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数学建模(全国)----眼科病床的合理安排 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN眼科病床的合理安排摘要本文在对相关数据进行整理和对数据深层次的分析基础上，首先确定了以床位服务强度ρ和累积满意度ψ为主的评价指标体系，并用该指标体系评价FCFS 模型和NAFCFS 优化模型的优劣。
通过指标体系对FCFS 模型相关问题的分析，可以发现通过改变不同类病人的入院优先顺序是可以有效地实现资源的优化配置的。
NAFCFS 优化模型实质上是在FCFS 模型病人入院排列次序规则的基础上，增加了时刻i t 时满意度高者优先入院治疗的规则，在NAFCFS 优化模型下病人入院的优先规则如下：1.病人在不同门诊时间登记的，按先来先服务的原则；2.病人在同一门诊时间登记的，根据入院时间相对应的周几，再按照相应中满意度的高低进入医院，知道医院没有空余的床位为止；3如有剩余的人数进入下一天，则它在下一天优先入院；4.依次类推。
在NAFCFS 优化模型下的某天累积满意度11223344a v a v a v a v ψ=+++，其中1v 、2v 、3v 和4v 分别是白内障（双眼）、白内障（单眼）、青光眼及视网膜病人在一周内不同时刻相应的的满意度的评价表，NAFCFS 优化模型的满意度评价满意度评价表是NAFCFS 优化模型中病人入院优先顺序的重要表现方式，通过该评价表可以预测某个病人何时可以入院治疗的大概区间，并可针对具体的预期结果向医院管理方提出可行性建议。
同时，NAFCFS 优化模型已在一定程度上优化了FCFS 模型，但也有其局限性，在本文中对此也有相关论述。
关键字：评价指标体系累计满意度函数 NAFCFS 排队论一、问题重述医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。
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建立合理的病床安排模型不仅能使医院资源得到有效分配，还能为病人带来方便。
首先，为确定病床安排模型的优劣，我们要建立一个合理的评价指标体系。
从总成本和效率两方面进行综合考虑，建立模型一评价指标模型。
第一个综合指标总成本包括病人在排队系统中等待的损失和医院服务成本，即总成本i i i Q ax by =+；第二个综合指标是用“归一分析法”来分析床位利用效率，其中：=⨯期内床位实际周转次数床位效率指数床位使用率期内床位标准周转次数然后采用模型一的这些指标对该问题的病床安排模型的优劣进行综合评价，得出结论是按照FCFS （First come, First serve ）规则安排住院使总成本不断在大幅度增加，床位一直处于低效率运行状态。
眼科病床得合理安排摘要本文在对相关数据进行整理与对数据深层次得分析基础上，首先确定了以床位服务强度与累积满意度为主得评价指标体系,并用该指标体系评价FCFＳ模型与NAFCFS优化模型得优劣。
通过指标体系对FCFS模型相关问题得分析,可以发现通过改变不同类病人得入院优先顺序就是可以有效地实现资源得优化配置得。
NAFCFＳ优化模型实质上就是在ＦCFS模型病人入院排列次序规则得基础上,增加了时刻时满意度高者优先入院治疗得规则，在NAＦCFS优化模型下病人入院得优先规则如下:1、病人在不同门诊时间登记得，按先来先服务得原则；2、病人在同一门诊时间登记得,根据入院时间相对应得周几，再按照相应中满意度得高低进入医院，知道医院没有空余得床位为止；3如有剩余得人数进入下一天，则它在下一天优先入院;4、依次类推。
在NＡFＣＦS优化模型下得某天累积满意度，其中、、与分别就是白内障（双眼）、白内障（单眼）、青光眼及视网膜病人在一周内不同时刻相应得得满意度得式,通过该评价表可以预测某个病人何时可以入院治疗得大概区间，并可针对具体得预期结果向医院管理方提出可行性建议。
同时，NAＦCＦＳ优化模型已在一定程度上优化了FCFＳ模型，但也有其局限性，在本文中对此也有相关论述。
关键字：评价指标体系累计满意度函数ＮAFCFS 排队论一、问题重述医院就医排队就是大家都非常熟悉得现象，它以这样或那样得形式出现在我们面前，例如,患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务.我们考虑某医院眼科病床得合理安排得数学建模问题。
该医院眼科门诊每天开放,住院部共有病床7９张.该医院眼科手术主要分四大类:白内障、视网膜疾病、青光眼与外伤。
附录中给出了2０0８年７月1３日至200８年９月11日这段时间里各类病人得情况。
白内障手术较简单,而且没有急症。
目前该院就是每周一、三做白内障手术,此类病人得术前准备时间只需１、２天。
眼科病床的合理安排【摘要】本文研究的是眼科病床合理安排的问题，即不同类型的病人在不同时期内就诊达到最优化。
文中分别运用了排队论、整数规划建立了具体的数学模型，并通过Matlab、Lingo等数学软件编程计算，得到了较为满意的结果。
对于问题一，利用排队论模型，给出以顾客在就诊过程中的平均响应时间作为评价指标体系；对于问题二，采用以等候病人平均候诊时间作为指标，利用0-1整数规划对等候病人建立模型，从而安排何人住院，经Lingo8.0编程得到结果为安排序号为1、2、4、5、97的病人住院；问题三，根据当时住院病人及等待住院病人通过Excel统计出病人平均等待时间，通过数据分析，进行参数估计，求出置信区间，得出结论：对于外伤病人，只需等待一天就可住院，其它类病人大致入住时间区间为[9.5391，12.3382]；问题四在问题二的基础上由于多限制了一个条件，最终解得手术安排应作出调整，调整后的排序号为7、8、9、10、97；对于问题五，将病人分为四类（外伤、视网膜疾病、白内障、青光眼），得到占用病床比例为：0.1176471 : 0.3294118 : 0.1176471 : 0.4352941 。
【关键词】排队论整数规划泊松分布一问题背景及重述1.1 问题的背景医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以很多不同的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。
为了让病人能尽快得到治疗，病床的利用更充分，我们根据该医院给出的历史数据，通过数学建模来解决这一问题。
1.2 问题的重述该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。
该医院眼科手术主要分为四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。
白内障手术较简单，而且没有急症。
该院安排每周一、三做白内障手术，如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只，做两只眼的病人大约占到60%。
外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。
眼科病床的合理安排摘要本文主要是对当前的门诊入院安排给予合理评价，并建立模型解决不同情况下的最合理的门诊入院安排问题。
首先，我们根据层次分析法对当前的入院安排进行合理评价，其入院是否合理主要看病人在手术前的总的等待时间，病人总的平均等待时间越短对医院和病人来说也越合理，而病人手术前的等待时间是由入院前等待时间1t ,手术前等待时间2t 这两部分时间构成，所以入院前等待时间1t ,手术前等待时间2t 决定了入院安排的合理性。
针对问题二，多个病人等待有限的病床，对医院来说病人流动频率越快越好，首先我们考虑SJF 算法，这种算法固然可以加快医院的病人流通率和病床的使用率，但不能达到公平平等的对待看病的病人，使得需要较长住院时间的病人特别时视网膜疾病的病人不能有效及时的得到解决，很可能会出现长时间更甚至是永远也得不到治疗。
所以，我们实际生活中医院不会考虑这种模型来安排给病人看病。
所以我们考虑用HRN 算法，根据,1rλσ+=决定每天的入院病人。
其中，λ为入院前等待时间，r 为住院到手术前的时间。
在每天知晓病床数的情况下，由响应比高的等待入院的病人入院。
对于问题四，由于周六周日不做手术，其r (i)住院到手术前的时间可能发生变化，同样用此模型对问题二中的病人安排做更改。
而问题三，由非线性规划求解第K 个门诊未入院的病人入院时间，Si 为从九月十二号起第i 天的门诊总人数，由表知平均每天外伤门诊人数为1，其决策变量：i ；约束条件：01≥--∑=K i Si ni ；)()()()()(54321i l i l i l i l i l Si ++++=；i p k k q i l j j j +=+=∑28),()(目标函数：K i Si Min ni --∑=1。
对此模型最后运行的见附录中表3。
最后，对于按比例分配各种疾病的病床数，建立使得病人平均逗留时间最短的病床比例分配模型，我们采用排队论的服务排队分析方法，建立多服务台多种类的服务排队数学模型。
眼科病床的合理安排问题江润坤，杨 帆，姜 凝，指导教师：肖华勇摘要目前的眼科医院按FCFS 规则安排住院，医院资源利用效率较低，等待住院的病人队列越来越长。
本文中，我们针对此问题提出了优先级控制的FCFS 规则。
问题一中，我们以时间为主要考虑，提出了平均等待入院时间wa T 、平均等待手术时间sa T 、平均术后疗养时间ra T 、平均住院时间ha T 、平均逗留时间la T 和等待队长N 六个指标组成的评价体系。
对现行的FCFS 规则进行评价，指数值分别为：12.08，2.69，10.92，13.62，25.69，102。
问题二中，我们用MATLAB 软件生成符合每种疾病病人术后疗养时间的统计概率分布的随机变量及符合每种疾病病人每天门诊人数的统计概率分布的随机变量，以预测入院病人的出院时间以及未来一段时间每种疾病病人前来门诊的数目。
在此基础上，我们以平均等待手术时间最小为目标，对第二天可用病床按病种分配，产生优先级。
同种优先级下采用FCFS 规则，建立了优先级控制的FCFS 规则。
在此规则下逐天模拟，从而得出评价指标值。
之后，我们加入强制性规则，产生强制性优先级控制的FCFS 规则，并得出评价指标。
比较评价指标发现优先级控制的FCFS 规则最为优越。
针对问题三，首先根据每种疾病病人术后疗养时间和每天门诊人数的概率分布，得到在一定置信度下与病种相关的入院病人的出院时间区间和未来一段时间门诊病人的数目区间。
分别取置信区间的上、下侧，依据优先级控制的FCFS 规则逐天模拟，得到该置信度下门诊病人大致入院的时间区间的上、下侧。
问题四中，周末不安排手术引起各种疾病病人等待手术时间与星期几关系的变化导致优先级的变化。
此时采用优先级控制的FCFS 规则模拟，得出评价指标值。
周末不安排手术同样引起强制性规则的变化，此时采用强制性优先级控制的FCFS 规则，得出评价指标值。
对比评价指标值均得出周末不安排手术导致等待队长变长的结论。
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）B题眼科病床的合理安排医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。
我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。
该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。
该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。
附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。
白内障手术较简单，而且没有急症。
目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。
做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。
如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。
外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。
其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。
这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。
由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。
该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。
当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（First come, First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。
问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。
问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。
并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。
眼科病床的合理安排摘要眼科病床安排问题是一个重要的问题，如果病床安排得不合理，不仅医院资源不能得到有效利用，而且会给病人造成一定的损失，也影响医院的发展。
建立合理的病床安排模型不仅能使医院资源得到有效分配，还能为病人带来方便。
本文解决的是医院眼科病床的安排问题，现医院安排病人入院的原则是FCFS （First come, First serve ），这样虽然公平，但缺乏合理性以致等待住院的病人队列越来越长，为解决此问题，我们建立了三个最优化模型。
对于问题一：我们建立了三个评价指标：手术前的平均逗留时间q T ，平均每天出院人数NO ，病人手术前的准备时间g T 。
然后计算出在原来先来先服务的原则下各指标值为：13.1519q T =， 5.6290NO =， 2.4413g T =。
对于问题二：我们采用优先级原则动态地对病床进行安排。
首先，统计初始数据，通过6SQ 软件进行分布的卡方拟合检验得：每类病人的到来均服从泊松分布，同时术后观察时间服从均匀分布。
然后，我们知道合理的调度方案必须使得病人的术前准备时间尽量短。
因此，重新制定入院规则：外伤优先级始终最高；其它病的优先级随时间的变化而变化。
接着，再以三个指标为目标函数，病人入院规则为约束建立了多目标的最优化模型，最后，根据入队与服务时间服从的分布，用计算机随机模拟，得到在队列稳定时，此规则下三个指标值为：10.311qT= ，9.633NO =， 1.6526g T = ；同问题一相对比而言，这样手术前的平均逗留时间减少21.6%，平均每天出院人数增加了71.13%，平均术前准备时间减少了32.31%。
对于问题三：在问题二的计算机随机模拟的基础上，已经可以求得对应的等待队列中病人的入院时间的模拟结果，因为存在一定随机性，我们模拟10次，取出每次所得结果中的模拟入院时间，作为病人的一个大致入院时间。
对于问题四：由于星期六与星期日不安排除了外伤手术的其它手术，故安排在周四，五住院的视网膜和青光眼病人的手术要推迟到下周二、四，以此我们同样建立了多目标的最优化模型，得出在队列稳定时，三个指标值分别为：10.436q T =，9.1667NO =， 2.017g T =；对于问题五：为便于医院的管理，可根据各类病人服从的分布按照对应比例给各类病人安排固定的病床数，但要先单独分配外伤类的病床，由于医院要保证有足够的床铺满足外伤类病人，据统计结果知外伤病人到达和外伤病人被服务的时间都是服从泊松分布，则先建立排队论中的M/M/C 模型求出分配给外伤病人的病床数，余下的病床按照一定的比例分配给其它类的病人。
为得到平均逗留时间最短，我们建立了单目标最优化模型。
关键词：优先级 调度 排队论 计算机模拟 最优化一、问题重述1.1 问题背景医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。
我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。
1.2 所给条件该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。
该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。
附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。
白内障手术较简单，而且没有急症。
目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。
做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。
如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。
外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。
其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。
这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。
由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。
该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。
当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（First come, First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。
1.3 所求问题问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。
问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。
并对你们的模型利用问题一中的指标体系做出评价。
问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。
能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。
问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应做出相应调整?问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。
二、模型假设与符号说明2.1 模型假设假设1：白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天；假设2：该医院眼科手术条件充分，在安排病床时不考虑无法进行手术的限制；假设3：对于问题四，假定周六和周日可安排外伤手术，但不能安排其他手术。
假设4：住院期间不随意调动病人的安置情况。
假设5：将所有外伤都视为急症。
假设6：在出现的等待时间内病人病情稳定。
的计数方式与T三、问题分析与数据分析3.1 问题分析此题研究的是某医院眼科病床合理安排的数学建模问题。
在医院病床不够的时候，就要按照合理的安排规则对病床进行合理的安排。
当前该住院部对全体非急症病人是按照先来先服务的规则安排住院，这样虽然对病人很公平，但缺乏合理性。
例如如果根据先来先服务的原则，白内障双眼的病人可能会在星期二入院，但医院规定“白内障双眼的患者在星期一做一只眼，在星期三做另一只眼”，所以该患者的术前准备时间就变为6天，而一般情况下，白内障患者的术前准备时间只需1、2天，同时这样的情况会延迟其它类病人的入院时间，进而使得病人队列越来越长。
在病床不够的情况下，从医院的角度讲，医院自然希望在多做手术的同时，减小病人占用病床的时间。
为了得到合理的安排规则，首先要确定合理的评价指标体系，来评价按该规则建立的病床安排模型的优劣。
针对问题一：从病人的角度看，病人到医院看病分为以下几个阶段：门诊看病时间、入院、手术前的准备、手术、手术后的观察、出院，合理的安排就是让病人从挂号看病到出院的时间尽量的短，但根据实际情况知，病人的术后观察时间是由病情决定的，故建立模型时只能从缩短门诊看病到接受手术的时间间隔入手，即病人手术前的逗留时间。
所以模型的评价指标可以是病人手术前的平均逗留时间，平均术前准备时间；从医院的角度看，我们可以将病床的周转次数作为评价指标。
由于病床的周转次数与医院每天出院人数是密切相关的，因此在病床不够的情况下，医院每天出院的人数越多，能够入院的病人就越多，病床周转次数就越多，周转率越高，医院的效益就越好。
所以，综合考虑病人和医院的利益，我们把病人手术前的平均逗留时间，平均术前准备时间，平均每天出院人数作为评价指标，当前两个指标值越小，最后一个指标值越大的时候，病床安排模型越好。
针对问题二：在确定病人入院规则时，要考虑以下几点：(1)白内障病人只能安排在周一与周三做手术，(2)其它病人除外伤病人外不能在周一和周三做手术，(3)不同的病人的术前准备时间不一样。
在考虑这些因素后，要使得建立的入院规则能够让病人的等待时间尽量短，这就可以缩短病人在医院的时间，也可以缩短病人从门诊到入院的时间。
再对题给数据进行分析，得出各类病人到门诊看病的统计规律，然后就可以以问题一的评价指标作目标函数，以安排病人入院规则为约束建立一个病床安排的多目标最优化模型。
针对问题三：根据各类病人的统计结果，可得出每天有多少人患病以及患什么病，找出其分布规律，然后根据病人的入院规则，可以得出各类病人大致在星期几入院，再根据术后观察时间的统计规律，便可以得到病人的出院时间，从而可安排病人入院，这样就可在病人门诊时告知其大致的入院时间。
针对问题四：同问题二一样，以问题一的评价标准作为目标函数，建立一个病床安排的多目标最优化模型。
但由于周六、日不安排手术，会使得约束条件发生改变，然后来确定医院的手术时间是否需要调整。
针对问题五：从便于管理的角度医院可以根据各类病人的到达规律安排病床，故先统计出各类病人的到达服从什么样的分布，再建立模型求出平均逗留时间最短时的病床分配方案，但在分配时要把外伤类除外，因外伤类病人不允许等待，故分派给外伤病人的病床必须保证每天都能满足需入院的外伤病人，因此先分配外伤类的病床，再统一分配余下各类病的病床。
3.2 数据分析注：1.术后观察时间指病人出院与第一次手术的时间间隔注：2.手术前的平均逗留时间指门诊到第一次手术的平均时间根据对题给数据的统计结果知：3.2.1 各类病的术前准备时间时间为1-7天（包括1天和7天）3.2.2 等待住院病人队列越来越长的原因因为08年7月13日-08年9月11日平均每天到门诊看病的人数为8.6885人，平均每天出院人数为5.6290人，所以近似认为平均每天到门诊看病的人数为8.6885人，平均每天出院人数为5.6290人。
正因为每天到门诊看病的人数大于每天出院的人数，所以才导致了等待住院病人队列越来越长。
3.2.3各类病人的到达（病人到达时间指病人的门诊时间）服从泊松分布由于医院就医排队是典型的排队论问题，而一般的排队论模型都是泊松输入，所以我们先假定病人的到达服从泊松分布，然后根据原题目的附录给出的数据求出每天到门诊看病的各类病人的人数（统计结果见附录一）,再利用6SQ统计软件进行卡方拟合优度检验得到如下结果（结果见表3.1，具体模拟数据参见附件1：等待手术时间与术后恢复时间分布近似拟合.xls）：根据以上假设检验的结果知：各类病人的到达时间均符合泊松分布。
根据指数分布与泊松分布的关系[1]：如相继两个事件出现的间隔时间服从参数为λ的指数分布，则在单位时间间隔内事件出现的次数服从参数为λ的泊松分布，即单位时间内该事件出现k 次的概率为()(0,1,2,,)!k e p k k n k λλ-X === ⑴将各类病人平均每天到达的人数，即λ值代入式⑴，可得相应的概率密度函数，计算结果见表3.2。
3.2.4各类患者的术后观察时间服从均匀分布首先统计出各类病人的术后观察时间（统计结果见附录二），根据统计结果，我们假定各类病人的术后观察时间服从均匀分布，然后通过6SQ 统计软件进行卡方拟合优度检验，检验结果见表3.3。
