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§5.2.2 反比例函数的图象与性质（二）【教学重点与难点】教学重点：（1）探索并掌握反比例函数的主要性质.（2）通过画反比例函数的图象，培养学生的动手能力和观察、分析、解决问题的能力.教学难点：（1）逐步提高从函数图象中获取信息的能力.（2）结合反比例函数图象,探索并掌握反比例函数的主要性质.（3）以探索反比例函数的性质为载体，进一步渗透分类的数学思想.【学情分析】本节课是反比例函数的图象与性质的第二课时，在前一节课，学生已亲身经历了反比例函数图象的探索过程，并动手实践操作，明确了比例系数K 的性质对图象两个分支位置的影响.函数的性质蕴涵于概念和图象之中，对反比例函数性质的探索是对其概念和图象内在规定性的认识.教学中，可引导学生在了解函数三种表示方法的基础上，通过观察、分析函数的图象，自主地对反比例函数的主要性质作出直观描述.由于反比例函数的图象具体展现了反比例函数的整体直观形象，为学生探索反比例函数的性质提供了思维活动的空间.通过对反比例函数（k>0和k<0）图象的全面观察和比较，发现反比例函数自身的规律，结合语言表述，在相互交流中发展从图象中获取信息的能力，同时可以使学生更牢固地掌握由他们自己发现的反比例函数的主要性质.【教学目标】1、体会函数的三种表示方法的相互转换，对函数进行认识上的整合.2、逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质.3、在探究反比例函数性质的活动中，渗透类比、分类的思想.【教学方法】在教学上主要采用了探索发现和启发式教学方法，并结合电脑演示，激励学生积极参与，在知识的发生、发展中渗透类比、化归的数学思想，学生通过观察、发现、猜想、验证、应用等一系列探究活动，层层推进，环环相扣，体现数学的严密性于系统性.初三的学生，已具有了一定的分析能力和逻辑推理能力，因此，在教学中更应体现学生的主体地位，让学生动手动脑，培养他们自主探索、勇于实践的能力.通过合作交流，激发学生的学习兴趣，提高学习效率，在知识的迁移中进行创造性学习，达到传授知识与培养学生能力融为一体的目的.【教学过程】一、观察联想、探究新知（设计说明：通过观察三个具体的反比例函数图象，归纳概括k>0时反比例函数图象的共同特征，探索反比例函数的主要性质.教学时应鼓励学生用自己的语言进行表述与交流，在交流中发展从图象中获取信息的能力.问题是思维的出发点，本环节所设计的三个问题，可激起学生强烈的好奇心和求知欲.） 观察反比例函数xy x y x y 6,4,2===的图象，你能发现它们的共同特征吗？x y 4=(2)图1探索：（1）函数图象分别位于哪几个象限内？（2）在每一个象限内，随着x 值的增大，y 的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗？（3）反比例函数的图象可能与x 轴相交吗？可能与y 轴相交吗？为什么？学生观察，同桌交流，大胆发言，发表见解.（教学说明：（1）函数图象分别位于第一、三象限.（2）y 的值随着x 值的增大而减小.为了揭示这一变化规律，可以引导学生分别在每一象限的图象上任意取两点A （x 1,y 1），B （x 2,y 2），观察当x 2>x 1时，y 1与y 2的关系.当然，可以根据学生的兴趣，可以让学生采用代数证明方式进行推理：当k>0,x 2>x 1时，0)11(1212<-=-x x k y y ，即y 2<y 1.（3）不可能与x 轴相交，也不可能与y 轴相交.这一结论既可以通过观察图象得出，也可以通过分析函数表达式得出.实际上，因为x ≠0,所以图象与y 轴不可能有交点：因为不论x 取何实数值，y 的值永不为0（因为k ≠0），所以图象与x 轴也不可能有交点.此外，当x 的值越来越接近于0时，︱y ︱的值将逐渐变得很大；反之，当︱x ︱的值变得非常大时，y 的值将逐渐接近于0.这说明，图象的两个分支无限接近x 轴和y 轴，但永远不会与x 轴和y轴相交.）二、自主探究、领悟规律（设计说明：设计此环节的目的是归纳概括k<0时反比例函数图象的共同特征.教学时，可引导学生类比前面k>0时所讨论过的问题进行思考.此外，这里分k>0和k<0两种情况，渗透了分类的思想.）议一议考察当k ＝－2，－4，－6时，反比例函数x k y =的图象，它们有哪些共同特征？ 学生通过相互交流、补充和修正. 反比例函数的性质：反比例函数xk y =的图象，当k>0时，在每个象限内，y 的值随x 值的增大而减小；当k<0时，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而增大。
5.2反比例函数的图象与性质（2）课时：时间：班级：初三（3）班教学目标：知识目标： 1.进一步巩固作反比例函数的图象.2.逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质. 能力目标：1.通过画反比例函数图象，训练学生的作图能力2.通过从图象中获取信息.训练学生的识图能力.3.通过对图象性质的研究，训练学生的探索能力和语言组织能力.情感目标：让学生积极投身于数学学习活动中，有助于培养他们的好奇心与求知欲.经过自己的努力得出的结论，不仅使他们记忆犹新，还能建立自信心.由学生自己思考再经过合作交流完成的数学活动，不仅能使学生学到知识，还能使他们互相增进友谊.教学重点通过观察图象，归纳概括反比例函数图象的共同特征，探索反比例函数的主要性质. 教学难点从反比例函数的图象中归纳总结反比例函数的主要性质教学方法：探究发现法教学媒体及准备：教案粉笔准备教案三角板.教学过程一、创设问题情境，引入新课上节课我们学习了画反比例函数的图象，并通过图象总结出当k＞0时,函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内；当k＜0时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内.这是从函数的图象位于哪些象限来研究了反比例函数的性质.在学习正比例函数和一次函数图象时，还研究了当k＞0时，y的值随x的增大而增大，当k＜0时，y的值随x值的增大而减小，即函数值随自变量的变化而变化的情况，以及函数图象与x轴，y轴的交点坐标.本节课我们来研究一下反比例函数的有关性质.二、新课讲解1.做—做要求学生观察反比例函数y=x2，y=x4,y=x6的图象它们有什么共同点? 总结它们的共同特征.(1)函数图象分别位于哪几个象限?(2)在每一个象限内，随着x值的增大.y的值是怎样变化的?能说明这是为什么吗？(3)反比例函数的图象可能与x轴相交吗?可能与y轴相交吗？为什么？请大家先独立思考，再互相交流得出结论.对于问题 (3)，可能会有学生认为图象在逐渐接近x轴,y轴，所以当自变量取很小或很大的数时，图象能与x轴y轴相交.可以从函数式的定义域、函数与方程等角度进行解释。
§5.2 反比例函数的图像与性质（2）导学案杨林中学九（四）班 杨传松一. 学习目标：1. 能画出反比例函数的图象，根据图象和解析表达式探索并理解反比例函数的主要性质。
2. 逐步提高观察和归纳分析能力，体验数形结合的数学思想方法。
3. 探索并理解反比例函数的主要性质，能依据已知条件确定反比例函数，领悟用函数观点解决某些实际问题的基本思路。
二. 重、难点分析及应注意的问题：1.注重数学概念的形成过程和对概念意义的理解。
2.创设学生自主探索与合作交流的环境，函数的性质蕴涵于概念之中，对反比例函数性质的探索是对其概念内在规定性的认识。
学习时，要在了解函数三种表示方法的基础上，通过观察，分析函数的图象，自主地对反比例函数的主要性质作出直观描述。
3.经历数学知识的应用过程，关注对问题的分析过程。
教学过程： 一、学前准备1、反比例函数的性质：反比例函数的图像是由_______组成的。
当k>0时，两支曲线分别位于__________象限内；当k<0时，两支曲线分别位于__________象限内。
2.反比例函数y=x k的图象经过点（－1，2），那么这个反比例函数的解析式为 ，图象在第 象限，它的图象关于 成中心对称 3.已知函数m m xm m =+-+-()21222是一次函数，它的图象与反比例函数y k x=的图象交于一点，交点的横坐标是13，求反比例函数的解析式。
二．自学、合作探究 1. 观察反比例函数y=x2 , y=x4 , y=x6的图象，回答下列问题：(1)函数图象分别位于 象限内.(2)在每个象限内，随着x 值的增大，y 的值怎样变化？ 即在每个象限内，函数的图像呈 趋势.(3) 反比例函数的图象可能与x 轴相交吗？ , 可能与y 轴相交吗？为什么？2. 若k=－2, －4,－6, 那么反比例函数y=－x2, y=－x4, y=－x6的图象有什么共同特征？(1)函数图象分别位于 象限内. (2)在每个象限内，函数的图像呈 趋势.(3) 反比例函数的图象可能与x 轴相交吗？ , 可能与y 轴相交吗？其图像的两个分支无限 x 轴和y 轴，但永远 与x 轴和y 轴相交.三、课堂练习1.下列函数中，其图像位于第一，三象限的有 ；在其图像所在象限内，y 的值随x 值的增大而增大的有 。
§5.2反比例函数的图象与性质（2）
【学习目标】
1、进一步认识反比例函数的图象与性质，逐步提高从函数图象中获取信息的能力；
2、能够运用反比例函数的图象及性质解决有关问题.
【相关链接】
1、写出反比例函数图象的性质.
【预习导航】
1、在坐标纸上作出反比例函数x
y 2
=
的图象，（1）在图象上任取两点P 、Q ，过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 1，过点Q 分别作x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 2，S 1 与S 2有什么关系？为什么？你能求出S 1 与S 2的值吗？ （2）将反比例函数的图象绕原点旋转︒180后，能与原来的图象重合吗？
猜测一下：
a:对于任意一个在函数k
y x
=
图象上的点M ，它与两坐标轴的垂线与坐标轴围成的矩形的面积有什么规律？
b ：推广：对于任意一个在k
y x
=图象上的点M ，它与x 轴的垂线、原点的连线
以及坐标轴围成的三角形的面积有什么规律？
反比例函数式为y=。
⑴由双曲线上一点向两条坐标轴做垂线段，由这两条垂线段与两坐标州围成的矩形的面积计算。
（如图1，以第一象限的图象为例）
由四边形PMON 为矩形。
设P 点坐标为（m ，n ），P 在y=图象上，则有mn=k 。
∵OM=
，ON=
∴S 四边形OMPN =OM ·ON=
·
=
=
⑵由双曲线上一点向其中一条坐标轴的作垂线段，并连接这一点与原点的线段，由这两条线段与坐标轴围成的三角形的面积的计算。
（如图2，仍以第一象限的图象为例
由图象可知，S △POM =S △PON
=
S 四边形OMPN
=。
⑷用好双曲线的对称性：双曲线关于原点O 对称，因此双曲线
y=与过原点O
的正比例函数y=k 2x 的交点关于原点O 对称。
2、思考：反比例函数y =
x
k
的图象既是_________图形又是_________图形，它有_________条对称轴，且对称轴互相_________，对称中心是_________.
归纳总结 强化概念
1、本节课你学习了哪些知识？填写表格[2] 一、三象限 二、四象限
正确理解点的坐标的几何意义
例2．（补充）如图，过反比例函数x
y 1
=
（x ＞0）的图象上任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OA 、OB ，设△AOC 和△BOD 的面积分别是S 1、S 2，比较它们的大小，可得（ ）
（A ）S 1＞S 2 （B ）S 1＝S 2
（C ）S 1＜S 2 （D ）大小关系不能确定
已知解析式，求面积
例3．在平面直角坐标系内，过反比例函数x
k
y =
（k ＞0）的图象上的一点分别作x 轴、y 轴的垂线段，与x 轴、y 轴所围成的矩形面积是6，则函数解析式为
已知面积，求解析式 例2如图，反比例函数y=－
与一次函数y=－x+2的图象交于A 、B 两点，交x
轴于点M ，交y 轴于点N ，则S △AOB = 。
3、尝试练习：（1）已知反比例函数的图象经过点（a ，b ），则它的图象一定也经过 （ ） A (－a ,－b ) B (a ,－b ) C (－a ，b ) D （0，0） （2）如图，正方形ABOC 的边长为2，反比例函数k
y x
=过点A ，则k 的值是（ ）A ．2 B ．2-
C ．4
D ．4-
（3）如图，A 为反比例函数x
k
y =
图象上一点，AB 垂直x 轴于点B
，若S △AOB ＝3
，则k
的值为 （ ）
A 、 6
B 、 3
C 、
2
3
D 、 不能确定
4、在同一坐标系中作出反比例函数x
y x y x y 3
,2,1===的图象.观察随着k 值的变化，反比例函数的图象有何变化规律？
【跟踪练习】
1、若点（3，6）在反比例函数x
k
y =
(k ≠0)的图象上，那么下列各点在此图象上的是（ ） （A ） （3-，6） （B ） （2，9） （C ） （2，9-）
（D ） （3，6-）
2、点A 为反比例函数图象上一点，它到原点的距离为5，到x 轴的距离为3，若点A 在第二象限内.则这个反比例函数的解析式为 （ ） （A ） 12y x = （B ） 12y x =- （C ） 112y x = （D ） 112y x
=- 3、.函数y =
x
k
(k ＞0)的图象上两点A (x 1, y 1)和B (x 2, y 2),且x 1＞x 2＞0，分别过A 、B 向x 轴作AA 1⊥x 轴于A 1，BB 1⊥x 轴于B 1，则O AA S 1∆_________O BB S 1∆ (填“＞”“=”或“＜”)，若O AA S 1∆=2，则函数解析式为_________.
5、如图所示，A 、B 是函数y =
x
1
-的图象上关于原点O 对称的任意两点，AC ∥x 轴，BC ∥y 轴，△ABC 的面积为S ，则（ ）
A.S =1
B.S =2
C.1＜S ＜2
D.S ＜2 6、如图，在反比例函数2
y x
=
（0x >）的图象上，有点1234P P P P ，，，，
它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影
部分的面积从左到右依次为12
3S S S ，，，则123S S S ++= ．
2
y x
=
x
y
O
P 1
P 2
P 3 P 4 1 2
3
4
7、过反比例函数y =
x
2
(x ＞0)图象上任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连结OA 、OB ，设AC 与OB 的交点为E ，△AOE 与梯形ECDB 的面积分别为S 1、S 2，比较它们的大小，可得（ ）
A.S 1＞S 2
B.S 1＜S 2
C.S 1=S 2
D.S 1、S 2的大小关系不能确定
8、两个反比例函数k y x =和1
y x =在第一象限内的图象如图所示，点P 在k y x =的图象上，
PC ⊥x 轴于点C ，交1y x =的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1
y x
=的图象于点B ，当点P
在k
y x =的图象上运动时，以下结论：
①△ODB 与△OCA 的面积相等；
②四边形P AOB 的面积不会发生变化；③P A 与PB 始终相等； ④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点． 其中一定正确的是 ． 9、如图，反比例函数x
y 6
=
图象上一点A 的横坐标为2，连接AO 并延长，与双曲线另一分支交于点B.分别过点A 、B 作x 轴的垂线，与x 轴交于点C 、D.（1）求A 、B 两点的坐标；（2）求平行四边形ACBD 的面积.。
