§2 格林公式及其应用

1 =0，从而 因为 是 基 本 解 ， 所 以 ∆ M0 r rM 0 M M0M 由叠加原理， （见引 ∆R( M 0 ) = 0 。由叠加原理， ∆V ( M 0 ) = F ( M 0 ) 。 见引 （
1
力场势函数） 。 力场势函数）
1 F ( M ) 可理解为电荷体密度或质量密度。 称为体位势： 可理解为电荷体密度或质量密度。 − ∆ V ( M 0 ) 称为体位势： 4π
(2.11)
证 明： 将调和函数基本积分公式应用到Γa 上有：
1 ∂ 1 1 ∂u u( M 0 ) = − ∫∫ u r − r dS = 0 4π Γa ∂n r r ∂n
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1 1 1 ∂ 1 在Γa 上 = ， r = − 2 ，所以 r a ∂n r a 1 ∂u 1 ∂u r r ∫∫ r ∂n dS = a ∫∫ ∂n dS = 0 Γa Γa
1 1 1 ∂u ∂ 1 1 ∂u − ∫∫∫ ∆udΩ = ∫∫ u r − r dS + 2 ∫∫ udS − ∫∫ r dS r ∂n r r ∂ n ε Γε ∂n ε Γε Ω\ Kε Γ
ε ε ε
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1 ∂u 1 ∂u dS ， 即 u∗ 和 udS ， r = 记u = 2 ∫∫ r 2 ∫∫ 4πε Γε ∂n 4πε Γε ∂n
当 u 是Ω 内的调和函数， M 0 ≠ Ω ，则由格林第二公式 有：
∂ 1 u( M ) r ∫∫ ∂n rM 0 M Γ
1 ∂u( M ) − r dS = 0 r ∂n M0M
当 u 是 Ω 内的调和函数，M 0 ∈ ∂Ω = Γ ，类似基本积分公 内的调和函数， 式的推导， 式的推导，记 Γε′ = Γε I Ω ， Γ ′ = Γ \ K ε ，则有
为所给调和函数， 证明 格林第二公式中取 u 为所给调和函数， v ≡ 1， ∂u 则得 ∫∫ r dS = 0 。 □ ∂n Γ ∆u = 0 ( in Ω ) 由此定理可知，诺伊曼内问题 ∂u 有解 r ∂n = g (on Γ )
的必要条件为 ∫∫ gdS = 0 。
Γ
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Ω Γ Γ
由于 u∆v = ∇ ⋅ (u∇v ) − ∇u ⋅ ∇v ，则由高斯公式可得
∂v 格林第一公式： 格林第一公式： ∫∫∫ u(∆v)dΩ = ∫∫ u r dS − ∫∫∫ ∇u ⋅ ∇vdΩ ∂n Ω Γ Ω
∂u ∂v 格林第二公式： 格林第二公式： [u(∆v) − v(∆u)]dΩ = ∫∫ u r − v r dS ∫∫∫ ∂n ∂n Ω Γ r 的单位外法向量。 其中 n 是 Γ 的单位外法向量。
0
1 1 ∂u( M ) ∂ 1 − u( M 0 ) = − ∫∫ u( M ) r r dS M 4π Γ ∂n rM 0 M rM 0 M ∂n 1 F (M ) dΩ M − ∫∫∫ 4π Ω rM 0 M
作为 M 0 的 函数，记
基本积分公式
当 u 是 Ω 内的调和函数时，即 ∆u = 0 时，若 M 0 ∈ Ω ，则 内的调和函数时，
1 1 ∂u( M) ∂ 1 − u( M0 ) = − ∫∫ u( M) r r dS 4π Γ ∂n rM0M rM0M ∂n
调和函数基本积分公式 上页 下页 返回
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2)调和函数的积分表达式
考察函数
v( x, y, z ) =
1 rM 0 M
=
1 ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 + ( z − z0 ) 2
容 易 验 证 ， 当 M = ( x , y , z ) ≠ M 0 = ( x0 , y0 , z0 ) 时 ， 1 ∆v = 0 。 见 P73 习题 1） v = （ ） 称 为 三维拉普拉 斯 rM 0 M 方程的基本解。
设 u = u( x , y , z ) ∈ C 2 ( Ω ) I C 1 ( Ω ) ， M 0 = ( x 0 , y 0 , z 0 ) 是Ω 内一定点。
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第二公式， 充分小， 为球心， 为利用 Green 第二公式， ε 充分小， 取 使得以 M 0 为球心， 不相交， 半径为 ε 的球 K ε 的球面 Γε 与 Ω 的边界 Γ 不相交， 则在复连
利用体位势， 利用体位势，可将泊松方程的求解问题通过叠加原理化为调和方 程的求解问题。 程的求解问题。
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4)调和方程的诺伊曼内问题有解的必要条件
定理 2.1 设 u ∈ C 2 ( Ω ) I C 1 ( Ω ) ， ∆u = 0 ( in Ω ) ，则 ∂u r ∫∫ ∂n dS = 0。 Γ
中的有界开集， 设 Ω 是 R 中的有界开集，Γ = ∂Ω ，u ∈ C (Ω ) I C ( Ω ) ，
2
2
1
则对∀M 0 ∈ Ω ，有 1 1 1 ∂u( M) ∂ − ln u( M0 ) = − ∫ u( M) r ln r dsM 2π Γ rM0M ∂n ∂n rM0M
∗
∗
∂u ∂u 的面积， 示 Γε′ 的面积， u 和 r 分别为 u 和 r 在 Γε′ 上的 即 ∂n ∂n 平均值， 平均值，则
∗
∗
σ ( ε ) ∗ σ ( ε ) ∂u ∂ 1 1 ∂u r r r ∫∫′ u ∂n r − r ∂n dS = − ε 2 u + ε ∂n Γ σ(ε ) 1 ∗ = ，上式两边令 ε → 0 ， 因为 lim u = u( M 0 ) ， lim 2 ε → 0 4 πε ε→0 2 得 ∂ 1 1 ∂u r r ∫∫ u ∂n r − r ∂n dS = −2πu( M 0 ) Γ
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1 ∂ 1 R( M 0 ) = − ∫∫ u( M ) r 4π Γ ∂n rM 0 M
1 ∂u( M ) − r dS M r ∂n M0M
1 F(M ) V ( M 0 ) = − ∫∫∫ dΩ M 4π Ω rM 0 M
1 1 ∂u( M) ∂ 1 − u( M0 ) = − ∫∫ u( M) r r dSM 4π Γ ∂n rM0 M rM0 M ∂n 1 F ( M) dΩM − ∫∫∫ 4π Ω rM0 M
(2.8)
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补：二维空间上的基本积分公式以及调和函数的 基本积分公式
∗
∗
∂u ∂u r 分别为u 和 r 在Γε 上的平均值，则 ∂n ∂n ∗ 1 ∂ 1 1 ∂u ∂u ∗ − ∫∫∫ ∆udΩ = ∫∫ u r − r dS + 4πu − 4πε r r ∂n r r ∂n ∂n Ω\ Kε Γ
∗
令 ε → 0 ，则
1 ∂ 1 1 ∂u − ∫∫∫ ∆udΩ = ∫∫ u r − r dS + 4πu( M 0 ) r ∂n r r ∂n Ω Γ
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从而有： 从而有：
1 ∂u( M) 1 ∂ 1 − u( M0 ) = − ∫∫ u( M) r r dS 4π Γ ∂n rM0 M rM0 M ∂n 1 1 − ∫∫∫ ∆udΩ 4π Ω rM0 M
1 通区域 Ω \ K ε 中， ∆v = ∆ r M0 M ≡ 0。
Ω
Kε
在复连通区域 Ω \ K ε 中对上述函数 u 和
v 应用 Green 第二公式，得 第二公式，
∂ 1 1 ∂u 1 1 r r ∫∫∫ u∆ r − r ∆u dΩ = Γ∫∫ u ∂n r − r ∂n dS U Γε Ω\ Kε
1 1 ∂u ∂ 1 1 ∂u r r r ∫∫′ u ∂n r − r ∂n dS = − ε 2 ∫∫ udS + ε ∫∫ ∂n dS ′ ′ Γ Γε Γε
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1 1 ∂u ∂u ε 记u = 其中 r r ∫∫ udS ， ∂n = σ(ε ) ∫∫ ∂n dS ， σ(ε) 表 σ(ε ) Γε′ ′ Γε
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∗
设 综上所述， Ω 是以足够光滑的曲面 Γ 为边界的有界 区域，u = u( x , y , z ) ∈ C 2 ( Ω ) I C 1 ( Ω ) ，若 ∆u = 0 ，则：
( M0 ∉ Ω) 0 ∂ 1 1 ∂u u r dSM = 2πu( M0 ) ( M0 ∈ Γ) − − ∫∫ r ∂n rM M rM M ∂n Γ 0 4πu( M ) ( M ∈ Ω) 0 0 0 (2.7) 若 ∆ u = F ( M ) ，则当 M 0 ∈ Ω 时：
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3) 泊松方程
利用基本积分公式(2.8)很容易导得泊松方程的一个 很容易导得泊松方程的一个 利用基本积分公式 很容易导得泊松方程 特解表达式。 特解表达式。
事 实 上 ， 设 有 函 数 u( M ) ∈ C 2 ( Ω ) I C 1 ( Ω ) ， 满 足
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∆u = F ，其中 F ∈ C ( Ω ) ，由(2.8)，对∀M 0 ∈ Ω ，
1 1 − ∫∫ ln ∆udσM 2π Ω rM0M
内的调和函数时， 当 u 是 Ω 内的调和函数时，即 ∆u = 0 时，若 M 0 ∈ Ω ，则 有