2019版高考数学一轮复习第九章解析几何课时达标检测(四十二)直线与圆圆与圆的位置关系理

课时达标检测（四十四） 直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线y ＝ax ＋1与圆x 2＋y 2－2x －3＝0的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交C ．相离D ．随a 的变而变解析：选B 因为直线y ＝ax ＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x －1)2＋y 2＝4的内部，故直线与圆相交．2．(2017·西安模拟)直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R)与圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定 解析：选 B x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0为圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝9，故圆心坐标为(1，－1)，半径r ＝3，圆心到直线的距离d ＝a ＋－a －＋2a |a ＋2＋a －2＝|2a ＋2|2a 2＋2.则r 2－d 2＝9－4a 2＋8a ＋42a 2＋2＝7a 2－4a ＋7a 2＋1，而7a 2－4a ＋7＝0的判别式Δ＝16－196＝－180<0，即7a 2－4a ＋7>0恒成立，故有r 2>d 2，即d <r ，故直线与圆相交．3．平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( )A ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0D ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0解析：选A ∵所求直线与直线2x ＋y ＋1＝0平行，∴设所求的直线方程为2x ＋y ＋m ＝0.∵所求直线与圆x 2＋y 2＝5相切，∴|m |1＋4＝5，∴m ＝±5.即所求的直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0.4．过点(－2,3)的直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相交于A ，B 两点，则|AB |取得最小值时l 的方程为( )A ．x －y ＋5＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －5＝0D ．2x ＋y ＋1＝0解析：选A 由题意得圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，则圆心C (－1,2)．过圆心与点(－2,3)的直线l 1的斜率为k ＝3－2－2－－＝－1.当直线l 与l 1垂直时，|AB |取得最小值，故直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为y －3＝x －(－2)，即x －y ＋5＝0.5．若圆x 2＋y 2＋mx －14＝0与直线y ＝－1相切，其圆心在y 轴的左侧，则m ＝________.解析：圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m 22＋y 2＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫m 2＋122，圆心到直线y ＝－1的距离m 2＋12＝|0－(－1)|，解得m ＝±3，因为圆心在y 轴的左侧，所以m ＝ 3.答案： 3一、选择题1．直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切，则a 的值为( )A．3 B．2 2C．3或－5 D．－3或5解析：选C 因为(x－a)2＋(y－3)2＝8的圆心为(a,3)，半径为22，所以由直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切，知圆心到直线的距离等于半径，所以|a－3＋4|12＋－2＝22，即|a＋1|＝4，解得a＝3或－5.2．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为(－2,3)，则直线l的方程为( )A．x＋y－3＝0 B．x＋y－1＝0C．x－y＋5＝0 D．x－y－5＝0解析：选C 设直线的斜率为k，又弦AB的中点为(－2,3)，所以直线l的方程为kx－y＋2k＋3＝0，由x2＋y2＋2x－4y＋a＝0得圆的圆心坐标为(－1,2)，所以圆心到直线的距离为－1＋2＋－2＝2，所以|－k－2＋2k＋3|k2＋1＝2，解得k＝1，所以直线l的方程为x－y＋5＝0.3．(2016·山东高考)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x ＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )A．内切 B．相交 C．外切 D．相离解析：选B 由题知圆M：x2＋(y－a)2＝a2(a＞0)，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝a2，所以2a2－a22＝22，解得a＝2.圆M，圆N的圆心距|MN|＝2，两圆半径之差为1，两圆半径之和为3，故两圆相交．4．圆心在直线x －y －4＝0上，且经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0B ．x 2＋y 2－x ＋7y －16＝0C ．x 2＋y 2－4x ＋4y ＋9＝0D ．x 2＋y 2－4x ＋4y －8＝0解析：选 A 设经过两圆的交点的圆的方程为x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0，即x 2＋y 2＋61＋λx ＋6λ1＋λy －4＋28λ1＋λ＝0，其圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－31＋λ，－3λ1＋λ，又圆心在直线x －y －4＝0上，所以－31＋λ＋3λ1＋λ－4＝0，解得λ＝－7，故所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.5．已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210解析：选C 由于直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，∴圆心C (2,1)在直线x ＋ay －1＝0上，∴2＋a －1＝0，∴a ＝－1，∴A (－4，－1)．∴|AC |2＝36＋4＝40.又r ＝2，∴|AB |2＝40－4＝36. ∴|AB |＝6.6．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．9解析：选D 圆C 1的标准方程为(x ＋2a )2＋y 2＝4，其圆心为(－2a,0)，半径为2；圆C 2的标准方程为x 2＋(y －b )2＝1，其圆心为(0，b )，半径为1.因为圆C 1和圆C 2只有一条公切线，所以圆C 1与圆C 2相内切，所以－2a －2＋－b2＝2－1，得4a 2＋b 2＝1，所以1a 2＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2(4a 2＋b 2)＝5＋b 2a 2＋4a2b2≥5＋2b 2a 2·4a 2b2＝9，当且仅当b 2a 2＝4a 2b 2，且4a 2＋b 2＝1，即a 2＝16，b 2＝13时等号成立．所以1a 2＋1b2的最小值为9.二、填空题7．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与 x 轴的交点，且圆C 与圆(x －2)2＋(y －3)2＝8相外切，则圆C 的方程为________．解析：由题意知圆心C (－1,0)，其到已知圆圆心(2,3)的距离 d ＝32，由两圆相外切可得R ＋22＝d ＝32，即圆C 的半径R ＝2，故圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.答案：(x ＋1)2＋y 2＝28．圆x 2＋y 2＋2y －3＝0被直线x ＋y －k ＝0分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为1∶3，则k ＝________.解析：由题意知，圆的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4.较短弧所对圆心角是90°，所以圆心(0，－1)到直线x ＋y －k ＝0的距离为22r＝ 2.即|1＋k |2＝2，解得k ＝1或－3.答案：1或－39．已知圆C ：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧AB 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是________．解析：因为圆C 与两轴相切，且M 是劣弧AB 的中点，所以直线CM 是第二、四象限的角平分线，所以斜率为－1，所以过M 的切线的斜率为 1.因为圆心到原点的距离为2，所以|OM |＝2－1，所以M ⎝⎛⎭⎪⎪⎫22－1，1－22，所以切线方程为y －1＋22＝x －22＋1，整得x－y ＋2－2＝0.答案：x －y ＋2－2＝010．过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是________．解析：由题意知，当∠ACB 最小时，圆心C (3,4)到直线l 的距离达到最大，此时直线l 与直线CM 垂直，又直线CM 的斜率为4－23－1＝1，所以直线l 的斜率为－11＝－1，因此所求的直线l 的方程是y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝0 三、解答题11．(2016·河南中原名校第三次联考)已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝1，直线l 的方程为2x －y ＝0，点P 在直线l 上，过点P 作圆C 的切线PA ，PB ，切点为A ，B .(1)若∠APB ＝60°，求点P 的坐标；(2)求证：经过A ，P ，C (其中点C 为圆C 的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．解：(1)由条件可得圆C 的圆心坐标为(0,4)，PC ＝2，设P (a ，2a )，则a 2＋a －2＝2，解得a ＝2或a ＝65，所以点P 的坐标为(2,4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫65，125.(2)证明：设P (b,2b )，过点A ，P ，C 的圆即是以PC 为直径的圆，其方程为x (x －b )＋(y －4)(y －2b )＝0，整得x 2＋y 2－bx －4y －2by ＋8b ＝0，即(x 2＋y 2－4y )－b (x ＋2y －8)＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4y ＝0，x ＋2y －8＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝165，∴该圆必经过定点(0,4)和⎝ ⎛⎭⎪⎫85，165.12．(2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程；(3)设点T (t,0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA ＋TP ＝TQ ，求实t 的取值范围．解：圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25， 所以圆心M (6,7)，半径为5.(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)．因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0＜y 0＜7，圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ， 即2x －y ＋m ＝0， 则圆心M 到直线l 的距离 d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5.因为BC ＝OA ＝22＋42＝25，而MC 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22，所以25＝m ＋25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0. (3)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．因为A (2,4)，T (t,0)，TA ＋TP ＝TQ ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 1＋2－t ，y 2＝y 1＋4.①因为点Q 在圆M 上，所以(x 2－6)2＋(y 2－7)2＝25.② 将①代入②，得(x 1－t －4)2＋(y 1－3)2＝25.于是点P (x 1，y 1)既在圆M 上，又在圆2＋(y －3)2＝25上，从而圆(x －6)2＋(y －7)2＝25与圆2＋(y －3)2＝25有公共点，所以5－5≤t ＋－6]2＋－2≤5＋5，解得2－221≤t ≤2＋221. 因此，实t 的取值范围是．。

§9.3直线与圆、圆与圆的位置关系考纲解读分析解读 1.能够根据给定直线和圆的方程,选用代数或几何方法,判断直线和圆、圆与圆的位置关系.2.会根据圆的切线方程、公共弦方程及弦长等有关知识解决有关直线与圆的问题.3.灵活运用数形结合的方法.4.本节在高考中以位置关系、弦长问题为主,分值约为5分,属中档题.五年高考考点一直线与圆的位置关系1.(2017课标全国Ⅱ,9,5分)若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为( )A.2B.C.D.答案 A2.(2016课标全国Ⅱ,4,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )A.-B.-C.D.2答案 A3.(2016课标全国Ⅲ,16,5分)已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=2,则|CD|= .答案 44.(2014课标Ⅱ,16,5分)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是.答案[-1,1]教师用书专用(5—11)5.(2015重庆,8,5分)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=( )A.2B.4C.6D.2答案 C6.(2015四川,10,5分)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是( )A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)答案 D7.(2015广东,5,5分)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是( )A.2x+y+5=0或2x+y-5=0B.2x+y+=0或2x+y-=0C.2x-y+5=0或2x-y-5=0D.2x-y+=0或2x-y-=0答案 A8.(2015山东,9,5分)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( )A.-或-B.-或-C.-或-D.-或-答案 D9.(2015江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.答案(x-1)2+y2=210.(2014湖北,12,5分)直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则a2+b2= .答案 211.(2014重庆,13,5分)已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a= .答案4±考点二圆与圆的位置关系1.(2013重庆,7,5分)已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( )A.5-4B.-1C.6-2D.答案 A2.(2013江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.解析(1)由题意知,圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在.设过A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3,由题意得,=1,解得k=0或-,故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.(2)因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1.设点M(x,y),因为MA=2MO,所以=2,化简得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.因为点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则|2-1|≤CD≤2+1,即1≤≤3.由5a2-12a+8≥0,得a∈R;由5a2-12a≤0,得0≤a≤.所以点C的横坐标a的取值范围为.教师用书专用(3)3.(2015湖北,14,5分)如图,圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的方程为;(2)过点A任作一条直线与圆O:x2+y2=1相交于M,N两点,下列三个结论:①=;②-=2;③+=2.其中正确结论的序号是.(写出所有正确结论的序号)答案(1)(x-1)2+(y-)2=2 (2)①②③三年模拟A组2016—2018年模拟²基础题组考点一直线与圆的位置关系1.(2018福建龙岩月考,8)已知两点M(-1,0),N(1,0),若直线y=k(x-2)上至少存在三个点P,使得△MNP是直角三角形,则实数k的取值范围是( )A. B.C.∪D.∪答案 D2.(2017福建漳州八校4月联考,7)已知点P(a,b)(ab≠0)是圆x2+y2=r2内的一点,直线m是以P为中点的弦所在的直线,直线l的方程为ax+by=r2,那么( )A.m∥l,且l与圆相交B.m⊥l,且l与圆相切C.m∥l,且l与圆相离D.m⊥l,且l与圆相离答案 C3.(2017安徽江南十校联考,6)直线l:x-y+m=0与圆C:x2+y2-4x-2y+1=0恒有公共点,则m的取值范围是( )A.[-,]B.[-2,2]C.[--1,-1]D.[-2-1,2-1]答案 D4.(2016江苏常州溧阳期中,8)若圆x2+y2-4mx+(2m-3)y+4=0截直线2x-2y-3=0所得的弦最长,则实数m的值为.答案 1考点二圆与圆的位置关系5.(2018重庆模拟)已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=4,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为( )A.(x+2)2+(y-2)2=4B.(x-2)2+(y+2)2=4C.(x+2)2+(y+2)2=4D.(x-2)2+(y-2)2=4答案 B6.(2017福建福州模拟,6)已知点A(-2,0),B(2,0),若圆(x-3)2+y2=r2(r>0)上存在点P(不同于点A,B)使得PA⊥PB,则实数r的取值范围是( )A.(1,5)B.[1,5]C.(1,3]D.[3,5]答案 A7.(人教A必2,四,4-2A,9,变式)圆x2+y2+x-2y-20=0与圆x2+y2=25相交所得的公共弦长为.答案 48.(2016江苏常州溧阳期中,12)已知在平面直角坐标系中,点A(2,0),B(0,1)到直线l的距离分别为1,2,则这样的直线l共有____ 条.答案 3B组2016—2018年模拟²提升题组(满分:20分时间:30分钟)一、选择题(共5分)1.(2017河南洛阳二模,6)已知圆C的方程为x2+y2=1,直线l的方程为x+y=2,过圆C上任意一点P 作与l夹角为45°的直线交l于点A,则|PA|的最小值为( )A. B.1 C.-1 D.2-答案 D二、解答题(共15分)2.(2017河南部分重点中学联考,20)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4.(1)若直线过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为2,求直线的方程;(2)设P为平面直角坐标系内的点,满足:存在过点P的无穷多对相互垂直的直线,它们分别与圆C1和C2相交,且直线被圆C1截得的弦长与直线被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.解析(1)设所求直线为y=k(x-4),即kx-y-4k=0.由垂径定理得圆C1的圆心(-3,1)到直线kx-y-4k=0的距离d==1,即=1,解得k=0或-,所以直线的方程为y=0或7x+24y-28=0.(2)设点P的坐标为(m,n),过点P且互相垂直的两条直线分别为l1,l2,直线l1,l2的方程分别设为y-n=k(x-m),y-n=-(x-m),即kx-y+n-km=0,-x-y+n+=0,由题意得=,化简得(2-m-n)k=m-n-3或(m-n+8)k=m+n-5,易知关于k的方程有无穷多解,由或得点P的坐标为或.C组2016—2018年模拟²方法题组方法1 解决直线与圆位置关系问题的方法1.(2017山西太原4月模拟,6)已知圆C:x2+y2=1,直线l:y=k(x+2),在[-1,1]上随机选取一个数k,则事件“直线l与圆C相离”发生的概率为( )A. B. C. D.答案 C2.(2018福建福州质检,14)若直线l:x+y=5与曲线C:x2+y2=16交于两点A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1y2+x2y1的值为.答案16方法2 圆与圆的位置关系问题的解决策略3.(2018辽宁鞍山模拟,15)已知A(-3,0),圆C:(x-a-1)2+(y-a)2=1上存在点M满足|MA|=2|MO|,则实数a的取值范围为.答案∪4.(2017河南郑州一模,15)若☉O:x2+y2=5与☉O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是.答案 4方法3 解决与圆有关的切线和弦长问题的方法5.(2017安徽安庆二模,8)自圆C:(x-3)2+(y+4)2=4外一点P(x,y)引该圆的一条切线,切点为Q,PQ的长度等于点P到原点O的距离,则点P的轨迹方程为( )A.8x-6y-21=0B.8x+6y-21=0C.6x+8y-21=0D.6x-8y-21=0答案 D6.(2017河北石家庄一模,9)若a,b是正数,直线2ax+by-2=0被圆x2+y2=4截得的弦长为2,则t=a 取得最大值时a的值为( )A. B. C. D.答案 D7.(2017湖北宜昌月考,18)已知圆M的圆心M在x轴上,半径为1,直线l:y=x-被圆M所截得的弦长为,且圆心M在直线l的下方.(1)求圆M的方程;(2)设A(0,t),B(0,t+6)(-5≤t≤-2),若圆M是△ABC的内切圆,求△ABC的面积S的最大值和最小值.解析(1)设圆心M(a,0),由已知,得圆心M到l:8x-6y-3=0的距离为=,∴=,又∵M在l的下方,∴8a-3>0,∴8a-3=5,a=1,故圆M的方程为(x-1)2+y2=1.(2)由题意可知直线AC,BC的斜率存在.设AC的斜率为k1,BC的斜率为k2,易知k1>k2,则直线AC的方程为y=k1x+t,直线BC的方程为y=k2x+t+6.由方程组得C点的横坐标为x c=,∵|AB|=t+6-t=6,∴S=²6=,由于圆M与AC相切,所以1=,∴k1=;同理,k2=,∴k1-k2=,∴S==6,∵-5≤t≤-2,∴-2≤t+3≤1,∴-8≤t2+6t+1≤-4,∴S max=6³=,S min=6³=.。

课时规范练42 直线与圆、圆与圆的位置关系基础巩固组1.(2019吉林长春二模,4)已知直线x+y=0与圆(x-1)2+(y-b)2=2相切,则b=()A.-3B.1C.-3或1D.522.(2019河南八市联考,6)已知圆x2+y2-2x+2y+a=0截直线x+y-4=0所得弦的长度小于6,则实数a 的取值范围为()A.(2-√17,2+√17)B.(2-√17,2)C.(-15,+∞)D.(-15,2)3.已知直线l:y=-ax+a是圆C:(x-2)2+(y-1)2=4的一条对称轴,过点A4a ,1a作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=()A.4√2B.6C.√38D.2√104.与直线x-y-4=0和圆x2+y2+2x-2y=0都相切的半径最小的圆的方程是()A.(x+1)2+(y+1)2=2B.(x-1)2+(y+1)2=4C.(x-1)2+(y+1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=45.(2019山东日照联考,8)过点P(1,1)的直线l将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分为两部分,其面积分别为S1,S2,当|S1-S2|最大时,直线l的方程是()A.x+y-2=0B.x+y+2=0C.x-y-2=0D.x+y-1=06.已知圆C:x2+y2-2x+4y=0关于直线3x-ay-11=0对称,则圆C中以a4,-a4为中点的弦长为()A.1B.2C.3D.47.(2019安徽合肥模拟,8)已知直线l:x-√3y-a=0与圆C:(x-3)2+(y+√3)2=4交于点M,N,点P在圆C上,且∠MPN=π3,则实数a的值等于()A.2或10B.4或8C.6±2√2D.6±2√38.(2019江苏苏锡常镇四市调查(二),7)过直线l:y=x-2上任意点P作圆C:x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,当切线长最小时,△PAB的面积为.9.(2019湖北十堰调研,15)已知圆M:(x-6)2+(y-6)2=16,点A(8,4),过点A的动直线与圆M交于P,Q 两点,线段PQ的中点为N,O为坐标原点,则△OMN面积的最大值为.10.已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r,若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1),则m=,r=.综合提升组11.(多选)对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下:若两直线中至少有一条与圆相切,则称该位置关系为“平行相切”;若两直线都与圆相离,则称该位置关系为“平行相离”;否则称为“平行相交”.已知直线l1:ax+3y+6=0,l2:2x+(a+1)y+6=0与圆C:x2+y2+2x=b2-1(b>0)的位置关系是“平行相交”,则实数b的取值可以是()A.1B.2C.3D.412.(2019内蒙古呼和浩特调研,9)过坐标轴上一点M(x0,0)作圆C:x2+(a-12)2=1的两条切线,切点分别为A、B.若|AB|≥√2,则x0的取值范围是()A.(-∞,-√52]∪[√52,+∞)B.(-∞,-√3]∪[√3,+∞)C.(-∞,-√72]∪[√72,+∞)D.(-∞,-2]∪[2,+∞)13.(2019北京朝阳区模拟,14)已知圆C:(x-2)2+y2=2,直线l:y=kx-2,若直线l上存在点P,过点P 引圆的两条切线l1,l2,使得l1⊥l2,则实数k的取值范围是.14.已知圆O:x2+y2=4上一动点A,过点A作AB⊥x轴,垂足为B,AB中点为P.(1)当A在圆O上运动时,求点P的轨迹E的方程;(2)过点F(-√3,0)的直线l与E交于M,N两点,当|MN|=2时,求线段MN的垂直平分线方程.创新应用组15.(2019江苏泰州模拟,10)在平面直角坐标系xOy中,过圆C1:(x-k)2+(y+k-4)2=1上任一点P作圆C2:x2+y2=1的一条切线,切点为Q,则当线段PQ长最小时,k=()A.2B.3C.2√2D.516.已知圆心为C的圆,满足下列条件:圆心C位于x轴正半轴上,与直线3x-4y+7=0相切,且被y轴截得的弦长为2√3,圆C的面积小于13.(1)求圆C的标准方程;(2)设过点M(0,3)的直线l与圆C交于不同的两点A,B,以OA,OB为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l,使得直线OD与MC恰好平行?如果存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由.参考答案课时规范练42直线与圆、圆与圆的位置关系=√2,则|1+b|=2,解得b=1或b=-3,故选C.1.C由圆心到切线的距离等于半径,得√222.D由题意知,圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2-a,则圆心为(1,-1),半径为√2-a,则2-a>0,解得a<2,=2√2,于是(√2-a)2-(2√2)2<32,解得a>-15,综上所述,a∈(-圆心到直线x+y-4=0的距离为d=√215,2),故选D.3.B∵直线l:y=-ax+a是圆C:(x-2)2+(y-1)2=4的一条对称轴,∴y=-ax+a过圆心C(2,1),∴1=-2a+a,解得a=-1,∴直线l的方程为y=x-1,A点坐标为(-4,-1),|AC|2=36+4=40,由勾股定理可得,|AB|2=|AC|2-r2=40-4=36,|AB|=6,故选B.4.C圆x2+y2+2x-2y=0的圆心坐标为(-1,1),半径为√2,过圆心(-1,1)与直线x-y-4=0垂直的直线方程为x+y=0,所求圆的圆心在此直线上,又圆心(-1,1)到直线x-y-4=0的距离为√2=3√2,则所求圆的半径为√2,设所求圆的圆心为(a,b),且圆心在直线x-y-4=0的左上方,则√2=√2,且a+b=0,解得a=1,b=-1(a=3,b=-3不符合题意,舍去),故所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.故选C.5.A因为点P坐标满足x2+y2≤4,所以点P在圆x2+y2=4内,因此,当OP与过点P的直线垂直时,|S1-S2|最大,此时直线OP的斜率为k OP=1-01-0=1,所以直线l的斜率为k=-1,因此,直线l的方程是y-1=-(x-1),整理得x+y-2=0.故选A.6.D∵圆C:x2+y2-2x+4y=0关于直线3x-ay-11=0对称,∴直线3x-ay-11=0过圆心C(1,-2),∴3+2a-11=0,解得a=4,∴a4,-a4即为(1,-1),点(1,-1)到圆心C(1,-2)的距离d=√(1-1)2+(-1+2)2=1,圆C:x2+y2-2x+4y=0的半径r=12√4+16=√5,∴圆C中以a4,-a4为中点的弦长为2√a2-a2=2√5-1=4.故选D.7.B由∠MPN=π3可得∠MCN=2∠MPN=2π3.在△MCN中,CM=CN=2,∠CMN=∠CNM=π6,可得点C(3,-√3)到直线MN,即直线l:x-√3y-a=0的距离为2sinπ6=1.所以√3×√3)√1+3=1,解得a=4或8.故选B.8.12依据题意作出图象,如下图:因为直线PA 过点P 且与圆x 2+y 2=1相切于点A ,所以PA ⊥OA ,所以PA=√aa 2-aa 2=√aa 2-1,要使得PA 最小,则OP 要最小,由题可得OP 的最小值就是点O 到直线l :y=x-2的距离d=√22=√2.此时,PA min =√aa min 2-1=√(√2)2-1=1,所以∠OPA=π4,由切线的对称性可得∠BPA=π2,PB=1,所以△PAB 的面积为S △PAB =12×1×1=12.9.12 由题可知MN ⊥PQ ,所以点N 在以线段AM 为直径的圆上,△OMN 的边|OM|=6√2,故当N 到直线OM 的距离最大时,△OMN 的面积最大,以线段AM 为直径的圆的圆心为(7,5),半径为√2,直线OM 的方程为x-y=0,点(7,5)到直线OM 的距离为√2=√2,所以N 到直线OM 的距离的最大值为2√2,故△OMN的面积的最大值为12×6√2×2√2=12.10.-2 √5 如图,由圆心与切点的连线与切线垂直,得a +12=-12,解得m=-2.因此圆心为(0,-2),则半径r=√(-2-0)2+(-1+2)2=√5.11.BCD 由已知得直线l 1:ax+3y+6=0与l 2:2x+(a+1)y+6=0平行,则a ×(a+1)=3×2,解得a=2或a=-3,当a=2时两直线方程相同,两直线重合,不合题意,a=-3时检验符合题意,故a=-3.此时两直线方程为x-y-2=0,x-y+3=0,C :x 2+y 2+2x=b 2-1(b>0)的方程配方整理得(x+1)2+y 2=b 2,圆心坐标为(-1,0),半径为b.据题意,平行相切包括一条相切,另一条相交、相切、相离均可,平行相离包括都相离的情况,因此其他情况即平行相交,也即是指两直线与圆都相交,当两直线与圆平行相切时,b=√2=32√2或b=√2=√2,当两直线与圆平行相离时,b<32√2且b<√2,即b<√2,故当两直线与圆平行相交时,b ≠32√2且b>√2.故选BCD .12.C 根据题意,C :x 2+(a -12)2=1,其圆心为(0,12),半径r=1,过点M 作圆的切线,切点为A ,B ,则MA ⊥AC ,MC ⊥AB ,则S △MAC =12×|MA|×|AC|=12×|MC|×|aa |2.又由|AC|=1,变形可得|AB|=2×|aa ||aa |,则有|aa ||aa |≥√22. 又由M (x 0,0),C (0,12),则|MC|2=a 02+14,|MA|2=|MC|2-1=a 02−34,即可得a 02-34a 02+14≥12,解可得x 0≤-√72或x 0≥√72,即x 0的取值范围是(-∞,-√72]∪[√72,+∞).故选C .13.[0,+∞) 圆心为C (2,0),半径r=√2,设P (x ,y ),因为两切线l 1⊥l 2,如下图,PA ⊥PB ,由切线性质定理,知PA ⊥AC ,PB ⊥BC ,PA=PB ,所以,四边形PACB 为正方形,所以|PC|=2,则点P 满足(x-2)2+y 2=4,即点P 的轨迹是以(2,0)为圆心,2为半径的圆.直线l :y=kx-2过定点(0,-2),直线方程即kx-y-2=0,只要直线与P 点的轨迹(圆)有交点即可,即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径,即d=√≤2,解得k ≥0,即实数k 的取值范围是[0,+∞).14.解(1)设P (x ,y ),则A (x ,2y ).将A (x ,2y )代入x 2+y 2=4得点P 的轨迹E 的方程为a 24+y 2=1(y ≠0).(2)由题意可设直线l 方程为x=my-√3,由{a =aa -√3,a 24+a 2=1,得(m 2+4)y 2-2√3my-1=0.所以{a 1+a 2=2√3aa 2+4,a 1·a 2=-1a 2+4.所以|AB|=√1+a 2|y 1-y 2|=√1+a 2√(a 1+a 2)2-4a 1·a 2=4(a 2+1)a 2+4=2.所以m=±√2.当m=√2时,中点纵坐标y 0=a 1+a 22=√66,代入x=my-1得中点横坐标x 0=-2√33,斜率为k=-√2.故线段MN 的垂直平分线方程为2x+√2y+√3=0.当m=-√2时,同理可得MN 的垂直平分线方程为2x-√2y+√3=0.所以线段MN 的垂直平分线方程为2x+√2y+√3=0或2x-√2y+√3=0.15.A 如图,因为PQ 为切线,所以PQ ⊥C 2Q ,由勾股定理,得|PQ|=√aa 22-1,要使|PQ|最小,则需|PC 2|最小,显然当点P 为C 1C 2与C 1的交点时,|PC 2|最小,此时,|PC 2|=|C 1C 2|-1,所以当|C 1C 2|最小时,|PC 2|就最小,|C 1C 2|=√a 2+(-a +4)2=√2(a -2)2+8≥2√2,当k=2时,|C 1C 2|最小,得到|PQ|最小,故选A .16.解(1)设圆C :(x-a )2+y 2=r 2(a>0),由题意知√22=a ,√a 2+3=a ,解得a=1或a=138.∵S=πr 2<13,∴a=1,∴圆C 的标准方程为(x-1)2+y 2=4.(2)不存在.理由如下,当斜率不存在时,直线l 为x=0,不满足题意.当斜率存在时,设直线l :y=kx+3,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),又l 与圆C 相交于不同的两点,联立得{a =aa +3,(a -1)2+a 2=4,消去y 得(1+k 2)x 2+(6k-2)x+6=0.∴Δ=(6k-2)2-24(1+k 2)=12k 2-24k-20>0,解得k<1-2√63或k>1+2√63.x 1+x 2=-6a -21+a 2,y 1+y 2=k (x 1+x 2)+6=2a +61+a 2,aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+x 2,y 1+y 2),aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-3),假设aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则-3(x 1+x 2)=y 1+y 2,解得k=34∉-∞,1-2√63∪1+2√63,+∞,假设不成立,∴不存在这样的直线l.。

课时跟踪检测（四十一） 直线与圆、圆与圆的位置关系一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·扬州期末)已知直线l ：x ＋3y －2＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，则弦AB 的长为________．解析：圆心C (0,0)到直线l 的距离d ＝|0＋3×0－2|1＋3＝1，所以AB ＝24－1＝23，故弦AB 的长为2 3.答案：2 32．已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是________．解析：圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a (a <2)，圆心C (－1,1)，半径r 满足r2＝2－a ，则圆心C 到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝2，所以r 2＝22＋(2)2＝2－a ⇒a ＝－4.答案：－43．已知过点P (m,1)的直线与圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋8＝0相交于点A ，B ，且AB ＝2的直线只有一条，则该直线的方程为________．解析：圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －3)2＝5，又AB ＝2的直线只有一条，所以点P 在圆C 内且该直线与直线CP 垂直，所以CP 2＋1＝5，解得CP ＝2，则(m －2)2＋4＝4，解得m ＝2，即P (2,1)，直线CP ：x ＝2，所以直线AB 的方程为y ＝1.答案：y ＝14．(2018·苏锡常镇调研)若直线3x ＋4y －m ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0始终有公共点，则实数m 的取值范围是________．解析：圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，故圆心到直线的距离d ＝|－3＋8－m |32＋42≤1. 即|m －5|≤5，解得0≤m ≤10. 答案：[0,10]5．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．解析：因为点A (1,2)在圆x 2＋y 2＝5上， 故过点A 的圆的切线方程为x ＋2y ＝5，令x ＝0，得y ＝52.令y ＝0，得x ＝5，故所求三角形的面积S ＝12×52×5＝254.答案：2546．若圆x 2＋y 2＋mx －14＝0与直线y ＝－1相切，其圆心在y 轴的左侧，则m ＝________.解析：圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m 22＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋122，圆心到直线y ＝－1的距离m 2＋12＝|0－(－1)|，解得m ＝±3，因为圆心在y 轴的左侧，所以m ＝ 3.答案： 3二保高考，全练题型做到高考达标1．若直线l ：y ＝kx ＋1(k ＜0)与圆C ：x 2＋4x ＋y 2－2y ＋3＝0相切，则直线l 与圆D ：(x －2)2＋y 2＝3的位置关系是________．解析：因为圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝2， 所以其圆心坐标为(－2,1)，半径为2， 因为直线l 与圆C 相切．所以|－2k －1＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝±1，因为k ＜0，所以k ＝－1， 所以直线l 的方程为x ＋y －1＝0. 圆心D (2,0)到直线l 的距离d ＝|2＋0－1|2＝22＜3， 所以直线l 与圆D 相交． 答案：相交2．(2018·苏州调研)两圆交于点A (1,3)和B (m,1)，两圆的圆心都在直线x －y ＋c2＝0上， 则m ＋c ＝________.解析：由题意可知线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋12，2在直线x －y ＋c 2＝0上，代入得m ＋c ＝3.答案：33．(2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在平面直角坐标系xOy 中，过点P (－2,0)的直线与圆x 2＋y 2＝1相切于点T ，与圆(x －a )2＋(y －3)2＝3相交于点R ，S ，且PT ＝RS ，则正数a 的值为________．解析：因为PT 与圆x 2＋y 2＝1相切于点T ，所以在Rt △OPT 中，OT ＝1，OP ＝2，∠OTP ＝π2，从而∠OPT ＝π6，PT ＝3，故直线PT 的方程为x ±3y ＋2＝0，因为直线PT 截圆(x－a )2＋(y －3)2＝3得弦长RS ＝3，设圆心到直线的距离为d ，则d ＝|a ±3＋2|2，又3＝23－d 2，即d ＝32，即|a ±3＋2|＝3，解得a ＝－8或a ＝－2或a ＝4，因为a >0，所以a ＝4.答案：44．(2018·无锡模拟)已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，线段EF 在直线l ：y ＝x ＋1上运动，点P 为线段EF 上任意一点，若圆C 上存在两点A ，B ，使得PA ―→·PB ―→≤0，则线段EF 长度的最大值是________．解析：由PA ―→·PB ―→≤0得∠APB ≥90°，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时，∠APB 才是最大的角，不妨设切线为PM ，PN ，当∠APB ≥90°时，∠MPN ≥90°，sin ∠MPC ＝2PC ≥sin 45°＝22，所以PC ≤2 2.另当过点P ，C 的直线与直线l ：y ＝x ＋1垂直时，PC min ＝322，以C 为圆心，CP ＝22为半径作圆交直线l 于E ，F 两点，这时的线段长即为线段EF 长度的最大值，所以EF max ＝222－⎝⎛⎭⎪⎫3222＝14.答案：145．(2018·镇江调研)若圆O ：x 2＋y 2＝5与圆O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R)相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是________．解析：如图，因为圆O 1与圆O 在A 处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，所以O 1A ⊥OA . 又因为OA ＝5，O 1A ＝25，所以OO 1＝5.又A ，B 关于OO 1对称，所以AB 为Rt △OAO 1斜边上高的2倍．由12·OA ·O 1A ＝12OO 1·AC ，得AC ＝2.所以AB ＝4. 答案：46．已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1相外切，则ab 的最大值为________．解析：由圆C 1与圆C 2相外切，可得a ＋b2＋－2＋2＝2＋1＝3，即(a ＋b )2＝9，根据基本不等式可知ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝94，当且仅当a ＝b ＝32时等号成立，故ab 的最大值为94.答案：947．(2018·苏北四市期末)已知A ，B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB ＝3，P 是圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的动点，则|PA ―→＋PB ―→|的取值范围为________．解析：如图，因为A ，B 是圆C1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB ＝3，所以线段AB 的中点H 在圆O ：x 2＋y 2＝14上，且|PA ―→＋PB ―→|＝2|PH ―→|.因为点P 是圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的动点，所以5－32≤|PH―→|≤5＋32，即72≤|PH ―→|≤132，所以7≤2|PH ―→|≤13，从而|PA ―→＋PB ―→|的取值范围为[7,13]．答案：[7,13]8．已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB ＝________.解析：由于直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，所以圆心C (2,1)在直线x ＋ay －1＝0上，所以2＋a －1＝0，所以a ＝－1，所以A (－4，－1)，所以AC 2＝36＋4＝40.又r ＝2，所以AB 2＝40－4＝36.所以AB ＝6.答案：69．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程． 解：(1)设圆心的坐标为C (a ，－2a )， 则a －2＋－2a ＋2＝|a －2a －1|2.化简，得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1. 所以C (1，－2)，半径r ＝|AC |＝－2＋－2＋2＝ 2.所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ，由题意得|k ＋2|1＋k2＝1，解得k ＝－34，所以直线l 的方程为y ＝－34x .综上所述，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y ＝0. 10．(2018·苏北四市一模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0及点A (－1,0)，B (1,2)． (1)若直线l ∥AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN ＝AB ，求直线l 的方程；(2) 在圆C 上是否存在点P ，使得PA 2＋PB 2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，请说明理由．解：(1)圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4， 所以圆心C (2,0)，半径为2. 因为l ∥AB ，A (－1,0)，B (1,2)， 所以直线l 的斜率为2－01－－＝1，设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0， 则圆心C 到直线l 的距离为d ＝|2＋m |2.因为MN ＝AB ＝22＋22＝22，而CM 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫MN 22，所以4＝＋m 22＋2，解得m ＝0或m ＝－4，故直线l 的方程为x －y ＝0或x －y －4＝0.(2)假设圆C 上存在点P ，设P (x ，y )，则(x －2)2＋y 2＝4，PA 2＋PB 2＝(x ＋1)2＋(y －0)2＋(x －1)2＋(y －2)2＝12，即x 2＋y 2－2y －3＝0，即x 2＋(y －1)2＝4. 因为|2－2|＜－2＋－2＜2＋2，所以圆(x －2)2＋y 2＝4与圆x 2＋(y －1)2＝4相交， 所以点P 的个数为2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·南通调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x －4)2＋(y －8)2＝1，圆C 2：(x －6)2＋(y ＋6)2＝9.若圆心在x 轴上的圆C 同时平分圆C 1和圆C 2的圆周，则圆C 的方程是________．解析：设圆C 的半径为r ，圆心坐标为C (a,0)．因为圆C 平分圆C 1的圆周，所以r 2＝CC 21＋1，同理可得r 2＝CC 22＋9，所以CC 21＝CC 22＋8，即(a －4)2＋82＝(a －6)2＋62＋8，解得a＝0，从而得 r 2＝CC 21＋1＝42＋82＋1＝81，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝81.答案：x 2＋y 2＝812．(2018·苏锡常镇调研)在平面直角坐标系xOy 中，过点M (1,0)的直线l 与圆x 2＋y2＝5交于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，且BM ―→＝2MA ―→，则直线l 的方程为__________．解析：法一：易知直线l 的斜率存在，设l ：y ＝k (x －1)．由BM ―→＝2MA ―→，可设BM ＝2t ，MA ＝t ，如图，过原点O 作OH ⊥l 于点H ，则BH ＝3t2.设OH ＝d ，在Rt △OBH 中，d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＝r 2＝5，在Rt △OMH 中，d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22＝OM 2＝1，解得d 2＝12.所以d 2＝k 2k 2＋1＝12，解得k ＝1或k ＝－1，因为点A 在第一象限，BM ―→＝2MA ―→，由图知k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以MA ―→＝(x 1－1，y 1)，BM ―→＝(1－x 2，－y 2)． 因为BM ―→＝2MA ―→，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＝x 1－，－y 2＝2y 1，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝2x 1－3，－y 2＝2y 1.又x 22＋y 22＝5，所以(2x 1－3)2＋4y 21＝5，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝5，x 1－2＋4y 21＝5，解得x 1＝2，代入可得y 1＝±1， 又点A 在第一象限，故A (2,1)，所以直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝03．(2018·淮阴中学测试)已知圆C 1：(x ＋1)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝4. (1)过点C 1作圆C 2的切线，求该切线方程；(2)过圆心C 1作倾斜角为θ的直线l 交圆C 2于A ，B 两点，且A 为C 1B 的中点，求sin θ； (3)过点P (m,1)引圆C 2的两条割线l 1和l 2.直线l 1和l 2被圆C 2截得的弦的中点分别为M ，N ，试问过点P ，M ，N ，C 2的圆是否过定点(异于点C 2)？若过定点，求出该定点；若不过定点，说明理由．解：(1)显然切线的斜率存在，设切线方程为y ＝k (x ＋1)， 由题意得|5k |1＋k2＝2，解得k ＝±22121，所以所求直线方程为y ＝±22121(x ＋1)，即2x ±21y ＋2＝0.(2)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)， 则圆心C 2到直线l 的距离d ＝5k 1＋k2，设AB 的中点为R ，则AR ＝4－d 2＝12AB ＝13C 1R ＝1325－d 2，解得d 2＝118.在Rt △C 1RC 2中，sin θ＝C 2R C 1C 2＝d 5＝2220. (3)依题意，过点P ，M ，N ，C 2的圆即为以PC 2为直径的圆， 所以(x －4)(x －m )＋(y －1)(y －0)＝0， 即x 2－(m ＋4)x ＋4m ＋y 2－y ＝0，整理成关于实数m 的等式(4－x )m ＋x 2－4x ＋y 2－y ＝0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＝0，x 2－4x ＋y 2－y ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝0(舍去)．即存在定点(4,1)．。

单元质检九解析几何(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.直线l1:mx+y-1=0与直线l2:(m-2)x+my-1=0,则“m=1”是“l1⊥l2”的()A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件2.与圆x2+(y-2)2=1相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有()A.2条B.3条C.4条D.6条3.已知点P(x,y)为曲线y=x+上任一点,点A(0,4),则直线AP的斜率k的取值范围是()A.[-3,+∞)B.(3,+∞)C.[-2,+∞)D.(1,+∞)4.(2017浙江金丽衢模拟)过点P(4,2)作圆x2+y2=4的两条切线,切点分别为A,B,O为坐标原点,则△OAB外接圆的方程是()A.(x-2)2+(y-1)2=5B.(x-4)2+(y-2)2=20C.(x+2)2+(y+1)2=5D.(x+4)2+(y+2)2=205.(2017辽宁沈阳期末)已知直线x-y+4=0与圆x2+y2=16交于A,B两点,则在x轴正方向上投影的绝对值为()A.4B.4C.2D.26.(2017江苏盐城模拟)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为()A.=1B.=1C.=1D.=17.(2017浙江绍兴一模)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过点M(p,0)的直线交抛物线于A,B两点,若=2,则=()A.2B.C.D.与p有关8.如图,已知椭圆C:=1(a>0),点A,F分别为其右顶点和右焦点,过F作AF的垂线交椭圆C于P,Q两点,过P作AP的垂线交x轴于点D,若|DF|=-,则椭圆C的长轴长为()A.2B.4C.2D.49.已知F1,F2分别是双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M,若∠F1MF2为锐角,则双曲线离心率的取值范围是()A.(1,)B.(,+∞)C.(1,2)D.(2,+∞)10.设双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F与x轴垂直的直线l交两渐近线于A,B两点,与双曲线的其中一个交点为P,设坐标原点为O,若=m+n(m,n∈R),且mn=,则该双曲线的渐近线方程为()A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x二、填空题(本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.将答案填在题中横线上)11.(2017浙江联考)已知直线l1:2x-2y+1=0,直线l2:x+by-3=0,若l1⊥l2,则b=;若l1∥l2,则两直线间的距离为.12.(2017浙江镇海模拟)已知圆C:x2+y2-2x-4y+1=0上存在两点关于直线l:x+my+1=0对称,经过点M(m,m)作圆C的切线,切点为P,则m=;|MP|=.13.(2017浙江温州期末)若△OAB的垂心H(1,0)恰好为抛物线y2=2px的焦点,O为坐标原点,点A,B在此抛物线上,则此抛物线的方程是,△OAB面积是.14.(2017浙江杭州模拟)已知抛物线y=x2和直线l:y=kx+m(m>0)交于两点A,B,当=2时,直线l 过定点;当m=时,以AB为直径的圆与直线y=相切.15.(2017浙江绍兴)已知圆O1和圆O2都经过点A(0,1),若两圆与直线4x-3y+5=0及y+1=0均相切,则|O1O2|=.16.双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线上一点,且=0,△F1PF2的内切圆半径r=2a,则双曲线的离心率e=.17.从抛物线y2=2x上的点A(x0,y0)(x0>2)向圆(x-1)2+y2=1引两条切线分别与y轴交于B,C两点,则△ABC的面积的最小值是.三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18.(14分)(2017浙江名校联考)已知圆C:(x-1)2+y2=9内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A,B 两点.(1)当l经过圆心C时,求直线l的方程;(2)当直线l的倾斜角为45°时,求弦AB的长.19.(15分)(2017课标Ⅲ高考)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.20.(15分)已知椭圆C1:=1,直线l1:y=kx+m(m>0)与圆C2:(x-1)2+y2=1相切且与椭圆C1交于A,B 两点.(1)若线段AB的中点的横坐标为,求m的值;(2)过原点O作l1的平行线l2交椭圆于C,D两点,设|AB|=λ|CD|,求λ的最小值.21(15分)已知抛物线C:x2=4y,过点P(0,m)(m>0)的动直线l与C相交于A,B两点,抛物线C在点A和点B处的切线相交于点Q,直线AQ,BQ与x轴分别相交于点E,F.(1)写出抛物线C的焦点坐标和准线方程;(2)求证:点Q在直线y=-m上;(3)判断是否存在点P,使得四边形PEQF为矩形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.22.(15分)(2017浙江四模)设x,y∈R,向量i,j分别为直角坐标平面内x,y轴正方向上的单位向量,若向量a=(x+)i+y j,b=(x-)i+y j,且|a|+|b|=4.(1)求点M(x,y)的轨迹C的方程;(2)设椭圆E:=1,P为曲线C上一点,过点P作曲线C的切线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,试证:△OAB的面积为定值.答案：1.A当m=0时,两条直线方程分别化为y-1=0,2x+1=0,此时两条直线相互垂直,∴m=0.当m≠0时,若l1⊥l2,则-m--=-1,解得m=1.综上可得m=0或m=1.故“m=1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件,故选A.2.C过原点与圆x2+(y-2)2=1相切的直线有2条;斜率为-1且与圆x2+(y-2)2=1相切的直线也有2条,且此两条切线不过原点,由此可得与圆x2+(y-2)2=1相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有4条.3.A由题意知k AP=-=1---3≥-3.4.A由题意知,O,A,B,P四点共圆,所以所求圆的圆心为线段OP的中点(2,1).又圆的半径r=|OP|=,所以所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.5.C因为圆x2+y2=16的圆心到直线x-y+4=0的距离为d==2,所以|AB|=2-=4,由于直线x-y+4=0的倾斜角为 ,所以在x轴正方向上投影的绝对值为||cos =4=2,故选C.6.D设圆M的半径为r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16,∴M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,故所求的轨迹方程为=1,故选D.7.B设直线方程为x=my+p,代入y2=2px,可得y2-2pmy-2p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2pm,y1y2=-2p2,=2,∴(p-x1,-y1)=2(x2-p,y2),∴x1=-2x2+p,y1=-2y2,可得y2=p,y1=-2p,∴x2=p,x1=2p,,故选B.8.B由题意可得A(a,0),F(c,0),即有c=-,令x=c,可得y=±-=±,可得P-,由AP⊥PD,可得k AP·k PD=-1,即-----=-1,解得x D=---,由|DF|=-,可得--x D=---,即为a2[a2-(a2-2)]=8,即a2=4,解得a=2.则椭圆C的长轴长为4.故选B.9.D由于图形的对称性,不妨联立--解得-M-,F1(-c,0),F2(c,0), -,由题意可得>0,即>0, 化简可得b2>3a2,即c2-a2>3a2,故可得c2>4a2,c>2a,可得e=>2.故选D.10.B不妨令A,B-,由=m+n可得P-,代入双曲线方程得-=1,化简得4mn=1,∵mn=,,,故双曲线的渐近线方程为y=±x,故选B.-=-1,解得b=1.11.1①∵l1⊥l2,则--②若l1∥l2,则-=-,解得b=-1.∴两条直线方程分别为x-y+=0,x-y-3=0.---则两直线间的距离为12.-13∵圆C:x2+y2-2x-4y+1=0上存在两点关于直线l:x+my+1=0对称,∴直线l:x+my+1=0过圆心C(1,2),∴1+2m+1=0.解得m=-1.圆C:x2+y2-2x-4y+1=0,可化为(x-1)2+(y-2)2=4,圆心(1,2),半径r=2,∵经过点M(m,m)作圆C的切线,切点为P,∴|MP|=-=3.13.y2=4x10本题考查抛物线的标准方程与几何性质.因为焦点为H(1,0),所以抛物线的方程是y2=4x.设A(a2,2a),B(b2,2b),由抛物线的对称性可知,b=-a.又因为AH⊥OB,得=-1,解得a=(不妨取正值),从而可得△OAB面积是10-14.(0,2)设A(x1,y1),B(x2,y2),整理得x2-kx-m=0,则x1+x2=k,x1x2=-m,y1y2=(x1x2)2=m2,y1+y2=k(x1+x2)+2m=k2+2m,由=2,则x1x2+y1y2=m2-m=2,即m2-m-2=0,解得m=-1或m=2,由m>0,得m=2,直线l:y=kx+2,∴直线l过定点(0,2),设以AB为直径的圆的圆心M(x,y),圆M与y=相切于点P,由x=,则P-,由题意可知=0,即--=0,整理得x 1x 2- (x 1+x 2)++y 1y 2+ (y 1+y 2)+=0,代入整理得m 2-=0,解得m=,∴当m= ,以AB 为直径的圆与直线y=相切. 15 如图,∵原点O 到直线4x-3y+5=0的距离d= - =1,到直线y=-1的距离为1,且到(0,1)的距离为1,∴圆O 1和圆O 2的一个圆心为原点O ,不妨看作是圆O 1, 设O 2(a ,b ),则由题意得- - 解得∴|O 1O 2|=16.5 可设P 为第一象限的点,由双曲线的定义可得|PF 1|-|PF 2|=2a ,① =0,可得PF 1⊥PF 2, 由勾股定理可得|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=4c 2,② 由①②可得2|PF 1|·|PF 2|=4c 2-4a 2=4b 2,由三角形的面积公式可得r (|PF 1|+|PF 2|+|F 1F 2|)=|PF 1|·|PF 2|, 即有c+2a= ,两边平方可得c 2+4a 2+4ac=c 2+b 2=c 2+c 2-a 2, 即c 2-4ac-5a 2=0,解得c=5a (c=-a 舍去), 即有e==5.17.8 设B (0,y B ),C (0,y C ),A (x 0,y 0),其中x 0>2, 所以直线AB 的方程化简得(y 0-y B )x-x 0y+x 0y B =0,直线AB 与圆相切,圆心到直线的距离等于半径,两边平方化简得(x 0-2)+2y 0y B -x 0=0,同理可得(x 0-2)+2y 0y A -x 0=0,故y C ,y B 是方程(x 0-2)y 2+2y 0y-x 0=0的两个不同的实根,所以y C+y B=-,y C y B=-,所以S=|y C-y B|x0=-=(x0-2)+-+4≥8,所以当且仅当x0=4时,S取到最小值8,所以△ABC的面积的最小值为8.18.解(1)已知圆C:(x-1)2+y2=9的圆心为C(1,0),∵直线过点P,C,∴k PC=--=2,直线l 的方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0;(2)当直线l的倾斜角为45°时,斜率为1,直线l的方程为y-2=x-2,即x-y=0,圆心C 到直线l的距离为圆的半径为3,∴弦AB的长为19.解(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.由可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.又x1=,x2=,故x1x2==4.因此OA的斜率与OB的斜率之积为-=-1,所以OA⊥OB.故坐标原点O在圆M上.(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r=由于圆M过点P(4,-2),因此=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为,圆M 的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.当m=-时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为-,圆M的半径为,圆M的方程为-20.解(1)将l1:y=kx+m代入C1:=1得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-4)=0,Δ>0恒成立,设A(x1,y1),B(x2,y2),则--所以-,①又d==1,得k=-,②联立①②得m4-m2-2=0,解得m=(2)由(1)得|x1-x2|=-,所以|AB|=-,把l2:y=kx代入C1:=1得x2=,所以|CD|=,所以λ=--=--=----,当m=k=-时,λ取最小值21.(1)解焦点坐标为(0,1),准线方程为y=-1.(2)证明由题意,知直线l的斜率存在,故设l的方程为y=kx+m.由方程组得x2-4kx-4m=0,由题意,得Δ=16k2+16m>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4m,所以抛物线在点A处的切线方程为y-x1(x-x1),化简,得y=x1x-, ①同理,抛物线在点B处的切线方程为y=x2x-②联立方程①②,得x1x-x2x-,即(x1-x2)x=(x1-x2)(x1+x2),因为x1≠x2,所以x=(x1+x2),代入①,得y=x1x2=-m,所以点Q-,即Q(2k,-m).所以点Q在直线y=-m上.(3)解假设存在点P,使得四边形PEQF为矩形,由四边形PEQF为矩形,得EQ⊥FQ,即AQ⊥BQ,所以k AQ·k BQ=-1,即x1x2=-1.由(2),得x1x2=(-4m)=-1,解得m=1.所以P(0,1).以下只要验证此时的四边形PEQF为平行四边形即可.在①中,令y=0,得E-,直线FQ的斜率同理得F所以直线EP的斜率为k EP=---,k FQ=---所以k EP=k FQ,即EP∥FQ.同理PF∥EQ.所以四边形PEQF为平行四边形.综上所述,存在点P(0,1),使得四边形PEQF为矩形.22.(1)解∵a=(x+)i+y j,b=(x-)i+y j,且|a|+|b|=4,-=4.∴点M(x,y)到两个定点F1(-,0),F2(,0)的距离之和为4.∴点M的轨迹C是以F1,F2为焦点的椭圆,设所求椭圆的标准方程为=1(a>b>0),则c=,a=2,故b2=a2-c2=1.其方程为+y2=1.(2)证明设A(x1,y1),B(x2,y2),将y=kx+m代入椭圆E的方程,消去x可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,显然直线与椭圆C的切点在椭圆E内,故Δ>0,由韦达定理可得x1+x2=-,x1x2=--所以|x1-x2|=因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为(0,m),所以△OAB的面积S=|m||x1-x2|=-=-=2-设=t,将y=kx+m代入椭圆C的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.由Δ=0,可得m2=1+4k2,即t=1,又因为S=2-=2-,故S=2为定值.。

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课时跟踪训练（四十八) 直线与圆、圆与圆的位置关系［基础巩固]一、选择题1．(2017·东北三省四市二模)直线x－3y＋3＝0与圆（x－1）2＋（y－3）2＝10相交所得弦长为( )A。

错误! B.错误! C．4错误! D．3错误!［解析]由题知，题中圆的圆心坐标为(1，3），半径r＝错误!，则圆心到直线的距离d＝错误!＝错误!，所以弦长为2错误!＝2错误!＝错误!。

［答案]A2．（2017·沈阳市高三质量监测）已知直线l：y＝k（x＋错误!)和圆C：x2＋（y－1）2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝（）A．0 B. 3 C.错误!或0 D.错误!或0［解析］因为直线l与圆C相切，所以圆心C到直线l的距离d＝错误!＝1，｜－1＋错误!k|＝错误!，解得k＝0或k＝错误!，故选D。

［答案］D3．（2017·河南省洛阳市高三第一次统考)直线l:y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A,B两点,则“k＝1"是“｜AB｜＝错误!"的（) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件［解析]依题意，注意到｜AB|＝2＝｜OA|2＋｜OB｜2等价于圆心O到直线l的距离等于错误!，即有错误!＝错误!，k＝±1.因此，“k＝1”是“｜AB|＝2”的充分不必要条件,选A.[答案]A4．（2017·陕西省高三质检)已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2－2ax－2y＋2＝0相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则圆C的面积为( ) A．49π B．36π C．7π D．6π［解析］圆C的标准方程为(x－a)2＋（y－1）2＝a2－1,因此圆心C（a，1）到直线y＝ax的距离为错误!＝错误!错误!，解得a2＝7,所以圆C的面积为π（a2－1）2＝6π，选D。

课时跟踪训练(五十三) 直线与圆、圆与圆的位置关系[基础巩固]一、选择题1．(2017·广东汕头质检)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )A.45B.35 C ．－35 D ．－45[解析] ∵抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，∴点F 的坐标为(1,0)．又∵直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，∴A ，B 两点坐标分别为(1，－2)，(4,4)，则FA →＝(0，－2)，FB →＝(3,4)，∴cos ∠AFB ＝FA →·FB→|FA →||FB →|＝－810＝－45.故选D.[答案] D2．(2017·北京东城期末)过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于3，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在[解析] 过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，若直线AB 的斜率不存在，则横坐标之和等于2，不符合题意．设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x ，得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0.∵A ，B 两点的横坐标之和等于3，∴k 2＋k 2＝3.解得k ＝±2，∴符合题意的直线有且仅有两条．故选B.[答案] B3．(2017·湖南长沙调研)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4x B ．y 2＝4x C ．y 2＝±8xD ．y 2＝8x[解析] ∵抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，∴直线l 的方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 4.∵直线l 与y 轴的交点为A ⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 2，∴△OAF 的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 4·⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＝4，解得a ＝±8.∴抛物线的方程为y 2＝±8x ，故选C.[答案] C4．(2017·河南三门峡灵宝期末)已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过该抛物线焦点F 且不与x 轴垂直的直线交抛物线于A ，B 两点，过点A ，点B 分别作AM ，BN 垂直于抛物线的准线，分别交准线于M ，N 两点，那么∠MFN 必是( )A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．以上皆有可能[解析] 由题意画出图象，如图．由抛物线的定义，可知|NB |＝|BF |.所以△BNF 是等腰三角形．因为BN ∥OF ，所以NF 平分∠OFB .同理MF 平分∠OFA ，所以∠NFM ＝90°.故选B.[答案] B5．(2017·黑龙江七台河期末)已知抛物线C ：y 2＝－8x 的焦点为F ，直线l ：x ＝1，点A 是l 上的一动点，直线AF 与抛物线C 的一个交点为B .若FA →＝－3FB →，则|AB |＝( )A ．20B ．16C ．10D ．5[解析] 由抛物线C ：y 2＝－8x ，得F (－2,0)．设A (1，a )，B (m ，n )，且n 2＝－8m .∵FA →＝－3FB →，∴1＋2＝－3(m ＋2)，解得m ＝－3，∴n ＝±2 6.∵a ＝－3n ，∴a ＝±66， ∴|AB |＝＋2＋6＋662＝20.故选A.[答案] A6．(2017·湖北襄阳月考)已知抛物线y ＝12x 2的焦点为F ，准线为l ，M 在l 上，线段MF 与抛物线交于N 点，若|MN |＝2|NF |，则|MF |＝( )A ．2B ．3 C. 2 D. 3 [解析]如图，过N 作准线的垂线NH ，垂足为H . 根据抛物线的定义可知|NH |＝|NF |， 在△NHM 中，|NM |＝2|NH |，则 ∠NMH ＝45°.在△MFK 中，∠FMK ＝45°， 所以|MF |＝2|FK |.而|FK |＝1. 所以|MF |＝ 2.故选C. [答案] C7．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与曲线x 2＋y 2－4x －5＝0相切，则p 的值为__________．[解析] 曲线的标准方程为(x －2)2＋y 2＝9，其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x ＝－p 2，∴由抛物线的准线与圆相切得2＋p2＝3，解得p ＝2.[答案] 2 二、填空题8．(2018·武汉模拟)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，倾斜角等于45°的直线过F 交该抛物线于A ，B 两点，则|AB |＝__________.[解析] 由抛物线焦点弦的性质，得|AB |＝2p sin 2α＝2×2sin 245°＝8. [答案] 89．(2017·黑龙江绥化期末)设抛物线y 2＝16x 的焦点为F ，经过点P ( 1,0)的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且2BP →＝PA →，则|AF |＋2|BF |＝________.[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵P (1,0)， ∴BP →＝(1－x 2，－y 2)，PA →＝(x 1－1，y 1)．∵2BP →＝PA →，∴2(1－x 2，－y 2)＝(x 1－1，y 1)， ∴x 1＋2x 2＝3，－2y 2＝y 1.将A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)代入抛物线方程y 2＝16x ，得y 21＝16x 1，y 22＝16x 2.又∵－2y 2＝y 1，∴4x 2＝x 1.又∵x 1＋2x 2＝3，解得x 2＝12，x 1＝2.∴|AF |＋2|BF |＝x 1＋4＋2(x 2＋4)＝2＋4＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋4＝15. [答案] 15 三、解答题10．(2017·河北沧州百校联盟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线上一点P 的横坐标为2，|PF |＝3.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 且倾斜角为30°的直线交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，求△OAB 的面积．[解] (1)由抛物线定义可知，|PF |＝2＋p2＝3，∴p ＝2，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)由y 2＝4x ，得F (1,0)，∴过点F 且倾斜角为30°的直线方程为y ＝33(x －1)．联立y 2＝4x ，消去x 得y 2－43y －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝43，y 1y 2＝－4. ∴S △OAB ＝S △OAF ＋S △OFB ＝12|y 1－y 2|＝12×48＋16＝4.[能力提升]11．(2017·辽宁沈阳二中期中)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点．若线段MN 的垂直平分线与x 轴交点的横坐标为a (a >0)，n ＝|MF |＋|NF |，则2a －n ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5[解析] 由题意得F (1,0)，准线方程为x ＝－1.线段MN 的中点坐标为(x 0，y 0)．由抛物线的定义，得n ＝|MF |＋|NF |＝x M ＋1＋x N ＋1＝x M ＋x N ＋2＝2x 0＋2.因为线段MN 的垂直平分线方程为y －y 0＝－1k(x －x 0)，令y ＝0，得x ＝ky 0＋x 0，即a ＝ky 0＋x 0.由点差法可得ky 0＝2，所以x 0＝a －2，所以2a －n ＝2x 0＋4－(2x 0＋2)＝2.故选A.[答案] A12．(2017·北京昌平期末)已知△ABC 的三个顶点均在抛物线y 2＝x 上，边AC 的中线BM ∥x 轴，|BM |＝2，则△ABC 的面积为________．[解析] 根据题意设A (a 2，a )，B (b 2，b )，C (c 2，c )，不妨设a >c .∵M 为边AC 的中点，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 22，a ＋c 2. 又∵BM ∥x 轴，∴b ＝a ＋c2.∴|BM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＋c 22－b 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＋c 22－a ＋c 24＝2，∴(a －c )2＝8，∴a －c ＝2 2.作AH ⊥BM 交BM 的延长线于H ，故S △ABC ＝2S △ABM ＝2×12|BM |·|AN |＝2|a －b |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －a ＋c 2＝a －c ＝2 2.[答案] 2 213．(2017·福建厦门期中)设抛物线C ：y 2＝4x ，F 为C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点．(1)若l 的斜率为1，求|AB |的大小；(2)求证：OA →·OB →是一个定值．[解] (1)∵直线l 的斜率为1且过点F (1,0)， ∴直线l 的方程为y ＝x －1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x ，消去y 得x 2－6x ＋1＝0.Δ>0，∴x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8.(2)证明：设直线l 的方程为x ＝ky ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋1，y 2＝4x ，消去x 得y 2－4ky －4＝0，Δ>0.设A ＝(x 1，y 1)，B ＝(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4，OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)．∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ky 1＋1)(ky 2＋1)＋y 1y 2＝k 2y 1y 2＋k (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4k 2＋4k 2＋1－4＝－3.∴OA →·OB →＝－3是一个定值．14．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A 、B 两点，坐标原点为O ，OA ·OB ＝12.(1)求抛物线的方程；(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程． [解] (1)设l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px ， 得y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则x 1x 2＝y 21y 224p2＝4.因为OA →·OB →＝12，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12， 得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x . (2)(1)中(*)式可化为y 2－4my ＋8＝0，y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8.设AB 的中点为M ，则|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4，① 又|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝＋m2m 2－，②由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2， 解得m 2＝3，m ＝± 3.所以直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0.[延伸拓展]已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围． [解] (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1y 2＝4， ①y 1＋y 2＝8＋p 2. ②又∵AC ＝4AB ，∴y 2＝4y 1，③由①②③及p >0得：y 1＝1，y 2＝4，p ＝2，则抛物线G 的方程为x 2＝4y . (2)设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k x ＋得x 2－4kx －16k ＝0，④∴x 0＝x C ＋x B2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k .∴线段BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k(x －2k )，∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为：b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2， 对于方程④，由Δ＝16k 2＋64k >0得：k >0或k <－4. ∴b ∈(2，＋∞)．。

一、填空题1．直线x sin θ＋y cos θ＝2＋sin θ与圆(x－1)2＋y2＝4的位置关系是________．解析：由于d＝|sin θ－2－sin θ|sin2θ＋cos2θ＝2＝r，∴直线与圆相切．答案：相切2．过点(0,1)的直线与x2＋y2＝4相交于A、B两点，则|AB|的最小值为________．解析：当过点(0,1)的直线与直径垂直且(0,1)为垂足时，|AB|的最小值为2 3.答案：2 33．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋m2＝4，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＝8－m2(m>3)，则两圆的位置关系是________．解析：将两圆方程分别化为标准式，圆C1：(x－m)2＋y2＝4，圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝9，则|C1C2|＝(m＋1)2＋m2＝2m2＋2m＋1>2×32＋2×3＋1＝5＝2＋3，∴两圆相离．答案：相离4．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为22，则实数a的值为________．解析：圆心(a,0)到直线x－y＝2的距离d＝|a－2|2，则(2)2＋(|a－2|2)2＝22，∴a＝0或4.答案：0或45．在平面直角坐标系xOy中，设直线l：kx－y＋1＝0与圆C：x2＋y2＝4相交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAMB ，若点M 在圆C 上，则实数k ＝________.解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 2＝4.消去y 得， (1＋k 2)x 2＋2kx －3＝0，∴x 1＋x 2＝－2k 1＋k 2，y 1＋y 2＝21＋k 2，∴M (－2k 1＋k 2，21＋k 2)，又M 在x 2＋y 2＝4上，代入得k ＝0.答案：06．设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则y x ＝________.解析：∵OM →·CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线．设OM 的方程为y ＝kx ， 由|2k |k 2＋1＝3，得k ＝±3，即y x ＝±3. 答案：3或－ 37．若过点A (a ，a )可作圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋2a －3＝0的两条切线，则实数a 的取值范围为________．解析：圆方程可化为(x －a )2＋y 2＝3－2a ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0a 2>3－2a，解得a <－3或1<a <32. 答案：(－∞，－3)∪(1，32)8．若圆O 1：x 2＋y 2＝5与圆O 2：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R)相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则|AB |＝________.解析：由题知O 1(0,0)，O 2(m,0)，且5<|m |<35，又O 1A ⊥AO 2，所以有m 2＝(5)2＋(25)2＝25，解得m ＝±5.∴|AB |＝2×5×205＝4. 答案：49．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．解析：因为圆的半径为2，且圆上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，即要求圆心到直线的距离小于1， 即|c |122＋(－5)2<1，解得－13<c <13.答案：(－13,13)二、解答题10．已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，半径小于5.求：(1)直线PQ 与圆C 的方程；(2)求过点(0,5)且与圆C 相切的直线方程．解析：(1)直线PQ 的方程为y －3＝3＋2－1－4(x ＋1)，即x ＋y －2＝0， 解法一 由题意圆心C 在PQ 的中垂线y －3－22＝1×(x －4－12)，即y ＝x －1上，设C (n ，n －1)，则r 2＝|CQ |2＝(n ＋1)2＋(n －4)2，由题意，有r 2＝(23)2＋|n |2，∴n 2＋12＝2n 2－6n ＋17，解得n ＝1或5，∴r 2＝13或37(舍)，∴圆C 为：(x －1)2＋y 2＝13.解法二 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由已知得⎩⎨⎧ 4D －2E ＋F ＝－20D －3E －F ＝10E 2－4F ＝48， 解得⎩⎨⎧ D ＝－2E ＝0F ＝－12或⎩⎨⎧ D ＝－10E ＝－8F ＝4. 当⎩⎨⎧ D ＝－2E ＝0F ＝－12时，r ＝13<5； 当⎩⎨⎧ D ＝－10E ＝－8F ＝4时，r ＝37>5(舍)．∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0.(2)当切线斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋5， 则|k ＋5|1＋k 2＝13，解得k ＝32或－23， ∴切线方程为3x －2y ＋10＝0或2x ＋3y －15＝0，当切线斜率不存在时，不满足题意，∴切线方程为3x －2y ＋10＝0或2x ＋3y －15＝0.11.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，△AOB 和△COD 为两等腰直角三角形，A (－2,0)，C (a,0)(a >0)．设△AOB 和△COD的外接圆圆心分别为M 、N .(1)若⊙M 与直线CD 相切，求直线CD 的方程；(2)若直线AB 截⊙N 所得弦长为4，求⊙N 的标准方程；(3)是否存在这样的⊙N ，使得⊙N 上有且只有三个点到直线AB 的距离为2，若存在，求此时⊙N 的标准方程；若不存在，说明理由．解析：(1)圆心M (－1,1)．∴圆M 的方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2，直线CD 的方程为x ＋y －a ＝0.∵⊙M 与直线CD 相切，∴圆心M 到直线CD 的距离d ＝|－a |2＝2， 化简得a ＝2(舍去负值)．∴直线CD 的方程为x ＋y －2＝0.(2)直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，圆心N (a 2，a 2)， 圆心N 到直线AB 的距离为|a 2－a 2＋2|2＝ 2. ∵直线AB 截⊙N 所得的弦长为4，∴22＋(2)2＝a 22. ∴a ＝23(舍去负值)．∴⊙N 的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝6.(3)存在，由(2)知，圆心N 到直线AB 的距离为2(定值)，且AB ⊥CD 始终成立， ∴当且仅当圆N 的半径a 2＝22，即a ＝4时，⊙N 上有且只有三个点到直线AB 的距离为 2.此时，⊙N 的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8.12．设圆上的点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，求圆的方程．解析：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.∵点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点A ′仍在这个圆上，∴圆心(a ，b )在直线x ＋2y ＝0上，∴a ＋2b ＝0，①(2－a )2＋(3－b )2＝r 2.②又直线x －y ＋1＝0截圆所得的弦长为22，∴r 2－(a －b ＋12)2＝(2)2.③ 解由方程①、②、③组成的方程组得： ⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－3，a ＝6，r 2＝52，或⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－7，a ＝14，r 2＝244.∴所求圆的方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244.。