【中考专题突破】《第3章函数》同步练习含答案 第三节

2020年中考数学三轮专题复习函数及其图象（含答案）一、选择题（本大题共6道小题）1. 二次函数y=(x-1)2+3的图象的顶点坐标是 ()A.(1，3)B.(1，-3)C.(-1，3)D.(-1，-3)2. 若二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象经过点(2，0)，且其对称轴为直线x=-1，则使函数值y>0成立的x的取值范围是()A.x<-4或x>2B.-4≤x≤2C.x≤-4或x≥2D.-4<x<23. 如图是雷达屏幕在一次探测中发现的多个目标，其中对目标A的位置表述正确的是()A.在南偏东75°方向处B.在5 km处C.在南偏东15°方向5 km处D.在南偏东75°方向5 km处4. 第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢.结果兔子又一次输掉了比赛，则下列函数图象可以体现这次比赛过程的是()5. 从某容器口以均匀地速度注入酒精，若液面高度h随时间t的变化情况如图所示，则对应容器的形状为()6. 如图，☉O的半径为2，双曲线的解析式分别为y=和y=-，则阴影部分的面积为()A.4πB.3πC.2πD.π二、填空题（本大题共5道小题）7. 星期天，小明上午8:00从家里出发，骑车到图书馆去借书，再骑车回到家，他离家的距离y(千米)与时间t(分)的关系如图所示，则上午8:45小明离家的距离是千米.8. 如图，直线y=kx+b(k<0)经过点A(3，1)，当kx+b<x时，x的取值范围为.9. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的x和y满足下表:x…-1 0 1 2 3 …y… 3 0 -1 0 m…(1)观察上表可求得m的值为;(2)这个二次函数的解析式为;(3)若点A(n+2，y1)，B(n，y2)在该抛物线上，且y1>y2，则n的取值范围为.10. 已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=1，其部分图象如图所示，下列说法中:①b>0;②a-b+c<0;③b+2c>0;④当-1<x<0时，y>0，正确的是__________________(填写序号).11. 如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，D为AB的中点，反比例函数y=(k>0)的图象经过点D，且与BC交于点E，连接OD，OE，DE，若△ODE的面积为3，则k的值为.三、解答题（本大题共6道小题）12. 为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A型节能灯和5只B型节能灯共需50元，2只A型节能灯和3只B型节能灯共需31元.(1)求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元?(2)学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由.13. 小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进.图中的折线表示两人之间的距离y(km)与小王的行驶时间x(h)之间的函数关系.请你根据图象进行探究:(1)小王和小李的速度分别是多少?(2)求线段BC所表示的y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.14. 如图，二次函数的图象与x轴交于A(-3，0)，B(1，0)两点，交y轴于点C(0，3)，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B，D.(1)请直接写出点D的坐标;(2)求二次函数的解析式;(3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.15. 如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点N，过A点的直线l:y=kx+n与y轴交于点C，与抛物线y=-x2+bx+c的另一个交点为D，已知A(-1，0)，D(5，-6)，P点为抛物线y=-x2+bx+c上一动点(不与A，D重合).(1)求抛物线和直线l的解析式;(2)当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值;(3)设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N，C，M，P为顶点的四边形为平行四边形.若存在，求出点M的坐标;若不存在，请说明理由.16. 某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长度为50 m.设饲养室长为x(m)，占地面积为y(m2).(1)如图①，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大?(2)如图②，现要求在图中所示位置留2 m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大.小敏说:“只要饲养室长比(1)中的长多2 m就行了.”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确.17. 在画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下:x…-1 0 1 2 3 …y甲… 6 3 2 3 6 …乙写错了常数项，列表如下:x…-1 0 1 2 3 …y乙…-2 -1 2 7 14 …通过上述信息，解决以下问题:(1)求原二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的表达式;(2)对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，当x时，y的值随x的值增大而增大;(3)若关于x的方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个不相等的实数根，求k的取值范围. 2020年中考数学三轮专题复习函数及其图象-答案一、选择题（本大题共6道小题）1. 【答案】A2. 【答案】D[解析]∵二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象经过点(2，0)，且其对称轴为直线x=-1，∴二次函数的图象与x轴另一个交点为(-4，0)，∵a<0，∴抛物线开口向下，则使函数值y>0成立的x的取值范围是-4<x<2.3. 【答案】D[解析]目标A的位置在南偏东75°方向5 km处，故选D.4. 【答案】B[解析]根据题意可知兔子先让乌龟跑了一段距离，但是比乌龟晚到终点，故选项B正确.5. 【答案】C6. 【答案】C[解析]根据反比例函数y=，y=-及圆的中心对称性和轴对称性知，将二、四象限的阴影部分旋转到一、三象限对应部分，显然所有阴影部分的面积之和等于一、三象限内两个扇形的面积之和，也就相当于一个半径为2的半圆的面积.=π×22=2π.故选C.∴S阴影二、填空题（本大题共5道小题）7. 【答案】1.58. 【答案】x>3[解析]当x=3时，x=×3=1，∴点A在一次函数y=x的图象上，且一次函数y=x的图象经过第一、三象限，∴当x>3时，一次函数y=x的图象在y=kx+b的图象上方，即kx+b<x.9. 【答案】解:(1)3[解析]观察表格，根据抛物线的对称性可得x=3和x=-1时的函数值相等，∴m的值为3，故答案为:3.(2)y=(x-1)2-1[解析]由表格可得，二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点坐标是(1，-1)，∴y=a(x-1)2-1.又当x=0时，y=0，∴a=1，∴这个二次函数的解析式为y=(x-1)2-1.(3)n>0[解析]∵点A(n+2，y1)，B(n，y2)在该抛物线上，且y1>y2，∴结合二次函数的图象和性质可知n>0.10. 【答案】①③④[解析]根据图象可得:a<0，c>0，对称轴:直线x=-=1，∴b=-2a.∵a<0，∴b>0，故①正确;把x=-1代入y=ax2+bx+c，得y=a-b+c.由抛物线的对称轴是直线x=1，且过点(3，0)，可得当x=-1时，y=0，∴a-b+c=0，故②错误;当x=1时，y=a+b+c>0.∵b=-2a，∴-+b+c>0，即b+2c>0，故③正确;由图象可以直接看出④正确.故答案为:①③④.11. 【答案】4[解析]过点D作DH⊥x轴于H点，交OE于M，∵反比例函数y=(k>0)的图象经过点D，E，∴S△ODH=S△ODA=S△OEC=，∴S△ODH-S△OMH=S△OEC-S△OMH，即S△OMD=S四边形EMHC，∴S△ODE=S梯形DHCE=3，设D(m，n)，∵D为AB的中点，∴B(2m，n).∵反比例函数y=(k>0)的图象经过点D，E，∴E2m，，∴S梯形=+n m=3，DHCE∴k=mn=4.三、解答题（本大题共6道小题）12. 【答案】解:(1)设1只A型节能灯的售价是x元，1只B型节能灯的售价是y元，根据题意，得解得答:1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能灯的售价是7元.(2)设购买A型节能灯a只，则购买B型节能灯(200-a)只，总费用为w元，w=5a+7(200-a)=-2a+1400，∵a≤3(200-a)，∴a≤150，∵-2<0，w随a的增大而减小，∴当a=150时，w取得最小值，此时w=1100，200-a=50.答:最省钱的购买方案是:购买A型节能灯150只，B型节能灯50只.13. 【答案】解:(1)从线段AB得:两人从相距30 km的两地同时出发，1 h后相遇，则v小王+v小李=30 km/h，小王从甲地到乙地行驶了3 h，∴v小王=30÷3=10(km/h)，∴v小李=20 km/h.(2)C点的意义是小李骑车从乙地到甲地用了30÷20=1.5(h)，此时小王和小李的距离是1.5×10=15(km)，∴C点坐标是(1.5，15).设直线BC的解析式为y=kx+b，将B(1，0)，C(1.5，15)分别代入解析式，得解得:∴线段BC的解析式为y=30x-30(1≤x≤1.5).14. 【答案】解:(1)D(-2，3).(2)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，且a≠0)，根据题意，得解得∴二次函数的解析式为y=-x2-2x+3.(3)x<-2或x>1.15. 【答案】[分析] (1)将点A，D的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式，即可求解;(2)设出P点坐标，用参数表示PE，PF的长，利用二次函数求最值的方法.求解;(3)分NC是平行四边形的一条边或NC是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可.解:(1)将点A，D的坐标代入y=kx+n得:解得:故直线l的表达式为y=-x-1.将点A，D的坐标代入抛物线表达式，得解得故抛物线的表达式为:y=-x2+3x+4.(2)∵直线l的表达式为y=-x-1，∴C(0，-1)，则直线l与x轴的夹角为45°，即∠OAC=45°，∵PE∥x轴，∴∠PEF=∠OAC=45°.又∵PF∥y轴，∴∠EPF=90°，∴∠EFP=45°.则PE=PF.设点P坐标为(x，-x2+3x+4)，则点F(x，-x-1)，∴PE+PF=2PF=2(-x2+3x+4+x+1)=-2(x-2)2+18，∵-2<0，∴当x=2时，PE+PF有最大值，其最大值为18.(3)由题意知N(0，4)，C(0，-1)，∴NC=5，①当NC是平行四边形的一条边时，有NC∥PM，NC=PM.设点P坐标为(x，-x2+3x+4)，则点M的坐标为(x，-x-1)，∴|y M-y P|=5，即|-x2+3x+4+x+1|=5，解得x=2±或x=0或x=4(舍去x=0)，则点M坐标为(2+，-3-)或(2-，-3+)或(4，-5);②当NC是平行四边形的对角线时，线段NC与PM互相平分.由题意，NC的中点坐标为0，，设点P坐标为(m，-m2+3m+4)，则点M(n'，-n'-1)，∴0==，解得:n'=0或-4(舍去n'=0)，故点M(-4，3).综上所述，存在点M，使得以N，C，M，P为顶点的四边形为平行四边形，点M的坐标分别为:(2+，-3-)，(2-，-3+)，(4，-5)，(-4，3).16. 【答案】解:(1)∵y=x·=-(x-25)2+，∴当x=25时，占地面积y最大.(2)y=x·=-(x-26)2+338，∴当x=26时，占地面积y最大.即当饲养室长为26 m时，占地面积最大.∵26-25=1≠2，∴小敏的说法不正确.17. 【答案】解:(1)根据甲同学的错误可知x=0时，y=c=3是正确的，由甲同学提供的数据，选择x=-1，y=6;x=1，y=2代入y=ax2+bx+3，得解得a=1是正确的.根据乙同学提供的数据，选择x=-1，y=-2;x=1，y=2代入y=x2+bx+c，得解得b=2是正确的，∴y=x2+2x+3.(2)≥-1[解析]抛物线y=x2+2x+3的对称轴为直线x=-1，∵二次项系数为1，故抛物线开口向上，∴当x≥-1时，y的值随x值的增大而增大.故答案为≥-1.(3)∵方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个不相等的实数根，即x2+2x+3-k=0有两个不相等的实数根，∴Δ=4-4(3-k)>0，解得k>2.。

2024成都中考数学第一轮专题复习之第三章 第三节 函数的表达式(含平移) 知识精练 基础题1. (2023云南)若点A (1，3)是反比例函数y ＝k x(k ≠0)图象上一点，则常数k 的值为( ) A. 3 B. －3 C. 32 D. －322. (2022益阳)已知一个函数的因变量y 与自变量x 的几组对应值如下表，则这个函数的表达式可以是( )A. y ＝2xB. y ＝x －1C. y ＝2xD. y ＝x 2 3. 若二次函数的图象的顶点坐标为(2，－1)，且该函数图象过点(0，3)，则二次函数的表达式是( )A. y ＝－(x －2)2－1B. y ＝－12(x －2)2－1 C. y ＝(x －2)2－1 D. y ＝12(x －2)2－1 4. (北师九下P41习题第2题改编)若抛物线y ＝－x 2－2x ＋3经过平移后得到的新抛物线的顶点坐标为(2，5)，则平移方式为( )A. 先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B. 先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C. 先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D. 先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度5. 已知点A (－3，a )，B (5，a )，C (－8，a ＋b )(b <0)在同一个函数的图象上，则这个函数可能是( )A. y ＝2xB. y ＝－3xC. y ＝(x －1)2D. y ＝－12x 2＋x ＋2 6. [新考法—结论开放](2023上海)一个二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点在y 轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是________．7. 若直线y ＝x 向下平移3个单位长度后经过点(2，m )，则m 的值为________．8. 若将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”．现将抛物线C 1：y ＝(x －2)2－4向右平移m (m >0)个单位长度后得到新的抛物线C 2，若(4，n )为“平衡点”，则m 的值为________．拔高题9. 已知在平面直角坐标系中，O 为原点，等边△AOB 的边AO 在x 轴上，点A (4，0)，点B 在第一象限，则经过等边△AOB 三个顶点的抛物线的函数表达式为________________．10. 如图所示，直线y 1＝－43x 与双曲线y ＝k x交于A ，B 两点，点C 在x 轴上，连接AC ，B C.当AC ⊥BC ，S △ABC ＝15时，k 的值为________．第10题图参考答案与解析1. A 【解析】∵点A (1，3)在反比例函数y ＝k x(k ≠0)图象上，∴k ＝1×3＝3. 2. A 【解析】根据表中数据可以看出：y 的值是x 值的2倍，∴y ＝2x .3. C 【解析】设这个二次函数的表达式为y ＝a (x －h )2＋k ，∵二次函数的图象的顶点坐标为(2，－1)，∴二次函数的表达式为y ＝a ·(x －2)2－1，把(0，3)代入得a ＝1，∴y ＝(x －2)2－1.4. B 【解析】∵y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，∴平移前抛物线的顶点坐标为(－1，4).∵平移后新抛物线的顶点坐标为(2，5)，∴平移方式为先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度．5. D 【解析】∵A (－3，a )，B (5，a )，∴点A 与点B 关于直线x ＝1对称．∵函数y ＝2x ，y ＝－3x的图象不关于直线x ＝1对称，∴A ，B 选项均不符合题意；∵b <0，∴a ＋b <a .由A (－3，a )，C (－8，a ＋b )可知，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，∴C 选项不符合题意，D 选项符合题意．6. y ＝－x 2＋1(答案不唯一) 【解析】由题意得b ＝0，a ＜0，c ＞0，∴这个二次函数的解析式可以是y ＝－x 2＋1.7. －1 【解析】将直线y ＝x 向下平移3个单位，得到直线y ＝x －3，把点(2，m )代入，即m ＝2－3，∴m ＝－1.8. 4 【解析】根据题意，将(4，n )代入抛物线C 1：y ＝(x －2)2－4，得到：n ＝(4－2)2－4＝0，所以“平衡点”为(4，0).将抛物线C 1：y ＝(x －2)2－4向右平移m (m ＞0)个单位得到新抛物线C 2：y ＝(x －2－m )2－4.将(4，0)代入新抛物线C 2：y ＝(x －2－m )2－4，得0＝(4－2－m )2－4，解得m ＝4(负值已舍去).9. y ＝－32x 2＋23 x 【解析】根据题意，可设该抛物线的函数表达式为y ＝ax ·(x －4)，由题知，点B 的坐标为(2，23 )，∴将点B 坐标代入，得23 ＝a ×2×(2－4)，解得a ＝－32 ，∴该抛物线的函数表达式为y ＝－32x 2＋23 x . 10. －9 【解析】∵直线y 1＝－43 x 与双曲线y ＝k x交于A ，B 两点，∴点A 与点B 关于原点对称，OA ＝OB .∵AC ⊥BC ，∴∠ACB ＝90°，∴OA ＝OB ＝OC .设A (t ，－43t )，则B (－t ，43 t )，OA ＝t 2＋（－43t ）2 ＝－53 t ，∴OC ＝－ 53 t .∵S △ABC ＝15，∴12 ×(－ 53 t )·(－43 t －43 t )＝15，解得t ＝±332 ，∴A (－332 ，23 ).把A (－332 ，23 )代入y ＝k x 中，得k ＝－332×23 ＝－9.。

1沪科版2020中考九年级数学复习学案第三单元 函数（含答案）一、涵盖章节：第十章、平面直角坐标系； 第十一章、一次函数； 第二十一章、二次函数与反比例函数；二、涵盖内容： （一）函数0⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩⎧⎪≠⎨⎪≥⎩常量量自变量变量因变量函数概念：自变量在允许范围内取的每一个值，因变量都有唯一确定的值与它对应，那么因变量是自变量的函数函数的表达方式：列表法； 图像法； 解析法（函数式也叫函数表达式或函数解析式）若是整式：自变量取一切实数（应用题根据实际要求）函数解析式的自变量取值范围若是分式：分母若是＞二次根式：被开方数0；若二次根式在分母：被开方数0函数值：把自变量值代入函数123⎧⎨⎩⎧⎨⎩关系式的值，即函数值（类似求代数式值）：用来判断点坐标是否在函数图像上。

1、利用等式关系（列方程）求出函数关系式； 2、利用不等式组求出自变量取值范围函数性质应用3、已知自变量，求函数值； 4、已知函数值，求自变量值（解方程）画出函数图像步骤：、列表；、描点；、连线；函数应用函数图像应用用函数图像合理描述一些特定数学问题：如行程问题解析式的判断：对于在允许范围内的任一个函数判断⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎩⎩自变量的值，函数是否有唯一确定值与其对应。

图像的判断：平行于y 轴直线在x 轴上左右平移，若直线与图像交点是唯一的即函数。

（二）反比例函数1(0);(000)(,(00k y k x k y k x xy k y kx k k y x x x -≠⎧≠⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩反比例函数的概念：形如=函数关系式求法：待定系数找一点坐标求出系数k 一般式：=反比例函数的三种形式乘积式：反比例函数图像上任一点横、纵坐标乘积定值指数式：一般是利用反比例函数定义，求子母值＞，分布一、三象限，每象限自左向右下降（性质）反比例函数的图像特点及其对应性：＞或者＜时随增大而减小）＜，分质布二、四00,0=-=012x x k y x y x y x k x k x k ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩象限，每象限自左向右上升（性质：＞或者＜时随增大而增大）＞，图像关于原点成中心对称，与相交两点关于原点成中心对称＜，图像关于原点成中心对称，与相交两点关于原点成中心对反比例函数的性质（与图像特点阐述）图像上任一点向轴或y 轴作垂线与原点构成的三角形面积图像上任一点向轴、y 轴作垂线与原点构成的矩形面积反比例函数的k 的几何意义称两12k k k x ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪-⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎩⎩个函数的图像上的两点与坐标轴构成的平行四边形面积利用同底等高矩形来计算两个函数的图像上的两点与坐标轴构成的矩形面积等于两个值之差的绝对值，即由函数值的大小确定的值范围一次函数与反比例函数交点问题直线与原点构成三角形面积用分割法2（三）正比例与一次函数0)+0)(0)0,010,0)0(00y kx k k y kx b k b k b k b b x k k k 正比例函数：形如（为常数且正比例与一次函数概念一次函数：形如（、为常数且其中正比例是一次函数的特殊形式，即正比例：经过（）和（，）两点的直线。

人教B 版选修1-1同步练习1．函数y ＝f (x )在[a ，b ]上( ) A ．极大值一定比极小值大 B ．极大值一定是最大值 C ．最大值一定是极大值 D ．最大值一定大于极小值 解析：选D.由函数的最值与极值的概念可知，y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值一定大于极小值．2．函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，但有最小值 D ．既无最大值，也无最小值解析：选D.f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.3．函数y ＝4x 2(x －2)在x ∈[－2,2]上的最小值为________，最大值为________．解析：由y ′＝12x 2－16x ＝0，得x ＝0或x ＝43.当x ＝0时，y ＝0；当x ＝43时，y ＝－12827；当x ＝－2时，y ＝－64；当x ＝2时，y ＝0. 比较可知y max ＝0，y min ＝－64.答案：－64 04．已知函数f (x )＝13x 3－4x .(1)求函数的极值；(2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值． 解：(1)f ′(x )＝x 2－4，解方程x 2－4＝0， 得x 1＝－2，x 2＝2.x (－∞，－2)－2 (－2,2) 2(2，＋∞)f ′(x )＋0 －0 ＋ f (x ) ↗ 163↘ －163↗ 从上表可看出，当x ＝－2时，函数有极大值，且极大值为163；而当x ＝2时，函数有极小值，且极小值为－163.(2)f (－3)＝13×(－3)3－4×(－3)＝3，f (4)＝13×43－4×4＝163，与极值比较，得函数在区间[－3,4]上的最大值是163，最小值是－163.一、选择题1．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7，在x ∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( ) A ．f (2)，f (3) B ．f (3)，f (5) C ．f (2)，f (5) D ．f (5)，f (3) 解析：选B.∵f ′(x )＝－2x ＋4， ∴当x ∈[3,5]时，f ′(x )<0， 故f (x )在[3,5]上单调递减，故f (x )的最大值和最小值分别是f (3)，f (5)．2．f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．4解析：选C.f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0可得x ＝0或x ＝2(舍去)， 当－1≤x <0时，f ′(x )>0，当0<x ≤1时，f ′(x )<0. 所以当x ＝0时，f (x )取得最大值为2.3．函数y ＝ln xx的最大值为( )A ．e －1B ．eC ．e 2 D.103解析：选A.令y ′＝(ln x )′x －ln x ·x ′x 2＝1－ln xx 2＝0.解得x ＝e.当x >e 时，y ′<0；当x <e 时，y ′>0.y 极大值＝f (e)＝1e ，在定义域内只有一个极值，所以y max ＝1e.4．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π的最大值是( )A ．π－1 B.π2－1C ．πD ．π＋1解析：选C.因为y ′＝1－cos x ，当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，y ′>0，则函数y 在区间⎣⎡⎦⎤π2，π上为增函数，所以y 的最大值为y max ＝π－sinπ＝π，故选C.5．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( ) A ．－10 B ．－71 C ．－15 D ．－22解析：选B.f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)． 由f ′(x )＝0得x ＝3，－1. 又f (－4)＝k －76，f (3)＝k －27， f (－1)＝k ＋5，f (4)＝k －20. 由f (x )max ＝k ＋5＝10，得k ＝5， ∴f (x )min ＝k －76＝－71.6．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154，则a 等于( ) A ．－32B.12 C ．－12D.12或－32解析：选C.当a ≤－1时，最大值为4，不符合题意，当－1<a <2时，f (x )在[a,2]上是减函数，f (a )最大，－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－12或a ＝－32(舍去)．二、填空题7．函数f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上有最小值是________．解析：f ′(x )＝6x 2－6x －12，令f ′(x )＝0得x ＝2或x ＝－1(舍去)，比较f (0)，f (2)，f (3)可得函数的最小值为f (2)＝－15.答案：－158．函数y ＝x e x 的最小值为________．解析：令y ′＝(x ＋1)e x ＝0，得x ＝－1.当x <－1时，y ′<0；当x >－1时，y ′>0.∴y min ＝f (－1)＝－1e.答案：－1e9．已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝m －2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝m2.由题设得m2∈[－2，－1]，故m ∈[－4，－2]．答案：[－4，－2] 三、解答题10．试求f (x )＝(x 2－3)e x 的最值．解：函数的定义域为R ，且 f ′(x )＝e x (x 2＋2x －3)令f ′(x )＞0，得x ＞1或x ＜－3； 令f ′(x )＜0得－3＜x ＜1.所以函数f (x )在(－∞ ，－3)和(1，＋∞)上递增，在(－3,1)上递减，因此函数f (x )在x ＝－3处取得极大值，极大值为f (－3)＝6e －3，在x ＝1处取得极小值，极小值为f (1)＝－2e.又由f (x )＞0，得x ＞3或x ＜－3；由f (x )＜0，得－3＜x ＜3，所以函数的大致图象如图．从函数图象可知函数f (x )的最小值就是函数的极小值f (1)＝－2e ，而函数无最大值．11．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋2，x ＝2是f (x )的一个极值点，求： (1)实数a 的值；(2)f (x )在区间[－1,3]上的最大值和最小值．解：(1)∵f (x )在x ＝2处有极值，∴f ′(2)＝0. ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ，∴3×4＋4a ＝0，∴a ＝－3.(2)由(1)知a ＝－3，∴f (x )＝x 3－3x 2＋2，f ′(x )＝3x 2－6x .令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2.12．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋3x .(1)若f (x )在x ∈[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )在x ∈[1，a ]上的最大值和最小值．解：(1)令f ′(x )＝3x 2－2ax ＋3＞0，∴a ＜⎣⎡⎦⎤32(x ＋1x )min ＝3(当x ＝1时取最小值)． ∵x ≥1，∴a ＝3时亦符合题意， ∴a ≤3.(2)f ′(3)＝0，即27－6a ＋3＝0， ∴a ＝5，f (x )＝x 3－5x 2＋3x ， f ′(x )＝3x 2－10x ＋3.令f ′(x )＝0，得x 1＝3，x 2＝13(舍去)．当1＜x ＜3时，f ′(x )＜0，当3＜x ＜5时，f ′(x )＞0， 即当x ＝3时，f (x )的极小值f (3)＝－9. 又f (1)＝－1，f (5)＝15，∴f (x )在[1,5]上的最小值是f (3)＝－9， 最大值是f (5)＝15.。

高一上学期数学(必修一)《第三章函数的应用》同步练习题及答案(人教版)一、单选题1．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，第一季度共获利42万元，已知二月份和三月份利润的月增长率相同.设二、三月份利润的月增长率为x ，则x 满足的方程为（ ）A ．210(1)42x +=B ．21010(1)42x ++=C ．1010(1)10(12)42x x ++++=D ．21010(1)10(1)42x x ++++=2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是（ ）A ．310元B ．300元C ．390元D ．280元3．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x 辆该品牌车的利润（单位：万元）分别为2121L x x=-+和22L x =.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为（ ）A ．90万元B ．60万元C ．120万元D ．120.25万元4．把长为12cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（ ）A ．233cm 2B ．24cmC ．232cmD ．223cm5．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为（ ）m ．A ．400B ．12C ．20D ．306．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N 满足关系2010000.70.3v N v v d =++，其中0d 为安全距离，v为车速()m /s .当安全距离0d 取30m 时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（ ）A ．135B ．149C ．165D ．1957．某中学体育课对女生立定跳远项目的考核标准为：立定跳远距离1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后，每增加0.1米，分值增加5分，满分为120分．若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分，则该女生训练后，立定跳远距离增加了（ ）A ．0.33米B ．0.42米C ．0.39米D ．0.43米8．周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从A 地出发前往B 地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟.乙骑行25分钟后，甲以原速的85继续骑行，经过一段时间，甲先到达B 地，乙一直保持原速前往B 地.在此过程中，甲、乙两人相距的路程y （单位：米）与乙骑行的时间x （单位：分钟）之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．乙的速度为300米/分钟B ．25分钟后甲的速度为400米/分钟C ．乙比甲晚14分钟到达B 地D ．A 、B 两地之间的路程为29400米二 、多选题 9.根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)=√x x <A,√A x ⩾A(A,c 为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，下列结果正确的是（ ）A. A =16B. c =60C. A =4D. c =3010.对任意两个实数a ，b ，定义max{ a,b}={a,a >b,若f(x)=2−x 2，g(x)=x 2下列关于函数F(x)=max{ f(x),g(x)}的说法正确的有（ ）A. 函数F(x)是偶函数B. 函数F(x)有四个单调区间C. 方程F(x)=2有四个不同的根D. 函数F(x)的最大值为1，无最小值11.函数y =[x]的函数值表示不超过x 的最大整数．例如[1.1]=1，[2.3]=2设函数f(x)={1−x 2,x <0,x −[x],x ⩾0,则下列说法正确的是（ ）A. 函数f(x)的值域为(−∞,0]B. 若x ⩾0，则[f(x)]=0C. 方程f(x)=1有无数个实数根D. 若方程f(x)=−x +a 有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围是[0,+∞)12.已知函数f(x)={x 2,x ⩽0,−x 2,x >0,则下列结论中正确的是（ ） A. f(√2)=2B. 若f(m)=9，则m ≠±3C. f(x)是奇函数D. 在f(x)上R 单调递减三、填空题13．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算． 可以享受折扣优惠金额折扣优惠率 不超过500元的部分5% 超过500元的部分 10% 某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为__________元．14．函数()()222323y x x x x =---+零点的个数为_____________.15．如图，在半径为4（单位：cm ）的半圆形（O 为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD ，其顶点,A B 在直径上，顶点,C D 在圆周上，则矩形ABCD 面积的最大值为____（单位：2cm ）.四、解答题16.．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽2m ，渠深为1.8m ，斜坡的倾斜角是45°（无水状态不考虑）.(1)试将横断面中水的面积()A h （2m ）表示成水深h （m ）的函数；(2)当水深为1.2m 时，求横断面中水的面积.17．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，把每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）表示为养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数.当04x <≤时，v 的值为2；当420x <≤时，v 是关于x 的一次函数.当x ＝20时，因缺氧等原因，v 的值为0.(1)当020x <≤时，求函数()v x 的表达式；(2)当x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）()()f x x v x =⋅可以达到最大？并求出最大值.18．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似的表示为21200800002y x x =-+ ，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元. (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？19．吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产x 万盒，需投入成本()h x 万元，当产量小于或等于50万盒时()180100h x x =+；当产量大于50万盒时()2603500h x x x =++，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润y （万元）关于产量x （万盒）的函数关系式；(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？20．随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）和车流密度x （单位：辆/千米）所满足的关系式：()60,030R 80,30120150x v k k x x <≤⎧⎪=∈⎨-<≤⎪-⎩.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时.(1)若车流速度v 不小于40千米/小时，求车流密度x 的取值范围；(2)隧道内的车流量y （单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足y x v =⋅，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.（参考数据：5 2.236） 参考答案1．D 2．B3．C4．D5．C6．B7．B8．C9.AB;10.AB;11.BD;12.CD;13．112014．215．1616.（1）依题意，横断面中的水面是下底为2m ，上底为()22h +m ，高为h m 的等腰梯形，所以()()()222220 1.82h A h h h h h ++=⋅=+<≤. （2）由（1）知()()220 1.8A h h h h =+<≤ ()21.2 1.22 1.2 3.84h =+⨯=所以当水深为1.2m 时，横断面水中的面积为3.842m .17.（1）依题意，当04x <≤时()2v x =；当420x <≤时，()v x 是关于x 的一次函数，假设()(0)v x ax b a =+≠则42200a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得0.1252.5a b =-⎧⎨=⎩所以()2,040.125 2.5,420x v x x x <≤⎧=⎨-+<≤⎩. （2）当04x <≤时()()()2028v x f x x v x x =⇒<=⋅=≤；当420x <≤时()()20.125 2.50.125 2.5v x x f x x x =-+⇒=-+当()2.51020.125x =-=⨯-时，()f x 取得最大值()1012.5f =. 因为12.58>，所以当x ＝10时，鱼的年生长量()f x 可以达到最大，最大值为12.53/千克米.18.（1）由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为180000180000200220020022y x x x x x=+-≥⋅-=； 当且仅当1800002x x = ，即400x = 时等号成立 故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元.（2）不获利，设该单位每个月获利为S 元，则2211100100200800003008000022S x y x x x x x ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭()21300350002x =--- 因为[]400,600x ∈，则[]80000,40000S ∈--故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.19.（1）当产量小于或等于50万盒时20020018010020300y x x x =---=-当产量大于50万盒时222002006035001403700y x x x x x =----=-+-故销售利润y （万元）关于产量x （万盒）的函数关系式为220300,050,N 1403700,50x x y x x x x -≤≤⎧=∈⎨-+->⎩（2）当050x ≤≤时2050300700y ≤⨯-=；当50x >时21403700y x x =-+-当140702x ==时，21403700y x x =-+-取到最大值，为1200． 因为7001200<，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．20.（1）解：由题意知当120x =（辆/千米）时，0v =（千米/小时）代入80150k v x=--，解得2400k = 所以60,030240080,30120150x v x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩. 当030x <≤时，6040v =≥，符合题意；当30120x <≤时，令24008040150x-≥-，解得90x ≤，所以3090x <≤. 所以，若车流速度v 不小于40千米/小时，则车流密度x 的取值范围是(]0,90.（2）解：由题意得60,030240080,30120150x x y x x x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩当030x <≤时，60y x =为增函数，所以1800y ≤，当30x =时等号成立；当30120x <≤时 ()()2150180150450024004500808080180150150150150x x x y x x x x x --+--⎡⎤⎛⎫=-==--+ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎣⎦ 4800(35)3667≤-≈. 当且仅当4500150150x x-=-，即30(55)83x =-≈时等号成立. 所以，隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时，此时车流密度约为83辆/千米.。

2022-2023学年鲁教版（五四学制）九年级数学上册《第3章二次函数》同步综合练习题（附答案）一．选择题1．把抛物线y＝﹣2x2+4x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（）A．y＝﹣2（x﹣1）2+6B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣6C．y＝﹣2（x+1）2+6D．y＝﹣2（x+1）2﹣62．把抛物线y＝x2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y＝x2﹣3x+5，则（）A．b＝3，c＝7B．b＝6，c＝3C．b＝﹣9，c＝﹣5D．b＝﹣9，c＝21 3．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过A（﹣3，0）、O（1，0）、B（﹣5，y1）、C（5，y2）四点，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定4．在平面直角坐标系中，形如（m，n2）的点涂上红色（其中m、n为整数），称为红点，其余不涂色，那么抛物线y＝x2﹣2x+9上有（）个红点．A．2个B．4个C．6个D．无数个5．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+b与y＝ax+2b（ab≠0）的图象大致如图（）A．B．C．D．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2经过平移得到抛物线y＝x2﹣2x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（）A．2B．4C．8D．167．如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面3米，则水流下落点B 离墙的距离OB是（）A．2.5米B．3米C．3.5米D．4米8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（）A．①④B．③④C．②⑤D．②③⑤9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3二．填空题10．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝（x﹣1）2+1上运动．过点A作AC⊥x 轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为．11．二次函数y＝2x2﹣4x﹣1的图象是由y＝2x2+bx+c的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，则b＝，c＝．12．如图，矩形ABCD的长AB＝6cm，宽AD＝3cm．O是AB的中点，OP⊥AB，两半圆的直径分别为AO与OB．抛物线y＝ax2经过C、D两点，则图中阴影部分的面积是cm2．13．锐角△ABC中，BC＝6，S△ABC＝12，两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN ∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y（y＞0），当x＝，公共部分面积y最大，y最大值＝．14．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的顶点为D．下列三个判断：①当x＞0时，y＞0；②抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2；③点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G、F分别在x轴和y轴上，当m＝2时，四边形EDFG周长的最小值为6，其中正确判断的序号是．三．解答题15．在如图网格中建立平面直角坐标系，画出函数y＝﹣x2的图象，并回答下列问题（1）当﹣4≤x≤3时，函数的最大值为，最小值为．（2）当1≤x≤4时，函数的最大值为，最小值为．（3）已知点A（t，y1），B（t+2，y2）在抛物线y＝﹣x2的图象上，且﹣2≤t≤2，则线段AB长的最小值为，最大值为．16．设a，b是任意两个实数，用min{a，b}表示a，b两数中较小者，例如：min{﹣1，﹣1}＝﹣1，min{1，2}＝1，min{4，﹣3}＝﹣3，参照上面的材料，解答下列问题：（1）若min{3x+1，﹣x+2}＝﹣x+2，求x的取值范围；（2）求函数y＝﹣x2﹣2x+4与y＝﹣x﹣2的图象的交点坐标，函数y＝﹣x2﹣2x+4的图象如图所示，请你在图中作出直线y＝﹣x﹣2，并根据图象直接写出min{﹣x2﹣2x+4，﹣x﹣2}的最大值．17．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），过点B的直线y＝x﹣2交抛物线于点C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（P不与点B，C重合），求△PBC面积的最大值；（3）若点M在抛物线上，点N在直线BC上．试探究：是否存在点M，N，使得OM＝ON，∠MON＝90°同时成立？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，已知抛物线C1：y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（0，﹣2），且经过点A（﹣2，2），动直线l的解析式为：y＝﹣4x+e．（1）求抛物线C1的解析式；（2）将抛物线C1向上平移两个单位得到新抛物线C2，过点A的直线交抛物线C2于M、N两点（M位于点N的左边），动直线经过点M，与抛物线C2的另一个交点为点P，求证：直线PN恒过一个定点；（3）图3中，在（1）的条件下，x轴正半轴上有一点B（1，0），M为抛物线C1上在第一象限内的点，若∠MAB为锐角，且tan∠MAB＞2，直接写出点M的横坐标x的取值范围．19．如图1，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），点D是抛物线的顶点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P在直线BC下方的抛物线上运动，求点P运动到何处时，△PBC的面积最大？（3）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点E，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，是否存在这样的点M与点N，使得以B、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+m﹣2的顶点为A，且通过点B（3，﹣3）．（1）求顶点A的坐标；（2）点C为直线AB上方抛物线上一动点，求△ABC面积的最大值；（3）在对称轴左侧的抛物线上存在一点P，使得∠P AB＝45°，求点P坐标．21．已知m，n是一元二次方程x2+4x+3＝0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y＝x2+bx+c 的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，将△BCD沿BC 所在直线折叠，得到△BCE，点D的对应点点E是否落在抛物线上？若点E落在抛物线上，请求出点E的坐标；若点E不在抛物线上，请说明理由；（3）点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，若△PBC的面积等于△ABC面积的一半，求点P的坐标．22．设抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于两个不同的点A（﹣1，0）、B（m，0），与y轴交于点C．且∠ACB＝90°．（1）求抛物线的解析式（2）已知过点A的直线y＝x+1交抛物线于另一点E，且点D（1，﹣3）在抛物线上问：在x轴上是否存在点P，使以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似？若存在，请求出所有符合要求的点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图，已知抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于点A（﹣1，0），B，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式，并求出点B的坐标；（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作NM∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长；（3）在（2）的条件下，连接NB，NC，是否存在点M，使△BNC的面积最大？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．参考答案一．选择题1．解：原抛物线的顶点坐标为（1，3），向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到新抛物线的顶点坐标为（﹣1，6）．可设新抛物线的解析式为：y＝﹣2（x﹣h）2+k，代入得：y＝﹣2（x+1）2+6．故选：C．2．解：y＝x2﹣3x+5＝（x﹣）2+，将其向上平移2个单位，得：y＝（x﹣）2+．再向左平移3个单位，得：y＝（x+）2+＝x2+3x+7．因此b＝3，c＝7．故选：A．3．解：∵抛物线过A（﹣3，0）、O（1，0）两点，∴抛物线的对称轴为x＝＝﹣1，∵a＜0，抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，比较可知C点离对称轴远，对应的纵坐标值小，即y1＞y2．故选：A．4．解：∵设点（m，n2）是抛物线y＝x2﹣2x+9上的一个红点，则n2＝m2﹣2m+9，即n2﹣（m﹣1）2＝8，∴（n﹣m+1）（n+m﹣1）＝8，∵m、n为整数，且n﹣m与n+m的奇偶性相同，∴n﹣m+1＝2，n+m﹣1＝4或n﹣m+1＝4，n+m﹣1＝2或n﹣m+1＝﹣2，n+m﹣1＝﹣4或n﹣m+1＝﹣4，n+m﹣1＝﹣2，解得或或或，∴这样的点为（2，9）或（0，9）∴抛物线y＝x2﹣2x+9上有2个红点．故选：A．5．解：A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；B、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；C、由抛物线可知a＞0，b＜0，由直线可知a＞0，b＞0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项错误．故选：B．6．解：过点C作CA⊥y，∵抛物线y＝＝（x2﹣4x）＝（x2﹣4x+4）﹣2＝（x﹣2）2﹣2，∴顶点坐标为C（2，﹣2），对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2×2＝4，故选：B．7．解：由题意可得，抛物线的顶点坐标为（1，3），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3，2.25＝a（0﹣1）2+3，解得a＝﹣0.75，∴y＝﹣（x﹣1）2+3，当y＝0时，﹣（x﹣1）2+3＝0，解得，x1＝﹣1，x2＝3，∴点B的坐标为（3，0），∴OB＝3，答：水流下落点B离墙距离OB的长度是3米．故选：B．8．解：①抛物线开口方向向下，则a＜0．抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即ab＜0．抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．所以abc＜0．故①错误．②∵抛物线对称轴为直线x＝＝1，∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，故②正确；③∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴函数的最大值为：a+b+c，∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，故③错误；④∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧∴当x＝﹣1时，y＝0，∴a﹣b+c＝0，故④错误；⑤∵ax12+bx1＝ax22+bx2，∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0，∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝，∵b＝﹣2a，∴x1+x2＝2，故⑤正确．综上所述，正确的有②⑤．故选：C．9．解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故①正确；②∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∵对称轴x＝﹣＞0，∴ab＜0，∵a＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故②正确；③∵一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，∴y＝ax2+bx+c和y＝m没有交点，由图可得，m＞2，故③正确．故选：D．二．填空题10．解：∵AC⊥x轴，∴当点A为抛物线顶点时，AC有最小值，∵抛物线y＝（x﹣1）2+1，∴顶点坐标为（1，1），∴AC的最小值为1，∵四边形ABCD为矩形，∴BD＝AC，∴BD的最小值为1，故答案为：1．11．解：把y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3，向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得y＝2（x﹣2）2﹣1＝2x2﹣8x+7，所以b＝﹣8，c＝7．12．解：由题意，得：S阴影＝S半圆＝π（）2＝π（cm2）．13．解：公共部分分为三种情形：在三角形内；刚好一边在BC上，此时为正方形；正方形有一部分在三角形外，此时为矩形．显然在内部时的面积比刚好在边上时要小，所以需比较后两种情形时的面积大小．（1）求公共部分是正方形时的面积，作AD⊥BC于D点，交MN于E点，∵BC＝6，S△ABC＝12，∴AD＝4，∵MN∥BC，∴即，解得x＝2.4，此时面积y＝2.42＝5.76．（2）当公共部分是矩形时如图所示：设DE＝a，根据得＝，所以a＝4﹣x，公共部分的面积y＝x（4﹣x）＝﹣x2+4x，∵﹣＜0，∴y有最大值，当x＝﹣＝3时，y最大值＝＝6．综上所述，当x＝3时，公共部分的面积y最大，最大值为6．14．解：由抛物线的性质，当x A＜x＜x B时，y＞0，所以①错误；因为x1＜1＜x2，所以点P和Q在对称轴两侧，而x1+x2＞2，则点Q比点P离对称轴的距离要大，所以y1＞y2，所以②正确；当m＝2时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4），C（0，3），∵点C关于抛物线对称轴的对称点为E，∴E（2，3），∴DE＝，作D点关于y轴的对称点为D′，E点关于x轴的对称点为E′，则D′（﹣1，4），E′（2，﹣3），∴FD＝FD′，GE＝GE′，∴FD+FG+GE＝FD′+FG+GE′＝D′E′，∴此时四边形EDFG周长的最小，而D′E′＝，∴四边形EDFG周长的最小值为+，所以③错误．故答案为②．三．解答题15．解：如图，（1）∵抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0），∴x＝0时，y＝0为函数最大值，∵0﹣（﹣4）＞3﹣0，∴x＝﹣4时，y＝﹣16＝﹣8为函数最小值，故答案为：0，﹣8．（2）∵x＞0时，y随x增大而减小，∴x＝1时，函数取最大值为y＝﹣，x＝4时，y取最小值为y＝﹣16＝﹣8，故答案为：﹣，﹣8．（3）把x＝t代入y＝﹣x2得y＝﹣t2，∴A（t，﹣t2），把x＝t+2代入y＝﹣x2得y＝﹣（t+2）2＝﹣t2﹣2t﹣2，∴B（t+2，﹣t2﹣2t﹣2），∴AB＝＝，∴AB2＝4t2+8t+8＝4（t+1）2+4，当t＝﹣1时，AB2＝4为最小值，即AB＝2，当t＝2时，AB2＝40为最大值，即AB＝2，故答案为：2，2．16．解：（1）∵min{3x+1，﹣x+2}＝﹣x+2，∴3x+1≥﹣x+2，解得x≥，即x的取值范围是x≥；（2），解得或，即函数y＝﹣x2﹣2x+4与y＝﹣x﹣2的图象的交点坐标坐标是（﹣3，1）、（2，﹣4），直线y＝﹣x﹣2过点（﹣3，1）、（2，﹣4），直线y＝﹣x﹣2的图象如右图所示，由图象可得，min{﹣x2﹣2x+4，﹣x﹣2}的最大值是1．17．解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3 中，得：，解得：，∴该抛物线表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图1，过点P作PD∥y轴，交x轴于点D，交BC于点E，作CF⊥PD于点F，连接PB，PC，设点P（m，m2﹣2m﹣3），则点E（m，m﹣2），∴PE＝PD﹣DE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+2）＝﹣m2+m+1，联立方程组：，解得：，，∵点B坐标为（3，0），∴点C的坐标为（﹣，﹣），∴BD+CF＝3+|﹣|＝，∴S△PBC＝S△PEB+S△PEC＝PE•BD+PE•CF＝PE（BD+CF）＝（﹣m2+m+1）×＝﹣（m﹣）2+，（其中﹣＜m＜3），∵﹣＜0，∴这个二次函数有最大值，∴当m＝时，S△PBC的最大值为；（3）存在，①如图2，设M（t，t2﹣2t﹣3），N（n，n﹣2），作MG⊥y轴于点G，NH⊥x轴于H，∴∠OGM＝∠OHN＝90°，∵OM＝ON，∠MON＝90°，∠GOH＝90°，∴∠MOG＝∠NOH，在△OGM与△OHN中，，∴△OGM≌△OHN（AAS），∴GM＝NH，OG＝OH，∴，解得：，，∴N1（3，0），N2（，），②如图3，设M（t，t2﹣2t﹣3），N（n，n﹣2），作MG⊥x轴于点G，NH⊥x轴于H，∴∠OGM＝∠OHN＝90°，∵OM＝ON，∠MON＝90°，∠GOH＝90°，∴∠MOG＝∠NOH，在△OGM与△OHN中，，∴△OGM≌△OHN（AAS），∴GM＝NH，OG＝OH，∴，解得：n1＝，n2＝，∴N3（，），N4（，﹣）；综上所述，点N的坐标为N1（3，0），N2（，），N3（，），N4（，﹣）．18．解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（0，﹣2），∴可设抛物线C1的解析式的顶点式为y＝ax2﹣2，将点A（﹣2，2）代入得：（﹣2）2a﹣2＝2，解得a＝1，故抛物线C1的解析式为y＝x2﹣2；（2）由题意得：抛物线C2的解析式为y＝x2﹣2+2，即y＝x2，设点M、N、P的坐标为M（m，m2），N（n，n2），P（p，p2），设直线MN的解析式为y＝kx+b，将点M（m，m2），N（n，n2）代入得，解得，则直线MN的解析式为：y MN＝（m+n）x﹣mn，同理可得：y PM＝（m+p）x﹣mp，y PN＝（p+n）x﹣pn，∵直线PM为动直线y＝﹣4x+e，∴m+p＝﹣4，∴p＝﹣4﹣m，∴y PN＝（p+n）x﹣pn＝（﹣4﹣m+n）x﹣（﹣4﹣m）n，即：y PN＝（﹣4﹣m+n）x+（4n+mn）又∵点A在直线MN上，∴﹣2（m+n）﹣mn＝2，∴mn＝﹣2m﹣2n﹣2，∴y PN＝（﹣4﹣m+n）x+（4n﹣2m﹣2n﹣2），即：y PN＝（﹣4﹣m+n）x+（2n﹣2m﹣2），当x＝﹣2时，y PN＝﹣2（﹣4﹣m+n）+（2n﹣2m﹣2）＝6，即无论m取何值，直线PN恒过定点（﹣2，6）；（3）过B点作BD⊥AB，取BD＝2AB，作AE⊥x轴，DF⊥x轴，垂足分别为E、F；∵A（﹣2，2），B（1，0），∴AB＝＝，sin∠ABE＝，cos∠ABE＝，∵∠DBF+∠ABE＝90°，∠DBF+∠BDF＝90°，∴∠BDF＝∠ABE，∴BF＝BD•sin∠BDF＝2×＝4，DF＝BD•cos∠BDF＝2×＝6，∴OF＝OB+BF＝6，∴D点坐标为（5，6），∴直线AD解析式为：，当时，解得：x1＝﹣2，，即tan∠MAB＝2时，点M的横坐标为作AG垂直AB交抛物线C1与M2点，∴，即G点坐标为，∴直线AG解析式为：，当时，x1＝﹣2，，即∠MAB＝90°时，当M的横坐标为，综上所述：若∠MAB为锐角，且tan∠MAB＞2，M的横坐标x的取值范围为：．19．解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴、y轴分别交于点A（﹣2，0）、C（0，﹣8），∴解得：∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣8；（2）如图1，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．在抛物线y＝x2﹣2x﹣8中，令y＝0，则x2﹣2x﹣8＝0，解得：x1＝4或x2＝﹣2，∴B（4，0）．由点B（4，0）和C（0，﹣8），可得直线BC的解析式为y＝2x﹣8．设点P的坐标为（n，n2﹣2n﹣8），则点F的坐标为（n，2n﹣8），由题知0＜n＜4，∴PF＝（2n﹣8）﹣（n2﹣2n﹣8）＝﹣n2+4n．∵S△PBC＝S△PBF+S△CPF＝OB•PF＝×4×（﹣n2+4n）＝﹣2n2+8n＝﹣2（n﹣2）2+8．∵0＜2＜4，∴当n＝2时，S△PBC取得最大值，此时，点P的坐标为（2，﹣8）；（3）存在这样的点M，理由如下：∵y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，∴抛物线的对称轴为x＝1，∴D（1，﹣9）．将x＝1代入直线BC的解析式y＝2x﹣8，得y＝﹣6，∴E（1，﹣6），由点C（0，﹣8）和D（1，﹣9），可得直线CD的解析式为y＝﹣x﹣8．设点M的坐标为（m，﹣m﹣8）．当EM＝BM时，如图2﹣1，（m﹣1）2+（m+2）2＝（m﹣4）2+（m+8）2，解得：m＝﹣，∴点M的坐标为（，）．当EM＝EB时，如图2﹣3，∴（m﹣1）2+（m+2）2＝（4﹣1）2+62，解得：m1＝﹣5或m2＝4，∴点M的坐标为（﹣5，﹣3）或（4，﹣12）．综上所述，存在满足条件的点M有三个，其坐标为M1（，），M2（﹣5，﹣3），M3（4，﹣12）．20．解：（1）把B（3，﹣3）代入y＝﹣x2+mx+m2得：﹣3＝﹣32+3m+m2，解得m＝2，∴y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，∴顶点A的坐标是（1，1）；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（1，1）和B（3，﹣3）代入得，，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+3，故设C（n，﹣n2+2n），Q（n，﹣2n+3），∴CQ＝﹣n2+2n﹣（﹣2n+3）＝﹣n2+4n﹣3，∴S△ABC＝（﹣n2+4n﹣3）（n﹣1+3﹣n）＝﹣（n﹣2）2+1，当n＝2时，S△ABC的最大值为1；（3）过B作BQ⊥BA交AP于Q，过B作GH∥y轴，分别过A，Q作AG⊥GH于G，QH⊥GH于H，∠AGB＝∠ABQ＝∠BHQ＝90°，∴∠ABG＝∠BQH．∵∠P AB＝45°，∴BA＝BQ．在△ABG和△BQH中，，∴△ABG≌△BQH（AAS），∴AG＝BH＝3﹣1＝2，BG＝QH＝1﹣（﹣3）＝4，∴Q（﹣1，﹣5），∴直线AP的解析式为y＝3x﹣2，联立抛物线与AP，得﹣x2+2x＝3x﹣2，∴x1＝1（不符合题意的解要舍去），x2＝﹣2，∴P（﹣2，﹣8）．21．解（1）∵x2+4x+3＝0，∴x1＝﹣1，x2＝﹣3，∵m，n是一元二次方程x2+4x+3＝0的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m＝﹣1，n＝﹣3，∵抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），∴，∴，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，∴x1＝﹣1，x2＝3，∴C（3，0），∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点坐标D（1，﹣4），过点D作DE⊥y轴，∵OB＝OC＝3，∴BE＝DE＝1，∴△BOC和△BED都是等腰直角三角形，∴∠OBC＝∠DBE＝45°，∴∠CBD＝90°，∴△BCD是直角三角形，∵点E和点D关于直线BC对称，∴BE＝BD，∵∠CBD＝90°，∴∠CBE＝90°，即D，B，E三点共线，点B是DE的中点，∵B（0，﹣3），D（1，﹣4），根据中点坐标公式得，E（﹣1，﹣2），把E的横坐标x＝﹣1代入y＝x2﹣2x﹣3得，y＝1+2﹣3＝0≠﹣2，∴点E不在抛物线上；（3）由（1）知，A（﹣1，0），B（0，﹣3），C（3，0），∴S△ABC＝AC•OB＝×4×3＝6，∵△PBC的面积等于△ABC面积的一半，∴S△PBC＝3，∵点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，∴设P（t，t2﹣2t﹣3），（0＜t＜3），由B（0，﹣3），C（3，0）得y BC＝x﹣3，作PG∥y轴交直线BC于G，则G（t，t﹣3），∴PG＝t﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+3t，∴S△PBC＝PG•OC＝（﹣t2+3t）×3＝3，∴t1＝1，t2＝2，把t1＝1，t2＝2分别代入t2﹣2t﹣3得，P（1，﹣4）或（2，﹣3）．22．解：（1）令x＝0，得y＝﹣2，∴C（0，﹣2），∵∠ACB＝90°，CO⊥AB，∴△AOC∽△COB，∴OA•OB＝OC2∴OB＝＝＝4，∴m＝4，∴B（4，0），将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣2得，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；（2）解得，，，∴E（6，7），过E作EH⊥x轴于H，则H（6，0），∴AH＝EH＝7，∴∠EAH＝45°，过D作DF⊥x轴于F，则F（1，0），∴BF＝DF＝3∴∠DBF＝45°，∴∠EAH＝∠DBF＝45°，∴∠DBH＝135°，90°＜∠EBA＜135°则点P只能在点B的左侧，有以下两种情况：①若△DBP1∽△BAE，则＝，∴BP1＝＝＝∴OP1＝4﹣＝，∴P1（，0）；②若△DBP2∽△BAE，则＝，∴BP2＝＝＝∴OP2＝﹣4＝，∴P2（﹣，0）．综合①、②，得点P的坐标为：P1（，0）或P2（﹣，0）．23．解：（1）∵抛物线经过点A（﹣1，0），B，C（0，3）三点，∴，∴，∴抛物线的解析式：y＝﹣x2+2x+3；（2）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∵抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于点A（﹣1，0），B，∴B（3，0），设直线BC的解析式为：y＝kx+b，把B（3，0），C（0，3）代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，∴M（m，﹣m+3），又∵MN⊥x轴，∴N（m，﹣m2+2m+3），∴MN＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m（0＜m＜3）；（3）存在，S△BNC＝S△CMN+S△MNB＝|MN|•|OB|，∴当|MN|最大时，△BNC的面积最大，MN＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，当m＝时，MN的有最大值为，所以当m＝时，△BNC的面积最大，点M的坐标（，）．。

第3章二次函数（17）一、填空题（共1小题）1．如图，已知直线y=﹣x+3分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线y=﹣x2+2x+5上的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y=﹣x+3于点Q，则当PQ=BQ时，a的值是．二、解答题（共29小题）2．如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点（点C在x轴正半轴上），△ABC为等腰直角三角形，且面积为4，现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线过点C时，与x 轴的另一点为E，其顶点为F，对称轴与x轴的交点为H．（1）求a、c的值．（2）连接OF，试判断△OEF是否为等腰三角形，并说明理由．（3）现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线AF或射线HF上，一直角边始终过点E，另一直角边与y轴相交于点P，是否存在这样的点Q，使以点P、Q、E为顶点的三角形与△POE全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．3．已知关于x的一元二次方程x2+2x+=0有两个不相等的实数根，k为正整数．（1）求k的值；（2）当此方程有一根为零时，直线y=x+2与关于x的二次函数y=x2+2x+的图象交于A、B两点，若M是线段AB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，交二次函数的图象于点N，求线段MN的最大值及此时点M的坐标；（3）将（2）中的二次函数图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴上方的部分组成一个“W”形状的新图象，若直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，求b的值．4．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，顶点M关于x轴的对称点是M′．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积；（3）是否存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．5．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．（1）求该抛物线的解析式；（2）在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？若存在，求出D 点坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由．（3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线y=x2﹣4x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q．（1）这条抛物线的对称轴是，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是；=S△PAQ，求m的值；（2）若两个三角形面积满足S△POQ（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2）的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD+DQ 的最大值；②PD•DQ的最大值．7．如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y=x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是﹣2．（1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．（3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M 的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？8．已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+1，0）（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x=1．（1）求抛物线解析式．（2）直线y=kx+2（k≠0）与抛物线相交于两点M（x1，y1），N（x2，y2）（x1＜x2），当|x1﹣x2|最小时，求抛物线与直线的交点M与N的坐标．（3）首尾顺次连接点O、B、P、C构成多边形的周长为L，若线段OB在x轴上移动，求L最小值时点O，B移动后的坐标及L的最小值．9．已知抛物线C1：y=ax2+bx+（a≠0）经过点A（﹣1，0）和B（3，0）．（1）求抛物线C1的解析式，并写出其顶点C的坐标；（2）如图1，把抛物线C1沿着直线AC方向平移到某处时得到抛物线C2，此时点A，C分别平移到点D，E处．设点F在抛物线C1上且在x轴的下方，若△DEF是以EF为底的等腰直角三角形，求点F的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，设点M是线段BC上一动点，EN⊥EM交直线BF于点N，点P为线段MN的中点，当点M从点B向点C运动时：①tan∠ENM的值如何变化？请说明理由；②点M到达点C时，直接写出点P经过的路线长．10．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l 为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．11．已知抛物线y=x2﹣2mx+m2+m﹣1（m是常数）的顶点为P，直线l：y=x﹣1．（1）求证：点P在直线l上；（2）当m=﹣3时，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，与直线l的另一个交点为Q，M 是x轴下方抛物线上的一点，∠ACM=∠PAQ（如图），求点M的坐标；（3）若以抛物线和直线l的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的m的值．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A，抛物线的顶点为D．（1）填空：点A的坐标为（，），点B的坐标为（，），点C的坐标为（，），点D的坐标为（，）；（2）点P是线段BC上的动点（点P不与点B、C重合）①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE=PC，求点E的坐标；②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；③若点Q是线段AB上的动点（点Q不与点A、B重合），点R是线段AC上的动点（点R不与点A、C重合），请直接写出△PQR周长的最小值．13．已知在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线y=ax2﹣4与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，AB=2，点P在抛物线上，线段AP与y轴的正半轴交于点C，线段BP与x轴相交于点D，设点P的横坐标为m．（1）求这条抛物线的解析式；（2）用含m的代数式表示线段CO的长；（3）当tan∠ODC=时，求∠PAD的正弦值．14．如图，已知二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N 的坐标；（4）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN 面积最大时，求此时点N的坐标．15．已知二次函数y=ax2的图象经过点（2，1）．（1）求二次函数y=ax2的解析式；（2）一次函数y=mx+4的图象与二次函数y=ax2的图象交于点A（x1、y1）、B（x2、y2）两点．①当m=时（图①），求证：△AOB为直角三角形；②试判断当m≠时（图②），△AOB的形状，并证明；（3）根据第（2）问，说出一条你能得到的结论．（不要求证明）16．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）如图②，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线y=a（x﹣2）2+k经过A、B，并与x 轴交于另一点C，其顶点为P，（1）求a，k的值；（2）在图中求一点Q，A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出相应的点Q的坐标；（3）抛物线的对称轴上是否存在一点M，使△ABM的周长最小？若存在，求△ABM的周长；若不存在，请说明理由；（4）抛物线的对称轴是上是否存在一点N，使△ABN是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出N 点的坐标，若不存在，请说明理由．18．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，请解决下列问题．（1）填空：点C的坐标为（，），点D的坐标为（，）；（2）设点P的坐标为（a，0），当|PD﹣PC|最大时，求α的值并在图中标出点P的位置；（3）在（2）的条件下，将△BCP沿x轴的正方向平移得到△B′C′P′，设点C对应点C′的横坐标为t（其中0＜t＜6），在运动过程中△B′C′P′与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t之间的关系式，并直接写出当t为何值时S最大，最大值为多少？19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣1）2+4与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为（3，0），点P在这条抛物线上，且不与B、C两点重合．过点P作y轴的垂线与射线BC交于点Q，以PQ为边作Rt△PQF，使∠PQF=90°，点F在点Q的下方，且QF=1．设线段PQ的长度为d，点P的横坐标为m．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．（2）求d与m之间的函数关系式．（3）当Rt△PQF的边PF被y轴平分时，求d的值．（4）以OB为边作等腰直角三角形OBD，当0＜m＜3时，直接写出点F落在△OBD的边上时m的值．20．小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”．小明是这样思考的：由函数y=﹣x2+3x﹣2可知，a1=﹣1，b1=3，c1=﹣2，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面问题：（1）写出函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”；（2）若函数y=﹣x2+mx﹣2与y=x2﹣2nx+n互为“旋转函数”，求（m+n）2015的值；（3）已知函数y=﹣（x+1）（x﹣4）的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C 关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y=﹣（x+1）（x ﹣4）互为“旋转函数．”21．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A 在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．22．如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的点D处，已知折痕BE=5，且=，以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l：y=﹣x2+x+c经过点E，且与AB边相交于点F．（1）求证：△ABD∽△ODE；（2）若M是BE的中点，连接MF，求证：MF⊥BD；（3）P是线段BC上一点，点Q在抛物线l上，且始终满足PD⊥DQ，在点P运动过程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明理由．23．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点．（1）则点A，B，C的坐标分别是A（，），B（，），C（，）；（2）设经过A，B两点的抛物线解析式为y=（x﹣5）2+k，它的顶点为E，求证：直线EA与⊙M相切；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2﹣8mx+4m+2（m＞0）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x1，0），C（x2，0），且x2﹣x1=4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E 作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值；（3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．25．如图，抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣，0），C（0，2）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线AC下方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求点D的坐标；（3）设点M是抛物线的顶点，试判断抛物线上是否存在点H满足∠AMH=90°？若存在，请求出点H 的坐标；若不存在，请说明理由．26．如图，抛物线y=ax2+bx﹣经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的⊙A，求⊙A的半径；（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB，PC，请问：△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值的此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．27．如图，已知图①中抛物线y=ax2+bx+c经过点D（﹣1，0），C（0，﹣1），E（1，0）．（1）求图①中抛物线的函数表达式．（2）将图①中的抛物线向上平移一个单位，得到图②中的抛物线，点D与点D1是平移前后的对应点，求该抛物线的函数表达式．（3）将图②中的抛物线绕原点O顺时针旋转90°后得到图③中的抛物线，所得到抛物线表达式为y2=2px，点D1与D2是旋转前后的对应点，求图③中抛物线的函数表达式．（4）将图③中的抛物线绕原点O顺时针旋转90°后与直线y=﹣x﹣1相交于A、B两点，D2与D3是旋转前后如图④，求线段AB的长．28．边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE=DC．以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点C出发，沿射线CB每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．过点P作PF⊥CD于点F，当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？（3）点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．29．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到平行四边形A′B′OC′．抛物线y=﹣x2+2x+3经过点A、C、A′三点．（1）求A、A′、C三点的坐标；（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分△C′OD的面积；（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M的坐标．30．如图，已知点O（0，0），A（﹣5，0），B（2，1），抛物线l：y=﹣（x﹣h）2+1（h为常数）与y 轴的交点为C．（1）l经过点B，求它的解析式，并写出此时l的对称轴及顶点坐标；（2）设点C的纵坐标为y c，求y c的最大值，此时l上有两点（x1，y1），（x2，y2），其中x1＞x2≥0，比较y1与y2的大小；（3）当线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是1：4时，求h的值．鲁教五四新版九年级（上）中考题单元试卷：第3章二次函数（17）参考答案与试题解析一、填空题（共1小题）1．如图，已知直线y=﹣x+3分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线y=﹣x2+2x+5上的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y=﹣x+3于点Q，则当PQ=BQ时，a的值是4+2或4﹣2或4或﹣1．【分析】先利用一次函数解析式求出B（0，3），再根据二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征，设P（a，﹣a2+2a+5），Q（a，﹣a+3），则可利用两点间的距离公式得到PQ=|a2﹣a﹣2|，BQ=|a|，然后利用PQ=BQ得到|a2﹣a﹣2|=|a|，讨论：a2﹣a﹣2=或a2﹣a﹣2=﹣a，然后分别解一元二次方程即可得到a的值．【解答】解：当x=0时，y=﹣x+3=3，则B（0，3），∵点P的横坐标为a，PQ∥y轴，∴P（a，﹣a2+2a+5），Q（a，﹣a+3），∴PQ=|﹣a2+2a+5﹣（﹣a+3|=|﹣a2+a+2|=|a2﹣a﹣2|，BQ==|a|，∵PQ=BQ，∴|a2﹣a﹣2|=|a|，当a2﹣a﹣2=a，整理得a2﹣8a﹣4=0，解得a1=4+2，a2=4﹣2，当a2﹣a﹣2=﹣a，整理得a2﹣3a﹣4=0，解得a1=4，a2=﹣1，综上所述，a的值为4+2或4﹣2或4或﹣1．故答案为4+2或4﹣2或4或﹣1．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征；理解坐标与图形的性质，记住两点间的距离公式；会解一元二次方程．二、解答题（共29小题）2．如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点（点C在x轴正半轴上），△ABC为等腰直角三角形，且面积为4，现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线过点C时，与x 轴的另一点为E，其顶点为F，对称轴与x轴的交点为H．（1）求a、c的值．（2）连接OF，试判断△OEF是否为等腰三角形，并说明理由．（3）现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线AF或射线HF上，一直角边始终过点E，另一直角边与y轴相交于点P，是否存在这样的点Q，使以点P、Q、E为顶点的三角形与△POE全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先求出A（0，c），则OA=c，再根据等腰直角三角形的性质得OA=OB=OC=c，理由三角形面积公式得•c•2c=4，解得c=2，接着把C（2，0）代入y=ax2+2可求出a的值；（2）如图1，先利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=x+2，设F（t，t+2），利用抛物线平移的规律可设平移后的抛物线解析式为y=﹣（x﹣t）2+t+2，再把C（2，0）代入得﹣（2﹣t）2+t+2=0，可解得t=6，则平移后的抛物线解析式为y=﹣（x﹣6）2+8，所以F（6，8），利用勾股定理计算出OF=10，接着根据抛物线与x轴的交点问题确定E（10，0），则OE=OF=10，于是可判断△OEF为等腰三角形；（3）分类讨论：当点Q在射线HF上，如图2，利用三角形全等的判定方法，当EQ=EO=10时，△EQP≌△EOP，则可根据勾股定理计算出QH=2，于是可得Q点坐标为（6，2）；当点Q在射线AF 上，如图3，利用三角形全等的判定方法，当EQ=EO=10时，△EQP≌△EOP，设Q（m，m+2），利用两点间的距离公式得到（m﹣10）2+（m+2）2=102，解方程求出m的值即可得到Q点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+c（a≠0）与y轴交于点A，∴A（0，c），则OA=c，∵△ABC为等腰直角三角形，∴OA=OB=OC=c，∴•c•2c=4，解得c=2，∴C（2，0），把C（2，0）代入y=ax2+2得4a+2=0，解得a=﹣；（2）△OEF是等腰三角形．理由如下：如图1，设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（0，2）、B（﹣2，0）代入得，解得，则直线AB的解析式为y=x+2，设F（t，t+2），∵抛物线y=﹣x2+2沿BA方向平移，平移后的抛物线过点C时，顶点为F，∴平移后的抛物线解析式为y=﹣（x﹣t）2+t+2，把C（2，0）代入得﹣（2﹣t）2+t+2=0，解得t1=0（舍去），t2=6，∴平移后的抛物线解析式为y=﹣（x﹣6）2+8，∴F（6，8），∴OF==10，令y=0，﹣（x﹣6）2+8=0，解得x1=2，x2=10，∴OE=10，∴OE=OF，∴△OEF为等腰三角形；（3）存在．点Q的位置分两种情形．情形一：点Q在射线HF上，当点P在x轴上方时，如图2，∵∠EQP=90°，EP=EP，∴当EQ=EO=10时，△EQP≌△EOP，而HE=10﹣6=4，∴QH==2，此时Q点坐标为（6，2）；当点P在x轴下方时，如图3，有PQ=OE=10，过P点作PK⊥HF于点K，则有PK=6，在Rt△PQK中，QK===8，∵∠PQE=90°，∴∠PQK+HQE=90°，∵∠PKQ=∠QHE=90°，∴△PKQ∽△QHE，∴，∴，解得QH=3，∴Q（6，3）．情形二、点Q在射线AF上，当PQ=OE=10时，如图4，有QE=PO，∴四边形POEQ为矩形，∴Q的横坐标为10，当x=10时，y=x+2=12，∴Q（10，12）．当QE=OE=10时，如图5，过Q作QM⊥y轴于点M，过E点作x轴的垂线交QM于点N．设Q的坐标为为（x，x+2），∴MQ=x，QN=10﹣x，EN=x+2，在Rt△QEN中，有QE2=QN2+EN2，即102=（10﹣x）2+（x+2）2，解得x=4±，当x=4+时，如图5，y=x+2=6+，∴Q（4+，6+），当x=4﹣时，如图5，y=x+2=6﹣，∴Q（4﹣，6﹣），综上所述，Q点的坐标为（6，2）或（6，3）或（10，12）或（4+，6+）或（4﹣，6﹣），使P，Q，E三点为顶点的三角形与△POE全等．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质、二次函数平移的规律和三角形全等的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；记住两点间的距离公式．3．已知关于x的一元二次方程x2+2x+=0有两个不相等的实数根，k为正整数．（1）求k的值；（2）当此方程有一根为零时，直线y=x+2与关于x的二次函数y=x2+2x+的图象交于A、B两点，若M是线段AB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，交二次函数的图象于点N，求线段MN的最大值及此时点M的坐标；（3）将（2）中的二次函数图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴上方的部分组成一个“W”形状的新图象，若直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，求b的值．【分析】（1）先根据一元二次方程根的情况利用判别式与0的关系可以求出k的值；（2）利用m先表示出M与N的坐标，再根据两点间的距离公式表示出MN的长度，根据二次函数的极值即可求出MN的最大长度和M的坐标；（3）根据图象的特点，分两种情况讨论，分别求出b的值即可．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．∴．∴k﹣1＜2．∴k＜3．∵k为正整数，∴k为1，2．（2）把x=0代入方程得k=1，此时二次函数为y=x2+2x，此时直线y=x+2与二次函数y=x2+2x的交点为A（﹣2，0），B（1，3）由题意可设M（m，m+2），其中﹣2＜m＜1，则N（m，m2+2m），MN=m+2﹣（m2+2m）=﹣m2﹣m+2=﹣．∴当m=﹣时，MN的长度最大值为．此时点M的坐标为．（3）当y=x+b过点A时，直线与新图象有3个公共点（如图2所示），把A（﹣2，0）代入y=x+b得b=1，当y=x+b与新图象的封闭部分有一个公共点时，直线与新图象有3个公共点．由于新图象的封闭部分与原图象的封闭部分关于x轴对称，所以其解析式为y=﹣x2﹣2x∴有一组解，此时有两个相等的实数根，则所以b=，综上所述b=1或b=．【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了根的判别式的应用，还考查了两函数图象的交点问题，难点在于（3）求出直线与抛物线有3个交点的情况，根据题意分类讨论，并且作出图形更利于解决问题．4．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，顶点M关于x轴的对称点是M′．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积；（3）是否存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据轴对称，可得M′的坐标，根据待定系数法，可得AM′的解析式，根据解方程组，可得C点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；（3）根据正方形的性质，可得P、Q点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式．【解答】解：（1）将A、B点坐标代入函数解析式，得，解得，抛物线的解析式y=x2﹣2x﹣3；（2）将抛物线的解析式化为顶点式，得y=（x﹣1）2﹣4，M点的坐标为（1，﹣4），M′点的坐标为（1，4），设AM′的解析式为y=kx+b，将A、M′点的坐标代入，得，解得，AM′的解析式为y=2x+2，联立AM′与抛物线，得，解得，C点坐标为（5，12）．S△ABC=×4×12=24；（3）存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形，由ABPQ是正方形，A（﹣1，0）B（3，0），得P（1，﹣2），Q（1，2），或P（1，2），Q（1，﹣2），①当顶点P（1，﹣2）时，设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，将A点坐标代入函数解析式，得a（﹣1﹣1）2﹣2=0，解得a=，抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣2，②当P（1，2）时，设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2+2，将A点坐标代入函数解析式，得a（﹣1﹣1）2+2=0，解得a=﹣，抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+2，综上所述：y=（x﹣1）2﹣2或y=﹣（x﹣1）2+2，使得四边形APBQ为正方形．【点评】本题考查了二次函数综合题，（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）利用轴对称的性质得出M′的解析式，利用待定系数法得出AM′的解析式，利用解方程组得出C点坐标是解题关键；（3）利用正方形的性质得出P、Q点坐标是解题关键，又利用待定系数法求函数解析式，注意要分类讨论，以防遗漏．5．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．（1）求该抛物线的解析式；（2）在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？若存在，求出D 点坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由．（3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）两点代入y=﹣x2+bx+c即可求出抛物线的解析式，=S梯形OCDH+S△BDH﹣S△BOC=﹣t2+t，即可（2）设D（t，﹣t2+2t+3），过点D作DH⊥x轴，根据S△BCD求出D点坐标及△BCD面积的最大值，（3）设过点P与BC平行的直线与抛物线的交点为Q，根据直线BC的解析式为y=﹣x+3，过点P与BC平行的直线为y=﹣x+5，得Q的坐标为（2，3），根据PM的解析式为：x=1，直线BC的解析式为y=﹣x+3，得M的坐标为（1，2），设PM与x轴交于点E，求出过点E与BC平行的直线为y=﹣x+1，根据得点Q的坐标为（，﹣），（，﹣）．【解答】解：（1）由得，则抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，（2）设D（t，﹣t2+2t+3），过点D作DH⊥x轴，则S=S梯形OCDH+S△BDH﹣S△BOC=（﹣t2+2t+3+3）t+（3﹣t）（﹣t2+2t+3）﹣×3×3=﹣t2+t，△BCD∵﹣＜0，∴当t=﹣=时，D点坐标是（，），△BCD面积的最大值是；（3）设过点P与BC平行的直线与抛物线的交点为Q，∵P点的坐标为（1，4），直线BC的解析式为y=﹣x+3，∴过点P与BC平行的直线为y=﹣x+5，由得Q的坐标为（2，3），∵PM的解析式为x=1，直线BC的解析式为y=﹣x+3，∴M的坐标为（1，2），设PM与x轴交于点E，∵PM=EM=2，∴过点E与BC平行的直线为y=﹣x+1，由得或，∴点Q的坐标为（，﹣），（，﹣），（，﹣），（，﹣）．∴使得△QMB与△PMB的面积相等的点Q的坐标为（2，3），【点评】此题考查了二次函数综合，用到的知识点是二次函数的图象与性质、三角形梯形的面积、直线与抛物线的交点，关键是作出辅助线，求出符合条件的所有点的坐标．6．如图，抛物线y=x2﹣4x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q．（1）这条抛物线的对称轴是2，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是45°；（2）若两个三角形面积满足S=S△PAQ，求m的值；△POQ（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2）的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD+DQ 的最大值；②PD•DQ的最大值．【分析】（1）把抛物线的解析式化成顶点式即可求得对称轴；求得直线与坐标轴的交点坐标，即可证得直线和坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，从而求得直线PQ与x轴所夹锐角的度数；（2）分三种情况分别讨论根据已知条件，通过△OBE∽△ABF对应边成比例即可求得；（3）①过点C作CH∥x轴交直线PQ于点H，可得△CHQ是等腰三角形，进而得出AD⊥PH，得出DQ=DH，从而得出PD+DQ=PH，过P点作PM⊥CH于点M，则△PMH是等腰直角三角形，得出PH=PM，因为当PM最大时，PH最大，通过求得PM的最大值，从而求得PH的最大值；由①可知：PD+PH≤6，设PD=a，则DQ﹣a，得出PD•DQ≤a（6﹣a）=﹣a2+6a=﹣（a﹣3）2+18，当点P在抛物线的顶点时，a=3，得出PD•DQ≤18．【解答】方法一：解：（1）∵y=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，∴抛物线的对称轴是x=2，∵直线y=x+m，∴直线与坐标轴的交点坐标为（﹣m，0），（0，m），∴交点到原点的距离相等，∴直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，∴直线PQ与x轴所夹锐角的度数是45°，故答案为x=2、45°．（2）如图设直线PQ交x轴于点B，分别过O点，A点作PQ的垂线，垂足分别是E、F，显然当点B在OA的延=S△PAQ不成立；长线时，S△POQ①当点B落在线段OA上时，如图①，==，由△OBE∽△ABF得，==，∴AB=3OB，∴OB=OA，由y=x2﹣4x得点A（4，0），∴OB=1，∴B（1，0），∴1+m=0，∴m=﹣1；②当点B落在线段AO的延长线上时，如图②，同理可得OB=OA=2，∴B（﹣2，0），∴﹣2+m=0，∴m=2，=S△PAQ；综上，当m=﹣1或2时，S△POQ（3）①过点C作CH∥x轴交直线PQ于点H，如图③，可得△CHQ是等腰三角形，∵∠CDQ=45°+45°=90°，∴AD⊥PH，∴DQ=DH，∴PD+DQ=PH，过P点作PM⊥CH于点M，则△PMH是等腰直角三角形，∴PH=PM，∴当PM最大时，PH最大，∴当点P在抛物线顶点处时，PM最大，此时PM=6，∴PH的最大值为6，即PD+DQ的最大值为6．②由①可知：PD+DQ≤6，设PD=a，则DQ﹣a，∴PD•DQ≤a（6﹣a）=﹣a2+6a=﹣（a﹣3）2+18，∵当点P在抛物线的顶点时，a=3，∴PD•DQ≤18．∴PD•DQ的最大值为18．方法二：（1）略．（2）过点A作x轴垂线，与直线PQ交于点D，设直线PQ与y轴交于点C，∴C（0，m），D（4，4+m），∵S=（Q x﹣P x）（Q Y﹣C Y），△POQS△PAQ=（Q x﹣P x）（D Y﹣A Y），∵，∴，∴m1=2，m2=﹣1．（3）①设P（t，t2﹣4t）（0＜t＜4），∵K PQ=1，∴l PQ：y=x+t2﹣5t，∵C（2，2），A（4，0），∴l AC：y=﹣x+4，∴D X=，DY=，∴Q（2，t2﹣5t+2），∵PQ⊥AC，垂足为点D，∴点Q关于直线AC的对称点Q′（﹣t2+5t+2，2），欲使PD+DQ取得最大值，只需PQ′有最大值，PQ′==，显然当t=2时，PQ′的最大值为6，即PD+DQ的最大值为6，②∴（PD﹣DQ）2≥0，∴（PD+DQ）2≥4•PD•DQ，∴PD•DQ≤==18，∴PD•DQ的最大值为18．。

第三章 基本初等函数(Ⅰ)测评(B 卷)【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ 卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答．共120分，考试时间90分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．函数y ＝log122－的定义域为A ．[－ 2，－1)∪(1， 2]B ．(－ 2，－1)∪(1， 2)C ．[－2，－1)∪(1,2]D ．(－2，－1)∪(1,2)2．方程log 2(x 2－x)＝1的解集为M ，方程22x ＋1－9·2x＋4＝0的解集为N ，那么M 与N 的关系是A ．M ＝NB ．N ⊂MC ．N ⊃MD ．M∩N＝∅3．幂函数f(x)＝x α的图象过点(2，14)，则f(x)的一个单调递增区间是A ．[0，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0]D ．(－∞，0)4．函数y ＝0.52,(,1]log ,(1,)x x x x ⎧∈-∞⎨∈+∞⎩的值域是A ．{y|y≤1，且y≠0}B ．{y|y≤2}C ．{y|y<1且y≠0} D ．{y|y≤2且y≠0}5．函数y ＝e |－lnx|－|x －1|的图象大致是6．若x∈(e －1,1)，a ＝lnx ，b ＝2lnx ，c ＝ln 3x ，则 A ．a<b<c B ．c<a<b C ．b<a<c D．b<c<a7．已知函数f(x)＝log a (2x＋b －1)(a>0，b≠1)的图象如下图所示，则a ，b 满足的关系是A ．0<a －1<b<1 B ．0<b<a －1<1C ．0<b －1<a<1D ．0<a －1<b －1<1 8．函数f(x)＝log a |x ＋b|是偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减，则f(b －2)与f(a＋1)的大小关系为A ．f(b －2)＝f(a ＋1)B ．f(b －2)>f(a ＋1)C ．f(b －2)<f(a ＋1)D ．不能确定9．若a ＝ln22，b ＝ln33，c ＝ln55，则A ．a>b>cB ．c<b<aC ．c<a<bD ．b<a<c 10．将y ＝2x的图象先进行下面哪种变换，再作关于直线y ＝x 对称的图象，可以得到函数y ＝log 2(x ＋1)的图象．A ．先向左平移1个单位B ．先向右平移1个单位C ．先向上平移1个单位D ．先向下平移1个单位第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案需填在题中横线上)11．函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的单调递减区间是__________12．偶函数f(x)在[2,4]上单调递减，则f(log 128)与f(3log 3π2)的大小关系是__________．13．设方程2lnx ＝7－2x 的解为x 0，则关于x 的不等式x －2<x 0的最大整数解为__________．14．已知函数f(x)的定义域为(12，8]，则f(2x)的定义域为__________．三、解答题(本大题共5小题，共54分.15～17题每小题10分，18～19题每小题12分．解答应写出必要的文字说明，解题步骤或证明过程)15．求函数y ＝4－x －2－x＋1，x∈[－3,2]的最大值和最小值．16．设0<a<1，x ，y 满足log a x ＋3log x a －log x y ＝3，如果y 有最大值 24，求此时a 和x 的值．17．已知函数f(x 2－3)＝lg x2x －6.(1)求f(x)的定义域；(2)求f(x)的反函数f －1(x)．18．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质的20%. (1)写出水中杂质含量y 与过滤的次数x 之间的函数关系式． (2)要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤几次？19．设定义域为R 的函数f(x)＝log 3x 2＋ax ＋bx 2＋x ＋1，是否存在实数a 、b ，使函数f(x)同时满足下列三个条件：①函数f(x)的图象经过原点；②函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增；③函数f(x)在(－∞，－1]上的最大值为1.若存在，求出实数a 、b 的值；若不存在，请说明理由．答案与解析1.A 由log 12(x 2－1)≥0，得0<x 2－1≤1,1<x 2≤2，∴1<x≤ 2或－ 2≤x<－1. 2．A3．D 由f(2)＝14，得α＝－2，∴f(x)＝x －2，它的单调递增区间是(－∞，0)．4.D 当x∈(－∞，1]时，y ＝2x∈(0,2]； 当x∈(1，＋∞)时，y ＝log 0.5x∈(－∞，0)， ∴函数y 的值域为{y|y≤2且y≠0}． 5．D y ＝e |－lnx|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋x －1，0<x<1，1，x≥1，分两段画出函数图象即可．6．C 因为a ＝lnx 在(0，＋∞)上单调递增，故当x∈(e －1,1)时，a∈(－1,0)．于是b －a ＝2lnx －lnx ＝lnx<0，从而b<a.又a －c ＝lnx －ln 3x ＝a(1＋a)(1－a)<0， 从而a<c.综上所述，b<a<c.7．A 由题中图象，易知a>1，－1<f(0)<0.由于f(0)＝log a (20＋b －1)＝log a b ， 所以－1<log a b<0，可得1a <b<1，故选A.8．C 由f(x)为偶函数，得b ＝0， ∵f(x)在(0，＋∞)上单调递减， ∴由复合函数的单调性，可知0<a<1. ∴b－2＝－2,1<a ＋1<2. ∴|b－2|>|a ＋1|>0. ∴f(b－2)<f(a ＋1)．9．C b a ＝2ln 33ln 2＝ln 9ln 8＝log 89>1，且a ，b>0，所以b>a ；a c ＝5ln 22ln 5＝log 2532>1，且a ，c>0，所以a>c ，所以b>a>c.10．D 由y ＝log 2(x ＋1)得x ＝2y－1，所以y ＝log 2(x ＋1)的图象关于y ＝x 对称的图象对应解析式为y ＝2x －1，它是由y ＝2x的图象向下平移1个单位得到的．11．(2，＋∞) 函数定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．令t ＝x 2－3x ＋2，函数t 在(2，＋∞)上为增函数，∴函数y 在(2，＋∞)上为减函数．12．f(log 128)<f(3log 3π2)log 128＝－3,3log 3π2＝π24，∵f(x)为偶函数，∴f(－3)＝f(3)． ∵4>3>π24>2，∴f(3)<f(π24)．∴f(log 128)<f(3log 3π2)．13．4 设f(x)＝2lnx －7＋2x ，又f(2)＝2ln2－3<0，f(3)＝2ln3－1>0， ∴x 0∈(2,3)．∴x－2<x 0的最大整数解为4. 14．(－1,3] x 满足12<2x≤8，∴－1<x≤3.15．解：令2－x ＝t ，t∈[14，8]，则y ＝t 2－t ＋1＝(t －12)2＋34.∴t＝12时，y min ＝34；t ＝8时，y max ＝(152)2＋34＝57.∴所求函数的最大值为57，最小值为34.16．解：利用换底公式，可得log a x ＋3log a x －log a ylog a x ＝3，即log a y ＝(log a x)2－3log a x ＋3＝(log a x －32)2＋34，所以，当log a x ＝32时，log a y 有最小值34.因为0<a<1，所以y 有最大值a 34.由题意，得a 34＝ 24＝2－32＝(12)32＝(14)34，所以a ＝14，此时x ＝a 32＝(14)32＝18.17．解：(1)设t ＝x 2－3，则x 2＝t ＋3，t≥－3，f(t)＝lg t ＋3t －3.又t ＋3t －3>0，∴t>3或t<－3. ∴f(x)的定义域为(3，＋∞)． (2)设y ＝lgu ，u ＝x ＋3x －3(x>3)，则u>1，∴lgu>0，即y>0. 由y ＝lg x ＋3x －3，得10y＝x ＋3x －3，∴x＝y＋10y－1.∴f(x)的反函数为f －1(x)＝x＋10x－1(x>0)．18．解：(1)设刚开始水中杂质含量为1，第1次过滤后，y ＝1－20%；第2次过滤后，y ＝(1－20%)(1－20%)＝(1－20%)2；第3次过滤后，y ＝(1－20%)2(1－20%)＝(1－20%)3； ……第x 次过滤后，y ＝(1－20%)x.∴y＝(1－20%)x ＝0.8x ，x≥1，x∈N *.(2)由(1)得0.8x<5%，∴x>log 0.80.05＝lg2＋11－3lg2≈13.4.∴至少需要14次．19．解：假设同时满足三个条件的实数a 、b 存在，则由条件①，知f(0)＝0，∴b＝1. 又当x≠0时，有f(x)＝log 3x 2＋ax ＋1x 2＋x ＋1＝log 3(1＋a －1x ＋1x ＋1)，∵函数y ＝x ＋1x ＋1在[1，＋∞)上单调递增，且y>0，∴1y ＝1x ＋1x＋1在[1，＋∞)上单调递减．∴f(x)在[1，＋∞)上单调递增．∴u＝1＋a －1x ＋1x＋1在[1，＋∞)上单调递增．∴a－1<0.∴a<1.又f(x)的定义域为R ， ∴x 2＋ax ＋1>0在R 上恒成立．由Δ＝a 2－4<0，得－2<a<1，再由函数单调性定义，可证得f(x)在(－∞，－1]上也单调递增，从而由③可知，f(－1)＝1，即1－a ＋11－1＋1＝3，∴a＝－1.综上可知，存在a ＝－1，b ＝1满足题中三个条件．。