五年级奥数第2讲 整除问题进阶

第二讲整除问题进阶例题1. 答案：120087详解：能被9和11整除可以看作是能被99整除，可以两位截断求数段和，那么有□2 0 O是99的倍数，只能是99 •两个空中先后要填1和7.例题2. 答案：123483789详解：设这个九位数为1234ab789，两位截断求和1 23 b7 89 160 ba是99 的倍数，只能是198 .所以a=8, b=3.例题3.答案：6详解：利用7的整除特性，口89 59 □30能被7整除，只能填6.例题4.答案：5详解：555555、999999能被13整除，前面依次去掉555555，后面一次去掉999999后仍然是13的倍数.所以只需要满足13|兀帀就可以了.空格中要填5.例题5. 答案：768768详解：形如abcabc一定能被7整除，可以考虑由两个相同的三位数来组成这个六位数，三位数由6、7、8组成.又可知这个六位数一定能被3整除，所以只要保证后三位能被8整除就可以了.答案不唯一.例题6. 答案：20999详解：利用数字谜，从后往前逐位确定.313913 232323239 f39 f 739626269 999 99999999练习1. 答案：6237简答：两位截断后的和是99 .练习2. 答案：12327678简答：两位截断后的和是198.练习3.答案：5712 或5782简答：利用7的整除特性，右2与5的差是7的倍数，空格中可以填1或8.练习4. 答案：0简答：前面依次去掉111111,后面依次去掉333333，最后剩下匚•它是13的倍数, 那么空格中只能填0.作业1.答案：7 的倍数有7315, 58674, 360360; 13 的倍数有325702, 360360简答：牢记7和13的判断方法.作业2.答案：6336简答：这个四位数是99的倍数，两位截断后求和即可.作业3. 答案：2758简答：应用三位截断法，可知和6能被7整除，框中填5满足条件.作业4.答案：9简答：应用三位截断，可知8C 能被7和13整除，即8C 是91的倍数，框中填9 满足条件.作业5.答案：3简答：应用三位截断，可知口3能被7整除，框中填3满足条件.第二讲整除问题进阶厂我只能填在中同、怎样才能保证是11的倍数呢7 /"我翌填在白位和、个位上+怎么填才好呢?墨莫和小高在黑板前玩一个填三位数的游戏.如果填岀的三位数是H的倍数，那么小高就ST, 如果不是11的倍数则墨莫嬴.观察小高和墨英的话，逆冇必胜的策略上次课我们学习了一些比较常用的整除判断方法，如利用末位数字判断、利用数字和判断等•现在我们再来学习一些新的判断方法.一、截断作和六位数L_l2003LJ能冋时被9和11整除.这个六位数是多少？皿U 能被99整除的数的特征:从个位开始每两位一截,得到的所有两位数（最前面的可以是一位【分析】能同时被9和11整除，说明这个六位数能被99整除.想一想，99的整除特性是什么？四位数23 能同时被9和11整除，这个四位数是多少?【分析】这个九位数是99的倍数，说明两位截断以后，各段之和是99的倍数.这个99的倍数可能是多少呢？已知八位数123口口678能被99整除，这个八位数是多少?、截断作差阿呆写了一个两位数59,阿瓜写了一个两位数89,他们让小咼写一个一位数放在59与89之间辩需一金右佶豹kal I PQ估徂仪金右佶貓■台次朮7敕阵洁白•小直官的貓■具虫/卜：【分析】根据能被7整除的数的特征：末三位组成的数与末三位以前的数组成的数之差能被7整除，我们可以由此将问题简化.四位数5^[2能被7整除，那么这个四位数可能是多少?接下来我们处理一些较复杂的问题.25个5 25个9变得简短一些.因为 1001是13的倍数，而555555、999999分别是555、999与1001的乘 积，说明它们都是13的倍数.那我们是不是可以去掉这个 51位数上的一些5和9,并仍然 保证它能被13整除？已知多位数[1L 1 {33L 3能被13整除，那么中间方格内的数字是多少?2010 个 12010 个 3【分析】能被6, 7, 8整除的数有什么特点呢？最难把握的在于这个六位数能被 7整除, 我们应该怎样安排数字才能使得它的前三位与后三位的差能被 7整除呢？题目只要求我们 写出一个满足要求的六位数，所以只需要找出一种特殊情况即可.【分析】在本题中，55L 35^992L39能被13整除.这个数的位数太多，我们可以想办法使它用数字6, 7, 8各两个，要组成能同时被6, 7, 8整除的六位数.请写出一个满足要求的六位数.【分析】我们没有学过能被23整除的数的特征，而且23也不能拆分成两个特殊数的乘积，因此不可能根据整除特征来考虑•我们尝试从整除的定义来入手，这个五位数能被23整除，就是说它能写成23与另一个数的乘积•接下来，大家想到该怎么办了吗？枚举法和尝试法在解决数论问题时经常使用.当看到一个问题很难下手时，不妨先从简单情形出发试一试，也许能找出规律和思路.胡适（学者，诗人，1946〜1948年任北京大学校长），在他的作品《尝试集》的序言中写到：“尝试成功自古无，放翁这话未必是.我今为下一转语，自古成功在尝试”这首诗中第一句为陆游所说，但他所说的尝试只是简单的浅尝辄止，当然不能成功.而最后一句则是胡适对第一句的改编：如果尝试是大胆的，深入的，那么一定能够成功.我们在解决某些数学问题时，需要的正是胡适所说的这种尝试.作业i1. 在7315, 58674, 325702 , 96723 , 360360中，7的倍数有哪些？13的倍数有哪些?2. 四位数33 能同时被9和11整除，这个四位数是多少?3. 四位数2^8能被7整除，那么这个四位数是多少?4. 已知多位数81口154258切2l§8 （2012个258）能同时被7和13整除，方格内的数字是2012 个258多少？5. 已知多位数［1L 1 03L 3能被7整除，那么中间方格内的数字是多少?2011 个1 2011 个3。

整除(一):拆除数关键词与关键策略:一、整除的含义：如果一个整数a除以一个非零整数b的商是整数，且没有余数(或余数为零)，我们就叫做b能整除a, a能被b整除；a是b的倍数，b是a 的约数。

记作: b∣a1、0是任何非零整数的倍数，但不是任何整数的约数；1是任何数的约数。

2、0是最小的自然数，但不是最小的一位数；最小的一位数是1。

二、整除的性质：如果一个数能被两个互质数中的每一个整除，那么这个数也能被这两个数的乘积整除；反过来，一个数能被两个互质数的乘积整除，那么这个数也能分别被这两个互质数整除。

三、特殊数整除的特征:1、尾数判断法：(1)能被2（或5）整除的数的特征:个位数字能被2、5整除。

看个位 2 (2:个位为偶数； 5:个位为0或5)（2）能被4（或25）整除的数的特征: 末两位数字能被4、25整除。

看末两位425= 100 25: 未两位为00、25、50、75)例：1864=1800+64,1800是4与25的倍数，64能被4整除，但是不能被25整除。

（3）能被8（或125）整除的数的特征: 末三位数字能被8、125整除。

看末三位8125 = 10002、数字求和法：能被3或9整除的数的特征: 各个数位数之和是3或9的倍数(弃三法或弃九法)。

例1：判断下面数的整除性：23487,3568,8875,6765,5880,7538,198954,6512,93625,864,407（1）这些数中，有哪些数能被4整除，哪些数能被8整除？（2）哪些数能被25整除，哪些数能被125整除？（3）哪些数能被3整除？（4）哪些数能被9整除？练习：（1）判断33333333468675能不能被125整除？（2）1234567891011121314能不能被3和9整除？例2、有一个四位数是45ab, 同时能被2、3、4、5、9整除，求出这个四位数。

练习：（1）四位数841口能被2和3整除，口中应填。

(2)同时能被3、4、5整除的最小四位数是。

第2讲：数的整除内容概述：掌握整除的概念和基本性质，掌握能被某些特殊数整除的数的特征。

通过分析整除特征解决数的补填问题，以及多位数的构成问题等。

典型问题：兴趣篇1.下面有9个自然数：14,35，80,152，650,434,4375，9064，24125。

在这些自然数中，请问：（1）有哪些数能被2整除？哪些能被4整除？哪些能被8整除？（2）有哪些数能被5整除？哪些能被25整除？哪些能被125整除？2.有如下9个三位数：452，387，228，975，525，882，715，775，837。

这些数中哪些能被3整除？哪些能被9整除？哪些能同时被2和3整除？3.一个三位数64的十位数字未知。

请分别根据下列要求找出“”中合适的取值：（1）如果要求这个三位数能被3整除，“”可能等于多少？（2）如果要求这个三位数能被4整除，“”可能等于多少？（3）这个三位数有没有可能同时被3和4整除，如果有可能，“”可能等于多少？4.新学年开学了，同学们要改穿新的校服。

雯雯收了9位同学的校服费（每人交的钱一样多）交给老师。

老师给了雯雯一张纸条，上面写着“交来校服费238元”其中有一滴墨水，把方格处的数字污染得看不清了。

牛牛看了看，很快就算出了方格处的数字。

聪明的读者们，你们能算出这个数字是多少吗？5.四位数29能同时被3和5整除，求出所有满足要求的四位数。

6.四位偶数64能被11整除，求出所有满足要求的四位数。

7.多位数323232321n 个能被11整除，满足条件的n 最小是多少？8.一天，王经理去电信营业厅为公司安装一部电话。

服务人员告诉他，目前只有形如“123468”的号码可以申请。

也就是说，在申请号码时，方框内的两个数字可以随意选择，而其余数字不得改动。

王经理打算申请一个能同时被8和11整除的号码。

请问：他申请的号码可能是多少？9.一个各位数字互不相同的四位数能被9整除，把它的个位数字去掉后剩下一个三位数，这个三位数能被4整除。

五秋第2讲 整除问题（二）一、教学目标倍数特征：11的倍数特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数，这个数就是11的倍数。

7、11、13的倍数特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差(大数减小数)是7(或11或13)的倍数，那么这个数就是7、11、13的倍数。

整除性质：1、如果b 、c 都能整除a ，且b 和c 互质，那么b 、c 的积能整除a 。

2、如果c 能整除b ，b 能整除a ，那么c 能整除a 。

二、例题精选【例1】 判断下面11个数中，能被11整除的有几个？23487，3568，8875，6765，5880，7538，198954，6512，93625，864，407。

【巩固1】判断3546725能否被13整除？（用倍数特征）【例2】 已知整数a a a a a 54321能被11整除，求所有能满足这个条件的a 是多少？【巩固2】六位数456a 12能被7整除，求a 的值。

【例3】 某个七位数1993□□□能被2，3，4，5，6，7，8，9都整除，那么它的最后三个数字组成的三位数是多少？【巩固3】在245□□的方框处填上适当的数字，使其能同时被2、3、5、7整除，共有几种填法？【例4】 如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是多少？【巩固4】若六位数2010□□恰好是99的倍数，则这个六位数是几？【例5】 在所有五位数中，各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些？【巩固5】由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？【例6】 如果200520052005200501n L 144424443个能被11整除，那么n 的最小值是几？四、回家作业【作业1】下面有9个自然数：23487，3568，8875，6765，5880，7538，198954，6512，93625，哪些能被11整除？【作业2】在□里填上适当的数字，使得七位数2018□□能分别被2，3，4，5整除，并判断该数能不能被11整除。

2019年小学五年级奥数题数的整除问题做奥数题有助于我们能力的提升，不仅在数学方面，其他方面也是很有帮助的，主要是让我们多动脑思考。

下面是查字典数学网为大家分享的五年级奥数题数的整除问题，希望对大家有帮助！奥数题数的整除问题从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行，从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的留下，其余同学出列;留下的同学第三次从左向右1至11报数，报到11的同学留下，其余同学出列，那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是()号。

分析：第一次报数留下的同学，最初编号都是11的倍数;这些留下的继续报数，那么再留下的学生最初编号就是11×11=121的倍数，依次类推即可得出最后留下的学生的最初编号.解：第一次报数后留下的同学最初编号都是11倍数;第二次报数后留下的同学最初编号都是121的倍数;第三次报数后留下的同学最初编号都是1331的倍数;所以最后留下的只有一位同学，他的最初编号是1331;其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,“死记”之后会“活用”。

不记住那些基础知识,怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。

这样,就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。

日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。

答：从左边数第一个人的最初编号是1331号.家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。

我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。

我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。

小学五年级奥数题：整除问题
整除问题是五年级奥数的一个重点知识，同学们对于这个知识点的练习掌握的如何呢?一起来看下吧!希望对大家有所帮助!
一
判断123456789这九位数能否被11整除?
解：这个数奇数位上的数字之和是9+7+5+3+1=25，偶数位上的数字之和是8+6+4+2=20.因为25—20=5，又因为115，所以11123456789。

二
判断13574是否是11的倍数?
解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：(4+5+1)-(7+3)=0.因为0是任何整数的倍数，所以11|0.因此13574是11的倍数。

⑦能被7(11或13)整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差(以大减小)能被7(11或13)整除。

三
判断3546725能否被13整除?
解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数，因为821—2=819，又13|819，所以13|2821，进而13|3546725.。

五年级上册1整除问题初步如果整数 a 除以整数 b （ b 0 ），除得的商是整数且没有余数，我们就说a 能被b 整除，也可以说 b 能整除 a ，记作b | a ．如果除得的结果有余数，我们就说 a 不能被 b 整除，也可以说 b 不能整除 a ．能被 3、9 整除的数的特征：各位数字之和能被 3 或 9 整除．第二讲整除初步从这一讲开始，我们将会进入一个神奇而美妙的世界：数论． 什么是数论呢？人类从学会数数开始，就一直和整数打交道．人们在对整数的应用和研究中，探索出很多奇妙的数学规律，正是这些富有魅力的规律，吸引了古往今来的许多数学家，于是就出现了数论这门学科．我们就从最基本的性质——整除开始，一起在数论的海洋中遨游吧确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科．数论在数学中的地位是独特的，伟大的数学家高斯曾经说过：“数学是科学的皇后，数论是数学的皇冠。

一、整除的定义二、整除的一些基本性质1. 尾数判断法（1）（2）（3）2. 数字求和法3. 奇偶位求差法我们把一个数从右往左数的第 1 位、第 3 位、第 5 位，⋯⋯统称为奇数位，把一个数从右往左数的第 2 位、第 4 位、第 6 位，⋯⋯统称为偶数位．我们把“奇数位上的数字之和”简称为“奇位和”，把“偶数位上的数字之和”简称为“偶位和”．下面我们来看一下如何运用这些性质． 能被 11 整除的数的特征：“奇位和”与“偶位和”的差能被 11 整除．能被 8、125 整除的数的特征：末三位能被 8 或 125 整除． 能被 4、25 整除的数的特征：末两位能被 4 或 25 整除． 能被 2、5 整除的数的特征：个位数字能被 2 或 5 整除．五年级上册例题1：:判断下面11 个数的整除性：23487，3568，8875，6765，5880，7538，198954，6512，93625，864，407（1）这些数中，有哪些数能被4 整除？哪些数能被8 整除？（2）哪些数能被25 整除？哪些数能被125 整除？（3）哪些数能被 3 整除？哪些数能被9 整除？（4）哪些数能被11 整除？分析关于4、8、25、125 以及3、9、11 的整除特征刚才都已经介绍过了，大家不妨根据整除特性判断一下．随堂练习1. 在3124、312、3823、45235、5289、5588、661、7314 中哪些数能被 4 整除？哪些数能被3 整除？哪些数能被11 整除？如果将例题1 中能被 3 整除的数相加或相减，会发现得到的结果还能被 3 整除；同样的，如果其中能被11 整除的数相加或相减，会发现得到的结果同样能被11 整除．从中我们可以总结出如下规律：和整除性与差整除性：两个数如果都能被自然数a 整除，那它们的和与差也都能被a 整除．例题2： 173□是一个四位数．数学老师说：“我在其中的方框内先后填入3 个数字，得到的3 个四位数依次能被9、11、8 整除．”问：数学老师先后填入的3 个数字之和是多少？分析本题包括三个小问题，我们逐个分析：第一个数字使得173□能被9 整除，由9 的整除特征，我们只要考虑数字和即可；第二个数字使得173□能被11 整除，由11 的整除特征，需要考虑奇位和与偶位和之差；第三个数字使得173□能被8 整除，由8 的整除特征，需要考虑它的末三位73□．随堂练习2：在23□的方框内先后填入3 个数字，分别组成3 个三位数，使它们依次能被3、4、5 整除．上面我们已经学习了如何利用“整除特征”解决单个数的整除问题．下面我们再来看一看涉及多个数的整除问题应该如何解决．整除问题初步例题3：刘经理给45 名员工发完工资后，将总钱数记在一张纸上．不知为何，记帐的这张纸破了两个洞，上面只剩下“67□8□”，其中方框是破的两个洞．刘经理记得每名员工的工资都一样，并且都是整数元，那么这45 名员工的总工资可能是多少元呢？分析这45 名员工的工资都一样，所以总工资能被45 整除．即67□8□能被45整除．我们没有学过被45 整除的数的特征．但注意到45 5 9 ，于是67□8□应该能同时被5 和9 整除，那么先考虑哪一个数的整除特征比较好呢？随堂练习3：七位数22□333□能被44 整除，那么这个七位数是多少？在例 3 中，我们并不知道45 的整除特征，但是45 5 9 ，能被45 整除的数，也能被 5 和9 整除，那么只需考虑5 和9 的整除特征即可．请同学们注意，虽然45 3 15 ，但是在考虑能否被45 整除时，不能考虑被3 和15整除．你能想明白为什么吗？小幽默——天才未必事事都聪明牛顿小时候的一个故事告诉我们，天才有时也傻乎乎的．一次，粮仓里闹鼠灾了，大人让牛顿在粮仓的门底开一个洞让猫进出．结果他开了两个洞——大的给老猫，小的给小猫．在整除性的问题当中也有类似情况．比如要在200□□的方框中填入两个数字使得这个五位数同时能被 4、5、8 整除，实际根本不用考虑 4，只要考虑 5 和 8 即可，因为能被 8整除的数也必然能被 4 整除．如果你还要再考虑 4 的整除性，那就多此一举了还有一些数的整除特征具有特殊规律．2.三位截断法能被7、11、13 整除的数的特征：“末三位数字组成的数”与“末三位以前的数字组成的数”之差能被7 或11 或13 整除．例如：29071 的末三位是 071，前面是 29．它们的差为71 29 42 ，42 能被 7 整除，所以29071 能被7 整除．而42 不能被13 整除，所以29071 不能被13 整除．例题4：卡莉娅写了一个两位数59，墨莫写了一个两位数89，他们让小高写一个一位数放在59 与89 之间拼成一个五位数59□89 ，使得这个五位数能被7 整除，那么小高写的数应该是几？分析根据能被7 整除的数的特征：末三位组成的数与末三位以前的数组成的数之差能被7 整除，我们可以由此将问题简化．五年级上册随堂练习4：五位数73□29 能被13 整除，那么这个五位数除以13 等于多少？例题5：小高写了一个五位数，用方格盖住了两个数字后变成：3□6□5 ，并告诉墨莫说这个五位数既是7 的倍数，又是125 的倍数．那么小高写的五位数可能是多少？分析能被7 整除的数的特征是末三位与末三位以前的数之差也能被7 整除，随堂练习5：如果六位数73□37□既是13 的倍数，又是125 的倍数，那么这个六位数可能是多少？思考题：如果九位数1234□□789 能被99 整除，那么这样的九位数有多少个？本课知识点总结：一、尾数判定法：适用于2、5；4、25；8、125；⋯二、数字和判定法：适用于3、9、99 等．三、奇偶位求差法：适用于11 等．四、三位截断法：适用于7、11、13．课后作业1.（1）四位数7 A2 A 能被5 整除，那么A 可以代表哪个数字？（2）六位数12F 45G 能被8 整除，那么这个六位数最小是多少？2.（1）四位数7BB1 能被9 整除，那么 B代表哪个数字？（2）五位数2D656 能被7 整除，那么 D代表哪个数字？整除问题初步3、萱萱买了14 支铅笔、4 支圆珠笔和7 块橡皮．已知圆珠笔每支售价2 元8 角，橡皮每块售价6 角，售货员让萱萱一共付款12 元5 角，售货员是否算错了呢？4、阿呆买了72 支同样的钢笔，可是发票不慎被水浸湿，单价已无法辨认，总价数字也不全，只能认出：□11.4□元（□表示不明数字）．你能帮助阿呆找出不明数字吗？5、现有一个六位数87x32 y （x、y 允许相同）：（1）如果它能同时被5 和11 整除，这个六位数可能是什么？（2）如果它能被56 整除，这个六位数可能是什么？五年级上册。

第二讲整除问题进阶例题1.答案：120087详解：能被9和11整除可以看作是能被99整除，可以两位截断求数段和，那么有208++是99的倍数，只能是99．两个空中先后要填1和7．例题2.答案：123483789详解：设这个九位数为1234789++++=+是99a b baab，两位截断求和1234789160的倍数，只能是198．所以a=8，b=3．例题3.答案：6详解：利用7的整除特性，895930-=能被7整除，只能填6．例题4.答案：5详解：555555、999999能被13整除，前面依次去掉555555，后面一次去掉999999后仍然是13的倍数．所以只需要满足13|59就可以了．空格中要填5．例题5.答案：768768详解：形如abcabc一定能被7整除，可以考虑由两个相同的三位数来组成这个六位数，三位数由6、7、8组成．又可知这个六位数一定能被3整除，所以只要保证后三位能被8整除就可以了．答案不唯一．例题6.答案：20999详解：利用数字谜，从后往前逐位确定．练习1.答案：6237简答：两位截断后的和是99．练习2.答案：12327678简答：两位截断后的和是198． 练习3. 答案：5712或5782简答：利用7的整除特性，72与5的差是7的倍数，空格中可以填1或8．练习4. 答案：0简答：前面依次去掉111111，后面依次去掉333333，最后剩下．它是13的倍数，那么空格中只能填0．作业1. 答案：7的倍数有7315，58674，360360；13的倍数有325702，360360简答：牢记7和13的判断方法．作业2. 答案：6336简答：这个四位数是99的倍数，两位截断后求和即可．作业3. 答案：2758简答：应用三位截断法，可知能被7整除，框中填5满足条件．作业4. 答案：9简答：应用三位截断，可知能被7和13整除，即是91的倍数，框中填9满足条件．作业5. 答案：3简答：应用三位截断，可知能被7整除，框中填3满足条件． 13 81 81 76。

五年级奥数学而思专题2、数的整除性（A）备课讲稿五年级奥数学而思专题2、数的整除性( A)二数的整除性（A）_年级_班姓名_得分一、填空题1. 四位数3AA1”是9的倍数，那么A= ____ .2. 在25口79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____ .3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是______ .4. 能同时被2、5、7整除的最大五位数是______ .5. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____ .6. 所有能被3整除的两位数的和是________ .7. 已知一个五位数口691 □能被55整除,所有符合题意的五位数是_____ .8. 如果六位数1992口□能被105整除,那么它的最后两位数是_______ .9. 42 □ 28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是 _______ .10. 从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行,从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的留下，其余同学出列；留下的同学第三次从左向右1至11报数，报到11的同学留下，其余同学出列，那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是________ 号.二、解答题11. 173 □是个四位数字.数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字, 所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除.”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？12 ?在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？13. 在“改革”村的黑市上人们只要有心，总是可以把两张任意的食品票换成3张其他票券，也可以反过来交换.试问,合作社成员瓦夏能否将100张黄油票换成100张香肠票,并且在整个交换过程中刚好出手了1991张票券？14. 试找出这样的最小自然数，它可被11整除，它的各位数字之和等于13. ----------------------------- 答案------------------------------------1. 7已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1 一定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之.设3+A+A+1=9,则A=2.5,不合题意.再设3+A+A+仁18,则A=7,符合题意.事实上,3771 9=419.2. 1这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差是0或是11的倍数,那么这个数能被11整除?偶数位上数字和是5+7=12,因而，奇数位上数字和2+口+9应等于12, □内应填12-2-9=1.3. 990要同时能被2和5整除,这个三位数的个位一定是0.要能被3整除,又要是最大的三位数,这个数是990.4. 99960解法一：能被2、5整除,个位数应为0,其余数位上尽量取9,用7去除999 □ 0,可知方框内应填6.所以,能同时被2、5、7整除的最大五位数是99960.解法二：或者这样想，2,5,7的最小公倍数是70,而能被70整除的最小六位是100030.它减去70仍然是70的倍数,所以能被2,5,7整除的最大五位数是100030-70=99960.5. 3367先求出1~100这100个数的和，再求100以内所有能被3整除的数的和，以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和.(1+2+3+ --+100)- (3+6+9+12+?+99)=(1+100) 2 100-(3+99) 2 33=5050-1683=33676. 1665能被3整除的二位数中最小的是12,最大的是99,所有能被3整除的二位数如下：12,15,18,21, …，96, 99这一列数共30个数，其和为12+15+18+-+96+99=(12+99) 30 2=16657. 96910 或46915五位数A691 B能被55整除，即此五位数既能被5整除，又能被11整除.所以B=0或5.当B=0时，A6910能被11整除，所以(A+9+0)-(6+1)= A+2能被11整除, 因此A=9;当B=5时，同样可求出A=4.所以，所求的五位数是96910或46915.8. 90因为105=3 5 7,根据数的整除性质,可知这个六位数能同时被3、5和7 整除。