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晶向晶面的表示方法一、晶向晶面表示方法的重要性。
1.1 在晶体学的世界里，晶向和晶面的表示方法那可是相当关键的。
就像盖房子得有蓝图一样，研究晶体就得靠这个来准确描述晶体内部原子的排列方向和平面。
这就好比在茫茫大海里航行需要灯塔指引方向，晶向晶面表示方法就是我们探索晶体奥秘的灯塔。
1.2 如果没有清晰准确的晶向晶面表示方法，那研究晶体就如同盲人摸象。
各个科学家或者研究人员就只能自己瞎捉摸，无法有效地交流各自的研究成果。
这就像是一群人各自说着不同的方言，谁也听不懂谁，整个晶体学的研究就会陷入一片混乱，完全无法形成系统的知识体系。
二、晶向的表示方法。
2.1 晶向的表示通常是用晶向指数。
这晶向指数就像是晶体里原子排列方向的身份证号码。
我们通过一套特定的规则来确定这个号码。
简单来说呢，就是在晶体点阵中取一个原子作为原点，然后找到我们要表示的晶向的另一个原子，根据这个原子相对于原点的坐标，经过一定的约分简化等操作，就得到了晶向指数。
这就好比在一个大迷宫里，从入口（原点）到出口（目标原子）有一条特定的路线，晶向指数就是这条路线的编码。
2.2 举个例子吧，在简单立方晶体结构里，如果有一个晶向是从坐标原点（0,0,0）到（1,0,0），那这个晶向的晶向指数就是[100]。
这就像我们在地图上标记从A点到B点的路线一样清晰明了。
而且这个表示方法很通用，不管是哪种晶体结构，只要按照规则来，都能准确表示出晶向。
2.3 有时候我们可能会遇到一些比较复杂的晶向，就像生活中遇到复杂的难题一样。
但是别怕，只要按照晶向指数的计算规则，一步一步来，就像解一道复杂的数学题一样，总能得到正确的结果。
而且这个晶向指数还能反映出晶向的一些特性，就像一个人的身份证号码能反映出他的一些基本信息一样神奇。
三、晶面的表示方法。
3.1 晶面的表示用晶面指数。
这个晶面指数的确定也是有一套独特的方法的。
我们在晶体点阵里找到一个晶面，然后看这个晶面在三个坐标轴上的截距，取截距的倒数，再进行约分简化等操作，就得到了晶面指数。
晶向指数和晶面指数之青柳念文创作一晶向和晶面1 晶向晶向：空间点阵中各阵点列的方向（毗连点阵中任意结点列的直线方向）.晶体中的某些方向，涉及到晶体中原子的位置，原子列方向，暗示的是一组相互平行、方向一致的直线的指向.2 晶面晶面：通过空间点阵中任意一组阵点的平面（在点阵中由结点构成的平面）.晶体中原子所构成的平面.分歧的晶面和晶向具有分歧的原子摆列和分歧的取向.资料的许多性质和行为（如各种物感性质、力学行为、相变、X光和电子衍射特性等）都和晶面、晶向有紧密亲密的关系.所以，为了研究和描绘资料的性质和行为，首先就要设法表征晶面和晶向.为了便于确定和区别晶体中分歧方位的晶向和晶面，国际上通用密勒（Miller）指数来统一标定晶向指数与晶面指数.二晶向指数和晶面指数的确定1 晶向指数的确定方法三指数暗示晶向指数[uvw]的步调如图1所示.(1)建立以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a，b，c，坐标原点在待标晶向上.(2)选取该晶向上原点以外的任一点P(xa，yb，zc).(3)将xa，yb，zc化成最小的简单整数比u，v，w，且u∶v∶w = xa∶yb∶zc.(4)将u，v，w三数置于方括号内就得到晶向指数[uvw].图1 晶向指数的确定方法图2分歧的晶向及其指数当然，在确定晶向指数时，坐标原点纷歧定非选取在晶向上不成.若原点不在待标晶向上，那就需要选取该晶向上两点的坐标P(x1，y1，z1)和Q(x2，y2，z2)，然后将(x1-x2)，(y1-y2)，(z1-z2)三个数化成最小的简单整数u，v，w，并使之知足u∶v∶w=(x1-x2)∶(y1-y2)∶(z1-z2).则[uvw]为该晶向的指数. 显然，晶向指数暗示了所有相互平行、方向一致的晶向.若所指的方向相反，则晶向指数的数字相同，但符号相反，如图3中[001]与[010].说明：a 指数意义：代表相互平行、方向一致的所有晶向.b 负值：标于数字上方，暗示同一晶向的相反方向.c 晶向族：晶体中原子摆列情况相同但空间位向分歧的一组晶向.用<uvw>暗示，数字相同，但摆列顺序分歧或正负号分歧的晶向属于同一晶向族.晶体布局中那些原子密度相同的等同晶向称为晶向轴，用<UVW>暗示.<100>：[100] [010] [001] [0000]1] [010] [1<111>：[111] [111] [111] [111] [111] [111] [111] [111]图3 正交点阵中的几个晶向指数2 晶面指数的确定国际上通用的是密勒指数，即用三个数字来暗示晶面指数（h k l）.图4中的红色晶面为待确定的晶面，其确定方法如下.图4晶面指数的确定(1)建立一组以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，令坐标原点不在待标晶面上，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a，b，c.(2)求出待标晶面在a，b，c轴上的截距xa，yb，zc.如该晶面与某轴平行，则截距为∞.(3)取截距的倒数1/xa，1/yb，1/zc.(4)将这些倒数化成最小的简单整数比h，k，l，使h∶k∶l= 1/xa∶1/yb∶1/zc.(5)如有某一数为负值，则将负号标注在该数字的上方，将h，k，l置于圆括号内，写成(hkl)，则(hkl)就是待标晶面的晶面指数.说明：晶面指数所代表的不但是某一晶面，而是代表着一组相互平行的晶面.a 指数意义：代表一组平行的晶面；b 0的意义：面与对应的轴平行；c 平行晶面：指数相同，或数字相同但正负号相反；d 晶面族：晶体中具有相同条件（原子摆列和晶面间距完全相同），空间位向分歧的各组晶面，用{hkl}暗示.在立方系中，{100}：（100）（010）（001），{110}：（110）（101）（011）（110）（101）（011），{111}：（111）（111）（111）（111）e 若晶面与晶向同面，则hu+kv+lw=0;f 若晶面与晶向垂直，则u=h, k=v, w=l.立方系常常使用晶面指数图5.图5 立方系常常使用晶面指数例子：请确定图6中的晶面的晶面指数，并在图7中画出这些晶面指数所代表的晶面.首先选定坐标系，如图所示.然后求出待标晶面在a，b，c轴上的截距，分别为a/2，2b/3，c/2.取倒数后得到2，3/2，2.再将其化成最小的简单整数比，得到4，3，4三个数.于是该面的晶面指数为(434).图6图7 晶面指数的标注所有相互平行的晶面在三个晶轴上的截距虽然分歧，但它们是成比例的，其倒数也仍然是成比例的，经简化可以得到相应的最小整数.因此，所有相互平行的晶面，其晶面指数相同，或者三个符号均相反.可见，晶面指数所代表的不但是某一晶面，而且代表着一组相互平行的晶面.图8立方晶胞的{110}、{111}晶面族3 关于晶面指数和晶向指数的确定方法还有以下几点说明：(1)参考坐标系通常都是右手坐标系.坐标系可以平移（因而原点可置于任何位置）.但不克不及转动，否则，在分歧坐标系下定出的指数就无法相互比较.(2)晶面指数和晶向指数可为正数，亦可为负数，但负号应写在数字上方，如（231），[112]等.(3)若各指数同乘以不等于零的数n，则新晶面的位向与旧晶面的一样，新晶向与旧晶向或是同向(当n>0)，或是反向(当n<0).但是，晶面距（两个相邻平行晶面间的间隔）和晶向长度（两个相邻结点间的间隔）一般都会改变，除非n=1.从以上各例可以看出，立方晶体的等价晶面具有“近似的指数”，即指数的数字相同，只是符号（正负号）和摆列次序分歧.这样，我们只要根据两个（或多个）晶面的指数，就可以断定它们是否为等价晶面.另外一方面，给出一个晶面族符号{hkl}，也很容易写出它所包含的全部等价晶面. 对于非立方晶系，由于对称性改变，晶面族所包含的晶面数目就纷歧样.例如正交晶系，晶面(100)，(010)和(001)其实不是等同晶面，不克不及以{100}族来包含. 与晶面族近似，晶体中因对称关系而等同的各组晶向可归并为一个晶向族，用<uvw>暗示.仿照上例，读者可以写出在立方晶系中的<100>，<110>，<111>，<112>和<123>等晶向族所包含的等价晶向.以后，在讨论晶体的性质(或行为)时,若遇到晶面族或晶向族符号，那就暗示该性质（或行为）对于该晶面族中的任一晶面或该晶向族中的任一晶向都同样成立，因而没有需要区分详细的晶面或晶向. 别的，在立方晶系中，具有相同指数的晶向和晶面必定是相垂直的，即[hkl]⊥(hkl).上面我们用三个指数暗示晶面和晶向.这种三指数暗示方法，原则上适用于任意晶系.对六方晶系，取a，b，c为晶轴，而a轴与b轴的夹角为120°，c轴与a，b轴相垂直，如图9所示.图9六方晶体的等价晶面和晶向指数但是，用三指数暗示六方晶系的晶面和晶向有一个很大的缺点，即晶体学上等价的晶面和晶向不具有近似的指数.这一点可以从图9看出.图中六棱柱的两个相邻概况（红面和绿面）是晶体学上等价的晶面，但其密勒指数却分别是（101）和(100).图中夹角为60°的两个密排方向D1和D2是晶体学上的等价方向，但其晶向指数却分别是[100]和[110].由于等价晶面或晶向不具有近似的指数，人们就无法从指数断定其等价性，也无法由晶面族或晶向族指数写出它们所包含的各种等价晶面或晶向，这就给晶体研究带来很大的方便.为了降服这一缺点，或者说，为了使晶体学上等价的晶面或晶向具有近似的指数，对六方晶体来讲，就得放弃三指数暗示，而采取四指数暗示（密勒-布拉菲指数）.四指数暗示是基于4个坐标轴：a1，a2，a3和c轴，如图10所示，其中，a1，a2和c轴就是原胞的a，b和c轴，而a3=-(a1+a2).下面就分别讨论用四指数暗示的晶面及晶向指数.图10六方晶体的四轴系统（1）六方晶系晶面指数的标定六方晶系晶面指数的标定原理和方法同立方晶系中的一样，从待标晶面在a1，a2，a3和c轴上的截距可求得相应的指数h，k，i，l，于是晶面指数可写成(hkil).根据几何学可知，三维空间独立的坐标轴最多不超出三个.应用上述方法标定的晶面指数形式上是4个指数，但是不丢脸出，前三个指数中只有两个是独立的，它们之间有以下的关系：i = -( h + k )，因此，可以由前两个指数求得第三个指数.六方晶体中罕见晶面及其四指数（亦称六方指数）标于图11中.从图看出，采取四指数后，同族晶面（即晶体学上等价的晶面）就具有近似的指数.例如：共6个等价面(Ⅰ型棱柱面).共6个等价面(Ⅱ型棱柱面).而{0001}只包含(0001)一个晶面，称为基面.六方晶体中比较重要的晶面族还有，请读者写出其全部等价面.图11六方晶体中罕见的晶面（2）六方晶系晶向指数的标定 采取四轴坐标，六方晶系晶向指数的标定方法如下：当晶向通过原点时，把晶向沿四个轴分解成四个分量，晶向OP 可暗示为：OP=ua 1+va 2+ta 3+wC ，晶向指数用[uvtw]暗示，其中t=-(u+v).原子摆列相同的晶向为同一晶向族，图12中a 1轴为[0112]，a 2轴[0121]，a 3轴[2011]均属〈0112〉，其缺点是标定较费事.可先用三轴制确定晶向指数[UVW]，再操纵公式转换为[uvtw].采取三轴坐标系时.C 轴垂直底面，a 1、a 2轴在底面上，其夹角为120o，如图12，确定晶向指数的方法同前.采取三轴制虽然指数标定简单，但原子摆列相同的晶向本应属于同一晶向族，其晶向指数的数字却不尽相同，例如[100]，[010]，[011]，见图12. 图12 六方晶系的一些晶面与晶向指数六方晶系按两种晶轴系所得的晶向指数可相互转换如下)2(31V U u -=，)2(31U V v -=，)(v u t +-=，W w =.例如，[011]→[2011]，[100]→[0112]，[010]→[0121]，这样等同晶向的晶向指数的数字都相同.标定方法通常采取行走法.用行走法确定六方晶体的四轴晶向指数时，会遇到一个新的问题，即解是不唯一的.例如，a1轴的指数可以是，也可以是[2000]；a2轴的指数可以是，也可以是[0200].分析各种等价晶向的四指数后发现，要想使等价晶向具有近似的四指数，就需要人为地附加一个条件，即前三个指数之和为零.若将晶向指数写成[UVTW]，则上述附加条件可写成：U+V+T=0，或T=-(U+V).依照这个附加条件，上述a1轴的指数就应该是，而不是[2000]；同样，a2和a3轴的指数分别是和.图13中标出了六方晶体中各重要晶向的四指数，它们是[0001]，，等等.图13六方晶体中罕见的晶向除上述几个特殊晶向外，对一般的晶向，很难直接求出四指数[UVTW]，因为很难包管在沿a1，a2，a3和c轴分别走了U，V，T和W步后既要到达晶向上的另外一点，又要知足条件T=-(U+V).比较靠得住的标注指数方法是解析法.该法是先求出待标晶向在a1，a2和c三个轴下的指数u，v，w（这比较容易求得），然后按以下公式算出四指数U，V，T，W.(1-1)T = - (U + V)W = w此公式可证明如下.由于三指数和四指数均描绘同一晶向，故：U a1+ V a2+ T a3+ W c= u a1+v a2+w c(1-2)又由几何关系：a1+ a2= - a3(1-3)再由等价性要求：T = - (U+V)(1-4)解以上三个联立方程，即得到：u = 2U+V，v = 2V+U，w = W(1-5) (1-5)式和(1-1)式可用矩阵暗示如下：==下面举两个例子.例1 请写出a1轴的晶向指数.解：从晶胞图直接得到：u=1，v=0，w=0，按(1-1)式算得：故.例2 请写出a2和-a3交角的平分线D的晶向指数.解：从晶胞图可看出：D=a1+(-a3)=2a1+a2，得u=2，v=1，w=0，代入(1-1)式得到：U=1，V=0，T=-1，W=0，故.5 立方和六方晶体中重要晶向的疾速标注在以后各章将多次遇到立方和六方晶体中的一些低指数重要晶向，需要迅速确定其指数.根据上述标定指数的方法，我们归纳出一条疾速标定晶向指数的口诀，即：“指数看特征，正负看走向”.就是说，根据晶向的特征，决议指数的数值；根据晶向是“顺轴”（即与轴的正向成锐角）还是“逆轴”（即与轴的正向成钝角），决议相应于该轴的指数的正负.下面详细讨论立方和六方晶体中的各重要晶向.（1）立方晶体立方晶体中各重要晶向的特征如下：(1)<100> 是晶轴.若沿着a轴，则第一指数为1，依次类推；如果“逆轴”（如沿-a轴），则相应指数为.(2)<110> 是立方体面临角线.若面临角线在a面（即(100)面）上，则第一指数为零，其余两个指数为1或（取决于所讨论的对角线是“顺着”还是“逆着”相应的晶轴）.(3)<111> 是体对角线.三个指数都是1或，取决于该对角线与相应轴的交角（锐角为1，钝角为).(4)<112> 是顶点到对面（即欠亨过该顶点的{100}面）面心的连线.如果对面是a面，则第一指数为2或，其余两个指数为1或.（2）六方晶体六方晶体中各重要晶向的特征如下：(1)[0001] c轴.(2)和a1，a2或a3轴平行的晶向.和哪一个轴正（或反）平行，则相应的指数就是2（或），其余三个指数就是，，0（或1，1，0）.(3)两个晶轴±a i 和a j 交角的平分线（i 、j =1，2，3，i ≠j ）.例如，是+a 1轴和-a 3轴交角的平分线；是-a 2轴和+a 3轴交角的平分线等等.根据以上几类晶向指数，还可以迅速求得某些不服行于基面的重要晶向.方法是先求该晶向在基面上的投影线的指数[UVT 0]，而w 可从晶胞图中直观看出.例如，求图1-19中MN 的指数时，先将MN 平移至原点，找出其投影ON'的指数，从图1-19中可直观看出W=1，故MN 的指数，化整后得到. 6 晶带相交于某一晶向直线或平行于此直线的晶面构成一个晶带，此直线称为晶带轴.设晶带轴的指数为[uvw]，则晶带中任何一个晶面的指数（hkl ）都必须知足：hu+kv+lw=0，知足此关系的晶面都属于以[uvw]为晶带轴的晶带，已知两个非平行的晶面指数为（h 1k 1l 1）和（h 2k 2l 2）则其交线即为晶带轴的指数[uvw]：1221l k l k u -=，1221h l h l v -=，1221k h k h w -=.图14 晶带轴7 晶面间距一组平行晶面中，相邻两个平行晶面之间的间隔叫晶面间距.两近邻平行晶面间的垂直间隔，用d hkl 暗示.对于分歧的晶面族{hkl}其晶面间距也分歧.总的来讲，低指数晶面的面间距较大，高指数晶面的面间距较小.图15 晶面间距图16 晶面间距公式的推导由晶面指数的定义，可用数学方法求出晶面间距，（简单立方）：d=a/(h 2+k 2+l 2)1/2，正交系：222)()()(1c l b k k h hkl d ++=，立方系：222l k h a hkl d ++=，六方系：22)22(34)(1cl a k hk h hkl d +++=.此公式用于复杂点阵（如体心立方，面心立方等）时要思索晶面层数的增加.例如，体心立方（001）面之间还有同一类的晶面，可称为（002）面，故晶面间距应为简单晶胞001d 的一半，等于2a .由公式也可看出低指数晶面的面间距大. 三 晶体的极射赤面投影采取平面图难以做到清晰表达晶体的各种晶向、晶面及它们之间的夹角.通过投影图可将平面图表示于平面上.晶体投影方法很多，广泛应用的是极射赤面投影. 1 参考球与极射赤面投影（1）参考球设想将一很小的晶体或晶胞置于一个大圆球的中心，由于晶体很小，可认为各晶面均通过球心，由球心作晶面的法线与球面的交点称为极点，这个球称参考球，如图17.球面投影用点暗示相应的晶面，两晶面的夹角可在参考球上量出，如图17，(110)与(010)夹角为45o.但使用上仍不方便.可在此基础上再作一次极射赤面投影.图17 参考球与立方系球面投影（2）极射赤面投影以球的两极为观测点，赤道面为投影面.保持南极与北半球的极点，连线与投影面的交点即为晶面的投影，如图18.投影图的鸿沟大圆与参考球直径相等叫基圆.位于南半球的极点应与北极连线，所得投影点可另选符号，使之与北半球的投影点相区分.也可选与赤道平行的其他平面作投影面，所得投影图形状不变，只改变其比例.对于立方系，相同指数的晶面和晶向互相垂直、所以立方系尺度投影图的极点即代表了晶面又代表了晶向.若将参考球比较为地球，以地球的两极为投影点，将球面投影投射到赤道平面上，就叫极射赤面投影.图18 极射赤面投影2 尺度投影图以晶体的某个晶面平行于投影面，作出全部主要晶面的极射投影图称为尺度投影图.一般选择一些重要的低指数晶面作投影面，如立方系(001)，(011)，(111)及六方系(0001)等.例如(001)尺度投影图是以(001)为投影面，停止极射投影而得到的，如图19.图19 立方系（001）尺度投影图3 吴氏网吴氏网是球网坐标的极射平面投影，分度为 2 o，具有保角度的特性.其读数由中心向外读，分东，南，西，北.吴氏网如图20所示.图20 吴氏网（分度为2o）使用吴氏网时，投影图大小与吴氏网必须一致.操纵吴氏网可方便读出任一极点的方位，并可测定投影面上任意两极点间的夹角，是研究晶体投影，晶体取向等问题的有力工具.在丈量时，用透明纸画出直径与吴氏网相等的基圆，并标出晶面的极射赤面投影点.将透明纸盖于吴氏网上.两圆圆心始终重合，转动透明纸、使所测两点落在赤道线上，子午线上，基因上，同一经线上.两点纬度差(在赤道上为经度差)就等于晶面夹角.不克不及转到某一纬线去测夹角，因为此时所测得的角度不是实际夹角.例题1.已知纯钛有两种同素异构体，低温稳定的密排六方布局和高温稳定的体心立方布局，其同素异构转变温度为℃，计算纯钛在室温（20℃）和900℃时晶体中（112）和（001）的晶面间距（已知a a20℃=0.2951nm, c a20℃=0.4679nm, aβ900℃）.答案20℃时为α-Ti：hcp布局当h+2k=3n (n=0,1,2,3…) ，l=奇数时，有附加面.；900℃时为β-Ti：bcc布局当奇数时，有附加面.内容提要晶胞是能反映点阵对称性、具有代表性的基本单元（最小平行六面体），其分歧方向的晶向和晶面可用密勒指数加以标注，并可采取极射投影方法来分析晶面和晶向的相对位向关系.重点与难点1 晶向指数与晶面指数的标注；2 晶面间距的确定与计算；3 极射投影与Wulff网.重要概念与名词晶向指数，晶面指数，晶向族，晶面族，晶带轴，晶面间距，极射投影，极点，吴氏网，尺度投影.[U V W]与[u v t w]之间的互换关系：晶带定律：立方晶系晶面间距计算公式：六方晶系晶面间距计算公式：习题1 标出具有下列密勒指数的晶面和晶向：a) 立方晶系,,,,；b) 六方晶系，，，，2 在立方晶系中画出晶面族的所有晶面，并写出{123}晶面族和﹤221﹥晶向族中的全部等价晶面和晶向的密勒指数.3 在立方晶系中画出以为晶带轴的所有晶面.4 试证明在立方晶系中，具有相同指数的晶向和晶面必定相互垂直.5 已知纯钛有两种同素异构体，低温稳定的密排六方布局和高温稳定的体心立方布局℃，计算纯钛在室温（20℃）和900℃时晶体中（112）和（001）的晶面间距（已知a a20℃=0.2951nm, c a20℃=0.4679nm,aβ900℃）.答案晶向指数：[uvw] 即为AB晶向的晶向指数.如u、v、w中某一数为负值，则将负号标注在该数的上方.[21]和[1]就是两个相互平行、方向相反的晶向.因对称关系而等同的各组晶向可归并为一个晶向族，用<uvw>暗示对立方晶系来讲，[100]、[010]、[001]和[00]、[00]、[00]等六个晶向，它们的性质完全相同，用<100>暗示对于正交晶系 [100]、[010]、[001]这三个晶向其实不是等同晶向，因为以上三个方向上的原子间距分别为a、b、c，沿着这三个方向，晶体的性质其实不相同.图1-19{100}，{111}，{110}晶面族在立方系中：{100}=（100）、（010）、（001）；{110}=（110）（101）（011）（10）（01）（01）；{111}=（111）、（11）、（11）、（11）.{123}=（123）、（132）、（231）、（213）、（312）、（321）；（23）、（32）、（31）、（13）、（12）、（21）；（13）、（12）、（21）、（23）、（32）、（31）；（12）、（13）、（23）、（21）、（31）、（32）.共24组晶面晶面指数用来分别暗示原子的摆列构成的许多分歧方位的晶面. 如（111）在晶体中有些晶面具有共同的特点，其上原子摆列和分布规律是完全相同的，晶面间距也相同，唯一分歧的是晶面在空间的位向，一组等同晶面称为一个晶面族，用符号{hkl}暗示.在立方晶系中，具有相同指数的晶向和晶面必定是相垂直的，即[hkl] 垂直于（hkl）.例如：[100] 垂直于（100），[110] 垂直于（110），[111] 垂直于（111），等等.但是，此关系不适用于其它晶系.左边图，a1、a2、c为晶轴，而a1与a2间的夹角为120度.六方晶系六个柱面的晶面指数为（100）、（010）、（10）、（00）、（00）、（10）这六个面是同类型晶面，但其晶面指数中的数字却相同.晶向指数也有近似情况，例如[100]和[110]是等同晶向，但晶向指数却不相同.为了处理这一问题，可采取专用于六方晶系的指数标定方法.（右图）。
