1996年全国大学生数学建模竞赛题目A题最优捕鱼策略B题节水

最佳捕鱼方案摘要：本文解决的是一个最佳捕鱼方案设计的单□标线性规划问题，U的是制定每天的捕鱼策略，使得总收益最大。

根据题设条件，结合实际情况，我们设计了成本与损失率随天数的增加成反比变化的函数曲线（见图三所示），并导出总收益的表达式：w=£气=£几＞＜亠-r-J i-J r-1由于价格是关于供应量的分段函数（见图一所示），我们引入“0—1”变量法编写程序（程序见附录一），并用数学软件LI\GO求解，得到最大收益（W）为441291.4元，分21天捕捞完毕。

其中第1〜16天，日捕捞量在1030〜1070 公斤之间，第17〜21天的日捕捞量为1610〜1670公斤之间（具体数值见正文）。

由结果分析，我们对模型提出了优化方向，例如人工放水来降低成本。

关键词：“0-1”整数规划，单目标线性规划，离散型分布。

一.问题重述一个水库，由个人承包，为了提高经济效益，保证优质鱼类有良好的生活环境，必须对水库里的杂鱼做一次彻底清理，因此放水清库。

水库现有水位平均为15米，自然放水每天水位降低0. 5米，经与当地协商水库水位最低降至5 米，这样预计需要二十天时间，水位可达到□标。

据估计水库内尚有草鱼二万五千余公斤，鲜活草鱼在当地市场上，若日供应量在500公斤以下，其价格为30元/公斤；日供应量在500-1000公斤，其价格降至25元/公斤，日供应量超过1000公斤时，价格降至20元/公斤以下，日供应量到1500公斤处于饱和。

捕捞草鱼的成本水位于15米时，每公斤6元；当水位降至5米时，为3元 /公斤。

同时随着水位的下降草鱼死亡和捕捞造成损失增加，至最低水位5米时损失率为10%o承包人提出了这样一个问题：如何捕捞鲜活草鱼投放市场，效益最佳？二.模型假设1.池塘中草鱼的生长处于稳定状态，不考虑种群繁殖以及其体重增减，即在捕捞过程中草鱼总量保持在25, 000公斤不变。

2.第一天捕捞时水位为15m,每天都在当天的初始水位捕捞草鱼，水库水位每天按自然放水0. 5m逐渐降低，20天后刚好达到最低要求水位5mo3.在水库自然放水的21内将草鱼捕完。

1996年B 题节水洗衣机B 题 节水洗衣机我国淡水资源有限，节约用水人人有责。

洗衣在家庭用水中占有相当大的份额，目前洗衣机已非常普及，节约洗衣机用水十分重要。

假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：加水——漂水——脱水——加水——漂水——脱水——…加水——漂水——脱水——(称“加水——漂水——脱水—”为运行一轮)。

请为洗衣机设计一种程序（包括运行多少轮、每轮加水量等），使得在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最少。

选用合理的数据进行计算，对照目前常用的洗衣机的运行情况，对你的模型和结果作出评价。

B 题 节水洗衣机1、 假设和定义1.1基本假设1）仅考虑离散的加水方案，即每次脱水完后全换成清水进行下一次洗漂。

2）每次洗漂加水量不能低于L ，否则洗衣机无法转动，加水量不能高于H ，否则会溢出设L<H3）每次洗漂的时间是足够的，以便衣服上的脏物充分溶入水中，从而使每次所加的水被充分利用。

4）脱水时间也是足够的，以使脏水充分脱出，即让衣服所含的脏水量达到一个低限，设这个低限是一个大于0的常数C ，并由于脱水时不另加水故C<L1.2变量定义1）设共进行n 轮＇洗漂→脱水＇的过程，依次为第0轮，第1轮，第2轮，第n-1轮 2）第k 轮用水量为u k （k=0,1,2,…n-1）3）衣服上的初始脏物量为x 0，在第k 轮脱水之后的脏物量为x k+1(k=0,1,2…,n-1) 2、 建模1. 1溶解特性和动态方程在第k 轮洗漂之后和脱水之前，第k-1轮脱水之后的脏物量x k 已变成了两部分 x k =p k +q k (k=0,1,2…,n-1)其中p k 表示已溶入水中的脏物量，q k 表示未款溶入水中的脏物量，p k 与第k 轮的加水量u k 有关，总的规律应是，u k 越大p k 越大，且当u k =L 时p k 最小（=0，因为此时洗衣机处于转动临界点，有可能无法转动），当u k =H 时p k 最大（=Q xk 0<Q<1其中Q 称为溶解率）因此简单地选用线性关系表示这种溶解特性则有 p k =Q XKLH Lu k -- 在第K 轮脱水之后，衣服上尚有脏物q k =x k -p k ，有脏水C ，其中脏水C 中所含脏物量为(p k /u k )C ，于是第k 轮完成之后衣服上尚存的脏物总量为： x k+1=(x k -p k )+ckku p 将（2.1.2）代入上式并整理后得系统动态方程x k+1=x k [1-Q(1-k u C )L H Lu k --](k=0,1,2…,n-1) 2.2优化模型由于x n 是洗衣全过程结束后衣服上残存的脏物量，而x0是初始脏物量，故x n /x 0反映了洗净效果，由系统动态方程（2.1.4）可得：onX X =∏-=1n 0k [1-Q(1-k u C )LH L u k --] 又总用水量为：∑-=1n 0k ku于是可得优化模型如下： min∑-=1n 0k kus.t∏-=1n 0k [1-Q(1-k u C )LH L u k --]≤ε 0＜ε＜1 L ≤U k ≤H (k=0,1,2…,n-1)其中ε代表对洗净效果的要求，若令 v k =LH Lu k -- u k =(H-L)v k +L则优化模型成为更乘法的形式：min∑-=1n k k vs.t∏-=1n 0k (1-Qv k +B Av Qv k k+)≤ε0≤v k ≤1 (k=0,1,2…,n-1) 其中 A=CL H -=B （LH -1），B=CL3分析与求解 3.1最少洗衣轮数 定义函数 r(t)=1-Qt+BAt Qt+ 0≤t ≤1易知 r ＇(t)=Q[2)B At (B +-1]<0 0≤t ≤1可见r(t)是区间[0,1]上的单调减函数，所以 r min =r(1)=1-Q+HQC ∈（0，1）第K 轮的洗净效果为k1k X X +=r(v k ) (k=0,1,2…,n-1)由此不难得出n 轮洗完后洗净效果最多可达到： [1-Q+HQC ]n给定洗净效果的要求ε则应有 [1- Q+HQC ]n≤ε 于是：n ≥)HQCQ -log(1log +ε若考虑Q 的值不大于0.99（见6注记）而C/H 代表脱水后衣服上的尚存水量与最高水量之比，其数量级应是很小的，所以 1-Q+HQC ≈1-Q比如C/H 小于万分之一,则QC/H<C/H<10-4，1-Q ≥1-0.99=10-2这样最少洗衣轮数的估值为 n ≥Q)-log(1log ε设N 0为满足（3.1.9）的最小整数，表-3.1.1给出了洗净效果要求为千分之一和万分之一的时的N 0-Q 关系表-3.1.1选用一种非线性规划算法，对n=N 0 , N 0+1,N 0+2,…(凭常识洗衣的轮数不应太多，比如可取N=10)分别求解，然后选出最好的结果，其中N 0是满足（3.1.7）或（3.1.9）的最小整数注意不必使用混合整数非线性规划算法，那将使问题复杂化。

目录1996年全国大学生数学建模竞赛题目 (2)A题最优捕鱼策略 (2)B题节水洗衣机 (2)1997年全国大学生数学建模竞赛题目 (3)A题零件的参数设计 (3)B题截断切割 (4)1998年全国大学生数学建模竞赛题目 (5)A题投资的收益和风险 (5)B题灾情巡视路线 (6)1999创维杯全国大学生数学建模竞赛题目 (7)A题自动化车床管理 (7)B题钻井布局 (8)C题煤矸石堆积 (9)D题钻井布局（同 B 题） (9)2000网易杯全国大学生数学建模竞赛题目 (10)A题 DNA分子排序 (10)B题钢管订购和运输 (12)C题飞越北极 (15)D题空洞探测 (15)2001年全国大学生数学建模竞赛题目 (17)A题血管的三维重建 (17)B题公交车调度 (18)C题基金使用计划 (20)D题公交车调度 (20)2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (21)A题车灯线光源的优化设计 (21)B题彩票中的数学 (21)C题车灯线光源的计算 (23)D题赛程安排 (23)2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (24)A题 SARS的传播 (24)B题露天矿生产的车辆安排 (28)C题 SARS的传播 (29)D题抢渡长江 (30)2004高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (31)A题奥运会临时超市网点设计 (31)B题电力市场的输电阻塞管理 (35)C题饮酒驾车 (39)D题公务员招聘 (39)2005高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (42)A题: 长江水质的评价和预测 (42)B题： DVD在线租赁 (43)C题雨量预报方法的评价 (44)D题： DVD在线租赁 (45)2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (46)A题:出版社的资源配置 (46)B题: 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 (46)C题: 易拉罐形状和尺寸的最优设计 (47)D题: 煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制 (48)2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (53)A题：中国人口增长预测 (53)2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (56)A题数码相机定位 (56)B题高等教育学费标准探讨 (57)C题地面搜索....................................................................................................... 错误!未定义书签。

全国数学建模大赛历年题目分析以及参赛成功方法数学建模竞赛的赛题分析1. CUMCM历年赛题简析2. “彩票中的数学”问题3. 长江水质的评估、预测与控制问题4. 煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制问题5. 其他几个数学建模的问题数学建模竞赛的规模越来越大,水平越来越高；竞赛的水平主要体现在赛题水平；赛题的水平主要体现：（１）综合性、实用性、创新性、即时性等；（２）多种解题方法的创造性、灵活性、开放性等；（３）海量数据的复杂性、数学模型的多样性、求解结果的不唯一性等。

纵览16年的本科组32个题目(专科组13个)，从问题的实际意义、解决问题的方法和题型三个方面作一些简单的分析。

一、CUMCM历年赛题的简析1. CUMCM 的历年赛题浏览：1992年:(Ａ)作物生长的施肥效果问题(北理工：叶其孝）(B)化学试验室的实验数据分解问题（复旦：谭永基）1993年:(Ａ)通讯中非线性交调的频率设计问题（北大:谢衷洁）(Ｂ)足球甲级联赛排名问题（清华：蔡大用）1994年:(Ａ)山区修建公路的设计造价问题（西电大：何大可）(Ｂ)锁具的制造、销售和装箱问题（复旦:谭永基等）1995年:(Ａ)飞机的安全飞行管理调度问题（复旦:谭永基等）(Ｂ)天车与冶炼炉的作业调度问题（浙大:刘祥官等）一、CUMCM历年赛题的简析1. CUMCM 的历年赛题浏览：1996年:(A)最优捕鱼策略问题（北师大：刘来福）(B)节水洗衣机的程序设计问题（重大：付鹂）1997年:(A)零件参数优化设计问题（清华：姜启源）(B)金刚石截断切割问题（复旦：谭永基等）1998年:(A)投资的收益和风险问题（浙大：陈淑平）(B)灾情的巡视路线问题（上海海运学院:丁颂康）1999年:(A)自动化机床控制管理问题（北大：孙山泽）(B)地质堪探钻井布局问题（郑州大学：林诒勋）(C)煤矸石堆积问题（太原理工大学：贾晓峰）一、CUMCM历年赛题的简析1.CUMCM 的历年赛题浏览：2000年:(A)DNA序列的分类问题（北工大：孟大志）(B)钢管的订购和运输问题（武大：费甫生）(C)飞越北极问题（复旦：谭永基）(D)空洞探测问题（东北电力学院：关信）2001年:(A)三维血管的重建问题（浙大：汪国昭）(B)公交车的优化调度问题（清华：谭泽光）(C)基金使用计划问题（东南大学：陈恩水）2002年:(A)汽车车灯的优化设计问题（复旦:谭永基等）(B)彩票中的数学问题（信息工程大学：韩中庚）(D) 球队的赛程安排问题（清华大学：姜启源）一、CUMCM历年赛题的简析1.CUMCM 的历年赛题浏览2003年:(A)SARS的传播问题（集体）(B)露天矿生产的车辆安排问题（吉林大：方沛辰）(D)抢渡长江问题（华中农大：殷建肃）2004年:(A)奥运会临时超市网点设计问题(北工大：孟大志)(B)电力市场的输电阻塞管理问题(浙大:刘康生）(C)酒后开车问题（清华大学：姜启源）(D)公务员的招聘问题（信息工程大学：韩中庚）2005年:(A)长江水质的评价与预测问题（信息工大:韩中庚）(B)DVD在线租赁问题（清华大学：谢金星等）(C) 雨量预报方法的评价问题（复旦：谭永基）一、CUMCM历年赛题的简析1.CUMCM 的历年赛题浏览2006年:(A)出版社的资源管理问题（北工大:孟大志）(B)艾滋病疗法的评价及预测问题（天大：边馥萍）(C)易拉罐形状和尺寸的设计问题（北理工：叶其孝）(D)煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制问题（信息工程大学：韩中庚）2007年:(A)中国人口增长预测问题（清华大学:唐云）(B)“乘公交，看奥运”问题（吉大：方沛辰，国防科大：吴孟达）(C)“手机套餐”优惠几何问题(信息工程大学:韩中庚)(D)体能测试时间的安排问题(首都师大:刘雨林)一、CUMCM历年赛题的简析一、CUMCM历年赛题的简析1.CUMCM 的历年赛题浏览2001年夏令营三个题:(A)三峡工程高坡开挖优化设计(三峡大学:李建林等）(B)城市交通拥阻的分析与治理(北京理工大学:叶其孝）(C)乳房癌的诊断问题（复旦大学:谭永基）2006年夏令营三个题:(A)教材出版业的市场调查、评估和预测方法问题（北工大:孟大志）(B)铁路大提速下的京沪线列车调度问题（信息工程大学:韩中庚）(C)旅游需求的预测预报问题（北京理工：叶其孝）2、从问题的实际意义分析32个问题从实际意义分析大体上可分为：工业、农业、工程设计、交通运输、经济管理、生物医学和社会事业等七个大类。

1992—2008年全国大学生数学建模竞赛获奖论文序号年份试题名称11992A题施肥效果分析（论文下载地址）B题试验数据分解（论文下载地址）21993A题非线性交调的频率设计（论文下载地址）B题足球队排名次（论文下载地址）31994A题逢山开路（论文下载地址）B题锁具装箱（论文下载地址）41995A题一个飞行管理问题（论文下载地址）B题天车与冶炼炉的作业调度（论文下载地址）51996A题最优捕鱼策略（论文下载地址）B题节水洗衣机（论文下载地址）61997A题零件的参数设计（论文下载地址）B题截断切割（论文下载地址）71998A题投资的收益和风险（论文下载地址）B题灾情巡视路线（论文下载地址）81999A题自动化车床管理（论文下载地址）B题钻井布局（论文下载地址）C题煤矸石堆积（论文下载地址）D题钻井布局（论文下载地址）92000B题钢管订购和运输（论文下载地址）C题飞跃北极（论文下载地址）D题空洞探测（论文下载地址）102001A题血管的三维重建（论文下载地址）B题公交车调度（论文下载地址）C题基金使用计划（论文下载地址）D题公交车调度（论文下载地址）112002A题车灯线光源的优化设计（论文下载地址）B题彩票中数学（论文下载地址）C题车灯线光源的计算（论文下载地址）D题赛程安排（论文下载地址）122003A题 SARS的传播（论文下载地址）B题露天矿生产的车辆安排（论文下载地址）C题 SARS的传播（论文下载地址）D题抢度长江（论文下载地址）132004A题奥运会临时超市网点设计（论文下载地址）B题电力市场的输电阻塞管理（论文下载地址）C题饮酒驾车（论文下载地址）D题公务员招聘（论文下载地址）142005A题长江水质的评价和预测（论文下载地址）B题 DVD在线租赁（论文下载地址）C题雨量预报方法的评价（论文下载地址）152006A题出版社的资源配置（论文下载地址）B题艾滋病疗法的评价及疗效的预测（论文下载地址）C题易拉罐形状和尺寸的最优设计（论文下载地址）D题煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制（论文下载地址）162007A题中国人口增长预测（论文下载地址）B题乘公交，看奥运（论文下载地址）C题手机“套餐”优惠几何（论文下载地址）D题体能测试时间安排（论文下载地址）172008A题数码相机定位（论文下载地址【1】【2】）B题高等教育学费标准探讨（下载地址【1】【2】）C题地面搜索（论文下载地址）D题 NBA赛程的分析与评价（论文下载地址）。

1996年全国大学生数学建模竞赛B题节水洗衣机问题数学建模1.原问题我国淡水资源有限节约用水人人有责洗衣在家庭用水中占有相当大的份额目前洗衣机已非常普及节约洗衣机用水十分重要假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为加水漂水脱水加水漂水脱水…加水漂水脱水称加水漂水脱水为运行一轮请为洗衣机设计一种程序包括运行多少轮每轮加水量等使得在满足一定洗涤效果的条件下总用水量最少选用合理的数据进行计算对照目前常用的洗衣机的运行情况对你的模型和结果作出评价2问题剖析2.1节水洗衣问题不论人工洗衣还是洗衣机洗衣都存在节水问题显然若用水量为零则衣服肯定洗不净若用水量为无穷大则肯定浪费水因此必然存在刚好洗净衣物的最少用水量机器能够比人更精确地控制洗衣过程所以提出节水洗衣机问题2.2洗衣机的基本原理和过程洗衣的基本原理就是将吸附在衣物上的污物溶于水中通过脱去污水而带走污物溶污物脱污水是由两个根本要素构成的一个元动作无论是如何精心设计的洗衣方式和程序都是以此为基础的洗衣的过程就是通过加水来实现上述溶污物脱污水动作的反复执行使得残留在衣物上的污物越来越少直到满意的程度通常洗衣要加入洗涤剂它帮助溶解污物但是洗涤剂本身也是不能留在衣物上的东西因此污物应是衣物上原有污物与洗涤剂的总和有了这种认识后我们就可以统一地处理洗涤即通常加洗涤剂的首轮洗衣和漂洗即通常的以后各轮洗衣不再加洗涤剂但水中还有剩余洗涤剂把二者都看作溶污物环节脱污水在洗衣机中通常称为脱水常由排水和甩干两个步骤组成2.3 节水洗衣机要点分析立足于溶污物脱污水这种基本原理我们可以找出节水洗衣机问题的基本要点如下1污物的溶解情况如何我们将用溶解特性来刻划2每轮脱去污水后污物减少情况如何这将由系统的动态方程表示3如何设计由一系列溶污物脱污水构成的节水洗衣程序这将通过用水程序来反映也是我们最终需要的结果3节水洗衣机问题建模3.1基本假设1) 仅考虑离散的洗衣方案即加水溶污物脱污水以下称为加水洗涤脱水三个环节是分离的这三个环节构成一个洗衣周期称为一轮2) 每轮用水量不能低于L 否则洗衣机无法转动用水量不能高于H 否则会溢出设L<H3)每轮的洗涤时间是足够的以便衣物上的污物充分溶入水中从而使每轮所用的水被充分利用4 )每轮的脱水时间是足够的以使污水脱出即让衣物所含的污水量达到一个低限设这个低限是一个大于0的常数C 设C<L注 除首轮外每轮的用水量实际上包括该轮加水量和衣物中上轮脱水后残留的水量即残留水被自然地利用了 32变量定义1设共进行n 轮加水洗涤脱水的过程依次为第0轮第1轮第n-1轮2第k 轮用水量为u k k =012n-13 衣物上的初始污物量为x 0在第k 轮脱水后仍吸附在衣物上的污物量为x k+1k=012n-1 33溶解特性和动态方程第k 轮洗涤之后和脱水之前第k-1轮脱水之后的污物量x k 已成为两部分x k =p k +q k ,k=012n-1, (3.3.1) 其中p k 表示已溶入水中的污物q k 表示尚未溶入水中的污物量p k 与第k 轮的加水量u k 有关总的规律是u k 越大p k 越大且当u k =L 时p k 最小=0因为此时洗衣机处于转动临界点有可能无法转动该轮洗衣无效当u k =H 时p k 最大=Qx k 0<Q<1,其中Q 称为溶解率因此简单地选用线性关系表示这种溶解特性则有LH L u Qx p k k k −−= (3.3.2) 在第k 轮脱水之后衣物上尚有污物q k =x k -p k 有污水C 其中污水C 中所含污物量为p k /uk C 于是第k 轮完成之后衣物上尚存的污物总量为k k k k k u p Cp x x +−=+)(13.3.3 将 3.3.2代入上式并整理后得系统动态方程.1,,2,1,0 ,111−=−− −−=+n k L H L u u C Q x x k k k k K (3.3.4) 3.4优化模型由于x n 是洗衣全过程结束后衣服上最终残留的污物量而x 0是初始污物量故x n /x 0反映了洗净效果由系统动态方程 3.3.4得,11100 −−−−=∏−=L H L u u C Q x x k k n k n3.4.1 又总用水量为∑−=10n k k u3.4.2于是可得优化模型如下)1,,2,1,0( ,10 ,11..min 1010−=≤≤<<≤ −−−−∏∑−=−=n k H u L L H L u u C Q t s u k n k k k n k kL εε3.4.3其中代表对洗净效果的要求ε若令(3.4.5) ,)( (3.4.4) ,L v L H u LH L u v k k k k +−=−−=则 于是优化模型化为更简洁的形式1,,2,1,0 ,10 ,1..min 1010−=≤≤≤++−∏∑−=−=n k v B Av Qv Qv t s v k n k k k k n k kL ε3.4.6 其中C L B L H B C L H A =−=−= ,1 (3.4.7) 4.分析与求解4.1最少洗衣轮数定义函数10 ,1)(≤≤++−=t BAt Qt Qt t r (4.1.1) 易知1,t 0 ,01)()(2≤≤<−+=′B At B Q t r (4.1.2) 可见r(t)是区间[01]上的单调减少函数所以)1,0(1)1(min ∈+−==H QC Q r r4.1.3第k 轮的洗净效果为 1,,2,1,0 ),(1−==+n k v r x x k kk L4.1.4 由此不难得出n 轮洗完后洗净效果最多可达到n H QC Q+−14.1.5 给定洗净效果的要求则应有 εε≤+−n H QC Q 1 (4.1.6) 于是+−≥H QC Q n 1log log ε(4.1.7)设N 0为满足(4.1.7)的最小整数则最少洗衣轮数即为N 04.2算法 可采用非线性规划算法对n=N 0N 0+1N 0+2…N 凭常识洗衣的轮数不应太多比如取N=10已足够进行枚举求解然后选出最好的结果其中N 0是满足(4.1.7)的最小整数。