ED ，∴=，又∵∠FED=∠DEB ， ∴△DEF ∽△EBD ， ∴∠EFD=∠EDB ， ∵AD//BC ， ∴∠DBC=∠EDB ， ∴∠EFD=∠DBC .总结：本题（1）利用母子三角形模型比较容易证明，第（2）问通常可以使用（1）中的结论进行命题的证明，属于比较常规的证明题. 【难度】3【题目】题型3：相似三角形之公共边角模型四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点E ： （1）若4=EA ，5=EB ，6.1=ED ，2=EC ，求证△EAD 与△EBC 是相似三角形；（2）若∠ABE=∠DCE ，求证AD ·CE=BC ·DE.【答案】见解析 【解析】 （1）∵54EC DE EB EA ==，又∠AED=∠BEC ，∴△EAD ∽△EBC（2）AD 、DE 在△AED 中，BC 、CE 在△BEC 中，即证△EAD ∽△EBC ∵在△ABE 与△DCE 中，∠ABE=∠DCE ，∠AEB=∠DEC ∴△ABE ∽△DCE ，则ECBEDE AE =，又∠AED=∠BEC ∴△EAD ∽△EBC ，即AD ·CE=BC ·DE总结：本题中（2）中的两个相似三角形符合“斜8字”模型，这类模型通常会有一对对顶角，然后再给出一组非内错角相等，通过相似三角形判定定理1即可得证. 对于求证四条线段之间的比例关系，一般按照先定、后找、再证的顺序进行分析，先确定四条线段在哪两个可能相似的三角形中；再找出两个三角形相似所需的条件；最后根据分析，写出证明过程. 【难度】3BA BCDEF 【题目】题型3变式练习1：相似三角形之公共边角模型如图，已知等腰三角形ABC 中，AB = AC ，高AD ，BE 相交于点H. 求证： 4DH ·DA=BC 2【答案】见解析 【解析】 证明：AD 、BE 是高， ∴90ADB BEC ∠=∠=，∴90HBD C ∠+∠=， 90CAH C ∠+∠=，∴HBD CAH ∠=∠， ∴HBD CAD ∆∆∽，∴HD BDCD AD=， 即DH ·AD=BD ·CD ， AB AC AD BC =⊥，， ∴12BD DC BC ==， ∴214DH AD BC =， ∴24DH AD BC =． 总结：本题考查“公共边角”模型，该题中一对直角三角形中不仅出现公共角，还出现了一对对顶角，这些元素很容易证明相应三角形的相似关系，再利用等腰三角形三线合一这一特点即可证明问题. 【难度】3【题目】题型3变式练习2：相似三角形之公共边角模型如图，梯形ABCD 中，AD // BC ，AB = DC ，对角线AC 、BD 相交于点F ，点E 是边BC 延长线上一点，且CDE ABD ∠=∠． （1）求证：四边形ACED 是平行四边形； （2）联结AE ，交BD 于点G ，求证：DG DFGB DB=ABCDE H【答案】见解析【解析】证明：（1）AD // BC，AB = DC，BAD CDA∴∠=∠，AB DC AD AD==，，ABD DCA∴∆≅∆，ACD ABD∴∠=∠，CDE ABD∠=∠，ACD CDE∴∠=∠，∴AC//DE，AD // BC，∴四边形ACED是平行四边形．（2）//AD BC，∴AD DFBC FB=，AD DFBC AD DF FB∴=++，四边形ACED是平行四边形，∴AD CE=，∴AD DFBC CE DF FB=++，即AD DFBE DB=，//AD BE，∴DG ADGB BE=，∴DG DFGB DB=.总结：考查相似中有平行线的情况，即可直接利用图形中的“A”字型和“8”字型等基本图形进行等比例转化，【难度】3【题目】题型4：相似三角形的综合应用如图，将边长为6 cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G，则EBG∆的周长为______cm.【答案】见解析【解析】设DF x=，根据翻折的性质，则有EF x=，6AF x=-，在Rt AEF∆中，用勾股定理，则有222AE AF EF+=，即()22236x x+-=，解得154x=，则94AF=，由90A∠=︒，则有90AFE AEF∠+∠=︒，AB CDEFG HQMNH G FED CBA同时90FEG D ∠=∠=︒，则90AEF EBG ∠+∠=︒，得：AFE BEG ∠=∠，由90A B ∠=∠=︒，可证AEF ∆∽BGE ∆，则AE AF EFBG BE GE==，即9153443BG GE==，解得4BG =，5EG =，故12EBG C cm ∆=． 总结： 本题属于“一线三直角”基本模型，结合翻折、勾股定理相关知识点进行考查，是模拟题中常考题型，一般找出相似三角形，通过线段之间的比例关系列出等式求解，有时还会用到勾股定理或者锐角三角比等. 【难度】4【题目】题型4变式练习1：相似三角形的综合应用如图，点E 是矩形ABCD 的边BC 上一点，EF ⊥AE ，EF 分别交AC 、CD 于点M 、F ，BG ⊥AC ，垂足为点G ，BG 交AE 于点H.（1）求证：ABE ∆∽ECF ∆；（2）找出与ABH ∆相似的三角形，并证明；（3）若E 是BC 的中点，BC = 2AB ，AB = 2，求EM 的长.【答案】（1）见解析；（2）ECM ∆；（3）223【解析】（1）证明：EF AE ⊥，90AEB FEC ∴∠+∠=︒．90ABC ∠=︒ 90AEB BAE ∴∠+∠=︒ BAE FEC ∴∠=∠ 90ABE ECF ∠=∠=︒ ∴ABE ∆∽ECF ∆（2）由（1）BAE FEC ∠=∠，又90ABG GBC GBC BCG ∠+∠=∠+∠=︒ABG ECM ∴∠=∠ ，∴ABH ∆∽ECM ∆（3）作MN BC ⊥交BC 于点N ，则有//MN AB ，由BC = 2AB ，得2CN MN =， 2BC AB BE CE ==，45AB BE AEB FEC ∴=∠=∠=︒，12EN MN CN ∴==，得1233EN EC ==，则2223EM EN ==． 总结：该题涉及了“一线三等角”模型、“ 母子三角形”模型，一般而言，在这些模型中需要从角度入手，通过等量代换达到相似的目的，而在第二问中，往往需要第一问求出的相似，得出对应边或者对应角相等. 【难度】4【题目】题型4变式练习2：相似三角形的综合应用已知：正方形ABCD 的边长为4，点E 为BC 边的中点，点P 为AB 边上一动点，沿PE 翻折得到FPE ∆，直线PF 交CD 边于点Q ，交直线AD 于点G.（1）如图，当BP = 1.5时，求CQ 的长；（2）如图，当点G 在射线AD 上时，设BP = x ，DG = y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）延长EF 交直线AD 于点H ，若CQE ∆∽FHG ∆，求BP 的长.【答案】（1）83；（2）()21616124x y x x -=<<-；（3）233或23 【解析】 （1）连结QE ，ABCD EF GP QABCD EFGP Q290BE EF CE QE QE QFE C ====∠=∠=︒，，， QFE QCE ∴∆≅∆， 12FEQ CEQ FEC ∴∠=∠=∠，()1902PEQ BEF FEC ∴∠=∠+∠=︒， BPE QEC ∴∠=∠， BPE ∴∆∽CEQ ∆， BP BE CE CQ ∴=，即1.522CQ =，解得：83CQ =． （2）由（1）可得：BPE ∆∽CEQ ∆，由BP x =，可得：4CQ x =，则44DQ x=-，4AP x =-， 由//AB CD ，则有DQ GD AP GA=， 即4444y x x y -=-+，整理，得：()21616124x y x x -=<<-． （3）由题意知，90C GFH ∠=︒=∠，①G 在线段AD 的延长线上时，由CQE ∆∽FHG ∆，可知G CQE ∠=∠， CQE FQE ∠=∠，2DQG FQC G ∴∠=∠=∠， 90DQG G ∠+∠=︒，30G BEP ∴∠=︒=∠，BP ∴==， ②G 在线段AD 的反向延长线上时，同理可得：30G BPE ∠=︒=∠，BP ∴==总结：考查翻折与全等、相似等知识点，本题中出现了“母子三角形”比较隐蔽，需要一定的分析才能发现，第二问中出现了“A 字”型模型，通过表示出不同线段的长度，列出比例式即可求解，第三问考察分类讨论的思想，在平时的模拟考中比较常见，需要学生养成良好的解题习惯. 【难度】5【题目】兴趣篇1如图，在直角梯形ABCD 中，AB // CD ，AB ⊥BC ，对角线AC ⊥BD ，垂足为E ，AD=BD ，过E 的直线EF // AB 交AD 于点F.（1）AF = BE ； （2）AF 2 = AE ·EC【答案】见解析 【解析】（1）EF// AB ，AF 不平行EB ，∴四边形FABE 是梯形，又AD BD =， ∴DAB DBA ∠=∠，∴四边形FABE 是等腰梯形， ∴AF BE =；（2）90AEB CEB ∠=∠=，∴90EBA EAB ∠+∠=， 90ECB EAB ∠+∠=，∴EBA ECB ∠=∠． ∴EBA ECB ∆∆∽， ∴EB EAEC EB=， ∴EB 2=EA ·EC ， ∴AF 2=EA ·EC ．总结：本题考查等腰梯形及相似三角形的判定及性质，注意图形中出现“母子三角形”模型，结合第一问的结论就可以得出待证式. 【难度】3【题目】兴趣篇2ABCD EF如图，ABC ∆是等边三角形，D 是AC 上的一点，BD 的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于F.（1） 当点D 在边AC 上移动时，DEF ∆中哪一个角的大小 始终保持不变？并求出它的度数；（2）当点D 在边AC 上移动时，ADE ∆与哪一个三角形始终相似？并写出证明过程．又问：当点D 移动到什么位置时，这两个三角形的相似比为1？（3）若等边三角形ABC 的边长为6，2AD =，试求:BE BF 的值. 【答案】（1）EDF ∠始终不变，且等于60；（2）ADE CFD ∆∆∽，证明见解析；D 移动到AC 中点处时，这两个三角形的相似比为1； （3）45BE BF = 【解析】（1）翻折前后对应角相等，EDF ∠始终不变，且等于60； （2）相似比为1，说明ADE CFD ∆≅∆，得DE DF =； 又DB EF ⊥，所以DB 垂直平分EF ，得BD 平分ABC ∠，则ABC ∆是等边三角形，进而得出结论；（3）45AED CFD C BE DE BF DF C ∆∆=== 总结：本题考查了相似三角形的判定、翻折变换（折叠问题）、相似三角形的性质等的相关知识，通过折叠等边三角形的一个角，可以实现“一线三等角”的效果. 【难度】4【题目】备选试题1ABCDEF如图，在梯形ABCD 中，AB // CD ，90A ∠=︒，2AB =，3BC =，1CD =，点E 是AD的中点.（1） 求证：CDE ∆∽EAB ∆； （2） 证明CDE ∆与CEB ∆相似.【答案】见解析 【解析】（1）证明：过点C 作CF AB ⊥，垂足为F ，如图： 9090A CFB ∠=∠=，，//AD CF ∴，又//AB CD ，∴四边形AFCD 是平行四边形，又90A ∠=，∴平行四边形AFCD 是矩形， 1AF CD AD CF ∴===，，1BF ∴=．在Rt FBC ∆中，2222CF BC BF =-=，22AD ∴=， 点E 是AD 的中点 2ED EA ∴==， ∴22DE CD AB AE ==又90D A ∠=∠=，∴CDE ∆∽EAB ∆．（2）CDE ∆与CEB ∆相似．在Rt DCE ∆中，223CE DC DE =+=， 在Rt CBF ∆中，226BE AE AB =+=，3CE BE CBCD DE CE===， ∴CDE ∆∽CEB ∆． 总结：本题考查了梯形及相似三角形的判定，着重考查学生对相似三角形的判定方法的理解及运用能力．本题实际上是“一线三直角”模型． 【难度】3ABCDEFABCDE【题目】备选试题2如图，已知ABC ∆与ADE ∆都是等边三角形，点D 在BC 边上（点D 不与B 、C 重合），DE 与AC 相交于点F. （1）求证：ABD ∆∽DCF ∆；（2）若BC = 1，设BD = x ，CF = y ，求y 关于x 的函数解析式及定义域； （3）当x 为何值时，79AEF ABD S S ∆∆=？【答案】（1）见解析；（2）y=-x 2+x(0<x<1)；（3）2133x x ==或【解析】（1）ABC ∆、ADE ∆是等边三角形 60,60B C E EDA ∴∠=∠=∠=∠=CDF FDA B DAB ∠+∠=∠+∠,CDF DAB ∴∠=∠ ABD DCF ∴∆∆∽； （2）由（1）得ABD DCF ∆∆∽，AB BDDC CF∴= 11x x y ∴=-()201y x x x ∴=-+<<；（2）易证ABD AEF ∆∆∽， AB ADAE AF∴= 279AEF ABD S AE S AB ∆∆⎛⎫∴== ⎪⎝⎭ 222279AE AF AB AD ∴== ADE ∆是等边三角形 AD AE ∴= 222279AE AF AB AE ∴== 224981AF AB ∴= 1AB = 79AF ∴= 72199y CF ∴==-=， 229x x ∴-+=解得1221,33x x == ∴当2133x x ==或时，79AEF ABD S S ∆∆=． 总结：本题考查旋转的相关知识，本题将相似三角形与旋转部分的知识点结合进行考察，利用“一线三等角”模型能够比较容易找出相似关系.A BCDEF【难度】4。

相似三角形的性质课前测试【题目】课前测试如图，E是矩形ABCD的边CD上的点，BE交AC于点O，已知△COE与△BOC的面积分别为2和8，则四边形AOED的面积为______________。

【答案】38【解析】∵△COE与△BOC的面积分别为2和8，∴OE：OB=2：8=1：4，∵在矩形ABCD中，AB|| CD，AD=BC，AB=CD，∴S△ABC=S△ADC，△COE∽△AOB，∴S△COE：S△AOB=1:16，又S△COE=2，∴S△AOB=32，则S△ABC=40，∴S四边形AOED=40-2=38总结：本题考查了相似三角形的判定与性质定理，首先需要将已知三角形的面积比转变成相应边的比值，再利用相似三角形的相关知识进行求解即可。

【难度】3【题目】课前测试梯形ABCD 的面积为S ，AB//CD ，AB = b ，CD = a （a < b ），对角线AC 、BD 相交于点O ，BOC ∆的面积为29S ，求a ：b 的值。

【答案】1:2 【解析】如图，设COD S ∆的面积为1S ， AOB S ∆的面积为2S ，ABCD S S =梯形，//AB CD ，∴ABD ABC S S ∆∆=，∴ABD AOB ABC AOB S S S S ∆∆∆∆-=-，∴29AOD BOC S S S ∆∆==， 得1225299S S S S S +=-=......①12AOD BOCS S OD S OB S ∆∆==，∴212481BOC AODS S S S S ∆∆==......② 联立①②，1221259481S S S S S S ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：119S S =，249S S =，COD AOB ∆∆∽，2COD AOB S CD S AB ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，2122S a S b∴=， b a < ，12S S ∴< ， 12a b ∴=． 总结：本题考查了梯形的对角线分割成的四个三角形的面积关系。

一、比和比例一般来说，两个数或两个同类的量a与b相除，叫做a与b的比，记作:a b（或表示为ab ）；如果::a b c d=（或a cb d=），那么就说a、b、c、d成比例．二、比例的性质（1）基本性质：如果a cb d=，那么ad bc=；相似三角形知识结构模块一：比例线段知识精讲2 / 34如果a cb d =，那么b d ac =，a b cd =，c d a b=． （2） 合比性质： 如果a cb d =，那么a bc db d++=； 如果a cb d =，那么a bc db d--=． （3） 等比性质： 如果a c kb d ==，那么ac a c k bd b d+===+．三、比例线段的概念对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果::a b c d =（或表示为a cb d=），那么a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段． 四、黄金分割如果点P 把线段AB 分割成AP 和PB （AP PB >）两段（如下图），其中AP 是AB 和PB 的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P 称为线段AB 的黄金分割点．其中，510.6182AP AB -=≈，称为黄金分割数，简称黄金数．五、三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例． 如图，已知ABC ∆，直线l // BC ，且与AB 、AC 所在直线交于点D 和点E ，那么AD AEDB EC=．APBlAB CDEAB C DEAB CDE ll六、三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上， 如果DE // BC ，那么DE AD AE BC AB AC==． 七、三角形的重心定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心．性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍． 八、三角形一边的平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．九、三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．如图，在ABC ∆中，直线l 与AB 、AC 所在直线交于点D 和点E ，如果ADAEDB EC=，那么l //BC ．ABCD EA BCDEAB CDEABCD E4 / 34十、平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例． 如图，直线1l //2l //3l ，直线m 与直线n 被直线1l 、2l 、3l所截，那么DF EGFB GC=．十一、平行线等分线段定理两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上 截得的线段也相等．【例1】 如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 和BC 上．下列所给的四个条件中，不一定能得到DE // AC 的条件是（ ） A ．BE BCBD BA =B ．CE ADBE BD =C ．BD DEBA AC=D ．BC CEAB AD=【难度】★ 【答案】C ．例题解析A BCDEF BC D E F G【解析】如图，作DF DE =，则DF DE AC AC =，∴BD DEBA AC=不能判定DE // AC ，故选C ． 【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选．【例2】 在比例尺为1 : 40000的一张地图上，量得A 、B 两地的距离是37 cm ，那么A 、B两地的实际距离是______km ．【难度】★ 【答案】14.8．【解析】设A 、B 两地的实际距离是x km ，则51371040000x -⨯=，解得：14.8x =． 【总结】本题考查了比例尺的有关计算，注意单位的换算．【例3】 如图，已知1l //2l //3l ，DE = 4，DF = 6，那么下列结论正确的是（ ）A ．BC : EF = 1 : 1B ．BC : AB = 1 : 2 C ．AD : EF = 2 : 3 D ．BE : CF = 2 : 3 【难度】★ 【答案】B ．【解析】::1:2BC AB EF DE ==，故B 正确． 【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用．【例4】 如果线段a = 4 cm ，b = 9 cm ，那么它们的比例中项是______cm ． 【难度】★ 【答案】6．【解析】设它们的比例中项是x cm ，则由题意得249x =⨯，解得：6x =． 【总结】本题考查了比例中项的概念及计算．6 / 34BC DE FGA【例5】 四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边BA 的延长线上，CE 交边AD 于点F ，交对角线BD 于点G ．求证：CG 是EG 与FG 的比例中项． 【难度】★ 【答案】详见解析．【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴CG BG FG GD =，EG BGCG GD=， ∴CG EGFG CG=， ∴CG 是EG 与FG 的比例中项． 【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用．【例6】 已知线段AB = 10，P 是线段AB 的黄金分割点（AP > PB ），则AP =______． 【难度】★ 【答案】555．【解析】由题意得51AP AB -=555AP =． 【总结】本题考查了黄金分割的有关计算．【例7】 已知23a c eb d f ===，18ac e =--，0bd f ++≠，求b d f ++的值． 【难度】★★ 【答案】27．【解析】∵23a c eb d f ===，0b d f ++≠，∴23a c e b d f ++=++， ∵18a c e =--，∴18a c e ++=，∴27b d f ++=．【总结】本题考查了等比性质的应用．【例8】 如果直角三角形的斜边长为18，那么这个三角形的重心到直角顶点的距离为______．【难度】★★ 【答案】6．【解析】如图，易得192CD AB ==，∴263CG CD ==． 【总结】本题考查了重心的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．【例9】 如图，已知AD // EF // BC ，AE = 3BE ，AD = 2，EF = 5，那么BC =______．【难度】★★ 【答案】6．【解析】作AN ∥DC 分别交EF 、BC 于点M 、N ，由题意得2NC MF AD ===，EM AEBN AB=， 即334BN =，∴4BN =，∴6AB =． 【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用．【例10】 如图，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边AB 、BC 上，EF 与对角线BD 交于点G ，如果BE = 5，BF = 3，那么FG : EF 的比值是_______．【难度】★★A BCDEF M NA BCDEFGH【答案】38．【解析】作GH AB⊥于点H，易得GH BH=，∵GH EHBF EB=，535GH GH-=，解得：158GH=，∴38 FG BHEF BE==．【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用，注意比和比值的区别．【例11】如图，BD是ABC∆的角平分线，点E、F分别在BC、AB上，且DE // AB，DEF A∠=∠．（1）求证：BE = AF；（2）设BD与EF交于点M，联结AE，交BD于点N，求证：BN MD BD ND=．【难度】★★【答案】详见解析．【解析】（1）∵DE // AB，DEF A∠=∠，∴AD∥EF，∴四边形AFED是平行四边形，∴AF DE=，ABD EDB∠=∠，∵BD是ABC∆的角平分线，∴ABD EBD∠=∠，∴EDB EBD∠=∠，∴BE DE=，∴BE AF=；（2）∵DE // AB，∴BN AB ND ED=，∵AD∥EF，∴BD ABMD AF=，MAFB E CDN8/ 34ABCDEFM∵ED AF =，∴BD AB MD ED =，∴BN BDND MD=， ∴BN MD BD ND ⋅=⋅．【总结】本题考查了平行四边形的判定及平行线分线段成比例定理．【例12】 如图，在直角梯形ABCD 中，AD // BC ，90DAB ABC ∠=∠=︒，E 为CD 的中点，联结AE 并延长交BC 的延长线于F ； （1）联结BE ，求证：BE = EF ．（2）联结BD 交AE 于M ，当AD = 1，AB =2，AM = EM 时，求CD 的长． 【难度】★★【答案】（1）详见解析；（2）5CD =．【解析】（1）∵AD // BC ，DE EC =，易得ADE ∆≌FCE ∆， ∴E 为AF 的中点，∵90DAB ABC ∠=∠=︒， ∴BE EF =；（2）∵AM EM =，∴13AM MF =，∴13AD BF =， ∵1AD CF ==，∴3BF =，2BC =，∵2AB =，∴()225DC BC AD AB -+．【总结】本题考查了直角三角形的性质、平行线分线段成比例定理及勾股定理等．10 / 34一、 相似三角形的定义如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．如图，DE 是ABC ∆的中位线，那么在ADE ∆与ABC ∆中， A A ∠=∠， ADE B ∠=∠，AED C ∠=∠；12AD DE AE AB BC AC ===．由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作ADE ∆∽ABC ∆，其中点A 与点A 、点D 与点B 、点E 与点C 分别是对应顶点；符号“∽”读作“相似于”．用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“∆”后相应的位置上．根据相似三角形的定义，可以得出：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）．（2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 二、 相似三角形的预备定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．模块二：相似三角形DABCE知识精讲AB C A 1B 1C 1如图，已知直线l 与ABC ∆的两边AB、AC 所在直线分别交于点D 和点E ， 则ADE ∆∽ABC ∆．三、 相似三角形判定定理1如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两角对应相等，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果1A A ∠=∠、1B B ∠=∠，那么ABC ∆∽111A B C ∆．常见模型如下：ABCDEAB C DEAB CDE12 / 34AB C AB CABC A 1B 1C 1四、 相似三角形判定定理2如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似． 如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，1A A ∠=∠，1111AB ACA B AC =，那么ABC ∆∽111A B C ∆．五、 相似三角形判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． 可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果111111AB BC CAA B B C C A ==，那么ABC ∆∽111A B C ∆．六、 直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似． 如图，在Rt ABC ∆和111Rt A B C ∆中，如果190C C ∠=∠=︒，1111AB BCA B B C =， 那么ABC ∆∽111A B C ∆．七、 相似三角形性质定理相似三角形性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都 等于相似比．相似三角形性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比． 相似三角形性质定理3：相似三角形的面积的比等于相似比的平方．例题解析ABCA 1B 1C 114/ 34AB CDEF【例13】在下列44⨯的正方形网格图中，每个小正方形的边长都是1，三角形的顶点都在格点上，那么与图1中ABC∆相似的三角形所在的网格图是（）A．B．C．D．【难度】★【答案】B．【解析】由图易得ABC∆为直角三角形，且:1:2BC AB=，故选B．【总结】本题考查了相似三角形的判定．【例14】已知ABC∆∽DEF∆，且相似比为3 : 4，2ABCS∆=cm2，则DEFS∆=______ cm2．【难度】★【答案】329．【解析】由题意得234ABCDEFSS∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴329DEFS∆=cm2．【总结】本题考查了相似三角形的性质．【例15】如图，已知点D是ABC∆中的边BC上的一点，BAD C∠=∠，ABC∠的平分线交边AC于点E，交AD于F，那么下列结论中错误的是（）A．BAC∆∽BDA∆B．BFA∆∽BEC∆图1ABCDABCD EF C ．BDF ∆∽BEC ∆ D ．BDF ∆∽BAE ∆【难度】★ 【答案】C ．【解析】∵BAD C ∠=∠，ABD CBA ∠=∠，∴BAC ∆∽BDA ∆； ∵BAD C ∠=∠，ABF CBF ∠=∠，∴BFA ∆∽BEC ∆；∵BAE BDF ∠=∠，ABF CBF ∠=∠，∴BDF ∆∽BAE ∆；故C 错误．【总结】本题考查了相似三角形的判定．【例16】 如图，已知点D 在ABC ∆的边AB 上，且ACD B ∠=∠，:1:3ACD DBC S S ∆∆=．求AC AB的值． 【难度】★【答案】12．【解析】∵ACD B ∠=∠，CAD BAC ∠=∠，∴CAD BAC ∆∆，∴22::CAD BAC S S AC AB ∆∆=，∵:1:3ACD DBC S S ∆∆=，∴:1:4CAD BAC S S ∆∆=，∴12AC AB =． 【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质．【例17】 如图，已知点E 、F 分别在矩形ABCD 的边BC 和CD 上，EF AE ⊥，BE = 3 cm ，AB = 6 cm ，矩形ABCD 的周长为28 cm ，求CF 的长．【难度】★16 / 34ABCDEAMG【答案】52CF =cm ． 【解析】∵AB = 6 cm ，矩形ABCD 的周长为28 cm ， ∴8BC =cm ，∴5EC =cm ，∵EF AE ⊥， 易证ABE ∆∽ECF ∆，∴AB BE EC CF =，即635CF =，解得：52CF =cm ． 【总结】本题考查了一线三等角基本模型的运用．【例18】 如图，已知点D 、E 分别在ABC ∆边AB 、AC 上，DE // BC ，BD = 2AD ，那么:DEB EBC S S ∆∆等于（ ）A ．1 : 2B ．1 : 3C ．1 : 4D ．2 : 3【难度】★★ 【答案】B ．【解析】∵BD = 2AD ，∴2BDE ADE S S ∆=，∵DE // BC ，∴9ABC ADE S S ∆∆=，∴6EBC ADE S S ∆∆=，∴:DEB EBC S S ∆∆1:3=．【总结】本题考查了相似三角形的性质及同底等高模型的综合运用．【例19】 如图，ABC ∆中，如果AB = AC ，AD ⊥BC 于点D ，M 为AC 中点，AD 与BM 交于点G ，那么:GDM GAB S S ∆∆的值为_______．【难度】★★ABCDEF【答案】14． 【解析】∵AB = AC ，AD ⊥BC ， ∴BAD CAD ∠=∠，BD DC =， ∵M 为AC 中点，∴DM AM =，∴BAD MDA ∠=∠， ∴GDM ∆∽GAB ∆，∵点G 为ABC ∆的重心，∴214GDM GAB S GD S GA ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭． 【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质，同时考查了重心的性质．【例20】 如图，已知ABC ∆中，AB = AC ，CD 是边AB 上的高，且CD = 2，AD = 1，四边形BDEF 是正方形．CEF ∆和BDC ∆相似吗？试证明你的结论．【难度】★★【答案】相似，详见解析．【解析】由题意，可得：5AC AB =∴51BD DE EF ===，∴35CE =∴51BD DC -=355151CE EF --==-，∴BD CEDC EF=，∵BDC CEF∠=∠，∴CEF∆∽BDC∆．【总结】本题考查了相似三角形的判定．【例21】已知：如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且BAC BDC DAE∠=∠=∠．（1）求证：ABE∆∽ACD∆；（2）求证：BC AD DE AC=．【难度】★★【答案】详见解析．【解析】（1）∵BAC BDC DAE∠=∠=∠，∴BAE CAD∠=∠，∵BEA EDA DAE∠=∠+∠，CDA EDA BDC∠=∠+∠，∴BEA CDA∠=∠，∴ABE∆∽ACD∆；（2）由（1）知AB AEAC AD=，∴AB ACAE AD=，又∵BAC EAD∠=∠，∴ABC∆∽AED∆，∴BC ACED AD=，∴BC AD DE AC=．【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质的综合运用．EDCBA18/ 34ABCD EFGHA BCD EF 【例22】 如图，已知：四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边BA 的延长线上，CE 交AD于点F ，ECA D ∠=∠． （1）求证：ECA ∆∽ECB ∆； （2）若DF = AF ，求AC : BC 的值． 【难度】★★【答案】（1）详见解析；（22． 【解析】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴B D ∠=∠，∵ECA D ∠=∠，∴ECA B ∠=∠， 又∵E E ∠=∠， ∴ECA ∆∽ECB ∆； （2）∵DF AF =，易证DC AE AB ==，∴2EB EA =，由（1）得AC EC EA BC EB EC ==，即2EC EAEA EC=，∴2EC EA =， ∴22AC EA BC EC ==． 【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质的应用．【例23】 如图，BD 是平行四边形ABCD 的对角线，若45DBC ∠=︒，DE BC ⊥于E ，BF CD ⊥于F ，DE 与BF 相交于H ，BF 与AD 的延长线相交于G ．求证：（1）CD = BH ； （2）AB 是AG 和HE 的比例中项． 【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）∵45DBC ∠=︒，DE BC ⊥， ∴ED EB =，∵BF CD ⊥，∴EBH CDE ∠=∠，∴EDC ∆≌EBH ∆，20 / 34∴CD BH =；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴C A ∠=∠，∴BHE A ∠=∠，∵EBH BGA ∠=∠，∴EBH ∆∽BGA ∆，∴AG ABHB HE=， ∵HB CD AB ==，∴AG ABAB HE=，∴AB 是AG 和HE 的比例中项． 【总结】本题考查了全等及相似三角形的判定．【例24】 如图，已知等腰ABC ∆中，AB = AC ，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ．（1）求证：CAD ECB ∠=∠；（2）点F 是AC 的中点，联结DF ，求证：2BD FC BE =．【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ， ∴BAD ECB ∠=∠， ∵AB = AC ，∴BAD CAD ∠=∠， ∴CAD ECB ∠=∠； （2）由题意得12ED BC BD ==，∴DBE DEB ∠=∠， ∵点F 是AC 的中点，∴12DF AC FC ==，∴DCF FDC ∠=∠， ∵DBE DCF ∠=∠，∴CDF ∆∽BED ∆， ∴CD FC BE BD =，∵CD BD =，∴BD FCBE BD=， ∴2BD FC BE =．CBADEFABC D E F G【总结】本题考查了直角三角形的性质及相似三角形的判定．【例25】 如图，已知在梯形ABCD 中，AD // BC ，90A ∠=︒，AB = AD ．点E 在边AB 上，且DE CD ⊥，DF 平分EDC ∠，交BC 于点F ，联结CE 、EF ． （1）求证：DE = DC ；（2）如果2BE BF BC =，求证：BEF CEF ∠=∠． 【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）作CH AD ⊥的延长线于点H ， ∵AD // BC ，90A ∠=︒，AB = AD ，∴CH AD =，∵DE CD ⊥，∴ADE HCD ∠=∠， ∴ADE ∆≌HCD ∆，∴DE DC =；（2）∵2BE BF BC =，B B ∠=∠，∴BEF ∆∽BCE ∆，∴BEF BCE ∠=∠， ∵DF 平分EDC ∠，DE DC =，∴DEF ∆≌DCF ∆，∴DEF DCF ∠=∠，∵DEC DCE ∠=∠，∴CEF BCE ∠=∠，∴BEF CEF ∠=∠．【总结】本题考查了一线三直角模型及相似和全等三角形的综合应用．【例26】 已知：如图，在ABC ∆中，AB = AC ，点D 、E 分别是边AC 、AB 的中点，DF ⊥AC ，DF 与CE 相交于点F ，AF 的延长线与BD 相交于点G ．（1）求证：2AD DG BD =；（2）联结CG ，求证：ECB DCG ∠=∠． 【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）∵AB = AC ，点D 、E 分别是边AC 、AB 的中点，A BCDEFH∴ACE∆≌ABD∆，∴ABD ACE∠=∠，∵DF⊥AC，∴FAD FCD∠=∠，∴ABD FAD∠=∠，∴DAG∆∽DBA∆，∴AD DG BD AD=，∴2AD DG BD=；（2）∵AD DC=，∴DC DG BD DC=，∵CDG BDC∠=∠，∴CDG∆∽BDC∆，∴DBC DCG∠=∠，∵ABC ACB∠=∠，∴ABD GCB∠=∠，∴ACE GCB∠=∠，∴ECB DCG∠=∠．【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质．ABCD EFG【例27】 如图，直角梯形ABCD 中，90B ∠=︒，AD // BC ，BC = 2AD ，点E 为边BC 的中点．（1）求证：四边形AECD 为平行四边形；（2）在CD 边上取一点F ，联结AF 、AC 、EF ，设AC 与EF 交于点G ，且EAF CAD ∠=∠．求证：AEC ∆∽ADF ∆；（3）在（2）的条件下，当45ECA ∠=︒时，求：FG : EG 的比值． 【难度】★★【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）45．【解析】（1）∵BC = 2AD ，点E 为边BC 的中点， ∴AD EC =，∵AD // BC ，∴四边形AECD 为平行四边形；（2）∵EAF CAD ∠=∠，∴EAC DAF ∠=∠， ∵四边形AECD 为平行四边形，∴AEC D ∠=∠， ∴AEC ∆∽ADF ∆；（3）∵45ECA ∠=︒，∴AB BC =，设1AD =，则1BE EC ==，2AB =，∴5AE =∵AEC ∆∽ADF ∆，∴AD DFAE EC=，解得5DF =，∴45FC ， ∴45FG FC EG AE ==．24 / 34【总结】本题考查了平行四边形的判定、勾股定理、相似三角形的判定及性质的综合运用，综合性较强，解题时注意进行分析．【例28】 如图，已知在ABC ∆中，P 是边BC 上的一个动点，PQ // AC ，PQ 与边AB 相交于点Q ，AB = AC = 10，BC = 16，BP = x ，APQ ∆的面积为y ． （1）求y 关于x 的函数解析式；（2）试探索：APQ ∆与ABP ∆能否相似？如果能相似，请求出x 的值，如果不能相似，请说明理由．【难度】★★★【答案】（1）()23301616y x x x =-<<；（2）能相似，394x =． 【解析】（1）作AH BC ⊥于点H ，ABCPQ H∵AB = AC = 10，BC = 16，∴6AH =，∴1482ABC S BC AH ∆=⋅⋅=，132ABP S BP AH x ∆=⋅⋅=， ∵PQ // AC ，∴BPQ ∆∽BCA ∆，∴22256BPQ BCAS BP x S BC ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴2316BPQ x S ∆=，∴23316APQ ABP BPQ S S S x x ∆∆∆=-=-，即()23301616y x x x =-<<； （2）能相似，此时394x =，详解如下： ∵BPQ ∆∽BCA ∆，∴BQ BP BA BC =，∴58BQ x =，∵AQP B ∠>∠，∴AQP APB ∠=∠，∴APQ ∆∽ABP ∆，∴AP PQ AB BP =，即5810xAP x =，解得：254AP =，∵AQ PQ AP BP =，即551088254x xx -=，解得：394x =， 综上，APQ ∆与ABP ∆能相似，此时394x =． 【总结】本题考查了相似三角形的性质及相似三角形的存在性问题．26 / 34ABCMN【习题1】 如果两个相似三角形的面积的比为4 : 9，那么它们对应的角平分线的比是______． 【难度】★ 【答案】2:3．【解析】相似三角形面积比等于相似比的平方． 【总结】本题考查了相似三角形的性质．【习题2】 如图，ABC ∆和AMN ∆都是等边三角形，点M 是ABC ∆的重心，那么AMNABCS S ∆∆的值为（ ） A ．23B ．13C ．14D ．49【难度】★★ 【答案】B ．【解析】∵点M 是ABC ∆的重心，设2AM =，则可得23AB =，∴AMN ABC S S ∆∆213AM AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故选B ． 【总结】本题考查了相似三角形及重心的性质的综合运用．【习题3】 如图，AB // DC ，DE = 2AE ，CF = 2BF ，且DC = 5，AB = 8，则EF =______． 【难度】★★随堂检测CDMABCDEF O P【答案】7．【解析】延长AD 、BC 交于点M ，∵AB // DC ，∴MD MCDA CB=， ∵DE = 2AE ，CF = 2BF ，∴MD MCDE CF=，∴EF // DC ， 过点D 作DH ∥CB ，易求7EF =．【总结】本题考查了本题考查了平行线分线段成比例定理的运用．【习题4】 已知，如图，D 、E 、F 分别是ABC ∆的边BC 、AB 、AC 的中点，AD 与EF 相交于点O ，线段CO 的延长线交AB 于点P ，求证：AB = 3AP ．【难度】★★【答案】详见解析．【解析】∵D 、E 、F 分别是ABC ∆的边BC 、AB 、AC 的中点， ∴EF ∥BC ，22BD CD OE OF ===，设PE k =，则14PE OE PB BC ==，∴4PB k =，3BE k =，∴3AE k =， ∴2AP k =，6AB k =，∴3AB AP =．【总结】本题考查了三角形一边平行线的性质定理及中位线性质定理的运用．【习题5】 如图，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ．（1）求证：CD DF BC BE =；（2）若M 、N 分别是AB 、AD 中点，且60B ∠=︒，求证：EM // FN ．ABCDEFMNG28 / 34ABCDEF【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴B D ∠=∠， ∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∴ABE ∆∽ADF ∆，∴AB BEAD DF=，∵AB CD =，AD BC =， ∴CD DF BC BE =；（2）延长EM 、DA 交于点G ，∵M 、N 分别是AB 、AD 中点，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∴EM BM =，FN ND =， ∵60B ∠=︒，∴BME ∆、DFN ∆为等边三角形， ∴60BEM DNF ∠=∠=︒，∵G BEM ∠=∠，∴G DNF ∠=∠，∴EM // FN ．【总结】本题考查了相似三角形的判定及直角三角形的有关性质．【习题6】 如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 是边BC 上一点，点E 、F 分别是线段AB 、AD 中点，联结CE 、CF 、EF ． （1）求证：CEF ∆≌AEF ∆；（2）联结DE ，当BD = 2CD 时，求证：DE = AF ．【难度】★★【答案】详见解析．【解析】（1）∵90ACB∠=︒，点E、F分别是线段AB、AD中点，∴12CF AD AF==，12CE AB AE==，∵EF EF=，∴CEF∆≌AEF∆；（2）∵点E、F分别是线段AB、AD中点，∴EF∥BD，12EF BD=，∵BD = 2CD，∴EF CD=，∴四边形CFED是平行四边形，∴DE CF=，∵CF AF=，∴DE AF=．【总结】本题考查了直角三角形的性质、三角形全等及平行四边形的判定和性质的综合运用．【习题7】已知正方形ABCD的对角线相交于点O，CAB∠的平分线分别交BD、BC于点E、F，作BH AF⊥，垂足为H ，BH的延长线分别交AC、CD于点G、P．（1）求证：AE = BG；（2）求证：GO AG CG AO=．【难度】★★【答案】详见解析．【解析】（1）∵ABCD为正方形，∴OA OB=，AC BD⊥，∵BH AF⊥，∴BGO BEH∠=∠，∵AEO BEH∠=∠，∴BGO AEO∠=∠，∴AEO∆≌BGO∆，∴AE BG=；（2）∵AF为CAB∠的平分线，∴OAE BAF∠=∠，∵CBP BAF∠=∠，∴OAE∆∽CBP∆，∴OE PCAO BC=，∵AB BC=，GO OE=，∴GO PCAO AB=，A BCD PGOFHE30 / 34ABCDE F∵PC ∥AB ，∴CG PCAG AB=， ∴GO CGAO AG=，∴GO AG CG AO =． 【总结】本题考查了正方形的性质及相似三角形的判定．【作业1】 若ABC ∆∽111A B C ∆（其中点A 和1A 、B 和1B 、C 和1C 分别对应），且AB = 4，11A B= 6，则ABC ∆的周长和111A B C ∆的周长之比是（ ）A ．9 : 4B ．4 : 9C ．2 : 3D ．3 : 2【难度】★ 【答案】C ．【解析】相似三角形的周长比等于相似比． 【总结】本题考查了相似三角形的性质．【作业2】 已知，如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 为AB 的中点，BE CD ⊥，垂足为点F ，BE 交AC 于点E ，CE = 1cm ，AE = 3 cm ． 求证：（1）ECB ∆∽BCA ∆；（2）求斜边AB 的长．课后作业【难度】★【答案】详见解析．【解析】（1）∵BE CD⊥，90ACB∠=︒，∴ACD CBE∠=∠，∵点D为AB的中点，∴CD AD=，∴ACD DAC∠=∠，∴CBE A∠=∠，∴ECB∆∽BCA∆；（2）由（1）得CB CECA CB=，解得：2CB =cm，∴2225AB AC BC=+=cm．【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质，注意观察母子形．【作业3】已知：如图，线段AB // CD，AC CD⊥，AC、BD相交于点P，E、F分别是线段BP和DP的中点．（1）求证：AE // CF；（2）如果AE和DC的延长线相交于点Q，M、N分别是线段AP和DQ的中点，求证：MN = CE．【难度】★★【答案】详见解析．【解析】（1）∵AB // CD，∴AP BP PC PD=，∵E、F分别是线段BP和DP的中点，A BCDEFPQNM32 / 34∴22AP PE PEPC PF PF==， ∴AE // CF ；（2）∵AC CD ⊥，E 、F 分别是线段BP 和DP 的中点，∴AE EP EB ==，∵EA EBEQ ED=，∴ED EQ =， ∵M 、N 分别是线段AP 和DQ 的中点，∴EM AC ⊥，EN DQ ⊥，∴四边形MNCE 是矩形，∴MN CE =．【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理和矩形的判定及性质．【作业4】 如图，已知在四边形ABCD 中，AD // BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，BD 平分ABC ∠，过点D 作DF // AB ，分别交AC 、BC 于点E 、F ． （1）求证：四边形ABFD 是菱形；（2）设AC AB ⊥，求证：AC OE AB EF =． 【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）∵AD // BC ，DF // AB ，∴四边形ABFD 是平行四边形， ∵BD 平分ABC ∠，∴ABD DBC ∠=∠，∵ADB DBC ∠=∠， ∴ABD ADB ∠=∠，∴AB AD =，∴四边形ABFD 是菱形； （2）连接OF ，易证AOB ∆≌FOB ∆，∵AC AB ⊥，∴OF BC ⊥，∵DF // AB ，∴EF OC ⊥，∴CEF ∆∽FEO ∆，∴EF CEEO EF=， ∵CE EF AC AB =，即CE AC EF AB =，∴EF ACEO AB=，∴AC OE AB EF =． 【总结】本题考查了菱形的判定及相似三角形的判定及性质的综合运用．ABC DEFO【作业5】 已知：如图，四边形ABCD 是菱形，点E 在边CD 上，点F 在BC 的延长线上，CF = DE ，AE 的延长线与DF 相交于点G ． （1）求证：CDF DAE ∠=∠；（2）如果DE = CE ，求证：AE = 3EG ．【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AD DC =，ADE DCF ∠=∠，∵CF = DE ，∴ADE ∆≌DCF ∆，∴CDF DAE ∠=∠；（2）延长AG 、BF 交于点M ， ∵DE = CE ，易证ADE ∆≌MCE ∆，∴AE EM =，AD CM =， 设1DE =，则2AD DC CM ===，1CF FM ==，∴12MG MF AG AD ==，设MG k =，则2AG k =，1322AE AM k ==，∴12EG k =，∴3AE EG =．【总结】本题考查了全等三角形的判定及相似三角形的性质．【作业6】 已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，联结BE ，过点A 作AF BE ⊥，分别交BE 、CD 于点H 、F ，联结BF ． （1）求证：BE = BF ；（2）联结BD ，交AF 于点O ，联结OE ．求证：AEB DEO ∠=∠． 【难度】★★ 【答案】详见解析．EDCG FABMAB CDEFHO【解析】（1）∵四边形ABCD 是正方形，AF BE ⊥， ∴AB AD =，DAF ABE ∠=∠，∴DAF ∆≌ABE ∆，∴AE DF =，∴点F 为DC 中点，∴CBF ∆≌ABE ∆，∴BE BF =；（2）∵DE DF =，EDO FDO ∠=∠，DO DO =， ∴EDO ∆≌FDO ∆，∴DEO DFO ∠=∠，由（1）得AEB DFO ∠=∠，∴AEB DEO ∠=∠．【总结】本题考查了全等三角形的判定及正方形的性质的综合运用．。

AB CD EFG HT重难点专项突破：相似三角形中的“内接矩形”【知识梳理】相关模型：常用结论：AT DEAH BC=．【考点剖析】例1.如图，正方形DEFG的边EF在ABC∆的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，AH是ABC∆的高，BC = 60厘米，AH = 40厘米，求正方形DEFG的边长．【答案】24．【解析】设正方形EFGD的边长为x，//DG BC，DG AD APBC AB AH∴==．406040x x−∴=，24x∴=，∴正方形EFGD的边长为24．【总结】本题考查三角形内接正方形的相关知识，主要还是通过比例相等来列式建立关系．AB CDE FGHP例2.ABC ∆中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上，BC = 15，BC 边上的高AD = 10，求正方形EFGH 的面积．【答案】36．【解析】设正方形EFGH 的边长为a ，易知：////HE AD HG BC ，．HE BH AD BA ∴=，HG AH BC AB =． 1HE HG AD BC ∴+=，11015a a ∴+=， 6a ∴=， ∴正方形EFGH 的面积为36．【总结】本题考查三角形内接正方形的模型，熟练掌握此题涉及的知识点．例3.如图，在ABC ∆中，矩形DEFG 的一边DE 在BC 边上，顶点G 、F 分别在AB 、AC 边上，AH 是BC 边上的高，AH 与GF 交于点K ．若32AH cm =，48BC cm =，矩形DEFG 的周长为76cm ，求矩形DEFG 的面积．【答案】2360cm ．【解析】解：设DG xcm =，()38FG x cm =−A B C H GF E D ABC D E FG H K矩形DEFG ，//90GF BC GDB ∴∠=，， GF AG BC AB ∴=,又AH 是高，90AHB ∴∠=，GDB AHB ∴∠=∠//DG AH ∴, DG BG AH AB ∴=，1DG GF AH BC ∴+=,3813248x x −∴+=，20x ∴=，∴20DG cm =，18FG cm =，2360DEFG S cm ∴=矩形． 【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的周长面积等知识．例4.在锐角∆ABC 中，矩形DEFG 的顶点D 在AB 边上，顶点E 、F 在BC 边上， 顶点G 在AC 边上，如果矩形DEFG 的长为6，宽为4，设底边BC 上的高为x ，∆ABC 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式．【答案】23(4)4x y x x =>−．【解析】解：如图， 矩形DEFG ，//90GD BC DEC ∴∠=，，GD AD BC AB ∴=．又 AH 是高，90AHC ∴∠=．DEC AHC ∴∠=∠，//DE AH ∴，DE BD AH AB ∴=，1DG DE BC AH ∴+=， 641BC x ∴+=，64xBC x ∴=−， 又 12ABC S y BC AH ∆==，∴()2344x y x x =>−．【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的面积等知识．例5.如图，矩形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上， AH 为BC 边上的高，AH 交DG 于点P ，已知3AH =，5BC =，设DG 的长为x ，矩形DEFG 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式及其定义域．【答案】()233055y x x x =−+<<．【解析】解：矩形DEFG ，//,90GD BC DEC ∴∠=，GD AD BC AB ∴=，又AH 是高，90AHC ∴∠=， DEC AHC ∴∠=∠,//DE AH ∴,DE BD AH AB ∴=，1DG DE BC AH ∴+=，153x DE ∴+=，又DEFG S y x DE ==•矩形，20x ∴=，∴y DE x =， 153x y x ∴+=，∴()233055y x x x =−+<<．【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的面积等知识．AB CE F GD H P例6.一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5m ，面积为1.5m 2，现需把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1），乙设计方案如图（2）．你认为哪位同学设计的方案较好？请说明理由（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数）． 【答案】甲同学方案好，理由略．【解析】解：21 1.52ABC S AB BC m ∆=•=,又 1.5AB m =，2CB m ∴=∴在Rt ABC ∆中， 2.5AC m =．按甲的设计：设DE x =，正方形DEFB ，//,//ED BF EF CB ∴，DE CE AB CA ∴=,EF AE CB AC =，1DE EF BA CB ∴+=，11.52x x ∴+=，67x m ∴=，23649DEFB S m ∴=正；②按乙的设计：过点B 作BH AC ⊥交AC 于点H ，得//DG BH ，DG AD BH AB ∴=, 设DE x =，则DG x =，正方形DGFE ，//ED AC DE DG ∴=，，DE BD AC BA ∴=，1DE DG CA HB ∴+=，1122ABC S AB BC AC BH ∆=•=•，65BH m ∴=，162.55x x ∴+=， 3037x m ∴=，29001369DGFE S m ∴=正；综上，甲设计方案好．【总结】本题考查了三角形一边的平行线，正方形的面积等知识，本题考查了最优化问题．A B CD E F A BCD EF G H【过关检测】一、单选题 在ABC 的边，ABC 的面积是 A ．4B ．8 【答案】A 【分析】过点A 作AH BC ⊥于H ，交GF 于M ，如图，先利用三角形面积公式计算出8AH =，设正方形DEFG 的边长为x ，则,,8GF x MH x AM x ===−，再证明AGF ABC ∽，则根据相似三角形的性质得方程，然后解关于x 的方程即可．【详解】解：如图，过点A 作AH BC ⊥于H ，交GF 于M ，∵ABC 的面积是32，8BC =，∴2132BC AH ⋅=，∴8AH =，设正方形DEFG 的边长为x ，则,,8GF x MH x AM x ===−，∵GF BC ∥，∴AGF ABC ∽，∴GF AM BC AH = ， 888x x −∴= ，解得∶4x =，即这个正方形的边长是4．故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质，添加合适的辅助线是解题的关键． 2．（2022秋·上海奉贤·九年级校考期中）如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB AC 、 上，已知ABC 的边BC 长15厘米，高AH 为10厘米，则正方形DEFG 的边长是（ ）A ．4厘米B ．5厘米C ．6厘米D ．8厘米【答案】C 【分析】由DG BC ∥得ADG ABC △△，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比列方程求解即可．【详解】解：设正方形的边长为x ．∵正方形DEFG 得，∴DG EF ∥，即DG BC ∥，∵AH BC ⊥，∴AP DG ⊥．∵DG BC ∥∴ADG ABC △△∴DG AP BC AH =． ∵PH BC DE BC ⊥⊥，∴PH ED AP AH PH −＝，＝，即DG AH PH BC AH −=，∵1510BC AH DE DG x ====，， ，∴101510x x −=，解得6x =．故正方形DEFG 的边长是6cm ．故选C ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点．由平行线得到相似三角形并利用相似三角形的性质是解答本题的关键．二、填空题 3．（2021秋·上海·九年级校考阶段练习）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，正方形DEFG 的边GF 在AB 边上，顶点D 、E 分别在AC 、BC 上，12AB =，若ABC 的面积为36，则DE 的长为______．【答案】4【分析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，交DE 于点M ，设正方形DEFG 的边长为x ，利用ABC 的面积求出6CH =，证明CDE CAB ∽△△，则CM DE CH AB =，列方程即可求得答案．【详解】解：过点C 作CH AB ⊥于点H ，交DE 于点M ，设正方形DEFG 的边长为x ，∵ABC 的面积为36，12AB =，∴6CH =，∵DE AB ∥，∴CM DE ⊥，CDE CAB ∽△△，∴CM DE CH AB =， ∴6612x x −=，解得4x =，即DE 的长为4，故答案为：4【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是是解题的关键． 4．（2021秋·上海闵行·九年级统考期中）如图，已知正方形DEFG 的顶点D 、E 在△ABC 的边BC 上，顶点G 、F 分别在边AB 、AC 上，如果BC ＝4，BC 边上的高是6，那么这个正方形的边长是____．【答案】2.4/125【分析】作AH ⊥BC 于H ，交GF 于M ，设正方形DEFG 的边长为x ，则GF=x ，MH=x ，AM=6-x ，再证明△AGF ∽△ABC ，则根据相似三角形的性质得4x =66x−，然后解关于x 的方程即可．【详解】作AH ⊥BC 于H ，交GF 于M ，如图，∵BC 边上的高是6，即6AH =设正方形DEFG 的边长为x ，则GF=x ，MH=x ，AM=6-x ，∵GF ∥BC ，∴△AGF ∽△ABC ，∴GF BC =AMAH ，即4x =66x −，解得x=125，即正方形DEFG 的边长为125．故答案为：125．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在应用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算相应线段的长．也考查了正方形的性质． 5．（2023·上海长宁·统考一模）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，正方形EFGH 的边FG 在ABC 的边AB 上，顶点E 、H 分别在边AC 、BC 上，如果其面积为24，那么AF BG ⋅的值为______．【答案】24【分析】通过证明Rt Rt AFE HGB ∽，则AF BG EF HG ⨯=⨯，即可得到答案．【详解】90C ∠=︒，正方形EFGH 的四个顶点在三角形的边上，90A B ∴∠+∠=，90B BHG ∠+∠=，Rt Rt AFE HGB ∴∽，=24AF BG EF HG ∴⨯=⨯．故答案为24．【点睛】本题主要涉及三角形相似的判定和相似三角形的性质应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．6．（2022秋·上海·九年级上外附中校考阶段练习）如图，矩形DEFG 为ABC 的内接矩形，点G ，F 分别在,AB AC 上，AH 是BC 边上的高，10,6,:2:5BC AH EF GF ===，则矩形DEFG 的面积为___________．【答案】725【分析】设2,5EF x GF x ==，可得62AK x =-，根据~AGF ABC ∆∆，可得AK GF AH BC =，可求出x ，即可求解．【详解】解：∵:2:5EF GF =，∴可设2,5EF x GF x ==，∵矩形DEFG 为ABC 的内接矩形，AH 是BC 边上的高，∴2KH EF x ==，GF BC ∥，∴62AK x =-，AH FG ^，∵GF BC ∥，∴~AGF ABC ∆∆， ∴AK GF AH BC =， 即625610x x −=， 解得：65x =， ∴12,65EF FG ==，∴矩形DEFG 的面积为1272655EF FG ×=´=． 故答案为：725【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、矩形的周长公式，关键是利用相似三角形对应边成比例得到比例式． 7．（2022秋·上海青浦·九年级校考期中）如图，矩形DEFG 内接于ABC ，6cm BC =，4cm DE =，2cm EF =，则BC 边上的高的长是______【答案】6cm /6厘米【分析】过点A 作AM BC ⊥于点M ，交FG 于点N ，先根据矩形的性质可得2cm MN EF ==，4cm FG DE ==，再证AGF ABC ∽△△，利用相似三角形对应高线之比等于相似比列出等式，即可求解． 【详解】解：如图，过点A 作AM BC ⊥于点M ，交FG 于点N ，矩形DEFG 中，4cm,2cm DE EF ==，2cm EF MN ==∴，4cm FG DE ==， FG DE ∥，AN FG ∴⊥，FG DE ∥，AGF B ∴∠=∠，AFG C ∠=∠，AGF ABC ∴△∽△，AN GF AM BC ∴=，设cm AM x =，则(2)cm AN x =−，246x x −∴=，解得6x =，即6cm AM =，则BC 边上的高的长是6cm ，故答案为：6cm ．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，证明AGF ABC ∽△△是解题的关键． 8．（2022秋·上海静安·九年级校考期中）如图，已知在ABC 中，边5BC =，高2AD =，正方形EFGH 的顶点F 、G 在边BC 上，顶点E 、H 分别在边AB 和AC 上，那么这个正方形的面积等于________．【答案】10049/2249【分析】利用正方形的性质可知EH BC ∥，再利用平行线分线段成比例定理的推论可得AEH ABC ∽△△，利用相似三角形的性质可得比例线段，利用比例线段可求正方形的边长，进而获得答案．【详解】解：如下图所示，设EH 与AD 交于点M ，∵四边形EFGH 是正方形，∴EH BC ∥，EH FG =，∴AEH ABC ∠=∠，∵EAH BAC ∠=∠，∴AEH ABC ∽△△， ∴AE EH AB BC =， 又∵AD BC ⊥，∴AD EH ⊥，EH EF MD ==，∵EH BC ∥， ∴AM AE AD AB =，即AM EH AD BC =， 设EH x =，则2AM AD MD x =−=−， ∴225x x −=，解得107x =， ∴107EH =，即这个正方形的边长为107， ∴这个正方形的面积为210100()749=． 故答案为：10049．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质、平行线的性质、平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．在边AB 、AC 上，AH BC ⊥于H ，交DG 于P ，已知20BC =，16AH =，那么正方形DGFE 的边长为___________．【答案】809【分析】根据DG BC ∥得出△∽△ADG ABC ，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求出正方形的边长，则可得出答案．【详解】解：设正方形DGFE 的边长为x ．由正方形DGFE 得，DG BC ∥，∵AH BC ⊥，∴AP DG ⊥．∵DG BC ∥，∴△∽△ADG ABC ，∴DG AP BC AH =， ∵PH BC ⊥，DE BC ⊥，∴PH DE =，AP AH PH AH DE =−=−，即DG AH DE CB AH −=，由20BC =，16AH =，DE DG x ==，得162016x x −=，解得809x =． ∴正方形DEFG 的边长是809，故答案为：809．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质．解题的关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列出方程．G 分别在边AB 、AC 上．已知BC 长为40厘米，若正方形DEFG 的边长为25厘米，则ABC 的高AH 为________厘米．【答案】2003/21983 【分析】由DG BC ∥得ADG ABC ∽，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解．【详解】解：设ABC 的高AH 为x 厘米．由正方形DEFG 得，DG EF ∥，即DG BC ∥，∵AH BC ⊥，∴AP DG ⊥．∵DG BC ∥，∴ADG ABC ∽，∴AP DG AH BC =． ∵PH BC ⊥，DE BC ⊥，∴PH ED =，AP AH PH =−，∵BC 长为40厘米，若正方形DEFG 的边长为25厘米，∴252540x x −=， 解得2003x =． 即2003AH =厘米． 故答案为：2003．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程．11．（2022秋·上海·九年级校考期中）如图，已知正方形EDFG 的顶点D 、G 分别在ABC 的边AB 、AC 上，顶点E 、F 在ABC 的边BC 上，若4BC =，10ABC S =△，那么这个正方形的边长是________．【答案】209【分析】作高AH 交DG 于M ，设正方形DEFG 的边长为x ，则DE MH x ==，所以5AM x =−，再证明△∽△ADG ABC ，即可得到5,45x x −=然后根据比例的性质求出x 的值即可．【详解】解：作高AH 交DG 于M ，如图，∵4BC =，10ABC S =△，∴5AH =，设正方形DEFG 的边长为x ，则DE MH x ==，5,AM AH MH x ∴=−=−DG BC ∥,ADG ABC ∴∽,DG AM BC AH ∴=5,45x x −∴=20,9x ∴=∴正方形的边长为209，故答案为∶20 9．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；也考查了正方形的性质．12．（2023·上海徐汇·统考一模）如图，在Rt ABC△中，90C∠=︒，2AC=，1BC=，正方形DEFG内接于ABC，点G、F分别在边AC、BC上，点D、E 在斜边AB上，那么正方形DEFG的边长是______．【答案】【分析】过点C作C M A B⊥于点M，交GF于点N，首先由勾股定理得出AB的长，由面积法即可求出CM 的长，可证得CGF CAB∽，再根据相似三角形的性质，即可得出答案．【详解】解：如图：过点C作C M A B⊥于点M，交GF于点N，Rt ABC△中，90C∠=︒，2AC=，1BC=，AB∴，1122ABCS AC BC AB CM=⋅=⋅△，∴AC BCCMAB⋅∴===，∵正方形DEFG内接于ABC，GF EF MN∴==，GF AB∥，CGF CAB∴△∽△，CN GFCM AB∴=，EF=，解得：EF=，故答案为：．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识；正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 13．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，矩形DEFG 的边DE 在△ABC 的边BC 上，顶点G 、F 分别在边AB 、AC 上，已知BC ＝6cm ，DE ＝3cm ，EF ＝2cm ，那么边BC 上的高的长是 ___cm ．【答案】4【分析】由题意过A 作AH ⊥BC 于H ，交GF 于M ，由矩形的性质得GF ∥BC ，DG=EF=2cm ，GF=DE=3cm ，再证△AGF ∽△ABC ，求出AM=2（cm ），则AH=AM+MH=4（cm ），即可求解．【详解】解：过A 作AH ⊥BC 于H ，交GF 于M ，如图所示：∵AH ⊥BC ，四边形DEFG 是矩形，∴四边形HEFM 是矩形，则MH=EF=2cm ，∵四边形DEFG 是矩形，∴GF ∥BC ，DG=EF=2cm ，GF=DE=3cm ，∵GF ∥BC ，∴△AGF ∽△ABC ，∴AM GF AH BC =，即326AM AM =+，解得：AM=2（cm ），∴AH=AM+MH=4（cm ），即边BC 上的高的长是4cm.故答案为：4．【点睛】本题考查矩形的性质和相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质，证明△AGF ∽△ABC 是解题的关键．14．（2021秋·上海闵行·九年级统考期中）如图，已知正方形DEFG 的顶点D 、E 在ABC 的边BC 上，顶点G 、G 分别在边AB 、AC 上，如果4BC =，BC 边上的高是6，那么这个正方形的边长是______．【答案】12 5【分析】作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，先设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=6-x，再证明△AGF∽△ABC，则根据相似三角形的性质得646x x−=，然后解关于x的方程即可．【详解】解：作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=6-x，∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴GF AMBC AH=，即646x x−=，解得x=12 5，即正方形DEFG的边长为12 5．故答案为：12 5．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在应用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算相应线段的长．也考查了正方形的性质．15．（2021秋·上海浦东新·九年级校考阶段练习）如图：正方形DGFE的边EF在△ABC边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，AH⊥BC于H，交DG于P，已知BC＝48，AH＝16，那么S正方形DGEF＝_____．【答案】144【分析】根据DG ∥BC 得出△ADG ∽△ABC ，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求出正方形的边长，则可得出答案．【详解】解：设正方形DGEF 的边长为x ．由正方形DEFG 得，DG ∥EF ，即DG ∥BC ，∵AH ⊥BC ，∴AP ⊥DG ．∵DG ∥BC ，∴△ADG ∽△ABC ，∴DG AP BC AH =， ∵PH ⊥BC ，DE ⊥BC ，∴PH ＝ED ，AP ＝AH ﹣PH ，即DG AH PH CB AH −=，由BC ＝48，AH ＝16，DE ＝DG ＝x ，得164816x x −=，解得x ＝12． ∴正方形DEFG 的边长是12，∴S 正方形DGEF ＝DE2＝122＝144．故答案为：144．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质．解题的关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列出方程．16．（2022秋·上海徐汇·九年级上海市田林第三中学校考期中）在ABC 中，矩形DEFG 的一边DE 在BC 边上，顶点G 、F 分别在AB AC 、上，AH 是BC 边上的高，AH 与GF 交与点K ，若3248AH BC ==，，矩形DEFG 周长为76，则DG =_________．【答案】20【分析】设DG 为x ，根据矩形的性质得出GF 为()38x −，再由相似三角形的判定和性质得出AK GF AH BC =，然后将各线段代入求解即可．【详解】解：设DG 为x ，∵矩形DEFG 的周长为76，∴GF 为()38x −，∵四边形DEFG 是矩形，∴GF BC ∥，∴AGF ABC ，∴AH 是BC 边上的高，AH 与GF 交于点K ，∴AK GF AH BC =， ∵KH GD =，∴32383248x x −−=，解得：20x =， ∴20DG =，故答案为：20．【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质等，理解题意，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．17．（2022秋·上海黄浦·九年级统考期中）如图，正方形EFGH 内接于Rt ABC △，9012A BC ∠=︒=，，若ABC 的面积是36，则EH 的长是___________．【答案】4【分析】易证AEH ABC ∽△△，可得：AE EH AB BC =，再由两平行线间的距离相等，即可得出DM EF EH ==，结合AE AM AB AD =，即可得出D EH BC AM A =，可求解EH 的长． 【详解】解：如图所示：过A 作AD BC ⊥于D ，交EH 于M ,∵ABC 的面积是36，12BC =, ∴1362BC AD ⨯=, ∴112362AD ⨯⨯=，∴6AD =，正方形EFGH 内接于Rt ABC △，EH FG ∴∥，设EH EF FG HG x ====，AEH B ∠∠∴=，AHE C ∠=∠，AEH ABC ∴∆∆∽， ∴AE EH AB BC = AD BC ⊥，∴90ADG ∠=︒,∵EH FG ∥，∴90ADG AMH ∠=∠=︒,AM EH ∴⊥，又∵EH FG ∥，AD BC ⊥，DM EF EH x ∴===，AE AM AB AD =，∴6AM x =− ∵AE EH AB BC =，∴D EH BC AM A =， ∴6126x x −=， ∴4x =，∴4EH =．故答案为：4．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，正方形的性质，证明AEH ABC ∽△△是解题的关键． 18．（2022秋·上海嘉定·九年级统考期中）如图，已知在ABC ∆中，边6BC =，高3AD =，正方形EFGH 的顶点E 、F 在边BC 上，顶点H 、G 分别在边AB 和AC 上，那么这个正方形的边长等于___________．【答案】2【分析】利用正方形的性质可知HG BC ∥，再利用平行线分线段成比例定理的推论可得A AHG BC ∽△△，利用相似三角形的性质可得比例线段，利用比例线段可求正方形的边长．【详解】解：如图所示：四边形EFMN 是正方形，HG BC ∴∥，HG EF =，AHG B ∴∠=∠，BAC BAC ∠=∠Q ，AHG ABC ∴∽，∴AH HG AB BC =，又AD BC ⊥，AD HG ∴⊥，HG EF MD ==，HG BC ∥，AM AH AD AB ∴=，即AM HG AD BC =，设HG x =，则3AM AD MD x =−=−， ∴336x x −=，解得：2x =， 2HG ∴=，∴这个正方形的边长为2，故答案为：2．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质和平行线分线段成比例定理，是各地中考考查相似三角形常见题型． 在ABC 的边，那么ABC 的面积是 【答案】12【分析】过A 作AH BC ⊥于H ，交GF 于M ，由矩形的性质得GF BC ∥，2cm DG EF ==，3cm GF DE ==，再证AGF ABC ∽，求出2cm AM =，则4cm AH AM MH ==＋，即可求解．【详解】解：过A 作AH BC ⊥于H ，交GF 于M ，如图，则2cm MH EF ==，∵四边形DEFG 是矩形，∴GF BC ∥，2cm DG EF ==，3cm GF DE ==，∵GF BC ∥，∴AGF ABC ∽，∴AM GF AH BC =， 即326AM AM =+，解得：2cm AM =，∴4cm AH AM MH ==＋，∴ABC 的面积()2116412cm 22BC AH =⋅=⨯⨯=，故答案为：12．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质，证明AGF ABC ∽是解题的关键． 20．（2022秋·上海长宁·九年级校考期中）如图，在ABC 中，10BC =，BC 上的高4=AD ，矩形EFGH 的顶点E 、F 在边BC 上，G 、H 分别在边AC 、AB 上，:3:2EF FG =，则该矩形的面积为________．【答案】758/398【分析】如图，证明AGH ACB ∽△△，运用相似三角形的性质列出比例式，问题即可解决． 【详解】解：∵:3:2EF FG =，∴设3EF k =，则2FG k =；由题意得：HG BC ∥，23KD FG k HG EF k ====，；∴AGH ACB ∽△△，而AD BC ⊥，AK HG ⊥， ∴HG AK BC AD =，即342104k k −=， 解得：54k =，∴1534EF k ==，522EH k ==． ∴该矩形的面积为15575428EF EH ⨯=⨯=． 故答案为：758．【点睛】该题考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．三、解答题 21．（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）一块三角形余料ABC ，它的边长12BC =厘米，高8AD =厘米，要把它加工成正方形零件PQMN ，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，则加工成的零件边长为多少厘米？【答案】加工成的零件边长为4.8厘米【分析】根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即APN ABC △△∽，从而得出边长之比，进而求出正方形的边长；【详解】解：设正方形零件的边长为a ，在正方形PNMQ 中，PN BC ∥，90PQM QPN ∠=∠=︒，∵AD 是ABC 的高，即AD BC ⊥，∴90ADQ ∠=︒，∴PQM QPN ADQ ∠=∠=∠，∴四边形PQDE 为矩形，∴PQ DE a ==，∴8AE AD DE a =−=−，∵PN BC ∥，∴90AEP ADB ∠=∠=︒，∴AE 为APN 的高，∵PN BC ∥，∴APN ABC △△∽， ∴AE PN AD BC =， 即8812a a −=， 解得： 4.8a =，∴加工成的零件边长为4.8厘米．【点睛】本题主要考查相似三角形判定和性质的应用，正方形的性质，矩形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是根据正方形的性质得到相似三角形． (1)如果AB=2AC ，求证：四边形(2)如果2AB AC =，且BC=1，连结【答案】(1)见解析(2)DE =【分析】（1）因为BD=2AD ，AE=2EC ，DF//AC ，所以可以得出EF//AB ，四边形ADFE 是平行四边形，由于AB=2AC ，可以推出EF=DF ，故四边形ADFE 是菱形；（2）利用两边对应成比例且夹角相等证明△ADE ∽△ACB ，再用比例式求出DE 的长．【详解】（1）证：∵BD=2AD ，AE=2EC ，∴BD AE AD EC =，∵DF//AC ， ∴BD BF AD FC =， ∴BF AE FC EC =， ∴EF//AB ，∴四边形ADFE 是平行四边形．∴EF=AD=13AB ，DF=AE=23AC ．∵AB=2AC ，∴EF=12233AC AC ⨯=，∴EF=DF ，∴四边形ADFE 是菱形．（2）如图：∵BD=2AD ，AE=2EC ，∴AD=13AB ，AE=23AC ，∴2AD AB AE AC==，∵AC AB=， ∴AD AC AEAB =， ∵∠A=∠A ，∴△ADE ∽△ACB ，∴DE AE BC AB==，∴DE=3．【点睛】本题考查菱形的判定，相似三角形的判定与性质，利用平行线分线段成比例的性质证明平行是解答本题的关键． 23．（2022·上海·九年级专题练习）一块三角形的余料，底边BC 长1.8米，高AD ＝1米，如图．要利用它裁剪一个长宽比是3∶2的长方形，使长方形的长在BC 上，另两个顶点在AB 、AC 上，求长方形的长EH 和宽EF 的长．【答案】EH ＝911米，EF ＝611米【详解】根据比例设EH 、EF 分别为3k 、2k ，然后根据△AEH 和△ABC 相似，利用相似三角形对应高的比等于对应边的比列式比例式求出k 值，即可得解．【分析】解：∵长方形的长宽比是3∶2，∴设EH 、EF 分别为3k 、2k ，∴EH ∥BC ，∴△AEH ∽△ABC ，∴AM AD ＝EHBC ，即121k−＝31.8k ，解得k ＝311，∴EH ＝911米，EF ＝611米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于对应边的比，利用“设k 法”表示出边更简便．24．（2022秋·上海·九年级上海市市北初级中学校考期中）如图，矩形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH BC ⊥，垂足为H ．已知12BC =，8AH =．(1)当矩形DEFG 为正方形时，求该正方形的边长；(2)当矩形DEFG 面积为18时，求矩形的长和宽．【答案】(1)245(2)矩形的长宽分别为2、9或6、3【分析】（1）DG BC ∥得△∽△ADG ABC ，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解．（2）设DE a =，DG b =，利用相似三角形得到8128b a −=，再根据矩形DEFG 面积为18列出方程3(12)182a a −=求得a 值代入求得b 值即可．【详解】（1）记AH 与DG 的交点为P ，设正方形边长为x ，正方形DEFG ，EF 在边BC 上∴DG BC ∥得△∽△ADG ABC∴DG AP BC AH = 由128BC AH ==，可得8128x x −= ∴245x =（2）设DE a =，DG b =矩形DEFG ，EF 在边BC 上∴△∽△ADG ABC ∴DG AP BC AH = ∴8128b a −= 即3122b a =− 矩形DEFG 面积为18即18ab = ∴3(12)182a a −=解得12a =，26a =当2a =时，9b =；当6a =时，3b =∴矩形的长宽分别为2、9或6、3．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程． 在ABC 的边DEFG 【答案】90【分析】设DG EF x ==，则2GF DE x ==，根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求出DG 、DE 的长，然后问题可求解．【详解】解：四边形DEFG 是矩形，DG BC ∴，AH BC ⊥，DG EF =，设DG EF x ==，则2GF DE x ==，即有402AK AH HK x =−=−，DG BC ∥，ADG ABC ∴∽， ∴AK DG AH BC =，40AH =，60BC =， ∴4024060x x −=， 解得15x =．15DG ∴=，30DE =，∴矩形DEFG 的周长为()290DG DE +=【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．。

B D E FCA（第1题图）上课内容 第一课时（一）温故知新1、复习：回顾所学过的相似三角形的性质定理．定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比. 定理2：相似三角形周长比等于相似比.定理3：相似三角形的面积比等于相似比的平方.（二）应用举例 例题4求证2290,1;(2).ABC CD AB ACB AC AD AB CD AD BD ︒∆∠==⋅=⋅在中，是上的高，（）思考：BC 与BD 、AB 之间有什么数量关系?证明你猜想的结论？ 例5 已知点D 和E 在△ABC 的边AB 和AC 上，1//,,163.ABC DE DE BC DBCE BC S ∆=四边形的面积为，求(三）反馈练习1．某时刻量得一棵树 AB 在地面上的影子长 BE=30 米，同时测得在 BE 方向上竖起的一根与地面垂直的标杆 CD 的影长DF 为 3 米，已知标杆高DC=2米，则树AB 的高度是 .BD ACCBEDA2.已知DE // BC , CD 与 BE 相交于点 O ，并且S △DOE ：S △COB =4：9则 AE : AC =（ ）. ( A ) 4:9 ( B ) 16: 81 ( C ) 2: 3 (D) l : 23.竿高1.5米，影长1米，同一时刻，某塔影长20米，则塔高是_________米.（四）归纳小结 1、这节课你学会了什么？ 2、你认为需要注意些什么？ 3、你还有什么疑惑吗？（五）分层作业思考题：已知：如图，梯形ABCD 中，CD//AB ，∠ABC 的平行线BE ⊥AD 于E ，且21=AE DE ，求ABEBCDES S ∆四边形.第一课时：（一）温故知新复习：1．相似三角形有什么性质？ 2．相似三角形的判定定理有哪些？？ （二）应用举例10,16,12,,ABC AB AC BC P D BC AC BP APD B CD ∆====∠=∠例题1 在中，点和分别在和上，求的长.O EDCBA（第2题图）PDCBA例题2 如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ，高AD=80mm ，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？思路：（1）将应用问题抽象为证明：△APN~△ABC（2）由相似得出BC PN ADAE =即1208080xx =-求出x 的值.例题3 △ABC 中，有一个内接正三角形DEF ，点D 、E 、F 分别在AB 、CA 、BC 上，且DE//BC ，已知BC=4cm ，BC 上的高为AH=6cm.求DE 的长. （cm )33(2-）（三）反馈练习2.如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，FGHI 为矩形，95=GH FG ，BC=36cm ，AD=12cm ，求矩形FGHI 的周长.解：3.如图△ABC 中，DE//FG//BC ，且AD=DF=BF.求S △ADE ：S四边形DFGE：S 四边形FBCG（第2题图）（四）归纳小结1、这节课你学会了什么？2、你认为需要注意些什么？3、你还有什么疑惑吗？（五）、分层作业选做题：如图，△ABC中，DE//FG//BC，点DE、FG把△ABC的面积分成三等分，已知BC=12cm，求FG的长.（提示：22()3AFGABCSFGBC S∆∆==，得64=FG）B CDE A家庭作业 相似三角形性质部分一选择题1. 如果两个相似三角形对应角平分线的比为16：25，那么它们的面积比为（ ） A ．4:5 B ．16：25 C ．196：225 D ．256：6252. 如图1 ，D 为AB 边上一点，AD ∶DB =3∶4，DE ∥AC 交BC 于点E ，则S △BDE ∶S △AEC 等于（ ） A ．16∶21 B ．3∶7 C ．4∶7 D ．4∶3图1 图23.如果两个等腰直角三角形斜边的比是1∶2，那么它们的面积的比是（ ） A ．1∶1 B ．1∶2 C ．1∶2 D ．1∶44. 在△ABC 中，BC =15cm ，CA =45cm ，AB =63cm ，另一个和它相似的三角形的最短边是5cm ，则这个三角形的最长边是（ ）A ．18cmB ．21cmC ．24cmD ．19.5cm5. 如图2∠BAC =90°，AD ⊥BC ，△ABE 、△ACF 都是等边三角形，则:ABE ACF S S △△等于（ ） A ．AB ∶AC B ．AD 2∶DC 2 C ．BD 2∶DC 2D ．AC 2∶AB 26.若ABC △的周长为20cm ，点D E F ，，分别是ABC △三边的中点，则DEF △的周长为（ ） Ａ．5cmＢ．10cmＣ．15cmＤ．20cm 37.在一张由复印机复印出来的纸上，一个多边形图案的一条边由原来的1cm 变成2cm ，那么这次复印出来的多边形图案面积是原来的（ ）A ．1倍B ．2倍C ．3倍D ．4倍8. 如图3，已知DE ∥BC ，CD 和BE 相交于点O ，DOE S ∆∶COB S ∆＝4∶9，则AE ∶EC 为（ ） A 、2∶1 B 、2∶3 C 、4∶9 D 、5∶4 二.填空题1.如果两个相似三角形的相似比为1：4，则这两个三角形的对应的高的比为_______，对应角分线的比为____2.已知：如图4，在ABC △中，DE ∥BC ，DE 分别与AB 、AC 相交于D 、E ，:1:3AD AB =．若2DE =，第2题图O E DC B A图3则BC =_________．3 如图5在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 交于O 点AD ∶BC ＝3∶7，则AO ∶OC ＝ ，AOD S ∆∶BOC S ∆＝ .4两个相似三角形面积之差为9cm 2，对应的中线的比是2∶3，这两个三角形的面积分别是 。

相似三角形是初中数学九年级上学期第一章的内容，在本章中，我们学习了比例线段的相关性质，相似三角形的概念、判定及性质和平面向量的线性运算．重点是灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理，难点是利用辅助线解决相似三角形问题以及相似三角形与动点问题相结合的类型。

比例线段运算法则比例的性质向量的分解平行向量定理运算律实数与向量相乘向量的线性组合向量的线性运算相似三角形的概念相似三角形的预备定理 相似三角形的判定定理相似三角形的性质定理三角形一边的平行线性质定理及推论三角形一边的平行线判定定理及推论平行线分线段成比例定理相 似 形相似三角形 单元练习：相似三角形内容分析知识结构步同级年九2 / 10A B CDOABCDE12【练习1】 下列图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形．其中一定相似的有（） A ．2组B ．3组C ．4组D ．5组【练习2】 若a cb d=，下列各式中正确的个数有（） ①a c d b =；②::d c b a =；③22a a b b =；④55a c b d +=+；⑤a a c b a d +=+；⑥c mad mb=．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【练习3】 已知AB //CD ，AD 、BC 相交于点O ，下列比例式中正确的是（）A ．AB OA CD AD = B ．OA OBOD BC= C ．AB OBCD OC= D ．BC OBAD OD=【练习4】 下列条件中能判定ABC ∆∽DEF ∆的有（ ）①45A ∠=︒，12AB =，15AC =，45D ∠=︒，16DE =，40DF =； ②12AB =，15BC =，24AC =，20DE =，25EF =，40DF =； ③47A ∠=︒，15AB =，20AC =，47E ∠=︒，28DE =，21EF =． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【练习5】【练习6】 如图，已知12∠=∠，那么添加一个条件后，仍无法判定ABC ∆∽ADE ∆的是（ ） A ．AB AC AD AE = B ．AB BC AD DE=C ．BD ∠=∠D ．C AED ∠=∠【练习7】 如图，已知，电灯P 在横杆AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为CD ，AB //CD ，AB = 2m ，CD = 5m ，点P 到CD 的距离是3m ，则P 到AB 的距离是（）选择题ax cb A ．B ．a x cbD ABC PABCOABC DEA ．56mB ．67mC ．65mD ．103m【练习8】 如图，厨房角柜的台面是三角形，如果把各边中点的连线所围成的三角形铺成黑色的大理石（图中阴影部分），其余部分铺成白色大理石，那么黑色大理石的面积与白色大理石的面积之比是（）A ．14B ．41C ．13D ．12【练习9】 如图，在O 中，向量OB ，OC ，AO 是（）A ．有相同起点的向量B ．单位向量C ．长度相等的向量D ．相等的向量【练习10】 若a 是任一非零向量，b 是单位向量，下列各式中，正确的是（）①a b >； ②a //b ； ③0a >； ④1b =±． A ．①④B ．③C ．①②③D ．②③【练习11】 如图，在ABC ∆中，DE //BC ，BC = 6cm ，:1:4ADE ABC S S ∆∆=，那么DE 的长为（）A ．1.5cmB ．2cmC ．2.5cmD ．3cm【练习12】 已知线段a ，b ，c ，求作线段x ，使bx = ac ，以下方法中不正确的是（）AB CPADEO【练习13】如图，若P为ABC∆的边AB上一点（AB>AC），则下列条件不一定能保证ACP∆∽ABC∆的有（）A．ACP B∠=∠B．APC ACB∠=∠C．AC APAB AC=D．PC ACBC AB=【练习14】过三角形一边上一点画直线，使直线与另一边相交，且截得的三角形与原三角形相似，那么最多可画这样的直线的条数是（）A．1条B．2条C．3条D．4条【练习15】已知P为线段AB的黄金分割点，且AP<PB，则（）A．2AP AB PB=B．2AB AP PB=C．2PB AP AB=D．222AP BP AB+=【练习16】如图，在ABC∆中，高BD、CE交于点O，下列结论错误的是（）A．CO CE CD CA=B．AD AC AE AB=AB CD C’C ．OE OC OD OB =D ．CO DO BO EO =【练习17】 如图，AD 是ABC ∆的中线，45ADC ∠=︒，把ADC ∆沿AD 对折，点C落在'C 的位置，则'BC BC的值为（）A ．14B ．13C ．22D ．1【练习18】 把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（）A ．一条线段B ．一个圆面C ．圆上的一群孤点D ．一个圆【练习19】 下面几个命题中，真命题的个数是（）（1）若a b =，则a b =；（2）两个向量a 、b 相等，则a b =，a //b ； （3）若AB DC =，则四边形ABCD 是平行四边形； （4）若四边形ABCD 是平行四边形，则AB DC =； （5）若a b =，b c =，则a c =； （6）若a //b ，b //c ，则a //c ．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个填空题AB CP8米4米0.8米hABD【练习20】A、B两地的实际距离是200千米，地图上的比例尺为1 : 1000000，则A、B两地在地图上的距离是______厘米．【练习21】2、3、5再配上一个比它们都大的数组成比例式，这个数是______．【练习22】若x : y : z = 2 : 7 : 5，且x - 2y + 3z = 6，则x =____，y =____，z =____．【练习23】已知线段a = 8厘米，b = 9厘米，则线段a和b的比例中项是______．【练习24】如图，已知ACP B∠=∠，AC = 4，AP = 2，则AB = ______．【练习25】如图，小智在打网球时，击球点距离球网的距离是8米，已知网高是0.8米，要使球恰好能打过网，且落在离网4米的位置，则球拍击球的高度h为______米．【练习26】如图，AB是斜靠在墙角的长梯，梯脚B距墙80厘米，梯上点D距墙70厘米，BD长55厘米，则梯子长为______．【练习27】若两个相似三角形的面积比为2 : 9，则这两个三角形的对应中线的比是______．AB C DEF K H【练习28】 在边长为1的正方形ABCD 中，设AB a =，BC b =，AC c =，则a b c ++=______；a c b +-=______；c a b --=______．【练习29】 计算：()()325232a b a b +--=______．【练习30】 若()()::a b x y x y =+-，则:x y =______．【练习31】 点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP = 2，则AB = ______．【练习32】 过直角三角形的斜边上一点画直线，使直线与另一边相交，且截得的三角形与原三角形相似，那么最多可画______条这样的直线；过直角三角形的直角边上一点画直线，使直线与另一边相交，且截得的三角形与原三角形相似，那么最多可画______条这样的直线．【练习33】 如图，AD = DE = EC ，且AB // DF // EH ，AH 交DF 于K ，则EHKF=______．【练习34】 在等边三角形ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE // BC ，如果BC = 8厘米，AD : AB = 1 : 4，那么ADE ∆的周长为_________．步同级年九8 / 10A B CDA BCD【练习35】 如果直角三角形的斜边长为18，那么这个直角三角形的重心到直角顶点的距离为______．【练习36】 如图，在平行四边形ABCD 中，AB a =，CB b =，则向量AO 为______．（结果用a 和b 表示）【练习37】 如图，将①BAD C ∠=∠；②ADB CAB ∠=∠；③2AB BD BC=； ④CA AB AD DB =；⑤BC AC BA DA =；⑥BC DA BA AC=中的一个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，则条件是______，结论是______．（只填序号）【练习1】 已知23a c eb d f ===，18ac e =--，0bd f ++≠，求b d f ++的值．【练习2】 已知b c c a a bx a b c+++===，求x 的值．解答题ABCDABC DEFA EFOP ABCDEF【练习3】 如图，已知点D 在ABC ∆的边AB 上，且ACD B ∠=∠，:1:3ACD DBC S S ∆∆=．求ACAB的值．【练习4】 如图，已知点E 、F 分别在矩形ABCD 的边BC 和CD 上，EF AE ⊥，BE =3cm ，AB = 6cm ，矩形ABCD 的周长为28cm ，求CF 的长．【练习5】 如图，已知ABC ∆中，AB = AC ，CD 是边AB 上的高，且CD = 2，AD = 1，四边形BDEF 是正方形．CEF ∆和BDC ∆相似吗？试证明你的结论．【练习6】 如图，D 、E 、F 分别是ABC ∆的边BC 、AB 、AC 的中点，AD 与EF 相交于点O ，线段CO 的延长线交AB 于点P ．求证：AB = 3AP ．A BCDEF【练习7】如图，在Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，点D为AB的中点，BE CD⊥，垂足为点F，BE交AC于点E，CE = 1cm，AE = 3cm．（1）求证：ECB∆∽BCA∆；（2）求斜边AB的长．。