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相似三角形之常用辅助线在与相似有关得几何证明、计算得过程中,常常需要通过相似三角形,研究两条线段之间得比例关系,或者转移线段或角。
而有些时候,这样得相似三角形在问题中,并不就是十分明显、因此,我们需要通过添加辅助线,构造相似三角形,进而证明所需得结论。
专题一、添加平行线构造“Ａ"“X”型定理:平行于三角形一边得直线与其它两边(或两边延长线)相交,所构成得三角形与原三角形相似。
定理得基本图形:例1、平行四边形AＢCD中,E为ＡＢ中点,AF:ＦD＝1:2,求ＡＧ:GＣ变式练习:已知在△ABC中,AD就是∠BAＣ得平分线.求证:、(本题有多种解法,多想想)例2、如图,直线交△AＢＣ得BC,ＡＢ两边于D,E,与ＣA延长线交于F,若==2,求BE:EＡ得比值、变式练习:如图,直线交△ABC得ＢC,ＡＢ两边于D,E,与CA延长线交于F,若错误!= 错误!=2,求BＥ:E Ａ得比值。
例3、BE=AD,求证:EF·BC＝AC·DF变式1、如图,△ABＣ中,AB<AC,在AB、ＡC上分别截取BD=ＣE,ＤE,ＢC得延长线相交于点F,证明:ＡB·DF=AC·EF。
例4、已知:如图,在△AＢＣ中,AD为中线,Ｅ在AＢ上,ＡE=AC,CＥ交AD于F,ＥＦ∶FＣ=３∶5,EB=8cm，求AB、AC得长、变式:如图,,求。
(试用多种方法解)说明:此题充分展示了添加辅助线,构造相似形得方法与技巧.在解题中方法要灵活,思路要开阔.总结:(1)遇燕尾,作平行,构造字一般行。
(2)引平行线应注意以下几点:1)选点:一般选已知(或求证)中线段得比得前项或后项,在同一直线得线段得端点作为引平行线得EF EF EFEF点。
2)引平行线时尽量使较多已知线段、求证线段成比例。
专题二、作垂线构造相似直角三角形 一、基本图形例1、，，那么吗？试说明AC BD AC BC CA CD ⊥=⋅22理由？(用多种解法)v变式练习:平行四边形ABC Ｄ中,ＣE ⊥A Ｅ,ＣF ⊥AF,求证:A Ｂ·AE+AD ·AF=AC 2例２、如图,RtA ＢC 中,ＣD 为斜边ＡB 上得高,E 为CD 得中点,AE 得延长线交B Ｃ于Ｆ,ＦG ＡB 于G,求证:FG ＝ＣFBF【练习】1.如图,一直线与△ABC 得边AB,AC 及BC 得延长线分别交于D,Ｅ,F 。
中考相似三角形之常用辅助线Revised on November 25, 2020相似三角形之常用辅助线在与相似有关的几何证明、计算的过程中，常常需要通过相似三角形，研究两条线段之间的比例关系，或者转移线段或角。
而有些时候，这样的相似三角形在问题中，并不是十分明显。
因此，我们需要通过添加辅助线，构造相似三角形，进而证明所需的结论。
专题一、添加平行线构造“A ”“X ”型定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形： 例1、平行四边形ABCD 中，E 为AB 中点，AF ：FD ＝1：2，求AG ：GC变式练习：已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证：． （本题有多种解法，多想想）例2、如图，直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E,与CA 延长线交于F,若DCBD ＝FA FC=2,求BE:EA 的比值.变式练习：如图，直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E,与CA 延长线交于F,若BD DC ＝ FEED =2,求BE:EA 的比值.例3、BE ＝AD ，求证：EF ·BC ＝AC ·DF变式1、如图，△ABC 中，AB<AC ，在AB 、AC 上分别截取BD=CE ，DE ，BC 的延长线相交于点F ，证明：AB·DF=AC·EF 。
例4、已知：如图，在△ABC 中，AD 为中线，E 在AB 上，AE=AC ，CE 交AD 于F ，EF ∶FC=3∶5，EB=8cm,求AB 、AC 的长.变式：如图，21==DE AE CD BD ，求BFAF。
（试用多种方法解）CDBDAC AB =A B CEF A B C EF A BCEF A BC EF说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧．在解题中方法要灵活，思路要开阔． 总结：（1）遇燕尾，作平行，构造 字一般行。
相似三角形中的辅助线在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。
主要的辅助线有以下几种：一、作平行线例1. 如图，∆ABC的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长线与BC延长线相交于F，求证：BFCFBDCE=BDA CFE证明：过点C作CG//FD交AB于GF小结：本题关键在于AD＝AE这个条件怎样使用。
由这道题还可以增加一种证明线段相等的方法：相似、成比例。
例2. 如图，△ABC中，AB<AC，在AB、AC上分别截取BD=CE，DE，BC的延长线相交于点F，证明：AB·DF=AC·EF。
分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。
欲证，需证，而这四条线段所在的两个三角形显然AB DF AC EFABACEFDF⋅=⋅=不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。
方法一：过E 作EM//AB ，交BC 于点M ，则△EMC ∽△ABC （两角对应相等，两三角形相似）。
∴=⋅=⋅EM AB EC AC EM AC AB EC 即，∴=AB AC EMEC同理可得∆∆EMF DBF ~ ∴=EF DF EMBD，又， BD EC EM EC EM BD =∴=（为中间比），EMBD∴=AB AC EF DF， ∴⋅=⋅AB DF AC EF方法二：如图，过D 作DN//EC 交BC 于N则有，，∆∆BDN BAC ~∴=⋅=⋅BD AB DNAC BD AC AB DN ，即（比例的基本性质） ∴=AB AC BD DN同理，∆∆ECF DNF ~∴==EC DN EFDF BD EC ，而（已知） ∴=BD DN EC DN ECDN （为中间比）， ∴=∴⋅=⋅AB AC EFDFAB DF AC EF ，又 BCM ADN ∆≅∆ ∴ AN=CM∴ 2)(AC CM AM AC AF AD AE AB =+=⋅+⋅三、作延长线例5. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，若∠BCD 的平分线CH ⊥AB 于点H ，BH=3AH ，且四边形AHCD 的面积为21，求△HBC 的面积。
中考相似三角形之常用辅助线Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998相似三角形之常用辅助线在与相似有关的几何证明、计算的过程中，常常需要通过相似三角形，研究两条线段之间的比例关系，或者转移线段或角。
而有些时候，这样的相似三角形在问题中，并不是十分明显。
因此，我们需要通过添加辅助线，构造相似三角形，进而证明所需的结论。
专题一、添加平行线构造“A”“X”型定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：例1、平行四边形ABCD中，E为AB中点，AF：FD＝1：2，求AG：GC变式练习：已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分线．求证：．（本题有多种解法，多想想）GFED CBAGFED CBACDBDACAB例2、如图，直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E,与CA 延长线交于F,若DCBD ＝FA FC=2,求BE:EA 的比值.变式练习：如图，直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E,与CA 延长线交于F,若BD DC ＝ FEED =2,求BE:EA 的比值.例3、BE ＝AD ，求证：EF ·BC ＝AC ·DF变式1、如图，△ABC 中，AB<AC ，在AB 、AC 上分别截取BD=CE ，DE ，BC 的延长线相交于点F ，证明：AB·DF=AC·EF 。
ACFEB D ACFEB D EDCBA例4、已知：如图，在△ABC 中，AD 为中线，E 在AB 上，AE=AC ，CE 交AD 于F ，EF ∶FC=3∶5，EB=8cm,求AB 、AC 的长.变式：如图，21==DE AE CD BD ，求BFAF。
（试用多种方法解）A B CD EF A B C D EF A BCDEF A BC D EF说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧．在解题中方法要灵活，思路要开阔． 总结：（1）遇燕尾，作平行，构造 字一般行。
版权归作者全部，仅供学习参照之用，更多学习资料，请关注民众号上海数学教课！相像三角形之常用协助线在与相像相关的几何证明、计算的过程中，经常需要经过相像三角形，研究两条线段之间的比率关系，或许转移线段或角。
而有些时候，这样的相像三角形在问题中，其实不是十分显然。
所以，我们需要经过增添协助线，结构相像三角形，从而证明所需的结论。
专题一、增添平行线结构“A”“X”型定理：平行于三角形一边的直线和其余两边原三角形相像．定理的基本图形：(或两边延伸线)订交，所组成的三角形与例1、平行四边形ABCD中，E为AB中点，AF：FD＝1：2，求AG：GCD C D CF FGGA AB BE E变式练习：AB BD已知在△ABC中，AD是∠BAC的均分线．求证：．（本题有多种解法，多想一想）AC CD版权归作者全部，仅供学习参照之用，更多学习资料，请关注民众号上海数学教课！例2、如图，直线交△ABC的BC,AB两边于D,E,与 CA 延伸线交于F,BD＝ FC =2,求BE:EA的比值.若DCFAF A EB D C变式练习：如图，直线交△ABC 的BC,AB 两边于B DF E D,E,与CA 延伸线交于F,＝若DCE D=2, 求BE:EA 的比 值. F A EB D C例3、BE ＝AD ，求证：EF·BC＝AC·DFADECB变式1、如图，△ABC中，AB<AC，在AB、AC上分别截取BD=CE，DE，BC的延伸线订交于点F，证明：AB·DF=AC·EF。
版权归作者全部，供仅学习参照之用，更多学习资料，关请注民众号上海数学教课！例4、已知：如图，在△ABC中，AD中为，线E在AB上，AE=AC，CE交AD于F，EF∶FC=3∶5，EB=8cm, 求AB、AC的长.变式：如图，AF E BD AE1，求AF。
（用试多种方法解）CD DE 2 BFA A AF E F E F EB DC BD C B D C B D C说明：本题充足展现了增添协助，线结构相像形的方法和技巧．在解题中方法要灵巧，思路要宽阔．总结：（1）遇燕尾，作平行，结构字一般行。
相似三角形添加辅助线的方法举例1.垂直角辅助线：当三角形中存在垂直角时，我们可以通过添加一条垂直角辅助线来将问题简化。
例如，在一个直角三角形中，我们可以通过从直角顶点到斜边的任意一点画一条垂直辅助线，这样可以将原问题转化为两个相似的直角三角形的求解。
2.中位线辅助线：在一个任意三角形中，我们可以通过连接每个顶点与对边中点的线段来得到三条中位线。
这些中位线的交点被称为三角形的重心。
通过画三角形重心与其他顶点的连线，可以将原问题转化为多个相似的三角形的求解。
3.等角辅助线：当我们需要证明两个三角形相似时，可以通过添加等角辅助线来帮助我们得到一些相等的角度。
例如，在两个直角三角形中，如果我们能找到一个等角辅助线使得两个直角形成的角相等，那么我们可以推断这两个三角形相似。
4.比例辅助线：当我们需要求解相似三角形的长边与短边的比例时，可以利用比例辅助线。
例如，在两个相似三角形中，我们可以通过添加比例辅助线，将两个相似三角形分割成若干个相似的小三角形，并且利用小三角形的边长比例来求解长边与短边的比例关系。
5.平行辅助线：当我们需要证明两个三角形相似时，可以通过添加平行辅助线来帮助我们得到一些对应边平行的关系。
例如，在两个直角三角形中，如果我们能找到一条边使得它与另一个直角三角形的对边平行，那么我们可以推断这两个三角形相似。
以上是一些常见的相似三角形添加辅助线的方法，它们可以帮助我们更好地理解问题、简化问题以及找到解决问题的方法。
在实际解题过程中，根据问题的不同，我们可以选择适合的辅助线方法来解决问题。
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相似三角形之常用辅助线在与相似有关的几何证明、计算的过程中，常常需要通过相似三角形，研究两条线段之间的比例关系，或者转移线段或角。
而有些时候，这样的相似三角形在问题中，并不是十分明显。
因此，我们需要通过添加辅助线,构造相似三角形，进而证明所需的结论。
专题一、添加平行线构造“A”“X”型定理：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：例1、平行四边形ABCD中，E为AB中点，AF：FD＝1：2，求AG：GC变式练习:已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分线．求证：．（本题有多种解法，多想想)GFEDCBAGFED CBACDBDACAB例2、如图，直线交△ABC 的BC ，AB 两边于D ，E,与CA 延长线交于F,若DCBD ＝FA FC=2，求BE:EA 的比值.变式练习：如图,直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E ，与CA 延长线交于F ，若BDDC ＝ 错误!=2，求BE:EA 的比值。
例3、BE ＝AD,求证：EF ·BC ＝AC ·DF变式1、如图,△ABC 中，AB<AC ，在AB 、AC 上分别截取BD=CE ，DE,BC 的延长线相交于点F,证明：AB·DF=AC·EF。
ACFEB D ACFEB D EDCBA例4、已知：如图，在△ABC 中，AD 为中线，E 在AB 上，AE=AC ，CE 交AD 于F ，EF ∶FC=3∶5，EB=8cm,求AB 、AC 的长.变式：如图，21==DE AE CD BD ,求BFAF。
相似三角形之常用辅助线在与相似有关的几何证明、计算的过程中，常常需要通过相似三角形，研究两条线段之间的比例关系，或者转移线段或角。
而有些时候，这样的相似三角形在问题中，并不是十分明显。
因此，我们需要通过添加辅助线，构造相似三角形，进而证明所需的结论。
专题一、添加平行线构造“A”“X”型定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：例1、平行四边形ABCD中，E为AB中点，AF：FD＝1：2，求AG：GC变式练习：已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分线．求证：．（本题有多种解法，多想想）例2、如图，直线交△ABC的BC,AB两边于D,E,与CA延长线交于F,若＝=2,求BE:EA的比值.变式练习：如图，直线交△ABC的BC,AB两边于D,E,与CA延长线交于F,若＝ =2,求BE:EA的比值.例3、BE＝AD，求证：EF·BC＝AC·DF变式1、如图，△ABC中，AB<AC，在AB、AC上分别截取BD=CE，DE，BC的延长线相交于点F，证明：AB·DF=AC·EF。
例4、已知：如图，在△ABC中，AD为中线，E在AB上，AE=AC，CE交AD于F，EF∶FC=3∶5，EB=8cm,求AB、AC的长.变式：如图，，求。
（试用多种方法解）ABCDEFABCDEFABCDEFABCDEF说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧．在解题中方法要灵活，思路要开阔．总结：（1）遇燕尾，作平行，构造 字一般行。
（2）引平行线应注意以下几点：1）选点：一般选已知（或求证）中线段的比的前项或后项，在同一直线的线段的端点作为引平行线的点。
2）引平行线时尽量使较多已知线段、求证线段成比例。
专题二、作垂线构造相似直角三角形一、基本图形ABDEFC例1、理由？（用多种解法）v变式练习：平行四边形ABCD中，CE⊥AE，CF⊥AF，求证：AB·AE＋AD·AF＝AC2例2、如图，RtABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FGAB于G，求证：FG=CFBF【练习】1．如图，一直线与△ABC的边AB，AC及BC的延长线分别交于D，E，F。
