五年级奥数-第2讲 自然数性质

第二讲定义新运算一、a、b是自然数，规定a※b=(a+b)÷2,求：3※（4※6）的值。

二、对于任意两个自然数a、b，定义一种新运算“*”：a*b=ab+a÷b，求75*5=？，12*4=？三、定义运算符“◎”：a◎b=3a+4b-5，求6◎9=？9◎6=？四、定义两种运算“○＋”和“○×”，对于任意两个整数a、b规定：a○＋b=a+b-1，a○×b=a×b-1，那么8○× [（6○＋10）○＋（5○×3）]等于多少？五、定义运算“○＋”=（a+b）÷3，那么（3○＋6）○＋12与3○＋（6○＋12）哪一个大？大的比小的大多少？六、a、b是自然数，规定a⊙b= ab-a-b-10，求8⊙8=？七、如果1*2=1+2，2*3=2+3+4，3*4=3+4+5+6，……，请按照此规则计算3*7=？八、规定运算a@b=（a+b）÷2，且3@（x@2）=2，求x=？九、十、规定a△b=ab+2a， a▽b=2b-a，求（8△3）▽（9△5）的值。

第二讲定义新运算作业十一、定义新运算“*”：a*b=3a+4b-2，求（1）10*11；（2）11*10。

十二、定义新运算“△”：a△b= a÷b×3，求（1）24△6；（2）36△9。

十三、规定a○＋b，表示自然数a到b的各个数之和，例如：3 ○＋10=3+4+5+6+7+8+9+10=52，求1○＋200的值。

十四、十五、定义新运算“○×”，a○×b=10a+20b，求（3○×7）+（4○×8）。

十六、定义新运算“△”：a△b=6a+3b+7，那么5△6和6△5哪个大？大的比小的大多少？十七、十八、规定a*b=（a+b）÷2，求[（1*9）*9]*3的值。

十九、规定a☆b=3a-2b，如果x☆（4☆1）=7，求x的值。

五级下册奥数题五年级下册奥数题⽬录第⼀讲图形的变换（图形的分割与拼接）............................ 3-5 第⼆讲因数与倍数（数的整除特征⼀）........................ 6-10第三讲因数与倍数（数的整除特征⼆）......................... 11-12第四讲因数与倍数（奇数与偶数）........................ 13-17第五讲因数与倍数（最⼩公倍数与最⼤公因数）..................... 18-20 第六讲因数与倍数（最⼩公倍数与最⼤公因数）..................... 21-26 第七讲长⽅体和正⽅体（巧算表⾯积）............................ 27-30 第⼋讲长⽅体和正⽅体（巧算体积）........... 31-35第九讲分数的意义和性质……36-40第⼗讲分数的加法和减法…… 41-44 第⼗⼀讲平均数问题…………… 45-49 第⼗⼆讲教学⼴⾓（追及问题）..........第⼗三讲数学⼴⾓（还原问题）…55-58 第⼗四讲容斥原50-54 理……………… 59-62 第⼗五讲抽屉原理和最不利…… 63-67第⼗六讲综合练习……… …… 68-98五年级下册奥数题第⼀讲图形的变换（图形的分割与拼接）1、把右图分成形状、⼤⼩都相同的四块，并且每个图形中要有⼀个“?2、把下图分成⼤⼩、形状相同的三块，使每⼀块都有⼀颗星，该怎么分割3、下图是由⼀个正⽅形和⼀个等腰直⾓三⾓形组成的，请把它分成⼤⼩、形状相同的四块（数的整除特征⼀）1、五位数73（）28能被9整除，（）⾥应该是⼏ 2、⼀梯形⾯积为1400平⽅⽶，⾼为50⽶，若两底的⽶数都是整数且可被 8 整除，求两底，此问题解的组数为多少3、A8919B 能被66整除，这个六位数是多少4、期末考试六年级⼀班数学平均分是 90分，总分是（）95（），这个班有多少名学⽣ 5、任意⼀个三位数连着写两回得到⼀个六位数，这个六位数⼀定能被⼄11, 13整除。

第二讲 数的整除知识点：﹤1﹥整除概念： 表示：﹤2﹥整除的性质：﹤3﹥整除的特征：（1）解法：○1 ○2 我要上名校示例﹤1﹥有一个四位数b a 62，它能同时被2、3、5整除，这样的四位数有多少个？练一练：有一个四位数Ο2Ο2，它能同时被2、3、5整除，这样的四位数有多少个？示例﹤2﹥有一个六位数b a 4273,它能被72整除，则a 、b 分别为多少？练一练：若四位数b a 89能被15整除，则a 、b 分别为多少？示例﹤3﹥有一个十位数59911995xy 能被99整除，则χ、y 分别为多少？练一练：有一个六位数Ο2004Ο，能被99整除，则○中分别填多少？示例﹤4﹥六位数ΟΟ1992能被95整除，这个六位数是多少？练一练 能被4、5、6整除的最大的三位数是多少？示例﹤5﹥1~200中，有多少个数能被2或5整除？练一练：1~300中，有多少个数不能被3或5整除？示例﹤6﹥一个整数乘17，积的末三位是999，这个数最小是多少？练一练：一个整数乘19，积的末三位是321，这样的整数中最小是多少？示例﹤7﹥五年级有72名学生，乘车春游，共交车费Ο7.52Ο元（○为污损数字，看不清）平均每个学生交了多少元钱？练一练：一本老账本上记着：老王买了72只桶，共用去Ο9.67Ο元，其中○处是被虫蛀掉的数字，请把这笔账补上。

示例﹤8﹥ 一个两位数能被2整除，且两个数位上的数字之和是8，这样的两位数有多少个？练一练：能被11整除，并且各个数位上数字之和等于43的五位数一共有多少个？示例﹤9﹥在28的前面连续写上若干个1993，得到一个多位数 1993199319931993若干个28如果这个多位数能被11整除，那么它最少是多少位？练一练：如果 2005200520052005个n 01能被11整除，那么n 的最小值是多少？示例﹤10﹥ 商店里有六箱货物，分别重15、16、18、19、20、31千克，两个顾客买走其中的五箱，已知一个顾客买的货物是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物有多重？练一练：五年级同学分成四个小组集邮，第一组集了127张，第二组集了149张，第三组集了238张，第四小组只集了95张。

小学五年级上册数学奥数知识点讲解第2课《质数、合数和分解质因数》试题附答案一.基本慨念和知识L质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。

一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。

要特别记住：1不是质数，也不是合数。

2.质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

例：把30分解质因数。

解:30=2X3X5。

其中2、3、5叫做30的质因数。

又如12=2X2X3=22X3,2、3都叫做12的质因数。

二.例题例1三个连续自然数的乘积是210,求这三个数.例2两个质数的和是40,求这两个质数的乘积的最大值是多少?例3自然数123456789是质数，还是合数？为什么?例4连续九个自然数中至多有几个质数？为什么?例5把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。

例6有三个自然数，最大的比最小的大6,另一个是它们的平均数，且三数的乘积是42560.求这三个自然数。

例7有3个自然数a、b、&己知aXb=6,bX c=15,例8一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数.求a的最小值与这个平方数。

例9问36洪有多少个约数？例10求240的约数的个数。

答案二，例题例1三个连续自然数的乘积是210,求这三个数.7210=2X3X5X7・•・可知这三个数是5、6和7。

例2两个质数的和是40,求这两个质数的乘积的最大值是多少？解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式：40=17+23=11+29=3+37。

V17X23=391>11X29=319>3X37=111O，所求的最大值是391。

答：这两个质数的最大乘积是391。

例3自然数123456789是质数，还是合数？为什么？解：123456789是合数。

因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3,所以它是一个合数。

小学校奥林匹克数学课本_小学生5年级_奥数华罗庚学校数学课本（五年级修订版）华罗庚学校数学课本（五年级修订版）上册上册第一讲数的整除问题第一讲数的整除问题数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。

它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。

一、基本概念和知识1.整除――约数和倍数例如：15÷3=5，63÷7=9一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b （b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。

记作b｜a.否则，称为a 不能被b整除，（或b不能整除a），记作ba。

如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。

例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。

2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。

即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。

例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10―6）。

性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。

性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。

即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。

例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。

性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。

例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。

3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。

②能被5整除的数的特征：个位是0或5。

学科培优数学“约数、倍数、完全平方数”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲中的知识点并不难理解,对于约数、最大公约数；倍数、最小公倍数的定义我们在学校的课本上都已经学习过,所以重点在于一些性质的应用,完全平方数在考试中经常出现,所以对于平方差公式还有一些主要性质一定要记住.知识梳理一、最大公约数与最小公倍数的常用性质(1)两个自然数分别除以它们的最大公约数,所得的商互质。

即若(,),(,),=⨯=⨯那么(,)1a b=A a a bB b a b(2)两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。

即(,)[,]⨯=⨯a b a b a b(3)对于任意3个连续的自然数,如果三个连续数的奇偶性为a)奇偶奇,那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数b)偶奇偶,那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍二、约数个数与所有约数的和(1)求任一整数约数的个数：一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。

(2)求任一整数的所有约数的和：一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后,将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和,然后再将这些得到的和相乘,乘积便是这个合数的所有约数的和。

三、完全平方数常用性质1.主要性质●完全平方数的尾数只能是0,1,4,5,6,9。

不可能是2,3,7,8。

●在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

●完全平方数的约数个数是奇数,约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。

●若质数p整除完全平方数2a,则p能被a整除。

2.一些推论●任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。

●一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。

●自然数的平方末两位只有：00,01,21,41,61,81,04,24,44,64,84,25,09,29,49,69,89,16,36,56,76,96。

五年级第二讲奇数和偶数我与知识手拉手★知识提要★自然数按能否被2整除，可分为奇数和偶数两大类，它是自然数的一种分类方法。

灵活地应用奇数、偶数的特征、特质，可以巧妙地解决许多实际生活中的问题。

★知识点★例1在内蒙古大草原上，流传过这样一道数学：三十六只羊，七天来宰光，宰单不宰双，每天各宰几只羊？你能帮着找出答案吗？例2 1＋2＋3＋4＋…＋3001的和是奇数还是偶数？例3一个班的同学上阅读课时，每人手中都拿着一本书，如果其中拿连环画的比拿故事书的人多3人，而拿故事书的人又比拿科技书的人多1人，如果拿科技书的人是奇数，那么这个班的同学人数是奇数还是偶数？例4桌上有7只茶杯，全部是杯底朝上，你每次翻转4只茶杯，称为一次翻动，经过多少次翻动，能使这7只茶杯的杯口全部朝上？例5、130人排成一列，自1起往下报数，报奇数的人出列，留下的再重新报数，这样继续下去则在报了多少次后只留下一个人，他在第一次报数时报的数是多少？1、三个连续偶数的和，比其中最大的偶数大18，这三个连续偶数分别是多少？2、九个连续的偶数，最大的数是最小数的3倍，求这九个连续的偶数分别是多少？3、有七个连续的奇数，从小到大排列，第二个数与第六个数的和是38，求这七个连续的奇数。

4、101个连续的自然数相加，其和是奇数还是偶数。

5、某校毕业班的同学在离校前，相互之间交换照片，以做留念。

“无论人数是多少，那么用来交换的照片总数一定是偶数。

”这句话对吗？为什么？★★★★ 四星擂台1、有11名同学面向黑板站成一排，听到口令后只能有4个向后转，问经过若干次口令后能否使这11位同学都背向黑板？2、一个数分别与另外两个相邻的两个奇数相乘，所得的两个积的差为160，这个数是多少？3、一次数学竞赛共有20道题，规定答对一题得2分，答错扣1分，未答的题不得分也不扣分，小明得了23分。

已知他未答的题目是偶数，他答错了几道题？4、现在桌子上放了8只杯子，杯子的口都朝下，每次只许同时翻动7只杯子，那么最少要翻动多少次才能使所有杯子的杯口都向上？你是好样的。

中环小机灵初赛冲刺讲义第二讲数论（一）第一部分：知识点概述1.本讲涉及整除、质数与合数两部分内容。

整除是五年级数论部分考查重点；质数与合数考查不多，但短除法、分解质因数是解决几乎所有数论问题的基本功，因而也应加以重视。

2.熟练掌握并应用2n、5n、3、9、33、99、7、11、13等数的整除特性，会利用位值原理加以证明。

事实上很多较难的数论问题的解答均离不开位值原理的应用。

3.一部分整除特性只适用于判定，另一部分既适用于判定也适用于构造，在解题时应注意选择的顺序。

如求解被45整除的问题，一般先考虑被5整除，因为只有末尾0或5两种情况，若先考虑被9整除，则一般而言很难进行下去。

4.2是唯一的偶质数，这一点往往是解答很多问题的突破口，同时，忽视这一点有时可能造成漏解。

5.计算乘积末尾零的个数的问题分为两类。

一类是离散型，解决这类问题时先分别统计因子2和5的个数，较少的那个个数即为末尾零的个数。

一类是连续型，不断地（以商）除以5，将得到的一系列商相加，即为末尾零的个数（注意：必须从1开始）。

6.分解质因数时不考虑“1”，但若将一个数写成若干个数的乘积时，根据需要可以乘任意个“1”。

7.完成前19个例题的教学是必要的，最后两道例题供选用。

第二部分：例题精讲1. 下面有9个自然数：14,35,84,152,650,434,4375,9064,24125。

在这些自然数中，请问：（1）有哪些能被2整除？哪些能被4整除？哪些能被8整除？（2）有哪些能被5整除？哪些能被25整除？哪些能被125整除？1.14，84，152，650，434，9064；84，152，9064；152，9064；35，650，4375，24125；650，4375，24125；4375，241252. 有如下9个三位数：452,387,228,975,525,882,715,775,837。

这些数中哪些能被3整除？哪些能被9整除？哪些能同时被2和3整除？387，228，975，525，882，837；387，882，837；228，8823. 一个三位数64a的十位数字未知。

↑↑↑↑↑优才家教 优等生同步奥数提高 五年级（下）↑↑↑↑↑第一讲 整数问题 第1课 数的整除一、知识要点1. 整除——因数、倍数2. 相关基础知识点回顾（1）0是任何整数的倍数. (2）1是任何整数的因数。

3. 数整除的性质例如:如果2｜10，2｜6，那么2|（10＋6),并且2|（10-6）.必要条件：（1）a 、b 、c 三个数是整数 （2)b ≠0 (3）a ÷b=c结论：整数a 能被整数b 整除，或b 能整除a,则a 叫做b 的倍数,b 叫做a 的因数。

记作:b|a例如：如果6｜36，9｜36，那么[6，9]|36.例如：如果2｜72,9|72，且（2，7）=1，那么18｜72.例：如果7|14，14｜28，那么7|28。

4.数的整除特征(1)能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数（即个位数是2、4、6、8、0）,那么它必能被2整除。

（2）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除。

(3）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3（或9)整除，那么它必能被3（或9）整除.（4）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4(或25)整除,那么它必能被4(或25）整除.例:1864能否被4整除？解：1864=1800+64，因为4｜64，4是1864的因数，1864是4的倍数，所以4｜1864。

(5）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除,那么它必能被8（或125）整除。

例：29375能否被125整除?解:29375=29000+375,因为125｜375，125是375的因数，375是125的倍数，所以125｜29375。

（6）能被11整除的数的特征:如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除,那么它必能被11整除。

（奇数位指：这个数的个位、百位、万位……;偶数位指：这个数的十位、千位、十万位……）例：判断13574是否是11的倍数？解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3)＝0。