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工程力学-组合变形

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10 组合变形1、 斜弯曲，弯扭，拉（压）弯，偏心拉伸（压缩）等组合变形的概念；2、危险截面和危险点的确定,中性轴的确定； 如双向偏心拉伸, 中性轴程为p p o o 22yzz y 1z y 0ii++⋅=3、危险点的应力计算，强度计算，变形计算、。

4、截面核心。

10.1、定性分析图10.1 示结构中各构件将发生哪些基本变形?解题范例图10.1[解]（a）AD杆时压缩、弯曲组合变形，BC杆是压缩、弯曲组合变形；AC杆不发生变形。

（b）AB杆是压弯组合变形，BC杆是弯曲变形。

（c）AB是压缩弯曲组合变形，BC是压弯组合变形。

（d）CD是弯曲变形，BD发生压缩变形，AB发生弯伸变形，BC发生拉弯组合变形。

10.2分析图10.2中各杆的受力和变形情况。

图10.2[解](a)力可分解成水平和竖直向的分力,为压弯变形。

(b)所受外力偶矩作用,产生弯曲变形。

(c)该杆受竖向集中荷载,产生弯曲变形.(d)该杆受水平集中荷载,偏心受压,产生压缩和弯曲变形。

(e)AB段:受弯,弯曲变形，BC段:弯曲。

(f)AB段:受弯,弯曲变形，BC段:压弯组合。

(g)AB段:斜弯曲，BC段:弯纽扭合。

10.3分析图10.3 示构件中(AB、BC和CD) 各段将发生哪些变形?图10.3[解] AB段发生弯曲变形，BC段发生弯曲、扭转变形；CD段发生拉伸、双向弯曲变形。

10.4一悬臂滑车架如图10.4 所示，杆AB为18号工字钢（截面面积30.6cm2，Wz=185cm3），其长度为l=2.6m。

试求当荷载F=25kN作用在AB的中点处时，杆的最大正应力。

设工字钢的自重可略去不计。

l/2F20kN300CDAl图10.4[解]取AB为研究对象，对A点取矩可得NBCYF12.5kN=则3225==NBCXNABFF分别作出AB的轴力图和弯矩图:kNll/232254FlkN.m轴力作用时截面正应力均匀分布，AFN=σ（压）弯矩作用时截面正应力三角形分布，WzM=σ（下拉上压）可知D截面处上边缘压应力最大,叠加可得最大正应力94.9MPa（压10.5如图10.5 所示,截面为16a 号槽钢的简支梁,跨长L=4.2m, 受集度为q 的均布荷载作用,q=2KN/m。

梁放在ϕ=20o的斜面上,试确定梁危险截面上A 点和B 点处的弯曲正应力。

图10.5[解] 双向弯曲梁,在梁跨中点处的截面是危险截面,该截面上的弯矩、mkNqlMZ•==15.4cos812maxαmkMqlMy•==5.1sin812maxα从型钢规格中查得16A号钢的抗弯截面模量cmbcmzcmIcmWZZ3.608.13.7310843====离中和轴最远的点是危险点:A点:()ymax0ZmaxcmaxZ yM 6.3zM145.22MPaW I•-σ=+=lBl/2F20kN300CDAF NBCF NBCYNBCXB点: MPaIzMWMyyZyt.5.60maxmaxmax=⨯+=σ10.1矩形截面木檩条,跨度L=4m,荷载及截面尺寸如图10.6所示,木材为杉木,弯曲容应力[σ]=12MPa,E=9×103MPa容挠度为L/200, 试验算穰条的强度和刚度。

图10.6[解] ⑴首先进行强度的校核：先将q分解成为两个分量Xq=716N/m，zq=1430N/m,二者对应最大弯矩分别为maxxM=1432N·m,maxzM=2860 N·m，代入强度条件公式得maxxM／xW+maxzM／ZW=1053.MPa＜[]σ=12MPa故强度条件满足.⑵再进行刚度的核算：与Xq相应的挠度Xf=43845lEIqZx=14.9mm与zq相应的挠度zf=43845lEIqxz=14.mmmaxf=zxff+=20.51mm<[L／200]=20mm (容挠度)可以认为刚度满足要求。

10.2 由木材制成的矩形截面悬臂梁,在梁的水平对称面受到力P1=1.6kN 的作用,在铅直对称面受到力P2=0.8 kN作用(如图10.7 所示)。

已知:b=90mm ，h=180mm,E=1.0 ×104MPa 。

试求梁的横截面上的最大正应力及其作用点的位置,并求梁的最大挠度。

如果截习题解析面为圆形,d=13Omm, 试求梁的横截面上的最大正应力。

图 10.7[解] P1,P2单独作用在梁上时,所引起的最大弯矩m kN l P M y •=⨯=•=2.36.121m kN P M Z •=⨯=⨯=8.08.0112都在梁固定端 ,截面上 1、2两点是危险点.MPa W M W M ZZyy 82.14max =+=σ(1点为拉应力,2点为压应力) 梁的最大挠度在自由端,其值为 mm EIl P l EI l P EI l P f y 5.148522)2(3)3(322232==•+=mm EIl P f z 39331===所以最大挠度为 mm f f f z y 03.3922max =+=如果截面为圆形: 332D W W Z y π==MPa WM M W MZ y 3.15max 2max 2max =+==σ(发生在固定端截面上)10.3试分别求出图10.8 示不等截面及等截面杆的最大正应力,并作比较(图中尺寸单位为 mm) 。

图10.8[解] (a)轴力N=P=350kNmkNePM•=⨯=•=5.1405.0350MPaAPhbPANWMZ67.1161502max=+⨯=+=σ(b)MPaAPAN75.8===σ.10.4一伞形水塔,受力如图10.9, 其中P为满水时的重力,Q为地震时引起的水平载荷,立柱的外径D=2m, 壁厚t=0.5m, 如材料的用应力[σ]=8MPa，试校核其强度。

图10.9[解] 水塔为压弯组合编形,由轴向压力P引起的压应力APp=σ由Q引起的正应力WMQmaxmax=σ(最大值在固定端)[]33maxmax2423MP180010300104017.068MPaA W D d d1D14D32D⨯⨯⨯σ=+=+=>σ=⎡⎤⎡⎤ππ⎛⎫⎛⎫--⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以,不满足强度条件.10.5起重机受力如图10.10,P1=3OkN, P2=22OkN, P3=6OkN,它们的作用线离立柱中心线的距离分别为1.Om ,1.2m 和1.6m, 如立柱为实心钢柱,材料用应力[σ]=16OMPa, 试设计其底部A --A 处的直径。

图10.10[解]该杆为压弯组合变形,设底部A-A处直径D，柱底部所受的压应力有两部分33123122P P P302206010394.9101A dd4++++⨯⨯σ===π（）柱底部最大弯矩max112233M P l P l P l468kN m=+-=•由此弯矩产生的最大压力33max233M46810324769.410W d d⨯⨯σ===⨯π柱底部所受的压应力[]12160MPaσ+σ≤σ=由于21σσ?,若只考虑弯矩的作用解得d=31cm取 d=40cm10.6 上题中,若立柱为空心钢管,外径之比 d/D=0.9, 试设计 A-A 处的直径。

[解] 此题为压弯组合变形，将立柱在A-A 处截开，合压力123F P P P 3022060310kN =++=++=底部面积222D d )A 0.15D 4π-==（弯矩 Z 123M P 10P 1.2P 1.63010220 1.260 1.6468kN m =⨯+⨯-⨯=⨯+⨯-⨯=⋅33344Z D D 0.3439D W 110.9323232πππ=-α=⨯-=（）（）3Z Z c 23Z M 32M F F []16.10A W 0.15D 0.3439Dσ=+=+≤σ=⨯π 解得D 43cm,d 0.9D 38cm ≈==可取 D 45cm,d 38cm ==10.7 三角形构架 ABC, 受力如图 10.11 。

水平杆AB 由 18 号工字钢制成 , 试求 AB 杆的最大应力。

如产生力 P 的小车能在 AB 杆上移动,则又如?图 10.11[解] AB 杆产生压缩与弯曲组合变形kNPNBC15030sin5.125.1=⨯⨯=荷载移动到中点时弯矩最大,其值为mkNNMBC•=⨯⨯=1255.130sin0maxMPaANWMZDc92.717max=+=σ(截面的上边缘为压应力)10.8上题中,若工字钢材料的用应力[σ]=10O0MPa,试选择AB 杆的截面尺寸。

[解] 接上题[]σσ≤+=ZDDc WMANmax, []3125cmMW DZ=≥σ选16号普通工字钢,231.26,141cmAcmWZ==强度校核:cmax a936.3MPσ=<[]σ即选16号普通工字钢,231.26,141cmAcmWZ==.10.9图10.12 示钻床,受力P=15kN,铸铁立柱的用应力[σ]=35MPa, 试计算立柱所需的直径d 。

图10.12[解]为拉弯组合变形,只考虑弯矩的作用解得[]σσ≤=Zt WMmax[][]331017.0mePMWZ-⨯=•=≥σσ或331017.032-⨯=dπ解得d12cm≥取d=14cm代入验算: maxt maxzMP28.95MPa35MPaA Wσ=+=<10.10砖砌烟囱,高H=30m, 自重Q=200OkN, 受水平风力q=2kN/m 作用,如图10.13所示。

如烟囱底部截面的外径D=3m 时,径d=2m, 求烟囱底部截面上的最大压应力。

图10.13[解]由自重引起的压应力大小为:Q0.509MPaAσ==⨯烟囱底部截面上的弯距大小为mNqlM•⨯==52max100.921maxmaxMQ0.92MPaA Wσ=+=10.11如图10.14所示某厂房柱子,受到吊车竖直轮压力P=22OKN, 屋架传给柱顶的水平力Q=8KN,以及风载荷q=1kN/m 的作用,P 力的作用线离底部柱的中心线的距离e=0.4m, 柱子底部截面尺寸为1m×0.3m, 试计算柱底部的危险点的应力。

图10.14[解] 分析知, 危险截面在底部, 危险点在右侧边缘.力的作用分为三部分,P的作用)(1APWPec+-=σ(右侧边缘受压)Q作用下：WlQt•=2σ(右侧边缘受拉)在均布荷载的作用：3tq l l/2W⨯⨯σ=-(右侧边缘受压)危险点的应力为：max1c2t3tσ=σ+σ+σ10.11如图10.15, 功率N=8.8kW 的电动机轴以转速n=80Or/min旋转着,胶带传动轮的直径D=250mm, 胶带轮重力G=70ON。

轴可看成长度L=120mm的悬臂梁,其用应力[σ]=100MPa 。

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工程力学第十一章 组合变形

工程力学第十一章 组合变形


土建工程中的混凝土或砖、石偏心受压柱，往往不 允许横截面上出现拉应力。这就是要求偏心压力只能作 用在横截面形心附近的截面核心内。
要使偏心压力作用下杆件横截面上不出现拉应力， 那么中性轴就不能与横截面相交，一般情况下充其量只能 与横截面的周边相切，而在截面的凹入部分则是与周边外 接。截面核心的边界正是利用中性轴与周边相切和外接时 偏心压力作用点的位置来确定的。
解：拉扭组合:
7kNm T
50kN FN
安全
例11-8 直径为d的实心圆轴，
·B
P 若m=Pd，指出危险点的位置， 并写出相当应力 。
x
m
解：偏拉与扭转组合
z
C P P 例11-9 图示折角CAB，ABC段直径
d=60mm，L=90mm，P=6kN，[σ]＝
BA
60MPa，试用第三强度理论校核轴 x AB的强度。
例11-6 图示圆轴.已知,F=8kN,Me=3kNm,［σ］=100MPa, 试用第三强度理论求轴的最小直径.
解：(1) 内力分析
4kNm M
3kNm T
(2)应力分析
例11-7 直径为d=0.1m的圆杆受力如图，T=7kNm，P=50kN， []=100MPa，试按第三强度理论校核此杆的强度。
至于发生弯曲与压缩组合变形的杆件，轴向压力 引起的附加弯矩与横向力产生的弯矩为同向，故只有 杆的弯曲刚度相当大（大刚度杆）且在线弹性范围内 工作时才可应用叠加原理。
A M
F FN
+ ql2/8
+
B
+
=
C 10kN
A 1.6m
1.6m
10kN
1.2m
例11-3 两根无缝钢管焊接 而成的折杆。钢管外径 D=140mm，壁厚t=10mm。求 危险截面上的最大拉应力和 B 最大压应力。
工程力学之组 合 变 形

工程力学之组 合 变 形

工程力学第10章组合变形学习目标(1)了解组合变形的概念及其强度问题的分析方法；(2)掌握斜弯曲、拉伸(压缩)与弯曲和偏心压缩的应力及强度计算。

10.1 组合变形的概念例如，烟囱的变形，除自重W引起的轴向压缩外，还有水平风力引起的弯曲变形，同时产生两种基本变形，如图10-1(a)所示。

又如图10-1(b)所示，设有吊车的厂房柱子，作用在柱子牛腿上的荷载F，它们合力的作用线偏离柱子轴线，平移到轴线后同时附加力偶。

此时，柱子既产生压缩变形又产生弯曲变形。

再如图10-1(c)所示的曲拐轴，在力F作用下，AB 段同时产生弯曲变形和扭转变形。

10.1 组合变形的概念图10-110.1 组合变形的概念上述这些构件的变形，都是两种或两种以上的基本变形的组合，称为组合变形。

研究组合变形问题依据的是叠加原理，进行强度计算的步骤如下：(1)将所作用的荷载分解或简化为几个只引起一种基本变形的荷载分量。

(2)分别计算各个荷载分量所引起的应力。

(3)根据叠加原理，将所求得的应力相应叠加，即得到原来荷载共同作用下构件所产生的应力。

(4)判断危险点的位置，建立强度条件。

10.2例如图10-2(a)所示的横截面为矩形的悬臂梁，外力F作用在梁的对称平面内，此类弯曲称为平面弯曲。

斜弯曲与平面弯曲不同，如图10-2(b)所示同样的矩形截面梁，外力F的作用线通过横截面的形心而不与截面的对称轴重合，此梁弯曲后的挠曲线不再位于梁的纵向对称面内，这类弯曲称为斜弯曲。

斜弯曲是两个平面弯曲的组合，本节将讨论斜弯曲时的正应力及其强度计算。

10.2图10-210.210.2.1 正应力计算斜弯曲时，梁的横截面上同时存在正应力和切应力，但因切应力值很小，一般不予考虑。

下面结合图10-3（a）所示的矩形截面梁说明斜弯曲时正应力的计算方法。

图10-310.2.1 正应力计算10.2.1.1 外力的分解由图10-3(a)可知：10.2.1.2 内力的计算如图10-3(b)所示，距右端为a 的横截面上由F y 、F z 引起的弯曲矩分别是：10.2 10.2.1 正应力计算10.2.1.3 应力的计算由M z 和M y (即F y 和F z )在该截面引起K 点的正应力分别为：F y 和F z 共同作用下K 点的正应力为：10.210-110.210.2.1 正应力计算10.2.1.3 应力的计算通过以上分析过程，我们可以将组合变形问题计算的思路归纳为“先分后合”，具体如下：10.210.2.2 正应力强度条件同平面弯曲一样，斜弯曲梁的正应力强度条件仍为：10-2即危险截面上危险点的最大正应力不能超过材料的许用应力［σ］。

12-2 工程力学-组合变形的强度计算

12-2 工程力学-组合变形的强度计算




故，安全。
3 2 4 2
6.37 2 435.7 2 71.7 MPa
[例7] 方形截面杆的横截面面积在 mn 处减少一半，试求由 轴向载荷 P 引起的 mn 截面上的最大拉应力。
解：
N M m ax A W
a2 a a a2 P P/ P / 8 2 2 4 4 6 a
§12–3
拉(压)弯组合 偏心拉（压）
一、拉(压)弯组合变形：杆件同时受横向力和轴向力的作用而产
生的变形。
P P R
x z
P
x y z Mz
P
My
y My
二、应力分析： x z Mz P
P
MZ
My
y My
P xP A
Mzy xM z Iz
xM
y
Myz Iy
P Mz y Myz x A Iz Iy
max
F1 M max A Wz F1 F e A Wz
m
m
4）强度计算 因危险点的应力是单向应力 状态，所以其强度条件为：
F1 F e max 135MPa [ ] A Wz
例11-11 如图所示为一起重支架。已知a =3.0m， b=1.0m，F=36.0kN，AB梁材料的许用应力[ ]=140 MPa。试确定AB梁槽钢的型号。
拉压与弯曲组合变形的分析步骤
(1)、外力分析：
y
x
y P1
y
y P
x
=
P1
x
+
x P2
P2
P
P1 P cos
P2 P sin
(2)、内力分析：
工程力学第15章组合变形

工程力学第15章组合变形


32(1.0103)20.75(1.0103)2
M 20.010.21kNm 3 160106
max
2 2 r4M2W0.75T232M2d30.75T2
d3
32
M2 0.75T2
由内力图及强度公式可判断危险截面在E 处 ⑶ 确定AB 轴的直径 所以AB 轴的直径d = 44mm 。
例：图所示齿轮传动轴，用钢制成。在齿轮1 上作用有径
tmax
Mymax Wy
Mzmax Wz
F2l bh2 /
6
2F1l hb2 /6
90118605201109/618029082001019/6 cmax(MWymyaxMWzmzax)9.98MPa
例：图所示一矩形截面悬臂梁，截面宽度b = 90mm ，高度h = 180mm ， 两在两个不同的截面处分别承受水平力F1和铅垂力F2。已知F1 = 800N ， F2 = 1650N ，l = 1m ，求梁内的最大正应力并指出其作用位置。
FN
N
FN A
F S y F S z （对实心截面引起切应力很小，忽略）
M y Mz
M
My Iy
z
Mz Iz
y
T
T
IP
1
1(
2
242)
3
1(
2
242)
强度条件
弯扭组合受力的圆轴一般由塑性材料制成，采用第三或第四强度理论建立强 度条件。分析危险截面A A
3
T 410 A W
20MPa 20103 (10103)2(8103)2
6
W 20010 85104 100106
P
强度校核 由内力图及强度公式可判断危险截面距B 端2m 处， 计算危险点在横截面的应力值 所以AB 段强度满足要求。