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离子浓度大小比较编号：31班级组别姓名.【学习目标】1、能够准确地判断离子浓度的大小。
2、小组合作探究守恒法判断离子浓度的方法。
3、以极度的热情全力以赴投入课堂，体验学习的快乐。
【使用说明】利用一节课完成导学案，收齐后及时批改。
下节课学生先自纠10分钟，然后针对不会的问题讨论10分钟，学生展示教师点拨20分钟，最后用5分钟搞好落实并进行当堂检测。
【基础自学】离子浓度大小比较1、单一溶质溶液：(离子浓度按由大到小的顺序排列)Na2CO3溶液_____________________________________________NaHCO3溶液_____________________________________________2、混合溶液：例1．物质的量浓度相同的CH3COOH与CH3COONa溶液等体积混合后，溶液中离子浓度关系错误的是( )A．c(Na+) + c(H+)＝c(OH－) + c(CH3COO－)B．c(CH3COOH) + c(CH3COO－)＝2c(Na+)C．c(CH3COO－)＞c(Na+)＞c(CH3COOH)＞c(H+)＞c(OH－)D．c(CH3COO－)＞c(Na+)＞c(H+)＞c(CH3COOH)＞c(OH－)练习1．将0.2mol/L HCN溶液和0.1mol/L的NaOH溶液等体积混合后，溶液中c(Na+)＞c(CN－)，下列关系式正确的是( )A．c(HCN)＜c(CN－) B．c(H+)＜c(OH－)C．c(HCN)－c(CN－)＝c(OH－) D．c(HCN)+c(CN－)＝0.2 mol/L【小结】混合溶液中离子浓度大小的比较方法：3、不同溶液中同一离子浓度大小比较：例2．等物质的量浓度的下列四种溶液中，NH4+浓度最大的是( )A．NH4Cl B．NH4 HCO3C．NH4HSO4D．NH4NO3【小结】不同溶液中同一离子浓度大小比较方法：4、溶液中的守恒关系：例3：在Na2CO3溶液中下列关系式错误的是( )A．c(Na+) + c(H+) ＝c(OH－) + c(CO32－)B．c(OH－) ＝c(H+) + c(HCO3－) + 2c(H2CO3)C．c(Na+) ＝2c(CO32－) + 2c(HCO3－) + 2c(H2CO3)D．c(Na+) + c(H+) ＝c(OH－) + 2c(CO32－) + c(HCO3－)【合作探究】★★1、某二元酸(化学式H2A表示)在水中的电离方程式为：H2A＝H+ + HA－；HA－H+ + A2－请回答下列问题：⑴ Na2A 溶液显(填“酸性”“中性”或“碱性”)，理由是(用离子方程式表示)__________⑵若0.1mol/LNaHA溶液的PH＝2，则0.1mol/LH2A溶液中H+的物质的量浓度可能0.11mol/L(填“＞” “＜”或“＝”)，理由是⑶ 0.1mol/LNaHA溶液中各种离子浓度由大到小的顺序是______2、现有常温下的0.1mol/L纯碱溶液：⑴你认为该溶液呈碱性的原因是(用离子方程式表示)：________________________。
高三化学一轮复习学案 31 常见气体的实验室制备【基础知识回顾】知识点1---（1（2知识点2---（1）设计原则 （2）常见气体制备的反应原理 氧气：2KClO 32KMnO 4H 2O 2Na 2O 2+ H 2O=氨气：2NH 4Cl+Ca(OH)2 NH 3·H 2O NH 3↑+H 2O （CaO 可换成 ）氢气：Zn+H 2SO 4(稀)= 二氧化碳：CaCO 3 + HCl== 二氧化硫：Na 2SO 3+H 2SO 4(浓)= Cu+2H 2SO 4浓)二氧化氮; Cu ＋4HNO 3(浓)==氯气：MnO 2＋4HCl(浓)=== 2KMnO 4+16HCl=2KCl+2MnCl 2+5Cl 2↑+8H 2O一氧化氮：3Cu ＋8HNO 3(稀) ═乙烯: 乙炔: CaC 2+2H 2O→O 2、NH 3、CH 4等 H 2、CO 2、SO 2、Cl 2、NO 、CH 2=CH 2等（1）可通过分液漏斗来控（1）加细瓷片。
（2）若用排水法收集气体，停止加热前，应先将导气管从水中取出。
改良装置：1、杂质产生原因：①反应过程中有挥发性物质，如用盐酸制取的气体中一般有HCl ；从溶液中冒出的气体中含有水气。
②副反应或杂质参加反应引起，如制乙烯时含SO2、CO 2等。
23、气体净化剂的选择一般情况下：①易溶于水的气体杂质可用水来吸收；②酸性杂质可用碱性物质吸收；③碱性杂质可用酸性物质吸收；④水分可用干燥剂来吸收；⑤能与杂质反应生成沉淀（或可溶物）的物质也可作为吸收剂。
4、气体干燥剂的类型及选择①酸性干燥剂，如浓硫酸、五氧化二磷、硅胶。
干燥显酸性或中性的气体，如 ②碱性干燥剂，如生石灰、碱石灰、固体NaOH 。
可以用来干燥NH 3或中性的气体，如 ③中性干燥剂，如无水氯化钙等，不能用CaCl 2来干燥NH 3（因生成 CaCl 2〃8NH 3）， 不能用浓 H 2SO 4干燥 NH 3、H 2S 、HBr 、HI 等。
学案 31 受力分析
学习目标：
1、通过实例分析，了解对物体进行受力分析的基本步骤。
2、通过实例分析，使学生明确判断弹力和摩擦力有无的判断方法。
学习过程：
【自主学习】
下列图中，物体A 均静止，请画出物体A 的受力
【合作探究】
【思路点拨】
受力分析的基本方法： 1.明确研究对象
2.隔离研究对象，按顺序找力
把研究对象从实际情景中分离出来，按先已知力，再重力，再弹力，然后摩擦力（只有在有弹力的接触面之间才可能有摩擦力），最后其它力的顺序逐一分析研究对象所受的力，并画出各力的示意图。
1、 A 物体静止或匀速，分析A 物体的受力情况
2、分析下列杆所受的力
A B
A 、
B 都静止
A 、
B 都静止
（A 静止） （光滑小球）
a 、
b 、
c 都静止 分析a 所受力 Ａ、B 、C 都静止 分析C 所受力 α B
A 匀速， v
3.分析A的受力
（A静止） (A匀速下滑）
A沿着墙匀速向上
A
沿着水平面匀速向右
A沿着斜面向上运动
A静止
C
（A、B一起匀速向右运动）
光滑小球。
第一单元第三课发现自己第一框认识自己自主学习主干梳理1．我们越来越关注自我的原因是什么?进入初中，随着的不断增强，我们越来越关注自我。
2．正确认识自己有什么重要的意义?(1)可以促进。
每个人都是独一无二的个体，认识到自己的禀赋和独特性，有助于我们增强对自己的信心，更好地发展自己的能力。
(2)可以促进与。
①有助于我们认识到自己离不开。
②更好地理解、他人，与他人积极互动。
3．我们可以从哪些方面来认识自己?(1)方面：从身体特征和生理状况来认识自己，如自己的身材、相貌、体能、性别等。
(2)方面：从个性心理特征来认识自己，如性格、气质等。
(3)方面：从在群体中的关系来认识自己，如自己在家庭或班级中的角色等。
4．认识目己的途径有哪些?这对正确认识目已有什么意义?5．怎样正确对待他人评价?(1)要他人的态度与评价，但也要客观冷静分析，既不能，也不能忽视。
(2)用面对他人的评价，是走向成熟的表现。
合作探究，热点剖析1．人贵自知【关键词】孙杨发现自己的不足在20XX年全国游泳冠军赛男子1500米自由泳决赛中，孙杨轻松夺冠，最终收获4枚个人项目金牌。
赛后孙杨表示：“通过比赛发现了我自己很多细节上的不足，这会令我更强大。
真正的较量还是在世锦赛上。
”孙杨对自己夺得世锦赛冠军非常有信心。
(1)孙杨对自己的认识是否正确?为什么?(2)你觉得这种认识会对孙杨产生怎样的影响？2．多把尺子量自己【关键词】了解自己认识自己在一次班会上，同学们围绕“了解自己，认识自己，融入新的集体”展开了一次讨论并积极发言。
同学甲：我做值日不太积极，有时还迟到。
我认识到我没有积极维护集体利益。
同学乙：我的同桌遇到难题经常请别的同学讲解，却不找我。
他认为我对他人缺乏热情。
同学丙：学校体育运动会上，我克服困难积极为班级争得荣誉，同学们对我称赞不已。
(1)上述这些同学通过哪些途径认识和评价自己?(2)这对他们的人生会起到什么作用?(3)你认为他们应如何面对同学们的评价?参考答案第一框认识自己真主学习主干梳理1．自我意识2．(1)自我发展(2)他人的交往①他人和社会②宽容和善待3．(1)生理(2)心理(3)社会4．自我②调节和控制他人①他人评价②客观完整清晰5．(1)重视盲从(2)理性的心态合作探究热点剖析1．点拨：(1)正确。
1第三章基因的本质第一节DNA 是主要的遗传物质(Ⅱ)[目标导读]1.结合教材P 44图3—4及相关内容，掌握噬菌体的结构及增殖的过程；2.阅读教材P 45第一段，理解并掌握标记噬菌体的方法及原因；3.结合教材图3—6及相关实验，分析噬菌体侵染细菌的过程，掌握放射性分布不同的原因以及得出的结论；4.阅读教材P 46相关内容，分析并掌握不同生物的遗传物质。
课前自主预习案[自主梳理]一、噬菌体侵染细菌的实验为了进一步研究生物的遗传物质，赫尔希和蔡斯以T 2噬菌体为实验材料，做了利用放射性同位素标记的噬菌体侵染细菌的实验，阅读教材，结合材料完成下面的思考。
1．实验材料——T 2噬菌体(1)①结构(如图1)：由头部和尾部组成，头部和尾部的外壳都是由__________构成的，头部内含有________。
②特点：一种专门寄生在大肠杆菌体内的细菌病毒，在宿主细胞外_______(有、没有)独立代谢能力。
③生活史(如图2)：T 2噬菌体侵染大肠杆菌后，会在__________的作用下，利用__________体内的物质来合成自身的组成成分，进行大量增殖。
当噬菌体增殖到一定数量后，大肠杆菌________，释放出子代噬菌体。
(2)大肠杆菌：单细胞___核生物。
2．实验方法：______________法，用____标记一部分噬菌体的蛋白质，用____标记另一部分噬菌体的DNA 。
3．实验过程和结果24.实验分析(1)实验中能否直接用含有放射性同位素的培养基来培养噬菌体呢？(2)实验中搅拌的目的是使________________________分离；离心的目的是让上清液中析出重量较轻的_________，离心管的沉淀物中留下____________。
(3)实验中需用___标记蛋白质，用___标记DNA ，不用其他元素的原因是蛋白质的组成元素是C 、H 、O 、N ，大部分含有___，DNA 的组成元素为____________，只有标记S 、P 两种元素才能够分别标记蛋白质和DNA 。
31化学元素与健康预习学案化学元素是构成物质的基本单位，对于维持人体健康起着重要的作用。
本预习学案将介绍与健康密切相关的31个化学元素，包括它们的特性、作用以及人体对它们的需求。
一、微量元素1.钴（Co）：作为维生素B12的重要组成部分，参与细胞分裂和血红素合成，维持神经系统和脑功能。
2.铜（Cu）：参与血液和胶原蛋白的合成，维持免疫系统和铁的吸收，促进骨骼发育和神经传导。
3.铁（Fe）：是血红蛋白和肌红蛋白的组成部分，参与氧气运输和呼吸作用，维持健康的血液循环和免疫系统。
4.锰（Mn）：是多种重要酶的辅助因子，参与氨基酸代谢和骨骼形成，维持神经系统和血糖稳定。
5.硒（Se）：具有很强的抗氧化作用，参与甲状腺功能、免疫系统和基因表达的调节，预防心血管疾病和癌症。
6.锌（Zn）：参与酶的活性和DNA合成，维持免疫系统和生长发育，促进伤口愈合和味觉感知。
7.钼（Mo）：作为辅酶参与多种代谢反应，包括氨基酸和嘌呤的合成，维持神经系统和肝脏功能。
8.碘（I）：是甲状腺素的组成部分，参与代谢和神经发育，维持正常的能量代谢和体温调节。
9.硼（B）：可能与钙代谢和骨骼健康有关，参与维持细胞膜和细胞通透性。
二、主要元素10.氢（H）：是构成水分子的主要元素，维持体内的水平衡和酸碱平衡。
11.氧（O）：是呼吸和氧化作用的重要元素，为身体提供能量。
12.碳（C）：是有机物的基础元素，构成脂肪、蛋白质和碳水化合物等营养物质。
13.氮（N）：是构成蛋白质和核酸的基础元素，参与细胞生长和修复。
14.硫（S）：构成蛋白质的硫氨酸和甲硫氨酸，维持骨骼和关节的健康。
15.钙（Ca）：是骨骼和牙齿的基础元素，参与神经传导、酶的活性和血液凝固。
16.钠（Na）和17.钾（K）：维持细胞内外的水平衡、神经传导和肌肉收缩。
18.磷（P）：构成DNA和RNA的组成部分，参与能量代谢和骨骼健康。
19.氯（Cl）：是体液和胃酸的主要组成成分，维持水平衡和酸碱平衡。
学案31 机械能【学习目标】1.理解机械能的基本组成；2.理解动能与重力势能的影响因素；3.能进行动能影响因素的实验探究。
【知识梳理】一．机械能的组成二．动能与重力势能的影响因素【典例分析】1．一个物体，我们就说它具有能量。
一个物体越多，表示这个物体的能量越大。
2．物体由于运动而具有的能叫做；物体由于被举高而具有的能叫做；物体由于发生弹性形变而具有的能叫做。
3．运动物体的越大，越大，具有的动能就越大。
4．物体被举得越高，质量越大，它具有的重力势能就。
5．判断下列情况下物体的动能、重力势能、机械能的变化情况。
（选填“增大”或“减小”“不变”）（l）在平直轨道上，列车从车站启动，动能，势能，机械能。
（2）站在匀速下降的电梯中的乘客，动能，势能，机械能。
6．人推开弹簧门的过程中，弹簧由于发生弹性形变而具有能；当弹簧门自动关闭的过程中，弹簧由于形变减小，其能减小，能转化为门的能。
7．骑自行车上坡前，往往要加紧蹬几下，这是为了增大能；下坡时不蹬，速度还会越来越大，这是因为能转化为能。
8．跳伞运动员跳出机舱后，在打开降落伞之前，他的动能将，重力势能将，机械能；打开降落伞后匀速下降时，他的动能将，重力势能将，机械能将。
（选填“变大”或“不变”“变小”）。
9.匀速行驶的洒水车，在洒水过程之中动能，机械能 .【课堂达标】1.下列说法正确的是( )A.做完功的物体一定具有能B.能够做功的物体一定具有能C.没有做功的物体不具有能D.具有能的物体一定在做功2．下列情况中，属于势能转化为动能的是（）。
A．火箭发射升空 B．玩具弹簧枪将子弹水平射出C．单摆的摆球从最低点上升 D．足球在地上越滚越慢3．下列情况中，属于动能转化为势能的是（）。
A．爆竹爆炸 B．上紧的钟表发条带动指针转动C．滚摆上升 D．雪橇从山坡上滑下．4飞机在高空水平方向上匀速飞行，同时空投救灾物品，在飞机空投救灾物品的前后，飞机的动能和重力势能变化的情况是（）A.动能增加，重力势能减少B.动能减少，重力势能增加C.动能和重力势能都增加D.动能和重力势能都减少5、一个小朋友从滑梯上匀速滑下来的过程中，下列说法正确的是 ( )A、动能减小，重力势能减小，机械能减小Ｂ、动能减小，重力势能增大，机械能减小C、动能不变，重力势力减小，机械能减小D、动能不变，重力势能减小，机械能不变6、跳伞运动员跳出飞机舱门,打开降落伞前他下降的速度越来越大,这一过程运动员的A．动能增大，重力势能增大 B．动能增大，重力势能减小C．动能减小，重力势能增大 D．动能减小，重力势能减小7.说明下列物体具有哪种形式的机械．．能．:⑴在水平轨道上行驶的火车具有____________________。
复习课题：第三单元明清帝国的繁盛与近代前夜的危机（2）学习目标：识记：明清科技文学成就；郑和下西洋概况；康乾盛世；近代因素的出现；理解：明清的外交政策；封建制度衰弱的趋势；近代繁荣下的危机；学习重点：明清的民族、外交政策及表现；闭关政策；学习难点：封建制度衰弱的趋势；近代繁荣下的危机；◆成功第一步：巩固基础、构建知识体系第2 1课大一统的气派与中华民族的象征一、明清皇宫1、北京建都史：把都城从南京迁到了。
清朝继续定都北京。
2、北京城布局：①由外向里依次为、和。
宫城旧称，现在称。
②紫禁城前方的左右两侧分布着气象庄严的和。
3、宫城：①象征政权中心的三大殿是、、。
②故宫是我国现存、的古建筑群。
二、明长城1、修建目的：防范。
2、规模：东起，西至，全长多千米，规模、质量都达到历史最高水平。
第22课科学技术与世俗文学1、明清科技、文化成就著作作者内容成就记载1879种药物，11000则药方，图文并茂描写了东汉及三国各统治集团政治、军事、外交的斗争；是我国第一部；反映了元末人民渴望统一；北宋末年宋江起义围绕“官逼民反”的主题，揭露了当时社会的黑暗，唐玄奘西天取经的故事反映人民要求挣脱束缚，追求自由的愿望。
贾宝玉和林黛玉的爱情悲剧为主线它是中国的巅峰；揭示了清王朝走向衰亡的命运。
明清科技特点：（1），注重运用数理方法，开始显露出近代科学研究的特点；（2）由于实行、。
总体上与西方科技水平的差距越拉越大。
2、明清文化趋势：明朝中后期，兴起。
明清小说出现条件：（1）工商业市镇的繁荣；（2）书坊、刊刻印刷业的迅速发展。
第23课从郑和下西洋到闭关锁国一、郑和下西洋1、时间：—年，明政府先后次派郑和下西洋。
2、目的：和3、概况：到达亚非三十多个国家，最远到达和一带。
4、★意义：③5、废止原因：①主要目的是和到西洋“取宝”，不计。
②明朝国力。
二、★闭关政策1、含义：清廷对对外贸易进行严格的，并非完全断绝往来。
2、影响：②启示：开放导致繁荣，闭关锁国导致衰落，在社会主义建设中，必须坚持对外开放的政策。
学案31 数列的通项与求和导学目标： 1.能利用等差、等比数列前n 项和公式及其性质求一些特殊数列的和.2.能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．自主梳理1．求数列的通项(1)数列前n 项和S n 与通项a n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.(2)当已知数列{a n }中，满足a n ＋1－a n ＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋…＋f (n )可求，则可用________求数列的通项a n ，常利用恒等式a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)．(3)当已知数列{a n }中，满足a n ＋1a n＝f (n )，且f (1)·f (2)·…·f (n )可求，则可用__________求数列的通项a n ，常利用恒等式a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1.(4)作新数列法：对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项．(5)归纳、猜想、证明法． 2．求数列的前n 项的和 (1)公式法①等差数列前n 项和S n ＝____________＝________________，推导方法：____________；②等比数列前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧，q ＝1，＝ ，q ≠1.推导方法：乘公比，错位相减法． ③常见数列的前n 项和：a ．1＋2＋3＋…＋n ＝__________；b ．2＋4＋6＋…＋2n ＝__________；c ．1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝______；d ．12＋22＋32＋…＋n 2＝__________；e ．13＋23＋33＋…＋n 3＝__________________.(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列． (3)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．常见的裂项公式有：①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1； ②1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；③1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． (5)倒序相加：例如，等差数列前n 项和公式的推导． 自我检测 1．(原创题)已知数列{a n }的前n 项的乘积为T n ＝3n 2(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项的( ) A.32(3n －1) B.92(3n －1)C.38(9n －1)D.98(9n －1) 2．(2011·邯郸月考)设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是其前n 项和，若{S n }是等差数列，则q 为 ( )A ．－1B ．1C ．±1D ．03．已知等比数列{a n }的公比为4，且a 1＋a 2＝20，设b n ＝log 2a n ，则b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n 等于 ( )A ．n 2＋nB ．2(n 2＋n )C ．2n 2＋nD ．4(n 2＋n )4．(2010·天津高三十校联考)已知数列{a n }的通项公式a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，设{a n }的前n 项的和为S n ，则使S n <－5成立的自然数n ( )A ．有最大值63B ．有最小值63C ．有最大值31D ．有最小值31 5．(2011·北京海淀区期末)设关于x 的不等式x 2－x <2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________．6．数列1,412，714，1018，…前10项的和为________.探究点一 求通项公式例1 已知数列{a n }满足a n ＋1＝2n ＋1·a na n ＋2n ＋1，a 1＝2，求数列{a n }的通项公式．变式迁移1 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．探究点二 裂项相消法求和例2 已知数列{a n }，S n 是其前n 项和，且a n ＝7S n －1＋2(n ≥2)，a 1＝2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1log 2a n ·log 2a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <m20对所有n ∈N *都成立的最小正整数m .变式迁移2 求数列1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋3＋…＋n，…的前n 项和．探究点三 错位相减法求和 例3 (2011·荆门月考)已知数列{a n }是首项、公比都为q (q >0且q ≠1)的等比数列，b n＝a n log 4a n (n ∈N *)．(1)当q ＝5时，求数列{b n }的前n 项和S n ；(2)当q ＝1415时，若b n <b n ＋1，求n 的最小值．变式迁移3 求和S n ＝1a ＋2a 2＋3a 3＋…＋nan .分类讨论思想的应用例 (5分)二次函数f (x )＝x 2＋x ，当x ∈[n ，n ＋1](n ∈N *)时，f (x )的函数值中所有整数值的个数为g (n )，a n ＝2n 3＋3n 2g (n )(n ∈N *)，则S n ＝a 1－a 2＋a 3－a 4＋…＋(－1)n －1a n ＝( )A ．(－1)n －1n (n ＋1)2 B ．(－1)n n (n ＋1)2C.n (n ＋1)2 D ．－n (n ＋1)2【答题模板】 答案 A解析 本题考查二次函数的性质以及并项转化法求和．当x ∈[n ，n ＋1](n ∈N *)时，函数f (x )＝x 2＋x 的值随x 的增大而增大，则f (x )的值域为[n 2＋n ，n 2＋3n ＋2](n ∈N *)，∴g (n )＝2n ＋3(n ∈N *)，于是a n ＝2n 3＋3n 2g (n )＝n 2.方法一 当n 为偶数时，S n ＝a 1－a 2＋a 3－a 4＋…＋a n －1－a n ＝(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－[3＋7＋…＋(2n －1)]＝－3＋(2n －1)2·n 2＝－n (n ＋1)2；当n 为奇数时，S n ＝(a 1－a 2)＋(a 3－a 4)＋…＋(a n －2－a n －1)＋a n＝S n －1＋a n ＝－n (n －1)2＋n 2＝n (n ＋1)2，∴S n ＝(－1)n －1n (n ＋1)2.方法二 a 1＝1，a 2＝4，S 1＝a 1＝1， S 2＝a 1－a 2＝－3，检验选择项，可确定A 正确． 【突破思维障碍】在利用并项转化求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n 进行分类讨论，但最终的结果却往往可以用一个公式来表示．1．求数列的通项：(1)公式法：例如等差数列、等比数列的通项； (2)观察法：例如由数列的前几项来求通项；(3)可化归为使用累加法、累积法；(4)可化归为等差数列或等比数列，然后利用公式法； (5)求出数列的前几项，然后归纳、猜想、证明． 2．数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．3．求和时应注意的问题：(1)直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程．(2)注意观察数列的特点和规律，在分析数列通项的基础上或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2010·广东)已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 2·a 3＝2a 1且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5等于( )A ．35B ．33C ．31D ．292．(2011·黄冈调研)有两个等差数列{a n }，{b n }，其前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝7n ＋2n ＋3，则a 5b 5＝( )A.6512B.378C.7213D.943．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1且a n －1－a n a n a n －1＝a n －a n ＋1a n a n ＋1(n ≥2)，则此数列的第10项( )A.1210B.129C.110D.154．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋1)，则S 5等于 ( )A ．1 B.56 C.16 D.1305．数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋22＋…＋2n －1，…的前n 项和S n >1 020，那么n 的最小值是 ( )6．(2010·东北师大附中高三月考)数列{a n }的前n 项和为S n 且a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ＝1,2,3，…)，则log 4S 10＝__________.7．(原创题)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝－2，a n ＋2＝－1a n，则该数列前26项的和为________．8．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝____________.三、解答题(共38分) 9．(12分)(2011·河源月考)已知函数f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7(n ∈N *)．(1)若函数f (x )的图象的顶点的横坐标构成数列{a n }，试证明数列{a n }是等差数列； (2)设函数f (x )的图象的顶点到x 轴的距离构成数列{b n }，试求数列{b n }的前n 项和S n .10．(12分)(2011·三门峡月考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝12na n ＋a n －c (c 是常数，n ∈N *)，a 2＝6.(1)求c 的值及数列{a n }的通项公式；(2)证明1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1<18.11．(14分)(2010·北京宣武高三期中)已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ，数列{b n }满足b 1＝－1，b n ＋1＝b n ＋(2n －1) (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)求数列{b n }的通项公式b n ；(3)若c n ＝a n ·b nn，求数列{c n }的前n 项和T n .答案 自主梳理1．(2)累加法 (3)累积法 2.(1)①n (a 1＋a n )2 na 1＋n (n －1)2d 倒序相加法 ②na 1a 1(1－q n )1－q a 1－a n q 1－q③n (n ＋1)2 n 2＋n n 2 n (n ＋1)(2n ＋1)6⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)22自我检测1．C 2.B 3.B 4.B5．10 100 6.145511512课堂活动区例1 解题导引 已知递推关系求通项公式这类问题要求不高，主要掌握由a 1和递推关系先求出前几项，再归纳、猜想a n 的方法，以及累加：a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1；累乘：a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1等方法．解 已知递推可化为 1a n ＋1－1a n ＝12n ＋1， ∴1a 2－1a 1＝122，1a 3－1a 2＝123，1a 4－1a 3＝124，…，1a n －1a n －1＝12n . 将以上(n －1)个式子相加得 1a n －1a 1＝122＋123＋124＋…＋12n ，∴1a n ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝1－12n . ∴a n ＝2n2n －1.变式迁移1 (1)证明 由已知有 a 1＋a 2＝4a 1＋2，解得a 2＝3a 1＋2＝5，故b 1＝a 2－2a 1＝3. 又a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－(4a n ＋2) ＝4a n ＋1－4a n ；于是a n ＋2－2a n ＋1＝2(a n ＋1－2a n )， 即b n ＋1＝2b n .因此数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列． (2)解 由(1)知等比数列{b n }中，b 1＝3，公比q ＝2，所以a n ＋1－2a n ＝3×2n －1，于是a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34，因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列，a n 2n ＝12＋(n －1)×34＝34n －14， 所以a n ＝(3n －1)·2n －2.例2 解题导引 1.利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项．再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．2．一般情况如下，若{a n }是等差数列，则1a n a n ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1，1a n a n ＋2＝12d ⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋2. 此外根式在分母上时可考虑利用有理化因式相消求和． 解 (1)∵n ≥2时，a n ＝7S n －1＋2，∴a n ＋1＝7S n ＋2， 两式相减，得a n ＋1－a n ＝7a n ，∴a n ＋1＝8a n (n ≥2)． 又a 1＝2，∴a 2＝7a 1＋2＝16＝8a 1， ∴a n ＋1＝8a n (n ∈N *)．∴{a n }是一个以2为首项，8为公比的等比数列，∴a n ＝2·8n －1＝23n －2.(2)∵b n ＝1log 2a n ·log 2a n ＋1＝1(3n －2)(3n ＋1)＝13(13n －2－13n ＋1)， ∴T n ＝13(1－14＋14－17＋…＋13n －2－13n ＋1)＝13(1－13n ＋1)<13. ∴m 20≥13，∴最小正整数m ＝7. 变式迁移2 解 a n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，∴S n ＝2·[⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1]＝2·⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 例3 解题导引 1.一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法．2．用乘公比错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式．解 (1)由题意得a n ＝q n ， ∴b n ＝a n ·log 4a n ＝q n ·log 4q n ＝n ·5n ·log 45，∴S n ＝(1×5＋2×52＋…＋n ×5n )log 45， 设T n ＝1×5＋2×52＋…＋n ×5n ，①则5T n ＝1×52＋2×53＋…＋(n －1)×5n ＋n ×5n ＋1，②①－②得－4T n ＝5＋52＋53＋…＋5n －n ×5n ＋1 ＝5(5n －1)4－n ×5n ＋1，∴T n ＝516(4n ×5n －5n ＋1)，S n ＝516(4n ×5n －5n ＋1)log 45.(2)∵b n ＝a n log 4a n ＝n ⎝⎛⎭⎫1415n log 41415，∴b n ＋1－b n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1415n ＋1log 41415－ n ⎝⎛⎭⎫1415n log 41415 ＝⎝⎛⎭⎫1415n ⎝⎛⎭⎫1415－n 15log 41415>0， ∵⎝⎛⎭⎫1415n >0，log 41415<0， ∴1415－n15<0，∴n >14， 即n ≥15时，b n <b n ＋1.故所求的n 的最小值是15. 变式迁移3 解 当a ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，当a ≠1时，S n ＝1a ＋2a 2＋3a 3＋…＋nan ，①∴1a S n ＝1a 2＋2a 3＋3a 4＋…＋nan ＋1，② ①－②，得⎝⎛⎭⎫1－1a ·S n＝1a ＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n －n an ＋1， ⎝⎛⎭⎫1－1a S n ＝1a ⎝⎛⎭⎫1－1a n 1－1a－n a n ＋1＝1－1a na －1－n an 1， ∴S n ＝a ⎝⎛⎭⎫1－1a n (a －1)2－n(a －1)·a n.∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2， a ＝1，a ⎝⎛⎭⎫1－1a n (a －1)2－n (a －1)·an， a ≠1.课后练习区1．C 2.A 3.D 4.B 5.D 6．9解析 ∵a n ＋1＝3S n ，∴a n ＝3S n －1 (n ≥2)． 两式相减得a n ＋1－a n ＝3(S n －S n －1)＝3a n ，∴a n ＋1＝4a n ，即a n ＋1a n＝4.∴{a n }为以a 2为首项，公比为4的等比数列． 当n ＝1时，a 2＝3S 1＝3，∴n ≥2时，a n ＝3·4n －2， S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10＝1＋3＋3×4＋3×42＋...＋3×48 ＝1＋3×(1＋4＋ (48)＝1＋3×49－14－1＝1＋49－1＝49.∴log 4S 10＝log 449＝9. 7．－10解析 依题意得，a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－1，a 4＝12，a 5＝1，a 6＝－2，a 7＝－1，a 8＝12，所以数列周期为4，S 26＝6×(1－2－1＋12)＋1－2＝－10.8．2n ＋1－2解析 依题意，有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，a 4－a 3＝23，…，a n －a n －1＝2n －1，所有的代数式相加得a n －a 1＝2n －2，即a n ＝2n ，所以S n ＝2n ＋1－2.9．解 f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7＝[x －(n ＋1)]2＋3n －8.…………………………………………………………………(3分) (1)由题意，a n ＝n ＋1，故a n ＋1－a n ＝(n ＋1)＋1－(n ＋1)＝1， 故数列{a n }是以1为公差，2为首项的等差数列．……………………………………(5分) (2)由题意，b n ＝|3n －8|.……………………………………………………………………(7分)当1≤n ≤2时，b n ＝－3n ＋8， 数列{b n }为等差数列，b 1＝5，∴S n ＝n (5－3n ＋8)2＝－3n 2＋13n 2；………………………………………………………(9分)当n ≥3时，b n ＝3n －8，数列{b n }是等差数列，b 3＝1.∴S n ＝S 2＋(n －2)(1＋3n －8)2＝3n 2－13n ＋282.…………………………………………(11分)∴S n＝⎩⎨⎧－3n 2＋13n2， 1≤n ≤2，3n 2－13n ＋282， n ≥3.……………………………………………(12分)10．(1)解 因为S n ＝12na n ＋a n －c ，所以当n ＝1时，S 1＝12a 1＋a 1－c ，解得a 1＝2c ，………………………………………………………………………………(2分)当n ＝2时，S 2＝a 2＋a 2－c ， 即a 1＋a 2＝2a 2－c ，解得a 2＝3c ，………………………………………………………(3分) 所以3c ＝6，解得c ＝2；…………………………………………………………………(4分)则a 1＝4，数列{a n }的公差d ＝a 2－a 1＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋2.……………………………………………………………(6分)(2)证明 因为1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝14×6＋16×8＋…＋1(2n ＋2)(2n ＋4) ＝12(14－16)＋12(16－18)＋…＋12(12n ＋2－12n ＋4) ＝12[(14－16)＋(16－18)＋…＋(12n ＋2－12n ＋4)]……………………………………………(8分) ＝12(14－12n ＋4)＝18－14(n ＋2).……………………………………………………………(10分)因为n ∈N *，所以1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1<18.…………………………………………(12分)11．解 (1)∵S n ＝3n ，∴S n －1＝3n －1 (n ≥2)．∴a n ＝S n －S n －1＝3n －3n －1＝2×3n －1 (n ≥2)．……………………………………………(3分)当n ＝1时，2×31－1＝2≠S 1＝a 1＝3，…………………………………………………(4分)∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3， n ＝1，2×3n －1， n ≥2， n ∈N *……………………………………………………(5分) (2)∵b n ＋1＝b n ＋(2n －1)，∴b 2－b 1＝1，b 3－b 2＝3，b 4－b 3＝5，…， b n －b n －1＝2n －3. 以上各式相加得b n －b 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3) ＝(n －1)(1＋2n －3)2＝(n －1)2.∵b 1＝－1，∴b n ＝n 2－2n .………………………………………………………………(7分) (3)由题意得c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，n ＝1，2(n －2)×3n －1，n ≥2，n ∈N *.……………………………………………………(9分)当n ≥2时，T n ＝－3＋2×0×31＋2×1×32＋2×2×33＋…＋2(n －2)×3n －1， ∴3T n ＝－9＋2×0×32＋2×1×33＋2×2×34＋…＋2(n －2)×3n ，相减得－2T n ＝6＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －1－2(n －2)×3n .∴T n ＝(n －2)×3n －(3＋32＋33＋…＋3n －1)＝(n －2)×3n－3n －32＝(2n －5)3n ＋32.…………………………………………………(13分)T 1＝－3也适合．∴T n ＝(2n －5)3n ＋32(n ∈N *)．…………………………………………………………(14分)。
