第 试 成 1 如 i次 验 功 i=1,2，…，n ， ， 设 Xi = 第 试 失 0 如 i次 验 败
则
X= X1+X2+…+Xn
因为 P(Xi =1)= p,
P(Xi =0)= 1-p
E(Xi)= 1⋅ p+0⋅ (1− p)= p 所以 E(X)= ∑E(Xi ) = np
i= 1 n
E(X) = ∑ k−1 p∑ qk )' kpq = (
求和与求导 交换次序
k= 1 ∞
k= 1
∞
∞
等比级数 求和公式
q 1 = p(∑ )'= p( q )' = 1−q p k= 1
k
例 X ~ E (λ) , 求 E( X ) .
λe − λx , x > 0 f ( x) = 0, x ≤ 0
k =0 k =0
λ
k
k!
e
−λ
= λe
λ
−λ
∑ (k − 1)!
k =1
∞
λ
k −1
= λe
−λ
∑ k!
k =0
∞
λ
k
= λe ⋅ e = λ
−λ
服从几何分布， 例3 设r.v X服从几何分布， 服从几何分布 P(X=k)=p(1-p)k-1, k=1,2,…， ， 其中0<p<1,求E(X) 求 其中 解：记q=1-p -
(1) Y = g(X ) 的数学期望 设离散 r.v. X 的概率分布为
P(X = xi ) = pi , i =12,⋯ ,
若无穷级数
∑g(xi )pi 绝对收敛，则
i= 1
∞
E(Y) = ∑g(xi ) pi
i= 1
∞
设连续 r.v. X 的 d.f. 为 f (x) 若广义积分
∫−∞g(x) f (x)dx 绝对收敛, 则
+∞
∫−∞ xf (x)dx
绝对收敛, 则称此积分为 X 的数学期望 记作 E( X ), 即
E(X) = ∫ ∞ xf (x)dx −
+∞
P86.1 设随机变量 X 的分布律为
X P -2 0.4 0 0. 3 2 0.3
求
E( X )
EX = −2 × 0.4 + 0 × 0.3 + 2 × 0.3 = −0.2
第四章 随机变量的数字特征
在前面的课程中， 在前面的课程中，我们讨论了随机变量 及其分布，如果知道了随机变量X的概率分 及其分布，如果知道了随机变量 的概率分 那么X的全部概率特性也就知道了 的全部概率特性也就知道了. 布，那么 的全部概率特性也就知道了 然而，在实际问题中，概率分布一般 然而，在实际问题中， 是较难确定的. 而且在一些实际应用中， 是较难确定的 而且在一些实际应用中， 人们并不需要知道随机变量的一切概率性 只要知道它的某些数字特征就够了. 质，只要知道它的某些数字特征就够了
是否可以不求g(X)的分布而只 的分布而只 是否可以不求 根据X的分布求得 的分布求得E[g(X)]呢？ 根据 的分布求得 呢 下面的基本公式指出，答案是肯定的 下面的基本公式指出，答案是肯定的. 公式的重要性在于: 当我们求E[g(X)] 公式的重要性在于 当我们求 不必知道g(X)的分布，而只需知道 的 的分布， 时, 不必知道 的分布 而只需知道X的 分布就可以了. 分布就可以了 这给求随机变量函数的期 望带来很大方便. 望带来很大方便
= 13.4
例 设随机变量 X 的概率密度为
e − x , x > 0 f ( x) = 0 , x ≤ 0
求Y = e－2X 的数学期望.
E (Y ) = ∫ e
−∞
+∞
−2 x
f ( x)dx = ∫ e e dx
0
+∞
−2 x − x
1 −3 x ∞ 1 =− e = 3 0 3
P78.13 市场上对某种产品每年需求量为 X (t)，X ~ U (2000,4000), 每出售1t可赚 3万元 , 若售不出去，则每台需保管费 1万元，问应该组织多少货源, 才能使平 均利润最大？最大期望值为多少？ 1 , 2000< x < 4000, 解 fX (x) = 2000 0, 其 它 设组织n t货源, 利润为 Y 显然，2000< n < 4000
+∞
令 dE(Y) 1 = (−4n+14000)=0 dn 2000
n=3500 故 n=3500 时, E(Y )最大
E(Y)m =8250 ax
P77.12
先求Y的分布律再求期望即可！
设交保费x元，收益Y元
Y P
x 1-p
x-a p
E (Y ) = x(1 − p) + ( x − a) ⋅ p = a ×10%
例如
考察一射手的水平: 考察一射手的水平 既要看他的平均环数是 否高, 还要看他弹着点的范围是否小, 否高 还要看他弹着点的范围是否小 即数据的 波动是否小. 波动是否小 考察某型号电视机的质量： 考察某型号电视机的质量： 某型号电视机的质量 平均寿命18000小时±200小时 18000小时 小时. 平均寿命18000小时±200小时. 由上面例子看到， 由上面例子看到，与随机变量有关的某些 数值， 数值，虽不能完整地描述随机变量但能清晰地 描述随机变量在某些方面的重要特征, 描述随机变量在某些方面的重要特征, 这些数 字特征在理论和实践上都具有重要意义. 字特征在理论和实践上都具有重要意义.
1 第 需 整 如 i个 调 Xi = 第 不 调 0 如 i个 需 整
i=1,2,3
则 X= X1+X2+X3
EX= EX1+EX2+EX3
1. 数学期望的定义
定义1 定义 设 X 为离散 r.v. 其分布列为
P(X = xk ) = pk ,
若无穷级数
+∞ k= 1
k =12,⋯ ,
则称
∑xk pk 绝对收敛,
+∞
其和为 X 的数学期望，记作 E( X ), 即
E(X) = ∑xk pk
k= 1
定义2 定义 设连续 r.v. X 的 d.f. 为 f (x) 若广义积分
1 x = a( p + ) 10
3. 数学期望的性质 (1) 设C是常数，则E(C)=C; 是常数， 是常数 (2) 若C是常数，则E(CX)=CE(X); 是常数， 是常数 (3) E(X+Y) = E(X)+E(Y);
推 : E[∑Xi ] = ∑ (Xi ) 广 E
i= 1 i= 1
n
n
P75.8
3n, n ≤ X, Y = g(X) = 3X −(n− X), n > X
n ≤ x, 3n, g(x) = 4x−n, n > x
E(Y) = ∫−∞ g(x) fX (x)dx
n 4000 1 = [∫ (4x−n)dx+∫ 3ndx] n 2000 2000 1 2 6 = (−2n +1400n−8×10 ) 2000
λ
分布
概率密度
期望
1 , a < x <b, a+b 区间(a,b)上的 f (x) = b−a 2 均匀分布 0 , 其 它
E(λ) N(µ,σ
2)
λe , x >0, f (x) = 其 它 0,
−λx
1
λ
1 f (x) = e 2σ π
(x−µ)2 − 2σ2
µ
注意 不是所有的 r.v.都有数学期望 都有数学期望 例如：柯西(Cauchy)分布的密度函数为
因此，从平均环数上看 ，甲的射击水平要比乙 的好．
用分布列表示
X P 8 0.1 9 0.3 1 0.5
10 0.3
EX = 8 × 0.1 + 9 × 0.3 + 10 × 0.6 = 9.5
EY = 8 × 0.2 + 9 × 0.5 + 10 × 0.3 = 9.1
例
X ~ B ( n , p ), 求 E( X ) .
n k=0
解 E(X) =∑ n pk (1− p)n−k kCk
(n−1 )! k− 1 (n− )−(k− ) 1 1 = np∑ p (1− p) 1( k= (k − )! n−k)! 1
n
= np∑ p (1− p) C
k=0 k k n− 1
1 f (x) = , 2 π(1+ x )
+∞ +∞
−∞< x < +∞
| x| 但 ∫−∞| x| f (x)dx = ∫−∞ dx 发散 2 π(1+ x )
它的数学期望不存在!
2.随机变量函数的数学期望 随机变量函数的数学期望
设已知随机变量X的分布， 设已知随机变量 的分布，我们需要计 的分布 算的不是X的期望 而是X的某个函数的期 的期望， 算的不是 的期望，而是 的某个函数的期 比如说g(X)的期望 那么应该如何计算 的期望. 望，比如说 的期望 呢？
dx
u2 − 2
x−µ 令 =u
σ
1 = ∫ （ σ +µ） u ⋅ e du −∞ 2 π =µ
+∞
常见分布的数学期望 分布
0-1分布
概率分布
P(X =1 = p ) P(X =0) =1− p
P(X = k) =C p (1− p)
k n k n−k
期望
p np
B(n,p) P(λ)
k =0,12,⋯n , , k −λ λe P(X = k) = k! k =0,12,⋯ ,
