第15讲:极点与极线的性质 125
第15讲:极点与极线的性质
极点与极线是高等几何中的基本且重要的概念,虽然中学数学没有介绍,但以此为背景命制的高考试题经常出现.掌握极点与极线的初步知识,可使我们“登高望远”,抓住问题的本质,确定解题方向,寻找简捷的解题途.
定义:已知曲线G:ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f=0,则称点P(x 0,y 0)和直线l:ax 0x+b
200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2
y y ++f=0是曲线G 的一对极点与极线,点P 称为直线l 关于曲线G 的极点;直线l 称为点P 关于曲线G 的极线.称点P 与直线l 有“配极关系”,或“对偶关系”,相互为对方的“配极元素”,或“对偶元素”.
特别地,当点P 在曲线G 上时,点P 关于曲线G 的极线是曲线G 在点P 处的切线;圆锥曲线的焦点对应的极线是该焦点对应的准线;圆锥曲线的准线对应的极点是该准线对应的焦点.
[位置关系]:已知点P 关于圆锥曲线G 的极线是直线l,则三者的位置关系是:①若点P 在曲线G 上,则直线l 是曲线
G 在点P 处的切线;②若点P 在曲线G 外,则直线l 是由点P 向曲线G 引两条切线的切点弦;③若点P 在曲线G 内,则直线l 是经过点P 的曲线G 的弦的两端点处的切线交点轨迹.如图:
l l l P M P A D M P
N C N B
[配极原则]:如果点P 的极线通过点Q,则点Q 的极线也通过点P.
证明:设圆锥曲线G:ax 2+bxy+cy 2+2dx+2ey+f=0,点P(x p ,y p ),Q(x Q ,y Q ),则点P 、Q 关于曲线G 的极线方程分别为
p:ax p x+b
2
y
x x y p p ++cy p y+d
2
p x x ++e
2
p y y ++f=0,q:ax Q x+b
2
y
x x y Q Q ++cy Q y+d
2
Q x x ++e
2
Q y y ++f=0,则点P 的极线通过点Q ⇔ax p x Q +b
2
Q
p Q p y x x y ++cy p y Q +d
2
p
Q x x ++e 2
p
Q y y ++f=0⇔点P(x p ,y p )在直线q:ax Q x+b
2
y x x y Q Q ++cy Q y+d
2
Q x x ++e
2
Q y y +
+f=0上⇔点Q 的极线也通过点P.
推论1:两点连线的极点是此二点极线的交点,两直线交点的极线是此二直线极点的连线;
证明:设两点A 、B 连线的极点是P,即点P 的极线经过点A 、B,由配极原则知点A 、B 的极线均过点P,即点P 是此二
点极线的交点;同理可证:两直线交点的极线是此二直线极点的连线.
推论2(共点共线):共线点的极线必共点;共点线的极点必共线.
证明:设点A 、B 均在直线l 上,直线l 对应的极点为P,由配极原则知点A 、B 的极线均过点P,即点A 、B 的极线必共
点;同理可证:共点线的极点必共线.
推论3(中点性质):若圆锥曲线G 过点P 的弦AB 平行于点P 的极线,则点P 是弦AB 的中点.
证明:设P(x 0,y 0),曲线G:ax 2+bxy+cy 2+2dx+2ey+f=0,则点P 的极线方程:ax 0x+b
200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2
y y + +f=0,故可设AB:ax 0x+b
200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2
0y y ++λ=0,由点P(x 0,y 0)在直线AB 上⇒ax 02+bx 0y 0+cy 02
+2dx 0+2ey 0+λ=0⇒λ=-(ax 02
+bx 0y 0+cy 02
+2dx 0+2ey 0)⇒直线AB:ax 0x+b 200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2
0y y +=ax 02+bx 0y 0+cy 02
+2dx 0+2ey 0⇒ ax 0x+b
200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2
0y y ++f=ax 02+bx 0y 0+cy 02
+2dx 0+2ey 0+f,而该直线为以为P 中点的中点弦方程,即点P 是弦AB 的中点.
[比例定理]:若过点P(x 0,y 0)的直线l 与曲线G:ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f=0相交于A 、B 两点,与直线:ax 0x+b
2
00y
x x y ++ 126 第15讲:极点与极线的性质
cy 0y+d
20x x ++e 2
y y ++f=0交于点Q,则|PA||QB|=|QA||PB|. 证明:设直线l:⎩⎨
⎧+=+=θ
θsin cos 00t y y t x x (t 为参数),代入ax 0x+b 200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 20
y y ++f=0得:(2ax 0cos θ+bx 0sin θ
+by 0cos θ+2cy 0sin θ)t+2(ax 02
+bx 0y 0+cy 02
+dx 0+ey 0+f)=0⇒t 0=-2θ
θθθsin 2cos sin cos 20000002
00020cy by bx ax f ey dx cy y bx ax ++++++++;代入ax 2
+bxy+
cy 2+2dx+2ey+f=0得:(acos 2θ+bcos θsin θ+csin 2θ)t 2+(2ax 0cos θ+bx 0sin θ+by 0cos θ+2cy 0sin θ)t+(ax 02+bx 0y 0+cy 02
+dx 0 +ey 0+f)=0⇒t 1+t 2=-θ
θθθθ
θθθ220000sin cos sin cos sin 2cos sin cos 2c b a cy by bx ax +++++,t 1t 2=
θ
θθθ2200200020sin cos sin cos c b a f
ey dx cy y bx ax +++++++⇒t 0=
2
12
12t t t t +;而|PA||QB|= |QA||PB|⇔|t 1||t 2-t 0|=|t 1-t 0||t 2|⇔t 0=
2
12
12t t t t +成立. [面积定理]:已知点P 关于圆锥曲线G 的极线为l,过点P 的直线与圆锥曲线G 相交于A 、B 两点,分别过点A 、B 的两
条平行线与直线l 交于点D 、C,记△APD 、△CPD 、△BPC 的面积分别为S 1,S 2,S 3,则:S 22
=4S 1S 2.
证明:以椭圆G:
2
2a x +
2
2b y =1(a>b>0)为例,设P(x 0,y 0),则极线l:
12
02
0=+
b y y a x x .设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),并分别过点A 、B
作l 的垂线,垂足分别为D 1、C 1,则|
|||11BC AD =|1||1|22022021
02
1
0-+-+
b
y y a x x b y y a x x =||||2220220222102102b a y y a x x b b a y y a x x b -+-+(注意到:a 2b 2=b 2x 12+a 2y 12,a 2b 2=b 2x 22+a 2y 2) =
|
|||2222222022022
12212102102y a x b y y a x x b y a x b y y a x x b --+--+=
|
)()(||)()(|0222022201120112y y y a x x x b y y y a x x x b -+--+-(注意到:
0101x x y y --=0202x x y y --=k)=||||0201x x x x --⋅|
||
|22221212x b ky a x b ky a ++.又因||||BP AP =||||0201x x x x --,以下只需证||||22221212x b ky a x b ky a ++=1,即|a 2ky 1+b 2x 1|=|a 2ky 2+b 2x 2|,由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+222222222221221
2b
a y a x
b b a y a x b ⇒b 2(x 1-x 2)(x 1+x 2)+a 2
(y 1- y 2)(y 1+y 2)=0⇒b 2(x 1+x 2)+a 2k(y 1+y 2)=0⇒a 2ky 1+b 2x 1=-(a 2ky 2+b 2x 2)⇒|a 2ky 1+b 2x 1|=|a 2ky 2+b 2
x 2|⇒||||BP AP =|
||
|11BC AD ,由△ADD 1∽△BCC 1⇒
||||BC AD =||||BP AP ,设AC 与BD 交于点Q,由AD ∥BC ⇒||||BC AD =||||QC AQ ⇒||||BP AP =
|
||
|QC AQ ⇒PQ ∥BC ∥AD ⇒S △BAC =S △BDC ,两边同减S △BQC 得S △QAB =S △QDC ,又因S △PQA =S △PQD ,S △PQB =S △PQC ⇒S △PCD =S △QCD +S △PQD +S △PQC =S △QCD +S △PQA +S △PQB =S △QCD +S △QAB =2S △QAB ⇒S △QAD =S △PAD =S 1,S
△QBC
=S △PBC =S 3,S △QAB =
21S △PCD =2
1S 2,注意到:QAB QBC QAB QAD S S S S ∆∆∆∆⋅=||||||||QA QC QB QD ⋅=1⇒2
QAB S ∆=S △QAD S △QBC ⇒S 22=4S 1S 2. 例1:极点与极线的位置关系.
