2015年北师大版八年级数学下册6.4探索多边形的内角和与外角和同步练习含答案

北师大版八年级数学下册6.4多边形的内角和与外角和同步测试题6.4多边形的内角和与外角和同步测试题（满分120分；时间：90分钟）一、选择题（本题共计小题，每题分，共计24分，）1.一个n边形的内角和是外角和的2倍，则n的值为（）A.3B.4C.5D.62.若正多边形的内角和是540∘，则该正多边形的一个外角为（）A.45∘B.60∘C.72∘D.90∘3.若正多边形的一个外角为60∘，则这个正多边形的内角和为（）A.720∘B.900∘C.1080∘D.1980∘4.如果一个正多边形的每一个外角都是36∘，那么这个多边形的边数是（）A.10B.11C.12D.135.已知一个多边形的内角和是1260∘，则这个多边形是（）A.六边形B.七边形C.八边形D.九边形6.如果一个多边形的内角和是540∘，那么这个多边形是（）A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形7.一个正多边形每个外角都是30∘，则这个多边形边数为（）A.10B.11C.12D.138.小明同学在计算某n边形的内角和时，不小心少输入一个内角，得到和为2005∘．则n等于（）A.11B.12C.13D.14二、填空题（本题共计小题，每题分，共计21分，）9.五边形的外角和是________度．10.已知一个多边形的内角和与外角和的差是1260∘，则这个多边形边数是________．11.若十二边形的每一个内角都相等，那么它每个内角的度数是________．12.已知一个正多边形的内角和为1440∘，则它的一个外角的度数为________度．13.如果正多边形的一个外角是72∘，则这个多边形的内角和度数是________.14.一个正多边形的每个内角度数均为135∘，则它的边数为________．15.一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180∘，这个多边形的边数是________．三、解答题（本题共计小题，共计75分，）16.已知多边形的一个外角与其内角和的总和为600∘，求此多边形的边数．17.已知一个多边形的外角和是内角和的27，求这个多边形的边数及内角和．18.已知一个多边形的内角和是外角和的2倍多180∘，则这个多边形的边数是多少？19.一个多边形除去一个内角外，其余各角之和为2 750∘，求这个多边形的边数及去掉的角的度数．20.一个多边形中，每个内角都相等，并且每个外角等于它的相邻内角的23，求这个多边形的外角．21.已知四边形的一个内角是56∘，第二个内角是它的2倍，第三个内角比第二个内角小10∘．求第四个内角的大小．22.如图，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相互外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得五边形ABCDE，求图中五扇形（阴影部分）的面积之和．23.如图，在四边形ABCD中，BE和DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，BE与DF相交于点G，若∠BAD＝α，∠BCD＝β．（1）如图1，若α+β＝168∘，求∠MBC+∠NDC的度数．（2）如图1，若∠BGD＝35∘，试猜想α、β所满足的数量关系式，并说明理由．（3）如图2，若α＝β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．。

初中数学试卷马鸣风萧萧6.4探索多边形的内角和与外角和一、选择题1．如果一个多边形的每一个内角都是108°，那么这个多边形是( )A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形2．已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是( )A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形3．如果一个多边形的边数增加1倍，它的内角和是2160°，那么原来的多边形的边数是( )A．5 B．6 C．7 D．84．一个多边形最少可分割成五个三角形，则它是________边形（）A．8 B．7 C．6 D．55．一个多边形的外角和是内角和的一半，则它的边数为（）A．7 B．6 C．5 D．46．一个多边形的内角和与外角和共为540°，则它的边数为（）A．5 B．4 C．3 D．不确定7．若等角n边形的一个外角不大于40°，则n的值为（）A．n＝8 B．n＝9 C．n＞9 D．n≥98．中华人民共和国国旗上的五角星，它的五个锐角的度数和是（）A．50°B．100°C．180°D．200°9．用三块正多边形的木板铺地，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，其中两块木板的边数都是8，则第三块木板的边数应是（）A．4 B．5 C．6 D．810．如果只用正三角形作平面镶嵌（要求镶嵌的正三角形的边与另一正三角形有边重合），则在它的每一个顶点周围的正三角形的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题11．在四边形ABCD中，∠A＝∠D，∠A∶∠B∶∠C＝3∶2∶1，则∠A＝．12．一个多边形的内角和与外角和的比是4：1，它的边数是，顶点的个数是，对角线的条数是．13．若四边形ABCD的相对的两个内角互补，且满足∠A∶∠B∶∠C ＝2∶3∶4，则∠A＝________°，∠B＝________°，∠C＝________°，∠D＝________°．14．若一个n边形的内角都相等，且内角的度数与和它相邻的外角的度数比为3∶1，那么，这个多边形的边数为________．15．若一个十边形的每个外角都相等，则它的每个外角的度数为________°，每个内角的度数为________°．16．如果一个多边形的每个内角都等于108°，那么这个多边形是_____边形．17.一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个内角等于____ ___°．18．若一个多边形的各边都相等，它的周长是63，且它的内角和为900°，则它的边长是_____．19．多边形的内角中，最多有________个直角．20．已知一个多边形的内角和与外角和共2160°，则这个多边形的边数是21．用正三角形和正方形能够铺满地面，每个顶点周围有_____个正三角形和_____个正方形三、解答题22．如图4－124所示，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．23．一个凸多边形的内角的度数从小到大排列起来，恰好依次增加相同的度数，其中最小角是100°，最大角是140°，求这个多边形的边数．24．已知多边形内角和与外角和的和为2160°，求多边形对角线的条数．25．在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B与∠D的度数比是3：2，求∠B，∠D的度数．26．已知和多边形一个内角相邻的外角与其余各内角度数总和为600°，求该多边形的边数．27．过n边形的一个顶点有7条对角线，m边形有m条对角线，p边形没有对角线，q边形的内角和与外角和相等，求q(n－m)p的值．28．如图4－125所示，已知六边形ABCDEF中，∠A＝∠B=∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝120°．试说明AB＋BC=EF＋ED．29．某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行进和旋转，某一指令规定：机器人先向前方行走2 m，然后左转60°，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了多少米?30．我们知道过n边形的一个顶点可以做（n－3）条对角线，这（n－3）条对角线把三角形分割成（n－2）个三角形，想一想这是为什么？如图1．图1如图2，在n边形的边上任意取一点，连结这点与各顶点的线段可以把n边形分成几个三角形？图2想一想，利用这两个图形，怎样证明多边形的内角和定理．参考答案1．B2．B3．C4．B 5．B 6．C 7．D 8．C 9．A 10．D11．120°12．10 10 35 13．60，90，120，90 14．八15．36，144 16．五16．120 17．9 18．四19．12 20．3，221．提示：延长BC交EF于M，所以∠A＋∠B＋∠BMF＋∠F＝360°，又因为∠DCB＋∠D＋∠E=∠B MF，所以∠A＋∠B＋∠DCB＋∠D＋∠E＋∠F＝360°．22．解：设这个多边形的边数为n ，由题意知(100+140)2n ︒︒＝(n －2)·180°，解得n =6．答：这个多边形的边数是6． 23．解：设这个多边形的边数为n ，由题意，得(n －2)·180°＋360°＝2160°，解得n ＝12．∴多边形对角线的条数为12n (n －3)＝12×12×(12－3)=54．即这个多边形对角线的条数为54．24．解：∵∠A ＋∠C ＝90°＋90°＝180°，∴∠B ＋∠D ＝360°－(∠A ＋∠C )＝360°－180°＝180°．设∠B ＝(3x )°，则∠D ＝(2x )°，∴(3x )°＋(2x )°＝180°，解得x ＝36，∴3x ＝108，2x ＝72．即∠B ＝108°，∠D ＝72°．25．解：设边数为n ，这个内角为α，依题意有(n －2)·180°－α＋180°－α＝600°，∴α＝90°n －390°，又∵0°＜α＜180°，°0°＜90°n －390°＜180°，∴413＜n ＜613 ，∵n 为正整数，∴n ＝5或n ＝6．答：边数为5或6．26．解：由已知可得37(3)2(3)02(2)180360n m m m p p q -=⎧⎪-⎪=⎪⎨-⎪=⎪⎪-︒=︒⎩，，，，所以n ＝10，m ＝5，p ＝3，q ＝4，所以q (n －m )p =4×(10－5)3＝500．27．解：如图4－126所示，向两方分别延长AB ，CD ，EF ，得△PQ R ．∵∠PAF ＝180°－∠BAF ＝180°－120°＝60°，同理∠AFP ＝60°，∴∠P ＝60°，∴△PAF 为等边三角形．同理△BCQ ，△DE R 均为等边三角形．∴△PQ R 也为等边三角形，∴PQ ＝P R ，AP ＝PF ，BC ＝BQ ，DE ＝R E ，∴PQ －PA ＝RP －PF ，即AQ ＝FR ，∴AB ＋BQ ＝FE ＋RE ，∴AB ＋BC ＝EF ＋ED ．29．解：如图4－127所示，由题意可知机器人从出发到第一次回到原处的行走路线是一个正多边形，设边数为n ，则60°·n ＝360°，解得n ＝6．又2×6＝12(m)，∴机器人共走了12m.30．略。

北师大新版八年级下学期《6.4 多边形的内角和与外角和》同步练习卷一．选择题（共23小题）1．若一个多边形共有20条对角线，则它是（）边形．A．六B．七C．八D．九2．一个多边形的每一个内角都等于140°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（）A．6条B．7条C．8条D．9条3．若一个多边形的内角和是1080度，则这个多边形的边数为（）A．6B．7C．8D．104．若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个正多边形的边数是（）A．10B．9C．8D．65．若n边形恰好有n条对角线，则n为（）A．4B．5C．6D．76．若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．900°7．一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（）A．4B．5C．6D．78．一个多边形的边数由原来的3增加到n时（n＞3，且n为正整数），它的外角和（）A．增加（n﹣2）×180°B．减小（n﹣2）×180°C．增加（n﹣1）×180°D．没有改变9．正十边形的每一个内角的度数为（）A．120°B．135°C．140°D．144°10．正多边形的一个内角为135°，则该多边形的边数为（）A．5B．6C．7D．811．一个四边形，截一刀后得到新多边形的内角和将（）A．增加180°B．减少180°C．不变D．以上三种情况都有可能12．把一个多边形割去一个角后，得到的多边形内角和为1440°，请问这个多边形原来的边数为（）A．9B．10C．11D．以上都有可能13．有公共顶点A，B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为（）A．144°B．84°C．74°D．54°14．已知一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数是（）A．3B．4C．5D．615．正五边形的每个外角等于（）A．36°B．60°C．72°D．108°16．下列说法错误的个数：（）（1）任意一个三角形的三条高至少有一条在此三角形内部；（2）若线段a、b、c满足a+b＞c，以a，b，c为边能构成一个三角形；（3）一个多边形从一个顶点共引出三条对角线，此多边形一定是五边形；（4）多边形中内角最多有2个是锐角；（5）一个三角形中，至少有一个角不小于60°；（6）以a为底的等腰三角形其腰长一定大于；（7）一个多边形增加一条边，那它的外角增加180°A．1个B．2个C．3个D．4个17．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）A．8B．9C．10D．1118．从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形．则m、n的值分别为（）A．4，3B．3，3C．3，4D．4，419．如果边长相等的正五边形和正方形的一边重合，那么∠1的度数是多少（）A．30°B．15°C．18°D．20°20．一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（）A．4B．5C．6D．721．从九边形的一个顶点出发可以引出的对角线条数为（）A．3B．4C．6D．922．如图是将一多边形剪去一个角，则新多边形的内角和（）A．比原多边形少180°B．与原多边形一样C．比原多边形多360°D．比原多边形多180°23．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（）个五边形．A．6B．7C．8D．9二．填空题（共16小题）24．若一个多边形的内角和比外角和大360°，则这个多边形的边数为．25．一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520°，则原多边形边数为．26．八边形的内角和为．27．若从一个多边形的一个顶点可以作3条对角线，则这个多边形的边数为，它的内角和等于度．28．一个多边形的每个外角都为36°，则这个多边形的每个顶点可引对角线条．且这些对角线把多边形分成个三角形．29．若正多边形的内角和是1080°，则该正多边形的边数是．30．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为．31．若正多边形的每一个内角为135°，则这个正多边形的边数是．32．从多边形的一个顶点出发引对角线，可以把这个多边形分割成7个三角形，则该多边形为边形．33．如图，若正五边形和正六边形有一边重合，则∠BAC=．34．从一个多边形的一个顶点出发一共有7条对角线，则这个多边形的边数为．35．一个多边形的每一个外角为30°，那么这个多边形的边数为．36．正n边形的一个外角的度数为60°，则n的值为．37．从多边形一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各个顶点，可以把五边形分割成3个三角形，把六边形分割成4个三角形…，如果是十二边形，可以分割成个三角形．38．过多边形的某一个顶点的所有对角线可以把多边形分成5个三角形，则这个多边形是边形．39．一个多边形，除了一个内角外，其余各角的和为2750°，则这一内角为度．三．解答题（共2小题）40．连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．如图1，AC、AD是五边形ABCDE的对角线，思考下列问题：①如图2，多边形A1A2A3A4A5…A n．中，过顶点A1可以画条对角线过顶点A2可以画条对角线，过顶点A3可以画条对角线（用含n的代数式表示）②过顶点A1的对角线与过顶点A3的对角线中有重复吗？③在此基础上，你能发现n边形的对角线总条数的规律吗？（用含n的代数式表示）41．已知从n边形的一个顶点出发共有4条对角线，该n边形的周长为56，且各边长是连续的自然数，求这个多边形的各边长．北师大新版八年级下学期《6.4 多边形的内角和与外角和》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共23小题）1．若一个多边形共有20条对角线，则它是（）边形．A．六B．七C．八D．九【分析】根据多边形的对角线公式，列出方程求解即可．【解答】解：设这个多边形是n边形，则=20，∴n2﹣3n﹣40=0，（n﹣8）（n+5）=0，解得n=8，n=﹣5（舍去）．故选：C．【点评】本题考查了多边形的对角线的公式，熟记公式是解题的关键．2．一个多边形的每一个内角都等于140°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（）A．6条B．7条C．8条D．9条【分析】先求出多边形的边数，再求从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数即可．【解答】解：∵多边形的每一个内角都等于140°，∴每个外角是180°﹣140°=40°，∴这个多边形的边数是360°÷40°=9，∴从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是6条．故选：A．【点评】本题考查多边形的外角和及对角线的知识点，找出它们之间的关系是本题解题关键．3．若一个多边形的内角和是1080度，则这个多边形的边数为（）A．6B．7C．8D．10【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．【解答】解：根据n边形的内角和公式，得（n﹣2）•180=1080，解得n=8．∴这个多边形的边数是8．故选：C．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．4．若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个正多边形的边数是（）A．10B．9C．8D．6【分析】设多边形有n条边，则内角和为180°（n﹣2），再根据内角和等于外角和的3倍可得方程180°（n﹣2）=360°×3，再解方程即可．【解答】解：设多边形有n条边，由题意得：180°（n﹣2）=360°×3，解得：n=8．故选：C．【点评】此题主要考查了多边形的内角和和外角和，关键是掌握内角和为180°（n﹣2）．5．若n边形恰好有n条对角线，则n为（）A．4B．5C．6D．7【分析】根据多边形的边数与对角线的条数的关系列方程得出多边形的边数．【解答】解：依题意有=n，n（n﹣5）=0，解得n=0（不合题意舍去）或n=5．故选：B．【点评】本题考查了熟记多边形的内角和公式与对角线公式．根据多边形的边数与对角线的条数的关系式得出方程是解决此类问题的关键．6．若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．900°【分析】根据多边形的边数与多边形的外角的个数相等，可求出该正多边形的边数，再由多边形的内角和公式求出其内角和；根据一个外角得60°，可知对应内角为120°，很明显内角和是外角和的2倍即720．【解答】解：该正多边形的边数为：360°÷60°=6，该正多边形的内角和为：（6﹣2）×180°=720°．故选：C．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和与内角和公式是解答本题的关键．7．一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（）A．4B．5C．6D．7【分析】根据内角和定理180°•（n﹣2）即可求得．【解答】解：∵多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，∴（n﹣2）×180°=720°，解得n=6，∴这个多边形的边数是6．故选：C．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理即180°•（n﹣2），难度适中．8．一个多边形的边数由原来的3增加到n时（n＞3，且n为正整数），它的外角和（）A．增加（n﹣2）×180°B．减小（n﹣2）×180°C．增加（n﹣1）×180°D．没有改变【分析】利用多边形的外角和特征即可解决问题．【解答】解：∵多边形的外角和等于360°，与边数无关，∴凸多边形的边数由3增加到n时，其外角度数的和还是360°，保持不变．故选：D．【点评】本题考查了多边形的外角和，熟记多边形的外角和等于360°，与边数无关是解题的关键．9．正十边形的每一个内角的度数为（）A．120°B．135°C．140°D．144°【分析】利用正十边形的外角和是360度，并且每个外角都相等，即可求出每个外角的度数；再根据内角与外角的关系可求出正十边形的每个内角的度数．【解答】解：∵一个十边形的每个外角都相等，∴十边形的一个外角为360÷10=36°．∴每个内角的度数为180°﹣36°=144°；故选：D．【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系．多边形的外角性质：多边形的外角和是360度．多边形的内角与它的外角互为邻补角．10．正多边形的一个内角为135°，则该多边形的边数为（）A．5B．6C．7D．8【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数，根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．【解答】解：∵正多边形的一个内角为135°，∴外角是180﹣135=45°，∵360÷45=8，则这个多边形是八边形，故选：D．【点评】本题考查了外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，难度适中．11．一个四边形，截一刀后得到新多边形的内角和将（）A．增加180°B．减少180°C．不变D．以上三种情况都有可能【分析】根据一个四边形截一刀后得到的多边形的边数即可得出结果．【解答】解：∵一个四边形截一刀后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边形，∴内角和可能减少180°，可能不变，可能增加180°．故选：D．【点评】本题考查了多边形，能够得出一个四边形截一刀后得到的图形有三种情形，是解决本题的关键．12．把一个多边形割去一个角后，得到的多边形内角和为1440°，请问这个多边形原来的边数为（）A．9B．10C．11D．以上都有可能【分析】先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出截去一个角后的多边形的边数，再根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1讨论得解．【解答】解：设多边形截去一个角的边数为n，则（n﹣2）•180°=1440°，解得n=10，∵截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1，∴原多边形的边数是9或10或11．故选：D．【点评】本题考查了多边形的内角和公式，关键是理解多边形截去一个角后边数有增加1，不变，减少1三种情况．13．有公共顶点A，B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为（）A．144°B．84°C．74°D．54°【分析】根据正多边形的内角，可得∠ABE、∠E、∠CAB，根据四边形的内角和，可得答案．【解答】解：正五边形的内角是∠ABC==108°，∵AB=BC，∴∠CAB=36°，正六边形的内角是∠ABE=∠E==120°，∵∠ADE+∠E+∠ABE+∠CAB=360°，∴∠ADE=360°﹣120°﹣120°﹣36°=84°，故选：B．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用求多边形的内角得出正五边形的内角、正六边形的内角是解题关键．14．已知一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数是（）A．3B．4C．5D．6【分析】多边形的外角和是360°，内角和是它的外角和的2倍，则内角和是2×360=720度．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数【解答】解：设这个多边形的边数为n，∵n边形的内角和为（n﹣2）•180°，多边形的外角和为360°，∴（n﹣2）•180°=360°×2，解得n=6．∴此多边形的边数为6．故选：D．【点评】本题主要考查了根据正多边形的外角和求多边形的边数，这是常用的一种方法，需要熟记．15．正五边形的每个外角等于（）A．36°B．60°C．72°D．108°【分析】利用正五边形的外角和等于360度，除以边数即可求出答案．【解答】解：360°÷5=72°．故正五边形的每个外角等于72°．故选：C．【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，任何一个多边形的外角和都是360°．16．下列说法错误的个数：（）（1）任意一个三角形的三条高至少有一条在此三角形内部；（2）若线段a、b、c满足a+b＞c，以a，b，c为边能构成一个三角形；（3）一个多边形从一个顶点共引出三条对角线，此多边形一定是五边形；（4）多边形中内角最多有2个是锐角；（5）一个三角形中，至少有一个角不小于60°；（6）以a为底的等腰三角形其腰长一定大于；（7）一个多边形增加一条边，那它的外角增加180°A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】（1）分别从锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，三个角度进行分析即可；（2）三角形的任意两边之和大于第三边，该命题没有体现出任意性，举一个反例即可解决问题；（3）利用n边形的每一个顶点处可作（n﹣3）条对角线，即可解决问题；（4）利用三角形有3个锐角，即可解决问题；（5）假设三个角都小于60度，则三角形的内角和小于180度，所以假设不成立，该命题正确；（6）利用三角形的三边关系可知该命题正确；（7）一个多边形每增加一条边，内角和增加180度，外角和不变，所以此命题错误．【解答】解：（1）因为锐角三角形的三条高都在三角形内部，直角三角形有一条高在三角形内部，钝角三角形有一条高在三角形内部，所以该命题正确；（2）如：a=3，b=2，c=1，a+b＞c，但1，2，3组不成三角形，故该命题错误；（3）因为n边形的每一个顶点处可作（n﹣3）条对角线，则n=6，所以此命题错误；（4）三角形可以有3个锐角，所以此命题错误；（5）正确；（6）利用三角形的三边关系可知该命题正确；（7）一个多边形每增加一条边，内角和增加180度，外角和不变，所以此命题错误．综上，共有4个错误．故选：D．【点评】本题主要考查了三角形、多边形的基础知识，这是学生必须掌握的要点．17．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）A．8B．9C．10D．11【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．【解答】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：180°•（n﹣2）=3×360°解得n=8．故选：A．【点评】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．18．从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形．则m、n的值分别为（）A．4，3B．3，3C．3，4D．4，4【分析】从一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n﹣3，分成的三角形数是n﹣2．【解答】解：对角线的数量=6﹣3=3条；分成的三角形的数量为n﹣2=4个．故选：C．【点评】本题考查多边形的对角线及分割成三角形个数的问题，解答此类题目可以直接记忆：一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n﹣3，分成的三角形数是n﹣2．19．如果边长相等的正五边形和正方形的一边重合，那么∠1的度数是多少（）A．30°B．15°C．18°D．20°【分析】∠1的度数是正五边形的内角与正方形的内角的度数的差，根据多边形的内角和定理求得角的度数，进而求解．【解答】解：∵正五边形的内角的度数是×（5﹣2）×180°=108°，正方形的内角是90°，∴∠1=108°﹣90°=18°．故选：C．【点评】本题考查了多边形的内角和定理、正五边形和正方形的性质，求得正五边形的内角的度数是关键．20．一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（）A．4B．5C．6D．7【分析】根据多边形的内角和公式：（n﹣2）•180°去求．【解答】解：设该多边形的边数为n则：（n﹣2）•180°=900°，解得：n=7．故选：D．【点评】本题考查了多边形的内角和，关键是要记住公式并会解方程21．从九边形的一个顶点出发可以引出的对角线条数为（）A．3B．4C．6D．9【分析】根据多边形的对角线的定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，得出n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，进而得出这（n﹣3）条对角线把多边形分成的三角形的个数．【解答】解：从九边形的一个顶点出发，可以向与这个顶点不相邻的6个顶点引对角线，即能引出6条对角线，故选：C．【点评】本题考查多边形的性质，从n边形的一个顶点出发，能引出（n﹣3）条对角线，这（n﹣3）条对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形．这些规律需要学生牢记．22．如图是将一多边形剪去一个角，则新多边形的内角和（）A．比原多边形少180°B．与原多边形一样C．比原多边形多360°D．比原多边形多180°【分析】根据多边形的内角和定理求解可得．【解答】解：按如图所示方式将一多边形剪去一个角，则新多边形的边数增加一条，所以其内角和比原多边形的内角和多180°，故选：D．【点评】本题主要考查了多边形的内角和的计算公式，理解：剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，取决于其边数增加还是减少．是解决本题的关键．23．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（）个五边形．A．6B．7C．8D．9【分析】先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．【解答】解：五边形的内角和为（5﹣2）•180°=540°，所以正五边形的每一个内角为540°÷5=108°，如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1=360°﹣108°×3=360°﹣324°=36°，360°÷36°=10，∵已经有3个五边形，∴10﹣3=7，即完成这一圆环还需7个五边形．故选：B．【点评】本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的3个正五边形．二．填空题（共16小题）24．若一个多边形的内角和比外角和大360°，则这个多边形的边数为6．【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°，外角和等于360°列出方程求解即可．【解答】解：设多边形的边数是n，根据题意得，（n﹣2）•180°﹣360°=360°，解得n=6．故答案为：6．【点评】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，注意利用多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°是解题的关键．25．一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520°，则原多边形边数为15，16，17．【分析】先求出新多边形的边数，再根据截去一个角后的多边形与原多边形的边数相等，多1，少1三种情况进行讨论．【解答】解：设新多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=2520°，解得n=16，∵截去一个角后的多边形与原多边形的边数可以相等，多1或少1，∴原多边形的边数是15，16，17．故答案为：15，16，17．【点评】本题考查了多边形的内角和定理，难点在于截去一个角后的多边形与原多边形的边数相等，多1，少1，有这么三种情况．26．八边形的内角和为1080°．【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°进行计算即可得解．【解答】解：（8﹣2）•180°=6×180°=1080°．故答案为：1080°．【点评】本题考查了多边形的内角和，熟记内角和公式是解题的关键．27．若从一个多边形的一个顶点可以作3条对角线，则这个多边形的边数为6，它的内角和等于720度．【分析】从多边形一个顶点可作3条对角线，则这个多边形的边数是6，n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，代入公式就可以求出内角和．【解答】解：∵过多边形的一个顶点共有3条对角线，故该多边形边数为6，∴（6﹣2）•180°=720°，故答案为：6、720°．【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要熟记的内容，比较简单．28．一个多边形的每个外角都为36°，则这个多边形的每个顶点可引对角线7条．且这些对角线把多边形分成8个三角形．【分析】用360°除以每一个外角的度数求出边数，再根据多边形的对角线公式n ﹣3计算即可得解．【解答】解：多边形的边数=360°÷36°=10，这个多边形的每个顶点可引对角线条数=10﹣3=7条．这些对角线把多边形分成10﹣2=8个三角形．故答案为：7，8．【点评】本题考查了多边形的内角和外角，多边形的对角线，熟记公式是解题的关键．29．若正多边形的内角和是1080°，则该正多边形的边数是8．【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．【解答】解：根据n边形的内角和公式，得（n﹣2）•180=1080，解得n=8．∴这个多边形的边数是8．故答案为：8．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．30．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为5．【分析】利用多边形的外角和360°，除以外角的度数，即可求得边数．【解答】解：多边形的边数是：360÷72=5．故答案为：5．【点评】本题考查了多边形的外角和定理，理解任何多边形的外角和都是360度是关键．31．若正多边形的每一个内角为135°，则这个正多边形的边数是8．【分析】先求出每一外角的度数是45°，然后用多边形的外角和为360°÷45°进行计算即可得解．【解答】解：∵所有内角都是135°，∴每一个外角的度数是180°﹣135°=45°，∵多边形的外角和为360°，∴360°÷45°=8，即这个多边形是八边形．故答案为：8．【点评】本题考查了多边形的内角与外角的关系，也是求解正多边形边数常用的方法之一．32．从多边形的一个顶点出发引对角线，可以把这个多边形分割成7个三角形，则该多边形为九边形．【分析】从一个n边形的某个顶点出发，可以引（n﹣3）条对角线，把n边形分为（n﹣2）的三角形【解答】解：由题意可知，n﹣2=7，解得n=9．则这个多边形的边数为9，多边形为九边形．【点评】此题主要考查了多边形，关键是掌握从一个n边形的某个顶点出发，可以把n边形分为（n﹣2）个三角形33．如图，若正五边形和正六边形有一边重合，则∠BAC=132°．【分析】根据正多边形的内角，角的和差，可得答案．【解答】解：正五边形的内角为=108°，正六边形的内角为=120°，∠BAC=360°﹣108°﹣120°=132°，故答案为：132°．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用正多边形的内角是解题关键．34．从一个多边形的一个顶点出发一共有7条对角线，则这个多边形的边数为10．【分析】根据从多边形的一个顶点可以作对角线的条数公式（n﹣3）求出边数即可得解．【解答】解：∵多边形从一个顶点出发可引出7条对角线，∴n﹣3=7，解得n=10．故答案为：10．【点评】本题考查了一个顶点出发的对角线条数，牢记公式是解题的关键．35．一个多边形的每一个外角为30°，那么这个多边形的边数为12．【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360°，利用360°除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．【解答】解：多边形的边数：360°÷30°=12，则这个多边形的边数为12．【点评】根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．36．正n边形的一个外角的度数为60°，则n的值为6．【分析】先根据正n边形的一个外角的度数为60°求出其内角的度数，再根据多边形的内角和公式解答即可．【解答】解：∵正n边形的一个外角的度数为60°，∴其内角的度数为：180°﹣60°=120°，∴=120°，解得n=6．故答案为：6．【点评】本题考查的是多边形的内角与外角，熟知多边形的内角和公式是解答此题的关键．37．从多边形一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各个顶点，可以把五边形分割成3个三角形，把六边形分割成4个三角形…，如果是十二边形，可以分割成10个三角形．【分析】从n边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个多边形分割成（n﹣2）个三角形，依此作答．【解答】解：从多边形一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各个顶点，可以把五边形分割成3个三角形，把六边形分割成4个三角形…，如果是十二边形，可以分割成12﹣2=10个三角形．故答案为：10．【点评】本题主要考查了多边形的性质，从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为（n﹣2）．38．过多边形的某一个顶点的所有对角线可以把多边形分成5个三角形，则这个多边形是七边形．【分析】经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形，根据此关系式求边数．【解答】解：设多边形有n条边，则n﹣2=5，。

北师版八年级下册6.4多边形及其内角和１ 基本概念⑴ 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． ⑵ 多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． ⑶ 多边形的顶点：每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点．⑷ 多边形的对角线：在多边形中，连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．⑸ 多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．⑹ 多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角． ⑺ 正多边形：各个角相等，且各条边都相等的多边形叫做正多边形．⑻ 凸多边形：如果多边形的任何一边所在直线都使余下的边都在这条直线的同一侧的多边形．２ 基本性质 ⑴ 稳定性．⑵ 内角和与外角和定理．如下图，n 边形的内角和为(2)180n -⨯︒(3)n ≥，多边形的外角和都是360︒．⑶ n 边形的对角线：一个顶点有(3)n-条对角线，共有(3)2n n-条对角线． ⑷ 不特别强调多边形都指凸多边形，凸多边形的每个内角都小于180︒．模块一多边形的对角线【例1】 如果一个多边形共有27条对角线，则这个多边形的边数是 ． 【解析】略 【答案】9．【巩固】已知从n 边形的一个顶点出发共有4条对角线，其周长为56，且各边长是连续的自然数，求这个多边形的各边之长．分割成(n-2)个三角形求内角和n 个平角-内角和【解析】提示：根据对角线条数先判断边数，在设未知数列方程求解． 【答案】567891011，，，，，，．【巩固】已知一个多边形的对角线的条数为边数的2倍，求该多边形的边数．【解析】提示：设边数为x ，则()322x xx -=．【答案】7【例2】 一个多边形的对角线的条数与它的边数相等，这个多边形是（ ）边形．【解析】设多边形有n 条边，则根据题意可列：(3)2n nn -=，解得n 1=5，n 2=0（舍去）， 故多边形的边数为5．【答案】C ．【巩固】一个n 边形的边数增加一条，那么它的对角线增加 条． 【解析】略 【答案】1；【例3】 从n 边形的一个顶点作对角线，把这个n 边形分成三角形的个数是（ ） 【解析】从n 边形的一个顶点作对角线，把这个n 边形分成三角形的个数是（n-2）． 【答案】C【巩固】一个多边形，把一个顶点与其它各顶点连接起来，把这个多边形分成了12个三角形，则这个多边形的边数（ ）【解析】通过分析可知，n-2=12，则n=14． 【答案】A ．模块二 多边形的内角和与外角和内角和【例4】 已知一个多边形的内角和是540︒，则这个多边形是( )A ．四边形B ．五边形C ．六边形D ．七边形【解析】略 【答案】Ｂ．【巩固】一个多边形共有14条对角线，则它的内角和为___________.【解析】一个n 边形，从一个顶点出发，有()3n -条对角线，故共有()132n n -条对角线，于是有()13142n n -=，从而7n =，∴这个三角形的内角和为()72180900-⋅︒=︒【答案】900︒【例5】 在四边形ABCD 中，60D ∠=︒，B ∠比A ∠大20︒，C ∠是A ∠的2倍，求A ∠，B ∠，C ∠的大小．【解析】设(度)，则，．根据四边形内角和定理得，． 解得，，∴，，．【答案】，，【巩固】如图，已知在一次科技活动中，需要将一张面积为210cm 的四边形四角都剪去一个扇形的区域，扇形的半径均为1cm ，求剩余纸张的面积．【解析】四边形ABCD 的内角和为360︒，故四个扇形的面积和等于π，∴剩余纸张的面积为10π-．【答案】10π-【例6】 一个凸多边形的内角中，最多有 个锐角． 【解析】略 【答案】3【巩固】如果一个多边形的边数增加1倍后，它的内角和是2160︒，那么原来多边形的边数是 ． 【解析】略 【答案】7【巩固】如下图中每个阴影部分是以多边形各顶点为圆心，1为半径的扇形，并且所有多边形的每条边长都大于2，则第n 个多边形中，所有扇形面积之和是 (结果保留π)．【解析】略【答案】π2n ．外角和【例7】 若一个正多边形的一个外角是40︒，则这个正多边形的边数是( )A ．10B ．9C ．8D ．6【解析】略x A =∠20+=∠x B x C 2=∠360602)20(=++++x x x 70=x ︒=∠70A ︒=∠90B ︒=∠140C ︒=∠70A ︒=∠90B ︒=∠140C DCBA第3个第2个第1个【答案】Ｂ【答案】已知一个五边形的外角度数之比为1:2:3:4:5，求它的内角大小． 【解析】略【答案】60︒，84︒，108︒，132︒，156︒；【例8】 如右图，小明从点A 出发，向前走2米，左拐20︒，再向前走2米，再左拐20︒，如此下去，小明能否回到出发点A ？如果能，第一次回到出发点共走了多少路程？【解析】略【答案】能，36m ．【例1】 如图，讲六边形ABCDEF 沿直线GH 折叠，使点A B ，落在六边形CDEFGH 内部，则下列结论正确的是（ ）A ．()129002C D E F ∠+∠=︒-∠+∠+∠+∠B ．()1210802CDEF ∠+∠=︒-∠+∠+∠+∠ C ．()12720C D E F ∠+∠=︒-∠+∠+∠+∠D ．()1123602C D E F ∠+∠=︒-∠+∠+∠+∠ 【解析】如图，设FA 的延长线与CB 的延长线交于点P ，'GA 的延长线与'HB 的延长线交于点'P ，连接'PP ，由对称性知，12'22'APP BPP ∠=∠∠=∠，，∴122APB ∠+∠=∠， 又∵()540APB C D E F ∠=︒-∠+∠+∠+∠，∴()1210802C D E F ∠+∠=︒-∠+∠+∠+∠．A222220︒20︒20︒B'A'21FEDC BA【答案】B模块三 正多边形与镶嵌知识点播：几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．【例9】 下列多边形中，不能够单独铺满地面的是（ ）A .正三角形B .正方形C .正五边形D .正六边形【解析】用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正方形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．不能铺满地面的是正五边形．【答案】C ．【巩固】若限于用同一种正多边形磁砖镶嵌（要求镶嵌的正多边形的边必须与另一正多边形的边重合），则不能镶嵌成一个平面的正多边形磁砖的形状是（ ） A 、正三角形 B 、正方形 C 、正六边形 D 、正八边形【解析】A 、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；B 、正方形的每个内角是90°，4个能密铺；C 、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺；D 、正八边形的每个内角为：180°-360°÷8=135°，不能整除360°，不能密铺．【答案】D ．【例10】 有下列五种正多边形地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤正八边形，现要用同一种大小一样、形状相同的正多边形地砖铺设地面，其中能做到此之间不留空隙、不重叠地铺设的地砖有（ ）A .4种B .3种C .2种D .1种【解析】①正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能够铺满地面；②正方形的每个内角是90°，能整除360°，能够铺满地面；③正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，不能整除360°，不能够铺满地面；P'PB'A'21FEDCB A④正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能够铺满地面；⑤正八边形的每个内角为：180°-360°÷8=135°，不能整除360°，不能够铺满地面．【答案】B．【巩固】下列平面图形中，不能镶嵌平面的图形是（）A.任意一种三角形B.任意一种正方形C.任意一种正五边形D.任意一种正六边形【解析】∵用一般凸多边形镶嵌，用任意的同一种三角形或四边形能镶嵌成一个平面图案，∴A、B能镶嵌平面的图形；C、任意一个正五边形的内角为108°，不能镶嵌平面的图形；∵用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图∴D能镶嵌平面的图形．【答案】C．【例11】下述美妙的图案中，是由正三角形、正方形、正六边形、正八边形中的三种镶嵌而成的为（）A、B、C、D、【解析】A、从一个顶点处看，由正六边形和正三角形镶嵌而成的；B、从一个顶点处看，由正方形和正三角形镶嵌而成的；C、从一个顶点处看，由正六边形和正方形镶嵌而成的；D、从一个顶点处看，由正三角形、正方形、正六边形三种镶嵌而成的．【答案】D．【巩固】张明同学设计了四种正多边形的瓷砖图案，在这四种瓷砖图案中，不能铺满地面的是（）A、B、C、D、【解析】∵能够铺满地面的图形是内角能凑成360°，∵正三角形一个内角60°，正方形一个内角90°，正五边形一个内角108°，正六边形一个内角120°，只有正五边形无法凑成360°．【答案】C．【巩固】小莹家的地面是由一个小正方形和四个等腰梯形这样的正方形地板砖镶嵌而成的，小莹发现地板上有正八边形图案，那么地板上的两个正八边形图案需要这样的地板砖至少（）A.8B.9C.11D.12【解析】由于正方形的一个内角为90°，同一顶点处等腰梯形的一个内角为：（360-90）÷2=135°，而八边形的内角为：180-360÷8=135°，那么小正方形的边长即为八边形的边长，画图如下．【答案】A．【例12】黑色正三角形与白色正六边形的边长相等，用它们镶嵌图案，方法如下：白色正六边形分上下两行，上面一行的正六边形个数比下面一行少一个，正六边形之间的空隙用黑色的正三角形嵌满．按第1，2，3个图案（如图）所示规律依次下去，则第n个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是（）A、n2+n+2，2n+1B、2n+2，2n+1C、4n，n2-n+3D、4n，2n+1【解析】第1个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是4，2×1+1=3；第2个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是2×4=8，2×2+1=5；第3个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是3×4=12，2×3+1=7；…第n个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是4n，3+（n-1）×2=2n+1．【答案】D．1. 请你分别在下列多边形的同一顶点出发画对角线：想一想：依此规律可以把10边形分成（）个三角形．【解析】四边形可分割成4-2=2个三角形；五边形可分割成5-2=3个三角形；六边形可分割成6-2=4个三角形；七边形可分割成7-2=5个三角形，同理，10边形可分割成10-2=8个三角形【答案】82. 一凸n边形最小的内角为95︒，其它内角依次增加10︒，则n=_________．【解析】这个凸n边形的内角由小到大依次为95105115125︒︒︒︒⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，它的外角依次为857565554535︒︒︒︒︒︒⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，，而这六个外角之和为857565554535360︒+︒+︒+︒+︒+︒=︒∴6n=．【答案】63. 已知小娟家的地板全由同一形状且大小相同的地砖紧密地铺成．若此地砖的形状是一正多边形，则下列何者不可能是此地砖的形状（）A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形【解析】A、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；B、正方形的每个内角是90°，4个能密铺；C、正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；D、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺．【答案】C．课后作业。

北师大新版八下6.4多边形的内角和和与外角和练习50题一．选择题（共20小题）1．下列说法正确的是()A．若AC BC=，则点C是线段AB的中点B．30.153015'︒=︒C．若经过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成七个三角形，则这个多边形是八边形D．钟表上的时间是11点10分，此时时针与分针所成的夹角是85︒2．正五边形的每个内角度数为()A．36︒B．72︒C．108︒D．120︒3．某正多边形的一个外角的度数为60︒，则这个正多边形的边数为() A．6B．8C．10D．124．多边形每一个内角都等于150︒，则从该多边形一个顶点出发，可引出对角线的条数为( )A．6条B．8条C．9条D．12条5．如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若1∠，2∠的∠，3∠，4外角和等于210︒，则BOD∠的度数为()A．30︒B．35︒C．40︒D．45︒6．如图，七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O，若1∠、2∠对∠、3∠、4应的邻补角和等于225︒，则BOD∠的度数为()A．35︒B．40︒C．45︒D．50︒7．如图，在四边形ABCD 中，DAB ∠的角平分线与ABC ∠的外角平分线相交于点P ，且210D C ∠+∠=︒，则(P ∠= )A ．10︒B ．15︒C ．30︒D ．40︒8．如图为矩形ABCD ，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a 和b ，则a b +不可能是( )A ．360︒B ．540︒C ．630︒D ．720︒9．把边长相等的正六边形ABCDEF 和正五边形GHCDL 的CD 边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG 交AF 于点P ，则(APG ∠= )A ．141︒B ．144︒C ．147︒D ．150︒10．将若干个大小相等的正五边形排成环状，如图所示是前3个五边形，要完成这一圆环还需_______个正五边形( )A ．6B ．7C ．8D ．911．一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，这个多边形的内角和是( )A ．360︒B ．540︒C．180︒或360︒D．540︒或360︒或180︒12．若四边形ABCD中，:::1:4:2:5A B C D∠∠∠∠=，则C D∠+∠等于() A．90︒B．180︒C．210︒D．270︒13．一个正多边形的每个内角的度数都等于相邻外角的2倍，则该正多边形的边数是()A．3B．4C．6D．1214．一个多边形的每一个内角都比外角多90︒，那么这个多边形的边数是() A．4B．6C．8D．1015．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分DAB∠，52ABD∠=︒，116ABC∠=︒，ACBα∠=︒，则BDC∠的度数为()A．αB．23αC．90α-D．2903α-16．过多边形的一个顶点可以引9条对角线，那么这个多边形的内角和为() A．1620︒B．1800︒C．1980︒D．2160︒17．一个正多边形的一个内角是它相邻外角的5倍，则这个正多边形的边数是() A．12B．10C．8D．618．一个正六边形和两个等边三角形的位置如图所示，370∠=︒，则12(∠+∠=)A．40︒B．50︒C．60︒D．70︒19．如图，一只蚂蚁从点A出发每向前爬行5厘米，就向左边偏转9︒，则这只蚂蚁回到点A 时，共爬行了()A ．100厘米B ．200厘米C ．400厘米D ．不能回到点A20．如图，四边形ABCD 纸片中，已知160A ∠=︒，30B ∠=︒，60C ∠=︒，四边形ABCD 纸片分别沿EF ，GH ，OP ，MN 折叠，使A 与A '、B 与B '、C 与C '、D 与D '重合，则12345678∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠-∠的值是( )A ．600︒B ．700︒C ．720︒D ．800︒二．填空题（共15小题）21．过一个多边形的一个顶点的对角线有6条，则该多边形是 边形．22．从多边形的一个顶点出发引对角线，可以把这个多边形分割成6个三角形，则该多边形为 边形．23．从多边形的一个顶点可以作出6条多边形的对角线，则该多边形的边数是 ．24．从一个多边形的某个顶点出发，分别连结这个点与其余各顶点，把这个多边形分割成10个三角形，这是 边形．25．八边形的对角线共有 条．26．六边形的对角线条数共有 条．27．过九边形的一个顶点有 条对角线．28．n p 表示多边形对角线的交点个数（指落在多边形内部的交点）如果这些交点都不重合（任意三条对角线不交于一点），如图，四边形对角线交点个数41P =，五边形对角线交点个数55P =．则六边形对角线交点个数6P = ；发现14n n n a n b P n a b---=g g g （其中a ，b 是常数4)n …，则12P = ．29．如图，在ABC ∆中，50A ∠=︒，若剪去A ∠得到四边形BCDE ，则12∠+∠= ．30．已知正多边形的一个外角与所有内角的和为1300︒，若从这个多边形的一个顶点出发，可以作m 条对角线，则m = ．31．若一个多边形的内角和是外角和的 3 倍， 则该多边形是 边形 （填该多边形的边数） ．32．某多边形内角和与外角和共1080︒，则这个多边形的边数是 ．33．小明从P 点出发，沿直线前进10米后向右转a ，接着沿直线前进10米，再向右转a ，⋯，照这样走下去，第一次回到出发地点P 时，一共走了120米，则a 的度数是 ．34．如果正n 边形的内角是它中心角的两倍，那么边数n 的值是 ．35．如图所示是三个边长相等的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，正多边形①和②的内角都是108︒，则正多边形③的边数是 ．三．解答题（共15小题）36．探究归纳题：（1）试验分析：如图1，经过A点可以做条对角线；同样，经过B点可以做条；经过C点可以做条；经过D点可以做条对角线．通过以上分析和总结，图1共有条对角线．（2）拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得：图2共有条对角线；图3共有条对角线；（3）探索归纳：对于n边形(3)n>，共有条对角线．（用含n的式子表示）（4）特例验证：十边形有对角线．37．【问题】用n边形的对角线把n边形分割成(2)n-个三角形，共有多少种不同的分割方案(4)n…？【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有nP种．探究一：用四边形的对角线把四边形分割成 2 个三角形，共有多少种不同的分割方案？如图①，图②，显然，只有 2 种不同的分割方案．所以，42P=，探究二：用五边形的对角线把五边形分割成 3 个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成三类：第 1 类： 如图③， 用A ，E 与B 连接， 先把五边形分割转化成 1 个三角形和 1 个四边形， 再把四边形分割成 2 个三角形， 由探究一知， 有4P 种不同的分割方案， 所以， 此类共有4P 种不同的分割方案 ．第 2 类： 如图④， 用A ，E 与C 连接， 把五边形分割成 3 个三角形， 有 1种不同的分割方案， 可视为412P 种分割方案 ． 第 3 类： 如图⑤， 用A ，E 与D 连接， 先把五边形分割转化成 1 个三角形和 1 个四边形， 再把四边形分割成 2 个三角形， 由探究一知， 有4P 种不同的分割方案， 所以， 此类共有4P 种不同的分割方案 ． 所以，54444415105224P P P P P P =++=⨯=⨯=（种) 探究三： 用六边形的对角线把六边形分割成 4 个三角形， 共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成四类：第 1 类： 如图⑥， 用A ，F 与B 连接， 先把六边形分割转化成 1 个三角形和 1 个五边形， 再把五边形分割成 3 个三角形， 由探究二知， 有5P 种不同的分割方案 ． 所以， 此类共有5P 种不同的分割方案 ．第 2 类： 如图⑦， 用A ，F 与C 连接， 先把六边形分割转化成 2 个三角形和 1 个四边形 ． 再把四边形分割成 2 个三角形， 由探究一知， 有4P 种不同的分割方案 ． 所以， 此类共有4P 种分割方案 ．第 3 类： 如图⑧， 用A ，F 与D 连接， 先把六边形分割转化成 2 个三角形和 1 个四边形， 再把四边形分割成 2 个三角形， 由探究一知， 有4P 种不同的分割方案， 所以， 此类共有4P 种分割方案 ．第 4 类： 如图⑨， 用A ，F 与E 连接， 先把六边形分割转化成 1 个三角形和 1 个五边形， 再把五边形分割成 3 个三角形， 由探究二知， 有5P 种不同的分割方案所以， 此类共有5P 种分割方案 ．所以，6544555555221414555P P P P P P P P P P =+++=+++===（种) 探究四： 用七边形的对角线把七边形分割成 5 个三角形， 则7P 与6P 的关系为： 6()76P P =，共有 种不同的分割方案 ．⋯⋯ 【结论】用n 边形的对角线把n 边形分割成(2)n -个三角形， 共有多少种不同的分割方案(4)n …？ （直 接写出n P 与1n P -的关系式， 不写解答过程） ．【应用】用八边形的对角线把八边形分割成 6 个三角形， 共有多少种不同的分割方案？ （应 用上述结论， 写出解答过程）38．连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．如图1，AC 、AD 是五边形ABCDE 的对角线，思考下列问题：①如图2，多边形12345n A A A A A A ⋯．中，过顶点1A 可以画 条对角线，过顶点2A 可以画 条对角线，过顶点3A 可以画 条对角线（用含n 的代数式表示）②过顶点1A 的对角线与过顶点3A 的对角线中有重复吗？③在此基础上，你能发现n 边形的对角线总条数的规律吗？ （用含n 的代数式表示）39．【问题】用n 边形的对角线把n 边形分割成(2)n -个三角形，共有多少种不同的分割方案(4)n …？【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n 边形的分割方案有n P 种．探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？ 如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以，42P =．探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？ 不妨把分割方案分成三类：第1类：如图③，用A ，E 与B 连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有4P 种不同的分割方案，所以，此类共有4P 种不同的分割方案．第2类：如图④，用A ，E 与C 连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为412P 种分割方案． 第3类：如图⑤，用A ，E 与D 连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有4P 种不同的分割方案，所以，此类共有4P 种不同的分割方案． 所以，54444415105224P P P P P P =++=⨯=⨯=（种) 探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？ 不妨把分割方案分成四类：第1类：如图⑥，用A ，F 与B 连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有5P 种不同的分割方案．所以，此类共有5P 种不同的分割方案．第2类：如图⑦，用A ，F 与C 连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有4P 种不同的分割方案．所以，此类共有4P 种分割方案第3类：如图⑧，用A ，F 与D 连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有4P 种不同的分割方案．所以，此类共有4P 种分割方案．第4类：如图⑨，用A ，F 与E 连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形．再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有5P 种不同的分割方案．所以，此类共有5P 种分割方案． 所以，6544555555221414555P P P P P P P P P P =+++=+++==（种) 探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则7P 与6P 的关系为：76()6P P =，共有 种不同的分割方案．⋯⋯ 【结论】用n 边形的对角线把n 边形分割成(2)n -个三角形，共有多少种不同的分割方案(4)n …？（直接写出n P 与1n P -的关系式，不写解答过程）． 【应用】用八边形的对角线把八边形分割成6个三角形，共有多少种不同的分割方案？ （应用上述结论，写出解答过程）40．一个多边形对角线的条数是它的边数的3倍，求这个多边形的边数．41．过m 边形的一个顶点有8条对角线，n 边形没有对角线，p 边形有p 条对角线，试求()n m p -的值．42．若过m 边形的一个顶点有7条对角线，n 边形没有对角线，k 边形对角线共有k 条，你能算出代数式nm k的值吗？43．已知3639273m m ⨯⨯=，求边数为m 的多边形的对角线条数． 44．探索归纳：（1）如图1，已知ABC ∆为直角三角形，90A ∠=︒，若沿图中虚线剪去A ∠，则12∠+∠等于.90A ︒ .135B ︒ .270C ︒ .315D ︒（2）如图2，已知ABC ∆中，40A ∠=︒，剪去A ∠后成四边形，则12∠+∠= （3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想12∠+∠与A ∠的关系是 （4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究12∠+∠与A ∠的关系并说明理由．45．如图，已知六边形ABCDEF 的每个内角都相等，连接AD ． （1）若148∠=︒，求2∠的度数； （2）求证：//AB DE ．46．一个正多边形的一个外角等于它的一个内角的13，这个正多边形是几边形？47．将纸片ABC ∆沿DE 折叠使点A 落在点A '处【感知】如图①，点A 落在四边形BCDE 的边BE 上，则A ∠与1∠之间的数量关系是 ； 【探究】如图②，若点A 落在四边形BCDE 的内部，则A ∠与12∠+∠之间存在怎样的数量关系？并说明理由．【拓展】如图③，点A 落在四边形BCDE 的外部，若180∠=︒，224∠=︒，则A ∠的大小为 ．48．如图，小明从点A 出发，前进10m 后向右转20︒，再前进10m 后又向右转20︒，这样一直下去，直到他第一次回到出发点A 为止，他所走的路径构成了一个多边形． （1）小明一共走了多少米？ （2）这个多边形的内角和是多少度？49．（1）如图①所示，在ABC∠+∠+∠=度；∆中，A B C（2）如图②所示，在五角星中，A B C D E∠+∠+∠+∠+∠=度；（3）如图③所示，在七角星中，A B C D E F G∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=度．50．一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求：（1）这个多边形是几边形？（2）这个多边形共有多少条对角线？北师大新版八下6.4多边形的内角和和与外角和练习50题（含解析）参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．下列说法正确的是()A．若AC BC=，则点C是线段AB的中点B．30.153015'︒=︒C．若经过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成七个三角形，则这个多边形是八边形D．钟表上的时间是11点10分，此时时针与分针所成的夹角是85︒【解答】解：A、错误，点C不一定在线段AB上，本选项不符合题意．B、错误．应该是30.15309︒=︒'，本选项不符合题意．C、错误，应该是这个多边形是九边形，本选项不符合题意．D、正确．故选：D．2．正五边形的每个内角度数为()A．36︒B．72︒C．108︒D．120︒【解答】解：正五边形的每个外角360725︒==︒，∴正五边形的每个内角18072108=︒-︒=︒，故选：C．3．某正多边形的一个外角的度数为60︒，则这个正多边形的边数为() A．6B．8C．10D．12【解答】解：由题意36060n︒︒=，6n∴=，故选：A．4．多边形每一个内角都等于150︒，则从该多边形一个顶点出发，可引出对角线的条数为( )A．6条B．8条C．9条D．12条【解答】解：设这个多边形是n边形．由题意360180150n=︒-︒，解得12n=，∴则从该多边形一个顶点出发，可引出对角线的条数为1239-=条，故选：C．5．如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若1∠，2∠，3∠，4∠的外角和等于210︒，则BOD∠的度数为()A．30︒B．35︒C．40︒D．45︒【解答】解：1∠Q、2∠、3∠、4∠的外角的角度和为210︒，12342104180∴∠+∠+∠+∠+︒=⨯︒，1234510∴∠+∠+∠+∠=︒，Q五边形OAGFE内角和(52)180540=-⨯︒=︒，1234540BOD∴∠+∠+∠+∠+∠=︒，54051030BOD∴∠=︒-︒=︒，故选：A．6．如图，七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O，若1∠、2∠、3∠、4∠对应的邻补角和等于225︒，则BOD∠的度数为()A．35︒B．40︒C．45︒D．50︒【解答】解：Q五边形AOEFG的外角和为360︒，且1∠、2∠、3∠、4∠对应的邻补角和等于225︒，AOE∴∠的邻补角为360225135︒-︒=︒，18013545BOD ∴∠=︒-︒=︒，故选：C ．7．如图，在四边形ABCD 中，DAB ∠的角平分线与ABC ∠的外角平分线相交于点P ，且210D C ∠+∠=︒，则(P ∠= )A ．10︒B ．15︒C ．30︒D ．40︒【解答】解：如图，210D C ∠+∠=︒Q ，360DAB ABC C D ∠+∠+∠+∠=︒， 150DAB ABC ∴∠+∠=︒．又DAB ∠Q 的角平分线与ABC ∠的外角平分线相交于点P ，111(180)90()165222PAB ABP DAB ABC ABC DAB ABC ∴∠+∠=∠+∠+︒-∠=︒+∠+∠=︒，180()15P PAB ABP ∴∠=︒-∠+∠=︒．故选：B ．8．如图为矩形ABCD ，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a 和b ，则a b +不可能是( )A ．360︒B ．540︒C ．630︒D ．720︒【解答】解：一条直线将该矩形ABCD 分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180︒的倍数，都能被180整除，分析四个答案，只有630不能被180整除，所以a b +不可能是630︒． 故选：C ．9．把边长相等的正六边形ABCDEF 和正五边形GHCDL 的CD 边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG 交AF 于点P ，则(APG ∠= )A ．141︒B ．144︒C ．147︒D ．150︒【解答】解：(62)1806120-⨯︒÷=︒，(52)1805108-⨯︒÷=︒，(62)180********APG ∠=-⨯︒-︒⨯-︒⨯720360216=︒-︒-︒144=︒．故选：B ．10．将若干个大小相等的正五边形排成环状，如图所示是前3个五边形，要完成这一圆环还需_______个正五边形( )A ．6B ．7C ．8D ．9【解答】解：五边形的内角和为(52)180540-︒=︒g， 所以正五边形的每一个内角为5405108︒÷=︒，如图，延长正五边形的两边相交于点O ，则1360108336032436∠=︒-︒⨯=︒-︒=︒， 3603610︒÷︒=，Q 已经有3个五边形， 1037∴-=，即完成这一圆环还需7个五边形． 故选：B ．11．一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，这个多边形的内角和是( ) A ．360︒ B ．540︒C ．180︒或360︒D ．540︒或360︒或180︒【解答】解：n 边形的内角和是(2)180n -︒g ，边数增加1，则新的多边形的内角和是(412)180540+-⨯︒=︒，所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是(42)180360-⨯︒=︒， 所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是(412)180180--⨯︒=︒， 因而所成的新多边形的内角和是540︒或360︒或180︒． 故选：D ．12．若四边形ABCD 中，:::1:4:2:5A B C D ∠∠∠∠=，则C D ∠+∠等于( ) A ．90︒B ．180︒C ．210︒D ．270︒【解答】解：:::1:4:2:5A B C D ∠∠∠∠=Q ， 253602101425C D +∴∠+∠=︒⨯=︒+++，故选：C ．13．一个正多边形的每个内角的度数都等于相邻外角的2倍，则该正多边形的边数是( ) A ．3B ．4C ．6D ．12【解答】解：36021802︒⨯÷︒+7201802=︒÷︒+42=+6=∴该正多边形的边数是6．故选：C ．14．一个多边形的每一个内角都比外角多90︒，那么这个多边形的边数是( ) A ．4B ．6C ．8D ．10【解答】解：设外角是x ，则内角是180x ︒-，依题意有 18090x x ︒-=+︒，解得45x =︒， 180135x ∴︒-=︒，又Q 任何多边形的外角是360︒， ∴多边形中外角的个数是360458÷=，即这个多边形的边数是8， 故选：C ．15．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分DAB ∠，52ABD ∠=︒，116ABC ∠=︒，ACB α∠=︒，则BDC ∠的度数为( )A ．αB ．23αC ．90α-D ．2903α-【解答】解：如图，过C 作CE AB ⊥于E ，CF BD ⊥于F ，CG AD ⊥于G ， 52ABD ∠=︒Q ，116ABC ∠=︒， 64DBC CBE ∴∠=∠=︒， BC ∴平分DBE ∠， CE CF ∴=，又AC Q 平分BAD ∠， CE CG ∴=， CF CG ∴=，又CG AD ⊥Q ，CF DB ⊥， CD ∴平分BDG ∠，CBE ∠Q 是ABC ∆的外角，DBE ∠是ABD ∆的外角，11()22ACB CBE CAB DBE DAB ADB ∴∠=∠-∠=∠-∠=∠，22ADB ACB α∴∠=∠=︒， 1802BDG α∴∠=︒-︒，1902BDC BDG α∴∠=∠=︒-︒，故选：C ．16．过多边形的一个顶点可以引9条对角线，那么这个多边形的内角和为( ) A ．1620︒B ．1800︒C ．1980︒D ．2160︒【解答】解：Q 过多边形的一个顶点共有9条对角线， 故该多边形边数为12，(122)1801800∴-︒=︒g ，∴这个多边形的内角和为1800︒．故选：B ．17．一个正多边形的一个内角是它相邻外角的5倍，则这个正多边形的边数是( ) A ．12B ．10C ．8D ．6【解答】解：设这个正多边的外角为x ︒，由题意得： 5180x x +=，解得：30x =， 3603012︒÷︒=．故选：A ．18．一个正六边形和两个等边三角形的位置如图所示，370∠=︒，则12(∠+∠= )A．40︒B．50︒C．60︒D．70︒【解答】解：Q图中是一个正六边形和两个等边三角形，∠=︒-∠-︒=︒-∠，∴∠=︒-∠-︒=︒-∠，1802601202ACB1801120601BAC∠=︒-︒-∠=︒-∠，1806031203ABCQ，370∠=︒∴∠=︒-︒-∠=︒-︒=︒．ABC1806031207050︒-∠+︒-∠+︒=︒，Q，即601120250180180BAC ACB ABC∠+∠+∠=︒∴∠+∠=︒．1250故选：B．19．如图，一只蚂蚁从点A出发每向前爬行5厘米，就向左边偏转9︒，则这只蚂蚁回到点A 时，共爬行了()A．100厘米B．200厘米C．400厘米D．不能回到点A 【解答】解：36095︒÷︒⨯405=⨯=（厘米）200答：这只蚂蚁回到点A时，共爬行了200厘米．故选：B．20．如图，四边形ABCD纸片中，已知160C∠=︒，60∠=︒，四边形ABCD纸∠=︒，30BA片分别沿EF，GH，OP，MN折叠，使A与A'、B与B'、C与C'、D与D'重合，则12345678∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠-∠的值是()A．600︒B．700︒C．720︒D．800︒【解答】解：Q四边形ABCD中，160C∠=︒，60∠=︒，BA∠=︒，30∴∠=︒-︒-︒-︒=︒，3601603060110D∴∠+∠=︒-︒-︒⨯=︒，12360(180160)232034360(180110)2220∠+∠=︒-︒-︒⨯=︒，∠+∠=︒-︒-︒⨯=︒，56360(18060)2120B B∠-∠=-∠+∠'=-︒，78()60∴∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠-∠12345678=︒+︒+︒-︒32022012060=︒．600故选：A．二．填空题（共15小题）21．过一个多边形的一个顶点的对角线有6条，则该多边形是九边形．【解答】解：Q过一个多边形的一个顶点的对角线有6条，∴多边形的边数为639+=，∴这个多边形是九边形．故答案为九．22．从多边形的一个顶点出发引对角线，可以把这个多边形分割成6个三角形，则该多边形为八边形．【解答】解：628+=，则该多边形为八边形．23．从多边形的一个顶点可以作出6条多边形的对角线，则该多边形的边数是9．【解答】解：设这个多边形是n边形．依题意，得36n-=，解得9n =．故该多边形的边数是9．故答案为：9．24．从一个多边形的某个顶点出发，分别连结这个点与其余各顶点，把这个多边形分割成10个三角形，这是 12 边形． 【解答】解：由题意可知，210n -=，解得12n =．所以这个多边形的边数为12．故答案为：12．25．八边形的对角线共有 20 条．【解答】解：八边形的对角线条数应该是：8(83)202⨯-=， 故答案为：20．26．六边形的对角线条数共有 9 条．【解答】解：六边形的对角线的条数6(63)92-==． 故答案为：9． 27．过九边形的一个顶点有 6 条对角线．【解答】解：从九边形的一个顶点出发，可以向与这个顶点不相邻的6个顶点引对角线，即能引出6条对角线，故答案为：628．n p 表示多边形对角线的交点个数（指落在多边形内部的交点）如果这些交点都不重合（任意三条对角线不交于一点），如图，四边形对角线交点个数41P =，五边形对角线交点个数55P =．则六边形对角线交点个数6P = 15 ；发现14n n n a n b P n a b---=g g g （其中a ，b 是常数4)n …，则12P = ．【解答】解：由画图，可得：当4n=时，41P=；当5n=时，55P=．将数值将41P=，55P=代入公式，得：4144 1445155554a ba ba ba b---⎧=⨯⨯⨯⎪⎪⎨---⎪=⨯⨯⨯⎪⎩，解得：23ab=⎧⎨=⎩，123423nn n nP n---∴=g g g，∴六边形对角线交点个数615P=，12495P=，故答案为：15，495．29．如图，在ABC∆中，50A∠=︒，若剪去A∠得到四边形BCDE，则12∠+∠=230︒．【解答】解：ABC∆Q中，50A∠=︒，18050130B C∴∠+∠=︒-︒=︒，12360B C∠+∠+∠+∠=︒Q，12360130230∴∠+∠=︒-︒=︒．故答案为：230︒．30．已知正多边形的一个外角与所有内角的和为1300︒，若从这个多边形的一个顶点出发，可以作m条对角线，则m=6．【解答】解：1300718040(92)18040︒=⨯︒+︒=-⨯︒+︒Q，∴这个多边形的边数为9，936m∴=-=，故答案为：6．31．若一个多边形的内角和是外角和的3 倍，则该多边形是八边形（填该多边形的边数） ．【解答】解： 设这个多边形的边数为n ，由题意得，(2)1803603n -⨯︒=︒⨯，解得8n =，则这个多边形的边数为 8 ．故答案为： 八 ．32．某多边形内角和与外角和共1080︒，则这个多边形的边数是 6 ．【解答】解：Q 多边形内角和与外角和共1080︒，∴多边形内角和1080360720=︒-︒=︒，设多边形的边数是n ，(2)180720n ∴-⨯︒=︒，解得6n =． 故答案为：6．33．小明从P 点出发，沿直线前进10米后向右转a ，接着沿直线前进10米，再向右转a ，⋯，照这样走下去，第一次回到出发地点P 时，一共走了120米，则a 的度数是 30︒ ．【解答】解：由题意，得 1201012÷=，图形是十二边形，3601230α=︒÷=︒，故答案为：30︒．34．如果正n 边形的内角是它中心角的两倍，那么边数n 的值是 6 ．【解答】解：依题意有(2)1803602n n n-=⨯g ， 解得6n =．故答案为：6．35．如图所示是三个边长相等的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，正多边形①和②的内角都是108︒，则正多边形③的边数是 10 ．【解答】解：360108108144︒-︒-︒=︒，︒-︒=︒，18014436︒÷︒=．3603610故答案为：10．三．解答题（共15小题）36．探究归纳题：（1）试验分析：如图1，经过A点可以做1条对角线；同样，经过B点可以做条；经过C点可以做条；经过D点可以做条对角线．通过以上分析和总结，图1共有条对角线．（2）拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得：图2共有条对角线；图3共有条对角线；（3）探索归纳：n>，共有条对角线．（用含n的式子表示）对于n边形(3)（4）特例验证：十边形有对角线．【解答】解：经过A点可以做1条对角线；同样，经过B点可以做1条；经过C点可以做1条；经过D点可以做1条对角线．通过以上分析和总结，图1共有2条对角线．（2）拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得：图2共有 5条对角线；图3共有 9条对角线；（3）探索归纳：对于n 边形(3)n >，共有(3)2n n -条对角线． （4）特例验证： 十边形有10(103)352⨯-=对角线． 故答案为：（1）1，1，1，1，2；5，9；(3)2n n -；35． 37．【问题】用n 边形的对角线把n 边形分割成(2)n -个三角形， 共有多少种不同的分割方案(4)n …？【探究】为了解决上面的数学问题， 我们采取一般问题特殊化的策略， 先从最简单情形入手， 再逐次递进转化， 最后猜想得出结论 ． 不妨假设n 边形的分割方案有n P 种 ．探究一： 用四边形的对角线把四边形分割成 2 个三角形， 共有多少种不同的分割方案？如图①， 图②， 显然， 只有 2 种不同的分割方案 ． 所以，42P =，探究二： 用五边形的对角线把五边形分割成 3 个三角形， 共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成三类：第 1 类： 如图③， 用A ，E 与B 连接， 先把五边形分割转化成 1 个三角形和 1 个四边形， 再把四边形分割成 2 个三角形， 由探究一知， 有4P 种不同的分割方案， 所以， 此类共有4P 种不同的分割方案 ．第 2 类： 如图④， 用A ，E 与C 连接， 把五边形分割成 3 个三角形， 有 1种不同的分割方案， 可视为412P 种分割方案 ． 第 3 类： 如图⑤， 用A ，E 与D 连接， 先把五边形分割转化成 1 个三角形和 1 个四边形， 再把四边形分割成 2 个三角形， 由探究一知， 有4P 种不同的分割方案， 所以， 此类共有4P 种不同的分割方案 ． 所以，54444415105224P P P P P P =++=⨯=⨯=（种) 探究三： 用六边形的对角线把六边形分割成 4 个三角形， 共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成四类：第 1 类： 如图⑥， 用A ，F 与B 连接， 先把六边形分割转化成 1 个三角形和 1 个五边形， 再把五边形分割成 3 个三角形， 由探究二知， 有5P 种不同的分割方案 ． 所以， 此类共有5P 种不同的分割方案 ．第 2 类： 如图⑦， 用A ，F 与C 连接， 先把六边形分割转化成 2 个三角形和 1 个四边形 ． 再把四边形分割成 2 个三角形， 由探究一知， 有4P 种不同的分割方案 ． 所以， 此类共有4P 种分割方案 ．第 3 类： 如图⑧， 用A ，F 与D 连接， 先把六边形分割转化成 2 个三角形和 1 个四边形， 再把四边形分割成 2 个三角形， 由探究一知， 有4P 种不同的分割方案， 所以， 此类共有4P 种分割方案 ．第 4 类： 如图⑨， 用A ，F 与E 连接， 先把六边形分割转化成 1 个三角形和 1 个五边形， 再把五边形分割成 3 个三角形， 由探究二知， 有5P 种不同的分割方案所以， 此类共有5P 种分割方案 ． 所以，6544555555221414555P P P P P P P P P P =+++=+++===（种) 探究四： 用七边形的对角线把七边形分割成 5 个三角形， 则7P 与6P 的关系为： 6()76P P =，共有 42 种不同的分割方案 ．⋯⋯ 【结论】用n 边形的对角线把n 边形分割成(2)n -个三角形， 共有多少种不同的分割方案(4)n …？ （直 接写出n P 与1n P -的关系式， 不写解答过程） ．【应用】用八边形的对角线把八边形分割成 6 个三角形， 共有多少种不同的分割方案？ （应 用上述结论， 写出解答过程）【解答】解：探究四：用七边形的对角线把七边形分割成 5 个三角形，如图所示：不妨把分制方案分成五类：第1 类：如图 1 ，用A，G与B连接，先把七边形分割转化成 1 个三角形P种不同的分割方案，所以，此类共有和 1 个六边形，由探究三知，有6P种不同的分割方案．6第2 类：如图 2 ，用A，G与C连接，先把七边形分割转化成 2 个三角形P种不同的分割方案．所以，此类共和 1 个五边形．由探究二知，有5有5P 种分割方案 ．第 3 类： 如图 3 ，用A ，G 与D 连接， 先把七边形分割转化成 1 个三角形和 2 个四边形 ． 由探究一知， 有42P 种不同的分割方案 ． 所以， 此类共有42P 种分割方案 ．第 4 类： 如图 4 ，用A ，G 与E 连接， 先把七边形分割转化成 2 个三角形和 1 个五边形 ． 由探究二知， 有5P 种不同的分割方案 ． 所以， 此类共有5P 种分割方案 ．第 5 类： 如图 5 ，用A ，G 与F 连接， 先把七边形分割转化成 1 个三角形和 1 个六边形 ． 由探究三知， 有6P 种不同的分割方案 ． 所以， 此类共有6P 种分割方案 ． 所以，765456666665518222234214146P P P P P P P P P P P =++++=+⨯+⨯===（种)． 故答案为： 18 ， 42 ；【结论】： 由题意知：54104P P =⨯，65145P P =，76186P P =，⋯ 14101n n n P P n --∴=-； 【应用】 根据结论得：874810224213277P P ⨯-=⨯=⨯=． 38．连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 如图1，AC 、AD 是五边形ABCDE 的对角线，思考下列问题： ①如图2，多边形12345n A A A A A A ⋯．中，过顶点1A 可以画 (3)n - 条对角线，过顶点2A 可以画 条对角线，过顶点3A 可以画 条对角线（用含n 的代数式表示） ②过顶点1A 的对角线与过顶点3A 的对角线中有重复吗？③在此基础上，你能发现n 边形的对角线总条数的规律吗？ （用含n 的代数式表示）。

第六章　平行四边形4　多边形的内角和与外角和基础过关全练知识点1　多边形的内角和定理 1.(2020北京顺义二模)如图,四边形ABCD中,过点A的直线l将该四边形分割成两个多边形,若这两个多边形的内角和分别为α和β,则α+β=( )A.360°B.540°C.720°D.900°2.【新独家原创】嘉嘉买了一副新眼镜,镜片的形状是八边形,八边形的内角和是 .3.【教材变式·P155T1变式】通过画出多边形的对角线,可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题,如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有9条,那么该多边形的内角和是 度.4.【一题多解】若一个多边形的边数增加1,其内角和变为1 440°,求原多边形的边数.知识点2　正多边形的内角5.(2020贵州遵义期末)如图,点D、A、B、C是正十边形依次相邻的顶点,分别连接AC、BD相交于点P,则∠DPC= 度.6.(2022江苏连云港二模)如图,正八边形ABCDEFGH中,延长对角线BF与边DE的延长线交于点M,则∠M= °.7.(2022河北邯郸二模)如图,在正六边形ABCDEF的内部作正五边形DEMGH.(1)∠CDH= °;(2)连接EG并延长,交AB于点N,则∠ANE= °.知识点3　多边形的外角和8.(2022河北石家庄二模)如图,∠1=∠2=∠3=∠4=62°,分别作∠DEF和∠EFA的平分线,并交于点P,则∠P的度数是( )A.55°B.56°C.57°D.60°9.如图,BE、DF分别平分四边形ABCD的外角∠MBC和∠NDC,若∠BAD=α,∠BCD=β.(1)试说明:∠MBC+∠NDC的度数与α,β的数量关系;(2)如图1,若BE与DF相交于点G,∠BGD=30°,请写出α、β所满足的等量关系;(3)如图2,若α=β,判断BE和DF的位置关系,并说明理由.图1图2能力提升全练10.(2022山东烟台中考,5,)一个正多边形每个内角与每个外角的度数比为3∶1,则这个正多边形是( ) A.正方形 B.正六边形C.正八边形D.正十边形11.(2022四川南充中考,5,)如图,在正五边形ABCDE中,以AB为边向内作正△ABF,则下列结论错误的是( )A.AE=AFB.∠EAF=∠CBFC.∠F=∠EAFD.∠C=∠E12.(2021河北保定竞秀一模,8,)嘉淇用一些完全相同的△ABC纸片拼接图案,已知用六个△ABC纸片按如图1所示的方法拼接,可得外轮廓是正六边形图案,若用n个△ABC纸片按如图2所示的方法拼接,那么可以得到外轮廓的图案是( )图1图2A.正七边形B.正八边形C.正九边形D.正十边形13.(2022广东深圳公明中学期中,12,)如果一个多边形的每一个内角都是144°,那么这个多边形是 边形.素养探究全练14.【运算能力】(2022安徽合肥瑶海期末)在多边形中若各个内角度数之比是连续正整数,那么我们称这个多边形为“特质多边形”,例如度数之比为1∶2∶3的三角形就叫做“特质三角形”,1、2、3就是这个三角形的“特质数”.如果一个“特质三角形”有一个内角的度数是50°,那么这个三角形的“特质数”是 .答案全解全析基础过关全练1.B　如图,设直线l与CD交于点E.∵四边形ABCE的内角和为(4-2)×180°=360°,三角形ADE的内角和为180°,∴α+β=360°+180°=540°.故选B.2.答案　1 080°解析　八边形的内角和为(8-2)×180°=1 080°.3.答案　1 800解析　设这个多边形的边数为n,∵多边形的一个顶点出发的对角线共有9条,∴n-3=9,∴n=12,∴该多边形的边数是12,∴该多边形的内角和=(12-2)×180°=1 800°,故答案是1 800.4.解析　解法一:设原多边形的边数为n,则原多边形的边数增加1后的多边形的边数为n+1,则(n+1-2)×180°=1 440°,解得n=9.故原多边形的边数为9.解法二:∵多边形边数每增加1,其内角和就增加180°,∴原多边形的内角和为1 440°-180°=1 260°,设原多边形的边数为n,则(n-2)×180°=1 260°,解得n=9.故原多边形的边数为9.5.答案　144解析　∵∠DAB 和∠ABC 是正十边形的内角,∴∠DAB =∠ABC =(10―2)×180°10=144°,DA =AB =BC ,∴∠ABD =180°―∠DAB 2=180°―144°2=18°,∠BCA =180°―∠ABC 2=180°―144°2=18°,∴∠PBC =∠ABC -∠ABD =144°-18°=126°,∴∠DPC =∠PBC +∠PCB =126°+18°=144°,故答案为144.6.答案　22.5解析　∵八边形ABCDEFGH 是正八边形,∴∠EFG =∠DEF =(8-2)×180°÷8=135°,∴∠FEM =45°,∵八边形ABCDEFGH 是正八边形,∴FB 平分∠EFG ,∴∠EFB =∠BFG =12∠EFG =67.5°,∵∠BFE =∠FEM +∠M ,∴∠M =∠BFE -∠FEM =67.5°-45°=22.5°,故答案为22.5.7.答案　(1)12　(2)72解析　(1)∵六边形ABCDEF 是正六边形,∴∠A =∠F =∠CDE =180°×(6―2)6=120°,∵五边形DEMGH 是正五边形,∴∠GME =∠HDE =180°×(5―2)5=108°,∴∠CDH =∠CDE -∠HDE =12°.(2)∵MG =ME ,∠GME =108°,∴∠MEG =∠MGE =36°,由(1)的方法可得∠FEM =12°,∴∠FEN =48°,∴在四边形ANEF 中,∠ANE =360°-∠A -∠F -∠FEN =72°.8.B ∵∠1=∠2=∠3=∠4=62°,多边形的外角和为360°,∴∠5+∠6=360°-62°×4=112°,∴∠DEF +∠AFE =248°,∵EP ,FP 分别平分∠DEF 和∠AFE ,∴∠FEP =12∠DEF ,∠EFP =12∠AFE ,∴∠FEP +∠EFP =12(∠DEF +∠AFE )=124°,∴∠P =180°-124°=56°.故选B .9.解析　(1)由四边形内角和得,∠ABC +∠ADC =360°-(α+β),∴∠MBC +∠NDC=(180°-∠ABC )+(180°-∠ADC )=360°-(∠ABC +∠ADC )=360°-360°+α+β=α+β.(2)如图,连接BD ,由(1)得,∠MBC +∠NDC =α+β,∵BE 、DF 分别平分∠MBC 和∠NDC ,∴∠CBG =12∠MBC ,∠CDG =12∠NDC ,∴∠CBG +∠CDG =12∠MBC +12∠NDC =12(∠MBC +∠NDC )=12(α+β),在△BCD 中,∠BDC +∠CBD =180°-∠BCD =180°-β,在△BDG 中,∠GBD +∠GDB +∠BGD =180°,∴∠CBG +∠CBD +∠CDG +∠BDC +∠BGD =180°,∴(∠CBG +∠CDG )+(∠BDC +∠CBD )+∠BGD =180°,∴12(α+β)+180°-β+30°=180°,∴β-α=60°.(3)BE ∥DF.理由:如图,延长BC 交DF 于H ,由(1)得,∠MBC +∠NDC =α+β,∵BE 、DF 分别平分∠MBC 和∠NDC ,∴∠CBE =12∠MBC ,∠CDH =12∠NDC ,∴∠CBE +∠CDH =12∠MBC +12∠NDC =12(∠MBC +∠NDC )=12(α+β),∵∠BCD =∠CDH +∠DHB ,∴∠CDH =∠BCD -∠DHB =β-∠DHB ,∴∠CBE +β-∠DHB =12(α+β),∵α=β,∴∠CBE +β-∠DHB =12(β+β)=β,∴∠CBE =∠DHB ,∴BE ∥DF.能力提升全练10.C 设这个正多边形的每个内角的度数是3x°,则每个外角的度数是x°,根据题意得x +3x =180,解得x =45,360°÷45°=8,故选C .11.C ∵五边形ABCDE 是正五边形,=108°,故D选项结论∴AE=AB,∠C=∠E=∠EAB=∠ABC=(5―2)×180°5正确;∵△ABF是正三角形,∴∠FAB=∠FBA=∠F=60°,AB=AF=FB,∴∠EAF=∠EAB-∠FAB=108°-60°=48°,∠CBF=∠ABC-∠FBA=108°-60°=48°,∴∠EAF=∠CBF,故B选项结论正确;∵AB=AE,AB=AF=FB,∴AE=AF,故A选项结论正确;∵∠F=60°,∠EAF=48°,∴∠F≠∠EAF,故C选项结论错误,故选C.12.C　正六边形的内角和为(6-2)×180°=720°,所以每个内角的度数为720°÷6=120°,所以∠ACB=120°-80°=40°,所以∠BAC=180°-40°-80°=60°.所以用n个△ABC纸片按题图2的方法拼接得到外轮廓图案的每个外角度数为180°-60°-80°=40°,=9,所以得到外轮廓的图案是正九边形.因为360°40°故选C.13.答案　十解析　∵一个多边形的每个内角都是144°,∴这个多边形的每个外角都是180°-144°=36°,∴这个多边形的边数=360°÷36°=10.故答案为十.素养探究全练14.答案　5、6、7解析　设“特质数”中最小的一个是n,则另两个依次是n+1、n+2,①当50°角是最小角时,由题意得,n×180°=50°,n+n+1+n+2解得n=5,则n+1=6,n+2=7;②当50°角是中间度数的角时,由题意得,n+1×180°=50°,n+n+1+n+2此时无解;③因为三角形内角和是180°,所以50°角不会是三个角中最大的角.故答案为5、6、7.。

4　多边形的内角和与外角和必备知识·基础练(打“√”或“×”)1．若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以列出8条对角线，则它是十一边形．(　√　)2．每条边都相等的多边形是正多边形．(　×　)3．多边形的外角和都等于360°.(　√　)4．每个角都相等的多边形是正多边形．(　×　)知识点1　多边形的内角和1．若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为(B)A．4　B．5 C．6　D．7【解析】设多边形的边数是n，则(n－2)·180°＝540°，解得n＝5. 2．六边形的内角和为(C)A．360° B．540° C．720° D．1 080°【解析】根据多边形的内角和可得：(6－2)×180°＝720°.3．多边形的内角和不可能为(D)A．180° B．540° C．1 080° D．1 200°【解析】因为在这四个选项中不是180°的倍数的只有1 200°.4．如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是__30__°.【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠α＝180°－(540°－70°－140°－180°)＝30°.5．如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是__144°__．【解析】因为五边形ABCDE是正五边形，所以∠C＝（5－2）·180°5＝36°，所以∠BDM＝180°＝108°，BC＝DC，所以∠BDC＝180°－108°2－36°＝144°知识点2　多边形的外角和6．正五边形的外角和为(B)A．180° B．360° C．540° D．720°【解析】任意多边形的外角和都是360°，故正五边形的外角和的度数为360°.7．正多边形的一个外角为60°，则这个多边形的边数为(B)A．5　B．6　C．7　D．8【解析】设所求正n边形边数为n，则60°·n＝360°，解得n＝6.故正多边形的边数是6.8.如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D…照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为(B)A．100米B．80米C．60米D．40米【解析】∵小明每次都是沿直线前进10米后向左转45度，∴他走过的图形是正多边形，∴边数n＝360°÷45°＝8，∴他第一次回到出发点A时，一共走了8×10＝80(m).9．游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是(A)A ．每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走B ．每段直路要短C ．每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走D ．每段直路要长【解析】∵从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，∴360°5＝72°，∴每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走．10．一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是__6__．【解析】设这个多边形的边数为n ，依题意，得：(n －2)·180°＝2×360°，解得n ＝6.11．若一个多边形的外角和比它的内角和的14少90°，求多边形的边数．【解析】设这个多边形是n 边形，(n －2)×180°×14－90°＝360°，解得n＝12，答：这个多边形的边数是12. 关键能力·综合练12．一个多边形的内角和是1 080°，则这个多边形的边数是(B) A．9　B．8　C．7　D．6【解析】设所求正n边形边数为n，则1 080°＝(n－2)·180°，解得n＝8.13．一个多边形的内角和是外角和的4倍，这个多边形的边数是(C) A．8 B．9 C．10 D．11【解析】设这个多边形的边数为n，则该多边形的内角和为(n－2)×180°，依题意得：(n－2)×180°＝360°×4，解得：n＝10，∴这个多边形的边数是10.14．(2021·咸宁质检)若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为(C)A．45° B．60° C．72° D．90°【解析】∵正多边形的内角和是540°，∴多边形的边数为540°÷180°＋2＝5，∵多边形的外角和都是360°，∴多边形的每个外角＝360°÷5＝72°. 15．如图为矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a＋b不可能是(C)A．360° B．540° C．630° D．720°【解析】一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180°的倍数，都能被180°整除，分析四个答案，只有630°不能被180°整除，所以a＋b不可能是630°.16．已知一个n边形的每一个外角都为30°，则n等于__12__．【解析】∵一个n边形的每一个外角都为30°，任意多边形的外角和都是360°，∴n＝360°÷30°＝12.17．如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC＝__30__度．【解析】正六边形的每个内角的度数为：（6－2）·180°＝120°，所以∠ABC＝120°－90°＝30°.618．已知正多边形的一个外角等于40°，则这个正多边形的内角和的度数为__1__260°__．【解析】正n边形的每个外角相等，且其和为360°，据此可得360°＝n 40°，解得n＝9.(9－2)×180°＝1 260°，即这个正多边形的内角和为1 260°.19．正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，则n＝__12__．＝120°，【解析】正六边形的一个内角为：（6－2）×180°6∵正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，∴正n边形一个外角为：120°÷4＝30°，∴n＝360°÷30°＝12.20．(2021·娄底质检)一个多边形的内角和与外角和的度数总和为1 260°，求多边形的边数．【解析】设多边形的边数是n，由题意得，(n－2)×180°＋360°＝1 260°，解得：n＝7.答：多边形的边数为7.21．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，将四边形沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC边上的点E处，若∠EBC＝20°，求∠EBD的度数．【解析】∵∠EBC＝20°，DC⊥BC，∴∠BEC＝70°，∴∠DEB＝110°，∴∠DAB＝110°，∵AD∥BC，∴∠ABC＝70°，∴∠ABE＝∠ABC－∠EBC＝70°－20°＝50°，∴∠EBD＝12∠ABE＝25°.22．(素养提升题)如图，正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5，且A3A4∥B3B4，直线l经过B2，B3，则直线l与A1A2的夹角α＝__48__°.【解析】延长A1A2交A4A3的延长线于C，设l交A1A2于E、交A4A3于D，如图所示：∵六边形A1A2A3A4A5A6是正六边形，正六边形的内角和为(6－2)×180°＝720°，∴∠A1A2A3＝∠A2A3A4＝720°6＝120°，∴∠CA2A3＝∠A2A3C＝180°－120°＝60°，∴∠C＝180°－60°－60°＝60°，∵五边形B1B2B3B4B5是正五边形，正五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°，∴∠B2B3B4＝540°5＝108°，∵A3A4∥B3B4，∴∠EDA4＝∠B2B3B4＝108°，∴∠EDC＝180°－108°＝72°，∴α＝∠CED＝180°－∠C－∠EDC＝180°－60°－72°＝48°.易错点　求多边形边数时漏解【案例】一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1 620°，则原来多边形的边数是__10或11或12__．【解析】设多边形截去一个角的边数为n，则(n－2)·180°＝1 620°，解得n＝11，∵截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1，∴原来多边形的边数是10或11或12.。

4多边形的内角和与外角和第1课时多边形的内角和知识点多边形的内角和1．多边形的内角和不可能为（）A．180°B．540°C．1 080°D．1 200°2．如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（）A．180°B．360°C．540°D．720°第2题图第6题图3．（n＋2）边形的内角和比n边形的内角和大（）A．180°B．360°C．n·180°D．n·360°4．若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为（）A．4 B．5 C．6 D．75．一个多边形从一个顶点出发有4条对角线，这个多边形的内角和为（）A．720°B．900°C．1 800°D．1 440°6．如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是．7．一个多边形的每一个内角为108°，则这个多边形是边形．8．小明想为校运动会设计一个内角和为2 020°的多边形图案标志，他的想法能实现吗？请你利用所学的知识加以说明．9．如图为长方形ABCD，一条直线将该长方形分割成两个多边形．若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a＋b不可能是（）A．360°B．540°C．630°D．720°10．如图所示，一个含60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2的度数为（）A．120°B．180°C．240°D．300°第10题图第11题图11．如图所示，过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角∠EAB的平分线相交于点P，且∠ABP＝60°，则∠APB＝.12．小马虎同学在计算某个多边形的内角和时得到1 840°，老师说他算错了，于是小马虎认真地检查了一遍．（1）若他检查发现其中一个内角多算了一次，求这个多边形的边数是多少？（2）若他检查发现漏算了一个内角，求漏算的那个内角是多少度？这个多边形是几边形？13．如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是．第2课时多边形的外角和知识点多边形的外角及外角和1．正五边形的外角和为（）A．180°B．360°C．540°D．720°2．已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是（）A．7 B．8C．9 D．103．若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为（）A．45°B．60°C．72°D．90°4．正六边形的一个外角等于度．5．已知正多边形的一个外角等于40°，则这个正多边形的内角和为．6．图1是我国古代建筑中的一种窗格．其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝度．7．一个正n边形的内角和是它外角和的4倍，求n的值．8．一个n边形变成（n＋1）边形，外角和（）A．减少180° B．增加90°C．增加180° D．不变9．若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是（）A．3 B．4C．5 D．610．如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC＝度．11．已知一个多边形的每个内角都比相邻外角的3倍还多20°，求这个多边形的边数．12．如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D，…，照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程是多少米？参考答案：4 多边形的内角和与外角和 第1课时 多边形的内角和知识点 多边形的内角和1．多边形的内角和不可能为（D ） A ．180° B ．540°C ．1 080°D ．1 200°2．如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（C ） A ．180° B ．360° C ．540°D ．720°第2题图 第6题图3．（n ＋2）边形的内角和比n 边形的内角和大（B ） A ．180° B ．360° C ．n ·180°D ．n ·360°4．若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为（B ） A ．4B ．5C ．6D ．75．一个多边形从一个顶点出发有4条对角线，这个多边形的内角和为（B ） A ．720° B ．900° C ．1 800°D ．1 440°6．如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是140°． 7．一个多边形的每一个内角为108°，则这个多边形是五边形．8．小明想为校运动会设计一个内角和为2 020°的多边形图案标志，他的想法能实现吗？请你利用所学的知识加以说明．解：假设这样的多边形图案存在，其边数为n. 由（n －2）·180°＝2 020°， 解得n ＝1329.因为求得的n 不是整数，所以他的想法不能实现．9．如图为长方形ABCD ，一条直线将该长方形分割成两个多边形．若这两个多边形的内角和分别为a 和b ，则a ＋b 不可能是（C ）A．360°B．540°C．630°D．720°10．如图所示，一个含60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2的度数为（C）A．120°B．180°C．240°D．300°第10题图第11题图11．如图所示，过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角∠EAB的平分线相交于点P，且∠ABP＝60°，则∠APB＝66°.12．小马虎同学在计算某个多边形的内角和时得到1 840°，老师说他算错了，于是小马虎认真地检查了一遍．（1）若他检查发现其中一个内角多算了一次，求这个多边形的边数是多少？（2）若他检查发现漏算了一个内角，求漏算的那个内角是多少度？这个多边形是几边形？解：（1）设这个多边形的边数是n，重复计算的内角的度数是x，则（n－2）·180°＝1 840°－x.∵1 840°＝10×180°＋40°，内角和为180°的整数倍，∴x＝40°，n－2＝10.∴n＝12.故这个多边形的边数是12.（2）设这个多边形的边数是m，没有计算在内的内角的度数是y，则（m－2）·180°＝1 840°＋y，∵1 840°＝11×180°－140°，内角和为180°的倍数，∴y＝140°，m－2＝11.∴m＝13.故漏算的那个内角是140°，这个多边形是十三边形．13．如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是180°或360°或540°．第2课时多边形的外角和知识点多边形的外角及外角和1．正五边形的外角和为（B）A．180°B．360°C．540°D．720°2．已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是（D）A．7 B．8C．9 D．103．若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为（C）A．45°B．60°C．72°D．90°4．正六边形的一个外角等于60度．5．已知正多边形的一个外角等于40°，则这个正多边形的内角和为1_260°．6．图1是我国古代建筑中的一种窗格．其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝360度．7．一个正n边形的内角和是它外角和的4倍，求n的值．解：多边形的外角和是360°，根据题意，得180°·（n－2）＝360°×4，解得n＝10.∴n的值为10.8．一个n边形变成（n＋1）边形，外角和（D）A．减少180° B．增加90°C．增加180° D．不变9．若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是（A）A．3 B．4C．5 D．610．如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC＝30度．11．已知一个多边形的每个内角都比相邻外角的3倍还多20°，求这个多边形的边数．解：设多边形的一个外角为α°，则与其相邻的内角为（3α＋20）°，由题意，得3α＋20＋α＝180.解得α＝40，即多边形的每个外角为40°.又∵多边形的外角和为360°，360÷40＝9，∴多边形的边数为9.12．如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D，…，照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程是多少米？解：∵小明每次都是沿直线前进10米后向左转45°，∴他走过的图形是正多边形．∴边数n＝360÷45＝8.∴8×10＝80（米）．答：小明第一次回到出发点A时所走的路程是80米．。

6.4多边形的内角和与外角和一、单选题1．十二边形的每个内角都相等，它的一个外角的度数是（）．A．30°B．35︒C．40︒D．45︒【答案】A【解析】【分析】由十二边形的每个内角都相等，可得这个十二边形的每个外角也都相等，再利用多边形的外角和可得答案.解： 十二边形的每个内角都相等，∴这个十二边形的每个外角也都相等，∴它的一个外角的度数是36030, 12︒=︒故选：.A【点睛】本题考查的是多边形的外角和为360︒，多边形的任何一个内角与其相邻的外角互补，掌握以上知识是解题的关键.2．已知一个多边形的内角和是1080°，则该多边形的边数为（）A．4B．6C．8D．10【答案】C【解析】【分析】多边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，依此列方程可求解．解：设这个多边形的边数为n，由题意得：（n-2）•180°=1080°．解得：n=8，故选C．【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．3．一个四边形四个内角的度数之比为1:1:0.6:1，则该四边形最小内角的度数为（）A．75°B．70°C．65°D．60°【答案】D【解析】【分析】根据题意：可设这四个内角分别为：x，x，0.6x，x，再根据四边形的内角和为360︒，可求出x的值，即可求解．解：根据题意：可设这四个内角分别为：x，x，0.6x，x，∵四边形的内角和为360︒，x x x x，∴+++=︒0.6360x=︒解得：100x．∴最小内角的度数为：=⨯︒=︒0.60.610060故选：D．【点睛】本题主要考查了四边形的内角和，熟练掌握四边形的内角和为360度是解题的关键．4．一个多边形的内角和比它的外角和的2倍少180 ，这个多边形的边数是（）A．5B．6C．7D．8【答案】A【解析】【分析】根据多边形的内角和、外角和的求法列方程求解即可．解：设这个多边形为n边形，由题意得，（n-2）×180°=360°×2-180°，解得n=5，即这个多边形为五边形，故选：A．【点睛】本题考查多边形的内角和、外角和，掌握多边形的内角和的计算公式以及外角和为360°是解决问题的关键．5．所有内角都相等的18边形，它的每个内角、外角的度数是（）A．120°，60°B．140°，40°C．160°，20°D．100°，80°【答案】C【解析】【分析】根据外角和为360°以及边数，计算出每个外角的度数，再根据内角与相邻外角互补的关系得出每个内角的度数即可．解：∵内角都相等，∴每个外角也都相等，∴每个外角为：3601820︒÷=︒，则每个内角为：180°-20°=160°，故答案为：C．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟知多边形的外角和为360°以及内角与相邻外角互补的关系是解题的关键．6．已知一个多边形的外角和是其内角和的27，则下列说法正确的是（）A．过这个多边形一个顶点可做7条对角线B．它的内角和为1260°C．如果将它剪掉一个角，则还余下8个角D．它的每个外角为40°【答案】B【解析】【分析】设多边形的边数为n，根据多边形的外角和是其内角和的27，列出方程，得出n的值，再逐一进行判定．解：设多边形的边数为n，根据题意得：2×（n-2）•180°=360°，7解得：n=9过这个多边形一个顶点可做9-3=6条对角线，选项A错误它的内角和为1260°，选项B正确；如果将它剪掉一个角，则还余下8个角或9个角或10个角，选项C错误；它的每个外角不一定都相等，选项D错误；故选B【点睛】本题考查了多边形的有关知识，熟练掌握相关的定义和结论是解题的关键7．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A．∠A＝∠1＋∠2B．2∠A＝∠1＋∠2C．3∠A＝2∠1＋∠2D．3∠A＝2（∠1＋∠2）【答案】B【解析】【分析】在△ABC、四边形BCDE和△A′DE中，分别根据内角和列式，三式联立再结合折叠的性质可得2∠A′＝∠1＋∠2，则知结果．解：如图，连接DE，在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A′＋∠B＋∠C＝180°①．在△A′DE中∠A′＋∠A′DE＋∠A′ED＝180°②；在四边形BCDE中∠B＋∠C＋∠1＋∠2＋∠A′DE＋∠A′ED＝360°③；①＋②﹣③得2∠A′＝∠1＋∠2，即2∠A＝∠1＋∠2．故选B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，多边形内角和，折叠问题的性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．8．如图所示，在正六边形ABCDEF内，以AB为边作正五边形ABGHI，则FAI∠=（）A．10︒B．12︒C．14︒D．15︒【答案】B【解析】利用正n边形的外角和定理计算即可如图，延长BA到点O，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠FAO=3606=60°，∵五边形ABGHI是正五边形，∴∠IAO=3605=72°，∴∠FAI=∠IAO-∠FAO=12°，故选B．【点睛】本题考查了正多边形的外角和定理，熟练掌握正ｎ边形的外角和定理是解题的关键．9．某校初一数学兴趣小组对教材《多边形的内角和与外角和》的内容进行热烈的讨论，甲说：“多边形的边数每增加1，则内角和增加180°”；乙说：“多边形的边数每增加1，则外角和增加180°”；丙说：“多边形的内角和不小于其外角和”；丁说：“只要是多边形，外角和都是360°”．你认为正确的是()A．甲和丁B．乙和丙C．丙和丁D．以上都不对【答案】A【解析】根据多边形的内角和与外角和逐个判断即可．多边形的内角和公式为180(2)n ︒-，n 为多边形的边数当n 增加1，则内角和增加180︒，甲说法正确任意多边形的外角和都等于360︒，则乙说法错误，丁说法正确当3n =时，多边形的内角和为180︒，外角和为360︒，则丙说法错误综上，说法正确的是甲和丁故选：A ．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟记多边形的内角和与外角和是解题关键．10．小学生雷雷要用一块等边三角形的硬纸片(如图(a )所示)做一个底面为等边三角形且高相等的无盖的盒子(边缝忽略不计，如图(b )所示)，他在ABC 内先画了一个等边DEF ，然后打算剪掉三个角(如四边形AMDN )，可是比划了半天，还是不知如何下手，用你学过的知识判断，若想正好剪下三个角，MDN ∠的度数应为()A ．100°B ．110°C ．120°D ．130°【答案】C【解析】【分析】先根据题意、等边三角形的定义得出90,60AMD DNA A ∠=∠=︒∠=︒，再根据四边形的内角和即可得．ABC ∆ 是等边三角形60A ∴∠=︒要做一个底面为等边三角形且高相等的无盖的盒子90AMD DNA ∴∠=∠=︒由四边形的内角和可得：360AMD MD DNA AN ∠-∠∠=--∠︒909060360︒-=︒-︒-︒120=︒故选：C ．【点睛】本题考查了四边形的内角和、等边三角形的定义，依据题意，得出90AMD DNA ∠=∠=︒是解题关键．二、填空题11．正十边形的每一个外角的度数是______．【答案】36°##36度【解析】【分析】根据正多边形的每一个外角相等且所有的外角的度数和为360度求解即可．解：3601036︒÷=︒，∴正十边形的每一个外角的度数是36°，故答案为：36°．【点睛】本题主要考查了正多边形外角，熟知正多边形外角与边数的关系式解题的关键．12．如果一个多边形的内角和为1260°，那么从这个多边形的一个顶点可以连___________条对角线．【答案】6【解析】【分析】首先根据多边形内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数．解：设此多边形的边数为n ，由题意得：（n -2）×180=1260，解得；n =9，从这个多边形的一个顶点出发所画的对角线条数：9-3=6，故答案为：6．【点睛】此题主要考查了多边形的内角和计算公式求多边形的边数，关键是掌握多边形的内角和公式180（n -2）．13．从n 边形一个顶点出发，可以引__________条对角线，它们将此n 边形分为__________个三角形，所以n 边形内角和为__________．【答案】3n -2n -2180()n -⨯︒【解析】【分析】根据n 边形对角线的定义，可得n 边形的对角线，根据对角线的条数，可得对角线分成三角形的个数．根据多边形内角和定理，可得n 边形内角和．解：从n 边形的一个顶点出发可以引（n −3）条对角线，它们将n 边形分成（n −2）个三角形，这些三角形的内角和等于多边形内角和即n 边形内角和为2180()n -⨯︒．故答案为：①3n -，②2n -，③2180()n -⨯︒．【点睛】本题考查多边形的性质，从n 边形的一个顶点出发，能引出（n −3）条对角线，一共有()32n n -条对角线，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n −2）个三角形．这些规律需要学生牢记．同时考查了多边形内角和定理．14．每个外角都为36°的多边形共有___条对角线．【答案】35【解析】【分析】设这个多边形为n 边形，然后根据多边形外角和为360度以及多边形对角线公式()32n n -进行求解即可．解：设这个多边形为n 边形，由题意得：36036n ÷=o o ，∴10n =，∴这个多边形的对角线条数()10103352⨯-==条，故答案为：35．【点睛】本题主要考查了多边形外角和，多边形对角线条数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．15．一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720︒，则原多边形的边数是__________．【答案】6或7【解析】【分析】求出新的多边形为6边形，则可推断原来的多边形可以是6边形，可以是7边形．解：由多边形内角和，可得（n-2）×180°=720°，∴n=6，∴新的多边形为6边形，∵过顶点剪去一个角，∴原来的多边形可以是6边形，也可以是7边形，故答案为6或7．【点睛】本题考查多边形的内角和；熟练掌握多边形的内角和与多边形的边数之间的关系是解题的关键．16．如图，如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=________．【答案】540【解析】【分析】连接BC、AD．根据四边形的内角和定理以及三角形的内角和是180°进行分析求解．解：如图，连接BC、AD．在四边形BCEG中，得∠E+∠G+∠ECB+∠GBC=360°，又因为∠1+∠2=∠3+∠4，∠5+∠6+∠F=180°，∠4+∠5+∠3+∠6=∠CAF+∠BDF，即∠1+∠2+∠5+∠6=∠CAF+∠BDF，所以∠CAF+∠B+∠C+∠BDF+∠E+∠F+∠G=540°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°．故答案为：540°．【点睛】本题考查了四边形内角和定理以及三角形内角和定理，解题的关键是能够巧妙构造四边形，根据四边形的内角和定理以及三角形的内角和定理进行求解．17．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=_______°．【答案】360【解析】【分析】根据多边形内角与外角、三角形内角和定理、三角形外角性质进行推理计算即可．解：如图，延长DE交AB于点G，由三角形外角性质可知：∠1=∠F+∠DEF，∠2=∠1+∠A，∴∠2=∠F+∠DEF+∠A，∴在四边形BCDG中，由四边形内角和可知：∠2+∠B+∠C+∠D=360°，∴∠A+∠F+∠DEF+∠B+∠C+∠D=360°．故答案为：360．【点睛】本题考查了多边形内角与外角、三角形外角性质，解决本题的关键是掌握多边形内角和定理、三角形外角性质．18．如图，在ABC 中，沿BAC ∠的平分线1AB 折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿11B AC ∠的平分线11A B 折叠，剪掉重复部分……将余下部分沿∠n n B A C 的平分线1n n A B +折叠，点n B 与点C 重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，则称BAC ∠是ABC 的好角．（1）若经过n 次折叠BAC ∠是ABC 的好角，则B Ð与C ∠（设B C ∠>∠）之间的等量关系为________．（2）若一个三角形的最小角是4°，且该三角形的三个角均是此三角形的好角．请写出符合要求三角形的另两个角的度数________．（写出一种即可）【答案】∠B=n ∠C 4、172或8、168或16、160或44、132或88°、88°【解析】【分析】（1）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知∠A 1A 2B 2=∠C+∠A 2B 2C=2∠C ；根据四边形的外角定理知∠BAC+2∠B-2C=180°①，根据三角形ABC 的内角和定理知∠BAC+∠B+∠C=180°②，由①②可以求得∠B=3∠C ；利用数学归纳法，根据展示的三种情形得出结论：∠B=n ∠C ；（2）利用（1）的结论知∠B=n ∠C ，∠BAC 是△ABC 的好角，∠C=n ∠A ，∠ABC 是△ABC 的好角，∠A=n ∠B ，∠BCA 是△ABC 的好角；然后三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数可以是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．解：（1）∠B=n ∠C ；如图所示，在△ABC 中，沿∠BAC 的平分线AB 1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B 1A 1C 的平分线A 1B 2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则∠BAC是△ABC的好角．证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1B1C=∠A1A2B2，∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1B1C=∠BAC+2∠B-2∠C=180°，根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠B=3∠C；由展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C；故答案为：∠B=n∠C．（2）由（1）知设∠A=4°，∵∠C是好角，∴∠B=4n°；∵∠A是好角，∴∠C=m∠B=4mn°，其中m、n为正整数得4+4n+4mn=180，∴如果一个三角形的最小角是4°，三角形另外两个角的度数是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．故答案为：4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）．解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质．难度较大．三、解答题19．一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多180︒，求这个多边形的边数及内角和度数．【答案】这个多边形的边数是11，内角和度数是1620度．【解析】【分析】多边形的内角和比外角和的4倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是1620度．n边形的内角和可以表示成（n−2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．解：根据题意，得（n−2）•180°＝360°×4+180°，解得：n＝11．360°×4+180°=1620°则这个多边形的边数是11，内角和度数是1620度．【点睛】本题考查了多边形内角和，解题的关键是结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程即可求解．20．一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的边数及内角和．【答案】这个多边形的边数是10，内角和为1440︒【解析】【分析】设这个多边形的边数是n ，根据多边形内角和以及外角和列出方程求解即可．解：设这个多边形的边数是n ，则()21803604n -⨯=⨯，28n -=，10n =．内角和为()1021801440-⨯︒=︒答：这个多边形的边数是10，内角和为1440︒．【点睛】本题考查了多边形内角和与外角和，掌握多边形内角和公式是解题的关键．21．（1）如图，在ABC 中，AB AC =，65BCD ∠=︒，CD AB ∥，求A ∠的度数．（2）已知一个正多边形的内角和比它的外角和的3倍多180︒，求这个正多边形每个外角的度数．【答案】（1）50A ∠=︒；（2）每一个外角的度数是40︒【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠B 的度数，再根据等腰三角形的性质可得∠A 的度数；（2）根据n边形的内角和等于外角和的3倍多180°，可得方程180（n-2）=360×3+180，再解方程即可．CD AB，解：（1）∵//∴∠=∠=︒，65B BCD，=AB ACACB B∴∠=∠=︒，65∴∠=︒-︒⨯=︒；18065250A()2设这个多边形的边数为n，根据题意得：()n⨯-=⨯+，180********n=，解得9即它的边数n是9，︒÷=︒．所以每一个外角的度数是360940【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质以及多边形内角和与外角和．解题的关键是掌握多边形内角和公式，明确外角和是360°．22．求图（1）（2）中x的值．【答案】图（1）70；图（2）100°【解析】【分析】图（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，图（2）根据四边形的内角和等于360°，即可求解．解：由图（1）得：()()655x x x +︒=︒+-︒，解得：70x =；由图（2）得：106090360x x ++︒+︒+︒=︒．解得：100x =︒【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质，四边形的内角和定理，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；四边形的内角和等于360°是解题的关键．23．如图是一个凹多边形，90A ∠=︒，106C ∠=︒，116∠=︒D ，100E ∠=︒；求12∠+∠的值．【答案】128︒【解析】【分析】根据题意连接FB ，进而利用多边形的内角和性质进行分析求解即可.解：连接FB ，如图：五边形BCDEF 的角度为：(52)180540︒-⨯=，由90A ∠=︒，可得90AFB ABF ︒∠+∠=，所以12540()54010611610090128C D E AFB ABF ︒︒︒︒︒︒︒∠+∠=-∠-∠-∠-∠+∠=----=.【点睛】本题考查多边形的内角和性质，熟练掌握多边形的内角和求法即(2)180n ︒-⨯（n 为边数）是解决问题的关键.24．如果一个多边形的各边都相等且各角也都相等，那么这样的多边形叫做正多边形，如下图所示就是一组正多边形．（1）观察上面每个正多边形中的∠a ，填写下表：正多边形边数456...n∠a 的度数...（2）是否存在正n 边形使得∠a ＝12°？若存在，请求出n 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）18045,3630,(),n︒︒︒︒；（2）存在，15【解析】【分析】（1）根据正多边形的外角和，求得内角的度数，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理即可求得α∠的度数；（2）根据（1）的结论，将12α∠=︒代入求得n 的值即可解：（1） 正多边形的每一个外角都相等，且等于360n ︒则正多边形的每个内角为360180n︒︒-，根据题意，正多边形的每一条边都相等，则α∠所在的等腰三角形的顶角为：360180n ︒︒-，另一个底角为α∠，1360180=1801802n n α⎡︒⎤⎛⎫⎛⎫∴∠︒-︒-=︒ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦当4n =时，45α∠=︒当5n =时，α∠=36︒当6n =时，α∠=30°故答案为：18045,3630,(),n︒︒︒︒（2）存在．设存在正n 边形使得12a ∠=︒，∴180()12n︒=︒，解得15n =．【点睛】本题考查了正多边形的外角和与内角的关系，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据正多边形的外角与内角互补求得内角是解题的关键．25．【相关概念】将多边形的内角一边反向延长，与另一条边相夹形成的那个角叫做多边形的外角．如图，将ABC 中ACB ∠的边CB 反向延长，与另一边AC 形成的ACD ∠即为ACB △的一个外角．三角形外角和与三角形内角和对应，为与三个内角分别相邻的三个外角的和．【求解方法】借助一组内角与外角的数量关系，可以求出三角形的外角和．如图，ABC 的外角和()()()180180180ACB CAB ABC =︒-∠+︒-∠+︒-∠．()540540180360ACB ABC CAB =︒-∠+∠+∠=︒-︒=︒．【自主探究】根据以上提示，完成下列问题：(1)将下列表格补充完整．名称图形内角和外角和三角形180°360°四边形五边形…………n边形…(2)如果一个八边形的每一个内角都相等，请用两种不同的方法求出这个八边形一个内角的度数．【答案】(1)内角和分别为：360°、540°、180°（n-2）；外角和分别为：360°、360°、360°(2)135°【解析】【分析】（1）分别对图中四边形和五边形标注字母，然后根据题目中所给定的方法分别计算其内角和与外角和，最后根据规律确定出n边形的内角和与外角和即可；（2）方法一：根据（1）中内角和公式求出内角和，然后除以角的个数即可；方法二：先求出各个外角的度数，然后用180 减去一个外角的度数，即为内角度数．(1)解：四边形标定字母如图所示，连接CG，四边形分为两个三角形，∴四边形内角和为1802360︒⨯=︒，外角和为：()()()()180180180180BAG ACE CEG EGA ︒-∠+︒-∠+︒-∠+︒-∠()720BAG ACE CEG EGA =︒-∠+∠+∠+∠，720360=︒-︒，360=︒；五边形标定字母如图所示，连接DA ，DB ，五边形分为三个三角形，∴五边形内角和为1803540︒⨯=︒，外角和为：()()()()()180180180180180ABC BCD CDE DEA EAB ︒-∠+︒-∠+︒-∠+︒-∠+︒-∠()900ABC BCD CDE DEA EAB =︒-∠+∠+∠+∠+∠，900540=︒-︒，360=︒；当为n 边形时，可以分为()2n -个三角形，∴n 边形内角和为()2180n -⨯︒；外角和为定值360︒；故答案为：内角和分别为：360︒、540︒、()1802n ︒-；外角和分别为：360︒、360︒、360︒；(2)解：方法一：()821808135-⨯︒÷=︒，方法二：1803608135︒-︒÷=︒．【点睛】题目主要考查多边形内角和与外角和定理，理解题意，熟练掌握多边形内角和与外角和定理是解题关键．。

《同步课时卷》北师版八年级数学（下册）6.4多边形的内角和与外角和（第一课时）1.一个n边形有个顶点, 条边, 个内角.2.从n边形(n>3)的一个顶点出发可以引条对角线.3.一个n边形的内角和是180°,则n= .4.八边形的内角和为.5.从一个多边形的任意一个顶点出发都只有5条对角线,则这个多边形的边数是.6.如图6-4-1所示的是五边形木架,它的内角和是( )图6-4-1A.720°B.540°C.360°D.180°7.如果一个多边形的内角和等于900°,那么这个多边形的边数是( )A.7B.6C.5D.48.如果一个多边形的每一个内角都是108°,那么这个多边形是( )A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形9.n+1边形的内角和比n边形的内角和大( )A.180°B.n·180°C.360°D.n·360°10.一个多边形最少可分割成五个三角形,则它的边数为( )A.8B.7C.611.(1)一个多边形的内角和等于1980°,求它的边数;(2)一个正多边形的一个内角为120°,你知道它是几边形吗?12.下列角度中,是多边形内角和的只有( )A.270°B.560°C.630°D.1800°13.正六边形的一个内角的度数是.14.多边形每一个内角都等于150°,则从此多边形的一个顶点出发所引出的对角线有条.15.一个正多边形的边数正好是从一个顶点出发引对角线的条数的2倍,求它的边数及内角和.16.已知两个多边形的内角和为1800°,且两个多边形的边数之比为2∶5,求这两个多边形的边数.17.一个多边形除去一个内角后,其余所有内角之和为1660°,试求这个多边形的边数.参考答案1.n n n2.n-33.34.1080°5.86.B7.A8.B9.A10.B11.解:(1)设边数为n,则有(n-2)·180°=1980°,解得n=13,即它的边数为13.(2)设边数为n,则有(n-2)·180°=n·120°,解得n=6,即它是六边形.12.D13.120°14.915.解:设它的边数为n,则有2(n-3)=n,解得n=6.∴(6-2)×180°=720°.∴它的边数为6,内角和为720°.16.解:设两个多边形的边数分别为2n和5n,则(2n-2)·180°+(5n-2)·180°=1800°,解得n=2.∴2n=4,5n=10.∴这两个多边形的边数分别是4和10.17.解:设这个多边形的边数为n,除去的内角的度数为a,则(n-2)·180°=1660°+a,即n-2=.∵0°<a<180°,∴9 2<n-2<102. 又∵n为正整数,∴n-2=10,∴n=12. ∴此多边形的边数为12.。