极点极线(2020年10月整理).pdf

极点与极线对于高考而言，在全国卷大一统的形势下，纵观历年全国卷的解析几何试题，以极点极线为背景的题目，不断出现，不过基本上也是基础类型．所以，极点极线，我们还是按照一些题型来进入分类总结．极点极线的定义1．二次曲线的替换法则对于一般式的二次曲线22Ax Bxy Cy Dx ϕ+++：0Ey F ++=，用0xx 代2x ，用0yy 代2y ，用002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02y y +代y ，常数项不变，可得方程：0000022x y xy x x Axx B Cyy D ++++++ 002y y E F ++= ．2．极点极线的代数定义高中阶段，常见的二次曲线的极点极线的方程如下：（1）圆：①极点00()P x y ，关于圆222x y r +=的极线方程是200xx yy r +=；②极点00()P x y ，关于圆222()()x a y b r -+-=的极线方程是200()()()()x a x a y b y b r --+--=；③极点00()P x y ，关于圆220x y Dx Ey F ++++=的极线方程是：0000022x x y y xx yy D E F ++++++= ．（2）椭圆：极点00(,)P x y 关于椭圆22221x y a b +=的极线方程是：00221xx yy a b +=．（3）双曲线：极点00(,)P x y 关于双曲线22221x y a b -=的极线方程是：00221xx yy a b-=．（4）抛物线极点00(,)P x y 关于抛物线22y px =的极线方程是：00()y y p x x =+．注：①极点极线是成对出现的；②焦点和焦点对应的准线就是最常见的极点极线；③已知定比分点，则其调和分点一定位于其对应极线上！3．极点极线的几何意义（1）若极点P 在二次曲线上，则极线是过点P 的切线方程．（2）若极点P 在二次曲线内部，则极线是过点P 的弦两端端点的切线交点的轨迹．如图所示，过点P 的弦AB 、CD 的两端端点作切线，得到的直线MN 即为点P 对应的极线轨迹．【极线和二次曲线必定相离】（3）若极点P 在二次曲线外部，分成两种情况：①极线在二次曲线内的部分是点P 对二次曲线的切点弦；【极线和二次曲线必定相交】②极线在二次曲线外的部分是过点P 的弦两端端点的切线交点的轨迹．4．极点极线的配极性质①点P 关于二次曲线C 的极线p 经过点Q ⇔点Q 关于二次曲线C 的极线q 经过点P ．②直线p 关于二次曲线C 的极点P 在直线q 上⇔直线q 关于二次曲线C 的极点Q 在直线p 上．①②表达点P 和点Q 是二次曲线的一组调和共轭点，也是定比点差常说到的定比分点和调和分点．极点极线的综合模型——自极三角形极点极线的几何意义:（1）若点P 是圆锥曲线上的点，则过点P 的切线即为极点p 对应的极线．（2）如图所示（以椭圆图形为例），若点P 是不在圆锥曲线上的点，且不为原点O ，过点P 作割线P AB 、PCD 依次交圆锥曲线于A 、B 、C 、D 四点，连结直线AD 、BC 交于点M ，连结直线AC 、BD 交于点N ，则直线MN l 为极点P 对应的极线．类似的，也可得到极点N 对应的极线为直线PM l ，极点M 对应的极线为直线PN l ，因此，我们把PMN △称为自极三角形．【即PMN △的任一顶点作为极点，则顶点对应的边即为对应的极线，“补全自极三角形”这个技巧很常用，后面结合例题了解！】如图所示，如果我们连结直线NM 交圆锥曲线于点E 、F ，则直线PE 、PF 恰好为圆锥曲线的两条切线，此时，直线EF l 不仅是极点P 的极线，我们也称直线EF l 为渐切线．下面的共轭点模型，实际都是极点在坐标轴上的特例模型的应用，也是高考题常见．自极三角形的定点定值我们先来尝试一下抛物线的极点极线证明：如图，A 、B 、C 、D 分别为抛物线px y 22=上四点，且AB 与CD 交于)0(，m M ，则AC 与BD 的交点N 一定在定直线m x -=上．令MB AM λ=，MD CM μ=，所以m x A λ=，λpm y A 2=，λmx B =，λpmy B 2-=，m x c μ=，μpm y C 2=，μmx D =，μpmy D 2-=．三点共线:)()(D N D B D B D C N C A C A C N x x x x y y y x x x x y y y y ---+=---+=，)(2)(2D N DB DC N C A C N x x y y p y x x y y p y y -++=-++=所以)(2)(21(2μλμμμ+--=+=-pm m x p pm y y N D C )(2)(2μλλμμ+--+pm m x p N ，所以=+++)1(μλμλμm μλλμμm x x m N N +--，所以=+)1(λμm )1(λμ+-N x ，所以m x N -=．接下来我们来参考2020年的全国1卷，也是一种常见的自极三角形．【例17】（2020•新课标Ⅰ）已知A ，B 分别为椭圆222:1(1)x E y a a +=>的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB = ．P 为直线6x =上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点．模型总结已知极点在长（短）轴上，证明极线相对简单，只需要利用定比设点法表达出来再联立，消掉变量即可，但是在已知极线反推极点的时候，就要将引入的比例系数λ消除，构造0+0=0λ⨯模型，此类型题目均可以快速拿满分（曲线系处理最快）；抛物线通常利用对称的定比设点法，证明极点极线非常轻松，大家可以试试手．【训练18】（2021•金华模拟）如图，已知抛物线24y x =，过点(11)P -，的直线l 斜率为k ，与抛物线交于A ，B 两点．（1）求斜率k 的取值范围；（2）直线l 与x 轴交于点M ，过点M 且斜率为2k -的直线与抛物线交于C ，D 两点，设直线AC 与直线BD 的交点N 的横坐标为0x ，是否存在这样的k ，使05x =-，若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由．【训练19】（2021•湖南模拟）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，点3(1)2P ，在C 上，且221PF F F ⊥．（1）求C 的标准方程；（2）设C 的左右顶点分别为A ，B ，O 为坐标原点，直线l 过右焦点2F 且不与坐标轴垂直，l 与C 交于M ，N 两点，直线AM 与直线BN 相交于点Q ，证明点Q 在定直线上．【例18】已知椭圆134:22=+y x C ，斜率为1的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，点)04(，M ，直线AM 与椭圆交于点1A ，直线BM 与椭圆交于1B ，求证：直线11B A 过定点．模型总结若过)0(，m P 交椭圆于1AA ，1BB 两条线，若①t k AB=，②11B A 过定点)22(22t m m a m a m -+，，两者互为充要条件．大家可以自行证明．本章节到此告一段落，关于极点极线的其它性质，比如等角定理、比如斜率等差模型、斜率比值模型、焦准距的平方和共圆模型、椭圆的平行弦模型、蝴蝶定理初步，会在《高考数学满分突破》之秒杀压轴题系列2（2022年新版本）中详细阐述，二轮复习在于以题型入手的思维巩固，在于以不变应万变，秒系列在于思维深挖拓展，对一个问题的看法更加立体，也是数学爱好者的江湖情怀！【训练20】（2018•北京文）已知椭圆2222:1x y M a b+=(0)a b >>的离心率为36，焦距为22．斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A 、B ．（1）求椭圆M 的方程；（2）若1=k ，求AB 的最大值；（3）设)0,2(-P ，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ．若C ，D 和点41,47(-Q 共线，求k ．【训练21】（2021•广东七校联考）已知椭圆2222:1x yCa b+=(0)a b>>的左顶点为(20)A-，，两个焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形，过点(10)P，且与x轴不重合的直线l与椭圆交于M、N不同两点．（1）求椭圆方程；（2）若过点P且平行于AM的直线交直线52x=于点Q，求证：直线NQ过定点．【训练22】（2020•北京）已知椭圆2222:1x yCa b+=过点(21)A--，，且2a b=．（1）求椭圆C的方程；（2）过点(40)B-，的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线4x=-于点P，Q．求|| || PB BQ的值．。

极点极线详解-概述说明以及解释1.引言1.1 概述极点极线是复数函数理论中重要的概念，它们在解析几何和数学物理等领域均有广泛的应用。

极点是函数在复平面上的奇点，它表现为函数在该点处无穷大或无穷小的特性，而极线则是连接这些极点的曲线。

极点和极线的研究不仅有助于深入理解复函数的性质，还在实际问题的求解中发挥着重要作用。

本文将详细介绍极点和极线的定义、特性、关系以及应用，旨在帮助读者更好地理解和应用这一重要的数学概念。

1.2 文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式进行编写:文章结构部分本文将按照以下结构来论述极点极线的相关内容:2. 正文2.1 极点的定义和特性2.2 极线的定义和特性2.3 极点极线的关系2.4 极点极线的应用在正文部分，我们将依次介绍和探讨极点和极线在计算机视觉领域中的重要性以及相关概念、定义和特性。

首先，我们将详细讲解极点的定义和其特性，包括极点在图像处理和计算机视觉中的作用以及其在数学中的定义。

然后，我们将介绍极线的定义和特性，重点关注极线在立体视觉和图像对几何关系解决中的重要性。

接下来，我们将讨论极点和极线的关系，包括如何通过极点和极线之间的投影关系来求解立体视觉和图像重建中的几何关系。

最后，我们将探讨极点极线在实际应用中的具体应用场景，包括目标识别、图像配准和三维重建等领域，并介绍一些相关的案例和算法。

通过以上结构，我们希望能够全面而系统地介绍极点极线的相关内容，使读者对其有一个清晰的认识和理解。

在这个过程中，我们将尽可能地提供详细的解释和示例，以帮助读者更好地理解和应用极点极线的概念和方法。

在接下来的章节中，我们将从极点的定义和特性开始，逐步展开对极点极线的讨论。

让我们一起深入了解极点极线的奥秘吧。

1.3 目的本文的目的在于探讨和详解极点极线的概念、定义、特性以及其在实际应用中的重要性。

通过对极点和极线的定义和特性的介绍，我们将深入了解这一数学概念的内涵和本质。

同时，我们还将研究极点和极线之间的关系以及它们在几何学、计算机视觉和图像处理领域的应用。

教你认清极点极线的真面目，虽粗浅，但绝对受益！
其实，圆锥曲线中的极点与极线，就目前高考而言，务必要熟悉其中的几个性质。

为了方便，下面我都以椭圆为例来进行说明或展示。

至于双曲线和抛物线，处理方法和结论也都是类似的。

一、位置关系：①当点
在椭圆上时，极线
是以点
为切点的切线;
②当点
在椭圆外时，极线
与曲线相交，且为由点
向椭圆所引切线的切点弦所在直线；
③当点
在椭圆内时，极线
与椭圆相离，极线
为经过点
的弦在两端点处切线交点的轨迹。

且极线
与以
为中点的弦所在直线平行.
当然，还要知道的是，如果极点为焦点，则极线为准线。

（极点极线关系的动态演示）
二、比例关系④若过点
的直线与曲线交于A,B两点，与极线
交于点Q，则必有：
如果从定比分点的角度看，即点Q和点P分弦AB之比总是相等。

极点极线10个二级结论1. 极点极线的定义极点极线是几何学中的一个概念，用于描述平面上的一种特殊关系。

给定一个圆，圆上的每个点都有一个与之对应的极线。

而对于平面上的任意一条直线，也可以找到一个与之对应的极点。

极点极线满足一定的几何性质，研究它们可以帮助我们理解平面几何的一些重要性质和定理。

2. 极点极线的性质极点极线有许多重要的性质。

首先，对于给定的圆，其上的任意两个点对应的极线相交于一点，这个点称为极点。

同样地，对于给定的直线，其上的任意两个点对应的极点也相交于一点，这个点称为极线。

其次，对于给定的点和直线，它们的极点和极线之间具有一一对应的关系。

最后，极点极线满足交换律，即如果点A是直线l的极点，那么直线l也是点A的极线。

3. 极点极线的应用极点极线在几何学中有广泛的应用。

首先，它可以用来证明一些几何定理。

例如，通过构造极点极线，可以证明圆与直线的切线垂直于半径，以及切线之间的交角相等等定理。

其次，极点极线也可以用来解决一些几何问题。

例如，通过构造极点极线，可以确定一个点关于给定圆的对称点的位置。

此外，极点极线还可以用于构造一些特殊的图形，如圆的切线和割线等。

4. 极点极线的构造方法构造极点极线的方法有多种。

对于给定的圆，可以通过连接圆心和圆上的任意一点来构造极线。

而对于给定的直线，则可以通过找到直线上的两个不同的点，然后连接它们的交点来构造极点。

此外，还可以通过构造垂线、平行线和相似三角形等方法来构造极点极线。

5. 极点极线与其他几何关系的联系极点极线与其他几何关系密切相关。

首先，极点极线与垂直关系有着紧密的联系。

通过构造极点极线，可以证明两条直线垂直的几何定理。

其次，极点极线与相似关系也有一定的关联。

通过构造相似三角形，可以得到一些与极点极线相关的性质。

此外，极点极线还与圆的切线和割线等几何关系有着密切的联系。

6. 极点极线的应用举例极点极线的应用举例包括：证明圆与直线的切线垂直于半径、构造圆的切线和割线、确定一个点关于给定圆的对称点的位置等。

极点极线主题1. 简介极点极线主题（Poles and polar lines）是一个数学主题，广泛应用于几何学和代数学中。

它涉及到点与线之间的特殊关系，通过点与点之间以及点与线之间的关联，可以推导出一系列重要的结论。

2. 极点与极线在几何学中，极点是指在给定的圆上，半径线与过该点的切线所相交的点。

而极线则是与通过给定点的切线垂直且过该点的直线。

极点和极线之间存在着一一对应的关系，即每个点都对应着一条唯一的极线，而每条极线也都对应着一个唯一的极点。

3. 极点极线的性质极点和极线之间有许多重要的性质和定理：- 定理1：如果两个点在同一极线上，则它们互为极点。

- 定理2：如果两条极线相交于一个点，则该点是它们的共同极点。

- 定理3：如果两个点分别是彼此的极点，则它们所在的极线相交于一个点。

- 定理4：如果极点位于极线上，则该极线被称为自极线。

这些性质和定理的应用广泛，可以用于解决诸如圆的切线、求解交角、检验共圆等问题。

4. 应用举例极点极线主题在几何学和代数学中有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用举例：- 圆的切线：通过将一点的极线与圆相交，可以求解出切线的方程，从而确定圆的切线。

- 判断共圆：对于给定的一组点，通过求解它们的共同极线，可以判断它们是否共圆。

- 求解交角：通过求解两个点的极线的交点，可以得到它们之间的交角。

这些应用只是极点极线主题在实际问题中的一部分应用，它的应用领域还远不止于此。

5. 总结极点极线主题是一个重要的数学主题，在几何学和代数学中有着广泛的应用。

通过点与线之间的关联，可以推导出一系列重要的结论和定理。

这些结论和定理在解决实际问题时具有很高的实用性和有效性。

---以上是关于极点极线主题的简要介绍。

希望本文能够帮助您更好地理解和应用这一数学主题。

如有任何问题，请随时向我们提问。

谢谢！。

极点极线10个二级结论摘要：1.极点极线的概念2.二级结论的定义3.极点极线的10 个二级结论3.1 极点总是位于极线的中点3.2 极线的斜率等于极点连线斜率的负倒数3.3 极点是曲线上曲率最大的点3.4 极线是曲线上曲率最小的线段3.5 极点是曲线上速度最大的点3.6 极线是曲线上速度最小的线段3.7 极点是曲线上离心力最大的点3.8 极线是曲线上离心力最小的线段3.9 极点是曲线上向心加速度最大的点3.10 极线是曲线上向心加速度最小的线段正文：极点极线是数学和物理学中的一个重要概念，它用于描述曲线或轨道上的特殊点或线。

极点是曲线或轨道上的一个点，该点处的曲率最大。

而极线则是连接极点与曲线或轨道上其他点的线段，该线段的曲率最小。

在这篇文章中，我们将讨论极点极线的10 个二级结论。

首先，我们来看第一个结论：极点总是位于极线的中点。

这是因为，极点是曲线上曲率最大的点，而极线是连接极点与曲线上其他点的线段，所以极点必然位于极线的中点。

第二个结论是：极线的斜率等于极点连线斜率的负倒数。

这是因为，极线是曲线上曲率最小的线段，而斜率是曲率的倒数，所以极线的斜率等于极点连线斜率的负倒数。

第三个结论是：极点是曲线上曲率最大的点。

这是因为，曲率是描述曲线弯曲程度的量，而极点是曲线上弯曲程度最大的点。

第四个结论是：极线是曲线上曲率最小的线段。

这是因为，曲率是描述曲线弯曲程度的量，而极线是连接极点与曲线上其他点的线段，所以极线的曲率最小。

第五个结论是：极点是曲线上速度最大的点。

这是因为，速度是位移对时间的导数，而极点是曲线上位移变化最大的点，所以极点是曲线上速度最大的点。

第六个结论是：极线是曲线上速度最小的线段。

这是因为，速度是位移对时间的导数，而极线是连接极点与曲线上其他点的线段，所以极线的速度最小。

第七个结论是：极点是曲线上离心力最大的点。

这是因为，离心力是物体在曲线运动中受到的力，而极点是曲线上速度最大的点，所以极点是曲线上离心力最大的点。

极点极线在高考圆锥曲线试题中的应用宋雅静㊀冯福存(宁夏师范学院数学与计算机科学学院ꎬ宁夏回族自治区固原７５６０００)摘㊀要:圆锥曲线是解析几何和高等几何的主要研究内容ꎬ近些年以高等几何知识为背景的几何试题频频出现在高考中.本文从高等几何中极点极线的角度ꎬ对近三年高考中的一些圆锥曲线问题的解法进行探究ꎬ为教师和学生提供参考.关键词:极点ꎻ极线ꎻ调和点列ꎻ调和线束ꎻ圆锥曲线中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１０－００３９－０３收稿日期:２０２３－０１－０５作者简介:宋雅静(１９９７－)ꎬ女ꎬ河南省新乡人ꎬ硕士研究生ꎬ从事中学数学教学研究ꎻ冯福存(１９７７－)ꎬ女ꎬ宁夏中卫人ꎬ副教授ꎬ从事几何学㊁矩阵理论及其应用研究.基金项目:宁夏自然科学基金项目资助(项目编号:２０２２ＡＡＣ０３３３４)ꎬ宁夏高等学校一流学科建设(教育学学科)研究项目资助(项目编号:ＮＸＹＬＸＫ２０２１Ｂ１０).㊀㊀许多高考数学试题都有高等数学的背景ꎬ其中ꎬ高等几何中的极点㊁极线与调和点列就是高考数学圆锥曲线试题命制的一个主要来源.因此ꎬ很多学者将高等几何的方法与初等几何联系起来解决问题.文献[１]中阐述了极点与极线的基本性质ꎬ指出极点㊁极线是圆锥曲线的基本特征ꎬ是圆锥曲线试题命制的背景ꎻ文献[２]中对极点与极线的概念进行了解读并且对衍生性质给予证明ꎬ最后将其运用到具体的高考真题中ꎻ文献[３]中对２０２０年北京高考真题的高等解法进行了探究.本文在前人研究的基础上ꎬ阐述极点与极线的基本理论ꎬ并且从极点㊁极线视角对２０２０年高考数学全国Ⅰ卷理科第２０题㊁２０２１年高考数学全国乙卷理科第２１题㊁２０２２年高考数学全国乙卷理科第２１题进行解决.１预备知识在平面上ꎬ由二元二次方程Ｆ(ｘꎬｙ)＝ａ１１ｘ２＋２ａ１２ｘｙ＋ａ２２ｙ２＋２ａ１３ｘ＋２ａ２３ｙ＋ａ３３＝０所表示的曲线叫做二次曲线ꎬ对应的矩阵为Ａ＝ａ１１ａ１２ａ１３ａ１２ａ２２ａ２３ａ１３ａ２３ａ３３æèçççöø÷÷÷.若Ａʂ０ꎬ则方程所表示的曲线为非退化的二次曲线ꎬ即圆锥曲线(椭圆㊁双曲线㊁抛物线).齐次坐标㊀笛卡儿坐标为(ｘꎬｙ)的点的二维齐次坐标(ｘ１ꎬｘ２ꎬｘ３)是指由任意适合ｘ１ｘ３＝ｘꎬｘ２ｘ３＝ｙ的三个数ｘ１ꎬｘ２ꎬｘ３组成的有序三数组(ｘ１ꎬｘ２ꎬｘ３)ꎬ其中ｘ３ʂ０.一点的齐次坐标有无数组.极点与极线的代数定义㊀已知圆锥曲线ａ１１ｘ２＋２ａ１２ｘｙ＋ａ２２ｙ２＋２ａ１３ｘ＋２ａ２３ｙ＋ａ３３＝０ꎬ则称平面内任意一点Ｐ０(ｘ０１ꎬｘ０２ꎬｘ０３)和直线ｌ:(ｘ０１ꎬｘ０２ꎬｘ０３)ａ１１ａ１２ａ１３ａ１２ａ２２ａ２３ａ１３ａ２３ａ３３æèçççöø÷÷÷ｘ１ｘ２ｘ３æèçççöø÷÷÷＝０是圆锥曲线的一对极点与极线.极点与极线的几何定义㊀点Ｐ不是圆锥曲线９３上的点ꎬ过点Ｐ引两条割线依次交圆锥曲线于点ＥꎬＦꎬＧꎬＨꎬ连接ＥＨꎬＦＧ交于点Ｎꎬ连接ＥＧꎬＦＨ交于点Ｍꎬ则直线ＭＮ为点Ｐ对应的极线ꎬ同理直线ＭＰ为点Ｎ对应的极线ꎬ直线ＮＰ为点Ｍ的极线.为方便理解ꎬ本文以椭圆为例作图ꎬ如图１.图１特别地ꎬ若Ｐ是圆锥曲线上的点ꎬ则过点Ｐ的切线即为极线ꎻ圆锥曲线的焦点和准线恰巧是一组极点与极线.调和点列的定义㊀若同一直线上四点ＡꎬＢꎬＣꎬＤ的交比满足(ＡＣꎬＢＤ)＝ＡＢ ＣＤＣＢ ＡＤ＝－１ꎬ即ＡＣＣＢ＝ＡＤＤＢ时ꎬ称点ＣꎬＤ调和分割线段ＡＢꎬＡꎬＢꎬＣꎬＤ为调和点列.定理㊀点Ｐ不在圆锥曲线上ꎬ过点Ｐ的任一直线与该圆锥曲线交于ＡꎬＢ两点ꎬ与点Ｐ关于该圆锥曲线的极线交于点Ｑꎬ则ＡꎬＢꎬＰꎬＱ是调和点列.调和线束的定义㊀若ＡꎬＢꎬＣꎬＤ是调和点列ꎬ直线外一点Ｍ与它们的连线统称为调和线束ꎬ即直线ＭＡꎬＭＢꎬＭＣꎬＭＤ为一簇调和线束.调和线束的性质１㊀平面内若一条直线与调和线束中的一条平行而与其余三条相交ꎬ则相交线段被平分.调和线束的性质２㊀平面内若一条直线与调和线束都相交ꎬ且交于不同的四个点ꎬ则相应的交点也成调和点列.２在高考试题中的应用例１㊀(２０２０年高考数学全国Ⅰ卷理科第２０题)已知ＡꎬＢ分别为椭圆Ｅ:ｘ２ａ２＋ｙ２＝１(ａ>１)的左㊁右顶点ꎬＧ为Ｅ上的顶点ꎬ其中ＡＧң ＧＢң＝８.Ｐ为直线ｘ＝６上的动点ꎬＰＡ与Ｅ上的另一交点为ＣꎬＰＢ与Ｅ的另一交点为Ｄ.(１)求Ｅ的方程ꎻ(２)证明:直线ＣＤ过定点.解析㊀(１)Ｅ的方程为ｘ２９＋ｙ２＝１.图２(２)如图２ꎬ设ＡＢ与ＣＤ交于点Ｍꎬ延长ＣＢꎬＡＤ交于点Ｑꎬ由极点㊁极线的几何定义可得点Ｍ和ＰＱ所在的直线是一对极点极线.由题意可知Ａ＝１９０００１０００－１æèççççöø÷÷÷÷.设极点Ｍ的坐标为(ｍꎬ０)ꎬ点Ｍ齐次坐标为(ｍꎬ０ꎬ１)ꎬ则ＰＱ所在的直线方程为(ｍꎬ０ꎬ１)１９０００１０００－１æèççççöø÷÷÷÷ｘ１ｘ２ｘ３æèçççöø÷÷÷＝０.即ｘ＝９ｍ.因为Ｐ为直线ｘ＝６上的动点ꎬ则ｍ＝３２ꎬ即直线ＣＤ恒过定点(３２ꎬ０).例２㊀(２０２１年高考数学全国乙卷理科第２１题)已知抛物线Ｃ:ｘ２＝２ｐｙ(ｐ>０)的焦点为Ｆꎬ且Ｆ与圆Ｍ:ｘ２＋(ｙ＋４)２＝１上的点的距离的最小值为４.(１)求ｐꎻ(２)若点Ｐ在Ｍ上ꎬＰＡꎬＰＢ是Ｃ的两条切线ꎬＡꎬＢ是切点ꎬ求әＰＡＢ面积的最大值.解析㊀(１)由题意可得ｐ＝２.(２)如图３ꎬ由(１)可得抛物线Ｃ为ｘ２＝４ｙꎬ若点Ｐ为极点ꎬ则ＡＢ所在的直线为点Ｐ关于抛物线的极线ꎬ若动点Ｐ沿ｙ轴运动ꎬ则ＡＢʅｙ轴运动.设点Ｐ的齐次坐标为(０ꎬｍꎬ１)ꎬ由题意得０４Ａ＝１００００－２０－２０æèçççöø÷÷÷.则Ｐ所对应的极线方程为(０ꎬｍꎬ１)１００００－２０－２０æèçççöø÷÷÷ｘ１ｘ２ｘ３æèçççöø÷÷÷＝０.即ｙ＝－ｍꎬ可得极点与极线在ｘ轴的两侧且到ｘ轴的距离相等.由此极点和极线之间的距离越大ꎬ所求三角形的面积越大ꎬ得ｍ＝－５时ꎬΔＰＡＢ的面积最大ꎬ此时ｘ２＝２０ꎬ解得ｘ＝ʃ５ꎬ即ＡＢ＝４５.所以ＳәＰＡＢ＝１２ˑ１０ˑ４５＝２０５.图３例３㊀(２０２２年高考数学全国乙卷理科第２１题)已知椭圆Ｅ的中心为坐标原点ꎬ对称轴为ｘ轴ꎬｙ轴ꎬ且过Ａ(０ꎬ－２)ꎬＢ(３２ꎬ－１)两点.(１)求Ｅ的方程ꎻ(２)设过点Ｐ(１ꎬ－２)的直线交Ｅ于ＭꎬＮ两点ꎬ过Ｍ且平行于ｘ轴的直线与线段ＡＢ交于点Ｔꎬ点Ｈ满足ＭＴң＝ＴＨңꎬ证明:直线ＨＮ过定点.解析㊀(１)椭圆方程为ｘ２３＋ｙ２４＝１.图４(２)如图４ꎬ若点Ｐ(１ꎬ－２)为极点ꎬ齐次坐标为Ｐ(１ꎬ－２ꎬ１)ꎬ由题意可知Ａ＝１３０００１４０００－１æèçççççöø÷÷÷÷÷.则极点Ｐ对应的极线方程为(１ꎬ－２ꎬ１)１３０００１４０００－１æèçççççöø÷÷÷÷÷ｘ１ｘ２ｘ３æèçççöø÷÷÷＝０.即ｙ＝２３ｘ－２ꎬ经验证点ＡꎬＢ在此极线上ꎬ即ＡＢ所在的直线即为点Ｐ的极线.连接ＡＭꎬ设ＭＰ与ＡＢ相交于点Ｑꎬ则ＰꎬＮꎬＱꎬＭ为调和点列ꎬ所以ＡＰꎬＡＢꎬＡＭꎬＡＮ为调和线束ꎬＭＴ为截线ꎬ因为ＭＴң＝ＴＨңꎬ所以Ｔ为ＭＨ的中点ꎬ由调和线束的性质可得ＭＨʊＡＰꎬ在射影平面内ꎬＭＨ与ＡＰ相交于无穷远点ꎬ连接ＡＮꎬＡＮ的延长线必然交于点Ｈꎬ此时ꎬＡꎬＮꎬＨ三点共线ꎬ即直线ＨＮ过定点Ａ.高考圆锥曲线压轴题普遍是学生思维的难点和计算的痛点ꎬ在解题时容易出错.如果能从更高的角度去认识和分析它ꎬ有助于学生形成对问题的深刻理解并掌握问题的本质ꎬ在解决问题时直入主题ꎬ减少运算ꎬ从而轻松解题ꎬ还为之后的高等几何的学习甚至工作奠定相应的理论和思维基础ꎬ实现真正意义上的素质教育ꎻ有助于教师把握题目的设计意图和本质ꎬ增强学科知识储备ꎬ提高学科专业素质ꎬ更好地服务教学.参考文献:[１]王文彬.极点㊁极线与圆锥曲线试题的命制[Ｊ].数学通讯ꎬ２０１５(０８):６２－６６.[２]于涛.极点与极线视角下的高考圆锥曲线试题[Ｊ].中学数学研究(华南师范大学版)ꎬ２０１９(０１):１３－１６.[３]柏任俊ꎬ贾春花ꎬ毛井.高等几何背景下的解析几何试题探究[Ｊ].中学数学ꎬ２０２２(０９):２０－２２.[责任编辑:李㊀璟]１４。

极点极线10个二级结论一、极点极线的定义极点极线，又称极线，是平面几何中的一种曲线。

在平面直角坐标系中，极点极线可以表示为方程ρ=a(θ-φ)cos(α-β)，其中ρ表示极径，θ和φ分别表示极角，α和β表示极线与极轴的夹角。

极点极线是具有特殊对称性和形状的曲线，它在数学领域具有重要的地位。

二、极点极线的十个二级结论1.极点极线的性质：极点极线具有以下性质：（1）极点极线与极轴的夹角为α-β；（2）极点极线上的点到极点的距离相等；（3）极点极线上的点关于极点对称的点也在极点极线上。

2.极点极线与直线的关系：极点极线可以看作是直线的一种特殊形式，即极角为β的直线。

因此，极点极线与直线具有很多相似的性质。

3.极点极线的应用：极点极线在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用，如在导航定位、天文学、雷达技术等方面具有重要意义。

4.极点极线的计算方法：极点极线的计算方法主要包括解析法、参数法和极坐标法等。

通过这些方法，可以求解极点极线的方程、极径和极角等参数。

5.极点极线的几何意义：极点极线在几何中具有重要的意义，它表示了平面上所有到极点距离相等的点。

此外，极点极线还与极径、极角等概念密切相关。

6.极点极线的实例解析：例如，给定极点极线的方程ρ=a(θ-φ)cos(α-β)，可以通过求解该方程得到极点极线的具体形状和位置。

7.极点极线在实际生活中的应用：极点极线在实际生活中的应用包括导航系统、定位技术、雷达探测等，这些应用基于极点极线的特性来确定目标的位置和距离。

8.极点极线与其他数学概念的关联：极点极线与直线、曲线、圆等其他数学概念密切相关。

通过研究极点极线，可以更好地理解这些概念的性质和关系。

9.极点极线的教学策略：在教学过程中，教师可以通过讲解极点极线的定义、性质和应用，引导学生逐步掌握极点极线的相关知识。

同时，注重理论与实践相结合，提高学生的实际应用能力。

10.极点极线的拓展与延伸：极点极线的研究不仅可以拓展到高维空间，如极点极面、极点极曲线等，还可以与其他数学领域相结合，如微积分、代数几何等。

声明: 本内容来自网络;感谢 百度贴吧的漫谈圆锥曲线的极点与极线——两高考试题的统一背景与解法 百度贴吧的 等优秀内容.极点极线定义 已知圆锥曲线С: A x +B y +C x +D y +E=0与一点Px 0;y 0 其中A +B ≠0;点．P ．不在曲线中心和渐近线上．．．．．．．．．．．.则称点P 和直线L: A x 0x +B y 0y +C 错误!+D 错误!+E=0是圆锥曲线С的一对极点和极线.即在圆锥曲线方程中;以x 0x 替换x ;以错误!替换x ;以y 0y 替换y ;以错误!替换y 则可得到极点Px 0;y 0的极线方程L. 特别地：1对于圆x-a +y-b =r ;与点Px 0;y 0对应的极线方程为x 0-ax-a+y 0-by-b=r ； 2对于椭圆错误!+错误!=1;与点Px 0;y 0对应的极线方程为错误!+错误!=1 ； 3对于双曲线错误!-错误!=1;与点Px 0;y 0对应的极线方程为错误!-错误!=1 ； 4对于抛物线y =2px ;与点Px 0;y 0对应的极线方程为y 0y=px 0+x ； 性质 一般地;有如下性质焦点所在区域为曲线内部．．．．．．．．．．．: ①若极点P 在曲线С上;则极线L 是曲线С在P 点的切线；②若极点P 在曲线С外;则极线L 是过极点P 作曲线С的两条切线的切点连线；③若极点P 在曲线С内;则极线L 在曲线С外且与以极点P 为中点的弦平行仅是斜率相等 若是圆;则此时中点弦的方程为x 0-ax-a+y 0-by-b= x 0-a +y 0-b ；若是椭圆;则此时中点弦的方程为错误!+错误!=错误!+错误!；若是双曲线;则此时中点弦的方程为错误!-错误!=错误!-错误!；若是抛物线;则此时中点弦的方程为y 0y-px 0+x=y 0 -2px 0；④当Px 0;y 0为圆锥曲线的焦点Fc;0时;极线恰为该圆锥曲线的准线．．； ⑤极点极线的对偶性:Ⅰ.已知点P 和直线L 是关于曲线С的一对极点和极线;则L 上任一点Pn 对应的极线Ln 必过点P;反之亦然;任意过点P 的直线Ln 对应的极点Pn 必在直线L 上图中点．．．P ．n ．与．直线．．Ln ．．是一对极点极线．．．．．．．； Ⅱ.过点P 作曲线C 的两条割线L 1、L 2;L 1交曲线C 于AB;L 2交曲线C 于MN;则直线AM 、BN 的交点T;直线AN 、BM 的交点S 必都落在点P 关于曲线C 的极线L 上 图中点．．．P ．与．直线．．ST ．．是一对极点极线；点．．．．．．．．．T ．与直线．．．SP ．．是一对极．．．．点极线．．．； Ⅲ. 点P 是曲线C 的极点;它对应的极线为L;则有:1若C 为椭圆或双曲线;O 是C 的中心;直线OP 交C 与R;交L 于Q;则OP OQ=OR 即错误! = 错误! 椭圆如图 双曲线如图2 若曲线为抛物线;过点P 作对称轴的平行线交C 于R;交L 于Q;则PR=QR 如图中学数学中极点与极线知识的现状与应用虽然中学数学中没有提到极点极线;但事实上;它的身影随处可见;只是没有点破而已.教材内改名换姓;“视”而不“见”.由④可知椭圆错误!+错误!=1的焦点的极线方程为: x=错误!.焦点与准线是圆锥曲线一章中的核心内容;它揭示了圆锥曲线的统一定义;更是高考的必考知识点.正是因为它太常见了;反而往往使我们“视”而不“见”.圆锥曲线基础必备极点极线例题。

极线极点定理极线极点定理是计算机视觉领域中的一个基础概念，它被广泛应用于图像处理、三维重建和机器人导航等领域。

本文将从以下几个方面详细介绍极线极点定理的相关内容：一、什么是极线极点定理？在计算机视觉中，我们通常使用两个相机来捕捉同一场景的不同视角。

这两个相机之间的位置关系可以通过一个基础矩阵来描述。

而基础矩阵则可以通过对两个相机拍摄的图像进行匹配得到。

在基础矩阵的帮助下，我们可以利用一张图像中的像素点推导出在另一张图像中对应点所在的位置。

具体来说，我们可以将其中一张图像上的一个像素点与另一张图像上所有可能对应的像素点进行匹配，并计算每个可能对应点所在直线（称为“极线”）与原始像素点所在直线（称为“主视平面”）之间的交点（称为“极点”）。

这样就能够确定另一张图像上对应点所在的位置。

二、如何计算极线和极点？假设我们有两个相机A和B，它们之间的基础矩阵为F。

现在我们想要在相机A的图像中找到一个像素点p1，并计算出它在相机B的图像中对应点p2的位置。

具体步骤如下：1. 将像素点p1表示成齐次坐标形式：x1 = [u1, v1, 1]T。

2. 利用基础矩阵F将像素点p1转换为一条直线l2：l2 = Fx1。

3. 在相机B的图像中找到所有与直线l2相交的像素点，这些像素点所在的直线称为极线。

4. 对于每个极线，计算它与主视平面（即相机B所在平面）之间的交点，这些交点称为极点。

5. 在所有极点中，选择与原始像素点p1距离最近的那个作为对应点p2。

三、极线极点定理有什么应用？极线极点定理是计算机视觉领域中一个非常重要的概念，它被广泛应用于以下几个方面：1. 三维重建：利用两个或多个相机拍摄同一场景，可以通过极线极点定理来确定不同图像之间对应关系，从而实现三维重建。

2. 视觉SLAM：视觉SLAM（Simultaneous Localization and Mapping）是指同时进行定位和地图构建的技术，它可以应用于机器人导航、虚拟现实等领域。

通俗来讲:对于圆锥曲线Γ外或内一点K 来说,其对应的极线即为:过点K 作Γ的两条割线所交的四个点两两相连再延长后,形成的除K 以外的两个交点所在的直线. 注1：若点K 在圆锥曲线Γ上,则在点K 处的切线即为极线注2：若FH//EG ,即交不到点M ,则点K 对应的极线过点N 且与FH 或EG 平行. 第二几何定义：(i)P (x 0,y 0)在圆锥曲线上,极线即为点P 处的切线；(ii)P (x 0,y 0)在圆锥曲线外,极线即为过点P 处的两条切线的切点弦；(iii)点P (x 0,y 0)在圆锥曲线Γ内,其极线l 是曲线Γ过点P 的割线两端点处的切线交点的轨迹 代数定义：已知圆锥曲线C:Ax 2+Cy 2+Dx +Ey +F =0，一点P (x 0,y 0)， 直线l:Ax 0x +Cy 0y +Dx 0+x 2+Ey 0+y 2+F =0，则l 为P 关于C 的极线，P 为l 关于C 的极点．P (x 0,y 0)是平面上任一点,点P (x 0,y 0)对应的极线为数学复习：极点极线第一几何定义：如图过圆锥曲线Γ外一点上P 作两条割线依次交圆锥曲线Γ于E,F,G,H 四点,且EH ∩FG =N ,延长FH,EG 交于M ,则直线MN 即为点P 对应的极线,同理,极点M 对应的极线为NP ,极点N 对应的极线为PM,ΔMNP 称为自极三点形.l(1)椭圆x2a 2+y 2b2=1,极线l:x 0x a 2+y 0y b 2=1(2)双曲线:x 2a 2−y 2b2=1,极线l:x 0x a 2−y 0y b 2=1(3)抛物线:y 2=2px ,极线l:y 0y =p (x 0+x )特殊的极点与极线(1)椭圆:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b),点M(m,0)在椭圆中对应的极线方程为x =a 2m(2)双曲线:x 2a 2−y 2b 2=1,点M(m,0)对应的极线方程为x =a 2m(3)抛物线:y 2=2px ,点M(m,0)对应的极线方程为x =−m更特别地,圆锥曲线的焦点与其相应的准线是该圆锥曲线的一对极点与极线 (1)对于椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b),焦点F(±c,0)对应的极线方程为x =±a 2c (2)对于双曲线x 2a 2−y 2b 2=1,焦点F(±c,0)对应的极线方程为x =±a 2c(3)对于抛物线y 2=2px ,焦点F (p 2,0)对应的极线方程为x =−p 2核心性质1：配极原理给定平面内一圆锥曲线 C ，若点 P 关于 C 的极线过点 Q ，则点 Q 关于 C 的极线也过点 P ，如所示 .配极原则的一个等价命题：已知一圆锥曲线C，如果平面内有一直线d，直线d上有一动点P，P点关于C的极线为l，如图所示 .核心性质2：调和点列给定圆锥曲线T,点P(不在T上)对应的极线为lp ,过点P任意作一条直线1交lp于点Q,交r于A,B,则点P,A,Q,B为调和点列.调和点列定义已知点P,A,Q,B为直线上依次四点,且满足|AP||PB|=|AQ||QB|(等价于2|PQ|=1 |PA|+1|PB|或者2|QP|=1|QA|−1|QB|), 则称P,A,Q,B为调和点列。

圆锥曲线的极点极线圆锥曲线是数学中的重要内容，涉及到许多重要的数学概念和方法。

其中，极点极线是圆锥曲线的一个重要性质，也是解决圆锥曲线问题的重要方法之一。

本文将介绍圆锥曲线的极点极线的定义、性质以及应用。

一、极点极线的定义极点极线是圆锥曲线的一种特殊关系，它描述了曲线上的点与曲线上的其他点之间的关系。

具体来说，如果一条直线与圆锥曲线的交点为A，而另一个交点B与A关于极线对称，那么这条直线就称为该点的极线。

同样地，如果一个点A在圆锥曲线上，那么通过A点的极线就是与A点对称的直线。

二、极点极线的性质极点极线具有以下性质：圆锥曲线上的任意一点都有且只有一条极线。

如果两条直线都是某个点的极线，那么它们一定相交于这个点的对称点。

如果一个点在圆锥曲线上，那么它关于该点的极线一定是该曲线的切线。

如果一条直线与圆锥曲线相交于两个点，那么这两点关于该直线的极线对称于直线本身。

这些性质是解决圆锥曲线问题的重要工具之一。

三、极点极线的应用极点极线在解决圆锥曲线问题中有着广泛的应用，以下是一些应用示例：求解圆锥曲线的交点如果两条圆锥曲线有交点，那么它们的交点一定在对称轴上。

因此，可以通过求出两条圆锥曲线的对称轴，再求出它们的交点来求解圆锥曲线的交点。

求解圆锥曲线的切线如果一个点在圆锥曲线上，那么它的极线就是该曲线的切线。

因此，可以通过求出该点的极线来求解圆锥曲线的切线。

求解圆锥曲线的弦长如果一条直线与圆锥曲线相交于两个点，那么这两点关于该直线的极线对称于直线本身。

因此，可以通过求出这两点的对称轴，再根据对称轴的性质求出这两点之间的距离，从而得到圆锥曲线的弦长。

求解圆锥曲线的面积和体积利用极点极线的性质，可以通过将圆锥曲线分割为若干个小的区域，每个区域的面积或体积可以计算出来，从而得到整个圆锥曲线的面积或体积。

求解圆锥曲线的问题中的最值在一些圆锥曲线的问题中，需要求解某个量的最值。

利用极点极线的性质，可以将问题转化为在某些约束条件下求解函数的最大或最小值问题，从而得到所求的最值。

极点极线通俗解释
极点和极线是几何学中的基本概念，极点指的是一个点，它与一组直线都有特定的关系；而极线则是一组直线，它们都经过一个特定的点。

具体来说，如果一条直线通过极点，那么它对应的极线就是一个点；反之，如果一个点在极线上，那么它对应的直线就是通过极点的直线。

极点和极线的应用非常广泛，比如在计算机视觉中常常用到的极线搜索算法，就是利用极点和极线来寻找两幅图像中对应点的方法。

此外，在几何学中，极点和极线还有许多重要的性质和定理，比如极线定理、极点定理等等，这些都是几何学中非常经典的结果。

总之，极点和极线是几何学中非常重要的概念，不仅具有理论研究价值，而且在实际应用中也有广泛的应用。

- 1 -。

极点极线资料汇编与分享极点与极线文献汇编天下苦极点极线久已!极点与极线作为射影几何的核心内容之一，是研究二次曲线的工具之一，因此颇受高考，模考命题人的青睐.以极点与极线为背景的高考试题层出不穷，就更不用说各地的模考试题了.可以说，极点与极线是圆锥曲线命题的一个巨大宝库，因此，秉承高考试题研究为宗旨的中学教师就不能不对极点与极线有一个深入的了解，故而本文所做的工作就是做一个文献综述，将我读过的一些重要的文献做一次汇总，希望对有志于深入了解极点与极线的读者有所帮助.我第一次了解到这个概念也是刚参加工作的一次教研会上，当时还心中纳闷，这个概念我在读书的时候怎么没接触过，后来通过做题，读文献才慢慢的了解这个方向.所以，我想对于很多学生和新入职的教师，极点和极线理论应该是陌生的.另一方面，网上的资料虽然丰富，但更加偏向于试题的罗列，解题过程中更多的只是提及有极点与极线背景，而并未从该背景出发去分析问题，落到最后其解决问题的手法依然是借助代数运算，当然就显得不够完善啦.现有的文献分析极点与极线背景基本都是从2010江苏的解析几何试题开始的，因为这道题目是去年2020年全国1卷的姊妹题，所以去年考了后江苏这道题目的关注度也就增加了.从2010年起，近十年的高考试题里，2013年的江西题，2015年的北京题，2017年的北京题，2018年的全国一卷，2019年全国三卷，2020年全国一卷，2020年北京卷，2021年全国二卷都是在极点极线背景下命制的试题，后面我会通过文献详说.可以看到，了解二次曲线的极点极线结构是研究高考圆锥曲线试题的一个重要环节.好了，不再多说，开始进入本文的正题，文献罗列.要注意的是，相关的文献如汗牛充栋，在此处我只是罗列了一些我认真读过的资料做一介绍，若有不足之处，请多多指正.1.王文彬.极点，极线与圆锥曲线试题的命制.[J].数学通讯，2015(04).王老师这篇文章是我读过的第一篇极点极线的文章，也是目前在这个领域里引用频率较高的文献了.这一篇文献非常适合该领域的入门文章，它从代数和几何两个角度介绍了极点与极线的定义，并罗列了圆锥曲线中极点与极点方程和基本性质，最后介绍了一些试题中的极点极线结构.是我认为入门的不二之选.2.于涛.极点与极线视角下的高考圆锥曲线试题.[J].中学数学研究.2019(01).如果你已经顺利的读完文献1,那么再来读文献2的话，就会有一种拨云见日的感觉，文献1适合入门，但仅仅知道一些常识我认为是不够的.因为很多问题，比如2013年的江西卷，就是在极点极线（焦点和准线）背景下考察斜率定值，那么如何在现存的极点与极线结构下进一步考虑斜率关系，比值关系，面积关系等，这就是文献2所做的工作.所以，文献2就是将调和结构所推出的调和分割性质加以应用，得到了很多更加具体的性质，是我们深入了解极点与极线文献的不二之选.3.曾建国.调和点列：一道2017年北京高考题的背景分析及应用.[J].数学通讯.2017(12).曾老师绝对是这个领域的大家，有很多文献都是他写的.类似于文献2，在这篇文章里，作者用调和点列的基本性质推导出了一个重要的性质，它是极点极线背景下证明线段相等，或者线段被平分的重要理论，类似的问题在2020年北京卷高考题目中再次考查，此处不再详说，各位读者可尽情地在相关文献里一饱眼福.4.曾建国.圆锥曲线一组性质及猜想的简证与推广.[J].数学通讯.2018(07).曾老师的又一篇佳作，用文献3的结论，进一步解决了一个用代数计算可能很难证明的圆锥曲线的统一结论.彰显了几何方法在解决圆锥曲线问题中的巨大功效.5.曾建国.调和点列：一组平面几何问题的背景分析.[J].数学通讯.2020(01).这篇文章里，曾老师将圆的调和结构做了详细的研究，进而证明了圆中的一个重要结论.该文章用调和结构和极点极线来研究平面几何问题，面向的群体主要是以竞赛为背景的几何问题，值得对平面几何竞赛问题有兴趣的读者阅读.6.殷可丁.一道圆锥曲线定值问题的深度探析.[J].理科考试研究.2020(08).这个文章详细地分析了2013年江西卷的极点极线结构，并将该高考试题做了推广，是我们用极点极线研究高考试题的典范.7.虞关寿.活跃于数学高考中的帕斯卡六边形定理.[J].中学数学研究.2020(04).如果你想了解为何会有极点极线结构，了解帕斯卡定理就是一个不错的选择.该定理是射影几何中的核心定理之一，当把六边形退化到二次曲线的内接四边形时，就可以可到极点极线的几何定义，这也就是为何将这篇文章罗列的原因.8.李伟健.一个椭圆定点问题与完全四边形调和性.[J].数学通讯.2019.(02).不光是高考会考极点极线，竞赛题目更会考察，本文就从一道预赛题目入手，借助极点极线理论，得到了一个二级结论，又是一个用极点极线去研究试题的范例.说不定，哪次考试可能就考到这个二级结论啦.9.晏乾.从调和结构的视角看2020年北京卷解几题.[J].高中数学教与学.2021(04).这篇文章就属于王婆卖瓜，自卖自夸.这是我自己写的一篇文章，学习了这么多极点极。