2014年北京市海淀区高三二模数学(理)试题Word版带解析

海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 （理科) 2014．5一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项．1．()sin 150-o 的值为（ ）．A ．12-B ．12C ．D2．已知命题p ：“0a ∀>，有e 1a ≥成立”，则p ⌝为（ ）．A ．0a ∃≤，有e 1a ≤成立B ．0a ∃≤，有e 1a ≥成立C ．0a ∃>，有e 1a <成立D ．0a ∃>，有e 1a ≤成立3．执行如图所示的程序框图，若输出的S 为4，则输入的x 应 为（ ）．A ．2-B ．16C ．2-或8D ．2-或164．在极坐标中，圆2sin ρθ=的圆心到极轴的距离为某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为（ ）．A ．1 BCD ．25．已知(),P x y 是不等式组10300x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，表示的平面区域内的一点，()1,2A ，O 为坐标原点，则OA OP ⋅uu r uu u r的最大值（ ）．A ．2B ． 3C ．5D ．66． 一观览车的主架示意图如图所示，其中O 为轮轴中心，距地面32m （即OM 的长），巨轮的半径为30m ，2AM BP ==m ，巨轮逆时针转且12分钟转动一圈．若点M 为吊舱P 的初始位置，经过t 分钟，该吊舱P 距离地面的高度为()h t m ，则()h t =（ ）．A ．ππ30sin 30122t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭B ．ππ30sin 3062t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭C ．ππ30sin 3262t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D ．ππ30sin 62t ⎛⎫- ⎪⎝⎭7．已知等差数列{}n a 单调递增且满足1104a a +=，则8a 的取值范围（ ）．A ． ()2,4B ．(),2-∞C ．()2,+∞D ．()4,+∞8．已知点,E F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱1,AB AA 的中点，点,M N 分别是线段1D E 与1C F 上的点，则满足 于平面平行的直线MN 有（ ）． A ． 0条 B ．1条 C ．2条 D ．无数条二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分． 9． 满足不等式20x x -<的x 的取值范围是_______．10．已知双曲线22221x y a b-=的一条渐进线为2y x =，则双曲线的离心率为______．11．已知()51ax +的展开式中3x 的系数是10，则实数a 的值是____．12．已知斜三棱柱的三视图如图所示，该斜三棱柱的体积为______．FED 1C 1B 1A 1DCBA 左视图主视图13．已知12,l l 是曲线1:C y x=的两条互相平行的切线，则1l 与2l 的距离的最大值为 ______________．14．已知集合{}1,2,3,,100M =L ，A 是集合M 的非空子集，把集合A 中的歌元素之和记作()S A ．①满足()8S A =的集合A 的个数为_____； ②()S A 的所有不同取值的个数为______．三、解答题: 本大题共6小题,共80分．解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在锐角三角形ABC △中，a A = 且b = （Ⅰ）求B 的大小； （Ⅱ）若3a c =，求c 的值．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，1,AB AC AC AB AA ⊥==，,E F 分别是棱1,BC AA 的中点，G 为棱1CC 上的一点，且1C F ∥平面AGE ． （Ⅰ）求1CGCC 的值； （II ）求证：1EG AC ⊥； （III ）求二面角1A AG E --的余弦值．B 1C 1A 1GFECAB某单位有车牌尾号为2的A车和尾号为6的B车，两车分属于两个独立业务部门，对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日，A车日出车频率0.6，B车日出车频率0.5．该地区汽车限行规定如下：（Ⅰ）求该单位在星期一恰好出车一台的概率；（II）设X表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求X的分布列及数学期望()E X．已知函数()()()sin cos ,0,πf x x a x x x =-+∈．（I ）当π2a =时，求函数()f x 的值域； （II ）当π2a >时，求函数()f x 的单调区间．已知椭圆G ，其短轴两端点为()()0,1,0,1A B -． （I ）求椭圆G 的方程；（II ）若C ，D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点，直线AC ，BD 与x 轴分别交与点M ，N ，判断以MN 为直径的圆是否过点A ，并说明理由．对于自然数组(),,a b c ，如下定义该数组的极差：三个数的最大值值与最小值的差．如果(),,a b c 的极差1d ≥，可实施如下操作f ：若,,a b c 中最大的数唯一，则把最大的数减2，其余两个数个增加1；若,,a b c 中最大的数有两个，则把最大数各减1，第三个数加2，此为一次操作，操作结果记为()1,,f a b c ，其极差为1d ．若11d ≥，则继续对()1,,f a b c 实施操作,f L ，实施n 次操作后的结果记为(),,n f a b c ，其极差记为n d ．例如：()()()()121,3,33,2,2,1,3,31,3,3f f ==． （Ⅰ）若()(),,1,3,14a b c =，求122014,,d d d ；（Ⅱ）已知(),,a b c 的极差d 且a b c <<，若1,2,3,n =L 时，恒有n d d =，求d 所有可能取值；（Ⅲ）若,,a b c 是以4为公比的正整数等比数列中的任意三项，求证：存在n 满足0n d =．海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案数 学 （理科) 2014．5一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分．1．A 2．C 3．D 4．A ． 5．D 6．B 7．C 8．D 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分．9．01x <<{或(0,1) } 1011．1 12．2 13． 14．6，5050 {本题第一空3分，第二空2分} 三、解答题: 本大题共6小题,共80分． 15．解：（Ⅰ）由正弦定理可得sin sin a b A B= ----------------------------2分因为,a A b =所以sin sin b A B a === ---------------------------5分 在锐角ABC ∆中，60B =o ---------------------------7分 （Ⅱ）由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+- ----------------------------9分 又因为3a c =所以2222193c c c =+-，即23c = -------------------------------11分解得c = -------------------------------12分经检验，由222cos 02b c a A bc +-==<可得90A >o ，不符合题意，所以c =舍去． --------------------13分 16．解：（Ⅰ）因为1//C F 平面AEG又1C F ⊂平面11ACC A ，平面11ACC A I 平面AEG AG =， 所以1//C F AG ． ---------------------------------3分 因为F 为1AA 中点，且侧面11ACC A 为平行四边形所以G 为1CC 中点，所以112CG CC =．------------------------4分 （Ⅱ）因为1AA ⊥底面ABC ，所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥， ----------------------------------5分 又AB AC ⊥，如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -，设2AB =，则由1AB AC AA ==可得11(2,0,0),(0,2,0),(2,0,2),(0,0,2)C B C A ---------6分因为,E G 分别是1,BC CC 的中点，所以(1,1,0),(2,0,1)E G ． --------------------------7分1(1,1,1)(2,0,2)0EG CA ⋅=-⋅-=u u u r u u u r． --------------------------------8分所以1EG CA ⊥uu u r uuu r，所以1EG AC ⊥． --------------------------------9分 （Ⅲ）设平面AEG 的法向量(,,)x y z =n ，则0,0,AE AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n uu u r uuu r即0,20.x y x z +=⎧⎨+=⎩ --------------------------10分 令1x =，则1,2y z =-=-，所以(1,1,2)=--n ． --------------------------11分 由已知可得平面1A AG 的法向量(0,1,0)=m -------------------------------12分所以cos ,||||⋅<>==⋅n m n m n m --------------------------------13分由题意知二面角1A AG E --为钝角， 所以二面角1A AG E --的余弦值为． --------------------------------14分 16．解：（Ⅰ）设A 车在星期i 出车的事件为i A ，B 车在星期i 出车的事件为i B ，1,2,3,4,5i = 由已知可得()0.6,()0.5i i P A P B ==设该单位在星期一恰好出一台车的事件为C ， -------------------------------1分 因为,A B 两车是否出车相互独立，且事件1111,A B A B 互斥 ----------------2分所以111111111111()()()()()()()()P C P A B A B P A B P A B P A P B P A P B =+=+=+ 0.6(10.5)(10.6)0.5=⨯-+-⨯ --------------------------4分 0.5=1所以该单位在星期一恰好出一台车的概率为0.5． --------------------------5分 {答题与设事件都没有扣1分，有一个不扣分}（Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3 ----------------------------6分 112(0)()()0.40.50.40.08P X P A B P A===⨯⨯= 2112(1)()()()()0.50.40.40.50.60.32P X P C P A P A B P A ==+=⨯+⨯⨯= 1122(2)()()()()0.60.50.40.50.60.42P X P A B P AP C P A ==+=⨯⨯+⨯= 112(3)()()0.60.50.60.18P X P A B P A ===⨯⨯= ----------------------------10分所以X 的的分布列为--------------11分()00.0810.3220.4230.18 1.7E X =⨯+⨯+⨯+⨯=-------------------------------13分18．解：（Ⅰ）当π2a =时，π()()sin cos ,(0,π)2f x x x x x =-+∈π'()()c o s 2f x x x =- --------------------------------1分由'()0f x =得π2x = --------------------------------------2分(),'()f x f x 的情况如下--------------------------------------------------4分因为(0)1f =，(π)1f =-，所以函数()f x 的值域为(1,1)-． ---------------------------------------------------5分 （Ⅱ）'()()cos f x x a x =-， ①当ππa <<时，(),'()f x f x 的情况如下-------------------------------------------------9分所以函数()f x 的单调增区间为π(,)2a ，单调减区间为π(0,)2和(,π)a②当πa ≥时，(),'()f x f x 的情况如下------------------------------------------------13分所以函数()f x 的单调增区间为π(,π)2，单调减区间为π(0,)2．19．解:（Ⅰ）由已知可设椭圆G 的方程为：2221(1)1x y a a +=>．-------------------------------1分 由e =，可得222112a e a -==,-----------------------------------------------------2分解得22a =, ----------------------------------------------3分 所以椭圆的标准方程为22121x y +=． ------------------------------------------4分 （Ⅱ）法一：设00(,),C x y 且00x ≠，则00(,)D x y -． ----------------------------------------5分 因为(0,1),(0,1)A B -, 所以直线AC 的方程为0011y y x x -=+． ----------------------------------------6分 令0y =，得001M x x y -=-，所以00(,0)1x M y --． ------------------------------------7分 同理直线BD 的方程为0011y y x x +=--，求得00(,0)1xN y -+．-----------------------8分 0000(,1),(,1),11x x AM AN y y -=-=--+uuu r uuu r -----------------------------------------9分所以AM AN ⋅=uuu r uuu r 202011x y -+-, --------------------------------------10分 由00(,)C x y 在椭圆G ：2212x y +=上，所以22002(1)x y =-,-------------------11分所以10AM AN ⋅=-≠uuu r uuu r, -----------------------------13分所以90MAN ∠≠o ,所以，以线段MN 为直径的圆不过点A ． ------------------------------14分 法二：因为,C D 关于y 轴对称，且B 在y 轴上所以CBA DBA ∠=∠． ------------------------------------------5分 因为N 在x 轴上，又(0,1),(0,1)A B -关于x 轴对称所以NAB NBA CBA ∠=∠=∠, ------------------------------------------6分 所以//BC AN , -------------------------------------------7分 所以180NAC ACB ∠=-∠o , ------------------------------------------8分 设00(,),C x y 且00x ≠，则22002(1)x y =-． ----------------------------------------9分因为22200000003(,1)(,1)(1)02CA CB x y x y x y x ⋅=-+=--=>u u r u u r ,----------------11分 所以90ACB ∠≠o , -----------------------------------12分 所以90NAC ∠≠o , ----------------------------------13分 所以，以线段MN 为直径的圆不过点A ． -------------------------------14分法三：设直线AC 的方程为1y kx =+，则1(,0)M k-， ---------------------------------5分22220,1,x y y kx ⎧+-=⎨=+⎩ 化简得到222(1)20x kx ++-=，所以22(12)40k x kx ++=，所以12240,21kx x k -==+, -----------------------------6分所以22222421112121k k y kx k k k --+=+=+=++, 所以222421(,)2121k k C k k --+++， ----------------------------7分因为,C D 关于y 轴对称，所以222421(,)2121k k D k k -+++． ----------------------------8分 所以直线BD 的方程为222211211421k k y x k k -+++=-+，即112y x k =-．------------------10分 令0y =，得到2x k =，所以(2,0)N k ． --------------------11分 1(,1)(2,1)10AM AN k k⋅=--⋅-=-≠uuu r uuu r , ----------------------12分所以90MAN ∠≠o , ----------------------------------13分 所以,以线段MN 为直径的圆恒过(0,2)和(0,2)-两点． --------------------------14分{法4 :转化为文科题做，考查向量AC AN ⋅uuu r uuu r的取值}20．解：（Ⅰ）110d =,27d =,20142d = ---------------------------3分 （Ⅱ）法一：① 当2d =时，则(,,)(,1,2)a b c a a a =++所以1(,1,2)(1,2,)f a a a a a a ++=++，122d a a =+-=，由操作规则可知，每次操作，数组中的最大数2a +变为最小数a ，最小数a 和次 小数1a +分别变为次小数1a +和最大数2a +，所以数组的极差不会改变． 所以，当2d =时，(1,2,3,)n d d n ==L 恒成立． ②当3d ≥时，则1(,,)(1,1,2)f a b c a b c =++-所以11(1)d b a b a c a d =+-+=-<-=或12(1)3d c a d =--+=- 所以总有1d d ≠．综上讨论，满足(1,2,3,)n d d n ==L 的d 的取值仅能是2． ---------------------8分 法二：因为a b c <<，所以数组(,,)a b c 的极差2d c a =-≥ 所以1(,,)(1,1,2)f a b c a b c =++-，若2c -为最大数，则12(1)3d c a c a d =--+=--< 若121b c a +≥->+，则1(1)(1)d b a b a c a d =+-+=-<-= 若112b a c +>+≥-，则1(1)(2)3d b c b c =+--=-+， 当3b c d -+=时，可得32b c -+≥，即1b c +≥ 由b c <可得1b c +≤ 所以1b c +=将1c b =+代入3b c c a -+=-得1b a =+所以当(,,)(,1,2)a b c a a a =++时，2n d =（1,2,3,n =L ）由操作规则可知，每次操作，数组中的最大数2a +变为最小数a ，最小数a 和次小 数1a +分别变为次小数1a +和最大数2a +，所以数组的极差不会改变．所以满足(1,2,3,)n d d n ==L 的d 的取值仅能是2． ---------------------8分 （Ⅲ）因为,,a b c 是以4为公比的正整数等比数列的三项，所以,,a b c 是形如4k m ⋅（其中*m ∈N ）的数，又因为1114(31)3331k k k k k kk C C --=+=++++L 所以,,a b c 中每两个数的差都是3的倍数．所以(,,)a b c 的极差0d 是3的倍数． ------------------------------------------------9分 法1：设(,,)(,,)i i i i f a b c a b c =，不妨设a b c <<，依据操作f 的规则，当在三元数组(,,)i f a b c （1,2,3,,i x =L ，x ∈N ）中，总满足i c 是 唯一最大数，i a 是最小数时，一定有2a x b x c x +<+<-，解得3c bx -<． 所以，当2,3,,13c bi -=-L 时，111(2)(1)3i i i i i i d c a c a d ---=-=--+=-． 3322(,,)(,,)333c b a c b c b c bf a b c -+-++=，3c b d b a -=-依据操作f 的规则，当在三元数组(,,)i f a b c （,1,,333c b c b c bi y ---=++L ，y ∈N ） 中，总满足i i c b =是最大数，i a 是最小数时，一定有32233a cbc by y +-++<-，解 得3b a y -<．所以，当,1,,1333c b c b c ai ---=+-L 时，111(1)(2)3i i i i i i d c a c a d ---=-=--+=-． 3(,,)(,,)333c a a b c a b c a b cf a b c -++++++=，30c a d -=所以存在3c an -=，满足(,,)n f a b c 的极差0n d =．--------------------------------13分 法2：设(,,)(,,)i i i i f a b c a b c =，则①当(,,)i i i a b c 中有唯一最大数时，不妨设i i i a b c ≤<，则1111,1,2i i i i i i a a b b c c +++=+=+=-，所以111111,3,3i i i i i i i i i i i i b a b a c a c a c b c b ++++++-=--=---=--所以，若,,i i i i i i b a c a c b ---是3的倍数，则111111,,i i i i i i b a c a c b ++++++---是3的倍数．所以3i i b c +≤，则3i d ≥，1130i i i i c b c b ++-=--≥， 所以111i i i a b c +++≤≤所以11133i i i i i i d c a c a d +++=-=--=--------------------------------------------11分 ②当(,,)i i i a b c 中的最大数有两个时，不妨设i i i a b c <=，则1112,1,1i i i i i i a a b b c c +++=+=-=-，所以1111113,3,i i i i i i i i i i i i b a b a c a c a c b c b ++++++-=---=---=-，所以，若,,i i i i i i b a c a c b ---是3的倍数，则111111,,i i i i i i b a c a c b ++++++---是3的倍数． 所以3i i a b +≤，则3i d ≥，1130i i i i b a b a ++-=--≥ 所以11133i i i i i i d b a b a d +++=-=--=-．所以当3i d ≥时，数列{}i d 是公差为3的等差数列．------------------------------12分 当3i d =时，由上述分析可得10i d +=，此时1113i i i a b ca b c +++++=== 所以存在3dn =，满足(,,)n f a b c 的极差0n d =．----------------------------------13分北京市海淀区高三统一测试 数学（理科）选填解析一、 选择题 1．【答案】A【解析】解：()()1sin 150sin 1502-==o o． 故选A ．2．【答案】C【解析】解：由全称命题的否定可知“0a ∀>，有e 1a ≥成立”的否定为“0a ∃>，有e 1a <成立”． 故选C ．3．【答案】D【解析】解：可知该程序框图对应的函数为2log ,1,2,1xx x S x ->⎧⎪=⎨≤⎪⎩故当1x >时，2log 4x =，即16x =；当1x ≤时，24x -=，即2x =-． 故选D ．4．【答案】A【解析】解：可知()2222sin 2sin 11x y ρθρρθ=⇒=⇒+-=，所以圆心坐标为()0,1，而极轴在直角坐标系下为0y =，故距离为1． 故选A ．5．【答案】D【解析】解：可知不等式组满足的区域为阴影区域ABC △，而()()1,2,,OA OP x y ==u u r u u u r，所以2OA OP x y ⋅=+u u r u u u r，可知当点P 为点()0,3A 时，取得 最大值6． 故选D ．6．【答案】B【解析】解：设该函数的方程为()()sin f t A t B ωϕ=++，由题可知该三角函数12T =， 故2ππ126ω==，排除A ；因为点M 为初始位置，故()0f t =，排除C ；由于半径为30，所以最大值为60，排除D ． 故选B ．7．【答案】C【解析】解：由等差数列的通项公式可知11929422a d a d +=⇒=-，因为数列为递增数列，故0d >，所以815722a a d d =+=+，综上可知四边形82a >．故选C ．8．【答案】D【解析】解：建立如图C xyz -的空间直角坐标系，设正 方体的棱长为a ，其中平面ABCD 的法向量为 ()10,0,CC a =u u u r，当点()11,,M x y z ，点()22,,,,2a N x y z z a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1212,,0MN x x y y =--u u u r ，此时10CC MN ⋅=u u u r u u u r，即MN ∥平面ABCD ，而这样的点有无数个．故选D ．二、 填空题9．【答案】01x <<{或()0,1}【解析】解：由()201001x x x x x -<⇒-<⇒<<．故答案为01x <<{或()0,1}．10【解析】解：因为双曲线的渐近线为2y x =，所以2ba=，故离心率c e a ====．11．【答案】1【解析】解：因为()5151rrr r T C ax -+=⋅，当2r =时，取得的为该二项式展开的三次项，故系数为()522251101C a a -⋅=⇒=．故答案为1．12．【答案】2【解析】解：可等该立体图形为如图的三棱柱，由左视图与 俯视图可知2BC =，由正视图与俯视图可知1AC =，由正视 图与左视图可知BC AC ⊥，三棱柱的高2h =，故三棱柱的体积112222V =⨯⨯⨯=．故答案为2．13．【答案】【解析】解：设两平行切线12,l l 的切点分别为1,t t ⎛⎫⎪⎝⎭（不妨设0t >），111,t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭由导数知识可知21y x '=-，所以121l k t =-，2211l k t =-，则有1t t =-；利用点斜式可知21:20l x t y t +-=， 22:20l x t y t ++=，两直线距离d ==且仅当221t t=时成立，此时1t=，可以取到． 故答案为14．【答案】6；5050【解析】解：由题可知满足()8S A =的有{}{}{}{}{}{}8,1,7,2,6,3,5,1,2,5,1,3,4，共有6个； 因为集合A 为集合M 非空子集，所以()S A 最小时{}1A =，此时()1S A =，()S A 最大 时A M =，此时()5050S A =；由于此时1,2,3,,100L 是连续的整数，故课取到此时 1~5050所有的整数．故答案为6；5050．C 1B 1A 1CBA。

1解析：根据集合的基本运算性质答案C.2解析：存在命题的否命题是：存在变为任意，条件不变，结论变为对立命题。

3解析：A 是奇函数；B 非奇非偶；C 是偶函数；单在区间上不上一直递增的；D 是偶函数在区间上是单调递增的。

4解析：根据对数函数的性质a>1;0<b<1;c=1;所以答案B.5解析：本题可以通过选项带入求解B,D 不在平面区域；C （0,3）到直线的距离不等于2所以答案为A 。

6解析：以A 为坐标原点，(1,2),(1,0),(2,2)AB AD AC ===-，(2,2)(,2)2λμλλμ-=+∴+=，所以答案A.7解析：本题考察正余弦定理的实际应用，①③知道三个角，一个边，可以应用正弦定理求解A,B 间的距离，②给出的条件可以运用余弦定理求解。

所以三个条件均可以求解AB 间的距离。

8解析：求解与平面ABCD 平行的平面，因为直线11,D E C F 是两条异面直线，所以相当与做面11CDD C 的平行面，当把面11CDD C 平移导面11ABB A 时，一定会与直线11,D E C F 相交与两点，所以与平面ABCD 垂直的直线MN 有一条。

9. 解析：2i +==10.解析：抛物线的准线方程2p x =-，双曲线的左顶点（-1,0）122p p -=-∴= 11.解析：第一次循环S=0，n=1；第二次循环S=1，n=2；第三次循环S=3，n=5；第四次循环S=8，n=26；n>10，输出结果S=812.解析：sin 2y x =-向右平移2π个单位得到sin 2y x =；cos 2y x =向有平移4π个单位得到sin 2y x =；3sin(2)4y x π=+要通过x 不变，y 伸长3倍函数再向右平移8π平移伸缩得到sin 2y x =；所以满足条件的是①②。

13.解析：数列是等差数列，,3(),3n a n f n an b n ⎧<=⎨+≥⎩;21234,,3,4a a a a a a b a a b ===+=+；根据等差数列的中项公式22132;23;a a a a a a b =+=++①23242;64a a a a b a a b =++=++；②解方程①②得b=0.a=2.14.解析：根据题意，种植密度为一次函数，函数经过（1，2.4），（8, 4.5）所以函数的解析式114.5 2.42.4(1),0.3 2.181y x y x --=-=+-；单株产量也满足一次函数，函数经过（1, 1.28），（8,0.72）所以函数的解析式220.72 1.281.28(1),0.08 1.3681y x y x --=-=-+-；所以区域总产量为种植密度乘以单株产量2120.30.08(7)(17)0.30.08(10119)y y y x x x x =⨯=-⨯+-=-⨯--；所以当x=5时，函数有最大值；所以第五号区域的总产量最大；该区域种植密度x=5带入1y ，所以种植密度为3.6.海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案数 学 （文科） 2014.5 阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2014年海淀区中考二模数学试卷分析二模结束后，孙老师对海淀区中考二模数学试卷的整体趋势、考察内容在中考考纲中的落点分布、能力板块分布进行详细分析，进而给予针对性的备考建议，以帮助考生进行备考冲刺。

一、整体趋势1、通过二模与一模考试相比较，在第8、22、24题难度上比一模略有下降，但是22、24题考察图形变换能力较为突出，特别是相似的应用在题中起到了关键的作用，学生们要熟练掌握相似的相关性质。

2、整体难度上还是比较接近去年的中考难度，基础题及中等题难度不大，分值在87左右，中等偏上及难题还是比较有区分度，在这方面体现了考试分级的特点。

3、在试卷的结构上依旧一模形式20题与21题互换位置，避免学生在圆的题上浪费时间，影响后面的答题，也给我们学生一个启示，考试要由简入难，循序渐进去答题，不要只盯住一点，要有全局观。

二、考察内容在中考考纲中的落点分布2014海淀区二模考试知识点分类汇总三、能力版块分布四、复习建议1、针对二模考试中出现成绩一般的要在中考前这不到20天的时间里进行重点突击；（1）基础不牢固的：重点练习不清楚的知识点的相关习题，达到熟练的目的；（2）总马虎出错的：认真弄清楚自己想题、答题的每一个步骤，并且在答题的过程中不要跳步，尽量按部就班完成习题，这样练习下去可以降低出现马虎的概率；（3）速度慢的：对于速度慢的，首先巩固知识点，把知识点熟记于心之后开始用套题计时进行练习，每次都要有时间规划，掌握答题的节奏，这样才能提高速度。

2、针对成绩较好的同学千万不要放松警惕，在最后时间里要坚持到最后一刻，把考试中还是失分的地方进行重点练习，并且也要至少2天完成一套试题，规划时间，保持状态，迎接考试。

3、通过海淀一、二模，西城一、二模以及其他各城区的考试，最后一题以新定义的形式出现的居多，并且有些题与圆的相关性质都一定联系，所以我们的同学要首先把圆的相关的知识进行巩固加深。

并且解决此类问题时要认真、仔细阅读习题材料，明确材料的内容才能找到解决此类问题的关键钥匙，因此同学们要不急不燥，认真考虑，综合运用。

海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案数 学 （文科） 2014.5 阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.C2.B3.D4.B5.A6.A7.D8.B二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.10.2 11.8 12.①② 13.2，0 14.5，3.6{第13，14题的第一空3分，第二空2分}三、解答题: 本大题共6小题,共80分.15.解：（Ⅰ）()2cos21f x x x a =++- --------------------------4分12cos2)12x x a =++- π2sin(2)16x a =++- ---------------------------6分 ∴周期2ππ.2T == ----------------------------7分 （Ⅱ）令()0f x =，即π2sin(2)1=06x a ++-， ------------------------------8分 则π=12sin(2)6a x -+， --------------------------------9分 因为π1sin(2)16x -≤+≤， ---------------------------------11分 所以π112sin(2)36x -≤-+≤， --------------------------------12分 所以，若()f x 有零点，则实数a 的取值范围是[1,3]-. -----------------------------13分 16.解：（Ⅰ）上半年的鲜疏价格的月平均值大于下半年的鲜疏价格的月平均值.--------------------4分 （Ⅱ）从2012年2月到2013年1月的12个月中价格指数环比下降的月份有4月、5月、6月、9月、10月. ------------------------------------------6分设“所选两个月的价格指数均环比下降”为事件A ， --------------------------------------7分在这12个月份中任取连续两个月共有11种不同的取法，------------------------------8分其中事件A 有（4月，5月），（5月，6月），（9月，10月），共3种情况. ---------9分 ∴3().11P A = -----------------------------------------10分 （Ⅲ）从2012年11月开始，2012年11月,12月,2013年1月这连续3个月的价格指数方差最大.-----------------------------------------13分17.解：（I ）1A A ⊥Q 底面ABC ，1A A ∴⊥AB ， -------------------------2分 AB AC ⊥Q ，1A A AC A =I ，AB ∴⊥面11A ACC . --------------------------4分 （II ）Q 面DEF //面1ABC ，面ABC I 面DEF DE =，面ABC I 面1ABC AB =， AB ∴//DE ， ---------------------------7分Q 在ABC ∆中E 是棱BC 的中点，D ∴是线段AC 的中点. ---------------------------8分 （III ）Q 三棱柱111ABC A B C -中1A A AC =∴侧面11A ACC 是菱形， 11AC AC ∴⊥， --------------------------------9分 由（1）可得1AB AC ⊥， Q 1AB AC A =I ，1AC ∴⊥面1ABC ， --------------------------------11分 1AC ∴⊥1BC . -------------------------------12分 又,E F Q 分别为棱1,BC CC 的中点，EF ∴//1BC ， ------------------------------13分 1EF AC ∴⊥. ------------------------------14分18. 解：（Ⅰ）由已知可得2'()24f x x ax =++. ---------------------------------1分'(0)4f ∴=， ---------------------------------2分 又(0)f b =()f x ∴在0x =处的切线方程为4y x b =+. ---------------------------------4分令321443x ax x b x b +++=+，整理得2(3)0x a x +=. 0x ∴=或3x a =-， -----------------------------------5分 0a ≠Q 30a ∴-≠， ----------------------------------------6分 ()f x ∴与切线有两个不同的公共点. ----------------------------------------7分 （Ⅱ）()f x Q 在(1,1)-上有且仅有一个极值点，∴2'()24f x x ax =++在(1,1)-上有且仅有一个异号零点， ---------------------------9分1由二次函数图象性质可得'(1)'(1)0f f -<， -------------------------------------10分即(52)(52)0a a -+<，解得52a >或52a <-， ----------------------------12分 综上，a 的取值范围是55(,)(,)22-∞-+∞U . -------------------------------13分 19.解:（Ⅰ）由已知可设椭圆G 的方程为：2221(1)x y a a+=> --------------------------------------------1分由e ，可得222112a e a -==，----------------------------------------------------------------3分 解得22a =, -----------------------------------------------------------4分 所以椭圆的标准方程为2212x y +=. ----------------------------------------------------5分 （Ⅱ）法一：设00(,),C x y 则000(,),0D x y x -≠ ------------------------------------------------------6分 因为(0,1),(0,1)A B -，所以直线BC 的方程为0011y y x x +=-， ------------------------------------------------------7分 令0y =，得001M x x y =+，所以00(,0)1x M y +. ----------------------------------------------8分 所以0000(,1),(,1),1x AM AD x y y =-=--+u u u u r u u u r -------------------------------------------9分 所以200011x AM AD y y -⋅=-++u u u u r u u u r ， ---------------------------------------------10分 又因为2200121x y +=，代入得200002(1)111y AM AD y y y -⋅=+-=-+u u u u r u u u r --------------------11分 因为011y -<<，所以0AM AD ⋅≠u u u u r u u u r . -----------------------------------------------------------12分所以90MAN ∠≠o ， -------------------------------------------------------13分所以点A 不在以线段MN 为直径的圆上. ---------------------------------------------14分 法二：设直线BC 的方程为1y kx =-，则1(,0)M k. ------------------------------------------------6分 由22220,1,x y y kx ⎧+-=⎨=-⎩化简得到222(1)20x kx +--=，所以22(12)40k x kx +-=，所以12240,21k x x k ==+， -------------------------------------8分所以22222421112121k k y kx k k k -=-=-=++， 所以222421(,)2121k k C k k -++，所以222421(,)2121k k D k k --++ ----------------------------------------9分 所以2221421(,1),(,1),2121k k AM AD k k k --=-=-++u u u u r u u u r ---------------------------------------------10分 所以2222421210212121k AM AD k k k ---⋅=-+=≠+++u u u u r u u u r ， --------------------------------------12分 所以90MAN ∠≠o ， ---------------------------------------13分所以点A 不在以线段MN 为直径的圆上. ------------------------------------14分20.解： （Ⅰ）①因为5135514S =<-，数列1,3,5,2,4-不是“Γ数列”， ---------------------------------2分 ②因为31113311284S =>-，又34是数列2323333,,444中的最大项 所以数列2323333,,444是“Γ数列”. ----------------------------------------------4分 （Ⅱ）反证法证明：假设存在某项i a <0，则12111i i k k k i k a a a a a a S a S -+-+++++++=->L L .设12111max{,,,,,,,}j i i k k a a a a a a a -+-=L L ，则12111k i i i k k j S a a a a a a a k a -+--=+++++++L L ≤(-1)，所以(1)j k k a S ->，即1k j S a k >-， 这与“Γ数列”定义矛盾，所以原结论正确． --------------------------8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）问可知10,0b d ≥≥．①当0d =时，121m m m S S b b b m m ====<-L ，符合题设； ---------------------9分 ②当0d >时，12m b b b <<<L由“Γ数列”的定义可知1m m S b m ≤-，即111(1)[(1)](1)2m b m d mb m m d -+-≤+- 整理得1(1)(2)2m m d b --≤（*）显然当123m b =+时，上述不等式（*）就不成立所以0d >时，对任意正整数3m ≥，1(1)(2)2m m d b --≤不可能都成立.综上讨论可知{}n b 的公差0d =. --------------------------------------------------13分。

海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案数 学 （文科） 2014.5阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.C2.B3.D4.B5.A6.A7.D8.B二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.10.2 11.8 12.①② 13.2，0 14.5，3.6 {第13，14题的第一空3分，第二空2分}三、解答题: 本大题共6小题,共80分.15.解：（Ⅰ）()2cos21f x x x a =++- --------------------------4分12cos2)12x x a =++- π2sin(2)16x a =++- ---------------------------6分∴周期2ππ.2T == ----------------------------7分 （Ⅱ）令()0f x =，即π2sin(2)1=06x a ++-， ------------------------------8分则π=12sin(2)6a x -+， --------------------------------9分因为π1sin(2)16x -≤+≤， ---------------------------------11分所以π112sin(2)36x -≤-+≤， --------------------------------12分所以，若()f x 有零点，则实数a 的取值范围是[1,3]-. -----------------------------13分 16.解：（Ⅰ）上半年的鲜疏价格的月平均值大于下半年的鲜疏价格的月平均值.--------------------4分 （Ⅱ）从2012年2月到2013年1月的12个月中价格指数环比下降的月份有4月、5月、6月、9月、10月. ------------------------------------------6分设“所选两个月的价格指数均环比下降”为事件A ，--------------------------------------7分在这12个月份中任取连续两个月共有11种不同的取法，------------------------------8分 其中事件A 有（4月，5月），（5月，6月），（9月，10月），共3种情况. ---------9分∴3().11P A =-----------------------------------------10分（Ⅲ）从2012年11月开始，2012年11月,12月,2013年1月这连续3个月的价格指数方差最大.-----------------------------------------13分 17.解： （I ）1A A ⊥底面ABC ，1A A ∴⊥AB ， -------------------------2分AB AC ⊥，1A A AC A =，AB ∴⊥面11A ACC . --------------------------4分（II ）面DEF //面1ABC ，面ABC面DEF DE =，面ABC面1ABC AB =，AB ∴//DE ， ---------------------------7分在ABC ∆中E 是棱BC 的中点，D ∴是线段AC 的中点. ---------------------------8分 （III ）三棱柱111ABC A B C -中1A A AC = ∴侧面11A ACC 是菱形，11AC AC ∴⊥， --------------------------------9分 由（1）可得1AB AC ⊥， 1AB AC A =，1A C ∴⊥面1ABC ， --------------------------------11分1A C ∴⊥1BC . -------------------------------12分又,E F 分别为棱1,BC CC 的中点，EF ∴//1BC ， ------------------------------13分1EF AC ∴⊥. ------------------------------141分18. 解：（Ⅰ）由已知可得2'()24f x x ax =++. ---------------------------------1分'(0)4f ∴=， ---------------------------------2分又(0)f b =()f x ∴在0x =处的切线方程为4y x b =+. ---------------------------------4分令321443x ax x b x b +++=+，整理得2(3)0x a x +=.0x ∴=或3x a =-， -----------------------------------5分0a ≠ 30a ∴-≠， ----------------------------------------6分()f x ∴与切线有两个不同的公共点.----------------------------------------7分（Ⅱ）()f x 在(1,1)-上有且仅有一个极值点，∴2'()24f x x ax =++在(1,1)-上有且仅有一个异号零点， ---------------------------9分由二次函数图象性质可得'(1)'(1)0f f -<， -------------------------------------10分即(52)(52)0a a -+<，解得52a >或52a <-， ----------------------------12分综上，a 的取值范围是55(,)(,)22-∞-+∞. -------------------------------13分 19.解:（Ⅰ）由已知可设椭圆G 的方程为：2221(1)x y a a+=> --------------------------------------------1分由e =，可得222112a e a -==，----------------------------------------------------------------3分解得22a =, -----------------------------------------------------------4分所以椭圆的标准方程为2212x y +=. ----------------------------------------------------5分（Ⅱ）法一：设00(,),C x y 则000(,),0D x y x -≠------------------------------------------------------6分 因为(0,1),(0,1)A B -， 所以直线BC 的方程为0011y y x x +=-， ------------------------------------------------------7分令0y =，得001M x x y =+，所以00(,0)1xM y +. ----------------------------------------------8分 所以000(,1),(,1),1x AM AD x y y =-=--+ -------------------------------------------9分所以200011x AM AD y y -⋅=-++，---------------------------------------------10分又因为2200121x y +=，代入得200002(1)111y AM AD y y y -⋅=+-=-+ --------------------11分因为011y -<<，所以0AM AD ⋅≠. -----------------------------------------------------------12分所以90MAN ∠≠， -------------------------------------------------------13分所以点A 不在以线段MN 为直径的圆上. ---------------------------------------------14分法二：设直线BC 的方程为1y kx =-，则1(,0)M k. ------------------------------------------------6分由22220,1,x y y kx ⎧+-=⎨=-⎩化简得到222(1)20x kx +--=，所以22(12)40k x kx +-=，所以12240,21kx x k ==+， -------------------------------------8分所以22222421112121k k y kx k k k -=-=-=++， 所以222421(,)2121k k C k k -++，所以222421(,)2121k k D k k --++ ----------------------------------------9分所以2221421(,1),(,1),2121k k AM AD k k k --=-=-++ ---------------------------------------------10分所以2222421210212121k AM AD k k k ---⋅=-+=≠+++， --------------------------------------12分所以90MAN ∠≠， ---------------------------------------13分所以点A 不在以线段MN 为直径的圆上. ------------------------------------14分20.解：（Ⅰ）①因为5135514S =<-，数列1,3,5,2,4-不是“Γ数列”， ---------------------------------2分②因为31113311284S =>-，又34是数列2323333,,444中的最大项 所以数列2323333,,444是“Γ数列”. ----------------------------------------------4分（Ⅱ）反证法证明：假设存在某项i a <0，则12111i i k k k i k a a a a a a S a S -+-+++++++=->.设12111max{,,,,,,,}j i i k k a a a a a a a -+-=，则12111k i i i k k j S a a a a a a a k a -+--=+++++++≤(-1)，所以(1)j k k a S ->，即1kj S a k >-， 这与“Γ数列”定义矛盾，所以原结论正确． --------------------------8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）问可知10,0b d ≥≥．①当0d =时，121m m m S Sb b b m m ====<-，符合题设； ---------------------9分 ②当0d >时，12m b b b <<<由“Γ数列”的定义可知1m m S b m ≤-，即111(1)[(1)](1)2m b m d mb m m d -+-≤+-整理得1(1)(2)2m m d b --≤（*）显然当123m b =+时，上述不等式（*）就不成立所以0d >时，对任意正整数3m ≥，1(1)(2)2m m d b --≤不可能都成立.综上讨论可知{}n b 的公差0d . --------------------------------------------------13分。

2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考试生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共40分)
一.选择题共8小题。

每小题5分.共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

第二部分(非选择题共110分) 二.填空题共6小题。

每小题5分。

共30分。

三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

2014年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题。

每小题5分.共40分）
二.填空题（共6小题。

每小题5分。

共30分）
三、解答题（共6小题，共80分）。