转化思想在初中数学解题中的应用

转化思想在初中数学解题中的应用

作为一个初中数学学习者，在解题的过程中，有一个重要的能力就是转化思想。在解题过程中，能够使用转化思想，能够将复杂的问题转化为简单的问题，能够将问题的条件转化成解题的工具，具有很大的优势。下面我们就讨论一下在初中数学解题中如何应用转化思想。

一、利用等式化简

在代数运算中，我们时常要将一个式子化简为更简洁的形式以用于计算，而这种化简往往涉及到等式的运用。在初中数学中，解题时如果能够利用等式化简，将会事半功倍。

比如，下面这个问题：

“如果$2x+y=15$，$x-2y=1$，求$x^2+y^2$的值。”

我们可以利用等式将$x^2+y^2$的值转化成$(2x+y)^2+5(x-2y)^2$，而$(2x+y)^2+5(x-2y)^2=5x^2+29y^2-8xy=289$。

二、数形结合

数学中数形结合问题比较常见，利用图形中的角度、长度、面积等概念，可以将数学问题变得简单一些。例如，下面的问题：

“如图，在$\triangle ABC$中，$AD$是边$BC$的中线，$E$、$F$分别在边$AB$和$AC$上，使得$\angle CEF=\angle BCD$，$\angle BCE=\angle BCF$，若$\frac{AE}{EB}=\frac{1}{2}$，$\frac{AF}{FC}=\frac{2}{3}$，求$\frac{BD}{DC}$。”

我们可以利用数形结合的思想，设$\triangle AED$与$\triangle

BEC$的面积分别为$S_1$和$S_2$，则$\triangle ADF$和$\triangle CEF$的面积分别为$\frac{2}{3}S_1$和$\frac{1}{3}S_2$，且$\triangle ABD=\triangle AED+\triangle

ADF$，$\triangle BDC=\triangle BEC+\triangle CEF$，于是$\frac{BD}{DC}=\frac{\frac{1}{3}S_2}{\frac{2}{3}(S_1+S_2)}=\frac{1}{2}$。

关于数学中最重要的思想--转化思想

摘要 在中学数学教学中，转化思想既是一种解题方法，也是一种思维策略。转化就是把不常见的问题转化为常见的、熟悉的问题来考虑，通过转化，化一般为特殊，化非典型为典型，化复杂为简单，化未知为已知等。本文通过分析数学转化思想的重要性以及理论基础，对其常见的基本形式和培养方法进行了探讨。

关键词 中学数学教学 转化思想 理论依据 运用策略

所谓转化思想就是将未知解法或难以解决的问题，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择恰当的数学方法进行变换，转化为在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题的思想。布卢姆在《教育目标分类学》中指出：数学转化思想是“把问题元素从一种形式向另一种形式转化的能力”，它可以从语言描述向图形表示转化，或从语言表达向符号形式的转化，或是每一种情况反过的转化。这种数学转化包含了数学特有的数、式、形的相互转换，又包含了心理达标的转换。简而言之，数学转化思想就是通过数学内部的联系和矛盾运动，在转变中实现问题的规范化，将待解问题转化为规范问题从而使原问题得到解决的方法。

（一）数学转化思想的重要性

转化思想贯穿在数学解题的始终，在解题过程中，常常需要把抽象的概念直观化、隐蔽的条件明显化、复杂的关系简单化，善用转化思想往往能使我们更深刻地领会问题的实质，有助于理解各知识体系间的相互联系，也更有利于各知识体系间的融合。有意识地运用数学变换方法，将有利于提高数学解题的应变能力和技巧。一方面，通过转化能优化解题方法。有些数学问题通过转化，不只是获得了解决，更重要是获得了解法的优化。另一方面，通过转化能揭露问题的本质。有不少数学问题，在原来提出这一问题的领域内很难解决，甚至无法解决，如果把问题转化到另一领域中，就可以迎刃而解了。

（二）数学转化思想的理论基础

辩证唯物主义：辩证唯物主义认为任何事物内部均存在着矛盾，客观世界是充满矛盾的统一体，是具有普遍联系的，事物处于运动变化中而又在一定条件下互相转化，从而推动事物的发展。在解决数学问题时，要用运动、变化、联系、发展的观点来看问题，对一些基本原理、基本法则和典型问题的解法及结论要有深刻的认识，遇到难题时，要通过寻找该问题与基本问题的关系“化生为熟、化繁为简、化未知为已知、化抽象为具体”来解决问题。从本质上讲，解决数学问题的过程就是一个矛盾的转化过程。

专题18转化的数学思想在压轴题中的应用

【题型概述】

转化思想在数学压轴题中应用比较广泛，例如在几何压轴题中，多应用转化思想，具体表现为利用平移、旋转、翻

折、全等等图形变换或者等量变换将未知的问题转化为已知问题，将复杂的问题转化为简单的问题。

【真题精析】

例1.(2022·山东烟台·统考中考真题)

(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD=CE．

(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°．连接BD，CE．请直接写

出BDCE的值．

(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，且ABBC=ADDE=34．连接

BD，CE．

①求BDCE的值；

②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．

【思路分析】(1)证明△BAD≌△CAE，从而得出结论；

(2)证明△BAD∽△CAE，进而得出结果；

(3)①先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果；

②在①的基础上得出∠ACE=∠ABD，进而∠BFC=∠BAC，进一步得出结果．

【答案】(1)见解析

(2)22

(3)①35；②45

【详解】(1)证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE，

∴∠BAD=∠CAE，

∴△BAD≌△CAE(SAS)，

∴BD=CE；

(2)解：∵△

ABC和△ADE都是等腰直角三角形，

∴ABAE=ABAC=12，∠DAE=∠BAC=45°，

∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE，

∴∠BAD=∠CAE，

∴△BAD∽△CAE，

∴BDCE=ABAC=12=22；

(3)解：①ABAC=ADDE=34，∠ABC=∠ADE=90°，

∴△ABC∽△ADE，

∴∠BAC=∠DAE，ABAC=ADAE=35，

∴∠CAE=∠BAD，

初中数学中的转化思想

数学思想是数学的生命和灵魂，是数学内容的进一步的提炼和概括，是对数学内容的本质认识。数学思想是数学发现、发明的关键和动力，更是提高数学解题能力的根本所在。因此在教学中要注意向学生渗透这种数学思想，培养学生用数学思想方法解决问题的意识。

初中数学的主要思想是方程思想、转化思想、分类思想、函数思想、建模思想、数形结合思想等。本文重点是谈转化思想。那么什么是转化思想？所谓转化思想，通常是将未知问题转化为已知问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题，也常常在不同的数学问题之间互相转化，可以说在解决数学问题时转化思想几乎无处不在。

一、转化思想在实践教材中的体现

在数与式这一块处处体现着这种数学思想，如：有理数的减法就是利用“相反数”这一概念，转化为加法来去处，得到减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。这一转化使得加减法得到统一。有理数的除法就是利用“倒数”这一概念转化为乘法来去处，得到了除法法则：除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数。从而使得乘除法得到了统一。从代数式的角度看整式是基础，分工问题在许多情况下都是通过转化为整式问题去解决。如解分式方程就是通过去分母将分式方程转化为整式方程。在方程中，最基础的方程是一元一次议程，出现多元议程，通过加减消元或代入消元，逐步转化为一元方程，如果是二次或高次方程，通过配方或因式分解将高次转化为低次，最后转化为一元一次方程。这种转化实现了从复杂向简单的转化。在几何学习中转化思想也无处不在，任何一个新的定理的证明都要高潮转化为已学过和公理或定理去解决。如学习了“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”这个公理后，紧接着：若两条直线被第三条直线所截，若内错角相等，那么这两条直线平行吗？若平行，试说出理由。它的说理过程，就是由内错角相等，转化到同位角相等，通过同位角相等，来肯定这两条直线平行，如果学生不能理解和领会这种数学思想，就不知从何处入手。三角形是直线型的基础，许多图形的面积计算都是转化到三角形的面积计算，就连圆上的有关计算都是转化为直角三角形去解决。又如多边形的内角和的计算，其实质还是转化到三角形内角和，通过三角形内角和去解决。