圆内极点与极线性质简证

第15讲:极点与极线的性质 125第15讲:极点与极线的性质极点与极线是高等几何中的基本且重要的概念,虽然中学数学没有介绍,但以此为背景命制的高考试题经常出现.掌握极点与极线的初步知识,可使我们“登高望远”,抓住问题的本质,确定解题方向,寻找简捷的解题途.定义:已知曲线G:ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f=0,则称点P(x 0,y 0)和直线l:ax 0x+b200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2y y ++f=0是曲线G 的一对极点与极线,点P 称为直线l 关于曲线G 的极点;直线l 称为点P 关于曲线G 的极线.称点P 与直线l 有“配极关系”,或“对偶关系”,相互为对方的“配极元素”,或“对偶元素”.特别地,当点P 在曲线G 上时,点P 关于曲线G 的极线是曲线G 在点P 处的切线;圆锥曲线的焦点对应的极线是该焦点对应的准线;圆锥曲线的准线对应的极点是该准线对应的焦点.[位置关系]:已知点P 关于圆锥曲线G 的极线是直线l,则三者的位置关系是:①若点P 在曲线G 上,则直线l 是曲线G 在点P 处的切线;②若点P 在曲线G 外,则直线l 是由点P 向曲线G 引两条切线的切点弦;③若点P 在曲线G 内,则直线l 是经过点P 的曲线G 的弦的两端点处的切线交点轨迹.如图:l l l P M P A D M PN C N B[配极原则]:如果点P 的极线通过点Q,则点Q 的极线也通过点P.证明:设圆锥曲线G:ax 2+bxy+cy 2+2dx+2ey+f=0,点P(x p ,y p ),Q(x Q ,y Q ),则点P 、Q 关于曲线G 的极线方程分别为p:ax p x+b2yx x y p p ++cy p y+d2p x x ++e2p y y ++f=0,q:ax Q x+b2yx x y Q Q ++cy Q y+d2Q x x ++e2Q y y ++f=0,则点P 的极线通过点Q ⇔ax p x Q +b2Qp Q p y x x y ++cy p y Q +d2pQ x x ++e 2pQ y y ++f=0⇔点P(x p ,y p )在直线q:ax Q x+b2y x x y Q Q ++cy Q y+d2Q x x ++e2Q y y ++f=0上⇔点Q 的极线也通过点P.推论1:两点连线的极点是此二点极线的交点,两直线交点的极线是此二直线极点的连线;证明:设两点A 、B 连线的极点是P,即点P 的极线经过点A 、B,由配极原则知点A 、B 的极线均过点P,即点P 是此二点极线的交点;同理可证:两直线交点的极线是此二直线极点的连线.推论2(共点共线):共线点的极线必共点;共点线的极点必共线.证明:设点A 、B 均在直线l 上,直线l 对应的极点为P,由配极原则知点A 、B 的极线均过点P,即点A 、B 的极线必共点;同理可证:共点线的极点必共线.推论3(中点性质):若圆锥曲线G 过点P 的弦AB 平行于点P 的极线,则点P 是弦AB 的中点.证明:设P(x 0,y 0),曲线G:ax 2+bxy+cy 2+2dx+2ey+f=0,则点P 的极线方程:ax 0x+b200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2y y + +f=0,故可设AB:ax 0x+b200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 20y y ++λ=0,由点P(x 0,y 0)在直线AB 上⇒ax 02+bx 0y 0+cy 02+2dx 0+2ey 0+λ=0⇒λ=-(ax 02+bx 0y 0+cy 02+2dx 0+2ey 0)⇒直线AB:ax 0x+b 200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 20y y +=ax 02+bx 0y 0+cy 02+2dx 0+2ey 0⇒ ax 0x+b200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 20y y ++f=ax 02+bx 0y 0+cy 02+2dx 0+2ey 0+f,而该直线为以为P 中点的中点弦方程,即点P 是弦AB 的中点.[比例定理]:若过点P(x 0,y 0)的直线l 与曲线G:ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f=0相交于A 、B 两点,与直线:ax 0x+b200yx x y ++ 126 第15讲:极点与极线的性质cy 0y+d20x x ++e 2y y ++f=0交于点Q,则|PA||QB|=|QA||PB|. 证明:设直线l:⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00t y y t x x (t 为参数),代入ax 0x+b 200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 20y y ++f=0得:(2ax 0cos θ+bx 0sin θ+by 0cos θ+2cy 0sin θ)t+2(ax 02+bx 0y 0+cy 02+dx 0+ey 0+f)=0⇒t 0=-2θθθθsin 2cos sin cos 2000000200020cy by bx ax f ey dx cy y bx ax ++++++++;代入ax 2+bxy+cy 2+2dx+2ey+f=0得:(acos 2θ+bcos θsin θ+csin 2θ)t 2+(2ax 0cos θ+bx 0sin θ+by 0cos θ+2cy 0sin θ)t+(ax 02+bx 0y 0+cy 02+dx 0 +ey 0+f)=0⇒t 1+t 2=-θθθθθθθθ220000sin cos sin cos sin 2cos sin cos 2c b a cy by bx ax +++++,t 1t 2=θθθθ2200200020sin cos sin cos c b a fey dx cy y bx ax +++++++⇒t 0=21212t t t t +;而|PA||QB|= |QA||PB|⇔|t 1||t 2-t 0|=|t 1-t 0||t 2|⇔t 0=21212t t t t +成立. [面积定理]:已知点P 关于圆锥曲线G 的极线为l,过点P 的直线与圆锥曲线G 相交于A 、B 两点,分别过点A 、B 的两条平行线与直线l 交于点D 、C,记△APD 、△CPD 、△BPC 的面积分别为S 1,S 2,S 3,则:S 22=4S 1S 2.证明:以椭圆G:22a x +22b y =1(a>b>0)为例,设P(x 0,y 0),则极线l:12020=+b y y a x x .设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),并分别过点A 、B作l 的垂线,垂足分别为D 1、C 1,则||||11BC AD =|1||1|220220210210-+-+by y a x x b y y a x x =||||2220220222102102b a y y a x x b b a y y a x x b -+-+(注意到:a 2b 2=b 2x 12+a 2y 12,a 2b 2=b 2x 22+a 2y 2) =||||222222202202212212102102y a x b y y a x x b y a x b y y a x x b --+--+=|)()(||)()(|0222022201120112y y y a x x x b y y y a x x x b -+--+-(注意到:0101x x y y --=0202x x y y --=k)=||||0201x x x x --⋅||||22221212x b ky a x b ky a ++.又因||||BP AP =||||0201x x x x --,以下只需证||||22221212x b ky a x b ky a ++=1,即|a 2ky 1+b 2x 1|=|a 2ky 2+b 2x 2|,由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+2222222222212212ba y a xb b a y a x b ⇒b 2(x 1-x 2)(x 1+x 2)+a 2(y 1- y 2)(y 1+y 2)=0⇒b 2(x 1+x 2)+a 2k(y 1+y 2)=0⇒a 2ky 1+b 2x 1=-(a 2ky 2+b 2x 2)⇒|a 2ky 1+b 2x 1|=|a 2ky 2+b 2x 2|⇒||||BP AP =||||11BC AD ,由△ADD 1∽△BCC 1⇒||||BC AD =||||BP AP ,设AC 与BD 交于点Q,由AD ∥BC ⇒||||BC AD =||||QC AQ ⇒||||BP AP =||||QC AQ ⇒PQ ∥BC ∥AD ⇒S △BAC =S △BDC ,两边同减S △BQC 得S △QAB =S △QDC ,又因S △PQA =S △PQD ,S △PQB =S △PQC ⇒S △PCD =S △QCD +S △PQD +S △PQC =S △QCD +S △PQA +S △PQB =S △QCD +S △QAB =2S △QAB ⇒S △QAD =S △PAD =S 1,S△QBC=S △PBC =S 3,S △QAB =21S △PCD =21S 2,注意到:QAB QBC QAB QAD S S S S ∆∆∆∆⋅=||||||||QA QC QB QD ⋅=1⇒2QAB S ∆=S △QAD S △QBC ⇒S 22=4S 1S 2. 例1:极点与极线的位置关系.[始源问题]:(2010年湖北高考试题)已知椭圆C:22x +y 2=1的两焦点为F 1 ,F 2,点P(x 0,y 0)满足0<220x +y 02<1,则|PF 1|+|PF 2|的取值范围为 ,直线20xx +y 0y=1与椭圆C 的公共点个数为 . [解析]:由0<220x +y 02<1知,点P 在椭圆C 内,所以直线20x x +y 0y=1与椭圆C 相离⇒公共点个数为0;2c ≤PF 1|+|PF 2|<2a ⇒ 2≤PF 1|+|PF 2|<22⇒|PF 1|+|PF 2|的取值范围为[2,22).[原创问题]:已知椭圆C:42x +32y =1,点P(x 0,y 0)满足42x +320y >1(x 0≠0),直线l:40x x +30y y =1.(Ⅰ)求直线l 与椭圆C 的公共点个数;(Ⅱ)若射线OP 与直线l 、椭圆C 分别交于点Q 、M,求证:|OP||OQ|=|OM|2.[解析]:(Ⅰ)因椭圆C:42x +32y =1⇔⎩⎨⎧==θθsin 3cos 2y x ,θ∈[0,2π),所以,直线l 与椭圆C 的公共点个数⇔关于θ的方程第15讲:极点与极线的性质 12720x cos θ+330y sin θ=1解的个数⇔直线:20x x+330y y=1与圆:x 2+y 2=1的公共点个数;由圆心O(0,0)到直线:20x x+330y y=1的距离d=341220y x +<1⇒直线:20x x+330y y=1与圆:x 2+y 2=1的公共点个数=2⇒直线l 与椭圆C 的公共点个数=2;(Ⅱ)因射线OP:y=00x y x(x 与x 0同号),与40x x +30y y =1联立得:40x x +0203x x y =1⇒x=202004312y x x +⇒y=202004312y x y +⇒Q(202004312y x x +,22004312y x y +)⇒|OP||OQ|=2020202043)(12y x y x ++;由y=00x y x 与42x +32y =1联立得:42x +20203x y x 2=1⇒x 2=2020204312y x x +⇒y 2=2020204312y x y +⇒|OM|2=x 2+y 2=2020204312y x x ++2020204312y x y +=2020202043)(12y x y x ++⇒|OP||OQ|=|OM|2.例2:抛物线中的共线性质.[始源问题]:(2010年大纲卷Ⅰ高考试题)已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,过点K(-1,0)的直线l 与C 相交于A 、B 两点,点A 关于x 轴的对称点为D. (Ⅰ)证明:点F 在直线BD 上; (Ⅱ)设FB FA ⋅=98,求△BDK 的内切圆M 的方程. [解析]:(Ⅰ)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),直线l:y=k(x+1)(k ≠0),则D(x 1,-y 1),由⎩⎨⎧=+=xy x k y 4)1(2⇒ky 2-4y+4k=0⇒y 1+y 2=k 4,y 1y 2= 4;所以,点F 在直线BD 上⇔FB ∥FD ⇔(x 2-1):(x 1-1)=y 2:(-y 1)⇔y 1(k y 2-2)+y 2(ky1-2)=0⇔y 1y 2-k(y 1+y 2)=0; (Ⅱ)由FB FA ⋅=(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2=(k y 2-2)(k y 1-2)+y 1y 2=(1+21k )y 1y 2-k 2(y 1+y 2)+4=4(1+21k )-28k +4=8-24k=98⇒k=±43; 根据对称性,不妨设k=43,则直线AB:3x-4y+3=0,且k KD =43⇒KF 平分∠AKD ⇒圆M 的圆心M 在x 轴上;(x 2-x 1)2=(x 1+x 2)2- 4x 1x 2=7162⇒k BD =1212y y x x +-=73⇒直线BD:3x-7y-3=0;设M(t,0)(-1<t<1),则由点M 到直线AB 与BD 的距离相等⇒5|1|3+t=4|1|3-t ⇒t=91⇒圆M:(x-91)2+y 2=94. [原创问题]:已知抛物线y 2=2px 及定点A(a,b),B(-a,0)(ab ≠0,b 2≠2pa),M 是抛物线上的点,设直线AM,BM 与抛物线的另一交点分别为M 1,M 2.求证:当M 点在抛物线上变动时(只要M 1,M 2存在且M 1≠M 2),直线M 1M 2恒过一个定点,并求出这个定点的坐标.[解析]:设M(2pt 2,2pt),M 1(2pt 12,2pt 1),M 2(2pt 22,2pt 2),则点B,M,M 2对应的极线分别为:x=a,2ty=x+2pt 2,2t 2y=x+2pt 22,由B,M,M 2三点共线⇒三线x=a,2ty=x+2pt 2,2t 2y=x+2pt 22共点⇒a=2ptt 2⇒t 2=pta2,点A,M 1对应的极线分别为:by=px+ap, 2t 1y=x+2pt 12,由A,M,M 1三点共线⇒三线by=px+ap,2ty=x+2pt 2,2t 1y=x+2pt 12共点⇒bp(t+t 1)=2p 2tt 1+ap ⇒t 1=ptb bta 2--,由⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2222112222pt x y t pt x y t ⇒⎩⎨⎧+==)(22121t t p y t pt x ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=)2(2)2()2()(2pt b pt t p a b y pt b t bt a a x ⇒x-a=)2(22pt b t t p a --=b a 2y ⇒M 1,M 2对应极线的交点在定直线b p 2y=x+a, 即b p 22y=2p 2a x +上⇒直线M 1M 2恒过一个定点(a,bpa2). 128 第15讲:极点与极线的性质例3:抛物线中的比例性质.[始源问题]:(2009年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知抛物线C:y=21x 2与直线l:y=kx-1没有公共点,设点P 为直线l 上的动点,过P 作抛物线C 的两条切线,A 、B 为切点. (Ⅰ)证明:直线AB 恒过定点Q;(Ⅱ)若点P 与(Ⅰ)中的定点Q 的连线交抛物线C 于M 、N 两点.证明:||||PN PM =||||QN QM . [解析]:(Ⅰ)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),P(x 0,y 0),则抛物线y=21x 2在点A 、B 处的切线方程分别为x 1x=y+y 1、x 2x=y+y 2,由点P(x 0,y 0)在这两切线上得:⎩⎨⎧+=+=02200110y y x x y y x x ⇒直线AB:x 0x=y+y 0(注意到:y 0=kx 0-1)⇒x 0x=y+kx 0-1⇒直线AB 过定点Q(k,1);(Ⅱ)设直线MN:⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00t y y t x x ,代入直线AB:x 0x=y+y 0,得:t Q =θθcos sin 20020x y x --;代入y=21x 2得:t 2cos 2θ+2(x 0cos θ-sinθ)t+x 02-2y 0=0⇒t 1+t 2=2⋅θθθ20cos cos sin x -,t 1t 2=θ2020cos 2y x -⇒21212t t t t +=θθcos sin 20020x y x --⇒t Q =21212t t t t +;所以,||||PN PM =||||QN QM ⇔21t t= QQ t t t t --21⇔t Q =21212t t t t +成立. [原创问题]:已知抛物线C:x 2=4y 与直线l:y=x-2,设点P 为直线l 上的动点,过P 作抛物线C 的两条切线,A 、B 为切点.(Ⅰ)证明:直线AB 恒过定点T;(Ⅱ)若过点P 的直线l 交抛物线C 于M 、N 两点,与直线AB 交于点Q.证明||PM ||PN ||PQ [解析]:(Ⅰ)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),P(x 0,y 0),则抛物线C:x 2=4y 在点A 、B 处的切线方程分别为x 1x=2(y+y 1)、x 2x=(y+y 2),由点P(x 0,y 0)在这两切线上得:⎩⎨⎧+=+=)(2)(202200110y y x x y y x x ⇒直线AB:x 0x=2(y+y 0)(注意到:y 0=x 0-2)⇒x 0x=2y+2x 0-4⇒直线AB 过定点T(2,2);(Ⅱ)设直线MN:⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00t y y t x x ,代入直线AB:x 0x=2(y+y 0),得:t Q =θθcos sin 240020x y x --;代入x 2=4y 得:t 2cos 2θ+2(x 0cos θ-2sin θ)t+x 02-4y 0=0⇒t 1+t 2=2⋅θθθ20cos cos sin 2x -,t 1t 2=θ2020cos 4y x -⇒21212t t t t +=θθcos sin 240020x y x --⇒t Q =21212t t t t +;所以||PM ||PN ||PQ ⇔11t21t =Q t 2⇔t Q =21212t t tt +成立. 例4:抛物线中的面积关系.[始源问题]:(2009年湖北高考试题)过抛物线y 2=2px(p>0)的对称轴上一点A(a,0)(a>0),的直线与抛物线相交于M 、N两点,自M 、N 向直线l:x=-a 作垂线,垂足分别为M 1、N 1. (Ⅰ)当a=2p时,求证:AM 1⊥AN 1; (Ⅱ)记△AMM 1、△AM 1N 1、△ANN 1的面积分别为S 1、S 2、S 3,是否存在λ,使得对任意的a>0,都有S 22=λS 1S 3成立.若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.[解析]:(Ⅰ)当a=2p 时,A(2p ,0),设M(2pm 2,2pm),N(2pn 2,2pn),则M 1(-2p ,2pm),N 1(-2p ,2pn),由AM ∥AN ⇒(2pm 2- 2p ):(2pn 2-2p )=2pm:2pn ⇒mn=-41⇒1AM ⋅1AN =p 2+4p 2mn=0⇒AM 1⊥AN 1;第15讲:极点与极线的性质 129(Ⅱ)由AM ∥AN ⇒(2pm 2-a):(2pn 2-a)=2pm:2pn ⇒2pmn+a=0;因||||11NN MM =2222pn a pm a ++;当MN ⊥/x 轴时,||||AN AM =|2||2|22pn a a pm --=2222pn a a pm --;所以,||||11NN MM =||||AN AM ⇔2222pn a pm a ++=2222pn a a pm --⇔4p 2m 2n 2=a 2成立;当MN ⊥x 轴时,显然有||||11NN MM =||||AN AM ;设MN 1与NM 1交于点Q(点Q 即原点O),由MM 1∥NN 1⇒||||1QN MQ =||||11NN MM =||||AN AM ⇒AQ ∥MM 1∥NN 1;设∠MQM 1=α,则S 1=21|QM||QM 1|sin α,S 3 =21|QN||QN 1|sin α;又S △QMN =11N QM S ∆⇒S 2=11N QM S ∆+(1AQM S ∆+1AQN S ∆)=11N QM S ∆+(S △AQM +S △AQN )=11N QM S ∆+S △QMN =2S △QMN ;S 1S 3=21|QM||QM 1|sin α⋅21|QN||QN 1|sin α=21|QM||QN|sin α⋅21|QM 1||QN 1|sin α=S △QMN 11N QM S ∆=41S 22⇒S 22=4S 1S 3⇒存在λ=4,使得对任意的a>0,都有S 22=λS 1S 3成立.[原创问题]:已知抛物线C:y 2=4x,直线l:y=2x+2,过点P(1,1)的直线与抛物线C 交于A 、B 两点,A 、B 两点在直线l 上的射影点分别为N 、M,记△PAN 、△PMN 、△PBM 的面积分别为S 1、S 2、S 3. (Ⅰ)当AB ∥直线l 时,求证:P 是AB 的中点; (Ⅱ)求证:S 22=4S 1S 3.[解析]:(Ⅰ)设A(x 1,y 1),则y 12=4x 1;由P 是AB 的中点⇒B(2-x 1,2-y 1)⇒(2-y 1)2=4(2-x 1)⇒y 1=2x 1+1⇒点A 在直线y=2x+1上,同理可得点B 也在直线y=2x+1上⇒直线AB:y=2x+1⇒AB ∥直线l;由统一法知,当AB ∥直线l 时, P 是AB 的中点;(Ⅱ)设直线AB:⎩⎨⎧+=+=θθsin 1cos 1t y t x (t 为参数),代入y 2=4x 得:t 2sin 2θ+2(sin θ-2cos θ)t-3=0⇒t 1+t 2=2⋅θθθ2sin sin cos 2-,t 1t 2=-θ2sin 3;点A(1+t 1cos θ,1+t 1sin θ)到直线l 的距离|AN|=5|3sin cos 2|11+-θθt t ,点B(1+t 2cos θ,1+t 2sin θ)到直线l 的距离|BM|=5|3sin cos 2|22+-θθt t ⇒||||BM AN =|3sin cos 2||3sin cos 2|2211+-+-θθθθt t t t (由点A 、B 在直线l 的同侧⇒2t 1cos θ-t 1sin θ+3与t 2cos θ-t 2sin θ+3同号)=3sin cos 23sin cos 22211+-+-θθθθt t t t ;而||||PB PA =||||21t t (点A 、B 在点P 的异侧)=-21t t;所以,||||BM AN =||||PB PA ⇔3sin cos 23sin cos 22211+-+-θθθθt t t t=-21t t ⇔2(2cos θ-sin θ)t 1t 2+3(t 1+t 2)=0⇔2(2cos θ-sin θ)(-θ2sin 3)+3⋅2⋅θθθ2sin sin cos 2-=0成立; 以下同例题可证:S 22=4S 1S 3.例5:椭圆中的共线性质.[始源问题]:(2012年北京高考试题)已知曲线C:(5-m)x 2+(m-2)y 2=8(m ∈R).(Ⅰ)若曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆,求m 的取值范围;(Ⅱ)设m=4,曲线C 与y 轴的交点为A,B(点A 位于点B 的上方),直线y=kx+4与曲线C 交于不同的两点M 、N,直线y=1与直线BM 交于点G.求证:A,G,N 三点共线.[解析]:(Ⅰ)由曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆⇔m-2>5-m>0⇔27<m<5.故m 的取值范围是(27,5); (Ⅱ)当m=4时,曲线C:x 2+2y 2=8⇒A(0,2),B(0,-2);设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),由⎩⎨⎧=++=82422y x kx y ⇒(2k 2+1)x 2+16kx+24=0⇒△= 32(2k 2-3)>0⇒k 2>23;且x 1+x 2=-12162+k k ,x 1x 2=12242+k ;又由直线BM:y=112x y +x-2⇒G(2311+y x ,1),即G(6311+kx x ,1)⇒k AG =-1136x kx +=-3k -12x ,k AN =222x y -=222x kx +=k+22x ⇒k AN -k AG =34k +12x +22x =34k +2⋅2121x x xx +=34k +2⋅2416k -=0⇒A,G,N 三点共线.第(Ⅱ)问是本题的特色与亮点,其实质是共轭点的性质:设点P 与Q 是二次曲线G 的一对共轭点,过点Q 的直线AC 与曲线G 相交于A 、C 两点,AP 与曲线G 相交于另一点B,BQ 与曲线G 相交于另一点D,则P 、C 、D 三点共线.其中共轭点的定义:130 第15讲:极点与极线的性质若直线PQ 与圆锥曲线G 相交于A 、B 两点,且PA ⋅QB +PB ⋅QA =0,则称点P 与Q 是圆锥曲线G 的一对共轭点.[原创问题]:已知椭圆C:2222b y a x +=1(a>b>0)过点D(-1,e),其中,e 是椭圆C 的离心率,椭圆C 的左、右顶点分别为A(-2,0)、B(2,0). (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)过点E(4,0)的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,求证:直线AM 与BN 的交点P 在一条定直线上.[解析]:(Ⅰ)由a=2,21a +22b e =1⇒1+22b c =a 2⇒b 2=1⇒椭圆C:42x +y 2=1; (Ⅱ)设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),直线l:y=k(x-4),由⎩⎨⎧=+-=44)4(22y x x k y ⇒(1+4k 2)x 2-32k 2x+64k 2-4=0⇒x 1+x 2=224132k k +,x 1x 2=2241464k k +- ⇒k 2=)(4322121x x x x +-+,x 1x 2(1+4k 2)=64k 2-4⇒x 1x 2⋅)(8821x x +-=)(8]8)(5[42121x x x x +--+⇒2x 1x 2=5(x 1+x 2)-8;又由直线AM:y=211+x y (x+2),直线BN:y=222-x y (x-2)⇒直线AM 与BN 的交点P 的横坐标x 满足:211+x y (x+2)=222-x y (x-2)⇒2)4(11+-x x k (x+2)= 2)4(22--x x k (x-2)⇒x=83262122121----x x x x x x =83268)(5122121-----+x x x x x x =1⇒点P 在一条定直线x=1上.例6:椭圆中的中点性质.[始源问题]:(2008年全国高中数学联赛湖南初赛试题)如图,过直线l:5x-7y-70=0上的点P 作椭圆252x +92y =1的两条切线PM 、PN,切点分别为M 、N.(Ⅰ)当点P 在直线l 上运动时,证明:直线MN 恒过定点Q; (Ⅱ)当MN ∥l 时,定点Q 平分线段MN.[解析]:(Ⅰ)设P(7t+7,5t-5),则直线MN 的方程为:2577+t x+955-t y=1⇒(257x+95y)t+(257x-95y-1)=0,由257x+95y=0,且257x-95y-1=0⇒x=1425,y=-109⇒直线MN 恒过定点Q(1425,-109);(Ⅱ)MN ∥l ⇔2577+t :955-t =5:(-7)⇔t=53392⇒直线MN 的方程为:5x-7y-35533=0,代入椭圆方程252x +92y =1得:275332⨯x2 -23753325⨯x+25[(275533⨯)2-9]=0,设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则x 1+x 2=725⇒定点Q 平分线段MN. [原创问题]:过点Q(1,1)作己知直线l:3x+4y=12的平行线交椭圆C:42x +32y =1于点M 、N. (Ⅰ)分别过点M 、N 作椭圆C 的切线l 1、l 2.证明:三条直线l 1、l 2、l 交于一点; (Ⅱ)证明:点Q 是线段MN 的中点;(Ⅲ)设P 为直线l 上一动点,过点P 作椭圆C 的切线PA 、PB,切点分别为A 、B,证明:点Q 在直线AB 上.[解析]:(Ⅰ)设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),切线l 1、l 2交于点P(x 0,y 0),由切线l 1:41x x+31y y=1,切线l 2:42x x+32yy=1均过点P(x 0, y 0)⇒41x x 0+31y y 0=1,42x x 0+32yy 0=1⇒直线MN:40x x+30y y=1;又由直线MN 过点Q(1,1)⇒40x +30y =1⇒3x 0+4y 0=12⇒点P 在直线l 上⇒三条直线l 1、l 2、l 交于一点; (Ⅱ)由直线MN ∥直线l ⇒40x :30y =41:31,又40x +30y =1⇒x 0=y 0=712⇒直线MN:3x+4y=7⇒点Q 是线段MN 的中点; (Ⅲ)设P(x 0,y 0),则直线AB:3x 0x+4y 0y=12⇒3x 0x+(12-3x 0)y=12⇒点Q 在直线AB 上.第15讲:极点与极线的性质 131例7:椭圆中的比例性质.[始源问题]:(2011年山东高考试题)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C:32x +y 2=1.如图所示,斜率为k(k>0)且不过原点的直线l 交椭圆C 于A,B 两点,线段AB 的中点为E ,射线OE 交椭圆C 于点G 交直线x=-3于点D(-3,m).(Ⅰ)求m 2+k 2的最小值(Ⅱ)若|OG|2(i)求证:直线l 过定点(ii)试问点B,G 能否关于x 轴对称？若能,求出此时△ABG 的外接圆方程;若不能,请说明理由.[解析]:(Ⅰ)设E(-3λ,m λ),A(-3λ+t,m λ+kt),则B(-3λ-t,m λ-kt).由点A 、B 都在椭圆C 上⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=+++-3)(3)3(3)(3)3(2222kt m t kt m t λλλλ,两式相减得mk=1⇒m 2+k 2≥2mk=2,当且仅当m=k=1时等号成立,所以m 2+k 2的最小值=2.(Ⅱ)(i)设直线OG 与椭圆C 相交于另一点T,则由椭圆C 关于原点对称得:|OT|=|OG|.所以,|OG|2=|OD||OE|⇔DT EG ⋅+DG ET ⋅=0,由轨迹1知,点E 在直线-x+my=1上,即直线l 的方程为:-x+my=1⇒直线l 过定点(-1,0);(ii)若点B,G 关于x 轴对称⇒点G(-3λ-t,-m λ+kt),由点G 在直线OE 上⇒(-3λ-t):(-3λ)=(-m λ+kt):m λ⇒6m λ+mt =3kt(注意到mk=1)⇒m 2(6λ+t)=3t ⇒t=2236mm -λ,又由点E 在直线l 上⇒3λ+m 2λ=1⇒λ=231m +⇒B(-233m -,-23m m -)⇒31(233m -)2+(23mm -)2=1⇒m=1,k=1,λ=41,t=43⇒A(0,1),B(-23,-21),G(-23,21)⇒△ABG 的外接圆方程:(x+21)2+y 2=45. [原创问题]:已知椭圆C:2222b y a x +=1(a>b>0)内一点P(2,1),射线OP 与椭圆C 交于点N,与直线l 0:x+y-12=0交于点M,满足|OP||OM|=|ON|2,且椭圆C 在N 处的切线平行于直线l 0. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)过点P 的任意一条直线l 与直线l 0交于点Q,与椭圆C 交于A 、B 两点(A 在P 与Q 之间),求证:|QA||PB|=|QB||PA|.[解析]:(Ⅰ)由射线OP:y=21x(x ≥0),直线l 0:x+y-12=0⇒M(8,4);设N(2t,t)(t>0),由|OP||OM|=|ON|2⇒5⋅80=4t2+t 2⇒t=2⇒N(4,2)⇒216a+24b=1,椭圆C 在N 处的切线:24ax +22by =1;由切线平行于直线l 0⇒24a=22b⇒a 2=2b 2⇒b 2=12,a2=24⇒椭圆C:242x +122y =1; (Ⅱ)设直线l:⎩⎨⎧+=+=θθsin 1cos 2t y t x (t 为参数),代入242x +122y =1得:(2sin 2θ+cos 2θ)t 2+4(sin θ+cos θ)t-18=0⇒t 1+t 2=-θθθθ22cos sin 2)cos (sin 4++,t 1t 2=-θθ22cos sin 218+;代入x+y-12=0得:(sin θ+cos θ)t-9=0⇒t Q =θθcos sin 9+;而|QA||PB|=|QB||PA|⇔(t Q -t 1)(-t 2)=(t Q -t 2)t 1⇔(t 1+t 2)t Q -2t 1t 2=0⇔-θθθθ22cos sin 2)cos (sin 4++⋅θθcos sin 9+-2(-θθ22cos sin 218+)=0成立. [原创问题]:已知椭圆C:2222b y a x +=1(a>b>0)内一点P(2,1),过点P 且平行于x 轴直线被椭圆C 截得的弦长为46,过点P 且平行于y 轴直线被椭圆C 截得的弦长为210. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)过点P 的任意一条直线l 与直线l 0:x+y-12=0交于点Q,与椭圆C 交于A 、B 两点,若QA =λAP ,QB =μBP .求证:λ+132 第15讲:极点与极线的性质μ为定值.[解析]:(Ⅰ)由2222by ax +=1,令y=1得:|x|=ba12-b ;令x=2得:|y|=ab 42-a ;由题知,ba 12-b =26,ab 42-a =10⇒a 2=12422-b b ,22a b (a 2-4)=10⇒2412-b (12422-b b -4)=10⇒b 2=12⇒a 2=24⇒椭圆C:242x +122y =1;(Ⅱ)设直线l:⎩⎨⎧+=+=θθsin 1cos 2t y t x (t 为参数),代入242x +122y =1得:(2sin 2θ+cos 2θ)t 2+4(sin θ+cos θ)t-18=0⇒t 1+t 2=-θθθθ22cos sin 2)cos (sin 4++,t 1t 2=-θθ22cos sin 218+;代入x+y-12=0得:(sin θ+cos θ)t-9=0⇒t Q =θθcos sin 9+;由QA =λAP ,QB =μBP⇒λ=11t t t Q -,μ=22t t t Q -⇒λ+μ=2-t Q ⋅2121t t t t +=2-θθcos sin 9+⋅9)cos (sin 2θθ+=0. 例8:椭圆中的共线性质.[始源问题]:(2002年澳大利亚数学奥林匹克试题)己知△ABC 为锐角三角形以AB 为直径的⊙K 分别交AC 、BC 于P 、Q,分别过A 和Q 作⊙K 的两条切线交于点R,分别过B 和P 作⊙K 的两条切线交于点S.证明:点C 在线段RS 上[解析]:设⊙K:x 2+y 2=r 2,R(-r,a),S(r,b)⇒点R,S 对应的极线分别为:AQ:-rx+ay=r 2,BP:rx+by=r 2⇒Q(2222)(r a r r a +-,2222r a ar +),P(-2222)(r b r r b +-,2222r b br +⇒AP:y=r b (x+r),BQ:y=-r a (x-r),由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=)()(r x r b y r x r a y ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=b a ab y r b a b a x 2⇒C(b a b a +-r,b a ab +2)⇒点C 对应的极线为:(a-b)rx+2aby=(a+b)r 2,由三线:-rx+ay=r 2,BP:rx+by=r 2,(a-b)rx+2aby=(a+b)r 2共点于(ba ba +-r, ba r +22)⇒R,C,S 三点共线⇒点C 在线段RS 上. 该题是平面几何定理:“过非等腰三角形的三个顶点作其外接圆的切线,顶点处的切线与其对边所在直线的交点共线.”的变形,以该定理为始源,取其特殊情况,并把圆压缩为椭圆得:[原创问题]:若对任意θ∈[0,2π),直线l:xcos θ+2ysin θ-2=0与椭圆C:2222b y a x +=1(a>b>0)均只有一个交点M.(Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)当θ∈(0,2π)时,若直线l 与x 轴交于点N,椭圆C 的左、右顶点分别为A 、B,直线BM 上的点Q 满足QA ⊥x 轴,直线AM 与NQ 交于点P,求点P 的轨迹方程.[解析]:(Ⅰ)由⎩⎨⎧=-+=-+002sin 2cos 222222b a y a x b y x θθ⇒(a 2cos 2θ+4b 2sin 2θ)y 2-8b 2ysin θ+4b 2-a 2b 2cos 2θ=0⇒△=64b 4sin 2θ-4(a 2cos 2θ +4b 2sin 2θ)(4b 2-a 2b 2cos 2θ)=0⇒a 2-4+(4b 2-a 2)sin 2θ=0恒成立⇒a 2-4=0,4b 2-a 2=0⇒a 2=4,b 2=1⇒椭圆C:42x +y 2=1; (Ⅱ)由xcos θ+2ysin θ-2=0⇒N(θcos 2,0);(Ⅰ)知,M(2cos θ,sin θ)⇒直线AM:y=2cos 2sin +θθ(x+2),BM:y=2cos 2sin -θθ(x-2)⇒Q(-2,θθcos 1sin 2-)⇒直线NQ:y=-cot θ(x-θcos 2);令2cos 2sin +θθ(x+2)=-cot θ(x-θcos 2)⇒(2cos 2sin +θθ+θθcos sin )x=θsin 2-1cos sin +θθ⇒x=2⇒点P 的轨迹方程x=2(0<y<2).。

极点与极线对于高考而言，在全国卷大一统的形势下，纵观历年全国卷的解析几何试题，以极点极线为背景的题目，不断出现，不过基本上也是基础类型．所以，极点极线，我们还是按照一些题型来进入分类总结．极点极线的定义1．二次曲线的替换法则对于一般式的二次曲线22Ax Bxy Cy Dx ϕ+++：0Ey F ++=，用0xx 代2x ，用0yy 代2y ，用002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02y y +代y ，常数项不变，可得方程：0000022x y xy x x Axx B Cyy D ++++++ 002y y E F ++= ．2．极点极线的代数定义高中阶段，常见的二次曲线的极点极线的方程如下：（1）圆：①极点00()P x y ，关于圆222x y r +=的极线方程是200xx yy r +=；②极点00()P x y ，关于圆222()()x a y b r -+-=的极线方程是200()()()()x a x a y b y b r --+--=；③极点00()P x y ，关于圆220x y Dx Ey F ++++=的极线方程是：0000022x x y y xx yy D E F ++++++= ．（2）椭圆：极点00(,)P x y 关于椭圆22221x y a b +=的极线方程是：00221xx yy a b +=．（3）双曲线：极点00(,)P x y 关于双曲线22221x y a b -=的极线方程是：00221xx yy a b-=．（4）抛物线极点00(,)P x y 关于抛物线22y px =的极线方程是：00()y y p x x =+．注：①极点极线是成对出现的；②焦点和焦点对应的准线就是最常见的极点极线；③已知定比分点，则其调和分点一定位于其对应极线上！3．极点极线的几何意义（1）若极点P 在二次曲线上，则极线是过点P 的切线方程．（2）若极点P 在二次曲线内部，则极线是过点P 的弦两端端点的切线交点的轨迹．如图所示，过点P 的弦AB 、CD 的两端端点作切线，得到的直线MN 即为点P 对应的极线轨迹．【极线和二次曲线必定相离】（3）若极点P 在二次曲线外部，分成两种情况：①极线在二次曲线内的部分是点P 对二次曲线的切点弦；【极线和二次曲线必定相交】②极线在二次曲线外的部分是过点P 的弦两端端点的切线交点的轨迹．4．极点极线的配极性质①点P 关于二次曲线C 的极线p 经过点Q ⇔点Q 关于二次曲线C 的极线q 经过点P ．②直线p 关于二次曲线C 的极点P 在直线q 上⇔直线q 关于二次曲线C 的极点Q 在直线p 上．①②表达点P 和点Q 是二次曲线的一组调和共轭点，也是定比点差常说到的定比分点和调和分点．极点极线的综合模型——自极三角形极点极线的几何意义:（1）若点P 是圆锥曲线上的点，则过点P 的切线即为极点p 对应的极线．（2）如图所示（以椭圆图形为例），若点P 是不在圆锥曲线上的点，且不为原点O ，过点P 作割线P AB 、PCD 依次交圆锥曲线于A 、B 、C 、D 四点，连结直线AD 、BC 交于点M ，连结直线AC 、BD 交于点N ，则直线MN l 为极点P 对应的极线．类似的，也可得到极点N 对应的极线为直线PM l ，极点M 对应的极线为直线PN l ，因此，我们把PMN △称为自极三角形．【即PMN △的任一顶点作为极点，则顶点对应的边即为对应的极线，“补全自极三角形”这个技巧很常用，后面结合例题了解！】如图所示，如果我们连结直线NM 交圆锥曲线于点E 、F ，则直线PE 、PF 恰好为圆锥曲线的两条切线，此时，直线EF l 不仅是极点P 的极线，我们也称直线EF l 为渐切线．下面的共轭点模型，实际都是极点在坐标轴上的特例模型的应用，也是高考题常见．自极三角形的定点定值我们先来尝试一下抛物线的极点极线证明：如图，A 、B 、C 、D 分别为抛物线px y 22=上四点，且AB 与CD 交于)0(，m M ，则AC 与BD 的交点N 一定在定直线m x -=上．令MB AM λ=，MD CM μ=，所以m x A λ=，λpm y A 2=，λmx B =，λpmy B 2-=，m x c μ=，μpm y C 2=，μmx D =，μpmy D 2-=．三点共线:)()(D N D B D B D C N C A C A C N x x x x y y y x x x x y y y y ---+=---+=，)(2)(2D N DB DC N C A C N x x y y p y x x y y p y y -++=-++=所以)(2)(21(2μλμμμ+--=+=-pm m x p pm y y N D C )(2)(2μλλμμ+--+pm m x p N ，所以=+++)1(μλμλμm μλλμμm x x m N N +--，所以=+)1(λμm )1(λμ+-N x ，所以m x N -=．接下来我们来参考2020年的全国1卷，也是一种常见的自极三角形．【例17】（2020•新课标Ⅰ）已知A ，B 分别为椭圆222:1(1)x E y a a +=>的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB = ．P 为直线6x =上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点．模型总结已知极点在长（短）轴上，证明极线相对简单，只需要利用定比设点法表达出来再联立，消掉变量即可，但是在已知极线反推极点的时候，就要将引入的比例系数λ消除，构造0+0=0λ⨯模型，此类型题目均可以快速拿满分（曲线系处理最快）；抛物线通常利用对称的定比设点法，证明极点极线非常轻松，大家可以试试手．【训练18】（2021•金华模拟）如图，已知抛物线24y x =，过点(11)P -，的直线l 斜率为k ，与抛物线交于A ，B 两点．（1）求斜率k 的取值范围；（2）直线l 与x 轴交于点M ，过点M 且斜率为2k -的直线与抛物线交于C ，D 两点，设直线AC 与直线BD 的交点N 的横坐标为0x ，是否存在这样的k ，使05x =-，若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由．【训练19】（2021•湖南模拟）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，点3(1)2P ，在C 上，且221PF F F ⊥．（1）求C 的标准方程；（2）设C 的左右顶点分别为A ，B ，O 为坐标原点，直线l 过右焦点2F 且不与坐标轴垂直，l 与C 交于M ，N 两点，直线AM 与直线BN 相交于点Q ，证明点Q 在定直线上．【例18】已知椭圆134:22=+y x C ，斜率为1的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，点)04(，M ，直线AM 与椭圆交于点1A ，直线BM 与椭圆交于1B ，求证：直线11B A 过定点．模型总结若过)0(，m P 交椭圆于1AA ，1BB 两条线，若①t k AB=，②11B A 过定点)22(22t m m a m a m -+，，两者互为充要条件．大家可以自行证明．本章节到此告一段落，关于极点极线的其它性质，比如等角定理、比如斜率等差模型、斜率比值模型、焦准距的平方和共圆模型、椭圆的平行弦模型、蝴蝶定理初步，会在《高考数学满分突破》之秒杀压轴题系列2（2022年新版本）中详细阐述，二轮复习在于以题型入手的思维巩固，在于以不变应万变，秒系列在于思维深挖拓展，对一个问题的看法更加立体，也是数学爱好者的江湖情怀！【训练20】（2018•北京文）已知椭圆2222:1x y M a b+=(0)a b >>的离心率为36，焦距为22．斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A 、B ．（1）求椭圆M 的方程；（2）若1=k ，求AB 的最大值；（3）设)0,2(-P ，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ．若C ，D 和点41,47(-Q 共线，求k ．【训练21】（2021•广东七校联考）已知椭圆2222:1x yCa b+=(0)a b>>的左顶点为(20)A-，，两个焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形，过点(10)P，且与x轴不重合的直线l与椭圆交于M、N不同两点．（1）求椭圆方程；（2）若过点P且平行于AM的直线交直线52x=于点Q，求证：直线NQ过定点．【训练22】（2020•北京）已知椭圆2222:1x yCa b+=过点(21)A--，，且2a b=．（1）求椭圆C的方程；（2）过点(40)B-，的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线4x=-于点P，Q．求|| || PB BQ的值．。

圆曲极点极线和等角定理1.引言1.1 概述概述在几何学中，圆曲极点极线和等角定理是非常重要的概念和定理。

圆曲极点极线是指通过一个给定点外切于一个给定圆的直线，而等角定理是指两个相交弧所对的圆心角相等。

本文将逐步介绍这两个概念的定义、性质以及它们在几何学中的应用。

首先，我们将详细讨论圆曲极点极线。

我们将介绍其定义和基本性质，包括通过给定点作圆曲极点极线的方法和圆曲极点极线与圆的切线之间的关系。

此外，我们还将探讨圆曲极点极线在几何学中的应用，例如在三角形内切圆的构造中的应用以及它在求解几何问题中的重要作用。

接下来，我们将转向等角定理的讨论。

我们将介绍等角定理的定义和原理，以及如何使用等角定理来证明两个相交弧所对的圆心角相等。

此外，我们还将探讨等角定理在几何学中的应用，例如在相似三角形的证明中的应用以及它在解决几何问题时的重要性。

最后，我们将对圆曲极点极线和等角定理进行总结，并对它们在几何学中的重要性进行讨论。

我们将探讨这些概念和定理在几何学中的广泛应用，以及它们对于解决几何问题的帮助和影响。

通过本文的学习，读者将能够充分了解圆曲极点极线和等角定理的概念、定义和原理，并能够应用它们解决几何学中的问题。

这些概念和定理在几何学中具有广泛的应用和重要性，对于进一步研究和理解几何学都具有重要意义。

1.2文章结构文章结构:本文主要分为三个部分：引言、正文和结论。

引言部分首先概述了本文的研究对象——圆曲极点极线和等角定理，并介绍了文章的结构和目的。

正文部分分为两大章节：圆曲极点极线和等角定理。

在圆曲极点极线章节中，将对其定义和性质进行详细的阐述，解释其背后的原理和基本概念。

同时，还将探讨圆曲极点极线在实际问题中的作用和应用，提供具体的例子和案例分析。

在等角定理章节中，将对其定义和原理进行深入探讨，并给出其证明过程。

此外，还会探讨等角定理在几何学中的应用场景，以及在实际问题中的应用实例。

结论部分将总结整篇文章的主要内容和观点，并展开对圆曲极点极线和等角定理重要性的讨论。

高中数学圆锥曲线技巧之极点与极线在高中数学的学习中，圆锥曲线是一个比较复杂但又非常重要的内容。

其中，极点与极线是圆锥曲线中一个较为抽象但又极具深度的概念。

在本文中，我们将深入探讨高中数学中关于极点与极线的技巧，并通过具体的例子来帮助大家更好地理解和运用这一知识。

极点与极线是圆锥曲线中的重要概念，它们的理解和运用可以帮助我们更好地解题和应用数学知识。

在接下来的内容中，我们将从简单到复杂，由浅入深地介绍极点与极线的相关知识，让大家能够更直观地理解这一概念。

让我们从极点的定义和性质入手。

极点是在圆锥曲线上的一个特殊点，它具有一定的性质和特点。

在直角坐标系中，对于椭圆、双曲线和抛物线而言，这些曲线上都存在极点。

具体来说，在椭圆和双曲线上，极点是无限远处的点，而在抛物线上，极点是定点。

通过对极点的性质进行深入了解，我们可以更好地应用这一知识解决问题。

让我们了解极线的概念及其性质。

极线是与极点对应的直线，它们之间存在着一定的几何关系。

在椭圆和双曲线的情况下，极线是通过极点并且与曲线相切的直线，而在抛物线的情况下，极线是通过极点并且与对称轴垂直的直线。

通过对极线的性质进行深入研究，我们可以更好地掌握圆锥曲线相关问题的解题技巧。

接下来，让我们通过实例来详细讨论极点与极线的应用技巧。

以椭圆曲线为例，假设我们需要确定椭圆上关于极点和极线的一些特定问题。

在解题过程中，我们可以先确定椭圆的极点，然后求出与极点相关的极线方程，进而利用极线的性质来解决具体的问题。

通过实例的具体讲解，我们可以更好地理解并掌握极点与极线的运用技巧。

总结回顾一下，极点与极线是圆锥曲线中的重要概念，它们的理解和运用可以帮助我们更好地解题和应用数学知识。

通过对极点与极线的深入讨论和实例分析，我们能够更全面、深刻和灵活地理解这一知识，并运用于实际问题中。

对于我个人来说，极点与极线的学习过程不仅仅是对圆锥曲线知识的掌握，更是对数学思维和解题能力的提升。

极点极线详解-概述说明以及解释1.引言1.1 概述极点极线是复数函数理论中重要的概念，它们在解析几何和数学物理等领域均有广泛的应用。

极点是函数在复平面上的奇点，它表现为函数在该点处无穷大或无穷小的特性，而极线则是连接这些极点的曲线。

极点和极线的研究不仅有助于深入理解复函数的性质，还在实际问题的求解中发挥着重要作用。

本文将详细介绍极点和极线的定义、特性、关系以及应用，旨在帮助读者更好地理解和应用这一重要的数学概念。

1.2 文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式进行编写:文章结构部分本文将按照以下结构来论述极点极线的相关内容:2. 正文2.1 极点的定义和特性2.2 极线的定义和特性2.3 极点极线的关系2.4 极点极线的应用在正文部分，我们将依次介绍和探讨极点和极线在计算机视觉领域中的重要性以及相关概念、定义和特性。

首先，我们将详细讲解极点的定义和其特性，包括极点在图像处理和计算机视觉中的作用以及其在数学中的定义。

然后，我们将介绍极线的定义和特性，重点关注极线在立体视觉和图像对几何关系解决中的重要性。

接下来，我们将讨论极点和极线的关系，包括如何通过极点和极线之间的投影关系来求解立体视觉和图像重建中的几何关系。

最后，我们将探讨极点极线在实际应用中的具体应用场景，包括目标识别、图像配准和三维重建等领域，并介绍一些相关的案例和算法。

通过以上结构，我们希望能够全面而系统地介绍极点极线的相关内容，使读者对其有一个清晰的认识和理解。

在这个过程中，我们将尽可能地提供详细的解释和示例，以帮助读者更好地理解和应用极点极线的概念和方法。

在接下来的章节中，我们将从极点的定义和特性开始，逐步展开对极点极线的讨论。

让我们一起深入了解极点极线的奥秘吧。

1.3 目的本文的目的在于探讨和详解极点极线的概念、定义、特性以及其在实际应用中的重要性。

通过对极点和极线的定义和特性的介绍，我们将深入了解这一数学概念的内涵和本质。

同时，我们还将研究极点和极线之间的关系以及它们在几何学、计算机视觉和图像处理领域的应用。

极点极线高数证明极点极线是高等数学中的一个重要概念，它在解析几何、微积分、复变函数等领域中都有广泛的应用。

下面我们来介绍一下极点极线的定义和证明。

一、极点极线的定义在平面直角坐标系中，如果有一个点P(x,y)，它到另外一条曲线C的距离d(P,C)趋于0，那么我们称点P为曲线C的极点。

而过极点P且与曲线C相切的直线L，我们称之为曲线C的极线。

二、极点极线的证明为了证明极点极线的存在性，我们需要先引入一个重要的定理——拉格朗日中值定理。

定理：设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则存在一点c∈(a,b)，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)。

接下来，我们来证明极点极线的存在性。

假设有一条曲线C，它的方程为y=f(x)，其中f(x)在点x0处可导。

我们取一点P(x0,y0)，它到曲线C的距离为d(P,C)。

我们可以将P点沿着曲线C移动到P'(x0+Δx,f(x0+Δx))，此时P'点到曲线C的距离为d(P',C)。

根据拉格朗日中值定理，存在一点c∈(x0,x0+Δx)，使得：f(x0+Δx)-f(x0)=f'(c)Δx因为P'点到曲线C的距离为d(P',C)，所以有：d(P',C)=|y0-f(x0+Δx)|将上式代入可得：d(P',C)=|y0-f(x0)-f'(c)Δx|因为Δx趋近于0，所以f'(c)Δx趋近于0，因此d(P',C)趋近于|y0-f(x0)|。

也就是说，当Δx趋近于0时，P'点到曲线C的距离趋近于0，即P点为曲线C的极点。

接下来，我们来证明极点极线的唯一性。

假设有两条不同的极线L1和L2，它们都过极点P(x0,y0)且与曲线C 相切。

我们取L1和L2的交点为Q(x1,y1)，则有：y1=f(x1)y1=y0+f'(x0)(x1-x0)将上式代入可得：f(x1)=y0+f'(x0)(x1-x0)因为L1和L2都与曲线C相切，所以它们的斜率都等于f'(x0)，即：k1=f'(x0)k2=f'(x0)因此，我们可以得到：y1-y0=k1(x1-x0)y1-y0=k2(x1-x0)将上式联立可得：k1=k2因此，L1和L2的斜率相等，即它们重合，与假设不符。

极点极线高数证明
极点极线是高等数学中的一个重要概念，它在几何学和微积分中都有广泛的应用。

极点极线主要用于描述曲线的性质和特征，通过它我们可以更深入地理解曲线的形状和变化规律。

在几何学中，极点极线是通过极坐标系来定义的。

极坐标系是一种将平面上的点用极径和极角来表示的坐标系。

对于给定的一条曲线，我们可以找到它的一个极点，然后通过连接这个极点和曲线上的各个点得到一些直线，这些直线就是极点极线。

极点极线在几何学中被广泛应用于研究曲线的切线、法线和曲率等性质。

在微积分中，极点极线被用于描述曲线的导数和微分。

通过极点极线，我们可以求得曲线上任意一点的切线斜率，并且可以计算曲线上各点的曲率。

这对于研究曲线的变化趋势和几何形状具有重要意义。

极点极线还可以用于求解曲线的最值问题，通过求导和分析极点极线的性质，我们可以找到曲线上的极值点和极值。

极点极线在实际应用中也有广泛的运用。

它可以用于描述天体运动的轨迹、电磁场中的电荷分布、流体力学中的流线等问题。

在这些领域中，通过分析极点极线的性质和变化规律，我们可以更好地理解和解释自然界中的现象和规律。

总结来说，极点极线是一种重要的数学工具，它在几何学和微积分中具有广泛的应用。

通过极点极线，我们可以深入地理解曲线的性
质和特征，求解曲线的切线、法线和曲率等问题，以及研究曲线的最值和实际应用。

极点极线的研究不仅可以丰富我们对数学的认识，还可以帮助我们更好地理解和解释自然界中的现象和规律。

2023全国乙卷理科第20题极点极线【导读】极点与极线是解析几何中的重要概念，它们在数学领域中有着广泛的应用。

本文将深入探讨极点与极线的定义、性质和应用，并共享对这一主题的个人理解。

【正文】一、极点与极线的定义1. 极点的定义极点是与给定圆的两条切线相交的一个点，这两条切线是从极点到圆上的两个不同点的切线。

在平面直角坐标系中，给定一点 P(x1, y1)，以及一个圆 C：(x - a)² + (y - b)² = r²。

点 P 是圆 C 的极点，当且仅当从 P 到圆 C 上的任意一点 Q 的斜率相等。

即∠OPQ为直角，其中O(a, b) 是圆 C 的圆心。

2. 极线的定义过给定点和给定圆的两条切线所确定的交点的轨迹叫做极线。

根据定义，极线是由圆 C 的所有极点所决定。

在平面直角坐标系中，假设圆的方程是(x - a)² + (y - b)² = r²，圆的极线可以表示为下面形式的方程：xx1 + yy1 = a(x + x1) + b(y + y1) + r²。

这里，(x1, y1) 是圆的极点。

二、极点与极线的性质1. 极点的性质（1）极点坐标的性质通过上述定义，可得到极点P(x1, y1) 的坐标对称形式是P′(-x1, -y1)。

意味着，极点 P 关于圆心 O 对称。

（2）极点的存在性对于给定圆 C，如果有直角坐标系中的点 P（x，y）满足OP⊥OQ，那么点 P 就是圆 C 的极点。

2. 极线的性质（1）极线的对称性已知圆 C 关于 X 轴和 Y 轴的极线方程为 a1x + b1y + c1 = 0 和 a2x + b2y + c2 = 0。

易得，关于 X 轴和 Y 轴的两条极线方程互为对称。

（2）极线的交点性质两条极线的交点坐标为(-ab/a1 - a2, -ab/b1 - b2, 非常重要)。

三、极点与极线的应用1. 应用一：极点极线在密码学中的应用极点极线广泛应用于密码学领域，尤其是在椭圆曲线密码学中。

极点极线结论过定点结论引言在解析几何中，极点极线结论是一个重要的定理，它描述了通过一点和一定条件下的定角相交的两条直线，所确定的交点将位于一条直线上的规律。

本文将详细探讨极点极线结论，并阐述其过定点结论的相关内容。

极点极线结论根据极点极线结论，当两条不相交直线通过一个点，且与一条直线相交的两个角的角度分别相等时，这两个交点将位于一条直线上。

极点极线结论的证明步骤一：给出问题假设有两条直线L1和L2，它们不相交，而且通过一个点O。

另外，有一条直线L3与L1和L2相交，且与L1和L2所成的两个角分别为∠A和∠B。

我们的目标是证明当∠A=∠B时，直线L1和L2的交点位于一条直线上。

步骤二：构造辅助线为了方便证明，我们需要构造一些辅助线。

首先，我们在点O处作垂直于L1和L2的线段，分别与L1和L2相交于点C和点D。

接下来，我们延长直线L3，使其与直线L1和L2相交于点E和点F。

步骤三：使用角度关系根据角度关系，我们可以得知∠OCE = ∠ACD，∠ODF = ∠BDC。

由于∠A = ∠B，所以∠ACD = ∠BDC。

步骤四：使用相似三角形进一步观察图形，我们可以发现三角形ACO与三角形BDO是相似三角形。

根据相似三角形的性质，我们可以得出OC/OD=AC/BD。

步骤五：应用极点极线结论由步骤四的结果可知，OC/OD=AC/BD，由此我们可以得出OC/AC=OD/BD。

根据极点极线结论，OC/AC=OD/BD表示点C、D、A、B四点共线。

步骤六：证明交点共线利用相似三角形的性质，我们可以得知∠ACO = ∠BDO。

因此，线段AE和线段FB在交点处的夹角相等，并且线段AE和线段FB在交点处的夹角等于线段AC和线段BD在交点处的夹角。

根据角度相等的性质，我们可以得知线段AE和线段FB 在交点处的延长线必然相交于一点，即点P。

综上所述，由于点P位于延长线AE和FB上，根据几何定理，我们可以得出结论：当∠A=∠B时，直线L1和L2的交点P必然位于一条直线上。

20.极点与极线的性质第15讲:极点与极线的性质125第15讲:极点与极线的性质极点与极线是高等几何中的基本且重要的概念,虽然中学数学没有介绍,但以此为背景命制的高考试题经常出现.掌握极点与极线的初步知识,可使我们“登高望远”,抓住问题的本质,确定解题方向,寻找简捷的解题途.定义:已知曲线G:ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f=0,则称点P(x 0,y 0)和直线l:ax 0x+b200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2y y ++f=0是曲线G 的一对极点与极线,点P 称为直线l 关于曲线G 的极点;直线l 称为点P 关于曲线G 的极线.称点P 与直线l 有“配极关系”,或“对偶关系”,相互为对方的“配极元素”,或“对偶元素”.特别地,当点P 在曲线G 上时,点P 关于曲线G 的极线是曲线G 在点P 处的切线;圆锥曲线的焦点对应的极线是该焦点对应的准线;圆锥曲线的准线对应的极点是该准线对应的焦点.[位置关系]:已知点P 关于圆锥曲线G 的极线是直线l,则三者的位置关系是:①若点P 在曲线G 上,则直线l 是曲线G 在点P 处的切线;②若点P 在曲线G 外,则直线l 是由点P 向曲线G 引两条切线的切点弦;③若点P 在曲线G 内,则直线l 是经过点P 的曲线G 的弦的两端点处的切线交点轨迹.如图:l l l P M P A D M PN C N B[配极原则]:如果点P 的极线通过点Q,则点Q 的极线也通过点P.证明:设圆锥曲线G:ax 2+bxy+cy 2+2dx+2ey+f=0,点P(x p,y p),Q(x Q,y Q),则点P 、Q 关于曲线G 的极线方程分别为p:ax p x+b 2yx x y p p ++cy p y+d2p x x ++e2p y y ++f=0,q:ax Q x+b2yx x y Q Q ++cy Q y+d2Q x x ++e2Q y y ++f=0,则点P 的极线通过点Q⇔ax p x Q +b 2Qp Q p y x x y ++cy p y Q +d 2pQ x x ++e2pQ y y ++f=0⇔点P(x p ,y p )在直线q:ax Q x+b2y x x y Q Q ++cy Q y+d2Q x x ++e2Q y y ++f=0上⇔点Q 的极线也通过点P.推论1:两点连线的极点是此二点极线的交点,两直线交点的极线是此二直线极点的连线;证明:设两点A 、B 连线的极点是P,即点P 的极线经过点A 、B,由配极原则知点A 、B 的极线均过点P,即点P 是此二点极线的交点;同理可证:两直线交点的极线是此二直线极点的连线.推论2(共点共线):共线点的极线必共点;共点线的极点必共线.证明:设点A 、B 均在直线l 上,直线l 对应的极点为P,由配极原则知点A 、B 的极线均过点P,即点A 、B 的极线必共点;同理可证:共点线的极点必共线.推论3(中点性质):若圆锥曲线G 过点P 的弦AB 平行于点P 的极线,则点P 是弦AB 的中点. 证明:设P(x 0,y 0),曲线G:ax 2+bxy+cy 2+2dx+2ey+f=0,则点P 的极线方程:ax 0x+b200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2y y + +f=0,故可设AB:ax 0x+b200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 20y y ++λ=0,由点P(x 0,y 0)在直线AB 上⇒ax 02+bx 0y 0+cy 02+2dx 0+2ey 0+λ=0⇒λ=-(ax 02+bx 0y 0+cy 02+2dx 0+2ey 0)⇒直线AB:ax 0x+b 200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 20y y +=ax 02+bx 0y 0+cy 02+2dx 0+2ey 0⇒ ax 0x+b200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 20y y ++f=ax 02+bx 0y 0+cy 02+2dx 0+2ey 0+f,而该直线为以为P 中点的中点弦方程,即点P 是弦AB 的中点.[比例定理]:若过点P(x 0,y 0)的直线l 与曲线G:ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f=0相交于A 、B 两点,与直线:ax 0x+b200yx x y ++ 126 第15讲:极点与极线的性质cy 0y+d20x x ++e 2y y ++f=0交于点Q,则|PA||QB|=|QA||PB|. 证明:设直线l:⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 0t y y t x x (t 为参数),代入ax 0x+b 200y x x y ++cy 0y+d 20xx ++e2y y ++f=0得:(2ax 0cos θ+bx 0sin θ+by 0cos θ+2cy 0sin θ)t+2(ax 02+bx 0y 0+cy 02+dx 0+ey 0+f)=0⇒t 0=-2θθθθsin 2cos sin cos 2000000200020cy by bx ax fey dx cy y bx ax ++++++++;代入ax 2+bxy+ cy 2+2dx+2ey+f=0得:(acos 2θ+bcos θsin θ+csin 2θ)t 2+(2ax 0cos θ+bx 0sin θ+by 0cos θ+2cy 0sinθ)t+(ax 02+bx 0y 0+cy 02+dx 0 +ey 0+f)=0⇒t 1+t 2=-θθθθθθθθ220000sin cos sin cos sin 2cos sin cos 2c b a cy by bx ax +++++,t 1t 2=θθθθ2200200020sin cos sin cos c b a fey dx cy y bx ax +++++++⇒t 0=21212t t t t +;而|PA||QB|=|QA||PB|⇔|t 1||t 2-t 0|=|t 1-t 0||t 2|⇔t 0=21212t t t t +成立. [面积定理]:已知点P 关于圆锥曲线G 的极线为l,过点P 的直线与圆锥曲线G 相交于A 、B 两点,分别过点A 、B 的两条平行线与直线l 交于点D 、C,记△APD 、△CPD 、△BPC 的面积分别为S 1,S 2,S 3,则:S 22=4S 1S 2.证明:以椭圆G:22ax +22by =1(a>b>0)为例,设P(x 0,y 0),则极线l:12020=+b y y ax x .设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),并分别过点A 、B 作l 的垂线,垂足分别为D 1、C 1,则||||11BC AD =|1||1|220220210210-+-+b y y a x x b y y a x x =||||2220220222102102b a y y a x x b b a y y a x x b -+-+(注意到:a 2b 2=b 2x 12+a 2y 12,a 2b 2=b 2x 22+a 2y 2) =||||222222202202212212102102y a x b y y a x x b y a x b y y a x x b --+--+=|)()(||)()(|0222022201120112y y y a x x x b y y y a x x x b -+--+-(注意到:0101x x y y --=0202x x y y --=k)=||||0201x x x x --⋅||||22221212x b ky a x b ky a ++.又因||||BP AP =||||0201x x x x --,以下只需证||||22221212x b ky a x b ky a ++=1,即|a 2ky 1+b 2x 1|=|a 2ky 2+b 2x 2|,由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+2222222222212212ba y a xb b a y a x b ⇒b 2(x 1-x 2)(x 1+x 2)+a 2(y 1- y 2)(y 1+y 2)=0⇒b 2(x 1+x 2)+a 2k(y 1+y 2)=0⇒a 2ky 1+b 2x 1=-(a 2ky 2+b 2x 2)⇒|a 2ky 1+b 2x 1|=|a 2ky 2+b 2x 2|⇒||||BP AP =||||11BC AD ,由△ADD 1∽△BCC 1⇒||||BC AD =||||BP AP ,设AC 与BD 交于点Q,由AD ∥BC ⇒||||BC AD =||||QC AQ ⇒||||BP AP =||||QC AQ ⇒PQ ∥BC ∥AD ⇒S △BAC =S △BDC ,两边同减S △BQC 得S △QAB =S △QDC ,又因S △PQA =S △PQD ,S △PQB =S △PQC ⇒S △PCD =S △QCD +S △PQD +S △PQC =S △QCD +S △PQA +S △PQB =S △QCD +S △QAB =2S △QAB ⇒S △QAD =S △PAD =S 1,S△QBC=S △PBC =S 3,S △QAB =21S △PCD =21S 2,注意到:QAB QBC QAB QAD S S S S ∆∆∆∆⋅=||||||||QA QC QB QD ⋅=1⇒2QAB S ∆=S △QAD S △QBC ⇒S 22=4S 1S 2. 例1:极点与极线的位置关系.[始源问题]:(2010年湖北高考试题)已知椭圆C:22x +y 2=1的两焦点为F 1 ,F 2,点P(x 0,y 0)满足0<220x +y 02<1,则|PF 1|+|PF 2|的取值范围为 ,直线20xx +y 0y=1与椭圆C 的公共点个数为 . [解析]:由0<220x +y 02<1知,点P 在椭圆C 内,所以直线20x x +y 0y=1与椭圆C 相离⇒公共点个数为0;2c ≤PF 1|+|PF 2|<2a ⇒2≤PF 1|+|PF 2|<22⇒|PF 1|+|PF 2|的取值范围为[2,22).[原创问题]:已知椭圆C:42x +32y =1,点P(x 0,y 0)满足420x +320y >1(x 0≠0),直线l:40x x +30y y =1. (Ⅰ)求直线l 与椭圆C 的公共点个数;(Ⅱ)若射线OP 与直线l 、椭圆C 分别交于点Q 、M,求证:|OP||OQ|=|OM|2.[解析]:(Ⅰ)因椭圆C:42x +32y =1⇔⎩⎨⎧==θθsin 3cos 2y x ,θ∈[0,2π),所以,直线l 与椭圆C 的公共点个数⇔关于θ的方程第15讲:极点与极线的性质12720x cos θ+330y sin θ=1解的个数⇔直线:20x x+330y y=1与圆:x 2+y 2=1的公共点个数;由圆心O(0,0)到直线:20x x+330y y=1的距离d=3412020y x +<1⇒直线:20x x+330y y=1与圆:x 2+y 2=1的公共点个数=2⇒直线l 与椭圆C 的公共点个数=2;(Ⅱ)因射线OP:y=00x y x(x 与x 0同号),与40x x +30y y =1联立得:40x x +0203x x y =1⇒x=202004312y x x +⇒y=202004312y x y +⇒Q(202004312y x x +,22004312y x y +)⇒|OP||OQ|=2020202043)(12y x y x ++;由y=00x y x 与42x +32y =1联立得:42x +20203x y x 2=1⇒x 2=2020204312y x x +⇒y 2=2020204312y x y +⇒ |OM|2=x 2+y 2=2020204312y x x ++2020204312y x y +=2020202043)(12y x y x ++⇒|OP||OQ|=|OM|2.例2:抛物线中的共线性质.[始源问题]:(2010年大纲卷Ⅰ高考试题)已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,过点K(-1,0)的直线l 与C 相交于A 、B 两点,点A 关于x 轴的对称点为D. (Ⅰ)证明:点F 在直线BD 上; (Ⅱ)设FB FA ⋅=98,求△BDK 的内切圆M 的方程. [解析]:(Ⅰ)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),直线l:y=k(x+1)(k ≠0),则D(x 1,-y 1),由⎩⎨⎧=+=xy x k y 4)1(2⇒ky 2-4y+4k=0⇒y 1+y 2=k 4,y 1y 2= 4;所以,点F 在直线BD 上⇔FB ∥FD ⇔(x 2-1):(x 1-1)=y 2:(-y 1)⇔y 1(ky 2-2)+y 2(k y1-2)=0⇔y 1y 2-k(y 1+y 2)=0;(Ⅱ)由FB FA ⋅=(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2=(k y 2-2)(k y 1-2)+y 1y 2=(1+21k )y 1y 2-k 2(y 1+y 2)+4=4(1+21k )-28k +4=8-24k=98⇒k=±43;根据对称性,不妨设k=43,则直线AB:3x-4y+3=0,且k KD =43⇒KF 平分∠AKD ⇒圆M 的圆心M 在x 轴上;(x 2-x 1)2=(x 1+x 2)2- 4x 1x 2=7162⇒k BD =1212y y x x +-=73⇒直线BD:3x-7y-3=0;设M(t,0)(-1<t<1),则由点M 到直线AB 与BD 的距离相等⇒5|1|3+t =4|1|3-t ⇒t=91⇒圆M:(x-91)2+y 2=94. [原创问题]:已知抛物线y 2=2px 及定点A(a,b),B(-a,0)(ab ≠0,b 2≠2pa),M 是抛物线上的点,设直线AM,BM与抛物线的另一交点分别为M 1,M 2.求证:当M 点在抛物线上变动时(只要M 1,M 2存在且M 1≠M 2),直线M 1M 2恒过一个定点,并求出这个定点的坐标.[解析]:设M(2pt 2,2pt),M 1(2pt 12,2pt 1),M 2(2pt 22,2pt 2),则点B,M,M 2对应的极线分别为:x=a,2ty=x+2pt 2,2t 2y=x+2pt 22,由B,M,M 2三点共线⇒三线x=a,2ty=x+2pt 2,2t 2y=x+2pt 22共点⇒a=2ptt 2⇒t 2=pta2,点A,M 1对应的极线分别为:by=px+ap, 2t 1y=x+2pt 12,由A,M,M 1三点共线⇒三线by=px+ap,2ty=x+2pt 2,2t 1y=x+2pt 12共点⇒bp(t+t 1)=2p 2tt 1+ap ⇒t 1=ptb bta 2--,由⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2222112222pt x y t pt x y t ⇒⎩⎨⎧+==)(22121t t p y t pt x ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=)2(2)2()2()(2pt b pt t p a b y pt b t bt a a x ⇒x-a=)2(22pt b t t p a --=b a 2y ⇒M 1,M 2对应极线的交点在定直线b p 2y=x+a, 即b p 22y=2p 2a x +上⇒直线M 1M 2恒过一个定点(a,bpa2).128 第15讲:极点与极线的性质例3:抛物线中的比例性质.[始源问题]:(2009年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知抛物线C:y=21x 2与直线l:y=kx-1没有公共点,设点P 为直线l 上的动点,过P 作抛物线C 的两条切线,A 、B 为切点. (Ⅰ)证明:直线AB 恒过定点Q;(Ⅱ)若点P 与(Ⅰ)中的定点Q 的连线交抛物线C 于M 、N 两点.证明:||||PN PM =||||QN QM .[解析]:(Ⅰ)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),P(x 0,y 0),则抛物线y=21x 2在点A 、B 处的切线方程分别为x 1x=y+y 1、x 2x=y+y 2,由点P(x 0,y 0)在这两切线上得:⎩⎨⎧+=+=02200110y y x x y y x x ⇒直线AB:x 0x=y+y 0(注意到:y 0=kx 0-1)⇒x 0x=y+kx 0-1⇒直线AB 过定点Q(k,1);(Ⅱ)设直线MN:⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00t y y t x x ,代入直线AB:x 0x=y+y 0,得:t Q =θθcos sin 20020x y x --;代入y=21x 2得:t 2cos 2θ+2(x 0cos θ-sinθ)t+x 02-2y 0=0⇒t 1+t 2=2⋅θθθ20cos cos sin x -,t 1t 2=θ2020cos 2y x -⇒21212t t t t +=θθcos sin 20020x y x --⇒t Q =21212t t t t +;所以,||||PN PM =||||QN QM ⇔21t t= QQ t t t t --21⇔t Q =21212t t t t +成立. [原创问题]:已知抛物线C:x 2=4y 与直线l:y=x-2,设点P 为直线l 上的动点,过P 作抛物线C 的两条切线,A 、B 为切点.(Ⅰ)证明:直线AB 恒过定点T;(Ⅱ)若过点P 的直线l 交抛物线C 于M 、N 两点,与直线AB 交于点Q.证明||PM ||PN =||PQ [解析]:(Ⅰ)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),P(x 0,y 0),则抛物线C:x 2=4y 在点A 、B 处的切线方程分别为x 1x=2(y+y 1)、x 2x=(y+y 2),由点P(x 0,y 0)在这两切线上得:⎩⎨⎧+=+=)(2)(202200110y y x x y y x x ⇒直线AB:x 0x=2(y+y 0)(注意到:y 0=x 0-2)⇒x 0x=2y+2x 0-4⇒直线AB 过定点T(2,2); (Ⅱ)设直线MN:⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00t y y t x x ,代入直线AB:x 0x=2(y+y 0),得:t Q =θθcos sin 240020x y x --;代入x 2=4y 得:t 2cos 2θ+2(x 0cos θ-2sin θ)t+x 02-4y 0=0⇒t 1+t 2=2⋅θθθ20cos cos sin 2x -,t 1t 2=θ2020cos 4y x -⇒21212t t t t +=θθcos sin 240020x y x --⇒t Q =21212t t t t +;所以||PM ||PN ||PQ ⇔11t21t =Q t 2⇔t Q =21212t t tt +成立. 例4:抛物线中的面积关系.[始源问题]:(2009年湖北高考试题)过抛物线y 2=2px(p>0)的对称轴上一点A(a,0)(a>0),的直线与抛物线相交于M 、N 两点,自M 、N 向直线l:x=-a 作垂线,垂足分别为M 1、N 1. (Ⅰ)当a=2p时,求证:AM 1⊥AN 1; (Ⅱ)记△AMM 1、△AM 1N 1、△ANN 1的面积分别为S 1、S 2、S 3,是否存在λ,使得对任意的a>0,都有S 22=λS 1S 3成立.若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.[解析]:(Ⅰ)当a=2p 时,A(2p ,0),设M(2pm 2,2pm),N(2pn 2,2pn),则M 1(-2p ,2pm),N 1(-2p ,2pn),由AM ∥AN ⇒(2pm 2-2p ):(2pn 2-2p )=2pm:2pn ⇒mn=-41⇒1AM ⋅1AN =p 2+4p 2mn=0⇒AM 1⊥AN 1;第15讲:极点与极线的性质129(Ⅱ)由AM ∥AN ⇒(2pm 2-a):(2pn 2-a)=2pm:2pn ⇒2pmn+a=0;因||||11NN MM =2222pn a pm a ++;当MN ⊥/x 轴时,||||AN AM =|2||2|22pn a a pm --=2222pn a a pm --;所以,||||11NN MM =||||AN AM ⇔2222pn a pm a ++=2222pn a a pm --⇔4p 2m 2n 2=a 2成立;当MN ⊥x 轴时,显然有||||11NN MM =||||AN AM ;设MN 1与NM 1交于点Q(点Q 即原点O),由MM 1∥NN 1⇒||||1QN MQ =||||11NN MM =||||AN AM ⇒AQ ∥MM 1∥NN 1;设∠MQM 1=α,则S 1=21|QM||QM 1|sin α,S 3 =21|QN||QN 1|sin α;又S △QMN =11N QM S ∆⇒S 2=11N QM S ∆+(1AQM S ∆+1AQN S ∆)=11N QM S ∆+(S △AQM +S △AQN )=11N QM S ∆+S △QMN =2S △QMN;S 1S 3=21 |QM||QM 1|sin α⋅21|QN||QN 1|sin α=21|QM||QN|sin α⋅21|QM 1||QN 1|sin α=S △QMN 11N QM S ∆=41S 22⇒S 22=4S 1S 3⇒存在λ=4,使得对任意的a>0,都有S 22=λS 1S 3成立.[原创问题]:已知抛物线C:y 2=4x,直线l:y=2x+2,过点P(1,1)的直线与抛物线C 交于A 、B 两点,A 、B 两点在直线l 上的射影点分别为N 、M,记△PAN 、△PMN 、△PBM 的面积分别为S 1、S 2、S 3. (Ⅰ)当AB ∥直线l 时,求证:P 是AB 的中点; (Ⅱ)求证:S 22=4S 1S 3.[解析]:(Ⅰ)设A(x 1,y 1),则y 12=4x 1;由P 是AB 的中点⇒B(2-x 1,2-y 1)⇒(2-y 1)2=4(2-x 1)⇒y 1=2x 1+1⇒点A 在直线y=2x+1上,同理可得点B 也在直线y=2x+1上⇒直线AB:y=2x+1⇒AB ∥直线l;由统一法知,当AB ∥直线l 时, P 是AB 的中点;(Ⅱ)设直线AB:⎩⎨⎧+=+=θθsin 1cos 1t y t x (t 为参数),代入y 2=4x 得:t 2sin 2θ+2(sin θ-2cos θ)t-3=0⇒t 1+t 2=2⋅θθθ2sin sin cos 2-,t 1t 2=-θ2sin 3;点A(1+t 1cos θ,1+t 1sin θ)到直线l 的距离|AN|=5|3sin cos 2|11+-θθt t ,点B(1+t 2cos θ,1+t 2sin θ)到直线l 的距离|BM|=5|3sin cos 2|22+-θθt t ⇒||||BM AN =|3sin cos 2||3sin cos 2|2211+-+-θθθθt t t t (由点A 、B 在直线l 的同侧⇒2t 1cos θ-t 1sin θ+3与t 2cos θ-t 2sin θ+3同号)=3sin cos 23sin cos 22211+-+-θθθθt t t t ;而||||PB PA =||||21t t (点A 、B 在点P 的异侧)=-21t t;所以,||||BM AN =||||PB PA ⇔3sin cos 23sin cos 22211+-+-θθθθt t t t=-21t t ⇔2(2cos θ-sin θ)t 1t 2+3(t 1+t 2)=0⇔2(2cos θ-sin θ)(-θ2sin 3)+3⋅2⋅θθθ2sin sin cos 2-=0成立; 以下同例题可证:S 22=4S 1S 3.例5:椭圆中的共线性质.[始源问题]:(2012年北京高考试题)已知曲线C:(5-m)x 2+(m-2)y 2=8(m ∈R).(Ⅰ)若曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆,求m 的取值范围;(Ⅱ)设m=4,曲线C 与y 轴的交点为A,B(点A 位于点B 的上方),直线y=kx+4与曲线C 交于不同的两点M 、N,直线y=1与直线BM 交于点G.求证:A,G,N 三点共线.[解析]:(Ⅰ)由曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆⇔m-2>5-m>0⇔27<m<5.故m 的取值范围是(27,5); (Ⅱ)当m=4时,曲线C:x 2+2y 2=8⇒A(0,2),B(0,-2);设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),由⎩⎨⎧=++=82422y x kx y ⇒(2k 2+1)x 2+16kx+24=0⇒△= 32(2k 2-3)>0⇒k 2>23;且x 1+x 2=-12162+k k ,x 1x 2=12242+k ;又由直线BM:y=112x y +x-2⇒G(2311+y x ,1),即G(6311+kx x ,1)⇒k AG =-1136x kx +=-3k -12x ,k AN =222x y -=222x kx +=k+22x ⇒k AN -k AG =34k +12x +22x =34k +2⋅2121x x xx +=34k +2⋅2416k -=0⇒A,G,N 三点共线.第(Ⅱ)问是本题的特色与亮点,其实质是共轭点的性质:设点P 与Q 是二次曲线G 的一对共轭点,过点Q 的直线AC 与曲线G 相交于A 、C 两点,AP 与曲线G 相交于另一点B,BQ 与曲线G 相交于另一点D,则P 、C 、D 三点共线.其中共轭点的定义:130 第15讲:极点与极线的性质若直线PQ 与圆锥曲线G 相交于A 、B 两点,且PA ⋅QB +PB ⋅QA =0,则称点P 与Q 是圆锥曲线G 的一对共轭点.[原创问题]:已知椭圆C:2222b y a x +=1(a>b>0)过点D(-1,e),其中,e 是椭圆C 的离心率,椭圆C 的左、右顶点分别为A(-2, 0)、B(2,0).(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)过点E(4,0)的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,求证:直线AM 与BN 的交点P 在一条定直线上.[解析]:(Ⅰ)由a=2,21a +22b e =1⇒1+22b c =a 2⇒b 2=1⇒椭圆C:42x +y 2=1; (Ⅱ)设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),直线l:y=k(x-4),由⎩⎨⎧=+-=44)4(22y x x k y ⇒(1+4k 2)x 2-32k 2x+64k 2-4=0⇒x 1+x 2=224132k k +,x 1x 2=2241464k k +-⇒k 2=)(4322121x x x x +-+,x 1x 2(1+4k 2)=64k 2-4⇒x 1x 2⋅)(8821x x +-=)(8]8)(5[42121x x x x +--+⇒2x 1x 2=5(x 1+x 2)-8;又由直线AM:y=211+x y (x+2),直线BN:y=222-x y (x-2)⇒直线AM 与BN 的交点P 的横坐标x 满足:211+x y (x+2)=222-x y (x-2)⇒2)4(11+-x x k (x+2)= 2)4(22--x x k (x-2)⇒x=83262122121----x x x x x x =83268)(5122121-----+x x x x x x =1⇒点P 在一条定直线x=1上.例6:椭圆中的中点性质.[始源问题]:(2008年全国高中数学联赛湖南初赛试题)如图,过直线l:5x-7y-70=0上的点P 作椭圆252x +92y =1的两条切线PM 、PN,切点分别为M 、N. (Ⅰ)当点P 在直线l 上运动时,证明:直线MN 恒过定点Q;(Ⅱ)当MN ∥l 时,定点Q 平分线段MN.[解析]:(Ⅰ)设P(7t+7,5t-5),则直线MN 的方程为:2577+t x+955-t y=1⇒(257x+95y)t+(257x-95y-1)=0,由257x+95y=0,且257x-95y-1=0⇒x=1425,y=-109⇒直线MN 恒过定点Q(1425,-109); (Ⅱ)MN ∥l ⇔2577+t :955-t =5:(-7)⇔t=53392⇒直线MN 的方程为:5x-7y-35533=0,代入椭圆方程252x +92y =1得:275332⨯x2 -23753325⨯x+25[(275533⨯)2-9]=0,设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则x 1+x 2=725⇒定点Q 平分线段MN.[原创问题]:过点Q(1,1)作己知直线l:3x+4y=12的平行线交椭圆C:42x +32y =1于点M 、N.(Ⅰ)分别过点M 、N 作椭圆C 的切线l 1、l 2.证明:三条直线l 1、l 2、l 交于一点; (Ⅱ)证明:点Q 是线段MN 的中点;(Ⅲ)设P 为直线l 上一动点,过点P 作椭圆C 的切线PA 、PB,切点分别为A 、B,证明:点Q 在直线AB 上.[解析]:(Ⅰ)设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),切线l 1、l 2交于点P(x 0,y 0),由切线l 1:41x x+31y y=1,切线l 2:42x x+32y y=1均过点P(x 0, y 0)⇒41x x 0+31y y 0=1,42x x 0+32yy 0=1⇒直线MN:40x x+30y y=1;又由直线MN 过点Q(1,1)⇒40x +30y =1⇒3x 0+4y 0=12⇒点P 在直线l 上⇒三条直线l 1、l 2、l 交于一点; (Ⅱ)由直线MN ∥直线l ⇒40x :30y =41:31,又40x +30y =1⇒x 0=y 0=712⇒直线MN:3x+4y=7⇒点Q 是线段MN 的中点; (Ⅲ)设P(x 0,y 0),则直线AB:3x 0x+4y 0y=12⇒3x 0x+(12-3x 0)y=12⇒点Q 在直线AB 上.第15讲:极点与极线的性质131例7:椭圆中的比例性质.[始源问题]:(2011年山东高考试题)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C:32x +y 2=1.如图所示,斜率为k(k>0)且不过原点的直线l 交椭圆C 于A,B 两点,线段AB 的中点为E ,射线OE 交椭圆C 于点G 交直线x=-3于点D(-3,m).(Ⅰ)求m 2+k 2的最小值; D y (Ⅱ)若|OG|2=|OD||OE|. G A (i)求证:直线l 过定点; E(ii)试问点B,G 能否关于x 轴对称？若能,求出 -3 O x 此时△ABG 的外接圆方程;若不能,请说明理由.[解析]:(Ⅰ)设E(-3λ,m λ),A(-3λ+t,m λ+kt),则B(-3λ-t,m λ-kt).由点A 、B 都在椭圆C 上⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=+++-3)(3)3(3)(3)3(2222kt m t kt m t λλλλ,两式相减得mk=1⇒m 2+k 2≥2mk=2,当且仅当m=k=1时等号成立,所以m 2+k 2的最小值=2.(Ⅱ)(i)设直线OG 与椭圆C 相交于另一点T,则由椭圆C 关于原点对称得:|OT|=|OG|.所以,|OG|2=|OD||OE|⇔DT EG ⋅+DG ET ⋅=0,由轨迹1知,点E 在直线-x+my=1上,即直线l 的方程为:-x+my=1⇒直线l 过定点(-1,0);(ii)若点B,G 关于x 轴对称⇒点G(-3λ-t,-m λ+kt),由点G 在直线OE 上⇒(-3λ-t):(-3λ)=(-m λ+kt):m λ⇒6m λ+mt=3kt(注意到mk=1)⇒m 2(6λ+t)=3t ⇒t=2236mm -λ,又由点E 在直线l 上⇒3λ+m 2λ=1⇒λ=231m+⇒B(-233m-,-23m m -)⇒31(233m -)2+(23mm -)2=1⇒m=1,k=1,λ=41,t=43⇒A(0,1),B(-23,-21),G(-23,21)⇒△ABG 的外接圆方程:(x+21)2+y 2=45.[原创问题]:已知椭圆C:2222b y a x +=1(a>b>0)内一点P(2,1),射线OP 与椭圆C 交于点N,与直线l 0:x+y-12=0交于点M,满足|OP||OM|=|ON|2,且椭圆C 在N 处的切线平行于直线l 0. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)过点P 的任意一条直线l 与直线l 0交于点Q,与椭圆C 交于A 、B 两点(A 在P 与Q 之间),求证:|QA||PB|=|QB||PA|.[解析]:(Ⅰ)由射线OP:y=21x(x ≥0),直线l 0:x+y-12=0⇒M(8,4);设N(2t,t)(t>0),由|OP||OM|=|ON|2⇒5⋅80=4t2+t 2⇒t=2⇒N(4,2)⇒216a +24b =1,椭圆C 在N 处的切线:24a x +22by =1;由切线平行于直线l 0⇒24a =22b ⇒a 2=2b 2⇒b 2=12,a2=24⇒椭圆C:242x +122y =1; (Ⅱ)设直线l:⎩⎨⎧+=+=θθsin 1cos 2t y t x (t 为参数),代入242x +122y =1得:(2sin 2θ+cos 2θ)t 2+4(sin θ+cos θ)t-18=0⇒t 1+t 2=-θθθθ22cos sin 2)cos (sin 4++,t 1t 2=-θθ22cos sin 218+;代入x+y-12=0得:(sin θ+cos θ)t-9=0⇒t Q =θθcos sin 9+;而|QA||PB|=|QB||PA|⇔(t Q -t 1)(-t 2)=(t Q -t 2)t 1⇔(t 1+t 2)t Q -2t 1t 2=0⇔-θθθθ22cos sin 2)cos (sin 4++⋅θθcos sin 9+-2(-θθ22cos sin 218+)=0成立. [原创问题]:已知椭圆C:2222b y a x +=1(a>b>0)内一点P(2,1),过点P 且平行于x 轴直线被椭圆C 截得的弦长为46,过点P 且平行于y 轴直线被椭圆C 截得的弦长为210.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)过点P 的任意一条直线l 与直线l 0:x+y-12=0交于点Q,与椭圆C 交于A 、B 两点,若QA =λAP ,QB =μBP .求证:λ+132 第15讲:极点与极线的性质μ为定值.[解析]:(Ⅰ)由2222by ax +=1,令y=1得:|x|=ba 12-b ;令x=2得:|y|=ab 42-a ;由题知,ba12-b =26,ab 42-a =10⇒a 2=12422-b b ,22a b (a 2-4)=10⇒2412-b (12422-b b -4)=10⇒b 2=12⇒a 2=24⇒椭圆C:242x +122y =1; (Ⅱ)设直线l:⎩⎨⎧+=+=θθsin 1cos 2t y t x (t 为参数),代入242x +122y =1得:(2sin 2θ+cos 2θ)t 2+4(sin θ+cos θ)t-18=0⇒t 1+t 2=-θθθθ22cos sin 2)cos (sin 4++,t 1t 2=-θθ22cos sin 218+;代入x+y-12=0得:(sin θ+cos θ)t-9=0⇒t Q =θθcos sin 9+;由QA =λAP ,QB =μBP⇒λ=11t t t Q -,μ=22t t t Q -⇒λ+μ=2-t Q ⋅2121t t t t +=2-θθcos sin 9+⋅9)cos (sin 2θθ+=0. 例8:椭圆中的共线性质.[始源问题]:(2002年澳大利亚数学奥林匹克试题)己知△ABC 为锐角三角形, R以AB 为直径的⊙K 分别交AC 、BC 于P 、Q,分别过A 和Q 作⊙K 的两条切线交 C 于点R,分别过B 和P 作⊙K 的两条切线交于点S.证明:点C 在线段RS 上. P Q S[解析]:设⊙K:x 2+y 2=r 2,R(-r,a),S(r,b)⇒点R,S 对应的极线分别为:AQ:-rx+ay=r 2,BP:rx+by=r 2⇒Q(2222)(r a r r a +-,2222r a ar +),P(-2222)(r b r r b +-,2222r b br +) A K B⇒AP:y=r b (x+r),BQ:y=-r a (x-r),由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=)()(r x r b y r x r a y ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=b a ab y r b a b a x 2⇒C(b a b a +-r,b a ab +2)⇒点C 对应的极线为:(a-b)rx+2aby=(a+b)r 2,由三线:-rx+ay=r 2,BP:rx+by=r 2,(a-b)rx+2aby=(a+b)r 2共点于(ba ba +-r, ba r +22)⇒R,C,S 三点共线⇒点C 在线段RS 上. 该题是平面几何定理:“过非等腰三角形的三个顶点作其外接圆的切线,顶点处的切线与其对边所在直线的交点共线.”的变形,以该定理为始源,取其特殊情况,并把圆压缩为椭圆得:[原创问题]:若对任意θ∈[0,2π),直线l:xcos θ+2ysin θ-2=0与椭圆C:2222b y a x +=1(a>b>0)均只有一个交点M.(Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)当θ∈(0,2π)时,若直线l 与x 轴交于点N,椭圆C 的左、右顶点分别为A 、B,直线BM 上的点Q 满足QA ⊥x 轴,直线AM 与NQ 交于点P,求点P 的轨迹方程.[解析]:(Ⅰ)由⎩⎨⎧=-+=-+002sin 2cos 222222b a y a x b y x θθ⇒(a 2cos 2θ+4b 2sin 2θ)y 2-8b 2ysin θ+4b 2-a 2b 2cos 2θ=0⇒△=64b 4sin 2θ-4(a 2cos 2θ+4b 2sin 2θ)(4b 2-a 2b 2cos 2θ)=0⇒a 2-4+(4b 2-a 2)sin 2θ=0恒成立⇒a 2-4=0,4b 2-a 2=0⇒a 2=4,b 2=1⇒椭圆C:42x +y 2=1; (Ⅱ)由xcos θ+2ysin θ-2=0⇒N(θcos 2,0);(Ⅰ)知,M(2cos θ,sin θ)⇒直线AM:y=2cos 2sin +θθ(x+2),BM:y=2cos 2sin -θθ(x-2)⇒Q(-2,θθcos 1sin 2-)⇒直线NQ:y=-cot θ(x-θcos 2);令2cos 2sin +θθ(x+2)=-cot θ(x-θcos 2)⇒(2cos 2sin +θθ+θθcos sin )x=θsin 2-1cos sin +θθ⇒x=2⇒点P 的轨迹方程x=2(0<y<2).。