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氦原子的线形变分波函数
氦原子（He）被认为是万物灵魂，它构成了星辰之间空间的大部分，也构成了
大气层和地壳的重要物质。
氦原子本质上是一个由两个电子组成的原子，它是目前已知最简单和最稳定的原子之一。
由于氦原子有非常简单的结构（只有两个电子），因此它的线形变分波函数非常容易计算。
线形变分波函数是描述原子的电子结构的重要理论工具。
它可以提供有关原子
的具体信息，比如工作函数、态密度和非核心相关能。
此外，它还可以用来描述原子内电子之间相互作用的态度和力学行为。
计算氦原子的线形变分波函数是一项艰难而又有趣的任务，它主要基于Hartree—Fock方程。
首先，需要使用Schrödinger方程来描述每个电子的电子态，然后使用Hartree-Fock方程来计算电子与空间相关态的势能，最后，通过在能级
和电荷上的变分求解Schrödinger方程来计算线形变分波函数。
经过上述复杂的数学处理，已经可以得到氦原子的线形变分波函数。
结果表明，氦原子的任何一级以上的电子态均可以用线形变分波函数来描述。
此外，我们也发现，氦原子在不同能级之间的能量差别主要来自相互作用，而不是原子核。
另外，计算结果还表明，氦原子中极小能级之间的跃迁主要受电子—电子作用的影响，而不是受原子核的影响。
由此可见，通过计算氦原子的线形变分波函数，我们可以获得有关氦原子的大
量信息，诸如氦原子内部的各种能级及电子态以及电子—电子作用。
通过对不同能级的分析，它们还可以让我们深入研究原子的电子态或电子结构的动力学行为。
氦原子和类氦离子基态能量的变分计算及相对论修正一、概述氦原子和类氦离子是一类重要的原子系统，它们的基态能量计算对于理解原子结构和相互作用具有重要意义。
在过去的研究中，许多学者针对氦原子和类氦离子的基态能量进行了理论和实验研究。
而其中变分计算和相对论修正是影响基态能量计算准确性的重要因素。
二、变分计算方法变分法是解决量子力学问题的一种重要方法，其基本思想是通过对波函数进行适当的变分，使得能量泛函达到最小值，从而得到系统的基态能量。
对于氦原子和类氦离子的基态能量计算，变分法被广泛应用。
1. 非相对论变分计算对于氦原子和类氦离子的非相对论变分计算，常采用数值方法求解Schrödinger方程，如Hartree-Fock方法、密度泛函理论等。
这些方法能够较好地描述非相对论情况下的基态能量，但不能考虑相对论效应对基态能量的修正。
2. 相对论变分计算相对论变分计算考虑了相对论效应对基态能量的修正，常见的方法包括Dirac方程、Breit方程等。
相对论修正可以提高对于高速运动的电子、以及高精度的原子性质和反应的描述能力。
相对论修正后的基态能量可以更好地符合实验结果。
三、相对论修正相对论修正是在非相对论基础上进行修正，包括狭义相对论和广义相对论两种情况。
对于氦原子和类氦离子，相对论修正主要包括以下几个方面：1. 狭义相对论修正狭义相对论修正主要考虑了电子的高速运动对基态能量的影响，可以通过Dirac方程和Klein-Gordon方程进行计算。
狭义相对论修正对于高速运动的电子体系基态能量的修正作用较为显著。
2. 广义相对论修正广义相对论修正考虑了引力场对基态能量的影响，常用的方法有考虑引力场的Dirac方程等。
在重力场较为强烈的情况下，广义相对论修正对基态能量的修正作用很大。
四、计算结果与讨论针对氦原子和类氦离子的基态能量，进行了变分计算和相对论修正。
通过数值计算得到了氦原子和类氦离子的基态能量，并与实验结果进行了比较。
氦原子：两电子原子两电子体系：He 、H -、Li +等1、氦原子的一般结构 氦原子能级的一般结构特点?原子核的质量无穷大，并固定于空间-∇--∇-+⎡⎣⎢⎤⎦⎥= 2122012222022012121224244m Ze r m Ze r e r r r E r r ()()()(,)(,)πεπεπεψψ 电子1和电子2互换标号体系的能量不变→空间波函数满足对称性要求212221|),(||),(|r r r r ψψ= 空间对称与反对称波函数： ),(),(2112r r r r ±±±=ψψψS +=ψ和ψA -=ψ是对应于能量E 的不同状态⇒交换简并（波函数ψS 和ψA 的简并与交换粒子标号有关）全同粒子的不可区分性→波函数要满足一定的对称性→体系的物理可观测量与 如何标记粒子的方式无关体系的自旋波函数： χ(,)12 原子的总波函数：ψ(,)(,)(,)121212=±ψχ r rψ(,)12必须反对称！→ ψ+(,) r r 12 ⨯ 自旋反对称波函数ψ-(,) r r 12 ⨯ 自旋对称波函数如何构造满足对称性要求的自旋波函数？自旋向上： ↑ 自旋向下： ↓χ112(,)和χ412(,)： 对称的自旋波函数 χ212(,)和χ312(,)的线性组合： []χ±=↑↓±↓↑(,)1212 单重态：与空间对称波函数对应的量子态ψS r r =↑↓-↓↑+ψ(,)[] 1212三重态：与空间反对称波函数对应的态ψT r r =↑↑↑↓+↓↑↓↓⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪-ψ(,)[ 1212]氦原子有两套能级：仲氦和正氦泡利不相容原理耦合了电子的空间和自旋变量 为什么对相同的主量子数三重态能级低于单重态能级？要求总波函数反对称→电子空间和自旋坐标的耦合两电子就如同在一种隐含的力的作用下运动该力是吸引还是排斥与电子自旋的相对取向有关交换力：纯粹的量子力学效应忽略电子间相互作用，总能量为两个类氢离子能量之和：E E E Z n n n n n n 1212021222211,()=+=-+⎛⎝ ⎫⎭⎪ ψψψ()(,)()()01212111222r r r r n l m n l m =实验上已经证实微观粒子可分成两大类：自旋是整数的玻色子与自旋为半整数的费米子(1) 玻色子系统，总波函数必须对称费米子系统，总波函数必须反对称(2) 费米子(自旋半整数)电子、质子和中子等(自旋1/2)组成原子以及我们这个物质世界的基本单元 玻色子(自旋整数)光子自旋为1 传递电磁相互作用的媒介 (3) 玻色子与费米子的显著差别：费米子满足泡利不相容原理2、泡利不相容原理(Pauli exclusion principle)泡利(1925年)陈述 1：在多电子原子中，不能有两个和两个以上的电子同时处于相同的量子 态上。
氦原子基态能量实验及其运用变分法和微扰法两种方法比较【摘要】：对于由单电子粒子组成的两体问题，如氢原子或类氢离子，其基态能量本征值以及相应的波函数是可以通过薛定谔方程解析求解的，而且也很容易求解。
但对于多电子体系，即使是像氦原子和氢分子这样最简单的多电子体系，精确求解也是十分困难的。
因此，在量子力学中往往采用近似的方法来求解这类问题。
本文将以氦原子基态能量(实验测定值为-79eV)的求解为例，通过运用变分法和微扰法两种方法进行比较来解决多电子体系的基态能量求解问题。
【关键词】：氦原子 基态能量 变分法 微扰法 【引言】：在量子力学中，体系的能级和定态波函数可以通过求解定态薛定谔方程得到。
像一维无限深势阱、一维线性谐振子及氢原子等都能精确求解，但由于体系的哈密顿算符通常比较复杂，大多问题不能精确求解， 必须采用近似方法。
本文就氦原子基态能量分别用变分法和微扰法进行计算并加以比较。
【正文】：一、变分法的基本思想 设体系的定态薛定谔方程为ˆ,0,1,2n n nH E n ψψ==⋅⋅⋅ （1-1-1） 式中ˆH 的本征值012n E E E E <<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅，{}nψ是ˆH 的正交归一完备的本征函数系。
我们知道在任意态ψ中能量平均值0E E <，若随意选择一系列波函数计算E ,则最小的那个E 必最接近基态的能量0E ,而与之相应的那个波函数必最接近真正的基态波函数0ψ。
这就是变分法的基本思想。
由此得到求量子体系基态近似能量和近似波函数的方法。
二、利用变分法求氦原子基态的能级和波函数 1、氦原子的哈密顿算符氦原子由带电量为2e 的原子核和两个核外电子组成，由于核的质量比电子质量大得多，可以略去电子折合质量与电子质量的差异，氦原子的哈密顿算符为222222212121222ˆ22s s s e e e Hu r u r r =-∇--∇-+ （1-2-1） 式中u 为电子质量，1r 与2r 分别为两电子到核的距离，12r 是两电子间的距离。
氦原子基态能量实验及其运用变分法和微扰法两种方法比较【摘要】：对于由单电子粒子组成的两体问题，如氢原子或类氢离子，其基态能量本征值以及相应的波函数是可以通过薛定谔方程解析求解的，而且也很容易求解。
但对于多电子体系，即使是像氦原子和氢分子这样最简单的多电子体系，精确求解也是十分困难的。
因此，在量子力学中往往采用近似的方法来求解这类问题。
本文将以氦原子基态能量(实验测定值为-79eV)的求解为例，通过运用变分法和微扰法两种方法进行比较来解决多电子体系的基态能量求解问题。
【关键词】：氦原子 基态能量 变分法 微扰法 【引言】：在量子力学中，体系的能级和定态波函数可以通过求解定态薛定谔方程得到。
像一维无限深势阱、一维线性谐振子及氢原子等都能精确求解，但由于体系的哈密顿算符通常比较复杂，大多问题不能精确求解， 必须采用近似方法。
本文就氦原子基态能量分别用变分法和微扰法进行计算并加以比较。
【正文】：一、变分法的基本思想 设体系的定态薛定谔方程为ˆ,0,1,2n n nH E n ψψ==⋅⋅⋅ （1-1-1） 式中ˆH 的本征值012n E E E E <<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅，{}nψ是ˆH 的正交归一完备的本征函数系。
我们知道在任意态ψ中能量平均值0E E <，若随意选择一系列波函数计算E ,则最小的那个E 必最接近基态的能量0E ,而与之相应的那个波函数必最接近真正的基态波函数0ψ。
这就是变分法的基本思想。
由此得到求量子体系基态近似能量和近似波函数的方法。
二、利用变分法求氦原子基态的能级和波函数 1、氦原子的哈密顿算符氦原子由带电量为2e 的原子核和两个核外电子组成，由于核的质量比电子质量大得多，可以略去电子折合质量与电子质量的差异，氦原子的哈密顿算符为222222212121222ˆ22s s s e e e Hu r u r r =-∇--∇-+ （1-2-1） 式中u 为电子质量，1r 与2r 分别为两电子到核的距离，12r 是两电子间的距离。
