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上海市考研数学复习资料复变函数重点知识点梳理复变函数是数学中的重要概念，在上海市考研数学的复习中也占据着重要的地位。
为了帮助考生更好地复习复变函数，并掌握重点知识点，本文将对复变函数的相关内容进行梳理和总结。
一、复数的基本概念与运算规则复变函数的理论基础是复数。
复数由实部和虚部组成，可以用复平面表示。
复数的加减法，乘除法等运算规则是复变函数中的基础知识点。
此外，对于复数的幂运算、复数的共轭、复数的模和辐角等概念也是复变函数的基础知识点。
二、复变函数的连续性与可导性复变函数的连续性与可导性是复变函数理论中的重点内容。
在复平面上，连续性的概念需要结合实部和虚部进行判断，包括实部连续与虚部连续。
而对于可导性，则需要满足柯西-黎曼方程的条件。
在复变函数的连续性与可导性的学习中，需要理解并掌握连续函数与可导函数的定义和性质。
三、复变函数的积分与洛朗级数展开复变函数的积分与洛朗级数展开是复变函数中的重要知识点。
对于复平面上的曲线积分，需要掌握曲线的参数方程和曲线积分的计算方法。
而洛朗级数展开则是将函数展开为一系列的幂级数，对于计算复变函数的积分和求解解析函数的奇点等问题具有重要作用。
四、复变函数的调和函数与边值问题调和函数是复变函数中一个重要的理论概念，通过调和函数的性质可以解决一些边值问题。
对于分析调和函数的性质和求解边值问题，是复变函数复习的重点内容之一。
在学习调和函数与边值问题时，需要了解和掌握调和函数的定义、性质、解调和问题的方法等内容。
五、复变函数的应用复变函数在数学和物理等领域中都有广泛的应用。
在数学中，复变函数可以用来研究解析函数、调和函数等；在物理中，复变函数可以用来研究电磁场、流体力学等问题。
对于复变函数的应用，需要结合具体的问题进行分析和求解，掌握应用复变函数的方法和技巧。
综上所述，复变函数是上海市考研数学中的重点知识点之一。
通过对复变函数的基本概念与运算规则、连续性与可导性、积分与洛朗级数展开、调和函数与边值问题以及应用等内容的梳理和总结，考生可以更好地理解和掌握复变函数的相关知识点，为考试做好充分的准备。
《复变函数》 复习资料1一、判断题1. 把角形域映射为角形域用指数函数映射（ ）2.3.4.5.6.7. 分式线性映射在复平面上具有共形性、保圆性、保对称性。
（ ）8.9.10.二、解答题1.设)1()(2z z e z f z +=，求()f z 在1||0<<z 的洛朗展式（只写出含1z到2z 各项）. 2.利用留数定理计算复积分I =21az z e dz =⎰+1()()n n z dzz a z b =--⎰ (01,01a b <<<<且,a b n ≠为自然数).3.利用留数定理计算实积分θθθπd ⎰-20cos 452cos 4.三、解答与证明题1.如果在1z <内，函数()f z 解析，且1()1f z z≤-，求()(0)n f 的最优估计值. 2．（1）函数211x+当x 为实数时，都有确定的值且在全实轴上有任意阶导数，但它的泰勒展开式： -+-=+422111x x x却只当1<x 时成立，试说明其原因； （2）利用惟一性定理证明：210(1)sin ,(21)!n n n z z n ++∞=-=+∑ 1z <.3.设)(z ϕ在:1C z =内解析且连续到C ,在C 上 ()1z ϕ<试证 在C 内部2()3z z z ϕ=+只有一个根0z .4. 设D 为单连通区域，()f z 在D 内解析，C 在D 内一条周线，0D 为C 的内部.若对于任意的0z D ∈都有1()Re 12C f d i z ξξπξ⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭⎰，则在D 内恒有()f z 1ic =+，其中c 为实常数.答案一、1-5 FFTTF 6-10 TFFTF二、解答题1、设)1()(2z z e z f z +=，求()f z 在1||0<<z 的洛朗展式（只写出含1z 到2z 各项） 解：)1()(2z z e z f z+=211z e z z =+ =21(1)2!3!z z z ++++（2421(1)n n z z z -+-+-+）=215126z z z +--+（1||0<<z ）.2、利用留数定理计算复积分I =21az z e dz =⎰+1()()n n z dzz a z b =--⎰ (01,01a b <<<<且,a b n ≠为自然数)解：因为 ||1a <，||1b <且a b ≠ 所以1||1()()n n z dzI z a z a ==--⎰=2i π[Re ()z a s f z =+Re ()z bs f z =] =12121(1)...(22)112(1)()0(1)!()()n n n n n n i n b a a b π---⎡⎤---+=⎢⎥---⎣⎦设2I =21az z e dz =⎰，因为在单位圆周1z =内2az e 只有一个本质奇点0z =，在该点的去心领域内有洛朗展式：2az e =22412!a a z z+++所以2Re 0az z s e ==，故20I =，因此原积分值为零。
(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. ①两个复数相等，当且仅当它们的实部与虚部分别相等。
②一个复数等于零，当且仅当它的实部与虚部同时等于零。
③称复数x+iy 和x-iy 互为共轭复数。
2.复数的表示1）模：z=2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于[)π2,0中的幅角。
（()Arg z 有无穷个值，()arg z 是复数z 的辐角的主值()Arg z =()arg z +2k π3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下： 当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：)sin (cos z θθi r +=，其中)(r z g A =θ；注：中间一定是“+”号。
（r=|z|）5）指数表示：θi re =z ，其中)(r z g A =θ。
(二) 复数的运算 1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±··2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
复变函数复习提纲一、复数及复平面上的运算1.复数的定义和基本性质2.复数的表示形式：直角坐标形式和极坐标形式3.复数的加法和减法4.复数的乘法和除法5.复数的共轭、模和幅角二、复变函数的定义1.复变函数的定义和常见符号表示2.复变函数的实部和虚部3.复变函数的可导性和全纯性4.复变函数的解析函数和全纯函数5.复变函数与实变函数的区别三、复变函数的基本运算1.复变函数的和、差、积、商的性质2.复变函数的乘方和开方3.复变函数的复合函数和反函数4.复变函数的三角、指数和对数函数5.基本初等函数的推广四、复变函数的级数展开1.复变函数的幂级数展开2.零点的意义和展开中的唯一性3.幂级数的敛散性和收敛半径4.幂级数的和函数和导函数5.复变函数的泰勒级数展开和洛朗级数展开五、复变函数的积分1.复变函数的定积分和不定积分2.瑕积分和主值积分的定义3.复变函数的原函数和柯西-黎曼积分定理4.瑕积分和主值积分的计算方法5.狄利克雷定理和焦函数的应用六、解析函数的应用1.几何转化和连续映射2.物理应用：流体流动和电场问题3.工程应用：电阻网络和热传导问题4.统计应用：随机过程和随机变量5.数学应用：多复变数函数和复变函数的边界性质七、复变函数的解析延拓1.裂点和分岔点的概念和性质2.加点后的解析延拓和解析延拓的唯一性3.互补法和不动点法的应用4.点列内闭包性质和整函数性质的判别5.亚纯函数和亚纯函数的零点性质八、复变函数的几何应用1.复变函数的映射和对应关系2.线性变换和保持角度的特殊变换3.保形映射和自共轭函数的性质4.圆盘映射和单位圆盘函数5.黎曼映射和分式线性变换的应用九、复变函数的调和函数1.调和方程和调和函数的概念2.调和函数的基本性质和解析条件3.核函数和调和函数的唯一性4.调和函数的积分表示和傅里叶展开5.调和函数的应用：电势和温度分布以上是复变函数的复习提纲，包括了复数及复平面上的运算、复变函数的定义、复变函数的基本运算、复变函数的级数展开、复变函数的积分、解析函数的应用、复变函数的解析延拓、复变函数的几何应用和复变函数的调和函数等内容。
(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. ①两个复数相等，当且仅当它们的实部与虚部分别相等。
②一个复数等于零，当且仅当它的实部与虚部同时等于零。
③称复数x+iy 和x-iy 互为共轭复数。
2.复数的表示1）模：22zx y =+；2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于[)π2,0中的幅角。
（()Arg z 有无穷个值，()arg z 是复数z 的辐角的主值 ()Arg z =()arg z +2k π 3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctan y z x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：)sin (cos z θθi r +=，其中)(r z g A =θ；注：中间一定是“+”号。
（r=|z|）5）指数表示：θi re =z ，其中)(r z g A =θ。
(二) 复数的运算 1.加减法：若1112,z x iy z x=+=+，则()()121212z z x x i yy±=±+±··2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z ez z θθ-=3.乘幂与方根①对任何整数n,有θin n n e r =z ，特别地当r=1时，有θθin n i e =)e （，即θθθθn i n sin cos )isin (cos n+=+ ②若z n =w 则称复数w 为复数z 的n 次方根，记作n z设ϕθρi i e w re ==,z ，则有n2,r 01πK n+==θϕρ 故n21πk np er w +=θ （k=0,..(n-1）θi re =z 与π）k i re z 2(+=θ表示的是同一个复数。
一个圆心在原点，半径为R 的圆可表示为：|z|=R. 一个圆心在0z ，半径为R 的圆可表示为：R z z =-||0（三）复变函数 1．复变函数 2．复初等函数1）指数函数：()cos sin z x e e y i y =+，在z 平面处处可导，处处解析；且()z z e e '=。
注：z e 是以2i π为周期的周期函数。
（注意与实函数不同）⑵对数函数： i2ln n πk z z L +=(0,1,2)k =±±（多值函数）； ln (arg 2)Lnz z i z k π=++(0,1,2)k =±± 主值：ln ln arg z z i z =+。
（单值函数） Lnz 的每一个主值分支ln z 在除去原点及负实轴的z 平面内处处解析，且()1lnz z'=；注：负复数也有对数存在。
（与实函数不同）3）乘幂与幂函数：Lnze αα=z4）三角函数：sin cos sin ,cos ,t ,22cos sin iz iz iz iz e e e e z zz z gz ctgz i z z---+====sin ,cos z z 在z 平面内解析，且()()sin cos ,cos sin z z z z ''==-注：有界性sin 1,cos 1z z ≤≤不再成立；（与实函数不同）双曲函数 ,22z z z ze e e e shz chz ---+==； shz奇函数，c h z 是偶函数。
,s h z c h z 在z平面内解析，且()(),s h z c h z c h z s h z''==。
导数1．复变函数的导数1）点可导：()0f z '=()()000lim z f z z f z z∆→+∆-∆； 2）区域可导： ()f z 在区域内点点可导。
2．解析函数的概念1）点解析： ()f z 在0z 及其0z 的邻域内可导，称()f z 在0z 点解析； 2）区域解析： ()f z 在区域内每一点解析，称()f z 在区域内解析； 3）若()f z 在0z 点不解析，称0z 为()f z 的奇点；3．解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；（五）函数可导与解析的充要条件1．函数可导的充要条件：()()(),,f z u x y iv x y =+在z x iy =+可导⇔(),u x y 和(),v x y 在(),x y 可微，且在(),x y 处满足C D -条件：,u vu v x yy x ∂∂∂∂==-∂∂∂∂, 此时， 有()u v f z i x x∂∂'=+∂∂。
2．函数解析的充要条件：()()(),,f z u x y iv x y =+在区域内解析⇔(),u x y 和(),v x y 在(),x y 在D内可微，且满足C D-条件：,u v u v x y y x ∂∂∂∂==-∂∂∂∂；此时()u v f z i x x∂∂'=+∂∂。
注意： 若()(),,,u x y v x y 在区域D 具有一阶连续偏导数，则()(),,,u x y v x y 在区域D 内是可微的。
因此在使用充要条件证明时，只要能说明,u v 具有一阶连续偏导且满足C R -条件时，函数()f z u iv =+一定是可导或解析的。
3．函数可导与解析的判别方法1）利用定义 （题目要求用定义）2）利用充要条件 （函数以()()(),,f z u x y iv x y =+形式给出） 3）利用可导或解析函数的四则运算定理。
（函数()f z 是以z 的形式给出）（八）解析函数与调和函数的关系1．调和函数的概念：若二元实函数),(y x h 在D 内有二阶连续偏导数且满足0),(),(h =+y x h y x yy xx ，),(y x h 为D 内的调和函数。
2．解析函数与调和函数的关系解析函数()f z u iv =+的实部u 与虚部v 都是调和函数，而且它们的一阶偏导数满足柯西—黎曼方程，则称虚部v 为实部u 的共轭调和函数。
两个调和函数u 与v 构成的函数()f z u iv =+不一定是解析函数；但是若,u v 如果满足柯西—黎曼方程，则u iv +一定是解析函数。
3．已知解析函数()f z 的实部或虚部，求解析函数()f z u iv =+的方法。
1）偏微分法：若已知实部(),u u x y =，利用C R -条件，得,v v x y∂∂∂∂；对v u yx∂∂=∂∂两边积分，得()u v dy g x x∂=+∂⎰ （*）再对（*）式两边对x 求偏导，得()v u dy g x xx x ∂∂∂⎛⎫'=+⎪∂∂∂⎝⎭⎰ （**） 由C R -条件，u v yx∂∂=-∂∂，得()u u dy g x yx x ∂∂∂⎛⎫'=-+ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰，可求出 ()g x ； 代入（*）式，可求得 虚部()u v dy g x x∂=+∂⎰ 。
2）线积分法：若已知实部(),u u x y =，利用C R-条件可得v v u udv dx dy dx dy x y y x∂∂∂∂=+=-+∂∂∂∂， 故虚部为()(),,x y x y u u v dx dy c yx∂∂=-++∂∂⎰；由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其中()00,x y 与(),x y 是解析区域中的两点。
3）不定积分法：若已知实部(),u u x y =，根据解析函数的导数公式和C R -条件得知， ()u v u u f z i i xyxy∂∂∂∂'=+=-∂∂∂∂将此式右端表示成z 的函数()U z ，由于()f z '仍为解析函数，故()()f z U z dz c =+⎰ （c 为实常数） 注：若已知虚部v 也可用类似方法求出实部.u（六）复变函数积分的概念与性质1． 复变函数积分的概念：()()1lim nk k c n k f z dz f z ξ→∞==∆∑⎰，c 是光滑曲线。
注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。
2． 复变函数积分的性质 1） ()()1c cf z dz f z dz -=-⎰⎰ （1c -与c 的方向相反）； 2） ()()()()[],,c c c f z g z dz f z dz g z dz αβαβαβ+=+⎰⎰⎰是常数； 3） 若曲线c 由1c 与2c 连接而成，则()()()12c c c f z dz f z dz f z dz =+⎰⎰⎰。
3．复变函数积分的一般计算法1）化为线积分：()c c c f z dz udx vdy i vdx udy =-++⎰⎰⎰；（常用于理论证明）2）参数方法：设曲线c ： ()()z z t t αβ=≤≤，其中α对应曲线c 的起点，β对应曲线c 的终点，则 ()()[]()c f z dz f z t z t dt βα'=⎰⎰。
（被积函数不解析时，积分结果与路径有关；反之，无关） （七）关于复变函数积分的重要定理与结论1．柯西定理：设()f z 在单连域B 内解析，c 为B 内任一闭曲线，则 ()0cf z dz =⎰2．复合闭路定理： 设()f z 在多连域D 内解析，c 为D 内任意一条简单闭曲线，12,,n c c c 是c 内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以12,,n c c c 为边界的区域全含于D 内，则① ()cf z dz ⎰()1,knk c f z dz ==∑⎰ 其中c 与k c 均取正向；② ()0f z dz Γ=⎰，其中Γ由c 及1(1,2,)c k n -=所组成的复合闭路。
3．闭路变形原理 ： 一个在区域D 内的解析函数()f z 沿闭曲线c 的积分，不因c 在D 内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中c 不经过使()f z 不解析的奇点。
