经典讲义2汇总

学科教师辅导讲义年级：初二学员姓名：辅导科目：物理 学科教师：老师 授课类型复习学习内容 光的折射专题教学内容一、选择题1、下列说法中，正确的是 （A ）A 、光从空气射入水中，同时发生反射和折射B 、光从空气射入水中，传播方向一定改变C 、光从空气射入水中，折射角一定大于入射角D 、光从空气射入水中，只发生折射现象2、光线从水斜射入空气中，入射角是45o,则折射角可能是 （D ）A 、 0o 。

B 30o 。

C 、 45o 。

D 、 55o 。

3. 一束光线跟水平面成 400角，从空气中斜射到水面时，发生了反射和折射，则反射光线和折射光线的夹角一定是 （C ）A.等于600B.小于800C.大于800D,大于13005 .下列关于人眼看见水中的鱼，图示光学现象正确的是（D ）6 .如图所示，一束激光AO 由空气斜射入玻璃砖，折射后从另一侧面射出，其射出点可能是图中的 （B ）A. M 点B. N 点C. P 点D. Q 点 7、如图，一束光线斜射入容器中，在P 处形成一光斑，在向容器里逐渐加满水的过程中，光斑将 A 、向右移动后静止 B 、向左移动后静止 C 、先向左移动再向右移动D 、仍在原来位置8 .如图所示，对自然界的一些现象解释正确的是（C ）4、如图4所示，能正确表示光从空气进入玻璃中的光路图是（C ）ABC D 图4第5题图A B CDA .光的折射B .光的反射C .光的折射D .光沿直线传播9.岸上的人观察到的下列现象中，属于光的折射的是（C ）A.水中月B. 水中楼的倒影C. 水中的鱼D. 水中彩霞10、下列成语涉及的光现象与其物理知识相符的是（D ）A凿壁偷光--光的反射B、一叶障目--光的折射C、猴子捞月--光的折射D、杯弓蛇影--光的反射11.在河岸上用手电筒照向平静的河面，进入水中的光（A ）A.速度变小，光路向下弯折。

B.速度变小，光路向上弯折。

C.速度大小，传播方向都不变。

信息论第2讲北京航空航天大学201教研室陈杰buaa201gcss@ PWD:buaaf6152第一章小结1.信息论：经典信息论工程信息论广义信息论2.信息的概念：通俗信息概念广义信息概念概率信息概念3.信息：抽象概念，研究对象，含于消息消息：比较具体，非物理量，信息的载荷者信号：最具体，表示消息的物理量，可测量、可显示、可描述，消息的载荷者4.通信系统的模型：第一章小结（续）通信系统干扰源窃听者模型32.5 连续随机变量的互信息和相对熵2.5.1 连续随机变量的互信息⎯定义⎯熵的性质2.5.2 连续随机变量的相对熵⎯连续随机变量的自信息量⎯相对熵、联合熵、条件熵⎯性质45•连续随机变量的互信息连续随机变量集XY ，事件x , p (x ) ≥0和事件y , p (y ) ≥0之间的互信息定义为00()() lim log ()()x y p x y p y x y p x xp y y Δ→Δ→ΔΔ=ΔΔ00()(;)lim log ()def x y p x y x I x y p x xΔ→Δ→Δ=Δ() log ()()p xy p x p y =6•连续随机变量的平均互信息连续随机变量集合X 和Y 之间的平均互信息量(Mutual Information)定义为()(;)()log ()()def p xy I X Y p xy dxdy p x p y ∞−∞=∫∫7•连续随机变量的平均互信息的性质（１）非负性当且仅当连续随机变量X 和Y 统计独立时等号成立。

（２）对称性(;)0I X Y ≥(;)(;)I X Y I Y X =8•连续随机变量令随机变量X 的取值区间是(a ,b )，a <b ，把它分成n 段，等间隔，那么X 处于第i 个小区间的概率为事件x i <x i +Δ的自信息量为b a n −Δ=()i i p p x Δ=⋅Δlog log[()]i i p p x −Δ=−⋅Δ9•连续r.vX 的平均自信息量为•当n →∞,Δi →0时，定义绝对熵()()log[()]i i iH X p x p x Δ=−⋅Δ⋅⋅Δ∑()H X Δ→∞0()log H X Δ＝-()[log ()]()[log ]i i i i ip x p x p x =−⋅⋅Δ−⋅Δ⋅Δ∑∑10•连续随机变量的相对熵(Differential Entropy)称为连续随机变量的相对熵，或微分熵，简称为熵。

第2讲垂直平分线1.垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等PD为线段AB的垂直平分线，必然需要连接PA、PB,构造出等腰△ PAB,进而求解. 逆定理：若PA=PB，则点P在AB的垂直平分线上.【例题讲解】例题1、如图，在△ ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、AC上.BD=CF, BE=CD , DG丄EF于点G,且EG=FG.求证：AB=AC.【分析】可知GD为EF的垂直平分线，遇见垂直平分线，必然要将垂直平分线上的点与线段两端点连接【解答】解：连接DE、DF如右图所示Q DG EF,EG FGDE DFBD CF在厶BDE和厶CFD中，BE CDDE DFBDE CFDB CAB AC .例题2、如图，在Rt A ABC 中，/ C=90°,点 D 在BC 上，点E在AB 上，且DE // AC, AE=5, DE=2,DC=3，动点P从点A出发，沿边AC以每秒2个单位长的速度向终点C运动，设运动时间为t秒。

(1) ______________________ 线段AC的长= ;(2) 在线段EA上有一点Q,满足ED=EQ，连接DQ、PE,当PE丄DQ时，求出t的值.【解答】(1)AC=6;(2)当PE丄DQ时，由于ED=EQ，易证PE垂直平分DQ , 所以连接PD、PQ,只需使PD=PQ即可可知AP=2t，所以PC=6-2t；CD=3, EQ=2，所以AQ=3,所以AF 4AQ12QF3AQ9555512所以PF 2t —5在Rt A PCD 中，PD2=32+ ( 6-2 t) 2;22 c在Rt A PQF 中，PQ2=2t1295522所以32+ (6-21) 2= 2t129，解得t5~552【总结】遇见垂直平分线，连接垂直平分线上的点与线段两端点是必然的！【最好方法】当PE丄DQ时，易证PE平分/ DEA ,由【角平分线模型三】可知，平行+角平分线=等腰三角形，所以△ AEP为等腰三角形，所以AP=AE=5,即2t=5,【巩固练习】1、三角形三条边的垂直平分线的交点是三角形的( : )A.重心B.内心C.外心D.中心2、在厶AOB的内部有点P，点P与P1关于OA对称，点P与P2关于BO对称，①则△ OP1P2是( )A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.钝角三角形②当/ AOB满足什么条件时，△ OP1P2是等边三角形？3、如图，△ ABC中，AB, AC的垂直平分线交BC于D、E,(1)若/ BAC=100°,则/ DAE= _________ ;(2)_______________________________ 若/ BAC=80°,则/ DAE= ;(3)_______________________________ 若/ DAE=10°,则/ BAC= ;(4)若厶ABC的周长为20,A ADE的周长为12,贝U AB+AC= _________ ;(5)当AB=AC，且/ BAC=120°,则厶ADE为何种特殊三角形？4、如图，等边△ ABC的边长为3, BO、CO分别为/ ABC、/ ACB的角平分线，BO、CO的垂直平分线交BC于E、F，则EF的长为5、如图，已知等腰△ ABC, AB=BC=5, AC= 10 ,在BC边上存在一点P,恰好在线段AB的垂直平分线上，贝U BP的长为6、如图所示，已知AD是厶ABC的角平分线，DE丄AB, DF丄AC,垂足分别是E, F.求证：AD垂直平分EF.7、A ABC中，D为BC中点，DE丄BC,交/ BAC的平分线于点E, EF丄AB于F, EG丄AC于G.求证: BF=CG.8、如图，△ ABC中，点D在BC上，且AD的垂直平分线EF交BC延长线于点F，若/ FAC = Z B,求证: AD 平分/ BAC.9、如图，在△ ABC 中，AB=AC , D 为三角形内一点，且△ DBC 为等边三角形• (1) 求证：直线AD 垂直平分BC ;(2) 以AB 为一边，在 AB 的右侧画等边△ ABE ，连接DE ，试判断以DA 、DB 、DE 三条线段是否能构成 直角三角形？请说明理由•_ 210、已知二次函数y=ax+2ax+c 的图象与x 轴分别交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C , 顶点为P ,若C ( 0, 2), BC 的垂直平分线过点 A ，求这个二次函数的关系式. 4y= x+4与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ，点P 从点O 出发沿3OA 以每秒1个单位长的速度向点 A 匀速运动，到达点 A 后立刻以原来的速度沿 AO 返回；点Q 从A 出发 沿AB 以每秒1个单位长的速度向点 B 匀速运动，当点 P 、Q 运动时，DE 保持垂直平分 PQ ，且交PQ 于 点D ，交折线QB- BO- OP 于点E.点P 、Q 同时出发，当点 Q 到达点B 时停止运动，点 P 也随之停止，设 点P 、Q 运动的时间为t 秒(t>0). (1) ______________________ 点Q 的坐标是( , )(用含t 的代数式表示)； (2) 当t 为何值时，直线 DE 经过点O.12、如图1,在矩形 ABCD 中，AB=4, BC=3，点E 是射线 CD 上的一个动点，把△ BCE 沿BE 折叠，点C 的对应点为F.(1) 若点F 刚好落在线段 AD 的垂直平分线上时，求线段 CE 的长; (2) 若点F 刚好落在线段 AB 的垂直平分线上时，求线段 CE 的长; (3)当射线AF 交线段CD 于点G 时，请直接写出 CG 的最大值.11、如图，在平面直角坐标系中，直线*用1913、如图，二次函数的图象与x轴相交于点A (-3 , 0)、B (-1 , 0),与y轴相交于点C ( 0, 3)，点P是该图象上的动点，点Q的坐标为(4, 0).(1) 求该二次函数的表达式；(2) 当OP〃CQ时，求点P的坐标;(3) 点M , N分别在线段AQ、CQ上，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动，同时，点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动，当点M , N中有一点到达Q点时，两点同时停止运动.设运动时间为t秒，当直线PQ垂直平分线段MN时，请求出此时t的值及点P的坐标.214、已知抛物线y=ax+bx+c (a<0)与x轴交于点A (8, 0)和B (一12, 0)，与y轴交于点C (0, 6).(1)求该抛物线的解析式；(2)点D在线段AB上且AD=AC，若动点M从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点N以某一速度从B出发沿线段BC匀速运动，问是否存在某一时刻t (秒)，使线段MN被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t和点N的运动速度；若不存在，请说明理由；参考答案1. 答案： B2. 答案：① B ;②Z AOB= 30°3.答案： (1) 20°;( 2) 20°;( 3) 95°; (4) 8;( 5)等边三角形4. 答案： 15.答案： 25 86.证明： QAD 是厶ABC 的角平分线，DE 丄AB ， DF 丄AC ， DE=DF在 Rt A ADE 和 Rt A ADF 中, AD=AD ，DE=DF ， Rt A ADE 也R A ADF( HL)， AE = AF ，又 DE = DF ，AD 垂直平分EF (到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上 )7.证明：如图，连接 BE 、BC ， QED 丄BC ，D 为BC 中点 BE= ECQEF 丄 AB ，EG 丄 AG ，且 AB 平分/ FAG FE=EG在厶 BFE 禾口 Rt A CGE 中，BE=CE ，EF=EG ， Rt △ BFE 也 Rt A CGE(HL)， BF=CG. 8.证明：QEF 是AD 的垂直平分线， AF=DF/ EAF = Z EDF ，Q / EAF = Z FAC + Z CAD ，/ EDF = Z BAD+Z B ， 又Q Z FAC =Z BZ BAD = Z CAD ，即AD 平分Z BAC. 9.答案：(1) Q △ DBC 为等边三角形，DB=DC ， D 在BC 的垂直平分线上QAB = AC ， A 在BC 的垂直平分线上， 直线AD 垂直平分BC ;(2)以DA ，DB ，DE 三条线段能构成直角三角形； 理由：连接CE ，Q Z ABD = Z ABE- Z DBE= 60°- Z DBE= Z DBC - Z DBE= Z EBC，在厶 EBC 和厶 ABD 中，AB=EB ，/ ABD = Z EBC , DB=CB , △ EBC ◎△ ABD ( SAS ),/ BCE = Z ADB , AD = CE.在厶 ADB 和厶 ADC 中, AD=AD , AB =AC , DB=DC , △ ADB ◎△ ADC (SSS ,/ ADB = Z ADC ,1/ ADB =丄(360 ° - / BCD )= 150 °2/ BCE = Z BDA = 150°,/ DCE = Z BCE- / BCD= 150° -60 ° =90° QCE = DA , DC = DB ,以DA , DB , DE 三条线段能构成直角三角形 10. 解：QBC 的垂直平分线过点 A ,此时/ AQP = 90 ° . 由厶APQ 〜△ ABO 得竺AO1 3.解得t -； 3 5 8如图3，当PQ // BO 时，QDE 丄PQ , DE 丄BO ,四边形 QBED 是直角梯形. 此时/ APQ = 90 ° .由厶AQP~ △ ABO ，得 锂 塑.2a 2a设 AB AC 2m ,则AO m 1,BO m 1,QC 0,2 , CO2Q 在 Rt A AOC 中，2 2 AO CO AC 2, - 2 2 2 即 m 1 22 2m , 解得当m 1 时，A 0 ,0 ,B 2,0 ,C 0,2 （舍去）；当m -时，A 8 2 二,0 ,B 二,0 ,C 0,2，此时二次函数解析式为 y1_ 2 二次函数 y=ax +2ax+c 的对称轴为 x9x 2.4c 3 4 3 t, t ；5 5 四边形QBED 能成为直角梯形。

《三国演义》阅读指导讲义2（11-15回）第十一回：刘皇叔北海救孔融吕温侯濮阳破曹操【情节梳理填空】势单力薄的陶谦向北海太守孔融求援。

孔融与陶谦交往深厚，决定出兵。

部队正要出发，一支起义的黄巾军（由管亥率领）来借粮食，孔融不肯，黄巾军便把北海城四面围住。

孔融只好派同乡太史慈向刘备求助。

刘备早就听说了孔融的名字，当即带刘关张解了北海之围。

随后，刘备又应孔融之请去救徐州陶谦。

刘备向公孙瓒借了二千步兵和猛将赵云，来到徐州。

这时，青州田楷的救兵也来到徐州城外。

曹操见对方援兵来到，不敢贸然攻城。

陶谦要一让徐州与刘备，刘备不受。

刘备给曹操写去一封信，请他退兵。

曹操本不想退兵，却接到消息，说后方有失，吕布助张邈攻占了他的大本营兖州，于是曹操决定退兵回去收复兖州，顺便卖刘备一个人情。

陶谦二让徐州与刘备，刘力求不肯，从陶谦而屯小沛。

曹操与吕布在濮阳展开大战，被吕布战败，为部将典韦、夏侯惇救出。

【阅读探究研讨】思考题1：刘备为什么坚决拒绝陶谦的徐州之托？参考答案：（1）刘备重“仁”，他不会去做乘人之危之事，且刘备帝室之胄，他应顾及自己和宗室的颜面。

（2）刘备重“义”，刘备知道自己此行是守诺救援，不图占有，此时接受徐州之托是不义之举，如“汝等欲陷我于不义耶”，“今为大义，故来相助”。

（3）刘备使用“欲擒故纵”法，由前两点可知，刘备也很自知。

刘备深知徐州战事，也懂陶谦之心，只是此时接受不利于对徐州的统治。

因为自己在此还不能服众，所以欲擒故纵，以窥臣民之举。

十二回应道“刘使君若不领此郡，我等皆不能安生矣”时机业已成熟，玄德乃许权领徐州事。

第十二回：陶恭祖三让徐州曹孟德大战吕布【情节梳理填空】吕布用陈宫计，让城中富户田氏诈降，诱曹操入濮阳城。

曹操中计，在北门与吕布遭遇，曹操以手掩面，谎言轻松脱困。

曹操将计就计，诈言被烧死，诱吕布入寨，大败之。

两家因蝗灾缺粮而罢兵。

陶谦病危，三让徐州于刘备，备不受，陶谦指心而死，刘备于是暂领徐州牧。

第四章秦汉时期的经济思想学习目的和要求：通过本章学习，使学生了解我国秦汉时期经济思想的发展与成果，从中汲取有益的营养来为我国今天的社会主义经济建设服务。

同时也加深对中国古代经济思想是灿烂文化的重要组成部分的认识，尤其是深刻认识到挖掘这些经济思想对我国今天社会主义经济建设的借鉴意义。

第一节司马迁的经济思想司马迁在中国伟大的文化史上占有极其重要和光辉一页.他的不朽之作《史记》中列有《平准书》、《河渠书》和《货殖列传》，开创了史学家记事历史必须考虑社会经济活动问题的先例和典范。

其主要经济思想有：一、主张经济自由和放任政策司马迁认为自然界有自己的规律，人们只能顺应这些规律而不能违背它。

在这种世界观的指导下，司马迁在经济思想上不赞成国家对社会经济活动进行干预，主张经济自由主义，可以说他是中国古代经济思想家中最彻底的经济自由主义者。

这比亚当·斯密的经济自由主义思想要早近两千年。

进入近代以后，我国主张发展资本主义自由经济制度的思想家往往引用司马迁“善者因之”一段话表明自己的观点。

二、农工商并重和本末富论司马迁认为对待国民经济各部门，即农、渔、工、商应是一视同仁的：“此四者，人所以食之原也。

原大则饶，原小则鲜。

上则富国，下则富家。

”由此可以看出，司马迁从根本上是否定重农抑商的观点。

司马迁还创造了“本富”、“末富”和“奸富”的新概念。

三、分配观念1．司马迁对贫富分化现象已有了较充分的认识。

2．他对贫富不均现象不主张积极予以消除，只是不赞成“奸富”。

3．他认为造成贫富差异问题是由于人有巧拙，能力不同的原因。

四、生产经营论司马迁给我们留下了丰富的生产经营思想,其主要思想如下：1．要有一定量的货币才能经营.这里涉及到司马迁对货币的认识问题。

第一，他认为货币起源于商品交换。

第二，他也认识到货币起源的时间是很久远的。

2．生产经营的商品应该注意质量。

3．资金要不断流动，如“无息币”，“财欲其行如流水”。

4．要勤俭节约,如“无财作力”，“夫纤啬筋力，治生之正道也。

2020-2021学年五年级上册课外奥数经典培训讲义——盈亏问题（二）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．学校给一批新入学的学生分配宿舍。

若每个房间住12人，则34人没有位置；若每个房间住14人，则空出4个房间。

求学生宿舍有多少间？住宿学生有多少人？2．幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果全部分给大班的小朋友，每人分5个，则余下10个。

如全部分给小班的小朋友，每人分到8个，则缺2个。

已知大班比小班多3人，问：这筐苹果共有多少个？3．小红家买来一篮桔子分给全家人。

如果其中二人每人分4只，其余每人分2只，则多出4只；如果一人分6只，其余每人分4只，则又缺12只。

小红家买来多少桔子？小红家共有多少人？4．粉笔盒里装的白粉笔支笔是彩色粉笔的5倍，教师们每天用去白粉笔20支，彩色粉笔6支。

若干天后盒子中余下的白粉笔60支，而彩色粉笔已断用了2天，粉笔盒中原有白粉笔、彩色粉笔各多少支？5．某校有一些学生寄宿在校，若每间宿舍住6人，多出34人；若每间宿舍住7人，则多出4间宿舍。

问寄宿的学生和宿舍各有多少？6．学校给春游的同学租了几辆车，如果每辆汽车都坐21人，总人数少5人，如果每辆汽车都坐25人，便空出1辆汽车，求有多少同学参加春游？租几辆车正好全部坐满？7．一个旅游团支旅馆住宿，6人一间，多2个房间；若4人一间，少2个房间。

旅馆有房间多少？旅游团有多少人？8．有一个班的同学去划船，他们算一下，如果增加一条船，正好每条船坐9人，如果减少一条船，正好每条船坐12人。

问这个班共有多少人同学？9．少先队员去植树，如果每人种5棵，还有3棵没人种；如果其中2人各种4棵，其余的人各种6棵，这些树苗正好种完。

请问共有多少棵树苗？多少个少先队员？10．学校进行大扫除，分配若干人擦玻璃，其中两人各擦4块，其余各擦5块，则余12块；若每人擦6块，则正好擦完，求擦玻璃的人数及玻璃的块数？11．学校进行大扫除，分配若干人擦玻璃，其中两人各擦4块，其余各擦5块，则余12块；若每人擦6块，则正好擦完，求擦玻璃的人数及玻璃的块数？12．某果园工人用一筐苹果和一筐梨去慰问住院病人，已知梨的个数是苹果的3倍，每次取出5个梨、2个苹果给一个病人，还剩11个梨，苹果正好分完，问苹果和梨各是多少个？13．现有糖果、饼干若干，分给一年级学生，已知糖果数是饼干数的一半，如果每个小朋友分4块饼干和3颗糖果，则饼干多32块，而糖果缺4颗。

IV．商号法目录：1．商号的定义和功能 (14)2．商号的产生、变更和终止 (14)a) 商号的产生......................... ......................................... ....... (14)b) 商号的变更和终止......... .............................. ............ ....... .. (14)3．商号法的基本原则 ......................................... ............ ....... .. (14)a) 商号的真实性......... ..................................... ............ ....... . (15)b) 商号的稳定性......... ..................................... ............ ....... . (16)c) 商号的排它性......................................... ....... ............ ....... .. (16)d) 商号的统一性......................................... ....... ............ ....... .. (16)e) 商号的公开性......................................... ....... ............ ....... .. (16)4．商号的种类............................... .................................... ............. (16)5．对商号的保护................................ ....... ............ ....... .. (16)6．分离禁止................................ ....... ............ ....... .............. ............. (16)7．商号继受使用中的责任，《商法典》第25条及其以下条款............. .. (16)a) 商号继受使用中取得者的责任，《商法典》第25条.. (17)（1）基本原则.... ....... ............ ....... .............. ............. .. (17)（2）偏离的约定.... ....... ............ ....... .............. ............. (17)（3）商号同一性.... ....... ............ ....... .............. ............. (18)（4）附录—《民法典》第613a条.... ....... ............ ....... . (18)b) 商号继受使用中请求权的转移 (18)c) 通过继承造成的业主转换 ................. .. (18)d) 加入单独商人的企业................................ ....... ............ ....... .. (19)1．商号的定义和功能93 根据《商法典》第17条第1款，商人在交易中经营其企业和签名时所使用的名称（Name）被称为商号（Firma）。

目录目录 (1)考点一数学归纳法 (2)考点二用数学归纳法证明不等式 (4)课后综合巩固练习 (5)考点一 数学归纳法1．数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n 0的所有正整数n 都成立时，可以用以下两个步骤：（1）证明当n=n 0时命题成立；（2）假设当n=k （k∈N +，且k≥n 0）时命题成立，证明n=k+1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n 0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．1．（2019春•诸暨市期末）用数学归纳法证明：“1+（1+2）+（1+2+3）+Λ+（1+2+3+……+n ）=n(n+1)(n+2)6”，由n ＝k 到n ＝k +1时，等式左边需要添加的项是（ ）A ．k(k+1)2 B ．k(k+1)2+1 C ．[k(k+1)2+1]+……+[(k+1)(k+2)2]D ．(k+1)(k+2)2【分析】写出n ＝k 时，左边最后一项，n ＝k +1时，左边最后一项，由此即可得到结论 【解答】解：∵n ＝k 时，左边最后一项为1+2+3+……+k =k(k+1)2， n ＝k +1时，左边最后一项为1+2+3+……+（k +1）=(k+1)(k+2)2， ∴从n ＝k 到n ＝k +1，等式左边需要添加的项为一项为(k+1)(k+2)2，故选：D ．【点评】本题考查数学归纳法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 2．（2019春•宁德期中）用数学归纳法证明：1+2+3+…+2n ＝n （2n +1）时，从n ＝k 推证n ＝k +1时，左边增加的代数式是（ ） A ．4k +3B ．4k +2C ．2k +2D ．2k +1【分析】用数学归纳法证明：1+2+3+…+2n ＝n （2n +1）时，从n ＝k 推证n ＝k +1时，左边增加的代数式＝（k+1）[2（k+1）+1]﹣k（2k+1）．【解答】解：用数学归纳法证明：1+2+3+…+2n＝n（2n+1）时，从n＝k推证n＝k+1时，左边增加的代数式＝（k+1）[2（k+1）+1]﹣k（2k+1）＝4k+3．故选：A．【点评】本题考查了数学归纳法、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（2019春•莲都区校级月考）利用数学归纳法证明“1+12+13+⋯+12n−1＜n(n∈N∗，n＞1)”的过程中，由假设“n＝k”成立，推导“n＝k+1”也成立时，左边应增加的项数是（）A．k B．k+1C．2k D．2k+1【分析】分别写出n＝k时的不等式，以及n＝k+1时，要证的不等式的左边与n＝k时，不等式左边的关系，可得所求结论．【解答】解：n＝k（k＞1，k∈N“）不等式成立，即有1+12+13+⋯+12k−1＜k，当n＝k+1时，即证1+12+13+⋯+12k−1+12k+12k+1+⋯+12k+1−1＜k+1，由此可得左边与n＝k时的不等式左边增加了12k +12k+1+⋯+12k+1−1，共2k+1﹣1﹣2k+1＝2k项，故选：C．【点评】本题考查数学归纳法的运用，注意由n＝k命题成立，推得n＝k+1，命题也成立时，必须运用假设，注意区别，考查推理能力，属于基础题．4．（2019春•东安区校级期中）用数学归纳法证明n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）＝（2n ﹣1）2（n∈N*）的过程中，从n＝k到n＝k+1时，左边需增加的代数式是（）A．3k﹣1B．9k C．3k+1D．8k【分析】从n＝k到n＝k+1时，左边需增加的代数式是[2（k+1）﹣1]2﹣（2k﹣1）2，即可得出．【解答】解：用数学归纳法证明n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）＝（2n﹣1）2（n∈N*）的过程中，从n＝k到n＝k+1时，左边需增加的代数式是[2（k+1）﹣1]2﹣（2k﹣1）2＝8k，故选：D ．【点评】本题考查了数学归纳法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．考点二 用数学归纳法证明不等式2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性． 在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n 0+1，n 0+2，…，是否正确．在第二步中，n=k 命题成立，可以作为条件加以运用，而n=k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明． 完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项： ①明确初始值n 0并验证真假．（必不可少） ②“假设n=k 时命题正确”并写出命题形式．③分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项． ④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．5．（2019春•鲤城区校级期末）用数学归纳法证明不等式1+12+14+⋯+12n−1＞12764成立，起始值至少应取为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10【分析】先求左边的和1−12n1−12=2−21−n ，再进行验证，从而可解．【解答】解：左边的和为1−12n1−12=2−21−n ，当n ＝8时，和为2−2−7＞12764，故选：B ．【点评】本题主要考查数学归纳法，起始值的验证，求解轭关键是发现左边的规律，从而解决问题．6．（2016秋•杨浦区校级期中）用数学归纳法证明：1+122+132+⋯+1(2n −1)2＜2−1n(n ≥2)（n ∈N *）时第一步需要证明（ ） A ．1＜2−12−1B ．1+122＜2−122−1C ．1+122+132＜2−122−1 D ．1+122+132+142＜2−122−1【分析】直接利用数学归纳法写出n ＝2时左边的表达式即可，不等式的左边需要从1加到1(22−1)2，不要漏掉项． 【解答】解：用数学归纳法证明1+122+132+⋯+1(2n −1)2＜2−12n −1(n ≥2)， 第一步应验证不等式为：1+122+132＜2−122−1； 故选：C ．【点评】在利用数学归纳法证明问题中，第一步是论证n ＝1时结论是否成立，此时一定要分析不等式左边的项的特点，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误．课后综合巩固练习7．（2019春•慈溪市期中）用数学归纳法证明：“1+12+13+⋯+12n−1＜n(n ∈N ∗，n ＞1)”由n ＝k （k ∈N *，k ＞1）不等式成立，推理n ＝k +1时，不等式左边应增加的项数为 2k ． 【分析】分别计算当n ＝k 和n ＝k +1时左侧最后一项的分母即左侧的项数即可得出答案． 【解答】解：当n ＝k 时，不等式左侧为1+12+13+⋯+12k−1，当n ＝k +1时，不等式左侧为1+12+13+⋯+12k−1+12k +12k+1+⋯+12k+1−1不等式左边增加的项数是（2k +1﹣1）﹣（2k ﹣1）＝2k ． 故答案为：2k ．【点评】本题考查数学归纳法，考查观察、推理与运算能力，属于中档题．8．（2019春•徐汇区校级期末）用数学归纳法证明（n +1）（n +2）（n +3）…（n +n ）＝2n •1•3•5…（2n ﹣1）（n ∈N *）时，从n ＝k 到n ＝k +1时左边需增乘的代数式是 4k +2 ． 【分析】从n ＝k 到n ＝k +1时左边需增乘的代数式是(k+1+k)(k+1+k+1)k+1，化简即可得出．【解答】解：用数学归纳法证明（n +1）（n +2）（n +3）…（n +n ）＝2n •1•3•5…（2n ﹣1）（n ∈N *）时，从n ＝k 到n ＝k +1时左边需增乘的代数式是(k+1+k)(k+1+k+1)k+1=2（2k +1）．故答案为：4k +2．【点评】本题考查了数学归纳法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 9．（2018春•商丘期末）用数学归纳法证明：（n +1）（n +2）…（n +n ）＝2n ×1×3×…×（2n ﹣1）时，从“k 到k +1”左边需增加的代数式是 （k +1）（k +2）…（k +k ）（4k +1） ． 【分析】从“k 到k +1”左边需增加的代数式是：（k +2）（k +3）•…•（k +k ）（k +1+k ）（k +1+k +1）﹣（k +1）（k +2）•…•（k +k ）．【解答】解：从“k 到k +1”左边需增加的代数式是：（k +2）（k +3）•…•（k +k ）（k +1+k ）（k +1+k +1）﹣（k +1）（k +2）•…•（k +k ）＝（k +2）（k +3）•…•（k +k ）[（k +1+k ）（k +1+k +1）﹣（k +1）]＝（k +1）（k +2）•…•（k +k ）（4k +1）， 故答案为：（k +1）（k +2）•…•（k +k ）（4k +1）．【点评】本题考查了数学归纳法、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 10．（2018春•濮阳期末）用数学归纳法证明12+22+⋯+(n −1)2+n 2+(n −1)2+⋯+22+12=n(2n 2+1)3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k +1时，等式左边应添加的式子是 （k +1）2+k 2 ．【分析】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，分别写出n ＝k 与n ＝k +1时的结论，即可得到答案．【解答】解：根据等式左边的特点，各数是先递增再递减 由于n ＝k ，左边＝12+22+…+（k ﹣1）2+k 2+（k ﹣1）2+…+22+12n ＝k +1时，左边＝12+22+…+（k ﹣1）2+k 2+（k +1）2+k 2+（k ﹣1）2+…+22+12 比较两式，从而等式左边应添加的式子是（k +1）2+k 2 故答案为（k +1）2+k 2【点评】本题的考点是数学归纳法，主要考查由n ＝k 的假设到证明n ＝k +1时，等式左边应添加的式子，关键是理清等式左边的特点． 11．（2017春•西城区校级期末）若不等式1n+1+1n+2+1n+3+⋯+12n＞a(n ∈N ∗)恒成立，则a 的范围 （﹣∞，12） ．【分析】构造函数f （n ）=1n+1+1n+2+1n+3+⋯+12n，判断函数的单调性，根据函数的单调性求出f （n ）的最小值，即可求出a 的范围． 【解答】解：设f （n ）=1n+1+1n+2+1n+3+⋯+12n ， 则f （n +1）=1n+2+1n+3+⋯+12n +12n+1+12(n+1)，则f （n +1）﹣f （n ）=12n+1+12(n+1)−1n+1=12n+1−12n+2＞0， ∴数列f （n ）是关于n （n ∈N *）的递增数列， ∴f （n ）≥f （1）=12， ∵不等式1n+1+1n+2+1n+3+⋯+12n＞a(n ∈N ∗)恒成立，∴a ＜12故答案为：（﹣∞，12）【点评】本题考查了数列和函数的关系，以及不等式恒成立的问题，属于中档题．。