工程数学 应用概率统计习题九答案

习题七解答1. 设X 的分布律为，求（1）EX ，（2）)1(+-X E ，（3）)(X E ，（4）DX 。

解 由随机变量X所以()1111111(1)01236261243E X =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()11111121210(1)36261243E X -+=⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯=()2111111351014364612424E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=22235197()()(())()24372D XE X E X =-=-=另外，也可根据数学期望的性质可得：()()1211133E X E X -+=-+=-+=2.设随机变量X 服从参数为()0>λλ的泊松分布，且已知()()[]232=--X X E ，求λ的值。

解()()[]()()()()()()()()204526526565322222==+-+=+-+=+-=+-=--λλλλX E X E X D X E X E X X E X X E3. 设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.4，试求2X 的数学期望()2X E 。

解 ()4.0,10~B X所以 ()()4.26.04.010,44.010=⨯⨯==⨯=X D X E故 ()()()()4.1844.2222=+=+=X E X D X E4. 国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X 是一个随机变量，它在[2000，4000]（单位：吨）上服从均匀分布。

若每售出一吨，可得外汇3万美元，若销售不出而积压，则每吨需保养费1万美元。

问应组织多少货源，才能使平均收益最大？解 设随机变量Y 表示平均收益（单位：万元），进货量为a 吨Y=()aX a X 33--ax ax ≥< 则()()()800000014000220001200013200014220004000-+-=+-=⎰⎰a a dxa dx a x Y E aa要使得平均收益()Y E 最大，所以()080000001400022='-+-a a得 3500=a （吨）5. 一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率相应为0.1，0.2，0.3，假设各部件的状态相互独立，以X 表示同时需要调整的部件数，试求X 的数学期望()X E 和方差()X D 。

工程数学（线性代数与概率统计）习题一一、 1.5)1(1222112=-⨯-⨯=-；2.1)1)(1(111232222--=-++-=++-x x x x x x x x x x ；3.b a ab bab a 2222-=4.53615827325598413111=---++=5.比例）第一行与第三行对应成(,000000=dc ba6.186662781132213321=---++=。

二．求逆序数 1. 551243122=↓↓↓↓↓τ即 2. 5213423=↓↓↓↓τ即3. 2)1(12)2()1(12)1(01)2()1(-=+++-+-=-↓↓-↓-↓n n n n n nn n ΛΛτ即 4.2)1(*2]12)2()1[()]1(21[24)22()2()12(31012111-=+++-+-+-+++=--↓↓-↓-↓-↓↓↓n n n n n n n n n n n ΛΛΛΛτ三．四阶行列式中含有2311a a 的项为4234231144322311a a a a a a a a +- 四．计算行列式值1.07110851700202145900157711202150202142701047110025102021421443412321=++------r r r r r r r r2.310010000101111301111011110111113011310131103111301111011110111104321-=---⋅=⋅=+++c c c c3.abcdef adfbce ef cf bf de cd bdae ac ab4111111111=---=--- 4.dcdcba dcb a1010111011110110011001--------按第一行展开 ad cd ab dc dadc ab+++=-+---=)1)(1(1111115.ba c cbc a b a a c b a c c b c a b a a b b a c c c b c a b b a a a ba c c cbc a b b a a c b a --------------=------202022202022222222222222 其中)3)(()(3522)(22)(12221222122)(2202022202022222220222200222202222222222222ac ab a c a b a ab abc ba c c aa c ab b a a b a abc ba c c aa c a bc c b b a aa cc b b a ac cc b b b aa ab ac c b c b aa b a c c b a b a a b a c c c b b b a a a b a c c c b c a b b a a a ++++++=--+-+-=--+---=--------=----其余同法可求。

第九章 方差分析与回归分析注意： 这是第一稿（存在一些错误）1．解：()()()211,,n niii i i i L f y y f y x αβσεαβ======--∏∏()()()221222211122ni i i i i y x y x nni e eαβαβσσπσπσ=------=∑==∏()()()()22212,,ln ,,ln22ni i i y x l L n αβαβσαβσπσσ=--==--∑()()()()()()212212221242,,0,,0,,1022ni i i n i i i i n i i i y x l y x x l y x l n αβαβσασαβαβσβσαβαβσσσσ===⎧--⎪∂⎪==∂⎪⎪--⎪∂⎪==⎨∂⎪⎪--⎪∂⎪=-=⎪∂⎪⎩∑∑∑ 解得2ˆˆ,ˆ,ˆ.xyxxy x s s SSE n αββσ⎧⎪=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩则α、β的极大似然估计与最小二乘估计一致。

2σ的极大似然估计为SSE n ，最小二乘估计为2SSE n -，为2σ的无偏估计。

2．解： （1）由题意，知0123:H μμμ==，1123:,,H μμμ不全相等计算有112312.54ni i i x n x n n n ⋅===++∑ 321()0.738i A i i S n x x ⋅==-=∑，321() 5.534in T ij i i jS x x ===-=∑∑4.796E T A S S S =-=，/(31)0.369A A MS S =-=123/(3)0.178E E MS S n n n =++-=，/ 2.077A E F MS MS == 所以单因素方差分析表为： 方差来源 自由度 平方和 均方 F 比 因素A 2 0.738 0.369 2.077 误差 27 4.796 0.178 总和295.534由于 2.077F =<(2,27) 3.3541F α=，接受0H（2）2σ的无偏估计量为：123/(3)0.178E E MS S n n n =++-=3．解：(1)61n =，4r =,(2)0.05(3,57) 2.76 3.564F ≈<,则拒绝原假设，即认为不同年级学生的月生活费水平有显著差异。

习 题 一 解 答１. 设Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个随机事件，试将下列事件用Ａ、Ｂ、Ｃ及其运算符号表示出来： (1) Ａ发生，Ｂ、Ｃ不发生； (2) Ａ、Ｂ不都发生，Ｃ发生；(3) Ａ、Ｂ中至少有一个事件发生，但Ｃ不发生； (4) 三个事件中至少有两个事件发生； (5) 三个事件中最多有两个事件发生； (6) 三个事件中只有一个事件发生．解：（1）C B A (2)C AB (3)()C B A ⋃ (4)BC A C AB ABC ⋃⋃(5)ABC (6)C B A C B A C B A ⋃⋃――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― ２. 袋中有15只白球 5 只黑球，从中有放回地抽取四次，每次一只．设Ａi 表示“第i 次取到白球”（i ＝1，2，3，4 ），Ｂ表示“至少有 3 次取到白球”． 试用文字叙述下列事件： (1) 41==i i A A ， (2) A ,(3) B ， (4) 32A A．解：（1）至少有一次取得白球 （2）没有一次取得白球 （3）最多有2次取得白球（4）第2次和第3次至少有一次取得白球――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― ３. 设Ａ、Ｂ为随机事件，说明以下式子中Ａ、Ｂ之间的关系． (1) Ａ Ｂ＝Ａ （2）ＡＢ＝Ａ 解：（1）A B ⊇ (2)A B ⊆――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― ４. 设Ａ表示粮食产量不超过500公斤，Ｂ表示产量为200-400公斤 ，Ｃ表示产量低于300公斤，Ｄ表示产量为250-500公斤，用区间表示下列事 件： (1) AB ， (2) BC ，(3) C B ，(4)C D B )( ，(5)C B A ．解：(1)[]450,200; (2)[]300,200 (3)[]450,0 (4)[]300,200 (5)[]200,0――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― ５. 在图书馆中任选一本书，设事件Ａ表示“数学书”，Ｂ表示“中文版”， Ｃ表示“ 1970 年后出版”．问：(1) ＡＢＣ表示什么事件？(2) 在什么条件下，有ＡＢＣ＝Ａ成立？ (3) C ⊂Ｂ表示什么意思？(4) 如果A ＝Ｂ，说明什么问题？ 解：（1）选了一本1970年或以前出版的中文版数学书 （2）图书馆的数学书都是1970年后出版的中文书 （3）表示1970年或以前出版的书都是中文版的书（4）说明所有的非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都不是数学书――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― ６. 互斥事件和对立事件有什么区别？试比较下列事件间的关系．(1) X ＜ 20 和X ≥ 20 ； (2) X ＞ 20和X ＜ 18 ；(3) X ＞ 20和X ≤ 25 ；(4) 5 粒种子都出苗和5粒种子只有一粒不出苗； (5) 5 粒种子都出苗和5粒种子至少有一粒不出苗． 解：（1）对立; (2)互斥；（3）相容；（4）互斥；（5）对立――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― (古)７. 抛掷三枚均匀的硬币，求出现“三个正面”的概率．解：125.081213===p ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― （古）８. 在一本英汉词典中，由两个不同的字母组成的单词共有 55 个，现从•26个英文字母中随机抽取两个排在一起，求能排成上述单词的概率．解：252655⨯=p ≈0.0846 ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― （古）９. 把 10 本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率是多少？ 解：首先将指定的三本书放在一起，共!3种放法，然后将8)1(7=+进行排列，共有!8种不同排列方法。

习题一1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ：(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件}{两次出现的面相同=A ；(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件{=A 一分钟内呼叫次数不超过3次}； (3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件{=A 寿命在2000到2500小时之间}。

解 (1) )},(),,(),,(),,{(--+--+++=Ω， )},(),,{(--++=A . (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数，则},2,1,0|{ ===Ωk k X ， }3,2,1,0|{===k k X A .(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则)},0({∞+∈=ΩX ， )}2500,2000({∈=X A .3. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设=A {取得球的号码是偶数}，=B {取得球的号码是奇数}，=C {取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：(1)B A ；(2)AB ；(3)AC ；(4)AC ；(5)C A ；(6)C B ；(7)C A -. 解 (1) Ω=B A 是必然事件； (2) φ=AB 是不可能事件；(3) =AC {取得球的号码是2，4}；(4) =AC {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；(5) =C A {取得球的号码为奇数，且不小于5}={取得球的号码为5，7，9}；(6) ==C B C B {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}； (7) ==-C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}4. 在区间]2,0[上任取一数，记⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B ，求下列事件的表达式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)B A .解 (1) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B A ;(2) =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤≤=B x x x B A 21210或⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2312141x x x x ; (3) 因为B A ⊂，所以φ=B A ；(4)=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<≤=223410x x x A B A 或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<<≤223121410x x x x 或或 4. 用事件CB A ,,的运算关系式表示下列事件：(1) A 出现，C B ,都不出现（记为1E ）； (2) B A ,都出现，C 不出现（记为2E ）； (3) 所有三个事件都出现（记为3E ）； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为4E ）； (5) 三个事件都不出现（记为5E ）； (6) 不多于一个事件出现（记为6E ）； (7) 不多于两个事件出现（记为7E ）； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为8E ）。

概率论与数理统计(浙大四版)习题解 第9章 方差分析约定：以下各个习题所涉及的方差分析问题均满足方差分析模型所要求的条件。

【习题9.1】今有某种型号的电池三批，它们分别是C B A ,,三个工厂所生产的。

为评比其质量，各随机抽取5只电池为样品，经试验得其寿命（小时）如下表。

三批电池样品的寿命检测结果 A B C 40 42 26 28 39 50 48 45 34 32 40 50 383043（1）试在显著性水平0.05下检验电池的平均寿命有无显著的差异。

（2）若差异显著，试求B A μμ-、C A μμ-及C B μμ-的置信水平为0.95的置信区间。

〖解（1）〗设,,A B C μμμ分别表C B A ,,三厂所产电池的寿命均值，则问题（1）归结为检验下面的假设（单因素方差分析）01::,,不全相等A B CA B C H H μμμμμμ==设A 表因素（工厂），设,,,T R A CR 分别表样本和、样本平方和、因素A 计算数、矫正数，其值的计算过程和结果如下表。

样本数据预处理表A B C 预处理结果40 42 26 28 39 50 n=15 48 45 34 32 40 50 a=338 30 43 CR=22815 j T 213 150 222 T=585 2j j T n9073.8 4500 9856.8 A=23430.6 2ijx∑913745409970R=23647112221121158558522815152364723430.6jjj n aij j i n aijj i n a ij j j i T x T CR n R x A x n =============⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑计算平方和及自由度如下23647228158321151142364723430.6216.41531223430.622815615.61312T E A SST R CR df n SSE R A df n a SSA A CR df a =-=-==-=-==-=-==-=-==-=-==-=-= 方差分析表方差来源 平方和 自由度 均方 F 值()0.052,12F因素A 615.6 2 307.8 17.07 3.89 误差 216.4 12 18.0333总和83214因17.07 3.89值F =>在拒绝域内，故在0.05水平上拒绝0H ，即认定各厂生产的电池寿命有显著的差异。

第1章 随机变量及其概率1，写出下列试验的样本空间：（1） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录投掷的次数。

（2） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次，记录投掷的次数。

（3） 连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。

（4） 抛一枚硬币，若出现H 则再抛一次；若出现T ，则再抛一颗骰子，观察出现的各种结果。

解：（1）}7,6,5,4,3,2{=S ；（2）},4,3,2{ =S ；（3）},,,,{ TTTH TTH TH H S =；（4）}6,5,4,3,2,1,,{T T T T T T HT HH S =。

2，设B A ,是两个事件，已知,125.0)(,5.0)(,25.0)(===AB P B P A P ，求)])([(),(),(),(______AB B A P AB P B A P B A P ⋃⋃。

解：625.0)()()()(=-+=⋃AB P B P A P B A P ，375.0)()(])[()(=-=-=AB P B P B A S P B A P ，875.0)(1)(___--=AB P AB P ，5.0)(625.0)])([()()])([()])([(___=-=⋃-⋃=-⋃=⋃AB P AB B A P B A P AB S B A P AB B A P3，在100，101，…，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。

解：在100，101，…，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为648998=⨯⨯，所以所求得概率为72.0900648=4，在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。

（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。

解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有100455=⨯⨯个。

《概率论与数理统计》练习题9答案考试时间：120分钟题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分）1、一批产品，优质品占20%，进行重复抽样检查，共取5件产品进行检查，则恰有三件是优质品的概率等于( )。

A 、 30.2B 、320.20.8⨯C 、 30.210⨯D 、 32100.20.8⨯⨯答案：D2、设,A B 相互独立，()0.76P AB =, ()0.4P B =，则()P A =( )。

A 、0.16B 、0.36C 、0.4D 、0.6 答案：C3、已知离散型随机变量的分布律为0.250.51 0 p 0.25ξ-1则以下各分布律正确的是( )。

0.5120 p (A)0.52ξ-20.250.253 1 p(B)0.521ξ+-10.50.2510ξ2p(C)0.50.51 0ξ2p(D)答案：D4、设随机变量ξ与η相互独立，且都有相同的分布列则ζξη=+的分布列为( )。

A 、B 、C 、D 、答案：C5、若随机变量ξ与η相互独立，且方差()2,() 1.5D D ξη==，则(321)D ξη--等于( )。

A 、9 B 、24 C 、25 D 、2答案：B6、()0D ξ=是{}1P C ξ==(C 是常数)的( )。

A 、充分条件，但不是必要条件B 、必要条件，但不是充分条件C 、充分条件又是必要条件D 、既非充分条件又非必要条件 答案：C 、7、设随机变量n ξ，服从二项分布(,)B n p ，其中01,1,2,p n <<=，那么，对于任一实数x ，有(({}lim nn Pnp x ξ→+∞-<等于( )。

A22t xe dt --∞B22t edt +∞--∞C 、1222πe dt t x -zD 、0答案：D8、设12(,,)n X X X 是正态总体2~(,)X N μσ的一个样本,样本均值为X ,样本的二阶中心矩为2S .则统计量()/(Q X μ=-服从( )。

工程数学“概率论与数理统计”测试题参考答案(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--“概率论与数理统计”测试题参考答案1．设A , B 是两个随机事件，已知P (A ) = ，P (B ) = ，P (A B )=，求：（1）)(B A P ；（2）)(B A P .解：（1） )(A P =)(1A P -= )(B A P = )(A P )(A B P = ⨯ =（2） )(B A P =1-)(B A P= 1 - )()(B P B A P =1-8.008.0= 2．罐中有12颗围棋子，其中8颗白子，4颗黑子．若从中任取3颗，求：（1）取到3颗棋子中至少有一颗黑子的概率；（2）取到3颗棋子颜色相同的概率．解：设1A =“取到3颗棋子中至少有一颗黑子”，2A =“取到的都是白子”，3A =“取到的都是黑子”，B =“取到3颗棋子颜色相同”，则（1）)(1)(1)(211A P A P A P -=-=745.0255.01131238=-=-=C C ． （2）)()()()(3232A P A P A A P B P +=+=273.0018.0255.0255.031234=+=+C C ． 3．两台车床加工同样的零件，第一台废品率是1％，第二台废品率是2％，加工出来的零件放在一起。

已知第一台加工的零件是第二台加工的零件的3倍,求任意取出的零件是合格品的概率．解：设A i ：“是第i 台车床加工的零件”(,)i =12，B ：“零件是合格品”.由全概公式有P B P A P B A P A P B A ()()()()()=+1122 显然43)(1=A P ，41)(2=A P ，99.0)(1=A B P ，P B A ().2098=，故 9875.098.04199.043)(=⨯+⨯=B P 4．一袋中有9个球，其中6个黑球3个白球．今从中依次无放回地抽取两个，求第2次抽取出的是白球的概率.解：设如下事件：i A ：“第i 次抽取出的是白球”（2,1=i ） 显然有93)(1=A P ，由全概公式得 )()()()()(1211212A A P A P A A P A P A P +=3183328231=⨯+⨯= 5．设)4,3(~N X ，试求⑴)95(<<X P ；⑵)7(>X P ．（已知,8413.0)1(=Φ 9987.0)3(,9772.0)2(=Φ=Φ） 解：⑴)3231()23923235()95(<-<=-<-<-=<<X P X P X P 1574.08413.09987.0)1()3(=-=Φ-Φ=⑵)23723()7(->-=>X P X P )223(1)223(≤--=>-=X P X P 0228.09772.01)2(1=-=Φ-=6．设随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨⎧≤≤=其它010)(2x Ax x f 求（1）A ；（2）)(X E ；（3）)(X D .解： （1）由1331d d )(1103102=====⎰⎰∞+∞-A x A x Ax x x f ，得出3=A（2） =)(X E 4343d 3d )(104102==⋅=⎰⎰∞+∞-x x x x x x xf （3）=)(2X E 5353d 31052102==⋅⎰x x x x 80316953))(()()(22=-=-=X E X E X D 7．设随机变量X ~ N （3，4）．求：（1）P （1< X < 7）；（2）使P （X < a ）=成立的常数a ． (8413.0)0.1(=Φ，9.0)28.1(=Φ，9973.0)0.2(=Φ)．解：（1）P （1< X < 7）=)23723231(-<-<-X P =)2231(<-<-X P =)1()2(-Φ-Φ = + – 1 =（2）因为 P （X < a ）=)2323(-<-a X P =)23(-Φa = 所以 28.123=-a ，a = 3 + 28.12⨯ = 8．从正态总体N （μ，9）中抽取容量为64的样本，计算样本均值得x = 21，求μ的置信度为95%的置信区间．(已知 96.1975.0=u )解：已知3=σ，n = 64，且n x u σμ-=~ )1,0(N 因为 x = 21，96.121=-αu，且 735.064396.121=⨯=-n u σα所以，置信度为95%的μ的置信区间为： ]735.21,265.20[],[2121=+---n u x n u x σσαα．9．某切割机在正常工作时，切割的每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为 cm ，标准差为.从一批产品中随机地抽取4段进行测量，测得的结果如下：（单位：cm ），，，问：该机工作是否正常(05.0=α, 96.1975.0=u )解：零假设5.10:0=μH .由于已知15.0=σ，故选取样本函数nx U σμ-=～)1,0(N 经计算得375.10=x ，075.0415.0==n σ，67.1075.05.10375.10=-=-nx σμ由已知条件96.121=-αu ，且 2196.167.1αμσμ-=<=-nx 故接受零假设，即该机工作正常.10．某钢厂生产了一批轴承，轴承的标准直径20mm ，今对这批轴承进行检验，随机取出16个测得直径的平均值为，样本标准差3.0=s ，已知管材直径服从正态分布，问这批轴承的质量是否合格（检验显著性水平α=005.，131.2)15(05.0=t ）解：零假设20:0=μH ．由于未知σ2，故选取样本函数T x s nt n =--μ~()1 已知8.19=x ，经计算得075.043.016==s ，667.2075.0208.19=-=-ns x μ 由已知条件131.2)15(05.0=t ，)15(131.2667.205.0t n s x =>=-μ故拒绝零假设，即不认为这批轴承的质量是合格的．。

1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ：(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件A{两次出现的面相同} ；(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件A(3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件A { 一分钟内呼叫次数不超过3 次}；{ 寿命在2000 到2500 小时之间}。

解(1){( ,), ( ,), ( ,), (, )} ，A{( ,), ( ,)}.(2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数，则{X k | k0,1,2,LL} ， A {X k | k0,1,2,3} .(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则{X (0,)} ， A {X(2000,2500)} .2. 袋中有10 个球，分别编有号码1 至10，从中任取1 球，设A {取得球的号码是偶数}，B {取得球的号码是奇数}，C {取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：(1) A U B ；(2) AB ；(3) AC ；(4) AC ；(5) A C；(6) B U C ；(7) A C .解(1) A U B是必然事件；(2) AB 是不可能事件；(3) AC {取得球的号码是2，4}；(4) AC {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；(5) A C{取得球的号码为奇数，且不小于5} {取得球的号码为5，7，9}；(6) B U C B I C{取得球的号码是不小于5 的偶数} {取得球的号码为6，8，10}；(7) A C AC {取得球的号码是不小于5 的偶数}={取得球的号码为6，8，10}3. 在区间[0 , 2] 上任取一数，记A (1) A U B ；(2) A ；(3) AB ；(4) A U B .x1x21 ，B x 1 x43，求下列事件的表达式：2解(1) A U B x 1 x 3 ;4 2(2) A x 0 x 1或1 x22 I B x1x41U x1 x3;2 2(3) 因为A B ，所以AB ；(4) A U B A U x 0 x 1或3x 2x 0 x1 1x 1或3x 2 4. 用事件A, B, C 4 2 4 2 2的运算关系式表示下列事件：(1) A 出现，B, C都不出现（记为E1）；(2) A, B 都出现，C 不出现（记为E2）；(3) 所有三个事件都出现（记为E3）；(4) 三个事件中至少有一个出现（记为E4）；(5) 三个事件都不出现（记为E5）；(6) 不多于一个事件出现（记为E6）；(7) 不多于两个事件出现（记为E7）；(8) 三个事件中至少有两个出现（记为E8）。

习题一解答1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件：A(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件}{两次出现的面相同.A；(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件{.A一分钟内呼叫次数不超过次}；3(3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件{.A寿命在到小时之间}。

20002500解(1) )},(),,(),,(),,{(..........，)},(),,{(.....A.(2) 记X为一分钟内接到的呼叫次数，则},2,1,0|{......kkX，}3,2,1,0|{...kkXA.(3) 记X为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则)},0({.....X，)}2500,2000({..XA.2. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设.A{取得球的号码是偶数}，.B{取得球的号码是奇数}，{取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：.C(1)；(2)BA.AB；(3)；(4)ACAC；(5)CA；(6)CB.；(7)CA..解(1) 是必然事件；..BA.(2) ..AB是不可能事件；(3) {取得球的号码是2，4}；.AC(4) .AC{取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；(5) .CA{取得球的号码为奇数，且不小于5}.{取得球的号码为5，7，9}；(6) ..CBCB..{取得球的号码是不小于5的偶数}.{取得球的号码为6，8，10}；(7) ...CACA{取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}3. 在区间上任取一数，记]2,0[BA.........121xxA，.........2341xxB，求下列事件的表达式：(1)；(2)BA.；(3)BA；(4)BA..解(1).........2341xxBA.;(2) ............BxxxBA.21210或................2312141xxxx.;(3) 因为BA.，所以..BA；(4)............223410xxxABA或..............223121410xxxx或或4. 用事件的运算关系式表示下列事件：CBA,,(1) 出现，都不出现（记为）；ACB,1E(2) 都出现，不出现（记为）；BA,C2E(3) 所有三个事件都出现（记为）；3E(4) 三个事件中至少有一个出现（记为）；4E(5) 三个事件都不出现（记为）；5E(6) 不多于一个事件出现（记为）；6E(7) 不多于两个事件出现（记为）；7E(8) 三个事件中至少有两个出现（记为）。

5．一批产品共10件，其中7件正品，3件次品。从该批产品中每次任取一件，在下列两种情况下，分别求直至取得正品为止所需次数X的分布律。
（1）每次取后不放回；（2）每次取后放回。
X
1
2
3
4
P
解：（1）
(2) （ =1，2，…）
6.某射手每发子弹命中目标概率为0.8，现相互独立地射击5发子弹，
求：（1）命中目标弹数地分布律；（2）命中目标的概率。
解：由题意得：（X，Y）的可能取值为：（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2）。
则由概率的乘法公式得：P{X=1,Y=2}=(1/4)×(2/3)=1/6
P{X=1,Y=3}=(1/4)×(1/3)=1/12
P{X=2,Y=1}=(2/4)×(1/3)=1/6
解：(1) = + +
= cxdx
=1
所以，解得
C=2
(2) P{0.3<X<0.7}= 2xdx
=
=0.49-0.09
=0.4
(3)由 得：
当a < 0时， ，
当a > 1时，
故，a不可能小于0或大于1；
当0≤a≤1时，
所以， ，即得：a＝
（4）由题设可知，b的取值范围为：0≤b≤1
，所以b＝0.6
当 时
当 时
于是
（3）
=
5.随机变量（X，Y）的分布密度为
（1）求系数C；（2）求随机变量（X，Y）落在 内的概率。
解：（1）由 （利用极坐标运算）得
于是
（2）利用极坐标运算得：
= （1- ）
6.求出在D上服从均匀分布的随机变量(X,Y)的分布密度及分布函数,其中D为x轴，y轴及直线y=2x+1围成的三角形区域．

可编辑修改精选全文完整版应用统计学第9章分类数据分析9.1 欲研究不同收入群体对某种特定上坡是否有相同的购买习惯，市场研究人员调查了四个不同收入组的消费者共527人，购买习惯分为：经常购买，不购买，有时购买。

调查结果如下表所示。

要求：（1）提出假设。

χ值。

（2）计算2（3）以α=0.1的显著水平进行检验。

解：（1）：提出假设：oH:不同收入群体对某种特定商品的购买习惯相同H不同收入群体对某种特定商品的购买习惯不全相同1:（2）：χ计算结果3⨯4列联表期望值及22()2fo fe feχ=-÷=∑17.63所以2χ的值为17.63.（3）：α=0.1 自由度(31)(41)6df=-⨯-=临界值χ0.1²(6)=10.64 2χ=17.63>χ0.1²(6)=10.64∴拒绝原假设，接受备择假设。

结论：不同收入群体对某种特定商品的购买习惯不全相同9.4 教学改革后学生有了更多的选课自由，但学院领导在安排课程上也面临新的问题。

例如MBA研究生班的学生选课学年之间的变化常常很大，去年的学生很多人选会计课，而今年的学生很多人选市场营销课。

由于事先无法确定究竟有多少学生选各门课程，所以无法有效地进行教学资源的准备。

由于有人提出学生所选课程与其本科所学的专业有关。

为此学院（1）以0.05的显著性水平检验学生本科所学专业是否影响其读MBA期间所选的课程。

（2）计算P值。

解：4⨯3列联表期望值及2χ计算结果2()2fo fe feχ=-÷=∑14.93提出假设：oH:本科学生所学专业受其读MBA期间所选的课程影响1:H本科学生所学专业不受其读MBA期间所选的课程影响α=0.05 自由度(41)(31)6df=-⨯-=临界值χ0.05²(6)=12.59 2χ=14.93>χ0.05²(6)=12.59∴拒绝原假设，接受备择假设。

结论：本科学生所学专业不受其读MBA期间所选的课程影响（2）：利用Excel计算得出P=0.1856。

(7) E 7 = ABC = A U B U C ；(8) E8 = AB U AC U BC . 5. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设 Ai 表示事件“第 i 次
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25 5 (ⅰ)有利于 A 的样本点数 k A = 5 ，故 P( A) = = 49 7 5 × 2 10 (ⅱ) 有利于 B 的样本点数 k B = 5 × 2 ，故 P( B) = 2 = 49 7 20 (ⅲ) 有利于 C 的样本点数 k C = 2 × 5 × 2 ，故 P(C ) = 49 7 × 5 35 5 = . (ⅳ) 有利于 D 的样本点数 k D = 7 × 5 ，故 P( D) = 2 = 49 7 7 3．一个口袋中装有 6 只球，分别编上号码 1 至 6，随机地从这个口袋中取 2 只球，试求：(1) 最 小号码是 3 的概率；(2) 最大号码是 3 的概率。 解 本题是无放回模式，样本点总数 n = 6 × 5 . (ⅰ) 最小号码为 3，只能从编号为 3，4，5，6 这四个球中取 2 只，且有一次抽到 3，因而有利 2×3 1 样本点数为 2 × 3 ，所求概率为 = . 6×5 5 (ⅱ) 最大号码为 3，只能从 1，2，3 号球中取，且有一次取到 3，于是有利样本点数为 2 × 2 ，
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习题一解答
1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件 A ： (1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件 A = {两次出现的面相同} ； (2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件 A = { 一分钟内呼叫次数不超过 3 次}； (3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件 A = { 寿命在 2000 到 2500 小时之间}。 解 (1) Ω = {( +,+), (+,−), (−,+), (−,−)} ， A = {(+,+), (−,−)} . (2) 记 X 为一分钟内接到的呼叫次数，则 Ω = { X = k | k = 0,1,2,LL} ， A = { X = k | k = 0,1,2,3} . (3) 记 X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时） ，则 Ω = { X ∈ (0, + ∞)} ， A = { X ∈ (2000, 2500)} . 2. 袋中有10 个球， 分别编有号码 1 至 10， 从中任取 1 球， 设 A = {取得球的号码是偶数}， B = {取 得球的号码是奇数}， C = {取得球的号码小于 5}，问下列运算表示什么事件： (1) A U B ；(2) AB ；(3) AC ；(4) AC ；(5) A C ；(6) B U C ；(7) A − C . 解 (1) A U B = Ω 是必然事件； (2) AB = φ 是不可能事件； (3) AC = {取得球的号码是 2，4}； (4) AC = {取得球的号码是 1，3，5，6，7，8，9，10}； (5) A C = {取得球的号码为奇数，且不小于 5} = {取得球的号码为 5，7，9}； (6) B U C = B I C = {取得球的号码是不小于 5 的偶数} = {取得球的号码为 6，8，10}； (7) A − C = AC = {取得球的号码是不小于 5 的偶数}={取得球的号码为 6，8，10} 1 1 3 3. 在区间 [0 , 2] 上任取一数，记 A = x < x ≤ 1 ， B = x ≤ x ≤ ，求下列事件的表达式： 2 2 4 (1) A U B ；(2) A B ；(3) AB ；(4) A U B . 1 3 解 (1) A U B = x ≤ x ≤ ; 2 4 1 (2) A B = x 0 ≤ x ≤ 或 1 < x ≤ 2 I B = 2 (3) 因为 A ⊂ B ，所以 AB = φ ； 1 1 3 x ≤ x ≤ U x1 < x ≤ ; 2 2 4

工程数学期末复习要点邹斌现在主要讨论工程数学这门课程的考核要求，08秋工程数学考试形式为半开卷，行考比例占30%，我们将分章节复习。

本课程分线性代数和概率统计两部分共7章内容。

分别是行列式、矩阵、线性方程组、矩阵的特征值及二次型、随机事件与概率、随机变量的分布和数字特征、数理统计基础。

第一部分线性代数一、行列式复习要求（1）知道n阶行列式的递归定义；（2）掌握利用性质计算行列式的方法；（3）知道克莱姆法则。

考核要求：行列式性质的计算（选择或填空）二、矩阵复习要求（1）理解矩阵的概念，了解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、上（下）三角矩阵、对称矩阵的定义，了解初等矩阵的定义；（2）熟练掌握矩阵的加法、数乘矩阵、乘法、转置等运算；（3）掌握方阵乘积行列式定理；（4）理解可逆矩阵和逆矩阵的概念及性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件；（5）熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法，会用伴随矩阵法求逆矩阵，掌握求解简单的矩阵方程的方法；（6）理解矩阵秩的概念，掌握矩阵秩的求法；（7）会分块矩阵的运算。

考核要求：（1）矩阵乘法（选择或填空）（2）求逆矩阵（3阶）初等行变换法（计算题）（3）求矩阵的秩（等于阶梯形矩阵的非零行数）三、线性方程组复习要求（1）掌握向量的线性组合与线性表出的方法，了解向量组线性相关与线性无关的概念，会判别向量组的线性相关性；（2）会求向量组的极大线性无关组，了解向量组和矩阵的秩的概念，掌握求向量组的秩和矩阵的秩的方法；（3）理解线性方程组的相容性定理，理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件。

熟练掌握用矩阵初等行变换方法判断齐次与非齐次线性方程组解的存在性和惟一性；（4）熟练掌握齐次线性方程组基础解系和通解的求法；（5）了解非齐次线性方程组解的结构，掌握求非齐次线性方程组通解的方法。

考核要求：（1）线性相关性（选择或填空）（2）会求向量组的极大线性无关组（计算题）（3）线性方程组的判定定理（选择或填空）（4）熟练掌握齐次和非齐次方程组的基础解系和通解的求法（计算题）四、矩阵的特征值及二次型复习要求（1）理解矩阵特征值、特征多项式及特征向量的定义，掌握特征值与特征向量的求法；（2）了解矩阵相似的定义，相似矩阵的性质；（3）知道正交矩阵的定义和性质；（4）理解二次型定义、二次型的矩阵表示、二次型的标准形，掌握用配方法化二次型为标准形的方法；（5）了解正定矩阵的概念，会判定矩阵的正定性。

工程硕士《应用概率统计》复习题考试要求：开一页；题目类型：简答题和大题；考试时间：100分钟。

1. 已知 0.5,)( 0.4,)( 0.3,)(===B A P B P A P 求)(B A P ⋃。

解：因为 0.7,0.3-1)(-1(A)===A P P 又因为, ,-- A B A B A A B A AB ⊂== 所以 0.2,0.5-7.0)( -(A))(A ===B A P P B P故 0.9.0.2-0.40.7P(AB)-P(B)(A))(A =+=+=⋃P B P2.设随机变量)1(,95)1(),,4(~),,2(~≥=≥Y P X P p b Y p b X 求并且。

解：.816531-1-10)(Y -11)(Y ),31,4(~,31,94-1-1-10)(X -1)1(,95)1(),,2(~422====≥=====≥=≥）（故从而解得）所以（）（而且P P b Y p p p P X P X P p b X3．随机变量X 与Y 相互独立，下表中给出了X 与Y 的联合分布的部分数值，请将表中其4．设随机变量Y 服从参数21=λ的指数分布，求关于x 的方程0322=-++Y Yx x 没有实根的概率。

解：因为当时没有实根时，即0128Y -Y 03)-4(2Y -Y 22<+<=∆，故所求的概率为}6Y P{20}128Y -P{Y 2<<=<+，而Y 的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,00,21f(y)21-y y e y ，从而36221-621-1dy 21f(y)dy 6}Y {2e e e P y ===<<⎰⎰5．设离散型随机变量X 的可能取值为 -1，0，1，3，相应的概率依次为,167165163161，，， 求概率)2(≤X P 。

解：由题意可知,1673}P{X ,1651}P{X ,1630}P{X ,161-1}P{X ======== 所以.169167-13}P{X -11}P{X 0}P{X -1}P{X 2)|X P(|=====+=+==≤9. 现有两箱同类产品，第一箱装50件，其中有10件一等品；第二箱装30件，其中有18件一等品。

n
xi yi
i 1 n
xi 2
i 1
n
i 1
xi
n
xi 2
i 1
yi
n
ci yi ,
i 1
你仅购买了个人使用权
这里 ci
xi
n
是常数。所以 ˆ 也服从正态分布。
xi2
i 1
注意到，误差服从高斯-马尔科夫假设，即 1, 2 ,, n 不相关（正态分布不相关等价于 独立），从而 y1, y2 ,, yn 也相互独立，所以
你仅购买了个人使用权
《概率论与数理统计》习题解答 王松桂、张忠占、程维虎等，第三版，科学出版社
第九章
9.1 对一元线性回归模型
yi xi i ， i 1,2,3,, n
它不包含常数项，假设误差服从高斯-马尔科夫假设。
（1）求斜率 的最小二乘估计 ˆ ；
（2）若进一步假设误差 i ~ N (0, 2 ) ，试求 ˆ 的分布； （3）导出假设 H0 : 0 的检验统计量。 解：（1）本题也采用 9.1.1 小节的方法，求斜率 的最小二乘估计 ˆ 。
0.24 0.24 0.24 0.25 0.26 0.29 0.32
56 53 53 54.5 61.5 59.5 64
（1）求 0 和 1 的最小二乘估计，并写出经验回归方程； （2）作回归方程的显著性检验，并列出方差分析表（取 0.05 ）； （3）求 0 和 1 各自的置信系数为 0.95 的置信区间。
假设这些数据服从一元线性回归模型
yi 0 1xi i ， i ~ N (0, 2 ) ， i 1,2,3,,92
序 X(%) 号
1 0.03 2 0.04 3 0.04 4 0.05 5 0.05 6 0.05 7 0.05 8 0.06 9 0.06 10 0.07 11 0.07 12 0.07 13 0.08 14 0.08 15 0.08 16 0.08 17 0.08 18 0.08 19 0.08 20 0.09 21 0.09 22 0.09 23 0.09 24 0.09 25 0.09