反比例函数及性质
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实际生活中的反比例函数
实际生活中的反比例函数
主要内容:
(一)反比例函数的性质:
反比例函数(k 是常数,)
当时,图象的两个分支分别位于第一、三象限。
在每一个象限内,y 的值随x 值的增大而减小。
当时,图象的两个分支分别位于第二、四象限。
在每一个象限内,y 的值随x 值的增大而增大。
(二)能利用反比例函数及其性质解决实际问题,解释一些生活中的现象,体会数学的价值。
比如:使劲踩气球时,气球为什幺会爆炸?
因为在温度不变的情况下,气球内气体的压强p(Pa)与它的体积V
(m3)的乘积是一个常数k。
即pV=k(k 为常数,k>0)
在温度不变的情况下,气球内气体的压强p 是气球体积V 的反比例函数,即。
根据反比例函数的性质
当k>0 时,p 随V 的减小而增大。
如果用力踩气球,气球的体积会变小,压强会变大。
当压强大到一定程度时,气球便会爆炸。
【典型例题】
例1. 某一电路中,保持电压U 不变,电流I(安培)与电阻R(欧姆)之。
反比例函数的性质与计算反比例函数是数学中重要的一类函数,指的是函数中的两个变量在其取值之间存在着一种相反的关系。
本文将介绍反比例函数的性质以及如何进行相关计算。
一、反比例函数的定义与性质一个函数y = k/x(其中k为常数)被称为反比例函数。
反比例函数具有以下性质:1. 输入与输出的关系:反比例函数表示两个变量之间的相互关系,其中,当一个变量的值增加时,另一个变量的值将减少,反之亦然。
这种关系可以用直观的比喻来理解,比如:行驶的速度越快,所需要的时间就越短;倒数是反比例函数中常见的表达方式之一。
2. 定义域与值域:反比例函数的定义域为实数除去0,因为在反比例函数中,分母不能为零。
而函数的值域则可以是任意的实数。
所以,反比例函数的图像通常不包含y轴上的点(0, 0)。
3. 特殊情况:当k等于0时,反比例函数退化为y = 0,即一条水平的直线,其图像为x轴。
二、反比例函数的计算方法在计算反比例函数时,我们通常会遇到以下几个重要的问题。
1. 求解常数k的值:当已知反比例函数图像上的一个点坐标(x1, y1)时,可以通过代入求解的方法得到常数k的值。
具体步骤如下:(1) 将已知点的坐标代入反比例函数的表达式中,得到方程y1 =k/x1;(2) 通过变形将方程转化为k = x1 * y1的形式,从而得到k的具体值。
2. 求解反比例函数上某一点的坐标:当已知反比例函数的常数k的值与一个变量的值x时,我们可以通过代入计算的方法求解相应的y值。
具体步骤如下:(1) 将已知的x的值代入反比例函数的表达式中,得到方程y = k/x;(2) 将x的值代入方程,计算出对应的y值,从而得到点坐标(x, y)。
3. 求解满足条件的反比例函数:有时候,我们需要找到一个满足特定条件的反比例函数。
例如,已知反比例函数通过点A(x1, y1)和点B(x2, y2),我们可以通过以下步骤确定满足条件的反比例函数:(1) 利用求解常数k的值的方法,分别求解两个点的常数k1和k2;(2) 将求解得到的两个常数代入反比例函数的表达式中,得到两个反比例函数的具体表达式为y1 = k1/x、y2 = k2/x;(3) 利用两个点的图像,可以画出两个反比例函数的图像,并找到它们的交点C(xc, yc);(4) 通过观察交点C的坐标,可以确定满足条件的反比例函数的具体表达式。
反比例函数概念与性质反比例函数的概念与性质一、反比例函数的概念1.反比例函数可以写成y=k/x的形式,其中自变量x的指数为-1.在解决有关自变量指数问题时,应特别注意系数。
2.反比例函数也可以写成xy=k的形式,用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k,从而得到反比例函数的解析式。
3.反比例函数的自变量不能为0,故函数图象与x轴、y轴无交点。
二、反比例函数的图象1.在用描点法画反比例函数的图象时,应注意自变量x的取值不能为0,且x应对称取点(关于原点对称)。
2.反比例函数的图象是双曲线。
随着k的增大,图象的弯曲度越小,曲线越平直;随着k的减小,图象的弯曲度越大。
3.反比例函数的图象与坐标轴没有交点,称两条坐标轴是双曲线的渐近线。
当k>0时,图象的两支分别位于第一、第三象限内,在每个象限内,y随x的增大而减小;当k<0时,图象的两支分别位于第二、第四象限内,在每个象限内,y随x的增大而增大。
4.反比例函数的图象关于原点对称,即若(a,b)在双曲线的一支上,则(-a,-b)在另一支上。
5.反比例函数的k值的几何意义是:如图1,设点P(a,b)是双曲线上任意一点,作PA⊥x轴于A点,PB⊥y轴于B 点,则矩形PBOA的面积是k;如图2,由双曲线的对称性可知,P关于原点的对称点Q也在双曲线上,作QC⊥XXX的延长线于C,则三角形PQC的面积也是k。
6.反比例函数的增减性需要将两个分支分别讨论,不能一概而论。
7.直线y=k与双曲线y=k/x的关系:当k>0时,两图象必有两个交点,且这两个交点关于原点成中心对称;当k=0时,两图象有一个公共点O;当k<0时,两图象没有交点。
8.反比例函数与一次函数的联系:当k=0时,反比例函数变为一次函数y=0.求反比例函数的解析式的方法主要有三种:待定系数法、反比例函数k的几何意义、实际问题。
四、反比例函数解析式的确定一、反比例函数的定义:反比例函数是指函数表达式为y=k/x的函数,其中k为非零常数。
反比例函数的性质及解析方法反比例函数是数学中常见且重要的函数类型之一。
它的特点是随着自变量的增大,函数值会随之减小,并且二者之间呈现一种相对的关系。
本文将探讨反比例函数的性质以及解析方法。
一、反比例函数的定义反比例函数可以用以下的形式进行表示:y = k/x,其中k为常数,x 不等于0。
该函数中,自变量x的值越大,函数值y就越小,反之亦然。
二、反比例函数的特性1. 零和不存在点:由于反比例函数中的自变量x不能等于0,因此该函数在x=0处不存在定义。
当自变量等于0时,函数值无法确定。
2. 定义域和值域:反比例函数的定义域为除了x=0以外的实数集,值域为除了y=0以外的实数集。
3. 关于x轴和y轴的对称性:反比例函数关于x轴对称,即(x, y)在函数曲线上,则(x, -y)也在函数曲线上。
4. 渐近线:除了x=0,反比例函数还存在一条水平渐近线y=0。
当x趋近于无穷大或无穷小时,函数值会趋近于0但不会等于0。
5. 单调性:反比例函数具有单调性,即在定义域内,随着x的增大,函数值y逐渐减小。
三、反比例函数的图像反比例函数在坐标平面上呈现一种特殊的曲线形状,该曲线称为反比例函数的图像。
由于反比例函数的特性,图像通常会表现出以下几个特点:1. 零点:函数曲线与x轴的交点,即(x, 0)。
2. 渐近线:函数曲线与y=0的水平渐近线。
3. 函数曲线的变化趋势:随着x的增大,函数曲线逐渐向y轴靠拢,形成一个由第一象限向第三象限延伸的曲线。
四、解析反比例函数解析反比例函数的过程可以通过以下几个步骤完成:1. 确定常数k的值:可以通过已知条件或函数图像来确定常数k的值。
2. 确定定义域和值域:由于反比例函数的特性,定义域为除了0以外的实数集,值域为除了0以外的实数集。
3. 求解零点:当函数值为0时,解方程k/x=0,可以得到x=0。
4. 画出函数图像:根据常数k的值以及定义域和值域的特性,可以画出反比例函数的图像。
反比例函数知识点总结一、反比例函数的定义一般地,如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成\(y =\frac{k}{x}\)(k 为常数,\(k ≠ 0\))的形式,那么称 y 是 x 的反比例函数。
其中,x 是自变量,y 是函数,k 称为比例系数。
例如,当速度 v 一定时,路程 s 与时间 t 的关系可以表示为\(s =vt\),如果时间 t 与路程 s 成反比例关系,那么可以表示为\(t =\frac{s}{v}\)(其中 v 是常数),此时 t 就是 s 的反比例函数。
需要注意的是,反比例函数中自变量 x 的取值范围是\(x ≠ 0\),因为在分式中分母不能为 0。
二、反比例函数的表达式反比例函数常见的表达式有以下三种形式:1、\(y =\frac{k}{x}\)(k 为常数,\(k ≠ 0\)),这是反比例函数的基本形式。
2、\(y = kx^{-1}\)(k 为常数,\(k ≠ 0\)),将\(\frac{k}{x}\)变形可得。
3、\(xy = k\)(k 为常数,\(k ≠ 0\)),通过\(y =\frac{k}{x}\)两边同时乘以 x 得到。
三、反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线。
当\(k > 0\)时,双曲线的两支分别位于第一、第三象限,在每一象限内 y 随 x 的增大而减小;当\(k < 0\)时,双曲线的两支分别位于第二、第四象限,在每一象限内 y 随 x 的增大而增大。
例如,函数\(y =\frac{2}{x}\),因为\(k = 2 > 0\),所以图像在第一、三象限,且在每个象限内,y 随 x 的增大而减小。
绘制反比例函数图像的一般步骤:1、列表:在自变量取值范围内选取一些值,算出对应的函数值,列成表格。
2、描点:以表中对应值为坐标,在平面直角坐标系中描出相应的点。
3、连线:按照自变量由小到大的顺序,用平滑的曲线将所描的点依次连接起来。
四、反比例函数的性质1、对称性反比例函数的图像既是轴对称图形,又是中心对称图形。
反比例函数及性质
(1) 形如x
k y =( k 是常数,k≠0)的形式,那么y 就称为x 的反比例函数。
自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数。
.反比例函数的三种不同表达形式:① ②
③
(2) 反比例函数 y=k/x (k≠0)的图象是由两支曲线组成的,这两支曲线常称为 .
说明:①双曲线的两个分支不能够连接起来;
②两个分支无限靠近x 轴和y 轴,但是永远与 不相交;
③图象既是 ,对称轴是 ;
也是 ,对称中心是 ;
④画反比例函数图象时通常先画出一个分支,然后根据对称性画出另一个分支.
(3)反比例函数的性质:
1、函数经过的象限及增减性:
①当k>0时, ;。
②当k<0 时, ;。
2、反比例函数x
k y =( k 是常数,k≠0)图象上任一点向x 轴、y 轴作垂线段得到的基本矩形面积 ;基本三角形面积 。
3、反比例函数x
k y 1=(1k 是常数,1k ≠0)与正比例函数)0(22的常数≠=k x k y 交点坐标就是方程组 的解,且这两个点关于
成中心对称。
4、反比例函数x
k y 1=(1k 是常数,1k ≠0)与一次函数)0(222≠+=k b k b x k y 是常数,与的交点坐标就是方程组 即:
b x k x
k +=21,同乘x 得: ,若这个一元二次方有2个不同的实数根则它们就有 ;若有2个相等的实数根则它
们就有 ;若无解则它们就 。
函数解析式联立的方程组的解就是函数图象交点坐标;函数图象交点的坐标就是解析式联立
成方程组的解;
二、填空(每题3分共30分)
1、已知y 与(2x+1)成反比例且当x=0时,y=2,那么当x=-1时,y=________。
2、如果反比例函数的图象经过点(3,1),那么k=_______
3、设反比例函数
的图象经过点(x 1,y 1)和(x 2,y 2)且有y 1>y 2,则k 的取值范围是______。
4、若点(2,
1)是反比例的图象上一点,当y=6时,则x=_______。
5、函数
与y=-2x 的图象的交点的坐标是____________。
6、如果点(m,-2m)在双曲线上,那么双曲线在_________象限。
7、已知一次函数y=ax+b 图象在一、二、三象限,则反比例函数y=的函数值随x 的增大而__________。
8、已知,那么y 与x 成_________比例,k=________,其图象在第_______象限。
9、菱形面积为12cm 2
,且对角线长分别为x cm 和y cm ,则y 关于x 的函数关系式是_________。
10、反比例函数
,当x >0时,y 随x 的增大而增大,则m 的值是 。
11.已知与 成反比例,且当 时,,那么当 时, . 12.(2012·山东潍坊中考)点P 在反比例函数(k ≠0)的图象上,点Q (2,4)与点P 关于y 轴对称,则反比例函数的解析式为 .
13.已知反比例函数x
m y 33-=,当______m 时,其图象的两个分支在第一、三象限内;当______m 时,其图象在每个象限内y 随x 的增大而增大. 14.若反比例函数x
k y 3-=的图象位于第一、三象限内,正比例函数x k y )92(-=的图象过第二、四象限,则k 的整数值是________.
15.现有一批救灾物资要从A 市运往B 市,如果两市的距离为500千米,车速为每小时千米,从A 市到B 市所需时间为小时,那么与之间的函数关系式为_________,是的
________函数.
16.(2012·河南中考)如图所示,点A 、B 在反比例函数(k >
0,x >0)的图象上,过点A 、B 作x 轴的垂线,垂足分别为M 、
N ,延长线段AB 交x 轴于点C ,若OM =MN =NC ,△AOC 的面积
为6,则k 的值为 .
17. 若点A (m ,-2)在反比例函数4y x
=
的图象上,则当函数值
时,自变量x 的取值范围是___________.
18.在同一直角坐标系中,正比例函数x k y 1=的图象与反比例函 数x
k y 2=的图象有公共点,则21k k 0(填“>”、“=”或“<”). 三、解答题(共46分)
19.(6分)已知一次函数kx y =与反比例函数x y 3=的图象都经过点A (m ,1).求: (1)正比例函数的解析式;
(2)正比例函数与反比例函数的图象的另一个交点的坐标.
20.(6分)如图,正比例函数12y x =的图象与反比例函数k y x
=(0)k ≠在第一象限的图象交于A 点,过A 点作x 轴的垂线,垂足为M ,已知△
的面积为1. (1)求反比例函数的解析式;
(2)如果B 为反比例函数在第一象限图象上的点(点B 与点A 不重合),
且B 点的横坐标为1,在x 轴上求一点P ,使PA PB +最小.
21.(6分)如图所示是某一蓄水池的排水速度h )与排完水池中的水所用的时间t (h )之间的函数关系图象.
(1)请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量;
(2)写出此函数的解析式;
(3)若要6 h 排完水池中的水,那么每小时的排水量应该是多少?
(4)如果每小时排水量是,那么水池中的水要用多少小时排完?
22.(7分)若反比例函数x k y =
与一次函数42-=x y 的图象都经过点A (a ,2). (1)求反比例函数x
k y =的解析式; (2) 当反比例函数x
k y =的值大于一次函数42-=x y 的值时,求自变量x 的取值范围.
23.(7分)(2012·天津中考)已知反比例函数y=(k 为常数,k ≠1).
(1)其图象与正比例函数y=x 的图象的一个交点为P ,若点P 的纵
坐标是2,求k 的值;
(2)若在其图象的每一支上,y 随x 的增大而减小,求k 的取值范围;
(3)若其图象的一支位于第二象限,在这一支上任取两点 A (x 1,y 1)、
B (x 2,y 2),当y 1>y 2时,试比较x 1与x 2的大小.
24.(7分)如图,已知直线1y x m =+与x 轴、y 轴分别交于
点A 、B ,与反比例函数2k y x =(x )的图象分别交于点
C 、
D ,且C 点的坐标为(1-,2).
⑴分别求出直线AB 及反比例函数的解析式;
⑵求出点D 的坐标;
⑶利用图象直接写出:当x 在什么范围内取值时,1y >2y .
25.(7分)制作一种产品,需先将材料加热达到60 ℃
后,再进行操作.设该材料温度为y (℃),从加热开始
计算的时间为x (min ).据了解,当该材料加热时,温
度y 与时间x 成一次函数关系;停止加热进行操作时,
温度y 与时间x 成反比例关系(如图).已知该材料在操作加热前的温
度为15 ℃,加热
5分钟后温度达到60 ℃.
(1)分别求出将材料加热和停止加热进行操作时,y 与x 的函数关系式;
(2)根据工艺要求,当材料的温度低于15 ℃时,须停止操作,那么从
开始加热到停止
操作,共经历了多少时间?。