极点与极线背景下的高考试题
王文彬
(江西省抚州市第一中学344000)
极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景.
作为一名中学数学教师，应当了解极点与极线的概念，掌握有关极点与极线的基本性质，只有这样，才能“识破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律.
1.
交于N 若P 由图于点,A B Γ在P (2)在的直线(3)Q 的轨迹PB
BQ
=Q )
Γ点为点Q 则点P 与2PQ ⇒
=特别地，我们还有
推论2如图3，设点P 关于有心圆锥曲线Γ(设其中心为O )的调和共轭点为点Q ，PQ 连线经过圆锥曲线
的中心，则有2
OR OP OQ =⋅，反之若有此式成立，则点P 与Q 关于Γ调和共轭.
证明：设直线PQ 与Γ的另一交点为R '，则
PR PR OP OR OP OR
RQ R Q OR OQ OR OQ
'-+=⇒='-+，化简 即可得2
OR OP OQ =⋅.反之由此式可推出 PR PR RQ R Q
'
='，即点P 与Q 关于Γ调和共轭. 推论3如图4，,A B 圆锥曲线Γ的一条
图3
R
对称轴l 上的两点(不在Γ上)，若,A B 关于Γ调 和共轭，过B 任作Γ的一条割线，交Γ于,P Q 两点，则PAB QAB ∠=∠.
证明：因Γ关于直线l 对称，故在Γ上存在 ,P Q 的对称点,P Q ''.若P '与Q 重合，则Q '与P 也重合，此时,P Q 关于l 对称，有PAB QAB ∠=∠； 若P '与Q 不重合，则Q '与P 也不重合，由于,A B 关于Γ调和共轭，故,A B 为Γ上完全四点形PQ QP '' 的对边交点，即Q '在PA 上，故,AP AQ 关于直线l 对称，也有PAB QAB ∠=∠.
定理3(配极原则)点P 关于圆锥曲线Γ
的极线p
Γ的极点Q .
2.定和直线0:l Ax x +y 即可得
到点0(P x (1)
(2)
(3)(4)22y px =3.【例1】(2010江苏卷文理18)在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆15
9=+y x 的左右顶点为,A B ，右焦点为F ．设过点(,)T t m 的直线,TA TB 与此椭圆分别交于点1122(,),(,)M x y N x y ，其中0m >，1200y y ><，．
(1)设动点P 满足42
2
=-PB PF ，求点P 的轨迹；
(2)设121
23
x x ==
，，求点T 的坐标；
(3)设9=t ，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）．
分析与解：前面两问比较简单，这里从略. 对于(3)，当9=t 时，T 点坐标为(9,)m ，
连MN ，设直线AB 与MN 的交点为K ，根据 极点与极线的定义可知，点T 对应的极线经过K ，
图4
R
又点T 对应的极线方程为
9195
x m y
⋅⋅+=，即 15
m y
x ⋅+
=，此直线恒过x 轴上的定点K (1,0)， 从而直线MN 也恒过定点K (1,0). 【例2】(2008安徽卷理22)设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>
过点M
，且左焦点为1(F .
(1)求椭圆C 的方程；
(2)当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 交于两个不同的点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足
AP
QB AQ PB ⋅=⋅，证明点易求得答案42
+PA PB
AQ BQ
=
，说明点.根据定理2，点Q P 1142
x y ⋅+=，化简得故点Q 20x y +-=上.
全国卷理26)已知椭圆OP 交椭圆于点R P 的极设(12P t 1224t x ⋅(1tx +-y 22654244542t x t t t x t t ⎧
=⎪⎪-+⎨-⎪=
⎪-+⎩
，消去t 得22
2346x y x y +=+，可化为22(1)(1)15523x y --+=(,x y 不同时为0)，故点Q 的轨迹是以(1,1)，且长轴平行于x 轴的椭圆，但需去掉坐标原点. 【例4】(2006年全国卷II 理21)已知抛物线2
4x y =
的焦点为F ，,A B 是抛物线上的两动点，且AF FB λ=
(0)λ>，过,A B 两点分别作抛物线的切线，并设其交点 为P .
(1)证明FP AB ⋅为定值；
图8
(2)设ABP ∆的面积为S ，写出()S f λ=的表达式，
并求S 的最小值.
分析与解：(1)显然，点P 的极线为AB ，故可设点
0(,1)P x -，再设1122(,),(,)A x y B x y ，,,F A B 三点对应的极线方程分别为1y =-，112()x x y y =+，
222()x x y y =+，由于,,A B F 三点共线，故相应的三极线共点于0(,1)P x -，将1y =-代入后面两个极线方程
得10120
22(1)2(1)x x y x x y =-⎧⎨=-⎩，两式相减得12012()2()x x x y y -=-.
又02121(,2),(,)FP x AB x x y y =-=--，故02121()2()0FP AB x x x y y ⋅=---=.
(2)设AB 的方程为1y kx =+，与抛物线的极线方程002()x x y y =+对比可知直线AB 对应的极点为
(2,1)P k -，把1y kx =+代入24x y =并由弦长公式得
24(1)AB k =+，所以
S AB AB 的4，APB
∆222333y ===⎪⎩21
(42)3
y x x =-+.
(2)设22
1122(,),(,)A x x B x x ，由(1)知1212,22k x x k x x +==-，又1(0,4F ，由(1)知(,2)22
k k P -，即
1212(,)2x x P x x +，所以2111(,)4FA x x =-，12121(,)24x x FP x x +=-，2221(,)4
FB x x =-.
22121121121122222
1111111
()()()244444cos 11()()4x x x x x x x x x x x FP FA PFA FP FA FP FP x FP x x ++--+++
⋅∠====⋅++-.同理
