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材料力学-组合变形

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材料力学组合变形

材料力学组合变形
第八章 组合变形
组合变形和叠加原理 拉伸或压缩与弯曲旳组合 扭转与弯曲旳组合
目录
§8-1 组合变形和叠加原理
一、组合变形旳概念
构件在荷载作用下发生两种或两种以上旳基本变形,则构件 旳变形称为组合变形.
l 基本变形 u 拉伸、压缩
u 剪切
u 扭转
u 弯曲
二、处理组合变形问题旳基本措施－叠加法
叠加原理旳成立要求:内力、应力、应变、变形等与外力之 间成线性关系.
M A(F) 0
F 42 kN
H 40 kN, V 12.8 kN
l 内力图 l 危险截面
C 截面
M C 12 kNm, N 40 kN
l 设计截面旳一般环节
u 先根据弯曲正应力选择工字钢型号； u 再按组合变形旳最大正应力校核强度，必要时选择大一号或 大二号旳工字钢； u 若剪力较大时，还需校核剪切强度。
按第四强度理论
Qy My T
r4
1 W
Mz Qz
M 2 0.75T 2 47.4 MPa [ ]
(3) 曲柄旳强度计算
l 危险截面 III-III截面
l 计算内力 u 取下半部分
Qx Qz
N R2 C1 13 kN Mx m H2 d /2
765 Nm
M z R2 (a b / 2) 660 Nm
横截面上任意一点 （ z, y） 处旳正应 力计算公式为
1.拉伸正应力
FN
A
2.弯曲正应力
Mz y
Iz
FN Mz y
A Iz
( z,y)
Mz
z
O
x
FN
y
3.危险截面旳拟定
作内力图
F1
轴力

《材料力学组合变形》课件

《材料力学组合变形》课件
这种变形通常发生在承受轴向力 和弯矩的杆件中，其变形特点是 杆件既有伸长或缩短，又有弯曲 。
拉伸与压缩组合变形的分析方法
01
02
03
弹性分析方法
基于弹性力学的基本原理 ，通过求解弹性方程来分 析杆件内部的应力和应变 分布。
塑性分析方法
在材料进入塑性阶段后， 采用塑性力学的基本理论 来分析杆件的承载能力和 变形行为。
材料力学在组合变形中的应用实例
01
02
03
04
桥梁工程
桥梁的受力分析、桥墩的稳定 性分析等。
建筑结构
高层建筑、大跨度结构的受力 分析、抗震设计等。
机械工程
机械零件的强度、刚度和稳定 性分析，如轴、轴承、齿轮等
。
航空航天
飞机和航天器的结构分析、材 料选择和制造工艺等。
材料力学在组合变形中的发展趋势
特点
剪切与扭转组合变形具有复杂性和多样性，其变形行为受到多种因素的影响，如 材料的性质、杆件的长度和截面尺寸、剪切和扭转的相对大小等。
剪切与扭转组合变形的分析方法
1 2 3
工程近似法
在分析剪切与扭转组合变形时，通常采用工程近 似法，通过简化模型和假设来计算杆件的应力和 变形。
有限元法
有限元法是一种数值分析方法，可以模拟杆件在 剪切与扭转组合变形中的真实行为，提供更精确 的结果。
弯曲组合变形的分析方法
叠加法
刚度矩阵法
叠加法是分析弯曲组合变形的基本方 法之一。该方法基于线性弹性力学理 论，认为各种基本变形的应力、应变 分量可以分别计算，然后按照线性叠 加原理得到最终的应力、应变分布。
刚度矩阵法是通过建立物体内任意一 点的应力、应变与外力之间的关系， 来求解复杂变形问题的一种方法。对 于弯曲组合变形，可以通过构建系统 的刚度矩阵来求解。

材料力学10组合变形

材料力学10组合变形

材料力学10组合变形组合变形是指当结构受到外力作用时，由于各个零件的不同材料及尺寸性质的差异，导致各个零件产生不同的变形现象，从而使整个结构发生整体的变形。

组合变形是结构力学的重要内容，对于工程结构的设计、安全性评估和结构稳定性分析都至关重要。

本文将介绍组合变形的概念、分析方法和影响因素。

组合变形的概念：组合变形是指由于结构中不同零件的尺寸和材料性质的不一致，而导致结构在受力时产生的整体变形。

组合变形分为两类：一是刚体体变形，即结构在受力作用下整体平移、旋转或缩放；二是构件本身变形，即结构中各零件由于尺寸和材料的不一致而产生的内部变形。

组合变形的分析方法：组合变形的分析方法主要有两种：力法和位移法。

力法是指根据梁的变形方程和杨氏模量的定义，通过计算各零件在各个截面上的张力或弯矩，从而得到整体的变形情况。

位移法是指根据构件的位移和应变关系，通过求解位移方程组，从而得到整体的变形情况。

力法和位移法都是基于弹性理论，适用于较小变形和线性弹性材料的情况。

组合变形的影响因素：组合变形的大小与结构的几何形状、零件尺寸和材料性质有关。

影响组合变形的因素主要有以下几个方面：1.结构的几何形状：结构的几何形状对组合变形有重要影响。

例如，在长梁的弯曲变形中，梁的长度和曲率半径都会影响变形的大小。

2.零件的尺寸：零件的尺寸对组合变形有重要影响。

例如，在梁的弯曲变形中，梁的截面积和转动惯量会影响变形的大小。

3.零件的材料性质：零件的材料性质对组合变形有重要影响。

例如，在梁的弯曲变形中，梁的弹性模量和截面剪切模量会影响变形的大小。

4.外力的作用方式：外力的作用方式对组合变形有重要影响。

例如，在梁的弯曲变形中，集中力和均布力对变形的影响是不同的。

除了以上几个因素外，结构的边界条件和连接方式也会影响组合变形的大小。

此外，在实际工程中，结构中可能存在的缝隙、温度变化、材料老化等因素也会对组合变形产生影响。

对于设计工程结构来说，合理控制组合变形是非常重要的。

14-1组合变形-材料力学

14-1组合变形-材料力学

Fz F sin
五、自由端的变形
z
A
y
y

FL3 cos
3EI z
z
B y
x
B z

FL3 sin
3EI y
B
z
y
查表7-1（3）
在 Fz B点的位移 z ：
例题14.1 图所示屋架结构。已知屋面坡度为1：2， 两屋架之间的距离为4m，木檩条梁的间距为1.5m， 屋面重（包括檩条）为1.4kN/m2。若木檩条梁采

"

Iy
Iy
'
M z y M y z
Iz
Iy
cos sin
M ( y z)
Iz
Iy
四、斜弯曲时的强度条件
1、中性轴的位置


M (
Iz
yo

sin
Iy
zo )

0
tan yo Iz tan
zo
和扭矩图如图c、d
危险截面在杆的根部（固定端）
（3）应力分析
B

M W
T
T Wp
在杆的根部取一单元体分析
y 0, x B , xy T
计算主应力
1

3


B
2

( B
2
)2


2 T
2 0
（4）强度分析
选择第三、第四强度理论
r3

入偏心拉伸的强度条
4
32
件校核
32.4106 32.4MPa 35MPa
满足强度条件，最后选用立柱直 d = 12.5cm

材料力学课件第8章组合变形zym

材料力学课件第8章组合变形zym

§8—4 扭转与弯曲的组合 一、圆截面杆弯扭组合 实例： （一）实例： 已知：塑性材料轴尺寸，传动力偶Me。 已知：塑性材料轴尺寸，传动力偶 。 试建立轴的强度条件。 试建立轴的强度条件。 解： 1、确定危险点： 、确定危险点： （1）外力分析 ） F 计算简图： ①计算简图： Fτ 由 ∑ M x = 0 得： FD = Me 2 可确定F 由F可确定 τ。 可确定 外力分解： ②外力分解： 变形判断： ③变形判断： AB段扭转变形，BE段弯扭组合变 段扭转变形， 段弯扭组合变 段扭转变形 形，EC段弯曲变形。 段弯曲变形。 段弯曲变形
解： 、确定各边为中性轴时的压力作用点： 1、确定各边为中性轴时的压力作用点： b2 h2 2 iy = , iz2 = 12 12 h az = ∞ AB截距： a y = − , 截距： 截距 2 h2 iz2 12 = h , zF = 0 F作用点 坐标： yF = − = − 作用点a坐标 作用点 坐标： h 6 ay − 2 同样确定b,c,d点。 同样确定 点 2、连线 确定截面核心。 、连线a,b,c,d确定截面核心。 确定截面核心 解：
3 由： W ≥ M max = 12 ×10 N ⋅ m 6
[σ ]
100 × 10 Pa
= 12 × 10−5 m3 = 120cm3
查表选定16号工字钢。 查表选定 号工字钢。 号工字钢 （2）组合变形校核计算： ）组合变形校核计算： 16号工字钢：W=141cm3,A=26.1cm3 号工字钢： 号工字钢
2、应力状态分析 、 均为单向应力状态 单向应力状态。 均为单向应力状态。
'' σ A = σ ′ +σ A =
F (0.425m) F × (0.075m) + −3 2 15 ×10 m 5310 ×10−8 m 4

材料力学 第7章 组合变形

材料力学 第7章 组合变形
y
1


z x


1


式中M——危险截面的弯矩 T——危险截面的扭矩

2

y


2


例 3 某齿轮传动轴上装有两个直圆柱齿轮，C轮的输入功
率NkC=15kW，不考虑功率损耗，轴的转速n=850r/min， 直径d=50mm，材料的[]=50MPa，两轮节圆直径分别为 D1=300mm， D2=120mm，压力角=20，试校核轴的强度。
FAx
800
.
D
.
A
.
. .
C
.
B 1500
2500
c max
FN M max A Wz
A FAy y
FC
FCx
FCy C
F B
F x
40 10 12 10 4 26.1 10 141 10 6
3 3
FN 40kN
12kNm M
100.5 MPa [ ]
第七章

作业


7-2 7-4 7-5 7-8 7-13 7-17 7-21
第七章
7.1 7.2
组合变形杆的强度
组合变形的概念 弯曲与拉伸（压缩）的组合
7.3
偏心压缩与截面核心
7.4 扭转与弯曲的组合 7.5 复合梁的强度计算
7.6
开口薄壁梁的切应力
组合变形杆的强度
7.1
组合变形概念
F
截面核心—— 在轴向压力作用下，使杆的横截面上只产 生压应力的载荷作用区域
偏心压缩与截面核心
五、截面核心
2.确定方法
压力作用区域。 当压力作用在此区域内时，横截面上无拉应力。 ay 截面核心 az

材料力学- 8组合变形

l/2 l/2
D
A P
C
d
B
Q
l/2
D
l/2
解：
B
A P
mA
C
Q Q 1 mC QD 2 A M C
Ql/4
B
（1）受力分析与计算简 图：将载荷Q向轮心平移 （2）内力分析，画出弯 矩图和扭矩图；找出危险 面和危险点：危险面在中 点C处 （3）代公式：求最大安 全载荷Q
d
T
QD/2
r3
设计中常采用的简便方法：
因为偏心距较大，弯曲应力 是主要的，故先考虑按弯曲强 度条件 设计截面尺寸
M Wz 6000 6 35 10 d 3 32
解得立柱的近似直径 取d=12.5cm,再代 入偏心拉伸的强 度条件校核
d 0.12 m
15000 6000 3.14 0.1252 3.14 0.1253 4 32 32.4 106 32.4MPa 35MPa
M 2 T2 [ ] Wz
l/2
D
l/2
Ql Q M 0.8 0.2Q 4 4
B
A P
mA
C
d
T
Q Q 1 mC QD 2 A M C
Ql/4
QD Q 0.36 0.18Q 2 2
r3
B
M 2 T2 [ ] Wz
Wz
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 3
32
T
QD/2
（1）计算内力
将立柱假想地截开，取上段为 研究对象，由平衡条件，求出 立柱的轴力和弯矩分别为
F
N
FN P 15000 N M Pe 15000 0.4 6000N m

材料力学——8组合变形

A
F m
B
T 15kN m
M max 20kN m
W
15kN· m
D 3
32
(1 )
4
+
r3
20kN· m
-
M2 T2 157.26MPa [ ] W
例题8 传动轴如图所示。在A处作用一个外力偶矩
m=1kN· m，皮带轮直径 D=300mm，皮带轮紧边拉力为 F1，松边拉力为F2。且F1=2F2，L=200mm，轴的许用 应力[]=160MPa。试用第三强度理论设计轴的直径
例3 直径为d=0.1m的圆杆受力如图,T=7kNm,P=50kN, []=100MPa,试按第三强度理论校核此杆的强度。 解：拉扭组合,危险点应力状态如图 T P A T P
P 450 10 3 6.37 MPa A 0.12

T 167000 35 .7MPa 3 Wn 0.1
P
P
1
1
a a
a a
未开槽前 立柱为轴向压缩
N P P P 1 2 A A (2a) 4a2
开槽后 立柱危险截面为偏心压缩;
P
1
P
1
a a
a a
P
1
Pa/2
1
N M P Pa 2 2P 2 2 A W 2 a a 1 2a 2 a a 6 2 P a2 开槽后立柱的最大压应力 8 2 P 4a 未开槽前立柱的最大压应力
2、相当应力计算 第三强度理论,计算相当力
2 0
r 3 1 3 2 4 2
第四强度理论,计算相当应力
r 4 2 3 2
3、强度校核

《材料力学》第八章组合变形

解 (1)外力分析，确定变形类型—拉弯组合；
（2）内力分析，确定危险截面—整个轴；
M=600(kN·cm) FN=15(kN)
(3)应力计算，确定危险点—ａ、b点；
P产生拉伸正应力： t
FN AFNd 2源自4FNd 24
M拉产弯生组弯合曲：的正应力：wmax
M Wy
M
d3
32
32M
d3
P M= a Pe
补例8.1 已知： P=2kN,L求=：1mσm,Iazx=628×104mm4,Iy=64×1040mm2740 2844
解:1.分解P力。 Py Pcos φ Pz Psin φ 2．画弯矩图，确定危险截面--固定端截面。 3．画应力分布图，确定危险点—A、 B点
σ” σ’
A
x
y
Pyl
M
z
践中，在计算中，往往忽略轴力的影响。
4.大家考虑扭转、斜弯曲与拉（压）的组合怎么处理？
例8.5 图8.14a是某滚齿机传动轴AB的示意图。轴的直径为35 mm，材料为45钢， [σ]=85 MPa。轴是由P=2.2kW的电动机通过
带轮C带动的，转速为n=966r／min。带轮的直径为D=132 mm，
Mz Py l - x Pcosφ l - x Mcosφ My Pz l - x Psinφ l - x Msinφ
式中的总弯矩为：M Pl- x
3.计算两个平面弯曲的正应力。在x截面上任取一点A(z 、y)，
与弯矩Mz、My对应的正应力分别为σ’和σ”，故
- Mz y , - M yz
第八章 组合变形
基本要求: 掌握弯曲与拉伸（或压缩）的组合、扭转与弯曲的组合 的强度计算。
重点： 弯曲与拉伸（或压缩）的组合，扭转与弯曲的组合。

材料力学第8章组合变形


MB
M
2 yB
M
2 zB
(364 N m)2 (1000N m)2 1064N m
•由Mz图和My图可知， B截面上的总弯矩最大， 并且由扭矩图可见B截 面上的扭矩与CD段其 它横截面上相同，TB ＝-1000 N·m，于是判 定横截面B为危险截面。
3. 根据MB和TB按第四强度理论建立的强度条件为
Wp
r4
M 2 0.75T 2
W
300N.m 1400N
300N.m
1500N 200
150
300N.m
128.6N.m
120N.m
（2）作内力图
危险截面E 左处
T 300N.m
M
M
2 y
M
2 z
176N.m
（3）由强度条件设计d
r3
M2 T2 W
W d 3
32
32 M 2 T 2
第8章 组合变形
8.1 组合变形和叠加原理 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 8.3 偏心压缩和截面核心 8.4 扭转与弯曲的组合 8.5 组合变形的普遍情况
8.1 组合变形和叠加原理
组合变形——实际构件由外力所引起的变形包含两种或两 种以上的基本变形。如压力框架、烟囱、传动轴、有吊车 的立柱。 叠加原理——如果内力、应力、变形等与外力成线性关系， 则在小变形条件下，复杂受力情况下组合变形构件的内力， 应力，变形等力学响应可以分成几个基本变形单独受力情 况下相应力学响应的叠加，且与各单独受力的加载次序无 关。 前提条件：
即 亦即 于是得
r4
M 2 0.75T 2 [ ]
W
•请同学们按
照第三强度理 (1064 N m)2 0.75(1000 N m)2 100106 Pa W
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max
N A
M
2 z
M
2 y
[ ]
W
例4： 一 个拉伸试件载荷为P=80kN , 截面为1080mm2,
的矩形，加工好以后发现试件上缘有裂缝 ,为防止裂纹
在应力集中下扩展，在试件上部挖去一个r =10mm 的半
圆孔，试校核其强度 。如果强度不够，可采取什么措施
补救？[]=140MPa
r P
P解：无挖裂去纹小时孔后:
度条件。
§8-2 拉伸(压缩)与弯曲的组合作用
轴向拉压：外力的合力作用线与杆的轴线重合。 偏心拉压:外力的合力作用线与杆的轴线不重合。
偏心拉压问题的解题方法：在危险截面，将合力平移，使其 通过截面形心。问题简化为
偏心拉压 = 轴向拉压 + 弯曲
Y
P
1、危险截面—离集中力P较远的任 意截面均为危险截面。
②分别独立计算各种基本变形，然后叠加。
（假设：各个基本变形互不影响）
4.实例：
P
P z
R
x
M
y
P
P q
hg
水坝
5.组合变形的研究方法 —— 叠加原理
①外力分析：外力向形心(或弯心)简化并沿主惯性轴分解 ②内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确
定危险面。 ③应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强
无论什么材料，只有一个危险点即：最大拉应力点。
偏心压缩时，最大拉应力σTmax < 最大压应力σCmax ，
对于塑性材料，只有一个危险点即：最大压应力点。
对于脆性材料，则有两个危险点即：最大压应力点和最大拉应 力点。
最大拉、压应力：
拉/压 N M max （拉为正，压为负）
max
强度条件：
A Wz
N M max [ ]
A WZ max
(对脆性材料，要区分[T ]和[C ])
基本工作： ①安全校核 ②截面设计 ③确定承载力
例1：AB为工字梁[ ] 100MPa ，试选工字梁型号。
0.8m
D
T
A
H
2.5m
V CB
P=8kN 1.5m
tan 0.8
2.5
解：(1) 求V,H
由 M A 0 V 2.5 P (2.5 1.5) 0
力危 状险 态点
为 单 向 应
z
危险点的强度条件
C max
中
C max
性
轴
T max
z
T max
Cmax ( y) (z) C
Mz Wz
My Wy
N A
C
T max ( y) (z) C
（ M z Wz
My Wy
-
N ） A
T
y 横截面尺寸 b
几 何
性
h
质
Wz
bh2 6
Z
e 2、将力P向截面形心平移
l
P
P
偏心拉压 = 轴向拉压 + 弯曲
e
M
M z Pe
NP
N
A
Mz y
Iz
确定危险点：将应力叠加，找出最大应力σmax的作用点
结果
max
N A
Mz Wz
(拉，在最上沿的各点)
或者
偏心拉压时，中性轴不再过截面形 心，甚至没有中性轴。
注意：偏心拉伸时，最大拉应力σTmax > 最大压应力σCmax ，
一、斜弯曲：杆件弯曲后，挠曲线与外力（横向力）不共面。
二、斜弯曲的研究方法 ： 1.分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两
个正交的平面弯曲（双向弯）。 2.横截面为矩形或工字形（有棱角），则先计算应力后叠加：先
P P
P A
Mz
z
Mz wz
My
y
My wy
p
z
z
y
y
My=P ·zP
c
P z •叠加求最大压应力和最大拉应力
Mz=P
C/T (y) (z) C
·yP y
P yp Pzp P
z
wz
wy A
y
(y)
y
(z)
危险点的应力状态
中 性 轴
T max
C max
C max
T max
，Wy
hb2 6
例3：结构如图，在端部Py过形心且与沿y轴方向，在中部Pz过形心 且与沿z轴方向。尺寸如图。
求此梁的最大应力。
Pz
z
H
y L
x Py
解：对于圆截面杆，在危险截面的形心处，分解出与基
本变形对应的载荷，将绕Y轴和Z轴的弯矩My、Mz用
双箭头矢量表示，然后按照矢量合成的方法，计算出
合弯矩M：，根据弯曲应力的分布规律，可以找到危 险点。
Mz=PyL
M
M
2 y
M
2 z
My=PzH x
最大拉应力σT
Pz
z
H
y L
Py
z
Mz
最大压应力σC
My
M
y 中性轴
Mz=PyL
M
M
2 y
M
2 z
My=PzH x
最大拉应力σT
Pz
z
H
y L
Py
z
Mz
最大压应力σC
My
M
y 中性轴
如果在危险截面的危险点处，还有轴向的拉（压） 应力，则还要进一步迭加，最后进行强度校核。
P A
100MPa
r
e r 2 N P MZ Pe P r 2
bP
N N P 114MPa
MZ
A (b r)t
t
对称
挖孔
(b
P 2r)t
MZ WZ
Pr 2 (b r)2t
6
4
max
114
49 163MPa
强度不够！
§8–3 斜弯曲
§8-1 组合变形的概念和实例
1.基本变形：
①拉伸、压缩 ②扭转 ③弯曲
2.组合变形：
在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种 简单变形，当几种变形所对应的应力属同一量 级时，不能忽略之，这类构件的变形称为组合 变形。
3.组合变形问题的处理方法:
叠加原理（条件:小变形）。
①将荷载分解简化成与基本变形对应的等 效静力荷载。
查表P324 16号 W=141cm3 A=26.1cm2
②考虑N，M作用校核：
max
N M max A Wz
40 103 26.1 104
12 103 141 104
100.5MPa [ ] 100MPa
100.5 100 0.5% 16号工字钢满足要求
100
例2：脆性材料偏心压缩
基本方法：通过将偏心的载荷二次平移到截面形心，
得到简单变形的迭加形式
Pz
zP
A
y
My=P·zP
PP z y
yP
My=P·zP
PP z
Mz=P·yP y
•基本变形应力计算
My=P·zP
P z
Mz=P·yP y
(y) Mz Pyp
wz
wz
(z) M y P zp
wy
wy
C
P A
危险截面上的各种应力分布
V 12.8kN
(2) 内力图
H V 40kN
tan
D
0.8m
A 2.5m
CB P=8kN
1.5m
12 40
M kN·m N kN
(3) 选型号：一般弯曲应力远大于拉压应力，可以先按照弯曲 强度试算。
①由 Mmax选：
W
M max
[ ]
12 103 100 106
12 105 m3 120cm3