浅谈转化思想在中学数学解题中的应用

转化思想在中学数学解题中的应用

尚高飞

摘要

数学学习，不仅要熟练掌握基础知识，更要重视思想的学习．数学思想方法是数学的精髓，也是将理论知识转化为实践技能的桥梁.在众多数学思想方法中，转化思想是我们解决问题经常采用的一种方法，它也是数学中最基本最重要的思想方法之一.本文将就转化思想的概念、分类、研究价值以及应用转化思想解题时应该遵循的基本原则作简单的阐述，并通过对中学数学中常见的数学题型的研究，初步分析该思想在解中学代数问题与几何问题中的应用，以期引起同行的共识，注意在日常教学中加强对学生数学思想的“渗透”. 在解决数学问题时，根据问题的实际性与联系性，科学的设计解决问题的思路，采取得体的数学思想方法适时疏导，用恰当的语言对所学知识进行概括和总结，以知识讲方法，以方法取知识，提高学生学习数学的积极性.

关键词：中学数学；转化思想；数学问题

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Transforming thinking in mathematics problem

solving of middle school

Abstract ：Mathematics learning, not only to master the basic knowledge, but also to

pay attention to mathematical thinking learning. Mathematical way of thinking is the

essence of mathematics and it is theoretical knowledge into practical skills of the

bridge. Among the many mathematical way of thinking, the transformation of thought

is often used to solve the problem we have a method, it is also the most fundamental

・　３８　・　中学数学月刊　２０１０年第９期　

例谈转化思想在初中数学解题中的应用　

卢伟峰　（江苏省张家港市妙桥中学２１５６１５）　

在众多的数学思想方法中，转化思想是我们解　决问题时经常采用的一种方法，它也是一种最基本最　

重要的思想方法．转化思想又称转换或化归思想，是　

一种把待解决或解决的问题经过某种转化过程，归结　到一类已经能解决或比较容易解决的问题中去．可以　

说，在中学数学中转化思想无处不在无时不在．转化　的方法有很多，这里通过例题，谈几种常见转化．　

１　一般与特殊的转化　“从特殊到一般”和“从一般到特殊”是人们正　确认识客观世界的科学方法．在解题过程中使用从　

一般到特殊的思考，即考查具体问题的个性，把一般　原理和方法用到具体问题上去，从而发现行之有效　的特殊方法．　例１　若ａ＜ｂ＜０，则下列结论中正确的是　

（　）．　

（Ａ）ａ＋ｂ＜一＆＋ｂ＜ａ—ｂ＜一ａ—ｂ　（Ｂ）ａ＋ｂ＜ａ—ｂ＜一ａ＋ｂ＜～ａ—ｂ　（Ｃ）一ａ—ｂ＜ａ—ｂ＜～ａ＋ｂ＜ｎ＋ｂ　

（Ｄ）一ａ—ｂ＜ａ＋ｂ＜～ａ＋ｂ＜ａ—ｂ　分析　直接比较四个代数式的大小，由于太抽　象，所以困难较大，但因ａ和ｂ均在一定范围内取值，　

故不妨赋予ａ和ｂ均在一定范围内的特殊值．　

因口＜６＜０，不妨设ｎ一一３，６一一２，　

故ａ十ｂ一一５，一ａ＋ｂ＝１，＆～ｂ一一ｌ，一口一　

ｂ一５．　所以ａ＋ｂ＜ａ—ｂ＜一“＋ｂ＜一ａ—ｂ．选Ｂ．　

当　＞０时，ｇ（　）＜ｇ（０）一０，　所以，当～１＜　＜０时，厂（ｚ）＞０，即厂（ｚ）在　

（一１，Ｏ）上为增函数；　当ｚ＞０时，厂（　）＜０，－厂（ｚ）在（ｏ，＋ｏｏ）上为　

减函数．　故函数＿厂（ｚ）的单调递增区间为（一１，０），单调　

递减区间为（０，＋。。）．　故　一０时，－厂（ｚ）有极大值０．　点评　利用二次求导“挖”出零点，进而实现单　

调性的判断．　３　整合重组型　

此法常见于利用构造法证不等式的题型中，当直　接构造的函数难以求得零点时，我们可以整合重组函　

浅谈变换与转化的思想在数学解题中的应用

【摘要】 数学的变换与转换就是将待解决或未解决的问题，通过转化或再转化，归结为一个已经能解决的问题，或归结为一个比较容易解决的问题，或归结为一个已为人们所熟知的既定解决方法和程序的问题，最终求得原问题的解决的思想方法。

【关键词】 变换与转化 数学 解题 应用

【中图分类号】 g427 【文献标识码】 a 【文章编号】 1006-5962（2012）11（a）-0085-01

变换与转换形式多种多样，在中学数学中常见有：

1 未知向已知转化

已知条件常含有丰富的内容，发掘其隐含条件，使已知条件朝着明朗的方向转化，如综合法，就是对一个未知的新问题，通过联想，转化为已知的途径；或从结论入手进行转化，如分析法。

例1已知求证 b2≥4ac

解：等式可化为则二次方程有实根，∴b2≥4ac

注：由已知条件提供了一个等式，充分挖掘隐含条件，把它转化为方程，使问题转化为一个一元二次方程根的讨论问题。

2 一般与特殊的相互转化

例2 f（θ）= sin2θ+sin2（θ+α）+ sin2（θ+β），其中α、β适合0≤α≤β≤π的常数，试问α，β为何值时，f（θ）为与θ无关的定值。

解：设f（θ）= sin2θ+sin2（θ+α）+ sin2（θ+β）是与

θ无关的定值。

取θ =0，-α，-β，时依次得f（0）= sin2α+ sin2β① f（-α）= sin2α+ sin2（α-β）② f（-β）= sin2β+ sin2（α-β）③④，且有

由①②③sin2α= sin2β=sin2（α-β）⑤ 由①④sin2α+

sin2β=⑥

由⑤⑥sin2α= sin2β=sin2（α-β） =因0≤α≤β≤π

0≤α-β≤π则sin2α=sin2β=sin2（β-α）=

转化与化归思想在初中数学中的应用

摘要：数学思想是指在现实生活中对各类数学理论形成的本质认知，体现了数学学科中的总结性、广泛性和奠基性特点。研究数学中体现的思想和方法，有助于提高课堂教学的效率，发展和改善学生的认知结构。数学思想和方法包括转化与化归、数形结合、分类与讨论、函数与方程。数学问题的研究与求解过程，是一种从未知到已知的变化过程，即通过联想和类比来分析数学问题，选择合适的方式进行演化，最终确定比较合理且容易的解决方法。将转化与化归思想应用到初中数学教学活动中，有利于学生掌握数学知识以及解题技巧。基于此，本篇文章对转化与化归思想在初中数学中的应用进行研究，以供参考。

关键词：转化与化归思想；初中数学；应用分析

引言

数学基本思想对数学原理概念以及法则等都有着深刻的揭示，数学学习者必须要具备一定的数学思想意识，才能在解题的过程中运用正确的、科学合理的解答相关问题．因此，初中数学教师必须有意识地引导学生提高数学思想意识，并积极寻求培养方法的有效途径，将转化与化归思想运用到实际解题教学中，促使初中生提高数学综合能力。

一、转化思想的内涵

转化思想是一种基本的解题思想，也是一种效率很高的思维方式。在分析、探究、解决相关数学问题时，解题者使用科学的方法转化问题从而提高解题效率，这就是转化思想的内涵。转化思想包括将复杂问题转化为简单问题，将未知难题转化为熟悉的简单问题，将抽象数学问题转化为直观的数学问题，将求不等问题转化为求等价关系问题，等等。归根结底，转化思想是一种解题者从运动变化发展的角度，对问题之间的关联进行探究，从而实现对问题的变换、转化的数学思想。 二、化归思想的内涵

化归思想是转化和归结思想的简称，具体指学生在解决问题的过程中将所要解决的问题转化为另一个比较容易解决的问题进行综合性的处理，从而提高解决问题的效率和效果，促使学生对数学知识进行主动学习和实践。在数学教学改革中，探索化归思想的实践应用，实际上就是将新知识转化为旧知识、将未知转化为已知、将复杂问题转变为简单的问题、将分式方程转变为整式方程、将四边形转变为三角形等，通过多种转化思想的应用，能提高学生解决数学问题的效率和效果，可以使学生的数学综合学习能力得到针对性的训练。在应用化归思想解决数学问题的过程中，比较常见的数学方法主要有换元法、待定系数法、配方法等，借助化归思想的多元化应用，能提高数学教学的质量和效率。