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11-6 图示悬臂梁，横截面为矩形，承受载荷F 1与F 2作用，且F 1=2F 2=5 kN ，试计算梁内的最大弯曲正应力，及该应力所在截面上K 点处的弯曲正应力。
解：(1) 画梁的弯矩图(2) 最大弯矩（位于固定端）：max 7.5 M kN =(3) 计算应力： 最大应力：K 点的应力：11-7 图示梁，由No22槽钢制成，弯矩M =80 N.m ，并位于纵向对称面（即x-y 平面）内。
试求梁内的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。
解：(1) 查表得截面的几何性质：4020.3 79 176 z y mm b mm I cm ===(2) 最大弯曲拉应力（发生在下边缘点处）()30max880(7920.3)10 2.67 17610x M b y MPa I σ-+-⋅-⨯-⨯===⨯6max max max227.510176 408066ZM M MPa bh W σ⨯====⨯6max max 337.51030132 ********K ZM y M y MPa bh I σ⋅⋅⨯⨯====⨯x M1zM M z(3) 最大弯曲压应力（发生在上边缘点处）30max88020.3100.92 17610x M y MPa I σ---⋅⨯⨯===⨯ 11-8 图示简支梁，由No28工字钢制成，在集度为q 的均布载荷作用下，测得横截面C 底边的纵向正应变ε=3.0×10-4，试计算梁内的最大弯曲正应力，已知钢的弹性模量E =200 Gpa ，a =1 m 。
解：(1) 求支反力31 44A B R qa R qa ==(2) 画内力图(3) 由胡克定律求得截面C 下边缘点的拉应力为：49max 3.010******* C E MPa σε+-=⋅=⨯⨯⨯=也可以表达为：2max4C C z zqa MW W σ+== (4) 梁内的最大弯曲正应力：2maxmax max 993267.5 8C zz qa M MPa W W σσ+====qxxF SM11-14 图示槽形截面悬臂梁，F =10 kN ，M e =70 kNm ，许用拉应力[σ+]=35 MPa ，许用压应力[σ-]=120 MPa ，试校核梁的强度。
习 题2-1 一木柱受力如图示，柱的横截面为边长20cm 的正方形，材料服从虎克定律，其弹性模量51010.0⨯=E MPa ．如不计柱自重，试求：（1）作轴力图； （2）各段柱横截面上的应力； （3）各段柱的纵向线应变； （4） 柱的总变形．解：（1） 轴力图（2） AC 段应力a a MP P σ5.2105.22.010100623-=⨯-=⨯-=CB 段应力a a MP P σ5.6105.62.010260623-=⨯-=⨯-=（3） AC 段线应变45105.2101.05.2-⨯-=⨯-==E σε N-图 CB 段线应变45105.6101.05.6-⨯-=⨯-==E σε （4） 总变形 m 3441035.15.1105.65.1105.2---⨯=⨯⨯-⨯⨯-=AB ∆2-2 图(a)所示铆接件，板件的受力情况如图（ｂ）所示．已知：P ＝7 kN ，t ＝0.15cm ，b 1＝0.4cm ，b 2=0.5cm ，b 3=0.6cml 。
试绘板件的轴力图，并计算板内的最大拉应力。
解:（2）a MP σ4.194101024.015.0767311=⨯⨯⨯⨯⨯=- a MP σ1.311101025.015.0767322=⨯⨯⨯⨯⨯=-a MP σ9.388101026.015.07673=⨯⨯⨯⨯=- 最大拉应力a MP σσ9.3883max ==2-3 直径为１cm 的圆杆，在拉力P ＝10 kN 的作用下，试求杆内最大剪应力，以及与横截面夹角为α＝30o 的斜截面上的正应力与剪应力。
解:（1） 最大剪应力a d MP ππP στ66.6310101102212672241max =⨯⨯⨯⨯===- （2）︒=30α界面上的应力()a MP ασσα49.952366.632cos 12=⨯=+= a MP αστα13.5530sin 66.632sin 2=⨯=⨯=︒ 2-4 图示结构中ABC 与CD 均为刚性梁，C 与D 均为铰接，铅垂力P ＝20kN 作用在C 铰，若（1）杆的直径d 1=1cm ，（2）杆的直径d 2=2cm ，两杆的材料相同，E ＝200Gpa ，其他尺寸如图示，试求（1）两杆的应力；（2）C 点的位移。
第十一章能量要领之阳早格格创做第十一章问案图示桁架各杆的资料相共，截里里积相等.试供正在F 力效率下，桁架的变形能.估计图示各杆的应变能.传动轴受力情况如图所示.轴的直径为40mm ，资料为45钢，E = 210GPa ，G = 80GPa.由扭转引起的应变能： 由蜿蜒引起的应变能：估计图示梁的应变能，并证明是可谦脚叠加本理及其本果.而没有谦脚叠加本理，果为应变能取内力的闭系没有是线性的.借帮于附录E ，供跨度中面（睹课本下册p40例12-4）11.6 图示刚刚架的各杆的EI 皆相等，试供截里A 、B 的位移战截里C 的转角.(a)A 面：正在A 面加一个背下的单位力.M (x 1)=0, M (x 2)=Fx 2, M (x 3)=FbC 面：正在C 加一个顺时针的力奇矩为１的单位力奇(b) A 面：正在A面加一个背下的单位力B 面：正在B 面加一个背左的单位力图示桁架各杆的资料相共，截里里积相等C 处的火仄位移战笔直位移.CF BAR火仄位移：(122) 3.828Fl FlEA EA +=-=-.笔直位移：Fl EA ∆=-.2，E 索 = 177GPa.F = 20kN ，(a)假设横梁ABCD 为刚刚体，供C 面的笔直位移.(2)若没有把ABCD 假设为刚刚体，且已知其抗直刚刚度为EI 2，试再供C 面的笔直位移.(1)42110.87.891033F EA -⎛⎫∆=⨯=⨯ ⎪⎝⎭m.(2)20.44047.89102Fx dx EI -∆=⨯+⎰4447.8910 1.48109.3710---=⨯+⨯=⨯m.11.9 等截里直杆BC 的轴线为四分之三的圆周.若AB 杆可视为刚刚性杆，试供正在F 力效率下，截里B 的火仄位移及笔直位移.火仄位移：M ()=FR cos, ()sin M R θθ=33320sin cos 2FR FRd EI EI πθθθ∆==⎰.D CFAB60 ° 60 ° 800 400400RFO B BF ORA F笔直位移：()(1cos )M R θθ=--33.36FR EI =.11.10 图示圆弧形小直率杆，仄衡半径为R .力F笔直于圆环中线地圆的仄里.试供二个F 力效率面的相对于线位移.M ()=FR sin, ()sin M R θθ= T ()=FR (1-cos), ()(1cos )T R θθ=-333pFR FR EI GI ππ=+.11.11图示圆弧形小直率杆，仄衡半径为R .正在横截里A 取B 处受一对于集结力F 效率.力F 正在圆环中线地圆的仄里内.试供二个F 力效率面的相对于线位移. M ()=FR sin,()sin M R θθ=32320sin FR FRd EI EI πθπθ∆==⎰.11.12图示轴线为火仄里内四分之一圆周的直杆，正在自由端B 效率笔直荷载F ，设EI 战GI P 为已知，试供正在F 力效率下端里B 的笔直位移.F O O Rθ B F AM ()=FR sin, ()sin M R θθ= T ()=FR (1-cos), ()(1cos )T R θθ=- 33(38)44pFR FR EI GI ππ-=+.。
第十一章组合变形一、教学目标1、掌握组合变形的概念。
2、掌握斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的概念和区分、危险截面和危险点的确定、应力计算、强度计算、变形计算、中性轴的确定等。
3、正确区分斜弯曲和平面弯曲。
4、了解截面核心的概念、常见截面的截面核心计算。
二、教学内容1、讲解组合变形的概念及组合变形的一般计算方法：叠加法。
2、举例介绍斜弯曲和平面弯曲的区别。
3、讲解斜弯曲的应力计算、中性轴位置的确定、危险点的确立、强度计算、变形计算。
4、讲解弯曲和扭转组合变形内力计算，确定危险截面和危险点，强度计算。
5、讲解拉伸(压缩)和弯曲组合变形的危险截面和危险点分析、强度计算。
6、讲解偏心拉伸(压缩)组合变形的危险截面和危险点分析、应力计算、强度计算。
7、简单介绍截面核心的概念和计算。
三、重点难点重点：斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的应力和强度计算。
难点：1、解决组合变形问题最关键的一步是将组合变形分解为两种或两种以上的基本变形：斜弯曲——分解为两个形心主惯性平面内的平面弯曲；弯曲和扭转组合变形——分解为平面弯曲和扭转；拉伸（压缩）和弯曲组合变形——分解为轴向拉伸（压缩）和平面弯曲（因剪力较小通常忽略不计）；偏心拉伸（压缩）组合变形——单向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和一个平面弯曲，双向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和两个形心主惯性平面内的平面弯曲。
2、组合变形的强度计算，可归纳为两类：⑴危险点为单向应力状态：斜弯曲、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）组合变形的强度计算时只需求出危险点的最大正应力并与材料的许用正应力比较即可；⑵危险点为复杂应力状态：弯扭组合变形的强度计算时，危险点处于复杂应力状态，必须考虑强度理论。
四、教学方式采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。
五、计划学时5学时六、讲课提纲(一)斜弯曲引言：*何谓平面弯曲？梁的弯曲平面与外力作用平面相重合的这种弯曲称为平面弯曲（或者说：梁的挠曲线是形心主惯性平面内的一条平面曲线）**平面弯曲与斜弯曲的比较(a) (b) (c)项目平面弯曲斜弯曲受力特点p F 平面与过y轴(形心主惯性轴)的纵平面重合pF平面过形心(这里也是弯心)但不与过y轴的纵平面重合。
第六章直梁弯曲弯曲变形是杆件比较常见的基本变形形式。
通常把以发生弯曲变形为主的杆件称为梁。
本章主要讨论直梁的平面弯曲问题，内容包括：弯曲概念和静定梁的力学简图；弯曲内力及内力图；弯曲应力和强度计算；弯曲变形和刚度计算。
其中，梁的内力分析和画弯矩图是本章的重点。
第一节平面弯曲的概念和力学简图一、弯曲概念和受力特点当杆件受到垂直于杆轴的外力作用或在纵向平面内受到力偶作用(图6-1)时，杆轴由直线弯成曲线，这种在外力作用下其轴线变成了一条曲线。
这种形式的变形称为弯曲变形。
工程上通常把以弯曲变形为主的杆件称为梁。
图 6-1 弯曲变形是工程中最常见的一种基本变形。
例如房屋建筑中的楼面梁和阳台挑梁，受到楼面荷载和梁自重的作用，将发生弯曲变形，如图6-2所示。
一些杆件在荷载作用下不仅发生弯曲变形，还发生扭转等变形，当讨论其弯曲变形时，仍然把这些杆件看做梁。
图6-2工程实际中常见到的直梁，其横截面大多有一根纵向对称轴，如图6-3所示。
梁的无数个横截面的纵向对称轴构成了梁的纵向对称平面，如图6-4所示。
图 6-3 图6-4若梁上的所有外力（包括力偶）作用在梁的纵向对称平面内，梁的轴线将在其纵向对称平面内弯成一条平面曲线，梁的这种弯曲称为平面弯曲，它是最常见、最基本的弯曲变形。
本章主要讨论直梁的平面弯曲变形。
从以上工程实例中可以得出，直梁平面弯曲的受力与变形特点是：外力作用于梁的纵向对称平面内，梁的轴线在此纵向对称面内弯成一条平面曲线。
二、梁的受力简图为了便于分析和计算直梁平面弯曲时的强度和刚度，需建立梁的力学简图。
梁的力学简图（力学模型）包括梁的简化、荷载的简化和支座的简化。
1、梁的简化由前述平面弯曲的概念可知，载荷作用在梁的纵向对称平面内，梁的轴线弯成一条平面曲线。
因此，无论梁的外形尺寸如何复杂，用梁的轴线来代替梁可以使问题得到简化。
例如，图6-1a和图6-2a所示的火车轮轴和桥式起重机大梁，可分别用梁的轴线AB代替梁进行简化（图6-1b和图6-2b）。
第十一章 能量方法第十一章答案11、1 图示桁架各杆的材料相同,截面面积相等。
试求在F 力作用下,桁架的变形能。
12,2N N F F F ==32N F F = 2222222()2222N F F l l F x V dx EA EA EA ε⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==+⎰2234F l EA=、11、2计算图示各杆的应变能。
(a) 2223244F l F l F l V EA EA EAε=+=、 (b) 2212/32/3120022e e l l M M x x l l V dx dx EI EIε⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+⎰⎰ /32/322221220023318l l e e M M l x x EIl EI ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭、11、3 传动轴受力情况如图所示。
轴的直径为40mm ,材料为45钢,E = 210GPa ,G = 80GPa 。
试计算轴的应变能。
由扭转引起的应变能:20.220800.0322pV dx GI ε==⎰由弯曲引起的应变能:20.210(531.4)20.0292x V dx EIε==⎰120.061J V V V εεε=+=、11、4 计算图示梁的应变能,并说明就是否满足叠加原理及其原因。
2230()26lFl Fx F lV dx EI EIε-==⎰而22310()22l Fl F lV dx EI EIε==⎰22320()26lFx F l V dx EI EIε-==⎰、不满足叠加原理,因为应变能与内力的关系不就是线性的。
、0、36kN(b)1kN200200 EIMe=FlFlx11、5在外伸梁的自由端作用力偶矩中点C 的挠度w c 。
(见课本下册p40例12-4)11、6 图示刚架的各杆的EI 皆相等,试求截面A 、B 的位移与截面C 的转角。
(a) A 点:在A 点加一个向下的单位力。
M (x 1)=0, M (x 2)=Fx 2, M (x 3)=Fb11()M x x =,22()M x Fx =,3()0M x = 3330()()h M x M x Fabhdx EI EI∆==-⎰、C 点:在C 加一个逆时针的力偶矩为１的单位力偶。
材料力学答案第十一章仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢50第十一章 能量方法第十一章答案11.1 图示桁架各杆的材料相同，截面面积相等。
试求在F 力作用下，桁架的变形能。
12,2N N F F F == 32N F F = 222222()2222N F F l l F x V dx EA EA EA ε⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==+⎰2234F l EA=.11.2计算图示各杆的应变能。
(a)仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢512223244F l F l F l V EA EA EAε=+=.(b) 2212/32/3120022e e l l M M x x l l V dx dx EI EIε⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+⎰⎰ /32/322221220023318l l ee M M l x x EIl EI ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.11.3 传动轴受力情况如图所示。
轴的直径为40mm ，材料为45钢，E = 210GPa ，G = 80GPa 。
试计算轴的应变能。
由扭转引起的应变能：20.220800.0322pV dx GI ε==⎰由弯曲引起的应变能：20.210(531.4)20.0292x V dx EIε==⎰120.061J V V V εεε=+=.11.4 计算图示梁的应变能，并说明是否满足叠加原理及其原因。
2230()26lFl Fx F l V dx EI EIε-==⎰0.08kN· 0.36kN (b) 1kN 2000200EIMe=FlFlx仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢52而22310()22lFl F l V dx EI EIε==⎰22320()26lFx F l V dx EI EIε-==⎰.不满足叠加原理，因为应变能与内力的关系不是线性的。
11.5在外伸梁的自由端作用力偶矩M跨度中点C 的挠度w c 。
